Решение осесимметричной задачи термоупругости радиально неоднородной цилиндрической оболочки численно-аналитическим методом и методом конечных элементов

Полный текст

Введение1 Конструктивные элементы в виде полых цилиндров имеют широкое применение в технологическом оборудовании химической и энергетической промышленности. Такие конструкции часто работают в условиях повышенных и высоких температур. В статье предлагается решение задачи термоупругости с уче- том изменения свойств материала (бетона) в зависимости от температуры и с учетом его физической нелинейности. В работе [1] описан численно-аналитический метод решения такого типа задач, нами выполнен сравнительный анализ результатов расчета численно-аналитическим методом и методом конечных элементов, реализованным в программном комплексе ЛИРА-САПР. Задача решается в постановке плоского деформированного состояния (ПДС) и для конечного цилиндра со свободными торцами. 1. Постановка задачи Рассматривается задача расчета трехслойной цилиндрической оболочки на температурное воздействие. Материалы оболочки: внутренний слой из жаростойкого бетона на глиноземистом цементе (бетон № 1) толщиной 50 мм, средний слой из жаростойкого бетона на портландцементе (бетон № 2) - 100 мм, наружный слой из стали - 40 мм. Внутри поддерживается постоянная температура 500 °С. Распределение температуры внутри многослойной стенки, полученное при решении уравнения теплопроводности, показано на рис. 1: r1 = 0,55 м, r2 = 0,6 м, r3 = 0,7 м, r4 = 0,74 м; Тв = 500 °С, Т1 = 488,9 °С, Т2 = 380,4 °С, Т3 = 199,5 °С, Т4 = 197,3 °С, Тн = 20 °С. Рис. 1. Распределение температуры в трехслойной оболочке: 1 - бетон № 1; 2 - бетон № 2; 3 - сталь [Figure 1. Temperature distribution in a three-layer shell: 1 - concrete № 1; 2 - concrete № 2; 3 - steel] Изменение начального модуля упругости бетонов в зависимости от температуры принималось по данным из [2]. При решении численно-аналитическим методом для описания нелинейного характера деформирования бетонов использовались опытные диаграммы деформирования жаростойких бетонов, приведенные в [2]. В решении используется диаграмма σi - εi, которая описывается зависимостью с тремя константами, предложенной в [3]: a ально неоднородного материала при произвольных зависимостях механических характеристик от радиуса. В основу решения дифференциального уравнения относительно σr положен метод прогонки с определенным шагом, для учета физической нелинейности используется метод последовательных приближений. При решении дифференциального уравнения принят постоянный шаг h = 0,005 м, то есть трехслойная оболочка общей толщиной 0,19 м разбивается при решении на 38 кольцевых слоев, каждому из которых соответствует набор параметров E, n и a; при учете физической нелинейности для каждого слоя задается диаграмма σi - εi. Решение при условии плоского деформированного состояния предполагает, что цилиндр является очень длинным и рассматриваются напряжения, возникающие на достаточном удалении от концов. Метод решения аналогичной задачи с учетом местных возмущений вблизи концов цилиндра подробно описан в [6]. Для решения данной задачи методом конечных элементов использовался программный комплекс ЛИРА-САПР. Была создана модель цилиндра, разбитого по радиусу на 38 конечных элементов, и заданы 38 типов жесткостей и температурная нагрузка для каждого кольцевого слоя. При решения плоской задачи были ограничены перемещения вдоль оси z по торцам цилиндра. При решении задачи для конечного цилиндра освобождался от закрепления один торец, при этом общая длина цилиндра составляла 1,45 м, так как численно-аналитический расчет показал, что напряжения, возникающие вблизи свободных торцов цилиндра, быстро убывают с увеличением расстояния от конца, и на расстоянии 1,5 м их влияние несущественно. si = Eei - Aei . (3) Возникающая в результате воздействия повышенных температур неоднородность бетона учитывается заменой констант E, A и a на функции E(T), A(T) и a(T). В работе [4] приведены функции E(T), A(T) и a(T), позволяющие аппроксимировать опытные диаграммы деформирования бетонов, а также приведен вид этих диаграмм. Значения коэффициента линейной температурной деформации для бетонов в зависимости от температуры применялись по таблицам из [5], в задаче принимаются значения αb, соответствующие режиму длительного нагрева при повторном воздействии температуры. 1. Метод расчета В [1] описан численно-аналитический метод решения плоской осесимметричной задачи для толстостенных оболочек из физически нелинейного ради- 2. Результаты На рис. 2 представлена деформированная под воздействием температуры КЭ-модель цилиндрической оболочки. Рис. 2. Деформированная цилиндрическая оболочка, полученная в программе ЛИРА-САПР [Figure 2. Deformed cylindrical shell obtained in the program LIRA-CAD] Полякова Л.С., Андреев В.И. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 4. С. 323-326 ца цилиндра в наиболее напряженных кольцевых слоях бетона r = 0,55 м и r = 0,7 м. Рис. 3. Распределение напряжений σθ по толщине оболочки: 1 - линейный расчет численно-аналитическим методом; 2 - линейный расчет методом КЭ; 3 - нелинейный расчет численно-аналитическим методом [Figure 3. The distribution of stresses across the shell thickness: 1 - linear calculation by numerical-analytical method; 2 - linear calculation by the FE method; 3 - non-linear calculation by numerical-analytical method] Рис. 4. Напряжения σθ вблизи свободного торца цилиндра при r = 0,55 м и r = 0,7 м: 1 - линейный расчет численно-аналитическим методом, м; 2 - линейный расчет методом КЭ в программе ЛИРА-САПР, м; 3 - нелинейный расчет численно-аналитическим методом, м; 4 - линейный расчет численно-аналитическим методом, м; 5 - линейный расчет методом КЭ в программе ЛИРА-САПР, м; 6 - нелинейный расчет численно-аналитическим методом, м [Figure 4. Stresses near the free end of the cylinder at r = 0,55 m and r = 0,7 m: 1 - linear calculation by numerical-analytical method, m; 2 - linear calculation by the FE method in the LIRA-CAD software program, m; 3 - non-linear calculation by numerical-analytical method, m; 4 - linear calculation by numerical-analytical method, m; 5 - linear calculation by the FE method in the LIRA-CAD software program, m; 6 - non-linear calculation by numerical-analytical method, m] На рис. 3 показаны напряжения σθ, распределенные по толщине оболочки при z ≥ 1,5 м. На рис. 4 показаны напряжения σθ вблизи свободного тор- Выводы Результаты решения плоской задачи (рис. 3) методом КЭ в программе ЛИРА-САПР показывают резкие перепады напряжений в местах смены материала, обусловленные перераспределением напряжений в пользу материалов с большим модулем упругости, которых нет при численно-аналитическом расчете и не должно быть в плоской задаче при отсутствии деформаций по z. Результаты решения задачи термоупругости цилиндра конечной длины показывают значительное расхождение максимальных напряжений вблизи свободного торца цилиндра.

Об авторах

Людмила Сергеевна Полякова

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: asv@mgsu.ru
SPIN-код: 4913-4377

магистр, аспирант кафедры сопротивления материалов

Российская Федерация, 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26

Владимир Игоревич Андреев

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Email: asv@mgsu.ru
SPIN-код: 9906-7214

профессор, доктор технических наук, заведующий кафедрой сопротивления материалов

Российская Федерация, 129337, Москва, Ярославское шоссе, 26

Список литературы