Плоские геометрически-нелинейные волны деформаций сдвига

Полный текст

Введение Задача определения напряженного и деформированного состояний полупространства при действии на его поверхности динамических нормальных p(t) и касательных q(t) нагрузок сводится к исследованию закономерностей распространения волн деформаций в сплошной среде и определению их параметров. Для сплошной среды, механическое поведение которой описывается уравнениями теории пластического течения, либо уравнениями динамики грунтов С.С. Григоряна, либо уравнениями билинейной теории пластичности, обзор решений данной задачи изложен в монографии [1]. Исследованию закономерностей распространения двумерных продольно-поперечных волн деформаций в сплошной среде, механическое поведение которой описывается перекрестными зависимостями между первыми инвариантами тензоров и вторыми инвариантами девиаторов напряжений и деформаций с учетом и без учета геометрической нелинейности, посвящены работы [2] и [3]. Вопросы распространения плоских одномерных и двумерных волн деформаций слабого разрыва для таких сред рассматривались в работе [4]. Во многих работах последнего времени пристальное внимание уделяется вопросам распространения волн деформаций сдвига. Так, в работе [5] рассматривалось распространение сдвиговой волны в упруго-пластической среде, поведение которой описывается перекрестными зависимостями между первыми инвариантами тензоров и вторыми инвариантами девиаторов напряжений и деформаций. Ставилась задача определения возможности генерации второй гармоники сдвиговой волны, не описываемой в рамках классической теории упругости. Исходя из общих уравнений плоской задачи теории упругости в работе [6] построены уравнения уточненной теории статического и динамического изгибов длинной упругой полосы, учитывающей сдвиговые деформации. Исследование свойств образующихся волн сдвига при ударе позволило разработать новую модель разрушения высокого здания. Исследование структуры и условия реализуемости поперечных диссипативных ударных волн конечной амплитуды с учетом вязких и температурных эффектов выполнено в работе [7] на основе теории течения пластической среды при чистом сдвиге. Показано, что локализация деформаций сдвига в узких зонах с последующим образованием контактных разрывов возможна в случае температурного разупрочнения материала. Отмечено, что в рамках теории малых деформаций теория разрывных решений типа упругопластических ударных волн изучена достаточно подробно. Исследование одномерных решений, описывающих плоские продольные, поперечные сдвиговые с вращением частиц, а также крутильные волны, выполнено в работе [8]. В качестве механической модели сплошной среды рассматривалась математическая модель континуума Коссера. Вывод динамических уравнений Пусть на поверхности полупространства в направлении оси Y действует равномерно-распределенная сдвигающая нагрузка q(t), бесконечно протяженная в направлении осей Y и Z (рис. 1). Рис. 1. Расчетная схема [Figure 1. The design scheme] Полупространство будет находиться в условиях плоской деформации. Компоненты перемещений в полупространстве будут определяться соотношениями В работе [9] на основе анализа сейсмических сдвиговых волн деформаций и температуры выявu = 0, v = v ( x,t ) , w = 0. (2) ляется переходная зона от упругих к пластичным деформациям в земной коре. Решение строится методом сеток с пошаговым применением метода При этом компоненты тензора деформации при учете геометрической нелинейности, действующие в плоскости XOY, будут равны [4] Рунге - Кутты. Исследованию механического поведения алю- * ¶u ε = + 1 éæ ¶u ö2 êç ÷ + ¶v ù = 2 æ ö ç ÷ ú 2 1 æ ¶v ö ç ÷ = ε* ( x,t ) , x x миниевых сот под воздействием динамической ¶x 2 ëè ¶x ø è ¶x ø û 2 è ¶x ø мультиаксиальной нагрузки посвящена экспериментальная работа [10]. Выявлено существенное ¶v e* = + 1 éæ ¶u ö2 ê 2 æ ¶v ö ù + ú = 0, ε* = 0, влияние на напряженное-деформированное состояние алюминиевых сот угла наклона действующей y ¶y 2 ê ¶y ¶y ç ÷ ç ÷ z ëè ø è ø úû нагрузки. γ* = γ* ¶u ¶v ¶u ¶u ¶v ¶v ¶v * = + + + = = γ ( x,t ) , xy yx xy К сожалению, вопросы распространения плос- ¶y ¶x ¶x ¶y ¶x ¶y ¶x ких волн деформаций сдвига в сплошных и дис- γ* = γ* = 0, γ* = γ* = 0. (3) кретных средах с учетом геометрической нелинейности еще не получили должного внимания. В данной работе рассматриваются вопросы расyz zy zx xz Следовательно, 1 2 2 пространения плоских волн деформаций сдвига в ε* ε* ε* ε* , Г* 4 (ε* ) 3(γ* ) сплошных средах, механическое поведение кото- = x + y = x = 3 x + xy . (4) рых описывается геометрически-нелинейными аналогами произвольных перекрестных зависимостей между первыми инвариантами тензоров σ* и ε* и Физические уравнения для геометрическинелинейной модели сплошной среды при плоской деформации, как известно, имеют вид вторыми инвариантами девиаторов Т* и Г* обобщенных напряжений и деформаций: ç x σ* = æ K* + ÷ 4 G* öε* ; τ* = G* γ* ; σ* = 3K * (ε* , Г* )ε* ; T* = G* (ε* , Г* )Г* , (1) è 3 ø æ 2 ö xy xy σ* = K* - G* ε* ; τ* = 0; y ç ÷ yz где K*(ε*, Г*) - геометрически-нелинейный аналог модуля объемного расширения (сжатия); G*(ε*, Г*) - è 3 ø 2 * æ * * ö * * геометрически-нелинейный аналог модуля сдви- σz = ç K o G ÷ε ; τzx = 0. 3 (5) га [4]. è ø Подставим соотношения (5) в динамические уравнения равновесия без учета объемных сил: относительно величин ¶γ ¶v xy , y , ¶g ¶v xy , y . ¶x ¶t ¶t ¶x ¶ éæ1+ ¶u öσ* + ¶u τ* ù + Система динамических уравнений (72), (10) опи- ¶x êç ¶x ÷ x ¶y xy ú сывает процесс распространения волн деформаций ëè ø û сдвига при учете геометрической нелинейности. + ¶ éæ1+ ¶u ö τ* 2 + ¶u σ* ù = ρ ¶ u , Что касается уравнения (71), то, поскольку B ≠ 0, ¶y êç ¶x ÷ yx ¶y y ú ¶t 2 ( ) ëè ø û ¶γxy x,t = 0. (11) ¶ é¶v * æ ¶v ö * ù ¶x σ + 1+ τ + ¶x ê¶x x ç ¶y ÷ xy ú Интегрируя дифференциальное уравнение (11) ë è ø û и учитывая соотношение (81), получаем линейный ¶ é¶v * yx § τ 2 + æ1+ ¶v öσ* ù = ρ ¶ v . характер распределения перемещений v(x,t) вдоль ê ç ÷ ú (6) ¶y ë¶x è ¶y ø y û ¶t2 оси X для каждого момента времени: Принимая во внимание зависимости (1) и (4), v ( x,t ) = f (t ) x + j(t ). (12) получим два уравнения: ¶γ Постоянные (по отношению к переменной x) интегрирования f(t) и φ(t) определяются из гра- B xy ¶x = 0; ничных условий: ì 1 æ K* + 4 G* ö γ2 + γ ( Ag + B ) + · при x = 0, v (0,t ) = v0 (t ); í 2 ç 3 ÷ xy xy xy î è ø · при x = x0 , v ( x0 ,t ) = vm (t ) . æ (γ* )2 * öü ¶γ ¶v Здесь х · глубина сжимаемой толщи полуo ç C o G* + xy ¶G ÷ï xy = y . (7) 0 γxy * * ý ρ пространства; v0(t) - смещение поверхности полу- ç Г ¶Г ÷ï ¶x ¶t è øþ Здесь введены обозначения пространства в направлении оси Y; vm(t) - перемещение в направлении оси Y на глубине x = x0. Обычно на глубине сжимаемой толщи полупростран- γ = ¶v , xy ¶x v = ¶v . y ¶t (8) ства перемещения принимаются равными нулю. Определение характеристик и соотношений на них Значения коэффициентов A, B, C равны * * В матричной форме система уравнений (72), (10) имеет вид A = æ K* + 4 G* ö + æ ¶K + 4 ¶G ö ε* + ç 3 ÷ ç ¶ε* 3 ¶ε* ÷ ¶u ¶u è ø è ø А + B ¶x ¶t = 0. (13) 4 (ε* )2 + æ ¶K * 4 ¶G* ö + ; Здесь матрицы A и B равны: 3Г* ç ¶Г* 3 ¶Г* ÷ è ø éa a ù éb b ù 11 12 11 12 ε*γ* æ ¶K* 4 ¶G* ö A = ê ú , B = ê ú , xy B = ç + ÷; a a b b Г* è ¶Г* 3 ¶Г* ø причем ë 21 22 û ë 21 22 û * * * C = γ* æ ¶G + xy ç ¶ε* 3 4ε ¶G ö. Г* ¶Г* ÷ (9) a = ì 1 æ K* + 4 G* ö γ è ø 11 í 2 ç î è 3 ÷ ø 2 + γ ( Aγ + B)+ Присоединяя к уравнению (62) уравнение соæ вместности (γ* )2 xy xy xy * öü +ç C · G* + xy ¶G ÷ï ç γxy * * ÷ý; ¶γ xy = ¶vy , (10) è Г ¶Г øïþ ¶t ¶x a = 0; a = 0; a = -1; 12 21 22 получаем систему двух дифференциальных уравb = 0; b = -ρ; b = 1; b = 0. нений первого порядка в частных производных 11 12 21 22 Вектор-столбец u имеет структуру u = [γху vy]T. Характеристические кривые уравнения (13) оп- Определение скоростей волн деформаций Для определения скоростей волн деформаций - ределяются путем решения уравнения a11 αρ A-αB = 0, нестационарных поверхностей сильных разрывов вторых производных перемещений, являющихся поверхностями слабых разрывов деформаций и скоили в развернутой форме -α = 0, -1 вещественростей частиц, воспользуемся кинематическими ные решения которого задают характеристические кривые, описываемые дифференциальными уравнениями: dx и динамическими условиями совместности [11]. Пусть ω(x, t) = 0 - уравнение линии разрыва на фазовой плоскости XOt. Обозначая символом […] скачок функций при переходе через линию ω(x, t) = 0 и, применяя кинематические условия совместно- α1,2 = . dt (14) é ¶ 2 v ù ¶ω ¶ω сти ê ¶ ¶ ú = ¶ ¶ λ v к уравнению (18), по- Здесь α =+ a11 , α =- a11 . ëê x j xk úû x j xk 1 ρ 2 ρ лучим динамическое условие совместности: Дифференциальные уравнения (14) опреде- 2 é æ ¶ω ö 2 æ ¶ω ö ù ляют два семейства характеристических кривых. êa11 ç ÷ - ρ ç ÷ ú λv = 0. (19) Система уравнений (72), (10) будет гиперболического типа, если a1,2 будут вещественными. Найдем соотношения вдоль характеристических ëê è ¶x ø è ¶t ø úû Поскольку коэффициент прерывности λv ≠ 0, и учитывая, что скорость распространения линии направлений. Введем вектор l = [l1 l2 ]. Компоразрыва ω(x, t) = 0 определяется выражением 2 2 ненты вектора l являются решением уравне- N = 2 æ ¶ω ö æ ¶ω ö ç ÷ ç ÷ из соотношения (19), полуния l ×( A -αB) = 0, откуда находим чаем: è ¶t ø è ¶x ø a11l1 - αl2 = 0ü 1 2 þ αρl - l = 0. ý (15) N 2 = a11 . ρ (20) Соотношения вдоль характеристик найдем на Поскольку в главных осях γ* γ* 0, xy = * * yx = од- æ d u ö основании уравнения l × B × = 0, то есть нако ¶γ xy ¹ 0 и ¶γ xy ¹ 0, и, кроме того, для дан- ç dt ÷ ¶x ¶y è ø ной задачи γ* = γ , то l dγxy 2 dt · ρl1 dvy dt = 0. (16) xy xy a11 = G* . (21) Используя далее зависимости (15), уравнение (16) приведем к виду Таким образом, скорость распространения геометрически-нелинейных волн деформаций сдвига в главных осях однозначно определяется величиной a11 dγ ± dv = 0. (17) геометрически-нелинейного аналога модуля сдвига. ρ xy y Итак, вдоль двух семейств характеристик (14) выполняются соотношения (17). Запишем уравнение (72) в терминах перемещений. Используя соотношения (8), уравнение (72) стей Результаты численных расчетов Численные исследования приведенных скоро- ρN 2 волн деформаций сдвига с учетом гео- G0 приведем к виду ¶2v ¶v метрической нелинейности выполнялись для трех математических моделей сплошной среды. Модель 1. Механическое поведение сплошной a11 ¶x2 = ρ ¶t2 . (18) среды описывается линейным законом, то есть деформационные зависимости (1) имеют вид Уравнение (10) при этом удовлетворяется тож- * * * * дественно. o = K0 ε ; T = G0 Г . (22) Модель 2. Механическое поведение сплошной среды описывается квадратичным законом в отношении сдвиговых деформаций. Деформационные зависимости (1) в этом случае имеют вид * значения механических констант сплошной среды, ни от уровня развития деформаций. 1. Приведенные скорости волн деформаций сдвига, вычисленные для модели 2, существенно зависят от уровня развития деформированного со- σ* = K ε* ; T* = G æ1- Г ö Г* . (23) стояния: при возрастании интенсивности деформа- 0 0 ç è ÷ 2Гs ø Г ций сдвига на интервале [0, 1] значения при- Модель 3. Механическое поведение сплошной среды описывается перекрестными зависимостями между инвариантами напряженного и деформированного состояний: 2 2 Гs веденных скоростей волн деформаций сдвига монотонно убывают от 1,0 до 0,5. 2. Что касается модели 3, то значения приведенных скоростей волн деформаций сдвига су- é q æ Г* ö æ Г* ö ù щественно зависят как от значения механических * * σ = K0 ê1- êë * ç2- ε è ÷ ç ÷ úε ; Гs ø èГs ø úû 2 констант сплошной среды, так и от уровня развития деформаций. При увеличении коэффициента внутреннего трения скорости волн уменьшаются é æ Г* ö q æ Г* ö Г* ε* ù для нулевого коэффициента дилатансии (рис. 2, а). * * T = êG0 ç1- ÷+ K0 f ç2- ÷ -K0 f * úГ . (24) ëê è 2Гs ø Гs è Гs ø Гs Г û Если коэффициент дилатансии g Гs > 0, то при Модель 1 соответствует геометрически-нелинейному аналогу линейной теории упругости, модель 2 соответствует геометрически-нелинейному аналогу теории малых упруго-пластических деформаций, модель 3 соответствует геометрически-нелинейному аналогу деформационной теории пластичности сыпучей среды [4; 12]. В формулах (22), (23), (24) обозначено: K0 - начальный модуль объемного расширения (сжатия); G0 - начальный модуль сдвига при чистом сдвиге; f - аналог коэффициента внутреннего трения; q - коэффициент дилатансии; Гs - предельная интенсив- * увеличении коэффициента внутреннего трения скорости волн возрастают (рис. 2, б). При увеличении коэффициента дилатансии скорости волн также возрастают. Зависимость приведенных скоростей волн деформаций сдвига от уровня деформированного состояния неоднозначна и при возрастании интенсивности деформаций сдвига может как увеличиваться, так и уменьшаться. Если скорости распространения волн деформаций сдвига увеличиваются в процессе возрастания интенсивности деформаций сдвига (в процессе нагружения), то внутри полупространства возможно образование ударной волны (волны сильного разрыность деформаций сдвига, причем 0 £ Г Г s £ 1. ва) при непрерывных краевых условиях [13]. На рис. 2 изображены графики приведенных Исследования скоростей волн деформаций сдвига показали: 1. Для модели 1 приведенные скорости волн скоростей волн деформаций сдвига, построенные по уравнению (20), для модели 3. Значения механических констант принимались следующими: деформаций сдвига постоянны и не зависят ни от K0 = 1,1547; G0 q = 1; Гs Г s = 0,1155. a б 1 2 0.8 1.5 0.6 1 0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рис. 2. Скорости волн деформаций сдвига: а - q = 0; б - q = Гs [Figure 2. Velocities of shear strain waves: а - q = 0; б - q = Гs] На рис. 2 сплошная линия соответствует коэффициенту трения f = 0,1; штрих-пунктирная - f = 0,5; пунктирная - f = 0,9. Выводы Численные исследования показывают, что скорости распространения волн деформаций сдвига с учетом геометрической нелинейности существенно зависят как от вида математической модели, описывающей напряженно-деформированное состояние полупространства, так и от уровня напряженного и деформированного состояний в рассматриваемой точке среды, а также от величины физических констант материала сплошной среды. Заключение Приведенные в статье соотношения могут быть использованы при построении алгоритмов расчета напряженно-деформированного состояния геометрически и физически нелинейных полупространств, находящихся в условиях плоской деформации от действия на поверхности сдвигающих динамических нагрузок.

Об авторах

Сергей Васильевич Бакушев

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Автор, ответственный за переписку.
Email: bakuchsv@mail.ru

доктор технических наук, профессор кафедры механики

Российская Федерация, 440028, Пенза, ул. Германа Титова, 28

Список литературы