Частичное закрытие прямолинейной трещины, исходящей из контура кругового отверстия в стрингерной пластине

Полный текст

Введение Тонкие пластины с отверстиями являются широко распространенным элементом конструкций. Отверстие создает повышенную концентрацию напряжений в пластине. В связи с этим зарождение или развитие трещин следует ожидать с поверхности отверстия. Поэтому задачам о зарождении или развитии трещин, исходящих из контура отверстия, посвящено много работ [1-18]. Усиление пластины ребрами жесткости способствует контакту берегов трещины [19-21]. Цель работы состоит в исследовании контакта взаимодействующих берегов трещины, которая исходит из контура кругового отверстия стрингерной пластины. Постановка задачи Рассмотрим бесконечную тонкую пластину с круговым отверстием радиуса R. Пластина является упругой и изотропной и подкреплена поперечными упругими стрингерами. Стрингеры приклепаны в точках z (2m1)L iny 0 (m = Рис. 1. Расчетная схема задачи [Fig. 1. Design scheme of the problem] 0,±1,±2,…; n = ±1,±2,...) (рис. 1) с постоянным шагом по всей их длине. Из контура отверстия исходит прямолинейная трещина вдоль оси абсцисс. Полагаем, что в зоне трещины, примыкающей к вершине, между берегами происходит взаимодействие. Это взаимодействие моделируем связями между берегами трещины (силами сцепления). Физическая природа связей между берегами (сил сцепления) зависит от материала пластины, размеров трещины и зоны взаимодействия (концевой зоны). В исследуемом случае берега трещины частично сомкнулись (рис. 1). Ha бесконечности пластина подвергается однородному растяжению вдоль ребер жесткости. Полагается, что стрингеры не подвергаются изгибу и при деформации их толщина не меняется. Действие стрингеров заменяется неизвестными эквивалентными сосредоточенными силами Pmn, приложенными в точках соединения ребер с пластиной. Приняты следующие допущения: а) в пластине имеет место плоское напряженное состояние; б) пластина и стрингеры взаимодействуют друг с другом в одной плоскости и только в точках крепления; в) подкрепляющая система стрингеров ферменного типа, ослабления стрингеров из-за постановки точек крепления не происходит, напряженное состояние в них - одноосное; г) точки крепления одинаковы, а их радиус (площадка сцепления) мал по сравнению с их шагом и другими характерными размерами. Действие точки крепления моделируется: в стрингере - действием в сплошном ребре сосредоточенной силы, приложенной в точке, соответствующей центру точки крепления, в пластине - действием сосредоточенной силы. Контур кругового отверстия и берега трещины вне концевой зоны свободны от внешних усилий. В зоне контакта [l2, l1] будут возникать нормальные напряжения σy  q x( ) . Величина контактных напряжений q(x), сил сцепления p(x) и размер контактной зоны заранее неизвестны и подлежат определению в процессе решения задачи. Граничные условия в рассматриваемой задаче имеют вид: - на контуре отверстия σr iτrθ 0 при z  R; (1) - на берегах трещины σy iτxy 0 при y = 0, R x l , σy iτxy  p x( ) при y = 0, l  x < l2 , (2) σy iτxy  q x( ) при y = 0, l2  x  l1. 0 R  x  l  ( )t ( )t  t ( )t  ( )t  p( )x l  x < ,l2 (5) Для перемещений раскрытия трещины имеем условия: q x( ) l2  x  l1 v(x, 0)v(x, 0) C x p x p x( , ( )) ( ) l  x < l2 , (3) где τ  Reiθ, t - аффикс точек берегов трещины.   v (x, 0)  v (x, 0)  0 l2  x  l1, Метод решения задачи где C(x, p(x)) - эффективная податливость связей, Решение краевой задачи (4)-(5) ищем в виде зависящая от их натяжения. На основании формул Колосова - Мусхели ( )z 0 ( )z 1( )z 2 ( )z , швили [22] и граничных условий на контуре отверстия и берегах трещины (1)-(2) задача сводит ( )z 0 ( )z  1( )z 2 ( )z , (6) ся к определению двух аналитических функций ( )z и ( )z из условий где потенциалы 0(z) и 0(z) определяют поле напряжений и деформаций в сплошной стрин(τ)  (τ) τ(τ)  (τ)e2iθ  0, (4) герной пластине 1 i  1 1  0 ( )z  σ0  'Pmn   , 4 2πh(1 к) m n,  z  mL  iny0 z  mL iny0  1 iк  1 1  0 ( )z  σ0  'Pmn     (7) 2 2πh(1 κ) m n,  z  mL  iny0 z  mL iny0  i  mL iny0 mL  iny0   'Pmn  2  2 . 2πh(1 κ) m n, (z  mL iny0 ) (z  mL  iny0 )  Здесь h - толщина пластины; к (3 ) (1); ν - коэффициент Пуассона материала пластины, штрих у знака суммы означает, что при суммировании исключается индекс m = n = 0. Функции 1(z) и 1(z) ищем в виде Неизвестная функция g(x) и потенциалы 2 (z) , 2(z) должны быть определены из краевых условий (4)-(5). Для их определения представим граничное условие (4) в виде l 2(τ)   (τ) τ2(τ)  2(τ)e2iθ  1 1 g t( ) 2π R t  z l 1 1  1 t  1( )z  2πR t  z  (t  z)2  g t dt( ) , (8) 2μ d где g x( )  1к dx v(x, 0) v(x, 0) ; μ - модуль сдвига материала пластины.  *(τ)  *(τ)  e2iθ τ*(τ)  *(τ), (9) *(τ) 0(τ) 1(τ), *(τ) 0(τ) 1(τ). Для определения потенциалов 2 (z) и 2(z) воспользуемся решением Н.И. Мусхелишвили [22]. В результате имеем: 1( )z   dt, σ0 1 l1  1 t2 z  t  i 2 ( )z  2z2  R t(1 tz)  (1 tz)2  g t dt( )  2πh(1 κ)  (10) 2π   (mL iny0 )(mL iny0 ) 1 (mL iny0 )(mL iny0 ) 1  'Pmn  2  2  m n, (mL iny0 )z mL( iny0 ) 1 (mL  iny0 )z mL( iny0 ) 1  iκ  1 1   ' Pmn   , 2πh(1κ) m n, z z mL ( iny0 ) 1 z z mL ( iny0 ) 1  σ0 2 ( )z 2 ( )z 1 l1  2 t t z2  z  t 2 (t z  t) i 2 ( )z  2  2  2     2  3  g t dt( )   2z z z 2πz R tz z(1 tz) z(1 tz) (1 tz)  2πh(1 κ)z  1 1 1 1  'Pmn     . m n, z mL( iny0 ) 1 z mL( iny0 ) 1 z mL( iny0 ) z mL( iny0 ) В формулах (10) все линейные размеры отму условию (5) на берегах трещины, получим несены к радиусу кругового отверстия R. Тресингулярное интегральное уравнение относибуя, чтобы функции (6) удовлетворяли краевотельно g(x): l l 1 1 g t( ) 1 1  dt   K t x g t dt( , ) ( )  f0( )x  f x1( )  p x( ), (11)  R t  x  R x t 1 1 2 (t x t)(x2 1) 2x3   x 2t 2t x2  x t3 2  K t x( , )  2  2   3  2 2 , xt(1tx) x t 2  x(1tx) x (1tx)  0  p( )x p( )x q x( )  R  x  l l  x < ,l2 l2  x l1 κ2        1  1 f0 ( )x  σ0 Pm n, ny0  2 2 2   P nym n, 0  2 2 2  πh(1κ)m 1 n 1 (x mL)  n y0  m n, 1 (xmL) n y0  1    (x  mL)2 n y2 02  (x2 m L2 2 )   (x  mL)2 n y2 02  (x2 m L2 2 )  Pm n, ny0 2 Pm n, ny0 2 , πh(1κ) m1 n1 (x mL)2  n y2 02  m1 n1 (x  mL)2  n y2 02   1   1  f x1( )    Pm n, n2 2  2π(1 κ)h m n, 1  x  2(m L n y2 2  2 02 1)x m L n y2 (3 2 2  2 02 ) 4 xmL1 2κ    2 2 2 2 2 (m L n y2 2  2 02 ) ( xmL 1)2 x n y2 2 02 (mxL 1) x n y0   1  2 2 2 2 x3 (3m L n y2 2  2 02 ) 6 x mL2 3x  κ κ 4(m L n y 0 1) 2 2 2 2 3    (xmL 1) x n y0  mL  x m L( 2 2  n y2 02 )  1 1  4κ 2  2 2 2 2 2  2 2 2 2  (mxL  1)2 x n y2 2 02  (mxL  1) x n y0 m L  n y0  1   1  2(m L n y2 2  2 02 1)x m L n y2 (3 2 2  2 02 ) 4 xmL1 2π(1κ)h m n, 1 Pm n, 2 x2  (m L n y2 2  2 02 ) ( xmL 1)2 x n y2 2 02  2  2к0  1  2 2 2 2  2 2 2 2  κ  4(m L  n y0  1)  σ 3 σ0 В полученное сингулярное интегральное ураврасстояние между рассматриваемыми точками нение (11) входят неизвестные величины сосрекрепления; vmn  взаимное смещение рассматдоточенных сил Pmn (m = ±1,±2,…; n = ±1,±2,…), риваемых точек крепления, равное удлинению сил сцепления p(x) и контактных напряжений q(x). соответствующего участка стрингера. Согласно закону Гука величина сосредотоПолагаем, что взаимное упругое смещение точенной силы Pmn, действующей на каждую точку чек z  mL  i(ny0  a) и z  mL  i(ny0  a) равно соединения со стороны m-го стрингера, равна взаимному смещению точек крепления vmn , где Pmn ESF vmn (m = 0,±1,±2,…; n = ±1,±2,…), (12) а - радиус точки крепления (площадки сцепле- 2ny0 ния). С помощью комплексных потенциалов (6) и формул Колосова - Мусхелишвили [22] находим где ES  модуль Юнга материала стрингера; F  взаимное смещение vmn указанных точек [8]: площадь поперечного сечения стрингера; 2ny0     vkr vkr(0) vkr(1) vkr(2) , (0) σ0 1  d3  a2 2d d0 1 2k k  m L 2  ab  vkr (1κ)d1  'Pmn κln 2  2 2 ; 4μ 2π(1κ)μh m n,  d3 b (d3 b )(d3  a )  1κ d d g( )t (1) 1 2  vkr ω( )t g( )t dt   dt; 2πμ L1 πμ L1 A 2 2 d1 A d 2 d1 ; ω( )t  arctg ; d2 (2) σ0 (1κ)d1 2dkL kL1   k L d2 2  12  d1   vkr   2  kL 2  d1  2μ B2 B2 B2  B2 B2  1   td1 d1   kL (1t2 )d1 2td d d4 1 2  d d1( 4 t d2 1)   κ φ 1      kL   2  2πμ L1   A1 tA1   B2  A1 A1   1 (1t2)d4 (d4 t d2 21 )(d2  2td d4 12) 2 2   t2 t3 t d1 2td1 d1  1   2   ω arctg    B2  tA1 A1   t t kL B2 2t d d3 ( 2 t d2 2 )  2(t2  1 2t d td3 )  1 2 1 4 1 4 1 (4t 1)φ1  *2 g t dt( )   'Pmn; A1  2π(1κ)μh m n, где b  (r n y) 0 a; d0  b a; d1  ry0 a; d2  t kL; d3  (k m)2 2L ; d4  1 tkL; C4(DkL  D d1 1) C2*(D kL1  d D1 ) C4(D kL3  D d2 1) C2*(D kL2  d D1 3) κ 2 2  2 2   (D1  D )B2 (D3  D2 )B2  D3 6d  2ny mLD0 2 Dd6  2ny mLD0 1  1κ D2  D12 2ny0(ny0  a) κ(d5 1) 2 2  2 2  ln 2 2    (D3  D2 )D4 (D  D1 )D4  2 D3  D2 d B5 2 C4 mL D( 2  D12)  2ny DD0 1C2* 2mLD D1  ny0(D2  D12)  (d5 1) 2 2 2   (D  D1 ) d5  (D32  D22)d5 ;  d5 m L n y2 2  2 20; d6 m L n y2 2  2 20; B2 k L d2 2  12; kL C4  kL  ; B2  d  C2*  d11 1 ;  B2  D kmL ny d 2  0 1 1; D1  d mL1 ny kL0 ; D2  d mL1 ny kL0 ; D3  kmL2  ny d0 1 1; td1 φ1  arctg ; D4  d62 4y L m02 2 2; A1  d42 d t12 2. C4 mL D( 32  D22)  2ny D D0 2 3C2* ny0(D32  D22)  2mLD D2 3 d4 Таким образом, для определения величин сосредоточенных сил Pmn имеем бесконечную линейную систему уравнений (12). Так как напряжения в пластине ограничены, решение сингулярного интегрального уравнения (11) следует искать в классе всюду ограниченных функций. Для построения решения сингулярного интегрального уравнения используем метод прямого решения сингулярных уравнений [23; 24]. Переходя к безразмерным переменным, решение представим в виде g(η)  1 η2 g0(η), где g0(η) - ограниченная функция. Использование квадратурных формул [23; 24] позволяет интегральное уравнение (11) свести к системе M + 1 алгебраических уравнений с М неизвестными g0 1(τ ),..., g0(τm): M g0(τm) 2 πm  1   sin  K(τm,ηr )πF*(ηr ), (13) m1 M1 M1τm ηr   f (ηr ) R  x l  F*(ηr )  f (ηr )  p(ηr ) l  x < ,l2  f (ηr )  q(ηr ) l2  x l1 πm где τm  cos ; m = 1,2,…,M; M 1 2r 1 ηr  cos ; r = 1,2,…,M + 1. 2(M 1) Так как решение сингулярного интегрального уравнения (11) ищется в классе всюду ограниченных функций, то оно существует при выполнении дополнительного условия (условия разрешимости краевой задачи) [22]. Выполнение дополнительного условия обеспечивает полученная алгебраическая система из M + 1 уравнений (13), служащая для определения неизвестных g0 1(τ ), g0(τ2),..., g0(τm) и l2. В правую часть системы (13) входят неизвестные значения сил сцепления p(ηr) и контактных напряжений q(ηr ) в узловых точках, принадлежащих соответственно зонам [l l, 2] и [l2 1, l ]. Неизвестные силы сцепления и контактное напряжение, возникающее на берегах трещины, определяются из условия (3). Запишем его для производной раскрытия смещений берегов трещины: 1κ d g( )x  C x p x( , ( )) ( )p x  l  x l< 2 , (14) 2μ dx 1к g x( )  0 l2  x  l1 . (15) 2μ Требуя выполнения условия (14) в узловых точках, содержащихся в зонах [l l, 2], получаем недостающие уравнения для определения приближенных значений сил сцепления p(τm) в узловых точках: 0 2μ M g (τm1 )  C(τm1 , p(τm1 )) (p τm1 ), 1 к π(l1  R) g0(τm1 )g0(τm2 )  2μ M  C(τm2 , p(τm2 )) (p τm2 ), (16) 1 к π(l1  R) …………………………… M1 0 2μ M g (τM1 )  C(τM1 , p(τM1 )) (p τM1 ). m1 1к π(l1  R) Здесь m = 1,2,…,M1; M1 - число узловых точек в отрезке [l l, 2]. Аналогично, требуя выполнения условия (15) в узловых точках, содержащихся в зонах [l2 1, l ], получаем уравнения для определения приближенных значений контактного напряжения q(τm) в узловых точках: g(τm2 )  0 m2 1,2,...,M2 , (17) где M2 - число узловых точек в отрезке [l2 1, l ]. Алгебраические системы (12), (13), (16) и (17) связаны между собой. Их совместное решение позволяет определить значения искомой функции g(x) в узловых точках, сил сцепления в связях p(x), контактных напряжений q(x), величины сосредоточенных сил Pmn и размер контактной зоны трещины. Из-за неизвестного размера зоны контакта l2 алгебраическая система (12), (13), (16) и (17) оказалась нелинейной и решалась методом последовательных приближений. При некотором определенном значении параметра l2 система (12), (16), (17) и (13) без условия разрешимости краевой задачи решалась относительно входящих в нее линейным образом неизвестных P11,..., PNN1 2 , g01, g02 ,..., g0M , p1, p2,..., pM1, q1, q2,..., qM1. Найденные таким образом значения P11,..., PNN1 2 , g01, g02,..., g0M, p1, p2,..., pM1, q1, q2,..., qM1 и выбранное значение l2 подставляются в неиспользованное уравнение системы (13) (условие разрешимости). Поскольку эти значения не удовлетворяют неиспользованному уравнению системы, то, подбирая значения размера зоны контакта l2, следует многократно повторять вычисления, пока уравнение (13) не будет удовлетворяться с заданной точностью. В проведенных расчетах система уравнений (12), (13), (16) и (17) в каждом приближении решалась методом Гаусса с выбором главного элемента для разных значений порядка М (до М = 40). Определялись значения контактных напряжений, усилий в связях и размера зоны контакта берегов трещины в зависимости от геометрических и физических параметров стрингерной пластины при  0,3; E = 7,1·104 МПа (сплав В95); ES = 11,5·104 МПа (композит Al - сталь); a/L = 0,01; y0/L = 0,25; F1/y0h = 1. Число стрингеров и точек крепления принималось равным 14. При расчетах использовались безразмерные ко- 2x (l1 l2 ) ординаты x  . Результаты расчетов l1 l2 представлены на рис. 2. Кривая 1 соответствует безразмерной длине трещины l  l L1 0,75; кривая 2 - l  0,50. -1,0 -0,5 0 0,5 Рис. 2. Распределение контактных напряжений вдоль зоны контакта трещины [Fig. 2. Distribution of the contact stresses along the contact zone of the crack] Выводы Анализ модели частичного закрытия трещины со связями между берегами, исходящей из контура кругового отверстия, в бесконечной подкрепленной тонкой пластине сводится к параметрическому совместному исследованию сингулярного уравнения (11) и бесконечной алгебраической системы (12), (16), (17) при различных геометрических и физических параметрах пластины, законах деформирования связей и размерах концевой зоны трещины. Непосредственно из решения полученных алгебраических систем определяются контактные напряжения, усилия в связях, размеры зоны взаимодействия берегов трещины и зоны их контакта. Полученные соотношения позволяют решать обратную задачу, т.е. определять характеристики и напряженное состояние тонкой стрингерной пластины с круговым отверстием, при которых достигается заданная область контакта берегов трещины.

Об авторах

Минавар гызы Мир-Салимзаде

Институт математики и механики НАН Азербайджана

Автор, ответственный за переписку.
Email: minavar.mirsalimzade@imm.az

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела теории ползучести, Институт математики и механики НАН Азербайджана. Область научных интересов: теория упругости, механика разрушения пластин

ул. Б. Вахабзаде, 9, Баку, Азербайджан, AZ1141

Список литературы