Свободные колебания анизотропной прямоугольной пластинки на неоднородно вязкоупругом основании

Полный текст

Введение 1 В настоящее время при строительстве крупных инженерных комплексов, мостов, эстакад, а также в машиностроении широко используются прямо- угольные пластинки, изготовленные из различных естественных и искусственных анизотропных материалов. При расчете на устойчивость, определении частотно-амплитудных характеристик появляется необходимость учета влияния сопротивления окружающей среды при эксплуатации. Одновременный учет неоднородности, анизотропности и сопротивления внешней среды значительно осложняет математическое решение задачи. Неучет же этих факторов может привести к существенной ошибке (особенно в динамических задачах). Принимая во внимание, что в строительстве и в ряде других областей широко применяются непрерывно-неоднородные анизотропные прямоугольные пластинки, в данной работе изучаются поперечные колебания этой же конструкции, но с учетом неоднородно вязкоупругого сопротивления. Фундаментальная монография В.А. Ломакина посвящена теоретическим вопросам линейно неоднородных упругих тел. Здесь на основе построенной теории упругости непрерывно линейно-упругих тел решен ряд теоретических вопросов, связанных с изучением напряженно-деформированного состояния элементов конструкций [1]. Монография Г.С. Лехницкого [2], посвящена теории однородных линейно-упругих анизотропных пластин и решению конкретных задач. Исследование ряда теоретико-экспериментальных вопросов полимерных и композиционных материалов проведено в [3], где указано, что при изготовлении полосы-пластины после определенного технологического процесса модуль упругости и плотность являются периодической функцией Во многих случаях причинами появления неоднородности материалов являются технология изготовления (композитных, стеклопластиковых, армированных материалов), механическая и термическая обработка, сварка, неоднородность составов. В результате чего возможен случай, когда характеристики материала и его плотность одновременно могут быть функцией трех пространственных координат [1; 3]. Учет вышеуказанных свойств и сопротивление вязкоупругой среды осложняют математическое решение задачи. Анализ полученных результатов, а не учет, может привести к существенным погрешностям [8; 13]. В данной работе исследуется задача свободного колебания непрерывно-неоднородной анизотропной пластинки, лежащей на неоднородно вязкоупругом основании. Реакция основания R с прогибом связаны следующим образом [8; 13]: координаты длины, коэффициент Пуассона остается постоянной величиной. æ R = ç K (x, y) + K (x, y) ¶2 ö 2 ÷ ÷w(x, y, ) , (1) Колебание анизотропных пластин, лежащих на ç 1 2 è ¶t ø основании типа Винклера - Пастернака, описано в работе [4]. где w - прогиб; t - время, K1 (x, y) и K2 (x, y) - В [5] исследована приближенная методика расчета на устойчивость непрерывно-неоднородных прямоугольных пластин. Обстоятельно были изучены вопросы определения критических параметров оболочек с учетом сопротивления двухконстантного основания типа Пастернака [6]. В.А. Баженов [7] изложил теорию расчета прямоугольных пластин и круговых цилиндрических оболочек на изгиб и устойчивость, находянепрерывные функции, которые характеризуют свойство основания. Координатная система выбрана так, что оси X и Y находятся в срединной плоскости, Z - перпендикулярно к ней. Характеристики материала и плотность являются функциями трех пространственных координат: ij ij 1 2 a = a0 f (x, y) f ( z); щихся в упругой среде. Исследование вопросов колебания ортотропных неоднородных пластин с ρ = ρ0ψ1 (x, y)ψ2 (z), 0 (2) учетом сопротивления различного ряда упругой и где aij и r0 - соответствует однородному анизотропвязкоупругой сред проведено в [8-11]. В качестве ному материалу; f1 (x, y) со своими производныпримера рассмотрены конкретные случаи характерных параметров, выполнены численные расми до второго порядка f 2 (z), y 1 (x, y), y 2 (z) сачеты, результаты представлены в зависимости от параметра основания в виде таблиц и графиков. В [12] проведены анализы колебаний прямоугольных пластин с учетом сопротивления неодми являются непрерывными функциями. Связь между компонентами тензора напряжений σij и деформаций εij записывается в следующем виде [1; 2]: нородной внешней среды. В работе [13] - рассматривается задача свобод- σ11 = f1 (x, y) f2 (z) a ε + a ε + a ε ( ), 0 0 0 11 11 12 22 13 12 σ22 = f1 (x, y) f2 (z) ного колебания упругой оболочки, лежащей на од- ( 0 0 0 нородно вязкоупругом основании. 1. Постановка задачи o = f (x, y) f (z) (a0 ε 12 1 2 31 11 32 22 33 o a0 ε o a0 a21ε11 + a22ε22 + a23ε12 ), ε12 ). (3) Как известно, при проектировании крупных инженерных сооружений, таких как мост, эстакада и других, широко используются прямоугольные пластинки, изготовленные из естественных и Полагая, что и для непрерывно-анизотропной пластинки гипотеза Кирхофа - Лява остается в силе, имеет место искусственных непрерывно-неоднородных анизотропных материалов. ε11 = e11 - zχ11, ε22 = e22 - zχ22 , ε12 = e12 - zχ12 , (4) где e11, e22 , e12 - малые деформации и c11 , c22 , c12 - кривизны и кручения срединной поверхности с ком- Mij = -h 2 ò σi j zdz, i, j = 1, 2. (8.2) понентами вектора перемещений ны следующим образом: (u, v, w) связаh 2 Здесь χ11, χ22 и χ12 выражаются в следующем виде: ¶u ¶u æ ¶u ¶u ö ì æ ¶2 ¶2 ¶2 ö e11 = ¶x ; e22 = ¶y ; e12 = ç ¶x + ¶y ÷, ïM = μ(x, y)ç a0 W + a0 W + a0 W ÷ ¶2 w ¶2 w è ø ¶2 w 11 ï è ïï æ 11 ¶x2 ¶2W 12 ¶y2 ¶2W 13 ¶x¶y ø ¶2W ö χ11 = ¶x2 ; χ 22 = ¶y2 ; χ12 = ¶x¶y . (5) íM = μ(x, y) a + a + a , (9) 0 0 0 22 ç 21 ¶x2 22 ¶y2 23 ¶x¶y ÷ ï è ø Учитывая (4) в (2) получим ï æ ¶2W ¶2W ¶2W ö a ïM12 31 = μ(x, y)ç 0 + a 0 2 32 + a 0 2 23 ÷ é(a0 e o a0 e + a0 e ) - ù ïî è ¶x ¶y ¶x¶y ø ê ú 11 11 12 22 13 12 o = f (x, y) f (z) , 11 1 2 ê-z (a0 χ o a0 χ + a0 χ )ú где приняты обозначения μ(x, y) = μ f (x, y); ë 11 11 12 22 13 12 û 0 - h 2 é(a0 e + a0 e + a0 e ) - ù μ = A2 A-1 - A ; A = f (z)z2 dz . ê ú 21 21 22 22 23 12 § = f (x, y) f (z) , 0 2 1 3 3 ò - h 22 1 2 ê-z (a0 χ + a0 χ + a0 χ )ú 2 ë 21 11 22 22 23 12 û Уравнение движения свободного колебания é(a0 e o a0 e + a0 e ) - ù пластинки с учетом (1) - (2) записывается в сле- ê ú 31 11 32 22 33 12 § = f (x, y) f (z) . (6) дующем виде: 12 1 2 ê-z (a0 χ o a0 χ + a0 χ )ú ë 31 11 32 22 33 12 û ¶2 M ¶2 M ¶2 M 2 2 11 + 2 12 + 22 + Так как в плоскости пластинки внешние силы отсутствуют, естественно предположить, что резуль- ¶x ¶x¶y æ ¶y ¶2 ö тирующие силы T11, T22, T12 всюду равны нулю ¶t +ç K1 (x, y) + K2 (x, y) 2 ÷W (x, y) + è ø -h -h -h 2 2 2 ¶2W ò σ11dz = 0; ò σ22 dz = 0; ò σ12 dz = 0. (7) +ρψ1 (x, y) ¶t2 = 0, (10) h h h 2 2 2 Подставляя (6) в (7), получим h 2 где ρ = ρ h ψ (z)dz. a0 e o a0 e o a0 e = 0 ò 2 -h 2 11 11 12 22 13 12 2 1 = A A-1 ( a χ + a χ + a χ ), 0 0 0 11 11 12 22 13 12 Отметим, что если пластина неоднородна только по толщине, уравнение (10) принимает следуюa0 e o a0 e o a0 e = щий вид: 21 11 22 22 23 12 4 4 -1 ( 0 0 0 ) a0 ¶ W + a0 + 2a0 · a0 ¶ W + = A2 A1 a21χ11 + a22χ 22 + a23χ12 , 11 ¶x4 ( 12 12 32 ) ¶x2¶y2 a e + a e + a e = 0 0 0 31 11 32 22 33 12 ¶4W ¶4W -1 ( 0 0 0 ) +a + (a13 + 2a31 ) 3 + = A2 A1 a31χ11 + a32 χ 22 + a33χ12 . 4 (8.1) 0 0 0 22 ¶y 4 ¶x ¶y Через + (2a0 + a0 ) ¶ W + -h 2 -h 2 12 13 ¶x¶y3 2 A1 = ò f2 (z)dz; A2 = ò zf2 (z)dz ö +÷ ÷W(x, y) = 0. (11) ÷ ÷ ø æ ¶ K (x, y) + K (x, y) h h ç 1 2 2 2 +μ-1 ç ¶t2 нетрудно установить, что с учетом (7) выражение моментов 0 ç ¶2 è ç+ρψ1(x, y) ¶t2 В случае, когда характеристики материала и плотность являются непрерывными функциями пространственных координат, уравнение движения записывается в следующем виде: L(W ) + K1 (x, y)W + ных, а на втором этапе - метод ортогонализации Бубнова - Галеркина. 2. Метод решения Решение (12.1) будем искать в следующем виде: +(K2 (x, y) +ρψ1 (x, y)) ¶2W (x, y) 2 = 0. (12.1) W (x, y, t) = V (x, y)eiωt , (14) ¶t где V (x, y) o должна удовлетворять краевым усло- В случае, когда пластинка неоднородна только по толщине, L(W ) записывается так: виям; w - частота. Подставляя (14) в (12.1) получим 4 4 L(W ) = a0 ¶ W + (a0 + 2a0 + a0 ) ¶ W + L(V ) + K1 (x, y)V - 11 ¶x4 12 12 32 ¶x2¶y2 -ω2 éK2 (x, y) + ρψ1 ( x, y ) ùV = 0, (15) § a0 ¶ W ¶ W 4 4 + (a0 + 2a0 ) + ë û где 22 ¶y4 13 31 4 ¶x3¶y ¶2μ é ¶2V ¶2V ¶2V ù 2a + 0 ( 12 a ) + 0 ¶ W . 13 ¶x¶y3 (13) L(V ) = ¶x2 ê a0 11 ¶x2 + a0 12 ¶y2 ú + a0 + 13 ¶x¶y ë û 3 3 3 В общем случае +2 ¶μ éa0 ¶ V + a0 ¶ V + a0 ¶ V ù + ¶x ê 11 ¶x3 12 ¶x¶y2 13 ¶x2¶y ú 2 2 2 2 ë û L(W) = ¶ μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + 4 4 4 ¶x2 ê 11 ¶x2 12 ¶y2 13 ¶x¶y ú + é 0 ¶ V + 0 ¶ V + 0 ¶ V ù + ë û μ êa11 ¶x4 a12 ¶x2¶y2 a13 ¶x3¶y ú 3 3 3 ë û + 2 ¶μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + 2 2 2 2 ¶x ê 11 ¶x3 12 ¶x¶y2 13 ¶x2¶y ú +2 ¶ μ éa0 ¶ V + a0 ¶ V + a0 ¶ V ù + ë û ¶x¶y ê 31 ¶x2 32 ¶y2 33 ¶x¶y ú 4 4 4 ë û é ¶ W ¶ W +μ a0 + a0 o a0 ¶ W ù + 3 3 3 ê 11 ¶x4 12 ¶x2¶y2 13 ¶x3¶y ú +4 ¶μ éa0 ¶ V + a0 ¶ V o a0 ¶ V ù + ë û ¶y ê 31 ¶x3 32 ¶y2¶x 33 ¶x2¶y ú 2 2 2 2 ë û +2 ¶ μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + 4 4 4 ê ú é ¶ V ¶ V ¶ V ù a ¶x¶y ë 31 ¶x2 32 ¶y2 33 ¶x¶y û +2μ 0 ê 31 ¶x2¶y2 § a + + a0 32 ¶y4 0 33 ¶x2¶y2 ú 3 3 3 ë û +4 ¶μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W o a0 ¶ W ù + ¶y ê 31 ¶x3 32 ¶y2¶x 33 ¶x2¶y ú ¶2μ é ¶2V ¶2V ¶2V ù ë û + ¶y2 ê a0 21 ¶x2 · a0 22 ¶y2 ú + a0 + 23 ¶x¶y 4 4 4 ë û é +2μ a0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + ê 31 ¶x2¶y2 32 ¶y4 0 33 ¶x2¶y2 ú ¶μ é ¶3V ¶3V ¶3V ù ë û +2 ¶y ê a0 21 ¶x2¶y · a0 22 ¶y3 o a 23 ¶x¶y2 ú + 2 2 2 2 ë û + ¶ μ éa0 ¶ W + a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + 4 4 4 ¶y2 ê 21 ¶x2 22 ¶y2 23 ¶x¶y ú + é 0 ¶ V + 0 ¶ V + 0 ¶ V ù (16) ë û μ êa21 ¶x2¶y2 a22 ¶y4 a23 ¶x¶y3 ú. 3 3 3 ë û +2 ¶μ éa0 ¶ W o a0 ¶ W + a0 ¶ W ù + ë û ¶y ê 21 ¶x2¶y 22 ¶y3 23 ¶x¶y2 ú Решение (15) будем искать в виде n n + é 0 ¶ W + 0 ¶ W + 0 ¶ W ù (12.2) V = A φi (x)θ j ( y), (17) 4 4 4 μ êa21 ¶x2¶y2 a22 ¶y4 a23 ¶x¶y3 ú. i=1 j =1 ë û где A - неизвестные постоянные и каждый φ (x) ij i Как видно, (12.1) является сложным дифференциальным уравнением и определение точного решения затруднительно. Поэтому при решении уравнеи ψ j (x) должны удовлетворять соответствующим краевым условиям. ния (12.1) будем применять комбинированный спо- Функция ошибки η(x, y) в данном случае с соб: на первом этапе - метод разделения переменучетом (15) и (17) записывается как η(x, y) = n n éL(φi (x)θ j (y)) + K1(x, y)φi (x)θ j (y) -ù Заключение Определены явные формулы основного тона = ååAij ê ú ¹ частоты поперечного колебания анизотропной плаi=1 j=1 ¹ 0. ë û 2 ë êω éK 2 (x, y) +ρψ(x, y)ùφi (x)θ j (y) ú û (18) стинки, лежащей на неоднородно вязкоупругом основании. Влияние неоднородности ортотропных материалов, неоднородности вязкости, неупругие вид Условия ортогонализации (17) и (18) имеют и упругие основания на безразмерных частотах пластин детально изучены. a b òò η(x, y)φk (x) θ p ( y)dxdy = 0. 0 0 (19) Список литературы Произвольное приближение ω2 - определя- 1. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных ется из системы алгебраических линейных однородных уравнений (19): тел. М.: Изд-во МГУ, 1976. С. 376. 2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Гостехиздат, 1957. 625 с. ω2 = 0. Относительно ω2 (20) (20) является нелинейным 3. Кравчук А.С., Майборода В.В., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985. С. 303. алгебраическим уравнением. Определение и нахождение значения ω2 с помощью компьютерной программы не вызывает особого труда. Однако в инженерной практике обычно ограничиваются определением основного тона частоты, что и приведет к следующему уравнению: a b ééL(φ (x)θ (y)) + K (x, y)φ (x)θ ( y) -ùù òòêê i j 1 i j úú dxdy = 0. 2 4. Tornabene F. Free vibrations of anisotropic doublycurved shells and plates of revolution with a free from meridian resting on Winkler - Pasternak elastic foundations // Compos. struct. 2011. No. 94. Pp. 186-206. 5. Haciyev V.C., Sofiyev A.H., Kuruoglu N. On the free vibration of orthotropic and inhomogeneous with spatial coordinates plates resting on the inhomogeneous viscoelastic foundation // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2018. Vol. 26. No. 10. Pp. 1-12. DOI: 10.1080/ 15376494.2018.1430271 0 0 êêω éK 2 (x, y) +ρψ(x, y)ùφk (x)θp (y) úú ëë ë û ûû 6. Sofiyev A.H., Schnack E., Haciyev V.C., Kuruoglu N. Effect of the two-parameter elastic, foundation on the cri- Отсюда находим: ω2 = a b ëë ûû òòééL(φi (x)θj (y)) + K1(x, y)φi (x)θj (y)ùù dxdy = 0 0 a b òòééK 2(x, y) +ρψ1(x, y)ùφi (x)θj (y)ù dxdy . (21) tical parameters of non-homogeneous orthotropic shells // International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2013. Vol. 12. No. 05. 24 p. DOI: 10.1142/S02194554125 00411 7. Баженов В.А. Изгиб цилиндрических оболочек в упругой среде. Киев: Высшая школа, 1975. С. 168. 8. Sofiyev A.H., Hui D., Haciyev V.C., Erdem H., ëë û û 0 0 Из формулы (21) при условии K2 = 0 получим решение задачи для Винклеровского неоднородного основания. Простым случаем является цилиндрическая форма изгибного колебания которая возможна при условии a >> b . В этом случае частоты определяется из (21): a ò éëL1 (φ1 ) + K1 (x)φ1 (x)ùû dx

Об авторах

Вагиф Джамал Оглы Гаджиев

Национальная академия наук Азербайджана

Автор, ответственный за переписку.
Email: gulnar.mirzayeva@gmail.com

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом теории упругости и пластичности Института математики и механики

Азербайджанская Республика, АZ1143, Баку, ул. Б. Вагабзаде, 9

Гюлнар Ровшан Кызы Мирзоева

Национальная академия наук Азербайджана

Email: gulnar.mirzayeva@gmail.com

доктор философии по механике, старший научный сотрудник отдела теории упругости и пластичности Института математики и механики

Азербайджанская Республика, АZ1143, Баку, ул. Б. Вагабзаде, 9

Матлаб Гусейнгулу Оглы Агаяров

Сумгаитский государственный университет

Email: gulnar.mirzayeva@gmail.com

доктор философии по математике и механике, доцент, директор Центра дополнительного образования

Азербайджанская Республика, AZ 50008, Сумгаит, 43 квартал

Список литературы