РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАГРУЗКИ И НАПРЯЖЕНИЙ ИЗГИБА ПО ДЛИНЕ ТОЛСТОЙ ПЛАСТИНЫ, ЗАДЕЛАННОЙ В ОСНОВАНИЕ, ПРИ НАЛИЧИИ УГЛА НАЧАЛЬНОГО НЕПРИЛЕГАНИЯ СОПРЯГАЕМОЙ С НЕЙ ДЕТАЛИ

Полный текст

В строительных конструкциях и механических системах обычно имеет место хотя бы небольшое начальное неприлегание одного из сопрягаемых элементов к другому в силу неизбежных погрешностей их изготовления и монтажа (рис. 1). Это приводит к неравномерному распределению нагрузки и напряжений изгиба по длине контактирующих тел, что снижает ресурс сооружения или механизма и может явиться причиной преждевременного выхода его из строя. Такому негативному влиянию погрешностей изготовления и монтажа на работоспособность подвержены плиты, соединения элементов машин и механизмов, содержащие детали в виде толстых пластин, заделанных в основание и контактирующих с другими деталями. В изделиях машиностроения к ним можно отнести кулачковые муфты, зубья колес, плунжерные механизмы [1, 2, 3]. Рис. 1. Сопряжение элементов конструкции при наличии угла начального неприлегания В связи с этим важно установить законы распределения нагрузки и напряжений изгиба по длине сопрягаемых элементов, без чего невозможно осуществить рациональное проектирование сооружения или механизма. Большое влияние на указанные силовые факторы оказывает податливость основания и пластины в месте заделки. Пластина в месте ее заделки представляет собой балку на упругом основании и ее деформация может быть выражена через погонную нагрузку и жест- кость упругого основания (рис. 2). Тогда уравнение деформированной пластины в месте ее заделки в основание примет следующий вид: где . - ширина плиты, Е - модуль упругости перво- го рода, k = 1,2, , коэффициент Пуассона материала сопрягаемых элементов, , - толщина плиты. Учитывая, что балка испытывает стесненный изгиб, закон изменения погонной нагрузки носит характер апериодических затухающих колебаний. Это имеет место при , или . Тогда погонная нагрузка, обусловленная действием внешних силовых факторов, . Постоянные интегрирования А, В определим из уравнений статики: , , здесь - длина пластины в зоне ее сопряжения с основанием, - средняя погонная нагрузка в указанной зоне. В соответствии с этим перемещение места приложения силы в направлении линии ее действия, обусловленное податливостью основания, . (1) Для установления законов распределения нагрузки и напряжений изгиба зубьев по их длине b при наличии угла начального неприлегания ? рассмотрим напряженно-деформированное состояние зуба под действием нормальной погонной нагрузки W(z) и главных нормальных напряжений в его основании ?(z) (рис. 3). Разница моментов, создаваемых указанными силовыми факторами, ведет к кручению зуба относительно оси . С учетом этого уравнения связи угла начального неприлегания и деформаций зуба принимают следующий вид: , (2) . (3) Здесь - модуль упругости второго рода; - момент инерции поперечного сечения пластины при кручении относительно продольной оси (определяется по приближенной зависимости, как для стержня прямоугольного сечения: [4], где коэффициент, зависящий от отношения высоты сечения к его ширине); - плечо погонной нагрузки относительно центра изгиба пластины; текущее значение погонного момента, создаваемого напряжениями изгиба , - изгибная удельная податливость пластины, определяемая через смещение точки приложения нагрузки относительно центра изгиба ( ; и - средние погонные момент изгиба и нормальная нарузка ( ); - составляющая суммарной удельной податливости, . Перемещения в направлении линии действия нагрузки и соответствующие Рис. 3. К определению законов распределения нагрузки и напряжений изгиба по длине пластины им удельные податливости сдвига и изгиба определяются с использованием интегралов Мора [4, 5]: , . Удельная податливость, вызванная деформативностью основания, , где перемещение определяется по выражению (1). Суммарная удельная податливость пластины (контактной податливостью пренебрегаем ввиду ее малости). Подстановка равенства (3) в (2) с учетом уравнения статики дает , (4) где , . Уравнение (4) представляет собой неоднородное интегральное уравнение Вольтерра с ядром, зависящим от разности аргументов, которое в операторной форме имеет следующий вид: . Решение уравнения методом операционного исчисления и последующая подстановка его в равенства (2), (3) позволяет найти законы изменения погон- ной нагрузки и погонного момента, вызванного действием напряжений изгиба. Так, переходя от изображения к оригиналу, получим , . Найденный погонный момент выражается через нормальные напряжения изгиба в основании пластины (см. рис. 3), причем зависимость близка к линейной: , где - максимальное значение напряжения изгиба в произвольном поперечном сечении зуба, D - коэффициент пропорциональности. Поэтому отношение максимального погонного момента к среднему можно представить в виде равенства ( - среднее значение напряжения изгиба в крайних точках сечения). В соответствии с этим определяются максимальные значения силовых факторов и коэффициенты неравномерности их распределения, соответствующие : , . Рис. 4. Распределение относительной нагрузки и относительного момента изгиба пластины по ее длине ( ) при , , , H/s = 2, B = b/s =5 На рис. 4-6 представлены графики изменения относительной нагрузки , относительного момента и соответствующих им коэффициентов неравномерности и в зависимости от безразмерных величин , , . На рис. 7 - то же для пластины, заделанной в жесткое основание (при ). Анализ приведенных выражений и построенных по ним графиков показывает, что деформативность толстой пластины в месте заделки в основание оказывает существенное влияние на ее напряженно-деформированное состояние. При наличии начального неприлегания заделанной в основание пластины и контактирующей с ней детали нагрузка в зоне контакта распределяется менее равномерно, чем изгибающий момент и соответствующие ему напряжения изгиба пластины. Это обусловлено ее кручением и появлением в результате этого касательных напряжений в сечениях, перпендикулярных продольной оси , которые создают поддерживающий эффект, передавая изгибающий момент от одного сечения к другому. Рис. 5. Зависимость коэффициентов неравномерности распределения нагрузки KW и напряжений изгиба пластины K? от ее относительной длины B = b/s при ? = ?bE/W = 30, l/s = 1, h/s = 2, H/s = 2, Рис. 6. Зависимость коэффициентов неравномерности распределения нагрузки KW и напряжений изгиба пластины K? от относительного угла начального неприлегания контактирующих тел ? при l/s = 1, h/s = 2, H/s = 2, Рис. 7. Распределение относительной нагрузки F(z) и относительного момента изгиба пластины T(z) по ее длине (Z = z/b)) при ? = ?bE/W = 30, l/s = 1, h/s = 2, H/s = 2, B = b/s = 5 и жестком основании При отношении длины пластины к ее толщине не менее 6, суммарной ши- рине, в три раза превышающей толщину, и отношении плеча приложенной к пластине силы к ее толщине, равном двум, коэффициент неравномерности распределения нагрузки превышает коэффициент неравномерности распределения напряжений изгиба не более чем на 7% , с уменьшением относительной длины пластины эта разница возрастает, с увеличением - падает. Использование полученных зависимостей при расчете строительных конструкций и механических систем на прочность и жесткость позволит более точно определить их нагру- зочную способность, исследовать виброакустические характеристики.

Об авторах

ФЕДОР ИВАНОВИЧ ПЛЕХАНОВ

ФГБОУ ВО «Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова»

Автор, ответственный за переписку.
Email: fplehanov@list.ru

доктор технических наук, профессор

426069, Удмуртия, г. Ижевск, ул. 7 Подлесная, дом 100, корп. 2, кв. 44

Список литературы