Образование поверхностей Монжа кинематическим способом в среде AutoCAD

Полный текст

Введение1 В настоящее время в строительстве широко используются классические типы оболочек, для которых имеются методы расчета на прочность. В целях достижения архитектурной выразительности и увеличения функциональности сооружений появляется необходимость в разработке и использовании оболочек более сложных геометрических форм. Поверхности, все нормали которых являются касательными к развертывающейся поверхности, 1 © Романова В.А., 2019 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License впервые описал Г. Монж [1; 2]. Эти поверхности называют резными поверхностями Монжа. Они образуются плоской кривой, расположенной в касательной плоскости к неподвижной направляющей развертывающейся поверхности, при перекатывании плоскости и кривой по неподвижной поверхности без скольжения [3]. Резные поверхности Монжа - это большой класс поверхностей, поскольку в качестве образующей может быть использована любая плоская кривая. Архитекторы все чаще обращаются к поверхностям Монжа для создания новых форм, продолжают изучать их геометрию [4; 5]. Для поверхностей Монжа разработаны способы расчета по безмоментной теории, вариационно-разностным методом и методом конечных элементов [6; 7]. 106 GEOMETRICAL INVESTIGATIONS OF MIDDLE SURFACES OF THIN SHELLS Романова В.А. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 106-116 Известна графическая иллюстрация научных данных (архитектурных, метеорологических, медицинских, биологических, геологических и др.) посредством визуализации в трехмерном пространстве, при этом изображение объемных тех возможно не только в статике, но и в динамике. Высококачественные изображения получают, используя различные виды программного обеспечения [8-13]. Формирование резных поверхностей Монжа выполняется кинематическим способом [14]. Для решения этой задачи в системе AutoCAD разрабатываются пользовательские функции на языке AutoLISP. Этот язык позволяет обращаться с помощью пользовательских функций к командам системы AutoCAD в автоматическом режиме [15; 16] и решать различные практические задачи [17; 18]. Функциональный язык AutoLISP встроен в систему AutoCAD. Программы, созданные на этом языке, используются для визуализации формирования аналитических поверхностей [19-22], если исходными данными является способ образования поверхности. Рассмотрим образование резных поверхностей Монжа, используя в качестве направляющих неподвижных поверхностей круговой цилиндр и круговой конус, а в качестве образующих - прямую линию и синусоиду. 1. Поверхность Монжа с круговой цилиндрической направляющей поверхностью и образующей прямой линией Начальное положение элементов поверхности показано на рис. 1, где - основная система координат; - система координат в плоскости Пl; Пl - плоскость, касательная к цилиндру в начальном положении; - образующая прямая, принадлежащая касательной плоскости; ℎ - высота плоскости и цилиндра; - радиус цилиндра; β - угол прямой с осью ; max - максимальная величина координаты . На участке, где поверхность образуется касательными к поверхности цилиндра, получается торсовая поверхность (рис. 2). Она касается цилиндра по кривой . В этом случае кривая m является направляющей линией, а прямая q - образующей. Кривая m строится исходя из того факта, что все точки прямой q перемещаются по эвольвентам окружностей цилиндра. Уравнение прямой в системе : () = = ∙ tan β. Угол переката определяется из соотношения ϑ = /. Эвольвенты находятся на разных уровнях в плоскостях, определяемых значением функции . Поскольку () = , координаты точек линии в системе вычисляются по уравнениям: ) = cos ϑ, = sin ϑ. Для построения линии m составлена пользовательская функция lin, представленная ниже: (defun stlin () ; Линия m на цилиндре (setq z 0.0 betag 40.0) (setq beta (/ (* betag π) 180)) (command "spline") (while (<= z h) (setq vz (/ (* z (sin beta)) (cos beta))); величина функции (setq pt (list x y z)) (setq teta (/ vz r)); угол переката (setq x (* r (cos teta)) y (* r (sin teta))); точки линии m (command pt) (setq z (+ z dz)) (command "" "" "")) Рис. 1. Начальное положение элементов поверхности [Figure 1. The initial position of the surface elements] Рис. 2. Торс [Figure 2. Thors] Процесс качения плоскости с прямой по цилиндру состоит из двух движений: вращения этой ГЕОМЕТРИЯ СРЕДИННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОБОЛОЧЕК 107 Romanova V.A. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 106-116 пары вокруг оси на угол φ и поступательного перемещения на величину , равную дуге поворота arc (рис. 3). ark = ∙ <р∙тт. l80 Угол переката всей прямой равен Внутренний цикл содержит следующие операции: · создание идентификатора слоя при каждом значении ( = 1, … , ), слой с этим именем устанавливается в качестве текущего, и выполняются указанные выше операции; · формирование набора образующих линий. Во внешнем цикле выполняется образование τmax = umax ∙ r l80. тт отсеков поверхности, для чего проводятся следующие операции: o загрузка в чертеж необходимого числа слоев; o вычерчивание элементов поверхности в начальном положении (рис.1); o выполнение операций внутреннего цикла; o образование отсеков поверхности. Рис. 3. Перекат поверхности и прямой по цилиндру [Figure 3. Roll surface and straight on the cylinder] Рис. 5. Образование первой ветви поверхности: r = 20, h = 20, = 40° [Figure 5. Formation of the first branch of the surface: r = 20, h = 20, β = 40°] Рис. 4. Образование отсеков торса [Figure 4. Education torso compartments] Образование торсовой поверхности (рис. 4) происходит, если 0 ::; ::; τmax. При φ > τmax, и если обкат цилиндра выполняется против часовой стрелки, прямая q не касается цилиндра. Образуется первая ветвь поверхности (рис. 5). Алгоритм выполнения качения включает поворот плоскости с прямой и системы координат на угол φ вокруг оси , удлинение поверхности на величину arc, перенос системы координат и прямой q по оси u на расстояние arc в сторону, противоположную качению (рис. 3). Алгоритм включает два цикла: внешний и внутренний. Рис. 6. Торс и первая ветвь поверхности: r = 10, h = 40, = 40° [Figure 6. Thors and first branch of surface: r = 10, h = 40, = 40°] По окончании работы циклов создается блок из отсеков поверхности и образующих линий. Формируется поверхность «размораживанием» слоев [23] (рис. 5). Образование поверхности показано на рис. 5. Торс и первая ветвь поверхности изображены на рис. 6, где 1 - торс, 2 - первая ветвь поверхности. 108 GEOMETRICAL INVESTIGATIONS OF MIDDLE SURFACES OF THIN SHELLS Романова В.А. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 106-116 При φ < 0 (обход цилиндра по часовой стрелке) от торса отходит вторая ветвь поверхности. Поверхности также имеют две ветви и поверхность перехода, которая образуется при тmах ::: φ ::: тmах. Поверхность перехода пред- 2 2 ставлена на рис. 9. Образование поверхности показано на рис. 10. Рис. 7. Поверхность Монжа: r = 20, h = 40, = 50° [Figure 7. The Monge surface: r = 20, h = 40, β = 50°] Полная поверхность показана на рис. 7. 1. Поверхность Монжа с круговой цилиндрической направляющей поверхностью и синусоидой в качестве меридиана Алгоритм образования этой поверхности включает те же операции, что и предыдущий, при этом в качестве образующей линии используется синусоида (рис. 8). Рис. 8. Начальное положение элементов поверхности [Figure 8. The initial position of the surface elements] Рис. 9. Поверхность перехода [Figure 9. The transition surface] Рис. 10. Образование поверхности [Figure 10. Surface formation] Рис. 11. Резная поверхность Монжа с цилиндрической направляющей поверхностью и меридианом в виде синусоиды [Figure 11. Monge carved surface with cylindrical guide surface and sinusoidal meridian Приведенный алгоритм образования поверхности с круговой цилиндрической направляющей может быть использован и для образования поверхности с любой другой плоской кривой в качестве образующей: цепной линией, циклоидой гиперболой, параболой и др. 2. Резная поверхность Монжа с конической направляющей поверхностью и образующей прямой 1. Образующая линия совпадает с направляющей конуса На рис. 12 показан перекат плоскости Ѱ и прямой по конусу. Плоскость во всех положениях касается конуса, а точка перемещается по кривой . Начальное положение элементов поверхности изображено на рис. 13. ГЕОМЕТРИЯ СРЕДИННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОБОЛОЧЕК 109 Romanova V.A. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 106-116 ∗ с осью l является углом качения плоскости. Из условия качения без скольжения длины дуг контакта конуса и плоскости равны, т.е. -- = --∗, следовательно, OB ∙ φ = AB ∙ τ, где OB величина радиуса основания конуса; AB длина образующей конуса. Для определения координат точки ∗ удобно задавать угол φ поворота плоскости вокруг оси . Тогда угол τ определяется из соотношения OB Рис. 12. Качение плоскости с кривой по конусу [Figure 13. Rolling a plane with a curve along a cone] τ = φ ∙ jAB. (1) Координаты точки ∗ в подвижной системе координат вычисляются по формулам Рис. 13. Начальное положение элементов поверхности [Figure 12. The initial position of the surface elements] На рис. 14 показано положение плоскости Ѱ и расположенной на ней прямой при качении плоскости без скольжения по конусу. Рис. 14. Перекат плоскости и прямой по конусу [Figure 14. Roll the plane and line AB on the cone] Новая линия контакта конуса и плоскости - прямая . Ось l подвижной системы координат совмещена с прямой . Произошел поворот образующей конуса и оси l на угол φ вокруг оси . Положение точки B на плоскости осталось прежним, теперь она обозначена ∗. Угол прямой l = AB ∗ cos τ, l = AB ∗ sin τ. (2) Координаты точки ∗(B, B , B ) в неподвижной системе определяются из выражений, полученных преобразованием координат и имеющих вид B(∗ AB ((∗ ( sin τ) (cos φ))(∗ (cos τ)(sin β)(sin φ)))), B = (∗ AB (+(∗ (cos τ)(sin β)(cos φ)) ((sin τ)(sin φ)))), (3) B = ((* AB (cos τ)(cos β)) ℎcon), где β - угол между осью конуса и его образующей; ℎcon - высота конуса. Поскольку точка движется по эвольвенте, ее нормальная плоскость совпадает с касательной плоскостью Ѱ, которая во всех положениях проходит через вершину конуса [5]. В этом случае кривая, по которой движется точка , является сферической эвольвентой. Ее точки находятся на сфере радиуса , а сама поверхность находится внутри сферы (рис. 15). Рис. 15. Поверхность Монжа находится внутри сферы [Figure 15. The Monge surface is located inside the sphere] 110 GEOMETRICAL INVESTIGATIONS OF MIDDLE SURFACES OF THIN SHELLS Романова В.А. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 106-116 Координаты точки вычисляются по формулам аналогичным (3) путем замены параметра AB на параметр AC . Полученные формулы дают возможность вычертить образующую при любом положении поверхности Ѱ. Это позволяет организовать цикл, в котором на каждом шаге вычерчивается образующая и формируется отсек поверхности. Сама поверхность образуется описанным выше способом. 2. Образующая линия расположена под углом к направляющей конуса Начальное положение образующей , конуса и плоскости Ѱ в случае, когда образующая прямая расположена под углом τ0 к радиусу , показано на рис. 16. Рис. 16. Начальное положение элементов поверхности [Figure 16. Initial position of surface features] Угол переката τ0 для точки определяется по формуле (1), а для точки - из соотношения τC = τ0 + τB . (4) Рис. 17. Положение точек и в системе координат A. [Figure 17. The position of points B and C in the A.coordinate system] Координаты точки определяются по формулам (3), а для определения координат точки формулы (3) преобразуются с учетом выражения (4). Положение точек и в системе координат показано на рис. 17. Алгоритм образования отсеков поверхности повторяет предыдущий. 1. Образование резной поверхности Монжа с применением двух вращений Поверхность Монжа можно также построить, если представить перекат плоскости Ѱ и расположенной на ней прямой как вращение этой пары вокруг оси на угол φ в неподвижной системе координат и поворот прямой в подвижной системе координат lll плоскости Ѱ на угол τ вокруг оси l. В результате этих двух вращений точка 0, расположенная в плоскости Ѱ, при φ = 0 перемещается в точку ∗, расположенную на конусе, а затем в точку , расположенную в повернутой на угол φ плоскости Ѱ (рис. 18). Точка 0 перемещается сначала в точку ∗, а затем в точку . Между радиусами точек ∗ и угол равен τ. Рис. 18. Качение плоскости Ѱ и прямой по конусу [Figure 18. Rolling the plane Ѱ and the straight line AB with a cone] Рис. 19. Отсеки поверхности разделены копиями образующих [Figure 19. Surface compartments are separated by generators] ГЕОМЕТРИЯ СРЕДИННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОБОЛОЧЕК 111 Romanova V.A. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 106-116 В этом случае алгоритм образования отсеков поверхности может быть представлен следующим образом. Предварительно вычерчиваются элементы поверхности в начальном положении. В цикле выполняются следующие операции: o вращение поверхности Ѱ и прямой на угол ∆φ в системе координат ; o установка системы координат 1A11 в плоскости Ѱ; o копирование образующей ; o вращение копии ∗∗ на угол τ; o возврат к системе координат . Результат - набор отсеков поверхности (рис. 19). Рис. 20. Образование поверхности Монжа ( - образующая линия) [Figure 20. Formation of the Monge surface (q - the generatrix)] Рис. 21. Поверхность Монжа (повернуто на 90°) [Figure 21. The surface of Monge (rotated by 90°)] Образование поверхности выполняется методом «размораживания». На рис. 20 представлено формирование образующей второй ветви поверхности. На рис. 21 изображена резная поверхность Монжа. 5. Резная поверхность Монжа с конической направляющей поверхностью и образующей синусоидой Начальное положение элементов поверхности представлено на рис. 22. Образующей является синусоида: sin φ, где - задаваемая амплитуда синусоиды; φ - угол, вычисляемый из выражения: φ = пх при -.5 -.5 . ВС Рис. 22. Начальное положение элементов поверхности [Figure 22. The initial position of the surface elements] Алгоритм формирования поверхности предусматривает, как и в предыдущем примере, выполнение в цикле операций по созданию набора отсеков поверхности (рис. 23): o вращение поверхности Ѱ и синусоиды на угол ∆φ в системе координат ; o вращение синусоиды на угол τ. Рис. 23. Набор отсеков поверхности [Figure 23. A set of surface compartments] Отсеки поверхности разделены образующими линиями. Образующие линии подчеркивают форму поверхности, ее выпуклые и вогнутые участки. 112 GEOMETRICAL INVESTIGATIONS OF MIDDLE SURFACES OF THIN SHELLS Романова В.А. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 2. С. 106-116 Если отношение длины образующей конуса к lAB его радиусу является целым числом, поr верхность имеет две сходящиеся ветви (рис. 26). Рис. 24. Образование поверхности [Figure 24. Surface formation] Рис. 25. Ветвь поверхности (вид сверху: n = 1, A = 10) [Figure 25. A branch of the surface (top view: n = 1, A = 10] Рис. 26. Две ветви поверхности (вид сверху) [Figure 26. Two branches of the surface (top view)] Во втором цикле выполняется поэтапное формирование поверхности (рис. 24) описанным выше способом. На рис. 25 представлена одна ветвь поверхности (вид сверху). Рис. 27. Резная поверхность Монжа: n = 3, A = 4 [Figure 27. Carved surface of Monge: n = 3, A = 4] Рис. 28. Поверхность образована при n = 5, A = 8 [Figure 28. The surface is formed when n = 5, A = 8] На рис. 27 и рис. 28 показаны разновидности поверхности 3, 4 и 5, 8 . На рис. 29 изображена поверхность Монжа, состоящая из двух ветвей. Заключение Результатом проведенной работы является создание алгоритмов и программ на языке AutoLISP для образования наборов отсеков следующих резных поверхностей Монжа: · с круговой цилиндрической направляющей поверхностью и образующей прямой линией; · с круговой цилиндрической направляющей поверхностью и синусоидой в качестве меридиана; · с конической направляющей поверхностью и образующей прямой; · с конической направляющей поверхностью и образующей синусоидой. ГЕОМЕТРИЯ СРЕДИННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ОБОЛОЧЕК 113 Romanova V.A. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings, 2019, 15(2), 106-116 Создана программа для визуализации формирования указанных поверхностей посредством последовательного изображения отсеков на экране монитора. Представлены рисунки резной поверхности Монжа. Создан мини-фильм об образовании поверхности Монжа при качении плоскости с прямой линией по круговому конусу.

Об авторах

Викторина Анатольевна Романова

Автор, ответственный за переписку.
Email: v.a.r-victoryna@mail.ru

доцент, Российский университет дружбы народов. Область научных интересов: визуализация проектирования механизмов и образование аналитических поверхностей в среде AutoCAD с применением программ на языке AutoLISP.

Список литературы