Визуализация образования поверхностей полуправильных многогранников в среде AutoCAD

Полный текст

Введение 1 Интерес к многогранникам не пропадает с момента их описания древнегреческим ученым Платоном (427-347 г. до н. э.) [1-3]. Полуправильные многогранники открыты Архимедом (287-212 г. до н. э.). Их всего тринадцать. В честь великого ученого их называют телами Архимеда. Пять Архимедовых тел можно получить усечением вершин пяти Платоновых тел, при этом грани Платоновых тел преобразуются в правильные многоугольники другой формы. Так образованы следующие тела Архимеда: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр. Эти многогранники выпуклые, многогранные углы у них равны, а их грани - правильные многоугольники двух типов. Два тела Архимеда - кубооктаэдр и икосододекаэдр - получают пересечением двух тел Платона. При усечении этой пары многогранников образуются ромбокубооктаэдр и ромбоикосододекаэдр. Остальные тела Архимеда образуются дальнейшим преобразованием полученных тел [4; 5]. С древних времен известны применение золотой пропорции для построения правильных многогранников и создание с их использованием знаменитых художественных произведений [6; 7]. В настоящее время использование Архимедовых тел в архитектуре позволяет создавать оригинальные здания в стиле постмодернизма. К ним в первую очередь можно отнести Национальную библиотеку Республики Беларусь. Форма этого здания - ромбокубооктаэдр. Другой пример - здание Международного экономического комитета в Киеве, в котором купол конференц-зала - икосододекаэдр [8-10]. Вопросам визуализации научных данных (архитектурных, инженерных, геологических и др.) в трехмерном пространстве посредством использования различных видов программного обеспечения посвящены работы [11-17]. Использование системы AutoCAD и языка AutoLISP для образования различных поверхностей освещено в работах [18-25]. Визуализация образования поверхностей тел Платона кинематическим способом в динамическом режиме в системе AutoCAD рассмотрена в работе [26]. В данной работе изучается возможность образования поверхностей полуправильных многогранников Архимеда в системе AutoCAD и визуализации процесса их формирования с использованием программного обеспечения на языке AutoLISP. Поскольку рассматриваемые многогранники содержат грани двух геометрических форм, для каждого многогранника создаются пользовательские функции с целью образования двух конструктивных форм. Конструктивные формы образуются кинематическим способом, при этом в качестве направляющих линий используются ребра многогранников, а в качестве образующих - линии переменной длины, скользящие по ребрам многогранников. Поскольку образующие линии изменяются по длине, между ними образуются отсеки поверхности переменной длины. Алгоритм программного обеспечения для каждого многогранника включает: § формирование конструктивной формы 1; § формирование конструктивной формы 2; § образование электронной модели многогранника; § образование поверхности многогранника в динамическом режиме. 5. Образование поверхности усеченного тетраэдра Усеченный тетраэдр изображен на рис. 1 в двух вариантах: непрозрачный и прозрачность 60 %. Его грани: 4 треугольника и 4 шестиугольника. Конфигурация вершины: 3,6,6. Рис. 1. Усеченный тетраэдр [Figure 1. Truncated tetrahedron] Образование каркаса усеченного тетраэдра выполняется обрезкой каркасных линий тетраэдра на 1/3 их длины с обоих концов. На рис. 2 изображены каркасные линии тетраэдра , , , , , . Результат обрезки - каркас усеченного тетраэдра (рис. 2). Образование набора отеков поверхности шестиугольников выполняется в ячейке каркаса усеченного тетраэдра, в плоскости которой установлена система координат 11 1 посредством переноса системы координат в точку 1 и поворотом на угол (180 ϑ) вокруг ребра (рис. 2). Рис. 2. Схема к расчету положения треугольной ячейки [Figure 2. Scheme to calculate the position of a triangular cell] Образование отеков новой треугольной поверхности выполняется в ячейке каркаса усеченного тетраэдра. Система координат 222 устанавливается в плоскости треугольной ячейки переносом системы координат в точку 2 и поворотом на угол (180 ) вокруг ребра . Направляющими являются отрезки KM и KN (рис. 2). Углы ϑ и ψ принадлежат тетраэдру. Угол γ вычисляется, при этом принимается во внимание, что = = = MN. Тогда для определения угла γ имеем следующие соотношения: 2 = 2 = ∗ cos 30°, = ∗ cos ψ, = ∗ sin ψ, Объединением конструктивных форм образуется электронная модель усеченного тетраэдра, которая используется для образования его поверхности в динамическом режиме (рис. 5). 6. Образование поверхности усеченного октаэдра Усеченный октаэдр представлен на рис. 6 в двух вариантах: непрозрачный и прозрачность 60 %. Имеет 6 квадратов и 8 шестиугольников. Конфигурация вершины: 4,6,6. γ = tan КЕ . С02-СЕ Конструктивная форма 1 - набор отсеков поверхности четырех шестиугольников. Данная форма имеет треугольные отверстия (рис. 3). Конструктивная форма 2 - набор отсеков поверхности четырех треугольников (рис. 4). Рис. 3. Конструктивная форма 1 [Figure 3. Constructive form 1] Рис. 4. Конструктивная форма 2 [Figure 4. Constructive form 2] Рис. 5. Образование поверхности усеченного тетраэдра [Figure 5. Formation of a truncated tetrahedron surface] Рис. 6. Усеченный октаэдр [Figure 6. Truncated octahedron] Образование каркаса усеченного октаэдра выполняется обрезкой каркасных линий октаэдра на 1/3 их длины с обоих концов. Каркас усеченного октаэдра изображен на рис. 7. Рис. 7. Формирование отсеков поверхностей граней двух типов [Figure 7. Formation of compartments of surfaces of faces of two types] Формирование набора отеков поверхности шестиугольников выполняется в ячейке каркаса усеченного тетраэдра, в которой установлена система координат 11 1. Направляющими приняты стороны ячейки , с левой стороны и , с правой стороны. Образование отеков поверхности квадрата выполняется в ячейке 2 каркаса. В плоскости ячейки установлена система координат 222 посредством переноса системы координат в точку 2 и поворотом на угол 90° вокруг осей x и y. В качестве направляющих приняты стороны ячейки 2, с одной стороны и 2, с другой стороны. Поскольку образование поверхности выполняется функцией Loft и ее опцией «по сечениям», необходимо обеспечить вывод на экран сечений квадратов и шестиугольников одного уровня одновременно. Это условие выполняется, если шаг формирования отсеков поверхностей шестиугольника и квадрата по смежному ребру одинаков: Рис. 10. Образование поверхности усеченного октаэдра [Figure 10. Formation of a truncated octahedron surface] Объединением конструктивных форм образуется электронная модель усеченного октаэдра. Она dy1 соsп/6 = dy2 , соsп/4 используется для образования поверхности усеченного октаэдра в динамическом режиме (рис. 10). где 1 - шаг формирования отсеков поверхности шестиугольника; 2 - шаг формирования отсеков поверхности квадрата. Величина 1 задается, а величина 2 вычисляется: . dy1∗соsп/4 7. Образование поверхности усеченного икосаэдра Усеченный икосаэдр - полуправильный многогранник, имеющий 12 граней в форме правильного пятиугольника и 20 граней в форме правильного шестиугольника (рис. 11). В каждой из вер- 2 = соsп/6 шин сходятся 2 шестиугольника и пятиугольник. Конструктивная форма 1 - набор отсеков поверхности восьми шестиугольников. Эта форма имеет квадратные отверстия (рис. 8). Конструктивная форма 2 - набор отсеков поверхности шести квадратов (рис. 9). Рис. 8. Конструктивная форма 1 [Figure 8. Constructive form 1] Рис. 9. Конструктивная форма 2 [Figure 9. Constructive form 2] Конфигурация вершины: 5,6,6. Рис. 11. Усеченный икосаэдр [Figure 11. Truncate icosahedron] Усеченный икосаэдр можно получить, срезав вершины у икосаэдра или углы у всех треугольников икосаэдра. Для образования усеченного икосаэдра кинематическим способом строится его каркас усечением каркасных линий икосаэдра на 1/3 длины треугольников с обеих сторон. Рис. 12. Вид спереди [Figure 12. Front view] Образование отсеков пятиугольной и шестиугольной форм выполняется раздельно. Выделяются четыре ряда отсеков шестиугольной формы, два ряда отсеков пятиугольной формы и два основания пятиугольной формы (рис. 12). Формирование идет по рядам. 8. Формирование отсеков поверхности шестиугольников Основным аргументом в организации процесса формирования отсеков является положение ячейки каркаса - угол между ней и осями координат. Поскольку в программном обеспечении AutoCAD систему координат можно перемещать и вращать, имеется возможность установки ее в плоскостях ячеек каркаса в нужном положении. Для образования отсеков в ячейке первого ряда необходимо повернуть систему координат вокруг оси на угол 36°, затем перенести ее в точку 1 и повернуть на угол τ между осью 1 шестиугольника и осью . Этот угол известен из конструкции икосаэдра, в программе он вычисляется. Отсеки формируются функцией Loft между образующими 1 и 2, скользящими по направляющим - сторонам шестиугольной каркасной ячейки. Отсек поверхности первого ряда показан на рис. 13. Рис. 13. Усеченный треугольник и отсек поверхности в нем [Figure 13. The truncated triangle and the surface compartment in it] При установке системы координат в плоскости шестиугольника второго ряда (рис. 14) система координат поворачивается вокруг оси на 36°, переносится в точку и поворачивается вокруг оси 2 на угол τ. Угол τ равен: τ = 90° + δ, δ = ∗ (1 cos 36)⁄ℎЗ, где - радиус окружности, описанной вокруг пятиугольника; ℎЗ - высота усеченного икосаэдра. Рис. 14. Система координат 2-го ряда [Figure 14. 2nd row coordinate system] Рис. 15. Конструктивная форма 1 [Figure 15. Constructive form 1] В рядах три и четыре алгоритм переноса системы координат на плоскости шестиугольных ячеек аналогичен. Отсеки шестиугольников составляют конструктивную форму 1 (рис. 15). 9. Формирование отсеков поверхности пятиугольников Пятиугольные ячейки боковой поверхности усеченного икосаэдра расположены в два ряда. На рис. 16 показана одна ячейка верхнего ряда. Угол наклона ребра икосаэдра с осью - φ. Угол между плоскостью пятиугольника и осью - . Для выполнения образования отсеков поверхности пятиугольника необходимо преобразовать начальную систему координат в систему 66, расположенную в плоскости пятиугольной ячейки , выполнив следующие операции: o перенос системы в точку ; o поворот системы вокруг диагонали на угол φ; o перенос системы в точку . По построению имеем: = = = = = = = . Треугольник равен треугольнику → = . Треугольник - равнобедренный, - высота → = . Угол φ определяется из следующих соотношений: = = ∗ sin 36, = √2 2, τ = 2 ∗ φ. Рис. 17. Определение шага 1 [Figure 17. Definition of 1 step] Рис. 16. Определение угла τ между осями и 6 [Figure 16. Determination of the angle τ between the and 6 axes] Формирование отсеков поверхности происходит в ячейке каркаса между двумя образующими, движущимися сначала по направляющим и , а затем по направляющим и . Поскольку усеченный икосаэдр имеет грани пятиугольной и шестиугольной форм, при этом пятиугольные грани со всех сторон соприкасаются с шестиугольными гранями, в некоторые горизонтальные сечения попадают два отсека: один пятиугольной формы, а другой - шестиугольной. Пятиугольник имеет две области: треугольной и трапецеидальной формы. Для построения отсеков поверхности необходимо определить и шаг 1 для треугольной формы, и шаг 2 для трапецеидальной. Шаг для шестиугольника задается. Для определения неизвестных величин 1 и 2 используются чертежи (рис. 17 и 18): 1 = ∗ sin 36⁄sin 60, 2 = ∗ sin 72⁄sin 60. Набор отсеков поверхности пятиугольников верхнего ряда создается функцией Array языка AutoLISP. Алгоритм для образования набора отсеков пятиугольников нижнего ряда подобен приведенному алгоритму для верхнего ряда. Рис. 18. Определение шага 2 [Figure 18. Definition of 2 step] Наборы из отсеков пятиугольной формы составляют конструктивную форму 2 (рис. 19). Рис. 19. Конструктивная форма 2 [Figure 19. Constructive form 2] Образование отсеков пятиугольников в основаниях каркаса усеченного икосаэдра выполняется так же, как и в основаниях додекаэдра - по треугольникам, на которые разбиваются пятиугольники оснований [28; 29]. Рис. 20. Образование усеченного икосаэдра [Figure 20. Formation of truncated icosahedron] Электронная модель усеченного икосаэдра получена объединением его конструктивных форм и отсеков оснований. Образование поверхности представлено на рис. 20. Заключение Результатом проведенной работы является создание алгоритмов и программного обеспечения на языке AutoLISP для образования электронных моделей и формирования кинематическим способом поверхностей следующих полуправильных многогранников Архимеда: o усеченного тетраэдра; o усеченного октаэдра; o усеченного икосаэдра.

Об авторах

Викторина Анатольевна Романова

Автор, ответственный за переписку.
Email: v.a.r-victoryna@mail.ru

доцент департамента строительства Инженерной академии

Список литературы