МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕЩИНООБРАЗОВАНИЯ В ВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ ПРИ ИЗГИБЕ

Полный текст

Введение. Создание новых композиционных материалов, обладающих высокой прочностью, жесткостью и надежностью, открывает большие возможности их широкого применения в различных областях строительства и машиностроения. Такими материалами, в частности, являются волокнистые композиты. Решение различных задач техники требует объективной информации о напряженно-деформированном состоянии в элементах конструкций из композиционных материалов. Эту информацию можно получить только при учете основных особенностей этих материалов. При проектировании новых конструкций из композитных материалов необходимо учитывать возможность появления в материале трещин. Поэтому необходимо проводить предельный анализ, чтобы установить, что предполагаемые исходные повреждения, расположенные максимально неблагоприятно, не будут расти до критических размеров и не вызовут разрушения в течение расчетного срока службы. Одно из основных мест в механике композитных материалов занимают проблемы, связанные с особенностями из структуры. В частности, при исследовании различного рода вопросов механики составных тел важно учитывать повреждения в их структурах. Такие повреждения могут быть вызваны самим построением композитных материалов, технологическими процессами или действием различных факторов. Следует отметить, что успешное применение на практике композитных материалов в значительной мере связано с решением задач определения их напряженно-деформированного состояния с учетом структурных особенностей, в том числе повреждений в связующем и волокнах. Поэтому исследования напряженно-деформированного состояния в волокнистых композитах с повреждениями следует признать весьма актуальными. Этим вопросам посвящено большое число работ [1-27] и др. Разработка математической модели, позволяющей прогнозировать напряженно-деформированное состояние композита в стадии предразрушения (образования трещин), имеет большое значение. Цель работы состоит в разработке расчетной модели для составного тела «связующее - волокно», позволяющей рассчитать предельные внешние изгибающее нагрузки, при которых происходит образование трещин в волокнистом композите. Постановка задачи. Пусть неограниченная составная пластина (волокнистый композит) подвергается изгибу средними моментами (изгиб на бесконечности) M x  M x , My  My , Hxy  0 . При нагружении композита в материале связующего будут возникать зоны предразрушения. Зоны предразрушения моделируются как области ослабленных межчастичных связей материала, где при нагружении композита имеет место пластическое течение. Зоны предразрушения ориентированы в направлении максимальных растягивающих напряжений. Исследования [28-30] показывают, что в начальной стадии нагружений зоны предразрушения представляют собой узкий вытянутый слой, а затем с ростом внешней нагрузки внезапно появляется вторичная система зон ослабленных межчастичных связей материала. Пусть внешняя изгибающая нагрузка изменяется таким образом, что в зонах ослабленных межчастичных связей материала связующего осуществляется пластическое деформирование. После некоторого числа циклов нагружения композита возможность пластического деформирования в зонах ослабленных межчастичных связей материала исчерпывается и резко возрастает раскрытие берегов зон пластического течения. Когда раскрытие берегов зоны предразрушения в точке максимальной концентрации достигнет предельного значения δс для данного материала связующего, в этой точке образуется трещина (произойдет разрыв межчастичных связей материала) [31]. В процессе нагружения композита изгибающими моментами в материале связующего будет возникать зона предразрушения. Для математического описания взаимодействия берегов зоны предразрущения принято, что в этой зоне между берегами имеются связи, которые сдерживают раскрытие берегов зоны ослабленных межчастичных связей материала. Взаимодействие берегов зоны предразрушения моделируется с помощью введения между берегами линий пластического скольжения (вырожденных полос пластических деформаций). Местоположение и размеры зон пластического течения зависят от вида материала связующего и нагружения. Считается, что в зонах предразрущения имеет место пластическое течение при постоянном напряжении. При этом местоположение и размер зон предразрушения изначально неизвестны и должны быть определены в процессе решения задачи. Анализ взаимодействия связующего и волокон проводится на основе модели с одним волокном. Остальные волокна «размазываются», а материал вне выделенного волокна принимается однородным и изотропным с соответствующими эффективными упругими постоянными (по правилу смесей). Взаимодействие размазанных волокон и зон предразрушения осуществляется через соответствующие эффективные упругие постоянные. При этом нет ограничений на расположение и относительные размеры волокон и зон предразрушения, но принято, что зоны предразрушения не пересекаются между собой и волокном. Начало системы координат Oxy совпадает с геометрическим центром волокна в срединной плоскости композитной пластины (рис. 1). В круговое отверстие связующего вставлено волокно из другого, также упругого материала. Принято, что всюду на границе соединения L (τ = Rexp(iθ)) имеет место жесткое сцепление различных материалов. Рис. 1. Расчетная схема образования трещин в связующем композита при изгибе [Fig. 1. Design diagram of cracks nucleation in the composite binder subject to bending] Рассмотрим случай, когда в связующем вблизи волокна в процессе изгиба имеется N прямолинейных зон предразрушения длиной 2lk (k = 1,2,…,N). В центрах прямолинейных зон предразрушений разместим начала локальных систем координат Okxkyk. Оси xk совпадают с линиями зон предразрушения и составляют осью x углы αk. На контуре раздела сред должны выполняться условия: w  w , w w0 , w w0 , (1)    w  w , n2 n2 t2 t2 nt nt где w и w0 прогибы связующего и волокна соответственно; n и t натуральные координаты (нормаль и касательнаяк контуру L). Соотношения (1) являются следствием непрерывности прогибов в композите, углов наклона касательной и величин изгибающих моментов. При нагружении композита внешними изгибающими моментами в связях, соединяющих берега зон предразрушения, будут возникать нормальные σyk σs и касательные напряжения τxk ky τs (σs - предел текучести материала при растяжении, τs - предел текучести материала на сдвиг). Граничные условия на берегах зон предразрушения будут иметь вид: Mn  Ms , Nn Hnt  Hs , (2) t где Ms  σsh2 ; Hs  τsh2 ; h - толщина композит- 4 4 ной пластины; Mn, Hnt - удельные изгибающий и крутящий моменты; Nn - удельная поперечная сила. Для определения значений внешней изгибающей нагрузки, при которой произойдет появление трещин в связующем, необходимо постановку задачи дополнить условием трещинообразования (разрыва межчастичных связей материала). В качестве такого условия принимается критерий предельного раскрытия берегов зоны ослабленных межчастичных связей материала: vk  vk i u k  ukδc (k = 1,2,…,N). (3) Здесь δc -характеристика сопротивления материала связующего трещинообразованию; vk vk  - нормальная составляющая раскрытия берегов k-той зоны предразрушения; uk uk - касательная составляющая раскрытия (сдвига) берегов k-той зоны предразрушения. Дополнительное условие (3) позволяет установить параметры композитной пластины, при которых произойдет появление трещин в связующем. Моменты Mx, My, Hxy, поперечные силы Nx, Ny и прогиб w в технической теории изгиба пластин можно представить с помощью комплексных потенциалов Колосова - Мусхелишвили [32]. На границе раздела сред имеем φ(τ) + τΦ(τ) + ψ(τ) = φ0(τ) + τΦ0(τ) + ψ0(τ) , (4) n*φ(τ) + τΦ(τ) + ψ(τ)  D0(10)  n0 0φ (τ) + τΦ0(τ) + ψ0(τ) . (5) D(1) Здесь φ(τ), ψ(τ) и φ0 (τ), ψ0 (τ) - комплексные потенциалы для связующего и волокна соответственно; τ exp(iθ) - переменная точка на границе раздела сред; n*  (3 ) (1); D и D0 - цилиндрическая жесткость связующего и волокна соответственно;  и 0 - коэффициенты Пуассона материала связующего и волокна; n0  (30)(10) . Рассматриваемая краевая задача механики композитных материалов оказывается задачей теории упругости с неизвестной границей и ее требуется определить в процессе решения краевой задачи. На берегах прямолинейных зон предразрушения имеем следующие условия n*(xk )  (xk )  xk (xk )  (xk )  fk0  iCk (k = 1,2,…,N), (6) где fk0  Ms iHs ; xk - аффикс точек k-той зоны предразрушения; Ck -действительные постоянные, определяемые в ходе решения задачи из условий равенства нулю скачка прогиба в вершинах зон предразрушения. В принятых предположениях теории Кирхгофа рассматриваемая задача определения напряженно-деформированного состояния композитной пластины сводится к отысканию двух пар функций 0 (z) , 0 (z) и (z) , (z) комплексной переменной z = x + iy, аналитических в соответствующих областях и удовлетворяющих краевым условиям (4)-(6). Комплексные потенциалы φ0 (τ) и ψ0 (τ), описывающие напряженно-деформированное состояние волокна, ищем в виде  b φ0( )z a zk k , ψ0( )z b zk k . (7) k1 k1 Обозначим левую часть краевого условия (4) как f1 + if2 и примем, что на контуре L эта комплексная функция разлагается в ряд Фурье:  f1  if2  A ek inθ. (8) k На основании краевого условия (4) и соотношений (7), (8), используя метод степенных рядов [32], находим коэффициенты an, bn функций φ0 ( )z и ψ0 ( )z : an  RAnn (n > 1), Rea1  2AR1 , (9) bn  Ann  (n  2) Ann2 (n ≥ 0). R R Величиныкоэффициентов An ищем в ходе решения задачи для связующего. С помощью комплексных потенциалов φ0 ( )z и ψ0 ( )z после некоторых элементарных преобразований граничные условия на контуре τ Rexp(iθ) раздела сред запишем в виде  φ(τ) + τΦ(τ) + ψ(τ)   Akeikθ, (10) k n*φ(τ) + τΦ(τ) + ψ(τ) =  D0(10)  k ikθ iθ  D(1 n0a R ek  a1 Re  )  k1  2 2k ikθ k ikθ (11) (k 2)a Rk2 e b R ek . k0 k0  Решение граничной задачи (6), (10), (11) ищем в виде ( )z  φ1'( )z  2( )z , ( )z  ψ1( )z  2( )z , (12)    Mx  My k φ1( )z  z c zk , 4(1)D k1    My  Mx k ψ1( )z  z d zk , (13) 2(1)D k1 2( )z  2π 1 N lkk tgk ( )ztk dt, (14) i(1κ) k1l 2( )z   1 N e2ik lk κgk ( )t  T ek ik g t( ) dt, (15)  2 1  2πi(1κ) k1 lk  t  zk (t  zk )  где Tk  teiαk  zk0; zk eiαk z z k0; κ (3 ) (1); gk(xk) - искомые функции, характеризующие разрыв углов поворота срединной плоскости пластины при переходе через линию зоны предразрушения   d Wk Wk  gk ( )t   i . dt  xk yk  Удовлетворяя функциями (12), (13) и (14) граничным условиям (10), (11) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях exp(iθ), получим алгебраические уравнения для нахождения коэффициентов ck , dk и Ak . Эти соотношения позволяют получить формулы для ck , dk и Ak в явном виде через функции gk (xk ) . Удовлетворяя краевым условиям на берегах зон предразрушения (6), получим систему N комплексных сингулярных интегральных уравнений относительно неизвестных функций gk(xk) (k = 1,2,…,N): N lk   Rnk (t x g, ) n( )t  Snk (t x g, ) n( )t  dt πFn ( )x , (16) k1 lk x ln (n = 1,2,…,N), где ln, t, x и zn0 - безразмерные величины, отнесен- * gk( )t ; Rnk , Snk определяются ные к R; g tk( )  i(1κ) по известным соотношениям [33, формулы VI. 62]; Fn( )x  fn0  iCn   n*1(xn)  1(xn)  xn1(xn)  1(xn) . К системе сингулярных интегральных уравнений (16) для внутренних зон предразрушения добавляются равенства, которые обеспечивают однозначность углов поворота срединной плоскости композитной пластины при обходе контуров зон предразрушения lk  gk*(t)dt  0 (k = 1,2,…,N). (17) lk Для определения постоянных Ck (k = 1,2,…,N) имеем соотношения [34], обеспечивающие равенство нулю скачка прогиба в вершинах зон предразрушения lk Re  tg ( )k t dt  0 (k = 1,2,…,N). (18) lk Система комплексных сингулярных интегральных уравнений (16) при дополнительных условиях (17) сводится [28; 33] к конечной системе N × M алгебраических уравнений относительно приближенных значений искомых функций gk* (xk ) в узловых точках: 1 M N lk gk m* *   M k1 m1  (t )Rnk k m n(l t ,l , xn)  gk m(t )Snk k m n(l t ,l , xn)  Fn (xr ), M  gn*(tm)  0 (r = 1,2,…,M - 1; n = 1,2,…,N). (19) m1 Если в системе (19) перейти к комплексно сопряженным величинам, то получим еще одну систему N × M алгебраических уравнений. Решение системы сингулярных интегральных уравнений ищется в классе всюду ограниченных функций (напряжений). Поэтому к системе (19) необходимо добавить условия ограниченности напряжений на концах зон пластического течения xk lk (k = 1,2,…,N). Эти 2N условий имеют следующий вид M ( 1) M mgk* (tm)tg 2m 1π 0 (k = 1,2,…,N), (20) m1 4M M m * 2m 1 . m1( 1) gk (tm)ctg 4M π 0 2N комплексных уравнений (20) служат для определения координат вершин зон пластического течения. Алгебраическая система (19), (20) изза неизвестных размеров зон предразрушения является нелинейной. Полученные разрешающие системы уравнений относительно ck , dk , Ak , gk* (tm ) (k = 1,2,…,N; m = 1,2,…,M) позволяют для заданной внешней изгибающей нагрузки исследовать напряженно-деформированное состояние композита при наличии в материале связующего произвольного числа зон предразрушения. Для решения нелинейной объединенной алгебраической системы используется метод последовательных приближений. Ее численное решение позволяет найти координаты вершин (местоположение) и размеры зон предразрушения, значения ck , dk , Ak , gk* (tm ). Очевидно, что, определив координаты вершин всех зон предразрушения, по известным формулам аналитической геометрии можно найти координаты zk0 центров зон предразрушения и углы αk с осью x (рис. 1). После нахождения значений искомых функций gk* (tm) вычислялось раскрытие берегов зон предразрушения. С помощью критерия предельного раскрытия берегов зон предразрушения найдено условие, определяющее критический уровень внешней изгибающей нагрузки в связующем для каждой зоны предразрушения. Значение внешней изгибающей нагрузки, вызывающей появление трещины в k-той зоне предразрушения, определяется из следующего соотношения xk0   gk*(xk )dxkδc (k = 1,2,…,N), (21) lk где xk0 - координаты точки зон предразрушения, в которых происходит разрыв межчастичных связей материала связующего. Критическим значением изгибающей нагрузки в связующем будет минимальное среди величин, определяемых соотношением (21). Результаты расчетов приведены на рис. 2. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 Рис. 2. Зависимость длин зон предразрушения от внешней изгибающей нагрузки [Fig. 2. Dependence of the prefracture zones lengths on external bending load] -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 Рис. 3. Распределение нормальных (а) и касательных (б) оставляющих вектора перемещений для угла ориентации α1 = 11° [Fig. 3. Distribution of the normal (а) and tangential (б) components of displacement vector for orientation angle α1 = 11°] На рис. 2 представлены зависимости длины зоны предразрушения lk R (k = 1,2,3) от безразмерного значенияизгибающего момента M y Ms для различных углов ориентации (α1  11o , α2  36o , α3  48o ). В расчетах было принято M = 30. -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 Рис. 4. Распределение нормальных (а) и касательных (б) составляющих вектора перемещений для угла ориентации α1 = 36° [Fig. 4. Distribution of the normal (а) and tangential (б) components of displacement vector for orientation angle α1 = 36°] На рис. 3-5 представлены графики распределения нормальных (vk vk)R и касательных (uk uk)R составляющих вектора перемещений. При расчетах были использованы безразмерные координаты xk  xk /lk . Существенное влияние на раскрытие берегов зон пластического течения играет местоположение зон предразрушения. Когда зоны пластического течения расположены близко друг к другу, то расчеты показывают как увеличение размеров зон предразрушения и раскрытие их берегов, так и уменьшение раскрытия берегов и размеров зон предразрушения. Различие видов взаимного влияния повреждений (зон ослабленных межчастичных связей материалов) объясняется различиями их расположения. Полученная объединенная алгебраическая система уравнений задачи позволяет получить решение с любой наперед заданной точностью. -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 Рис. 5. Распределение нормальных (а) и касательных (б) составляющих вектора перемещений для угла ориентации α1 = 48° [Fig. 5. Distribution of the normal (а) and tangential (б) components of displacement vector for orientation angle α1 = 48°] Анализ модели образования трещин в связующем волокнистого композита в процессе нагружения изгибающей нагрузкой сводится к параметрическому совместному исследованию объединенной разрешающей алгебраической системы задачи и критерия появления трещин (21) при различных значениях свободных параметров композитной пластины. Это различные геометрические и механические характеристики материалов связующего и армирующих волокон. На некотором этапе нагружения пластины возможно одновременное существование в материале связующего зон пластического течения и образовавшихся трещин. Метод решения задачи теории изгиба пластины в этом случае объединяет одновременный учет повреждений и трещин с концевыми зонами пластических деформаций. Выводы. Практика использования армированных волокнами композитов показывает, что на стадии проектирования следует принимать во внимание возможное появление в связующем трещин. Существующие методы прочностного расчета волокнистого композита, как правило, игнорируют это обстоятельство. Такое положение делает невозможным проектирование композита минимальной материалоемкости при гарантированной надежности и долговечности. Поэтому необходим предельный анализ композита, чтобы знать предельные изгибающие нагрузки, при которых в связующем происходит образование трещин. Размер предельных минимальных зон ослабленных межчастичных связей материала, при которых происходит трещинообразование, рекомендуется рассматривать как проектную характеристику материала связующего. На основе предложенной расчетной модели, учитывающей в армированном волокнами композите наличие повреждений (зон ослабленных межчастичных связей материала), разработан метод расчета параметров композита, при которых появляются трещины. Зная основные значения предельных параметров формирования трещин и влияние на них свойств материалов, можно обоснованно управлять явлением образования трещин путем конструкторско-технологических решений на стадии проектирования композита.

Об авторах

Шахин Гумбат Гасанов

Автор, ответственный за переписку.
Email: hssh3883@gmail.com

доктор технических наук, профессор кафедры организации автомобильных перевозок и дорожного движения, Азербайджанский технический университет. Научные интересы: прочность дорожных покрытий, механика разрушения конструкций и сооружений

Список литературы