ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЙ В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОЛОСТЬЮ ПРИ СОСРЕДОТОЧЕННОМ ВЕРТИКАЛЬНОМ ВЗРЫВНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

Полный текст

Волны напряжений различной природы, распространяясь, в деформируемом теле взаимодействуют, друг с другом. При интерференции волн напряжений их интенсивности складываются. Они могут достигать значений, превосходящих предел прочности материала. В этом случае наступает разрушение материала. После трехкратного или четырехкратного прохождения и отражения волн напряжений в теле процесс распространения возмущений становится установившимся, напряжения и деформации усредняются, тело находится в колебательном движении. Некоторая информация о рассматриваемом численном методе, алгоритме и комплексе программ моделирования нестационарных упругих волн напряжений в деформируемых телах приведена в работах [1, 2, 5, 7, 8]. В работах [2, 3, 4, 7] приведена некоторая информация о физической достоверности и математической точности моделирования нестационарных волн напряжений в деформируемых телах различной формы с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ. Математическое моделирование нестационарных упругих волн напряжений при различных (ударных, взрывных и сейсмических) воздействиях с помощью рассматриваемого численного метода, алгоритма и комплекса программ приведено в работах [5, 6, 7, 8]. Для решения задачи о моделировании упругих нестационарных волн напряжений в деформируемых областях сложной формы рассмотрим некоторое тело в прямоугольной декартовой системе координат , которому в начальный момент времени сообщается механическое нестационарное импульсное воздействие. Предположим, что тело изготовлено из однородного изотропного материала, подчиняющегося упругому закону Гука при малых упругих деформациях. Точные уравнения двумерной (плоское напряженное состояние) динамической теории упругости имеют вид; , , , , , , , , , , (1) где , и - компоненты тензора упругих напряжений; , и - компоненты тензора упругих деформаций; u и v - составляющие вектора упругих перемещений вдоль осей OX и OY соответственно; ? - плотность материала; - скорость продольной упругой волны; - скорость поперечной упругой волны; ? - коэффициент Пуассона; E - модуль упру- гости, - граничный контур тела . Принимая во внимание определение матрицы жесткости, вектора инерции и вектора внешних сил для тела , записываем приближенное значение уравнения движения в теории упругости: , , , (2) где - диагональная матрица инерции; - матрица жесткости; - вектор узловых упругих перемещений; - вектор узловых упругих скоростей перемещений; - вектор узловых упругих ускорений; - вектор внешних узловых упругих сил. Соотношение (2) - система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в перемещениях с начальными условиями. Таким образом, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, линейную задачу с начальными и граничными условиями (1) привели к линейной задаче Коши (2). Для интегрирования уравнения (2) конечноэлементным вариантом метода Галеркина приведем его к следующему виду: , . (3) Интегрируя по временной координате соотношение (3) с помощью конечноэлементного варианта метода Галеркина, получим двумерную явную двухслойную конечноэлементную линейную схему в перемещениях для внутренних и граничных узловых точек: , , (4) где - шаг по временной координате. Основные соотношения метода конечных элементов в перемещениях получены с помощью принципа возможных перемещений и конечноэлементного варианта метода Галеркина. Общая теория численных уравнений математической физики требует для этого наложение определенных условий на отношение шагов по временной ко- ординате и по пространственным координатам, а именно , (5) где - длина стороны конечного элемента. Для исследуемой области, состоящей из материалов с разными физически- ми свойствами, выбирается минимальный шаг по временной координате (5). Рис. 1. Постановка задачи о воздействии сосредоточенной взрывной волны на свободной поверхности упругой полуплоскости с полостью (соотношение ширины к вы- соте один к четырем) Расчеты проводились при следующих единицах измерения: килограмм- сила (кгс); сантиметр (см); секунда (с). Для перехода в другие единицы измерения были приняты следующие допущения: 1 кгс/см2 ? 0,1 МПа; 1 кгс с2/см4 ? 109 кг/м3. Рассмотрим задачу о воздействии сосредоточенной взрывной волны на свободной поверхности упругой полуплоскости с полостью (соотношение ширины к высоте один к четырем) (рис. 1). В точке F перпендикулярно свободной поверхности приложено сосредоточенное нормальное напряжение (рис. 1), которое при изменяется линейно от до , а при от до ( , МПа ( кгс/см2)). Граничные условия для контура GHIA при t > 0 . Отраженные волны от контура не доходят до исследуемых точек при . Контур свободен от нагрузок, кроме точки , где приложено сосредоточенное упругое нормальное напряжение ?y. Расчеты проведены при следующих исходных данных: ; = 1,393?10-6 с; = 3,15?10 4 МПа (3,15?10 5 кгс/см2); = 0,2; = 0,255?104 кг/м3 (0,255?10-5 кгс?с2/см4); = 3587 м/с; = 2269 м/с. Решается система уравнений из 59048 неизвестных. Результаты расчетов для контурного напряжения ( ) во времени получены в точках (рис. 1), находящихся на свободной поверхности упругой полуплоскости. На рис. 2-6 приведены контурные напряжения во времени , которые получены в точках A1 - A5. Выводы 1. Для оценки несущей способности и прогноза безопасности уникальных сооружений при взрывных воздействиях применяется численное моделировние. На основе метода конечных элементов в перемещениях разработаны методика, алгоритм и комплекс программ для решения линейных двумерных плоских задач, которые позволяют решать сложные задачи при взрывных воздействиях на сооружения. Основные соотношения метода конечных элементов получены с помощью принципа возможных перемещений. Матрица упругости выражена через скорость продольных волн, скорость поперечных волн и плотность. 2. Линейная динамическая задача с начальными и граничными условиями в виде дифференциальных уравнений в частных производных, для решения за- дач при взрывных воздействиях, с помощью метода конечных элементов в перемещениях приведена к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которая решается по явной двухслойной схеме. 3. На основании проведенных исследований можно сделать вывод о физической достоверности результатов численного решения полученных, с помощью метода конечных элементов в перемещениях, при решении задач о распространении взрывных волн в деформируемых телах. 4. Решена задача о воздействии сосредоточенной взрывной волны на свободной поверхности упругой полуплоскости с полостью (соотношение ширины к высоте один к четырем). Решается система уравнений из 59048 неизвестных. Рассматриваются точки на свободной поверхности упругой полуплоскости. 5. Полученные результаты показывают уменьшение напряжений при применении полости с соотношением ширины к высоте один к четырем. 6. Полученные результаты можно оценить как первое приближение к решению сложной комплексной задачи, о применении полостей для увеличения безопасности уникальных объектов по несущей способности (прочности) при взрывных воздействиях, с помощью численного моделирования волновых уравнений теории упругости.

Об авторах

ВЯЧЕСЛАВ КАДЫРОВИЧ МУСАЕВ

Автор, ответственный за переписку.
Email: musayev-vk@yandex.ru

доктор технических наук, профессор. Преподает одновременно в Московском государственном университете путей сообщения им. Императора Николая II и Московском политехническом университете.

Список литературы