АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

Полный текст

При решении физически нелинейных задач строительной механики, точ- ность приближенных методов определяется, как правило, с помощью других приближенных процедур. Например, в монографии [1] результаты расчета стержня итерационными методами упругих решений [2], переменных парамет- ров упругости [3], Ньютона-Канторовича [4] и других [5, 6] оцениваются путем сравнения с аналогичными результатами, полученными методом конечных раз- ностей [7]. Проверка численных расчетов с помощью точных нелинейных аналитиче- ских зависимостей в большинстве случаев не представляется возможной, по- скольку их набор является весьма ограниченным. С целью расширения набора замкнутых решений и получения в явном виде высокоточных расчетных соот- ношений в настоящей статье рассмотрена краевая задача для стержня прямо- угольного сечения и статически определимой стержневой системы из идеального упругопластического материала. Впервые аналитическое решение такой задачи было получено А.Р. Ржаницыным при условии действия только поперечной силы для простейших случаев нагружения однопролетного стержня [8]. Обобщение этого замкнутого решения выполнено в работе [9] для квадратичного закона рас- пределения изгибающего момента вдоль статически определимой балки на двух опорах. Более простое решение без интегрирования дифференциальных уравне- ний в условиях чистого изгиба балки представлено в [10]. При этом полученные зависимости эффективно использовались для определения механических харак- теристик материалов в задачах микро-инженерии. Аналогичным образом анали- тически исследовались напряжения прямолинейного стержня для различных мо- делей пластического течения [11] и криволинейного стержня для различных за- конов неоднородности по высоте сечения [12]. Случай продольно-поперечного изгиба бруса прямоугольного сечения, являющийся обобщением исследования его чистого изгиба [2, 13], рассмотрен в работе [14]. При этом решение значи- тельно усложняется, поскольку распределение напряжений по высоте сечения становится несимметричным. Однако представленные в монографии [14] резуль- таты являются приближенными, поскольку стержень моделируется набором уча- стков с постоянными по длине жесткостными параметрами, а линеаризация осу- ществляется итерационной процедурой на основе зависимости между фиктивной нагрузкой и деформациями фиксированных сечений. Аналогичная задача для сжато-изогнутого консольного стержня из упругопластического материала с уп- рочнением исследовалась методом конечных элементов [15]. Итерационный под- ход, корректирующий приведенную жесткость каждого участка стержня с помо- щью секущего модуля упругости, реализован в [16]. Задача определения границ упругопластических зон в продольном сечении стержня точно решена в работах [8, 14, 17, 18]. Замкнутое аналитическое решение для стержневых систем в упру- гопластической стадии работы материала при действии продольно-поперечных нагрузок в литературе отсутствует. Ниже приведена постановка и интегрирование физически нелинейной крае- вой задачи для продольно-поперечного изгиба стержня прямоугольного сечения. На основе полученных интегралов построено замкнутое решение для плоских стержневых систем ветвящегося типа с краевыми условиями, обеспечивающими статическую определимость. При этом точно определены все компоненты напря- женно-деформированного состояния и границы упругопластических зон. Изотроп- ный материал характеризуется модулем линейной упругости E, а его деформиро- вание подчиняется диаграмме Прандтля с предельными значениями деформаций ?p и напряжений ?p.Также как в других аналогичных исследованиях, используется гипотеза плоских несжимаемых поперечных сечений, которая достаточно точно описывает деформирование конструкции независимо от свойств материала [8]. Предварительно рассмотрим консольную схему стержня длинной l, для ко- торой на свободном конце в плоскости главной жесткости прикладывается сила с составляющими Px, Py, вызывающими появление пластических деформаций, области которых выделены штриховкой (рис.1а). Пролет стержня с неизмен- ными высотой и шириной сечения h, b можно разделить на три характерных зоны, каждой из которых соответствует различая схема расположения упругого ядра сечения. В зоне I крайние верхние и нижние волокна испытывают пласти- ческое течение, в зоне II пластическое деформирование происходит только с одной стороны сечения, в зоне III весь материал работает упруго. Границы зон определяются размерами l1, l2 в системе координат xy. Распределение напряжений по высоте сечения и деформации элементарно- го участка длиной dx для зоны I представлены на рис. 2а,б. При этом размеры и положение упругого ядра определяются формулой: , (1) полученной из уравнений равновесия внешних и внутренних усилий (рис. 2а). В равенстве (1) используются выражения для безразмерных границ z1,2=Z1,2/h; безразмерных усилий n, m; усилий Np, Mp, обеспечивающих незави- симо друг от друга переход всего сечения в зону пластического течения [14], а именно: ; , ; , (2) , . (3) Формулы (3) содержат выражения продольной силы N и изгибающего мо- мента M в расчетном сечении, причем для консольной схемы (рис.1а): , . (4) Основными расчетными параметрами средней линии сечения в зоне I яв- ляются ее деформации ?0 и кривизна 1/?, определяемые из схемы деформирова- ния (рис. 2б) по формулам: , . (5) Исходя из равенства первой производной от функции продольных переме- щений u(x) продольным деформациям ?0 и равенства второй производной от функции прогибов w(x) кривизне средней линии стержня 1/?, с учетом (5) имеем: , . (6) При наличии (1) дифференциальные уравнения (6) принимают вид: , , (7) где с учетом равенств (2) обозначено , , , . (8) Интегрируя (7), приходим, с точностью до постоянных С11, С12, С13 к сле- дующим выражениям для продольных и нормальных линейных перемещений u1, w1, а также углов поворота ?1 в зоне I: , , . (9) Параметры границ упругого ядра, полученные из уравнений равновесия усилий в сечении стержня в зоне II (рис.2в) определяются соотношениями: , . (10) Рассматривая продольные и изгибные деформации элементарного участка стержня для исследуемой зоны (рис.2г), представим их следующим образом: , . (11) Уравнение равновесия с учетом зависимостей (10), (11) принимают вид: , , (12) где обозначено , . (13) Интегрируя (12), получим с точностью до постоянных С21, С22, С23 следующие выражения для линейных u2, w2 и угловых ?2 перемещений стержня в зоне II: , , . (14) Упругий характер деформирования стержня в зоне III позволяет предста- вить его перемещения u3, w3, ?3 с точностью до постоянных C31, C32, С33. Границы между зонами I-II и II-III характеризуются условиями: z2=-0,5 для формулы (1) (рис. 2а), и z1=0,5 для первой формулы (10) (рис. 2в). Тогда грани- цы зон могут быть установлены из следующих зависимостей: при x=l1: ; при x = l2: . (15) Равенства (15), дополненные условием предельной несущей способности [10]: (16) и представленные графически на рис.1г, определяют области действия полу- ченных решений для различных схем расположения упругого ядра сечения. С учетом равенств (2), (3), (8) из (15) следует: , . (17) Девять произвольных постоянных интегрирования дифференциальных уравнений определяются из девяти граничных условий, имеющих вид: при x=l1: , , , (18) при x=l2: , , , (19) при x=l: , (20) где первая группа условий (18), (19) относится к внутренним границам, а вторая (20) обеспечивает консольное закрепление стержня длиной l. Переходя к шарнирно опертому стержню замечаем (рис.1б), что полученные расчетные соотношения не изменяются за исключением формул (4), (20), которые с учетом симметрии расчетной схемы следует представить следующим образом: , , (21) при x=0: , при x=l: . (22) Необходимо отметить, что полученный набор решений для перемещений стержня является наиболее полным, так как включает все варианты распределе- ния упругих и пластических деформаций. При этом возможны частные случаи, когда в пролете стержня отсутствует одна из зон I, II, или когда весь стержень деформируется упруго. Наличие соотношений (15)-(17) позволяет заранее про- извести соответствующий анализ и сформировать условия, аналогичные равен- ствам (18), (19). В этом случае целесообразно обеспечить автоматическое вы- полнение этих условий и исключить из решения часть произвольных постоян- ных. Тогда расчетные соотношения для отдельного стержня e принимают вид: , (23) где - матрица искомых перемещений; - матрица известны частных реше- ний для сечений различного типа и различных нагрузок, и при этом обеспечи- вающая условия совместности перемещений для внутренних границ стержня; - матрица фундаментальных решений дифференциальных уравнений; - вектор-столбец произвольных постоянных общего решения этих уравнений. Компоненты векторного равенства (23) имеют следующий вид: , , , , (24) где матрица a(x) соответствует структуре решения (9), (14). Наличие соотношений (23), (24) позволяет производить расчеты не только отдельных стержней прямоугольного сечения, но и статически определимых стержневых систем в упруго-пластической стадии работы материала. При этом составная конструкция может быть образована последовательным соединением участков, а также иметь структуру ветвящегося типа. В последнем случае гра- ничные условия задачи формируется автоматически по формулам [19]: , j=1,2…m, (25) , j=1,2…m1, (26) где n - число участков-элементов длиной Le; m, m1 - число узлов и простых уз- лов стержневой системы; - матрицы, преобразующие перемещения из локального в глобальный базис и одновременно осуществляющие необходимую компоновку внешних связей и элементов в узле j; - вектор-столбец внешних заданных кинематических воздействий в узле j; ? - параметр, принимающий значения 0 и 1 для начального и конечного сечений элемента. Как показано в работе [19], общее число условий внешнего опирания конст- рукции (25) и сопряжения элементов-стержней системы (26) составляет 3n. Сле- довательно, подстановка зависимостей (23) в граничные условия (25), (26) приво- дит к замкнутой системе неоднородных линейных алгебраических уравнений от- носительно неизвестных произвольных постоянных (e=1, n). Определив эти постоянные, получаем в явном виде искомые функции перемещений (23). Решение задачи для отдельного стержня проиллюстрируем численно на примере с исходными данными: l=3 м, b=0,1 м, h=0,15 м, E=206000 МПа, ?p=240 МПа, Px=400 кН, Py=44 кН. На рис.3а показаны границы области пла- стических деформаций консольного стержня, полученные по формулам (1), (10) при Px=0 (пунктирные линии) и Px?0 (сплошные линии). В первом случае имеем l1=l2=2,045 м и высоту упругого ядра сечения, примыкающего к заделке ?Z=Z1-Z2=38,7 мм. Наличие продольной силы изменяет форму области неупру- гого деформирования таким образом, что ее размеры характеризуются парамет- рами l1=2,222 м, l2=1,818 м, ?Z=25,8 мм. На рис.3б представлены результаты для прогибов консольного стержня из упругого материала (кривая 1), упруго- пластического материала при Px=0 (кривая 2), упругопластического материала при Px?0 (кривая 3). Перемещения на свободном конце стержня для указанных вариантов расчета составили 68,35 мм, 83,34 мм, 89,41 мм. Следовательно, на- личие продольной силы привело к увеличению максимальных прогибов на 7,3%. Расчет шарнирно опертого стержня при действии указанной на рис.1б нагрузки показал, что все результаты на половине пролета совпадают с результатами рас- чета консольного стержня. С помощью представленного точного решения вы- полнена проверка вычислительного комплекса ANSYS при использовании ко- нечного элемента Beam189. Максимальный прогиб составил 89,07 мм. Разница результатов точного и конечно-элементного расчета не превышает 0,38 %. Далее рассмотрим результаты точного аналитического решения для стерж- невой системы, представленной на рис.1в. Геометрические параметры конст- рукции: L1=2 м, L2=3 м, L3=1 м, L4=2,5 м, ?=30°, ширина всех сечений b=0,1 м, высота сечения горизонтального участка и наклонного стержня соответственно h1=0,15 м, h2=0,22 м. Характеристики материала аналогичны предыдущему примеру. Значения нагрузок: Py=50 кН, Px=124 кН, M=140 кН•м, q=10 кН/м. Ну- мерация узлов и стержней приведена на рис.1в, где также показана глобальная система координат XOY. Оси x местной системы отсчета направлены от начала к концу стержня. Условия внешнего опирания (25) в развернутом виде записы- ваются следующим образом: , . (27) Аналогично для условий сопряжения стержней (26) имеем: , , , (28) где обозначено: , . (29) На рис.3в в масштабе 10:1 изображены перемещения стержневой системы в упруго-пластической (сплошные линии) и упругой (пунктирные линии) поста- новке. В первом и втором случае максимальный прогиб горизонтального участ- ка конструкции wmax составляет соответственно 119,58 мм и 92,86 мм. На рис.3г показаны границы зон пластического течения конструкции. При этом l1= 1,666 м, l2= 1,559 м, ?Z= 367 мм. Результаты расчета той же задачи по программе ANSYS приведены в таб- лице 1. Там же производится сравнение результатов точного и конечно- элементного (в скобках) расчетов для различных уровней нагрузки Py при про- чих неизменных параметрах. Длина конечных элементов Beam189 составляет 0,1 м, количество слоев сетки по высоте сечения равно 30. Таблица 1 Py, кН wmax, мм ?Z, мм ?, % 50 119,58 (119,41) 55,1 0,14 55 140,23 (139,63) 45,1 0,43 60 180,77 (178,01) 32,1 1,53 65 375,59 (303,70) 5,72 19,14 Как следует из таблицы 1, точность конечно-элементного расчета сущест- венно зависит от соотношения упругих и пластических деформаций по высоте сечений. Так, в наиболее нагруженном сечении при ?Z /h1?0,3 погрешность составляет не более 0,43%, а при приближении к предельному состоянию, ко- гда ?Z /h1=0,03813, она достигает 19,14%. Заключение 1. Получено новое точное решение краевой задачи для стержня и плоской статически определимой стержневой системы ветвящегося типа в физически нелинейной постановке. 2. Установлены в явном виде размеры зон с различными схемами располо- жения упругого ядра прямоугольного сечения. Автоматическое выполнение условий сопряжения указанных зон позволяет снизить количество произволь- ных постоянных для каждого стержня в общем случае с девяти до трех. 4. Тестирование конечного элемента Beam189 показало существенную за- висимость точности вычислений комплекса ANSYS от соотношения упругих и пластических деформаций.

Об авторах

ЭДУАРД ЯКОВЛЕВИЧ ЕЛЕНИЦКИЙ

Автор, ответственный за переписку.
Email: elenit@list.ru

к.т.н., доцент

Список литературы