Варианты определяющих соотношений деформационной теории пластичности в расчете оболочки вращения на основе метода конечных элементов

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Актуальность. Проблемы снижения материалоемкости объектов строительства и машиностроения диктуют необходимость рассмотрения процессов деформирования конструкций при упруго-пластическом состоянии. Широко используемой теорией учета пластических свойств материала является деформационная теория пластичности. Целью данной работы является разработка вариантов получения определяющих соотношений на шаге нагружения при деформировании материала за пределами упругости. Методы. Приводятся алгоритмы получения определяющих соотношений теории малых упругопластических деформаций на шаге нагружения в двух вариантах. В первом варианте они получаются дифференцированием выражений напряжений как функций деформаций на основе деформационной теории пластичности; во втором варианте определяющие соотношения получаются на основе гипотезы о пропорциональности компонент девиаторов приращений напряжений компонентам девиаторов приращений деформаций. Результаты. На тестовом примере расчета защемленной цилиндрической оболочки представлена реализация полученных определяющих соотношений.

Полный текст

Введение1 В настоящее время при определении напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочечных конструкций необходимо учитывать пласти- ческую стадию работы применяемого материала. Соотношения между напряжениями и деформациями при этом компонуются на основе теории пластического течения или деформационной теории пластичности [1-3]. При использовании численных методов расчета оболочечных конструкций [4-10] с учетом пластического деформирования обычно используют шаговую процедуру нагружения [11; 12], предусматривающую получение соотношений между приращениями компонент тензора деформаций и приращениями компонент тензора напряжений. Если воспользоваться деформационной теорией пластичности, то вышеупомянутые соотношения на (j+1)-м шаге нагружения можно получить двумя способами. В первом случае можно использовать общепринятый подход, который заключается в применении процеду- σij = (2 3)(σi εi ) gik g jl ε kl + ры дифференцирования компонент тензора дефор- ( ) ij ( ( )( )) маций по компонентам тензора напряжений. Во вто- +I1 ε g K 3 - 2 9 σi εi , (4) ром случае можно воспользоваться гипотезой о пропорциональности компонент девиатора приращений напряжений компонентам девиатора приращений деформаций [13]. В настоящей работе представлен сравнительный анализ эффективности двух способов получения матрицы пластичности на (j+1)-м шаге нагругде K = E (1 - 2 ν). Для получения соотношений между приращениями контравариантных компонент тензора напряжений и ковариантных компонент тензора деформаций на (j+1)-м шаге нагружения воспользуемся зависимостями жения при применении метода конечных элементов (МКЭ) к расчету тонких оболочек при упруго- Dσαβ ¶σαβ = ¶ε ¶σαβ Dε11 + ¶ε Dε22 + пластическом деформировании. ¶σαβ 11 22 ¶σαβ 1. Матрица пластичности на (j+1)-м шаге нагружения + ¶ε12 Dε12 + ¶ε33 Dε33 , (5) с использованием операции дифференцирования компонент тензора деформаций по компонентам тензора напряжений где греческие верхние индексы a и b последовательно принимают значения 1 и 2. При вычислении входящих в (5) частных производных ¶sab ¶eij необходимо предварительно На основании второй гипотезы деформационной теории пластичности можно записать соотношение между контравариантными компоненвыполнить следующие дифференциальные операции: тами девиаторов напряжений Sij и деформаций ¶(si ei ) = ¶(si ei ) ¶ei = , (EK - EC ) ¶ei (6) E ij [3]: ¶eij ¶ei ¶eij ei ¶eij Sij = (2 3)(si ei )Eij , (1) где EK = ¶si ¶ei ; EC = si ei - касательный и где si = (3 2)Sij Sij ; ei = (3 2)Eij Eij - интенсекущий модули диаграммы деформирования применяемого материала. сивности напряжений и деформаций. Входящие в (1) кои контравариантные компоненты девиаторов напряжений и деформаций определяются по формулам [3] Для получения входящих в (6) производных интенсивности деформаций по ковариантным компонентам тензора деформаций воспользуемся выражением ij ij ij 11 12 S = σ - I1 (σ) g 3; S = σij - I1 (σ) gij ; ¶ε = ¶ε ¶E + ¶ε ¶E + ij i i i ij ij ij ¶ε ¶E11 ¶ε ¶E12 ¶ε E = ε - I1 (ε) g 3; Eij = εij - I1 (ε) gij , (2) ij ij ij где I1(s)= gijsij = gij sij ; I1(e) = gijeij = gijeij - § ¶εi ¶E22 + ¶εi ¶E33 + ¶ε i ¶E11 + первые инварианты тензоров напряжений и деформаций. ¶E22 ¶ε ¶E33 ¶ε ij ij ¶E11 ¶ε Соотношение (1) с учетом (2) можно представить в виде o ¶εi ¶E12 + ¶εi ¶E22 + ¶εi ¶E33 , (7) ij ij σ - I1 (σ) g 3 = ¶E12 ¶εij ¶E22 ¶εij ¶E33 ¶εij ik jl ij ¶ei Eij ¶ei Eij = (2 3)(σi εi )(g g εkl - I1 (ε) g 3). (3) где = ; ¶Eij 3ei ¶Eij = . 3ei Применяя к (3) первую гипотезу деформационной теории пластичности, получим следующую зависимость: Представив кои контравариантные компоненты девиатора деформаций в развернутом виде, получим следующие дифференциальные зависимости: ¶E11 = 1 - 2 I (ε) - 1 g ¶I1 (ε) ; ¶σ 2 é ¶ε σ æ 21 21 21 ¶g i 22 21 ¶ε 3 1 3 11 ¶ε = ¶ε 3 C ç êD¶ε 22 + i g g ε +2ε11 g + ¶ε 11 11 11 ë 11 i è 11 ¶E11 ¶ε = - 1 g 3 11 ¶I1 (ε) ; ¶ε +2ε22 g ¶g 22 æ ¶g 21 + 2ε12 ç g ¶g 22 § g ööù ÷÷ú + 22 22 21 22 22 ¶ε ¶ε ¶ε ¶E11 ¶ε = - 1 g 3 11 ¶I1 (ε) ; ¶ε 11 è ç ÷ i 22 +æ - 2 ö D ¶ε B + 11 11 øøû 12 12 è 9 ø ¶ε11 ¶E11 ¶ε = - 1 g 3 11 ¶I1 (ε) ; ¶ε æ +M g11 g 22 + ε æ ¶g 11 ¶g 22 g 22 + g11 ö + 33 33 ç 11 ç ¶ε ¶ε ÷ ¶E22 ¶ε = - 1 g 3 22 ¶I1 (ε) ; ¶ε è æ ¶g è 22 ¶g 11 11 ø 12 ö 12 22 11 11 +2ε g + g + 12 ç ÷ ¶E22 = 1 - 2 I ¶ε 3 1 (ε) - 1 g 3 22 ¶I1 (ε) ;. ¶ε è ¶ε11 22 ¶g ¶ε11 ø 33 ¶g ö 22 22 22 22 +2ε g ¶ε ¶ε § ε g ; ............................................................. 22 33 11 ÷ 11 ø ¶E = g 33 g 33 + 2ε g 33 ¶g - ........................................................................................ 33 33 ¶ε33 33 ¶ε33 ¶σ33 2 = D ¶εi C33 o 2 σi æ 33 ç g33 g33 + 2ε ¶g33 ö g33 ÷ - 33 1 ( ) ¶g 1 33 ¶I1 (ε) ¶ε33 3 ¶ε33 3 εi è ¶ε33 ø § I ε - g . 3 1 ¶ε 3 ¶ε (8) 33 33 33 33 2 ¶ε § D i B æ § M ε g11 ¶g § 2ε g12 ¶g + Принимая во внимание (6), (7) и (8), можно 33 9 ¶ε33 ¶ε ç 11 12 è 33 ¶ε33 определить входящие в (5) частные производные 22 ¶g ¶g ö 22 33 33 33 33 ¶sab ¶eij , например: +ε22 g ¶ε33 o g g + 2ε33 g ¶ε ÷, 33 ø ¶σ11 2 é ¶ε σ æ ¶g11 = ê D i C11 + 11 i ç g11 g11 + 2ε g11 + где D = (E o E ) ε ; K M = - 2 σi ; ¶ε11 3 êë ¶ε11 εi è ¶ε11 K C i 3 9 εi 2ε g12 ¶g 2ε æ ¶g g12 ¶g g11 ö öù 11 11 12 12 11 12 12 11 12 C11 = g g ε11 + g g ε22 + 2g g ε12 ; + 22 + ¶ε11 12 ç è ¶ε11 + ¶ε11 ÷ ÷÷ú + ø øúû B = ε g11 g11 + 2ε g12 g11 + ε g 22 g11 + ε g33 g11 ; æ +M g11 g11 + 2ε 11 g11 ¶g + 11 11 12 22 33 21 21 22 22 21 22 ç 11 C = g g ε o g g ε o 2g g ε ; è ¶ε11 12 11 22 11 22 12 11 22 12 22 22 22 33 22 +2ε æ ¶g g11 + ¶g g12 ö + B22 = ε11 g g o 2ε12 g g o ε22 g g o ε33 g g ; 12 ç ÷ è ¶ε11 ¶ε11 ø C = g33 g33ε ; +ε æ ¶g 22 ¶g11 g11 + g 22 ö + 33 33 11 33 12 33 22 33 33 33 22 ç ÷ B33 = ε11 g g o 2ε12 g g o ε22 g g o ε33 g g . è ¶ε11 ¶ε11 ø o ε g 33 ¶g11 ö + æ - 2 ö D ¶εi B ; Соотношения (8) представим в виде матрич- 33 ÷ ç ÷ 11 ного произведения ¶ε11 ø è 9 ø ¶ε11 ............................................................................. {Ds}= [d ]{De*}, (9) ¶σ11 = 2 D ¶εi C + æ - 2 ö D ¶εi B + 3´1 3´4 4´1 ¶ε 3 ¶ε 11 22 12 33 11 ç 9 ÷ ¶ε 11 T 33 33 è ø 33 где {Dε *} = {Dε Dε 2Dε Dε }; æ M g 33 g11 33 ε g11 ¶g ö; { }T { 11 22 12 } + çç è ¶ε + 33 ÷ 33 ø Dσ = Dσ Dσ Dσ . Учитывая общепринятую в теории тонких оболочек гипотезу о приравнивании нулю нормальных напряжений в направлении нормали к срединной поверхности, запишем равенство Между первыми инвариантами тензоров приращений деформаций и приращений напряжений может быть установлена следующая зависимость: 33 33 P(Dε) = 1 - 2 ν P(Dσ). (16) Dσ33 = ¶σ Dε + ¶σ Dε + E ¶σ33 ¶ε ¶ε11 11 22 22 ¶σ33 Соотношение (15) с учетом (16) запишем в виде + ¶ε Dε12 + ¶ε Dε33 = 0. (10) 12 33 Dε = 3 1 Dσ o P(Dσ)g A, (17) Из соотношения (10) получим выражение ij 2 EK ij ij æ ¶σ33 ¶σ33 ¶σ33 ö æ ¶σ33 ö æ1- 2 ν 1 ö Dε33 = ç ¶ε Dε11 + ¶ε Dε22 + ¶ε Dε12 ÷ ç ¶ε ÷, (11) где A = çç - ÷÷. è 11 22 12 ø è 33 ø è 3E 2EK ø которое можно представить в матричном виде T В развернутой форме выражения (17) примут Dε33 = {b} {Dε}, 1´3 3´1 (12) следующий вид: где {De}T = {De11 De2 De12}. D ε = æ 3 1 + g g11 AöD σ + 11 ç 2 E 11 ÷ 11 С учетом (12) скомпонуем матричную зависимость è K ø {De*}= [a]{De}, (13) 22 12 +g11g AD σ22 + g11 2g AD σ12 ; 4´1 4´3 3´1 = g g AD σ D ε + 11 22 22 11 é1 0 0 T ê b1 ù ú + æ 3 1 ç ÷ o g g22 AöD σ + g 2g12 AD σ ; где [a] 3´4 = ê0 1 0 êë0 0 1 b2 ú. b3 úû è 2 EK 22 22 22 12 ø D ε = g g11 AD σ o g g22 AD σ + С учетом (13) выражение (9) можно предста- 12 12 11 12 22 вить следующим образом: {Ds}= [CI ]{De}, (14) ç 12 +æ 3 1 + g è 2 EK 2g12 AöD σ . ÷ 12 ø (18) 3´1 3´3 3´1 где [CI ]= [d][a] - матрица пластичности на (j+1)-м шаге нагружения. Соотношения (18) могут быть представлены в матричной форме {D ε}= [T ]{D σ}, (19) 2. Матрица пластичности на (j+1)-м шаге нагружения на основе гипотезы о пропорциональности 3´1 3´3 3´1 компонент девиатора приращений напряжений компонентам девиатора приращений деформаций Принимая во внимание гипотезу о пропорциональности компонент девиатора приращений напрягде {D σ}T = {D σ11 D σ22 D σ12}. Выполняя операцию обращения из (19) можно получить матрицу пластичности на (j+1)-м шаге нагружения: жений компонентам девиатора приращений дефор- {D σ}= [CII ]{D ε}, (20) маций, запишем следующее соотношение 3´1 3´3 3´1 1 D ε - P (Dε) g i ( 3 Dε = Dσ -1 P(Dσ)g ), (15) где [CII ] = [T ]-1. ij 3 i ij 2 Dσ ij 3 ij Сопоставляя между собой (14) и (20) отметим, где P (Dε) = Dε ij ij gij = Dεij g ; что процедура получения [CII ]значительно упрощается по сравнению с [CI ], что в свою очередь P (Dσ) = Dσ ij ij gij = Dσij g . облегчает программную реализацию вычислительного алгоритма. 3. Конечный элемент тонкой оболочки где {ψ}T = {ψ1 ψ2 ...ψ12} содержит произведения Срединная поверхность тонкой оболочки представлена ансамблем четырехугольных конечных элементов с узлами i, j, k, l, расположенными в вершинах четырехугольников. При формировании матрицы жесткости конечного элемента используются две системы координат: глобальная система Эрмитовых полиномов третьего порядка. Выполняя последовательное дифференцирование (24) по θ1 , θ2 , можно получить первые и вторые производные приращений компонент вектора перемещения, например: криволинейных координат θ1 , θ2 , связанная с гео- ({ }T { }T ){ L } Dq = × + × η Dq ,θ метрическими параметрами срединной поверхно- ,θ1 ψ,ξ ξ 1 ψ,η ,θ1 y ; сти, и локальная система координат -1 £ ξ , η £ 1 , применяемая для реализации процедуры численного интегрирования по площади элемента с помощью квадратуры Гаусса. { } (ξ ψ æ T × ç ,ξξ ,θ1 η ç T ) 2 + ö ÷ 2 ÷ Связь между глобальными θ1 , θ2 и локальны- ç } ξ η Dq = +{ψ ,ηη} × ( ,θ1 ) + ÷{D L }. ÷ ,θ1θ1 ç ÷ qy (25) ми ξ , η координатами устанавливается зависи- ç +2{ψ T × ,ξη ,θ1 + ,θ1 мостью ç ÷ ç +{ψ,ξ } × ξ 1 1 +{ψ,η} × η 1 1 ÷ θα = (1- ξ) (1- η) θαi + (1+ ξ) (1- η) θα j + T T è ,θ θ ,θ θ ø 2 2 2 2 (1+ ξ) (1+ η) α k (1-ξ) (1+ η) αl o θ + θ , 2 2 2 2 где α принимает значения 1, 2. (21) Дальнейшая процедура формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента и столбца узловых усилий на (j+1)-м шаге нагружения осуществляется стандартным для МКЭ образом [14-19]. Столбцы узловых неизвестных конечного элемента на (j+1)-м шаге нагружения в глобальной и локальной системах координат были выбраны в следующем виде: 4. Пример расчета В качестве примера решена задача об определении НДС цилиндра, жестко защемленного по левому торцу, загруженного внутренним давлением G T ïì G T G T G T ïü интенсивности q . Правый торец свободен. Приняты {DU y } = í{Duy } {Dvy } {Dwy } ý; (22) 1´36 ïî 1´12 1´12 1´12 ïþ следующие исходные данные: радиус цилиндра R = 0,9 м; длина образующей L = 0,8 м; толщина } y {DU L T { ìï = í Du y L }T {Dv y L }T {Dw L } T ïü y ý, (23) стенки t = 0,01 м; модуль упругости E =7,5×104 МПа; 1´36 ïî 1´12 1´12 1´12 ïþ коэффициент Пуассона ν = 0,32 . Диаграмма деформирования задана в виде двухзвенной ломаной с где {Dq } ={q q q q q 1 q 1 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 2 } ; пределом текучести σT = 200 Мпа. Кривая упроч- G T y 1´12 L T i j k l i j k l i j k l ,θ ,θ ,θ ,θ ,θ ,θ ,θ ,θ i j k l i j k l i j k l нения задана уравнением σi = (εi - 0,0023496)×18087,03 + 200,0. (26) {Dqy } 1´12 = {q q q q q,ξ q,ξ q,ξ q,ξ q,η q,η q,η q,η}. Расчеты выполнены по двум вариантам. В пер- Здесь под Dq понимается приращение тангенвом варианте при формировании матрицы жесткоциальных Du , Dv или приращение нормальной сти конечного элемента на (j+1)-м шаге нагружекомпоненты Dw вектора перемещения на (j+1)-м ния использована матрица пластичности в виде (14); шаге нагружения. Приращение компоненты вектора перемещения точки внутренней области конечного элемента интерполируется через узловые значения приращений этой же компоненты с помощью зависимостей вида во втором варианте применена матрица пластичности, полученная в соответствие с (20). Результаты повариантных расчетов показаны в таблице, в которой приведены численные значения нормальных напряжений на внутренней σв и наружной σн поверхностях цилиндра в жесткой заделке ( x = 0,0 м) y Dq = {ψ}T {DqL }, (24) и на свободном торце ( x = 0,8 м) в зависимости от 1´12 12´1 количества шагов нагружения. Как видно из таблицы, нормальные напряжения в жесткой заделке в первом варианте имеют меньшие, примерно на 20 %, значения по сравнению со вторым вариантом. Нормальные напряжения на свободном торце в обоих вариантах практически совпадают и соответствуют условиям равновесия. Меридиональные напряжения σм должны быть равны нулю, так как горизонтальная нагрузка отсутствует, а кольцевые напряжения на свободном торце могут быть вычислены по формуле σк = qR t = 2,5МПа× 0,9м 0,01м = 225,0 МПа , что и наблюдается в обоих вариантах расчета. Численные значения нормальных напряжений в сечениях цилиндрической оболочки [Table. Numerical values of normal stresses in sections of a cylindrical shell] Таблица Сечение [Section] Опорное, x = 0,0 м [Support, x = 0,0 м] Свободный торец, x = 0,8 м [Free end, x = 0,8 м] Напряжения, МПа [Stress, MPa] σ в м σ н м σ в к σ н к σ в м σ н м σ в к σ н к Варианты расчета [Variants of calculation] I II Число шагов нагружения [Number of loading steps] 40 60 80 40 60 80 322,4 322,2 322,1 399,6 399,0 399,6 -322,2 -322,1 -322,0 -399,8 -399,3 -399,5 131,3 131,2 131,1 151,1 151,1 151,5 -131,2 -131,1 -131,0 -151,2 -151,2 -151,4 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 225,04 225,04 225,04 224,99 224,99 224,99 225,04 225,04 225,04 224,99 224,99 224,99 Вывод Способ получения матрицы пластичности (15)-(20) на (j+1)-м шаге нагружения, основанный на гипотезе о пропорциональности компонент девиаторов приращений напряжений компонентам девиаторов приращений деформаций, является более предпочтительным по сравнению со способом (5)-(14), в котором для получения определяющих соотношений на шаге нагружения выполняется дополнительная операция дифференцирования полных напряжений по компонентам деформаций, приводящая к снижению корректности поставленной задачи.

×

Об авторах

Юрий Васильевич Клочков

Волгоградский государственный аграрный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-код: 9436-3693

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики

Российская Федерация, 400002, Волгоград, Университетский пр., 26

Анатолий Петрович Николаев

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-код: 2653-5484

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры прикладной геодезии, природообустройства и водопользования

Российская Федерация, 400002, Волгоград, Университетский пр., 26

Ольга Владимировна Вахнина

Волгоградский государственный аграрный университет

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-код: 3593-0159

кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики

Российская Федерация, 400002, Волгоград, Университетский пр., 26

Михаил Юрьевич Клочков

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Email: klotchkov@bk.ru
SPIN-код: 2767-3955

студент третьего курса физического факультета

Российская Федерация, 119991, Москва, Ленинские горы, 1

Список литературы

  1. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести: учебник для студентов втузов. М.: Машиностроение, 1968. 400 с.
  2. Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2011. 419 с.
  3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1976. 574 с.
  4. Solodovnikov A.S., Sheshenin S.V. Numerical study of strength properties for a composite material with short reinforcing fibers // Moscow University Mechanics Bulletin. 2017. Vol. 72. No. 4. Pp. 94-100.
  5. Storozhuk E.A., Chernyshenko I.S., Yatsura A.V. Stress-Strain State Near a Hole in a Shear-Compliant Composite Cylindrical Shell with Elliptical Cross-Section // International Applied Mechanics. 2018. Vol. 54. No. 5. Pp. 559-567.
  6. Storozhuk E.A., Yatsura A.V. Analytical-numerical solution of static problems for noncircular cylindrical shells of variable thickness // International Applied Mechanics. 2017. Vol. 53. Issue 3. Pp. 313-325.
  7. Пятикрестовский К.П., Соколов Б.С., Травуш В.И. Современные критерии прочности древесины и возможности программирования расчета комплексных конструкций при сложном напряженном состоянии // Academia. Архитектура и строительство. 2015. № 3. С. 125-131.
  8. Kayumov R.A. Postbuckling behavior of compressed rods in an elastic medium // Mechanics of Solids. 2017. Vol. 52. No. 5. Pp. 575-580.
  9. Galishnikova V.V., Pahl P.Ja. Constrained construction of planar Delaunay triangulations without flipping // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т. 14. № 2. С. 154-174.
  10. Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Султанов Л.У. Численное исследование конечных деформаций гиперупругих тел. IV. Конечноэлементная реализация. Примеры решения задач // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 2010. Т. 152. № 4. С. 115-126.
  11. Хайруллин Ф.С., Мингалиев Д.Д. Расчет тонких оболочек с использованием аппроксимирующих функций различного порядка // Вестник Казанского технологического университета. 2017. Т. 20. № 14. С. 102-104.
  12. Paimushin V.N., Kholmogorov S.A. Physical-mechanical properties of a fiber-reinforced composite based on an elur-p carbon tape and XT-118 binder // Mechanics of Composite Materials. 2018. Vol. 54. No. 1. Pp. 2-12.
  13. Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Определяющие соотношения для нелинейно упругих тел и их реализация в расчете осесимметрично нагруженных оболочек вращения на основе смешанного МКЭ // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физикоматематические науки. 2015. Т. 157. № 2. С. 28-39.
  14. Якупов С.Н., Киямов Х.Г., Якупов Н.М., Хасанова Л.И., Бикмухамметов И.И. Эффект концентрации напряжений в стержне прямоугольного сечения в области крепления от продольных усилий // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2018. Т. 14. № 6. С. 451-458.
  15. Agapov V., Golovanov R. Comparative analysis of the simplest finite elements of plates in bending // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2018. Vol. 692. Pp. 1009-1016.
  16. Nguyen Nhung, Waas Anthonym. Nonlinear, finite deformation, finite element analysis // ZAMP. Z. Angew. Math. and Phys. 2016. Vol. 67. No. 9. Pp. 35/1- 35/24.
  17. Lei Z., Gillot F., Jezequel L. Developments of the mixed grid isogeometric Reissner - Mindlin shell: serendipity basis and modified reduced quadrature // Int. J. Mech. 2015. Vol. 54. Pp. 105-119.
  18. Hanslo P., Larson M.G., Larson F. Tangential differential calculus and the finite element modeling of a large deformation elastic membrane problem // Comput. Mech. 2015. Vol. 56. No. 1. Pp. 87-95.
  19. Yamashita Hirok, Valkeapaa Antti I., Jayakumar Paramsothy, Syqiyama Hiroyuki. Continuum mechanics based bilinear shear deformable shell element using absolute nodal coordinate formulation // Trans. ASME. J. Comput. and Nonlinear Dyn. 2015. Vol. 10. № 5. Pp. 051012/1051012/9.

© Клочков Ю.В., Николаев А.П., Вахнина О.В., Клочков М.Ю., 2019

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Данный сайт использует cookie-файлы

Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie, которые обеспечивают правильную работу сайта.

О куки-файлах