РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ БАЛОК ПО КРИТЕРИЮ ПРОЧНОСТИ ПОПЕРЕЧНОЙ АРМАТУРЫ ПРИ ОБРАЗОВАНИИ НАКЛОННЫХ ТРЕЩИН

Полный текст

Проблеме безопасности строительных конструкций уделяется большое внимание. Об этом свидетельствуют новые стандарты в области обеспечения надежности (безопасности) строительных конструкций: Межгосударственный Стандарт ГОСТ 27751-2014 «Надежность строительных конструкций и оснований», вступивший в силу с 01.07.2015, Международный Стандарт ISO 2394:2015 «General principles on reliability of structures» и др. Причиной к столь повышенному вниманию могут служить обрушения строительных конструк- ций, в том числе железобетонных балок, за последние 5-10 лет. Так в 2014 г. в США (г. Форт Лодердейл) из-за обрушения железобетонной балки погиб 1 человек и еще 2 пострадали. 11 человек погибли на юго-востоке Бангладеш из-за обрушения 3 железобетонных балок. В 2015 г. в Китае (г. Тяньцзинь) произошло обрушение железобетонной плиты перекрытия, в результате чего погибли 6 человек. Это свидетельствует о необходимости разработки инженерных методов расчета надежности на стадии проектирования и эксплуатации по всем критериям работоспособности несущих элементов строительных конструкций, в том числе по критерию прочности поперечной арматуры в сечении балки с наклонной трещиной. Предпосылки использования вероятностных расчетов уже внедрены в строительные нормы. Так в СП 63.13330.2012 «Бетонные и железобетонные конструкции» отмечено, что «расчет бетонных и железобетонных конструкций можно производить по заданному значению надежности на основе полного вероятностного расчета при наличии достаточных данных об изменчивости основных факторов, входящих в расчетные зависимости». ГОСТ 27751-2015 так- же рекомендует использование вероятностно-статистических методов «при * Статья печатается в порядке обсуждения наличии достаточных данных об изменчивости основных параметров, если количество (длина ряда) данных позволяет проводить их статистический анализ (в частности, эти данные должны быть однородными и статистически независимыми)». Однако зачастую для индивидуальных несущих элементов не удается получить полную статистическую информацию. В этом случае расчет надежности вероятностно-статистическими методами приводит к некорректным результатам. В [1] приводится расчет надежности железобетонных балок по критерию ширины раскрытия наклонной трещины. В данной работе расчет надежности ведется по математической модели вида , т.е. по критерию шири- ны раскрытия трещины, как одному из многочисленных критериев работоспособности железобетонной балки. В число этих критериев работоспособности входит также критерий прочности поперечной арматуры после образования наклонных трещин в балке на стадии эксплуатации. В последнее время применяется усиление железобетонных балок при возникновении наклонных трещин полимерными стрежнями и полосами. Проблема расчета надежности таких эле- ментов рассмотрена в работе [2]. Метод определения остаточной несущей способности железобетонных балок при наличии трещин рассмотрен в работе [3]. Расчет надежности железобетонной балки по критерию длины трещины в бетоне приведен в работе [4]. Экспериментально-теоретический расчет индекса надежности для железобетонных балок различного поперечного сечения рассмотрен в работе [5]. Применение Байесовского подхода к расчету надежности железобетонных балок с учетом коррозии рассмотрено в работе [6]. В предлагаемой статье рассмотрен расчет надежности балки по критерию прочности поперечной арматуры (хомутов) в сечении балки с наклонной тре- щиной на стадии эксплуатации без предварительного напряжения рабочей арматуры. Причинами образования наклонных трещин в железобетонных балках являются: перегрузка конструкции [7], недостаточное поперечное армирование балки или отсутствие поперечной арматуры; недостаточная прочность бетона; перегрузка балки; низкое качество сварки поперечных и продольных стержней; снижение несущей способности балки в результате деградации материала бетона и арматуры; повышенное влияние поперечной силы для балок с малым про- летом и др. Условная схема железобетонной балки с трещинами изображена на рис. 1. Рис. 1. Железобетонная балка с трещинами: 1 - нормальные трещины; 2- наклонные трещины В месте появления наклонных трещин резко возрастает напряжение в хомутах . В [8] приведены сведения о значениях ширины раскрытия нормальных и наклонных трещин, при которых в арматуре достигается предел текучести стали. Отмечается, что при малых расстояниях между трещинами предел текучести стали в арматуре наступит раньше, чем ширина раскрытия трещины достигнет предельного состояния, установленного нормами. В предлагаемой работе в качестве математической модели предельного состояния по критерию прочности поперечной арматуры примем условие: , (1) где - напряжение в поперечной арматуре (хомутах) в сечении с наклонной трещиной, определяемое по результатам измерения параметров, от которых за- висит , как будет показано ниже, и в связи с этим является случайной величиной, что отмечено волнистой линией над символом; - предельное напряжение стали поперечной арматуры при растяжении, определяемое экспериментально по результатам испытаний образцов арматуры балки, число которых по [9] должно быть не менее двух. В [10], а также в строительных нормах по железобетонным конструкциям СНиП 2.03.01-84*, расчет ширины раскрытия наклонных трещин, измеряемой вдоль хомутов, определяется по формуле: , (2) где - коэффициент армирования поперечными стержнями, определяемый как , где - площадь сечения поперечного армирования; - ширина балки; s - шаг хомутов; - диаметр поперечной арматуры; - коэф- фициент, зависящий от вида профиля растянутой арматуры: для гладкой арматуры ; для арматуры периодического профиля ; , - модули упругости арматуры и бетона соответственно; - напряжение в поперечной арматуре; ; - рабочая высота балки. и являются случайными величинами, т.к. определяется неразрушающими методами, а определяется по диаграмме напряжений по результатам испытаний образцов из стержней поперечной арматуры. Измерение деформаций в арматуре на участке раскрытой трещины практи- чески невозможно в связи с ограниченной шириной трещины и в связи с практическим отсутствием способов определения напряжения в сечении с трещиной. В связи с этим предлагается в расчетах надежности балки по условию (1) для определения напряжения в сечении железобетонной балки на участке ширины наклонной трещины использовать формулу (2) по результатам многократных (но ограниченных по числу) измерений ширины раскрытия и модулей упругости и с учетом их изменчивости, а также с учетом других детерминированных параметров в (2). В этом случае будет случайной величиной, и определяться по формуле (после математических преобразований): . (3) Математическую модель предельного состояния (1) с учетом (3) можно записать как: . (4) Учитывая ограниченность результатов измерений случайных величин в (4), расчет надежности будем строить на основе теории возможностей [11] и теории нечетких множеств [12]. Для сокращения записи и для большей связи с теорией возможностей [11] введем обозначения случайных величин, а в терминах теории возможностей [11] нечетких переменных в виде: , , , . Тогда математическую мо- дель (4) можно представить в виде: . (5) Нечеткие переменные в (5) будем описывать наиболее распространенной в практике расчетов надежности [4, 13, 14 и др.] функцией распределения возможностей , представленной на рис. 2, с аналитическим выражением: , (6) где - «условное среднее»; - мера «рассеяния», где и - наибольшее и наименьшее значение во множестве значений {x} нечеткой переменной X, полученных из результатов измерений; - уровень среза (риска), значением которого задаются, на- пример, по рекомендациям, приведенным в [14]. Обратная функция от из (6) будет иметь вид или , где , где - уровень среза для функции . Рис. 2. График функции распределения возможностей Рассмотрим первый вариант совокупности нечетких переменных в (5) в ко- торой в силу его малой изменчивости по [15] примем детерминированной величиной Па. В этом случае выражение в квадратных скобках в виде будет нечеткой переменной, которую обозначим YT. Примем для YT такую же функцию распределения возможностей, как и для X, т.е. (6) с параметрами: , и обратная функция , где - уровень среза, принимаемый одинаковым для всех нечетких переменных в (5). В этом случае (5) примет вид: . (7) Расчет надежности железобетонных балок по критерию (7) проведем с ис- пользованием принципа обобщения Л. Заде из теории нечетких множеств [12]. Формируем из (5) нечеткую переменную J как функцию от нечетких аргументов X, YT, Z в виде: . (8) Графический вид функции неизвестен, но она характеризуется значениями ai, bi, , как и . Условная «средняя» определяется по (8) в виде , с левой ветвью и правой ветвью функции , а обратная функция j от J будет определяться через обратные функции x, yT, z от X, YT, Z, которые имеют вид обратной функции x от , описанной выше. Для левой и правой ветвей функции имеем: (9) (10) где . Перед «b» в ставят знак минус в чис- лителе, а в знаменателе плюс, если от этой величины значение левой ветви в (9) возрастает, а в (10) все наоборот. Обозначим для сокращения записи, по аналогии с . При имеем или =0. По (9) при выполнении значение возможности безотказной работы балки по [Уткин] принимается R = 1. Возможность отказа Q (для правой ветви функции ) найдем по значению , полученного из (10) при , которое со- ответствует наименьшей расчетной надежности или наибольшей обеспеченности. По результатам решения (10), при находят по абсолютному значению и возможность отказа по критерию прочности арматуры . В [11] нечеткая переменная характеризуется мерами возможности R и необходимости N. В понятиях надежности, необходимость N безотказной работы балки, которая вычисляется из N=1-Q. Тогда надежность железобетонной балки по критерию прочности поперечной арматуры в сечении с наклонной трещиной характеризуется интервалом [N; R=1] или в вероятностных показателях , где - нижнее и верхнее значение вероятности безотказной работы. Пример 1. Пусть для железобетонной балки условно известны значения: мм; Па; мм; м; ; ; ; Па; Па. Определяем параметры: , Па, МПа. При уровне риска 0,05: , Па, МПа. Т.к. условное среднее , то возможность безотказной работы балки принимается R=1. Из (9) для правой ветви при , как самое осторожное решение, найдем , . Возможность отказа . Необходимость безотказной работы N = 1 - 0,0002 = 0,9998. Надежность железобетонной балки по критерию прочности поперечной арматуры характеризуется интервалом [0, 9998; 1]. Нормативное значение вероятности безотказной работы зависит от ответственности несущего элемента за безопасность всей конструкции, от критерия работоспособности и т.д., и находится в стадии обсуждения и изучения. Если возникают сомнения в малой изменчивости модуля упругости стали арматуры, например, при воздействиях в течение некоторого времени на балку повышенных температур; при длительной эксплуатации балки; после аварийных воздействий на балку и т.д., то следует определять по результатам испытаний образцов, изготовленных из арматуры (хомутов) балки, что представляет определенную трудность в процессе эксплуатации, т.к. нарушается большая часть бетона балки и восстанавливаемый стержень не работает без предварительной разгрузки балки. В силу ограниченности числа образцов для испытаний в этом случае число значений также ограниченно и его следует рассматривать как нечеткую переменную. В соответствии с принципом обобщения Л. Заде в теории нечетких множеств [12], формируем из (5) нечеткую переменную G как функцию от нечетких аргументов X, Y, Z, T в виде: . (11) Нечеткую переменную G будем характеризовать функцией распределения возможностей с условной «средней» по (7) , с левой ветвью и правой ветвью , а обратная функция g от G будет определяться через обратные функции x, y, z, t от X, Y, Z, T, которые имеют вид об- ратной функции x от , описанной выше. Для левой и правой ветвей функции имеем: (12) (13) где . Перед «b» в ставят знак минус в числителе, а в знаменателе плюс, если от этой величины значение левой ветви в (12) возрастает, а в (13) все наоборот. Обозначим для сокращения записи, по аналогии с . При имеем или = 0. По (13) при выполнении значение возможности безотказной работы балки по [13, 14 и др.] принимается R = 1. Возможность отказа Q (для правой ветви функции ) найдем по значению , полученного из (13) при , которое соответствует наименьшей расчетной надежности или наибольшей обеспеченности. По результатам решения (13), при находят по абсолютному значению и возможность отказа по критерию прочности арматуры . Надежность железобетонной балки по критерию прочности поперечной арматуры в сечении с наклонной трещиной характеризуется интервалом [N; R=1]. Пример 2. Пусть для железобетонной балки условно известны значения: мм; Па; мм; м; ; ; ; Па; Па. Определяем параметры: , Па, МПа, Па. При уровне риска 0,05: , Па, МПа, Па. Так как условное среднее , то возможность безотказной работы балки принимается R = 1. Из (9) для правой ветви при , как самое осторожное решение, найдем , . Возможность отказа . Необходимость безотказной работы N = 1 -0,0011 = 0,9989. Надежность железо- бетонной балки по критерию прочности поперечной арматуры характеризуется интервалом [0, 9989; 1]. Если принять значение надежности , то такую вероятность безотказной работы в некоторых случаях можно считать недопустимой, если оно меньше нормативной, так, например по [16], предельное значение вероятности отказа Q для несущих элементов без предварительных сигналов рекомендовано принимать значение Q = 10-4 или . Надежность железобетонной балки как механической системы находится по теореме умножения вероятностей как: , где - вероятность безотказной работы балки по i-му критерию работоспособности балки. В данной работе рассмотрен метод расчета надежности по од- ному из критериев работоспособности балки - по критерию прочности попе- речной арматуры в сечении балки с наклонной трещиной. На основе полученных данных о надежности балки решается вопрос о ее дальнейшей эксплуатации. Так, при невысоких требованиях к надежности (безопасности), даже при ширине раскрытия трещин больше нормативного значения, можно продолжить эксплуатацию балки с применением противокоррозионных мероприятий. А при высоких требованиях к вероятности безотказной работы по критерию прочности поперечной арматуры, даже при условии выполнения нормативного требования , балку придется усиливать или заменять. Выводы: 1. Предложены методы расчета надежности железобетонной балки по критерию прочности поперечной арматуры в сечении балки с наклонной трещиной; 2. Рассмотрены два варианта расчета надежности при различном количестве нечетких переменных в расчетной математической модели предельного со- стояния. 3. Алгоритмы расчета надежности железобетонной балки по критерию прочности поперечной арматуры приведены на примерах; 4. Информация о значениях надежности железобетонной балки позволяет обоснованно принять оптимальное решение о необходимости усиления или замены балки, или, наоборот, продолжении ее эксплуатации с проведением противокоррозионных мероприятий. В первом случае это приведет к предотвращению возможной аварии, а во втором к экономическому эффекту от отказа усиления/замены балки

Об авторах

ВЛАДИМИР СЕРГЕЕВИЧ УТКИН

Вологодский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: utkinvogtu@mail.ru

УТКИН В.С., доктор технических наук, профессор кафедры ПГС, Вологодский государственный университет, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации

г. Вологда, ул. Ленина, д. 15

СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ СОЛОВЬЕВ

Вологодский государственный университет

Email: ser6sol@yandex.ru

аспирант кафедры ПГС, Вологодский государственный университет, email: ser6sol@yandex.ru , тел. 8(8172)518396

г. Вологда, ул. Ленина, д. 15

Список литературы