К ВЫБОРУ РЕШЕТКИ БАЛОЧНОЙ ФЕРМЫ

Аннотация

Приводятся аналитические решения задачи о прогибе плоской статически определимой фермы с раскосной решеткой. Решение сравнивается с аналогичным для фермы с треугольной решеткой. Преобразования выполнены в системе компьютерной математики Maple, обобщение на произвольное число панелей - методом индукции. Получены асимптотические свойства решений. Выведены формулы для усилий в наиболее сжатых и растянутых стержнях

Полный текст

Постановка задачи. Проще всего оценить жесткость, прочность и эксплуатационные свойства сооружения, анализируя соответствующие аналитические решения. Альтернативный и наиболее распространенный способ - численный расчет различных вариантов конструкции. При этом полной картины численный анализ не дает, получение же аналитических решений для сооружений с достаточным для полноценного анализа числом параметров в общем случае затруднительно. Современные математические программы (Maple, Mathematica, Maxima) позволяют достаточно легко вывести формулу для прогиба и напряжений в элементах конструкций, например, в фермах, с некоторой определенной конфигурацией, с заданным числом элементов, произвольными размерами, свойствами материала и нагрузками. Вывести же зависимость решения от числа панелей можно лишь обобщая ряд решений задач с различным числом панелей. Это возможно для регулярных периодических схем. Применительно к такой задаче в [1-5] разработан и апробирован на различных конструкциях метод индукции. Этот же метод применяется и в настоящей работе для сравнительного анализа двух ферм с различными типами решеток. В качестве основной рассмотрим симметричную ферму с треугольной решеткой с дополнительными шпренгелями (рис. 1), содержащую n панелей в половине пролета. Рис. 1. Ферма 1, n=3 Вывод формул для прогиба. Для вывода формулы зависимости прогиба фермы от числа панелей и ее размеров воспользуемся программой [1], рассчитывающей в аналитической форме усилия в стержнях. В программу заложен метод вырезания узлов. Ферма содержит 6n + 3 узла и m = 12n + 6 стержней вместе с тремя опорными стержнями. Ввод данных начинается с заданием координат узлов. Нумерация идет слева направо, сначала по нижнему поясу (узлы 1,...,2n+2), затем по верхнему (узлы 2n+3,..., 6n+3). Имеем следующие координаты нижнего пояса: Координаты узлов верхнего пояса: По аналогии с заданием графа в дискретной математике конфигурация решетки задается специальными векторами, содержащими номера концов стержней. Так, например, нижний пояс задан векторами , верхний - В программе составляется матрица коэффициентов уравнений равновесия узлов в проекциях на оси координат. Решением системы уравнений получаем в символьной форме усилия в стержнях. Формула Максвелла-Мора дает выражение для прогиба (вертикальное перемещение среднего узла верхнего пояса) фермы с заданным числом панелей. Последовательный расчет десяти ферм позволяет выявить закономерность образования коэффициентов итоговой формулы. В результате имеем где - длины раскосов, EF - жесткость стержней, принятая одинаковой для всей фермы. Коэффициенты получены в результате решения рекуррентных уравнений с применением операторов rgf_findrecur и rsolve системы Maple: Первый оператор по данным расчета последовательности ферм возвращает рекуррентное уравнение, второй - его решение. Коэффициенты удовлетворяют уравнению шестого порядка с различными начальными условиями, остальные коэффициенты - уравнению . Аналогично выводится формула для прогиба фермы сравнения с более простой и распространенной на практике треугольной решеткой (рис. 2). Ферма содержит 4n + 3 узлов и m = 8n + 6 стержней вместе с тремя опорными. Прогиб имеет вид: где , Рис. 2. Ферма 2, n=5 На рисунке 3 приведены кривые прогиба для обеих ферм при длине пролета . Для фермы 1 принято . Графики построены при, . Введена относительная величина , где для фермы 1 , а для фермы 2 - , так, что суммарная нагрузка и длина пролета в обоих случаях одинаковые. Обе кривые обнаруживают минимум приблизительно при одних и тех же значениях чисел панелей n. Найденная экстремальная точка отвечает вполне реальным для высоты h=3 м значениям длин панелей l = 3,6 м, a = 1,2 м и может быть использована в практике для оптимизации жесткости сооружения. Рис. 3. Усилия в критических стержнях и асимптотика. Одновременно с выводом формулы для прогиба можно получить и аналитические выражения для усилий в наиболее сжатых и растянутых стержнях, что необходимо для оценки устойчивости и прочности конструкции. Наиболее растянутый () стержень в ферме 1 будет в середине нижнего пояса: наиболее сжатый - в середине верхнего пояса: Аналогично получается и в ферме сравнения: Аналитическая форма решения позволяет легко получить асимптотику решения для прогибов ферм. Оба решения (как и ранее в ферме 1 принимаем a=b) обнаруживают наклонную асимптоту, зависящую только от высоты фермы: . Выводы. Полученные решения для двух ферм выявили, что ферма 1 с дополнительными раскосами имеет несколько большую жесткость по сравнению со стандартной фермой 2 с треугольной решеткой. Экстремальные и асимптотические параметры обеих ферм близки или совпадают. Ранее метод индукции и программа [1] применялись при получении точных решений в задачах о прогибе пространственных [5, 6] и плоских [7-11] ферм. Обзоры некоторых аналитических решений для плоских ферм содержатся в [12, 13].