Расчет железобетонных плит, усиленных композитными тканями, методом конечных элементов

Полный текст

Современные строительные материалы позволяют облегчить ремонт инженерных конструкций и сооружений и увеличить срок их эксплуатации. К числу таких материалов относятся, в частности, ткани на основе углеродных волокон. Промышленность выпускает широкий ассортимент таких тканей [1-3], а строительные организации освоили методики их применения [4-5]. Различными ведомствами разработаны рекомендации по ремонту и усилению железобетонных конструкций (см., например, [6]), которые основаны на общепринятых, в основном экспериментальных, сведениях о работе подобных конструкций, но не предполагают точного анализа напряжено-деформированного состояния исследуемых объектов. Поэтому упомянутые рекомендации содержат большое количество поправочных коэффициентов с целью обеспечения запаса прочности, который может оказаться и избыточным. Более точный анализ может быть выполнен методом конечных элементов с помощью компьютерных программ, в которых этот метод реализован в линейной и нелинейной постановках. К таким программам относятся хорошо известные NASTRAN [7], ANSYS [8], ABAQUS [9] и ряд других. Следует отметить, однако, что расчеты физически нелинейных конструкций в упомянутых программах проводятся с помощью физических соотношений, основанных на тех или иных экспериментах, а возникающие при этом разрешающие уравнения для конструкции в целом решаются приближенными методами. Для повышения достоверности результатов подобные расчеты следует проводить с использованием нескольких программ. Поэтому проектировщики должны иметь в своем арсенале несколько доступных расчетных инструментов. В связи с этим разработка альтернативных расчетных методик и соответствующих программ остается до сих пор актуальной задачей [10-12]. В данной работе рассматривается конечно-элементная методика расчета железобетонных плит, в том числе усиленных композитными тканями, с учетом пластических деформаций в арматуре и трещинообразования в бетоне, описывается программная реализация методики в вычислительном комплексе ПРИНС и приводится пример расчета плиты. Расчет физически нелинейных конструкций с помощью ВК ПРИНС ведется методом конечных элементов в приращениях [1] по уравнению KNLDu = DP, (1) где KNL - полная нелинейная матрица жесткости, связывающая приращения узловых сил и перемещений; Du и DP - приращения узловых перемещений и узловых сил конечно-элементной модели соответственно. Матрица KNL в интервале нагружения непрерывно изменяется, поэтому, чтобы получить точное решение, необходимо в формуле (1) перейти к интегрированию: uK ò KNLdu = DP, u0 (2) где u0 и uK - значения перемещений в начале и конце интервала нагружения соответственно. Однако вести вычисления по формуле (2) практически невозможно, так как не существует аналитического выражения для KNL , а верхняя граница интервала интегрирования неизвестна. Вычисляя интеграл по правилу трапеций, получаем 1 ( K0 + K1 )Du = DP, 2 (3) где K0 и K1 - матрицы жесткости, вычисляемые в начале и конце шага нагружения соответственно. Запишем уравнение (3) в виде ( K0 + DK )Du = DP, (4) где DK = 1 (K1 - K0 ) . 2 Уравнение (4) решается итерационным способом: K0Dui = DP - DKi-1Dui-1 , (5) где i - номер итерации. При достижении сходимости итерационного процесса находятся полные значения перемещений и напряжений по формулам: u = u0 + Du; s =s0 + Ds . (6) где Приращения напряжений находятся по формуле Ds = Cep De , (7) Cep - упруго-пластическая матрица характеристик материала, определяемая ниже. Эта матрица на шаге нагружения не остается постоянной. Строго говоря, напряжения должны находиться интегрированием выражения (7), т.е. De Ds = ò Cep De . (8) 0 Однако в изгибаемых железобетонных конструкциях существенное влияние на прочность оказывает трещинообразование, поэтому на каждом шаге нагружения приходится анализировать напряженное состояние и при возникновении трещины корректировать напряжения с учетом диаграммы деформирования для растянутой зоны. Это требует проведения процесса уравновешивания конструкции, следовательно применение приближенной формулы (7) оказывается вполне оправданным. Матрица жесткости К для отдельного конечного элемента находится по формуле [13] K = ò BT CBdV, V где В - матрица, связывающая компоненты деформаций элемента с компонентами узловых перемещений; С - матрица, связывающая компоненты напряжений с компонентами деформаций. Вектор узловых нагрузок конечного элемента находится из соотношения f = -ò N T pdV , V где N - матрица функций формы, выражающая перемещения внутренних точек конечных элементов с узловыми перемещениями; р - вектор, составленный из компонентов распределенной нагрузки. Методика вычисления геометрической матрицы B хорошо известна (см., например, [13]). При построении физической матрицы в данной работе используются диаграммы деформирования бетона и арматуры в виде, показанном на рис. 1. При этом предполагается, что бетон деформируется линейно в сжатой зоне до достижения предела текучести s Т , а в растянутой зоне - до достижения предела трещинообразования scr . Вид диаграммы в растянутой зоне определяется параметрами scr , a и em и в зависимости от этих параметров может быть различным. Разгрузка происходит по линейному закону с начальным модулем упругости в сжатой зоне и модулем Ep = sд / eд в растянутой зоне. Диаграммы деформирования арматуры в растянутой и сжатой зонах принимаются одинаковыми. Бетон Арматура Разгрузка s scr ascr E s д 1 s Растяжение sТ Нагружение Разгрузка Разгрузка e u ecm E0 e д sТ e em e b Сжатие s cm а Рис. 1. Диаграммы деформирования бетона и арматуры [Fig. 1. Diagrams of deformation of concrete and reinforcement] Для двухмерного напряженного состояния графики рис. 1 трактуются как диаграммы зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций. В интервале от s Т до sсm для сжатой зоны бетона принимается закон деформирования, рекомендованный Еврокомиссией по бетону, имеющий вид [14] 2 E0 e - æ e ö s = E1 ec ç ÷ è ec ø s при e < e , (9) æ E ö e 1 + ç 0 - 2 ÷ cm cm è E1 ø ecm где s и e - напряжения и деформации в сжатой зоне бетона соответственно; E0 - начальный модуль упругости; E1 - секущий модуль от начала до пикового значения напряжения чению напряжения. sсm ; e сm - деформация, соответствующая пиковому зна- Используются многослойные конечные элементы изгибаемых пластин, построенные с использованием гипотезы Кирхгофа и подробно описанные в работе [15]. Для получения зависимости между приращениями напряжений и деформациями для сжатой и сжато-растянутой зон при s1 < s cr используется теория пластического течения. Критерий текучести бетона сжатой зоны принимается в виде, предложенном в работе [16], f (I1, J 2 ) = [b (3J 2 )+ aI1]12 = s 0 , (10) где I1 - первый инвариант тензора напряжений; J2 - второй инвариант девиатора напряжений; a и b - коэффициенты, принимаемые с учетом экспериментов Купфера и др. [17] равными a = 0,355s0 и b = 1,355. Отметим, что при a = 0 и b = 1 условие (5) превращается в известный критерий пластичности Губера - Мизеса [17]. Физическая матрица находится при этом из соотношения (см., например, [13; 15; 18]) é T ù éC ù = ê[C] -[C]{a} {a} [C] ú , ë ep û ê H ¢ +{a}T [C]{a}ú ë û где [C ] - матрица коэффициентов обобщенного закона Гука для плоского напряженного состояния; {а} - вектор течения; H ¢ - касательный модуль кривой «интенсивность напряжения - приращение интенсивности пластических деформаций». Вектор течения находится дифференцированием функции течения по компонентам напряжений, т.е. T ìï ¶ f ¶ f T ¶ f üï {a} = {a1 a2 a3} = í ý . îï¶s x ¶s y ¶s xy þï В алгоритме, реализованном в программе ПРИНС, кривая s (e ) перестраивается по точкам в диаграмму s (e р ) , по которой и определяется параметр H ¢ . Процесс перестроения иллюстрируется на рис. 2. Эта же диаграмма определяет и правило упрочнения. s s (eР ) s (e ) s e e e Рис. 2. Построение диаграммы «напряжение - пластическая деформация» [Fig. 2. Construction of a stress-plastic strain diagram] Зависимость между напряжениями и деформациями в растянутой зоне принимается линейной до возникновения трещины. Момент возникновения трещины фиксируется по главным напряжениям. При возникновении трещины модуль упругости в направлении, перпендикулярном трещине, принимается равным нулю, а модули сдвига в направлении, параллельном трещине, корректируются в соответствии с рекомендациями, приведенными в работе [16]. Использованные рекомендации учитывают агрегатное взаимодействие в зоне трещины, нагильный эффект и другие факторы, влияющие на работу треснувшего бетона на сдвиг. Нормальные напряжения в направлении трещины скачком уменьшаются до величины, определяемой по диаграмме рис. 1,а для растянутой зоны. Физические уравнения при возникновении трещины формируются сначала в главных осях, а затем пересчитываются к глобальным осям. Физические уравнения для арматуры и для углеродной ткани с однонаправленными волокнами принимаются на основе диаграммы Прандтля по методике, описанной в работе [15] . Использование линеаризованных уравнений на шаге нагружения приводит к нарушению условий равновесия. Поэтому в конце каждого шага нагружения вычисляется вектор Ps узловых сил, статически эквивалентный полным значениям внутренних напряжений, находится вектор невязки как разность между полным вектором внешней нагрузки P и вектором Ps , решение корректируется с учетом этой невязки. Для иллюстрации возможностей предложенной методики рассчитан фрагмент железобетонной стены одного из сооружений атомной станции, в которой были обнаружены трещины и которой может потребоваться усиление. Оно может быть выполнено с использованием углеродных тканей [19]. Чтобы убедиться в достоверности получаемых результатов, в данной работе был рассчитан фрагмент стены в виде сильно вытянутой в одном направлении полосы, шарнирно опертой вдоль коротких сторон (рис. 3). Для сравнения был также выполнен расчет плиты без усиления композитом. Конечно-элементная расчетная схема плиты приведена на рис. 4. Использовалась неравномерная сетка конечных элементов со сгущением к середине пролета. Сетка содержит три группы элементов 1, 2 и 3. Центральная группа 3 состоит из одного ряда элементов. Бетон Металлическая q арматура 1,4 м 11,2 м 1 м Композитная ткань Рис. 3. Фрагмент железобетонной плиты, усиленной композитной тканью [Fig. 3. Fragment of reinforced concrete slab reinforced with composite fabric] Рис. 4. Конечно-элементная расчетная схема плиты [Fig. 4. Finite element calculation scheme of slab] Разбивка плиты на слои по толщине отражена в табл. 1. Слои 1, 12 и 29 имеют нулевую толщину. Слой 12 является базовым, а слои 1 и 29 - фиктивными. Фиктивные слои вводятся для получения возможности вывода напряжений на нижней и верхней поверхностях в постпроцессоре. Характеристики слоев [Layer characteristics] Таблица 1 Номер слоя Толщина, см Материал 2-11 7 Бетон 13-22 6,25 Бетон 23 0,21 Сталь 24-25 3,5 Бетон 26-28 0,1 Композитная ткань Использовались следующие материалы: бетон класса В20, арматура класса А400 и композитная ткань с однонаправленными волокнами. Для ткани принимались следующие характеристики: модуль упругости К Е = 6,3´107 кПа , предел прочности R = 7 ´105 кПа , остаточная деформация e = 2% . К ост Плита нагружалась равномерно распределенной нагрузкой нитенсивностью q =100 кПа . Множители нагрузки приведены в табл. 2. Распределение нагрузки по шагам [Load distribution by steps] Таблица 2 Номер шага 1-16 17-32 33-40 41 и далее Множитель нагрузки 0,1 0,05 0,025 0,01 На рис. 5 и 6 показаны кривые равновесных состояний для плиты без композитного усиления и с усилением. Рис. 5. Равновесная кривая для плиты без усиления [Fig. 5. The equilibrium curve for plate without strengthening] Рис. 6. Равновесная кривая для плиты с композитным усилением [Fig. 6. The equilibrium curve for plate with composite strengthening] На рис. 7 и 8 приведены значения предельных моментов для двух вариантов расчета. Предельное состояние для плиты без усиления было достигнуто при нагрузке q = 53 кПа , а для усиленной плиты - при q =114 кПа . Теоретическое значение изгибающих моментов при таких нагрузках составляет 831 кНм/м и 1788 кНм/м соответственно. Рис. 7. Предельные изгибающие моменты для плиты без усиления [Fig. 7. Limit bending moments for a plate without strengthening] Рис. 8. Предельные изгибающие моменты для плиты с усилением [Fig. 8. Limit bending moments for a plate with strengthening] Предельные значения моментов, найденные по программе ПРИНС, составили 830 кНм/м и 1790 кНм/м, что практически равно теоретическим значениям. При принятом усилении плиты предельное значение изгибающего момента увеличилось по сравнению с исходным вариантом на 116%. Следует отметить, что значения внутренних изгибающих моментов находятся в программе ПРИНС относительно срединной поверхности плиты. Слой № 1 0,7 м Слои № 2-11 Слой № 12 0,7 м Слои № 13-22 Слой № 23 Слои № 24-25 Слой № 29 Слои № 26-28 Рис. 9. Глубина трещины для плиты, усиленной композитом [Fig. 9. The depth of a crack for a plate reinforced with a composite] На рис. 9 показана глубина проникновения трещины для плиты, усиленной композитом, в состоянии, предшествующем разрушению. При увеличении числа слоев композита в два раза предельная нагрузка достигла значения q = 221 кПа, т.е. увеличилась по сравнению с исходным вариантом на 93,8%. В результате расчета определялись также усилия и напряжения в композитной ткани, исследовались процессы трещинообразования в бетоне и пластического деформирования арматуры. Размеры статьи не позволяют привести полученные результаты в полном объеме. Выводы. Проведенные в настоящей работе исследования показали, что методика физически нелинейного расчета, реализованная в программе ПРИНС, дает возможность детально анализировать процессы деформирования железобетонных плит как с традиционным армированием, так и усиленных композитными тканями. Строгое соблюдение условий равновесия при сложном характере напряженного состояния, отмеченное в различных вариантах решения задач, свидетельствует о достоверности получаемых результатов. Программа ПРИНС доступна широкому кругу специалистов и может быть полезна при расчете и проектировании железобетонных плит.

Об авторах

Владимир Павлович Агапов

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: agapovpb@mail.ru

доктор технических наук, профессор, кафедра прикладной механики и математики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет. Область научных интересов: расчет конструкций на прочность, устойчивость и колебания методом конечных элементов; разработка программного обеспечения прочностных расчетов

Ярославское шоссе, 26, Москва, Россия, 129337

Валерий Борисович Николаев

АО «Атомэнергопроект»

Email: agapovpb@mail.ru

доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник, АО «Атомэнергопроект». Область научных интересов: теория массивных железобетонных конструкций энергетических сооружений

ул. Бакунинская, 7, стр. 1, Москва, Россия, 105005

Роман Олегович Голованов

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

Email: agapovpb@mail.ru

кандидат технических наук, доцент, кафедра прикладной механики и математики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет. Область научных интересов: экспериментальные и расчетные исследования пространственных стержневых систем неканонической формы

Ярославское шоссе, 26, Москва, Россия, 129337

Список литературы