Асимптотический анализ собственных частот осесимметрических колебаний ортотропных цилиндрических оболочек в бесконечной упругой среде, заполненной жидкостью

Полный текст

Введение Статья посвящена осесимметричному колебанию цилиндрической ортотропной оболочки бесконечной длины, контактирующей с бесконечной упругой средой и заполненной жидкостью. Предполагая, что жесткость материала оболочки немного больше жесткости материала среды проведен анализ частоты и формы колебаний оболочки. Ввод параметра, определяющего оптимальность подкрепления, привел к оптимизации параметров оболочек, усиленных перекрестной системой ребер и заполненных жидкостью. Исследовано влияние степени сжимаемости жидкости на частоты свободных осесимметричных колебаний ребристых цилиндрических оболочек, заполненных жидкостью [1-6]. Постановка задачи This work is licensed under a Creative Commons оболочки по моментной теории имеет вид [7] Attribution 4.0 International License Система уравнений свободных осесимметричных колебаний тонкой упругой ортотропной 2u w XR2 a1 2  a12  , x x G12h u 2 4w 4w ZR2 x x x G h12 a12 a w b a2  [ 1 4 a1 4 ]  0, (1) 2w 2w где X  qx ρh 2 ; Z  qz ρh 2 , qx , qz - t t компоненты контактного давления со стороны упругой среды и жидкости на оболочку; R, h - радиус и толщина оболочки соответственно; Ei a12 a2121 a212 ; u, w - ai  ; G12 (11221) компоненты перемещений срединной поверхности оболочки; 21,12 - коэффициенты Пуассона ортотропного материала оболочки; Ei , G12 - модули упругости при растяжении и сдвиге; х - продольная координата , t - время; ρ- плотность материала оболочки. Векторное уравнение гармонических колебаний изотропной упругой среды таково [8] ur ur ur ac2qraddivS at2rotrotS ω2S  0, (2) где ac2  (λs 2μ )S / ρ ,S at2  μ / ρS S - квадраты скоростей распространения продольных и поперечных волн; S  S(S x ,St ) - вектор смещения; ρS - плотность; λ , μs S - упругие постоянные Ламе; ω - искомая частота. Линеаризованное волновое уравнение, описывающее распространение малых возмущений в идеальной сжимаемой жидкости имеет вид [2] 1 2φ 2  φ 2 2  0, (3) a t где φ - потенциал жидкости; а - скорость распространения звука в жидкости. Уравнения движения оболочки (1), среды (2) и жидкости (3) дополняются контактными условиями. На контактной поверхности среды и оболочки ставятся условия равенства компонентов перемещений S x  u, St  w (r  R), (4) и равенства давления 2u X1  σrx ρh 2 , t (5) 2w Z1  σ ρh 2 (r  R), t где X1, Z1 - давление со стороны оболочки на среду. На контактной поверхности оболочка - жидкость соблюдается непрерывность радиальных скоростей и давления, а также отсутствие тангенциальных напряжений w t 1  , Z2 p, X2  0 (r  R), (6) где Х2, Z2 - давление со стороны оболочки на жидкость; Р - давление. Компоненты поверхностного усилия X, Y, Z, отнесенного к единице площади, определяются следующим образом: X  X1  X2, Z  Z1 Z2. (7) Кроме того, требуется, чтобы компоненты вектора перемещений среды Sx, Sr при r  и потенциал жидкости Ф при r = 0 были конечными. Дополняя контактными условиями (4)-(6) уравнения движения оболочки (6), среды (2) и жидкости (3), приходим к контактной задаче о свободных осесимметричных колебаниях оболочки с жидкостью в бесконечной упругой среде. Другими словами, задача о свободных осесимметричных колебаниях оболочки с жидкостью в упругой среде сводится к совместному интегрированию уравнений теории оболочек, среды и жидкости при выполнении указанных условий на поверхности их контакта. Метод решения Решения уравнения движения оболочки (1) будем искать в виде [2; 12] u  Acoskxsinω ,t (8) w  Csinkxsinω ,t mπ где А, С - постоянные; k  , m - число полу2 волн в направлении образующей цилиндра. Решение уравнений движения среды будем рассматривать в двух вариантах: а - инерционное воздействие среды на процесс колебаний рассмотренной системы незначительно; в - влиянием инерции среды на процесс колебаний пренебрегать нельзя. Приведем решения уравнения движения среды [2; 11]: Сейфуллаев Ф.А., Мирзоева Г.Р., Керимова Ш.А. Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2019. Т. 15. № 1. С. 69-74 в случае а Sx k rK kr2 1( )4(11)kK kr A0 ( ) s kK kr B0 ( ) 0 coskxsinω ,t (9) Sr   k rK kr A2 0 ( ) s kK kr B1( ) s kK kr B0 ( ) 0 sinkxsinω ,t в случае в  γ12  Sx kK0 (γ )1r As  K0 (γ )1r Cs coskxsinω ,t  μ1  (10)  γ12  Sr   γ1 1k (γ )1r As  K1(γ )1r Cs sinkxsinω ,t  μ1  где K0, K1 - модифицированная функция Бессеπ ля нулевого и первого порядка рода [3]; - k длина полуволн вдоль образующей цилиндра; Аs, Bs - постоянные, подлежащие определению, ω w μt  ; μc  , at a1 2 2 2 2 ω 2 2 ω γt  k at2 ; γc  k ac2 . Потенциал жидкости φ , являющийся решением уравнения Гельмгольца [2; 10], в виде φ A Ip 0(γ)sinkxsinω ,t (11) 2 2 2 ω где Ap - постоянная , γ  k 2 , I0 - модиa фицированная функция Бесселя нулевого порядка первого рода [9; 6]. Акустическое давления Р и радиальная скорость 1 в жидкости определяются следующим образом [8; 13-15]: φ φ P ρ0 , r  . (12) t r Используя уравнение движения оболочки (1) и его решение (8), а также решения уравнений движения среды (2), (10) и жидкости (11), получим систему однородных алгебраических уравнений относительно постоянных А, С, Аs, Cs, At, из условия существования нетривиальных решений которых, приравнивая главные определители системы нулю, приходим к частному уравнению относительно искомой частоты колебаний системы оболочка - среда - жидкость: det aij  0 в случае а (13) (i, j 1,2,....5) det a~ij  0 в случае в (14) (i, j 1,2,....5) Численные результаты и их анализ Частотные уравнения (13) и (14) реализованы численно. Для исходных данных принято: E1  2,4; s  0,3; E2 E3  2 10 4 н/м ρ2 s  6,4 г/см ;3 ρ0 1 г/см , 3 а1800 м/с; m 1. Результаты счета показаны на рисунке. На нем представлены зависимости частоты собственных осесимметричных колебаний системы от волнообразования m в продольном направлении. Рисунок. Зависимость частоты собственных осесимметричных колебаний системы от волнообразования m в продольном направлении [Figure. Dependence of the natural oscillation frequency of the system on the wave formation m in the longitudinal direction] Из рисунка видно, что с увеличением m и E1/E2 собственные частоты осесимметричных колебаний системы увеличиваются. Заключение Полученные математические результаты представлены на рисунке, отображающем зависимость частоты собственных осесимметричных колебаний системы от волнообразования m в продольном направлении.

Об авторах

Фамил Ализаде Оглы Сейфуллаев

Национальная академия наук Азербайджана

Автор, ответственный за переписку.
Email: a.seyfullayev@yahoo.com

кандидат технических наук, старший научный сотрудник отдела волновой динамики, Институт математики и механики

Азербайджанская Республика, АZ1143, Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9

Глюнар Ровшан Кызы Мирзоева

Национальная академия наук Азербайджана

Email: gulnar.mirzayeva@gmail.com

кандидат технических наук, старший научный сотрудник отдела волновой динамики, Институт математики и механики

Азербайджанская Республика, АZ1143, Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9

Шуша Агакерим Кызы Керимова

Национальная академия наук Азербайджана

Email: shusha_az@rambler.ru

научный сотрудник отдела волновой динамики, Институт математики и механики

Азербайджанская Республика, АZ1143, Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9

Список литературы