Динамическая устойчивость физически нелинейных пластинчатых систем при сжатии в двух направлениях

Полный текст

Исследование устойчивости пространственных пластинчатых систем (тонкостенных конструкций) - одна из важных проблем строительной механики. К настоящему моменту в области расчетов на устойчивость тонкостенных конструкций накоплен значительный опыт: построено большое число математических моделей деформирования пластин и оболочек, разработаны эффективные аналитические и численные методы решения задач. Но, несмотря на достижения в теории и практике, имеется еще много нерешенных вопросов. Проблеме расчета на устойчивость пластин и оболочек при статических и динамических воздействиях посвящены работы многих авторов [1-7]. Цель настоящей работы заключается в разработке метода расчета на устойчивость пластинчатых систем с несмещающимися ребрами под действием динамических сжимающих нагрузок в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рассматривается общий случай действия сжимающих нагрузок) с учетом физической нелинейности материала. Рассмотрим пластинчатую систему (рис. 1), на которую в двух взаимно перпендикулярных направлениях действуют сжимающие нагрузки Р(t) и αР(t). Динамическая нагрузка Р(t) прикладывается к ребрам пластинчатой системы в поперечном направлении, αР(t) - в продольном направлении, α = 1, 2,…, n. Принимаем, что сжимающая нагрузка быстро изменяется во времени t по следующему закону: P(t) = s × t , (1) где s - величина, характеризующая скорость изменения динамической нагрузки. Обозначаем: w = w(x, y, t) - перемещение точек в нормальном направлении к срединной плоскости пластин. Рис. 1. Общая схема пластинчатой системы с действующими нагрузками [Fig. 1. General diagram of plate system under the action of loads] Результаты испытаний различных конструкционных материалов (композитов, сплавов, цветных металлов) показывают, что для таких материалов характерна физическая нелинейность, т.е. они имеют нелинейную диаграмму деформирования. Зависимость между интенсивностями напряжений si и интенсивностями деформаций ei можно принять в виде кубического полинома: i si = E ×ei -E1 e3, (2) где Е - начальный модуль упругости материала; Е1 - постоянная, учитывающая степень физической нелинейности материала [8]. В основе расчетов используем гипотезы Кирхгофа - Лява и гипотезу о нелинейно-упругом теле. Принимаем соотношения между деформациями и перемещениями в виде ex = -zcx ; e y = -zc y ; exy = -2zcxy , (3) ¶2w 2 где cx = ; ¶x ¶2w 2 c y = ; ¶y ¶2w cxy = ¶x¶y . Определяем интенсивность деформаций ei и объемную деформацию q (c учетом гипотез Кирхгофа - Лява и сжимаемости материала (sz = 0, exz = 0, eуz = 0)): e = 2 (e - e )2 + (e - e )2 + (e - e )2 + 3 e2 , (4) i 2(1+ n) x y y z z x 2 xy где деформация q = 1 - 2n (e 1 - n x + e y ), (5) ez = n 1- n (ex + e y ). (6) Используем энергетический метод. Записываем выражение полной энергии системы: L = P + T, где потенциальную энергию П определяем по формуле (7) é æ 2 ö2 æ 2 ö2 ù P = òòê А - 1 P(t)ç ¶ w ÷ - 1 aP(t)ç ¶ w ÷ · q × wúdxdy, (8) ê ç ÷ ç ÷ ú ëê 2 è ¶x2 ø 2 û è ¶y2 ø ú кинетическая энергия равна: r × d éæ ¶ ö2 ù T = 1 êç w ÷ údxdy. (9) 2 òò g êëè ¶t ø úû В выражениях (8), (9) введены следующие обозначения: r - объемный вес материала; d - толщина элементов, составляющих пластинчатую систему; g - ускорение свободного падения; Р(t) и αР(t) - динамические сжимающие нагрузки; q - интенсивность нагрузки, которая действует в нормальном направлении к срединной плоскости пластин и позволяет учитывать начальное несовершенство системы; A - работа внутренних сил, отнесенная к единице площади поверхности пластинчатой системы, определяющаяся так: d / 2 A = òFdz. -d / 2 (10) Здесь F - удельная энергия изменения объема и формы [9]: ei i F = 1 K ×q2 + 2 ò (1+ n) ×s × dei , (11) 2 3 0 где K = E /[3(1- 2n)] - модуль объемного сжатия; ν - коэффициент Пуассона. Перемещение w представим в виде разложений по В.З. Власову [10]: w(x, y, t) = åWk (t) fk (x, y), k (k = 1,2,3,..., n), (12) где обобщенные перемещения Wk(t) - функции, которые определяются из решения задачи и зависят от переменной t (t - время). Выбор координатных функций fk(x,y) осуществляется по виду деформированного состояния системы. Учитывая соотношение (12), определяем минимум функционала (7), составляя для него уравнение Лагранжа: ¶L - d ¶L = 0, (13) ¶Wk dt ¶Wk,t где индексы после запятой обозначают частные производные от обобщенных перемещений по соответствующим переменным. После раскрытия уравнения (13) приходим к системе нелинейных дифференциальных уравнений для исследования устойчивости пластинчатых систем (под действием динамических сжимающих нагрузок Р(t) и αР(t)): é æ aP(t) ö æ P(t) öù r нел. åêaik ç1 - * ÷ - 2bik + cik ç1 - * ÷ú ×Wk + g × D å dikWk ,tt - Gi = Fi , (14) k ë è a D ø è l D øû k где а* - длина контура пластинчатой системы, на который действует нагрузка αР(t); l* - суммарная длина ребер пластинчатой системы, на которые действует нагрузка Р(t); D - цилиндрическая жесткость пластин системы; Gi · величина нагрузки, которая позволяет учитывать начальное несовершенство системы. Величины D и Gi определяются по формулам: Ed3 12(1- n2 ) i q òò D i (15) D = , G = x y f dxdy. Правая часть уравнений (14) материала и имеет вид: F нел. i учитывает физическую нелинейность Fнел. = òò 1,xx i +òò 2 i, yy -òò 3,x i i N f x y dx dy N f x y dx dy N x y f dx dy , (16) где Ni,x = ¶Ni / ¶x; Ni,xx = ¶2Ni / ¶x2 ,K; i = 1, 2, 3. Величины N1, N2, N3 в выражении (16) определяются по формулам: N1 = Д × c × (n1cx + 0,5n2c y ); N2 = Д × c × (n1c y + 0,5n2cx ); N3 = Д × c × cxy ; (17) где Д = 0,9E2 × d2 ; E = E1 × (1 - n) ; c = n1(c2 + c2 ) + n2cxcy + c2 ; 2 E × (1 + n)2 x y xy é ù é ù n = 1 ê n + 1ú; n = 1 ê 2n -1ú. 1 3 êë (1+ n)2 úû 2 3 êë (1- n)2 úû Коэффициенты уравнения (14) записываются в виде: aik = òò fk ,хх fi,хх dx dy; yx cik = òò fk , yy fi, уу ddxxddyу;.; yx bik = òò fk ,хy fi,xy ddxxddyy; у x dik = òò fk fi dx dу. yx (18) В качестве примера выполним расчет на устойчивость Т-образной пластинчатой системы под действием динамических сжимающих нагрузок P(t) и αP(t) в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 2). Края пластинчатой системы закреплены шарнирно по контуру. Геометрические параметры: толщина пластин δ = 0,1а; длина l = a. Рис. 2. Схема Т-образной пластинчатой системы [Fig. 2. The diagram of T-shaped plate system] При решении задачи в первом приближении, согласно граничным условиям, координатная функция (форма потери устойчивости в поперечном направлении x) (рис. 3) имеет вид x æ 3 x 1 x2 ö f1 (x) = ç -1+ - ÷. a è 2 a 2 a2 ø (19) f1(x) Рис. 3. Вид координатной функции [Fig. 3. Formula for a coordinate function] При потере устойчивости в продольном направлении y по одной полуволне синусоиды прогибы определяются по формуле x æ 3 x 1 x2 ö πy è ø w( x, y, t) = W1(t) f1( x, y) = W1(t) a ç -1+ 2 a - 2 a2 ÷ sin l . (20) Тогда дифференциальное уравнение (14) принимает следующий вид éa ç1 - P(t) ÷ - 2b + c ç1 - P(t) ÷ù × + r - = Fнел.. (21) æ ê 11 a ö a × D æ 11 11 l × D öú W1 d11W1,tt G1 1 g × D ë è ø è øû Вводим обозначение для параметра времени: t* = P(t) = st . (22) Pкр Pкр Для пластинчатой системы, составленной из квадратных пластин (l = а), величина погонной статической критической нагрузки составляет [11] pкр. = Pкр. a = 23,5 D . a2 (23) Параметр времени t* принимаем за динамический коэффициент Kд. После преобразований дифференциальное уравнение (21) запишем с новой переменной t* в виде [1 - К (1 + a) × t* ]×W + 1 W = Q + K ×W 3 , (24) 1 1 S* 1,t*t* 1 где приняты следующие обозначения: (a11 + c11) × Pкр F нел. 1 К1 = ; a × (a11 - 2b11 + c11) × D K = ; a11 - 2b11 + c11 S* = кр (a11 - 2b11 + c11) × g × D × P2 ; r × d11 × s2 Q = G1 . a11 - 2b11 + c11 (25) Величину F нел. 1 определяем, используя формулы (16) и (17), а коэффициенты уравнения (21) вычисляем по формулам (18). Интегрирование дифференциального уравнения (24) выполнено численным методом Рунге - Кутта на ПЭВМ. По результатам расчетов построены графики зависимости относительной величины прогиба W* = W1/ d от динамического коэффициента Kд = t* (при различных значениях параметров E1/E, S*, a) (рис. 4, табл. 1). Для всех графиков параметр Q = 0,0001. Рис. 4. Графики зависимости относительной величины прогиба W* от динамического коэффициента Kд [Fig. 4. Graphs of the relative magnitude of deflection W* against the dynamic coefficient Kд] Таблица 1 Номер графика [Graph number] Степень физической нелинейности [Degree of physical nonlinearity] Е1/E Коэффициент [Coefficient] a Параметр [Parameter] S* Динамический коэффициент Кд при W* = 0,1 [Dynamic coefficient Кд at W* = 0,1] 1 5×106 2 10 » 2,7 2 106 1 10 » 3,0 3 103 1 1,0 » 3,4 4 106 1 0,1 » 6,5 5 106 0 0,1 » 15,0 Рассмотрим влияние на критерии динамической устойчивости пластинчатой системы степени физической нелинейности материала, параметра S* (зависит от скорости изменения сжимающей нагрузки), величины коэффициента a. С увеличением степени физической нелинейности материала график зависимости W* от Kд смещается влево, т.е. динамический коэффициент Kд уменьшается (см. графики 3, 2, 1 на рис. 4). Таким образом, чем больше степень физической нелинейности материала, тем меньше динамическая «критическая» нагрузка, т.е. при меньшем значении динамической нагрузки P(t) происходит бурное выпучивание пластин системы. При уменьшении параметра S* от 10 до 0,1 (что соответствует увеличению скорости изменения динамической нагрузки в 10 раз при прочих равных условиях) динамический коэффициент Kд увеличивается от 3,0 до 6,5 при W* = 0,1 (сравниваем графики 2 и 4 на рис. 4). Если сжимающая динамическая нагрузка Р(t) действует только в одном направлении (при a = 0, см. график 5), то динамический коэффициент принимает в несколько раз большее значение (Kд » 15 при W* = 0,1), чем при действии Р(t) и αР(t) в двух направлениях (при прочих равных условиях, см. график 4). Выводы. Разработанный метод позволяет рассчитывать на устойчивость пластинчатой системы с несмещающимися ребрами под действием динамических сжимающих нагрузок в двух направлениях, учитывая физическую нелинейность материала. Из результатов проведенных исследований видно, что на критерии динамической устойчивости пластинчатой системы значительное влияние оказывают скорость изменения динамической сжимающей нагрузки и степень физической нелинейности материала.

Об авторах

Сергей Павлович Иванов

Поволжский государственный технологический университет; Марийский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: sp-ivanov@mail.ru

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов и прикладной механики, Поволжский государственный технологический университет; профессор кафедры электромеханики, Марийский государственный университет. Опубликовал 147 научных статей, 2 монографии, 4 учебника, 20 наименований учебнометодической литературы. Область научных интересов: расчеты на прочность, устойчивость и колебания физически и геометрически нелинейных стержней, пластин и пластинчатых систем

пл. Ленина, 3, Йошкар-Ола, Россия, 424000; пл. Ленина, 1, Йошкар-Ола, Россия, 424000

Олег Геннадьевич Иванов

Поволжский государственный технологический университет; Марийский государственный университет

Email: IvanovOG@volgatech.net

кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры сопротивления материалов и прикладной механики, Поволжский государственный технологический университет. Опубликовал 35 научных статей, 1 монографию и 6 наименований учебно-методической литературы. Область научных интересов: расчеты на прочность и устойчивость физически нелинейных пластин и пластинчатых систем, контактирующих с упругой средой

пл. Ленина, 3, Йошкар-Ола, Россия, 424000; пл. Ленина, 1, Йошкар-Ола, Россия, 424000

Анастасия Сергеевна Иванова

Поволжский государственный технологический университет

Email: ivanova-a-s@list.ru

аспирант, старший преподаватель кафедры сопротивления материалов и прикладной механики, Поволжский государственный технологический университет. Научный руководитель - д.т.н., проф. С.П. Иванов, Поволжский государственный технологический университет. В настоящее время работает над кандидатской диссертацией «Динамическая устойчивость физически нелинейных стержней, пластин и пластинчатых систем» по специальности 05.23.17 - Строительная механика. Опубликовала 15 научных статей и 1 учебное пособие. Область научных интересов: расчеты на устойчивость физически нелинейных стержней, пластин и пластинчатых систем

пл. Ленина, 3, Йошкар-Ола, Россия, 424000

Список литературы