ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗГИБНОЙ ФОРМЫ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ КОНСТРУКТИВНО-АНИЗОТРОПНЫХ ПАНЕЛЕЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ В ОПЕРАЦИОННОЙ СРЕДЕ MATLAB

Полный текст

В операционной среде MATLAB построена программа и реализован процесс компьютерной многокритериальной оптимизации конструктивно-анизотропных панелей из композиционных материалов, которые находятся в условиях силового воздействия, приводящего к потере устойчивости. Рассматриваются задачи устойчивости плоской прямоугольной многослойной панели из полимерных волокнистых композиционных материалов с эксцентричным продольно-поперечным набором (рис. 1, 2) и плоской прямоугольной композитной панели с несимметричной по толщине структурой пакета. Панели находятся под действием постоянных погонных усилий, приложенных к кромкам в плоскости обшивки. Граничные условия на контуре соответствуют условиям частного вида, являются согласованными в отношении плоской задачи и задачи изгиба. Тонкостенные панели несущих поверхностей ЛА из высокомодульных и высо- копрочных композиционных материалов усилены дискретным набором, в том чис- ле, с целью предотвращения потери устойчивости, к которой могут привести сжи- мающие и сдвигающие распределённые усилия, приложенные к кромкам в плоско- сти обшивки. Таким образом, исследование устойчивости плоских прямоугольных конструктивно-анизотропных композитных панелей является актуальным с точки зрения практики проектирования. Согласно традиционной схеме, используемой при проектировании, наиболь- ший интерес для практических расчётов представляет - определение критических сил общей изгибной формы потери устойчивости рассматриваемой тонкостенной системы, когда число полуволн много меньше чис- ла стрингеров, - определение критических сил многоволнового крутильного выпучивания, связанного с изгибом обшивки в направлении нормали к поверхности между узла- ми пересечений и поворотом рёбер без искажения формы профиля. Для исследования изгибной формы потери устойчивости панели правомочной является математическая модель, построенная на основе принципов конструктив- ной анизотропии с «размазыванием» жесткостей подкрепляющих элементов. В рамках предлагаемой расчётной модели рассматриваются тонкостенные подкрепляющие элементы, которые находятся в условиях сложного сопротивления вследствие одностороннего контакта с обшивкой. Дальнейшее развитие теории тонкостенных упругих стержней применительно к общей контактной задаче для обшивки и ребра с уточнением модели последнего при закручивании составляет научную новизну работы. Задача устойчивости так же, как и задача о докритическом напряжённом со- стоянии, является связанной, то есть не разделяется на плоскую и изгиб пластины. Согласно гипотезе Кирхгофа для компонент вектора перемещений k-ого слоя обшивки , (1) где u0(x,y) и v0(x,y) - перемещения u и v при z = 0, то есть в плоскости приведения. Так как структура слоистой обшивки и всей конструктивно-анизотропной па- нели несимметрична, в расчётной схеме теряется смысл срединной поверхности. Плоскость приведения, в которой располагаются координатные оси и, соответст- венно, начало отсчёта координаты z, в дальнейшем может быть выбрана произ- вольно. С использованием соотношений Коши, закона Гука с учётом влияния тем- пературы и предварительного натяжения волокон, а также формул преобразования напряжений при повороте осей координат компоненты тензора напряжений k-ого слоя панели определяются равенствами: , (2) где , i, j = 1, 2, 6 - жёсткости слоя, , j = 1, 2, 6 - коэффициенты темпера- турного расширения слоя, , j = 1, 2, 6 - деформации натяжения слоя, - приве- дённые к осям координат панели, ?T - разность между комнатной температурой и температурой отверждения при расчёте остаточных температурных напряжений, либо интенсивность внешнего температурного поля. В силу совместной работы в одностороннем контакте с обшивкой элементы набора находятся в условиях косого изгиба и стеснённого кручения. Для определе- ния напряжённо-деформированного состояния (НДС) рёбер жёсткости применяется предложенный В.З. Власовым вариационный метод расчёта тонкостенных про- странственных систем в перемещениях [2] , дающий возможность построить тео- рию тонкостенных упругих стержней без введения гипотезы об отсутствии дефор- мации сдвига срединной поверхности профиля. Перемещения и углы поворота па- нели и подкреплений по линиям контакта считаются равными. Компоненты напряжённо-деформированного состояния k-ого слоя композит- ных стрингеров вычисляются по формулам: , (3) . (4) Здесь депланация поперечного сечения u4(x) полагается свободной, строится в соответствии с эпюрой секториальных площадей для открытых конту- ров. Учитывается деформация сдвига при кручении тонкостенного стержня, кото- рая определяется его поворотом относительно выбранного полюса, а также относи- тельно центра изгиба в рамках поправок по теории «чистого» кручения. , - длины перпендикуляров, опущенных на касательную к контуру в рас- сматриваемой точке из точки контакта стрингера с обшивкой и из центра изгиба, соответственно, определяет дополнительный момент инерции продольного ребра при «чистом кручении». Аналогичным образом строятся перемещения и напряжения рёбер жесткости, расположенных по оси y. Ниже рассматривается упрощённый вариант математической модели, соответ- ствующий предположению о малости нормальных напряжений, обусловленных изгибом подкреплений в плоскости панели и депланацией их поперечных сечений. Используя асимптотические свойства и пренебрегая членами, соответствующими краевым эффектам, в выражениях (3), (4) будем считать, что стержни работают на растяжение-сжатие, изгиб из плоскости пластины и кручение. При этом в даль- нейшем задача сводится к исследованию медленно меняющегося основного на- пряжённого состояния в рамках разрешающего уравнения восьмого порядка в ча- стных производных. В расчётной схеме плоской прямоугольной гладкой панели из полимерных во- локнистых композиционных материалов, обладающей анизотропией вследствие несимметрии свойств структуры пакета по толщине, распространение гипотезы Кирхгофа на всё тело анизотропной среды является правомочным. Уравнения равновесия и естественные граничные условия выводятся с помо- щью вариационного принципа Лагранжа в результате минимизации функционала полной потенциальной энергии системы: , где . (5) После осреднения жесткостных характеристик ортогонально расположенных подкреплений по обшивке задача сводится к нахождению перемещений базисной поверхности приведения. Уравнения равновесия панели при действии внешней погонной нагрузки в на- правлении нормали к поверхности представляют собой систему трёх дифференци- альных уравнений относительно искомых функций перемещений - u0 (x, y), v0 (x, y), w (x, y). Данная система может быть сведена к одному разрешающему диффе- ренциальному уравнению относительно потенциальной функции Ф(x,y), через ко- торую выражаются все расчётные величины задачи, в том числе перемещения: (6) Третье уравнение системы на основании формул связи (6) приводится к неод- нородному линейному дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка относительно искомой функции Ф(x, y) вида: (7) Обобщённые жёсткости в линейных дифференциальных операторах уравнений равновесия, коэффициенты Ri,j, (i=4,3,…,0, j=0,1,…,4) Ri,j , (i=5,4,…,0 , j=0,1,…,5), Si,j , (i=5,4,…,0, j=0,1,…,5) в формулах связи (6) и Ki,j , (i=8,7,…,0 , j=0,1,…,8) в разрешающем уравнении (7) - постоянные величины, зависящие от упругих свойств материала и геометри- ческих параметров конструкции, x = x/a, y = y/b в (7) - безразмерные координаты. Естественные граничные условия (8) позволяют построить выражения для внутренних силовых факторов, например: (9) Здесь и далее , , , , , , , - температурные усилия и моменты, , , , , , , , - усилия и момен- ты от натяжения; Ai,j , Bi,j , Di,j , i, j = 1,2,6 - обобщённые жесткости, определяемые характеристиками материала и геометрией панели. Согласно формулам (9) усилия и моменты зависят как от функций продольно- го и тангенциального смещений в плоскости обшивки - u0 (x, y), v0 (x, y), так и от функции прогиба w(x, y). В рассматриваемой постановке задача не разделяется на плоскую и изгиб пластины. Внутренние силовые факторы композитной обшивки без подкреплений с не- симметричной по толщине структурой пакета могут быть получены путём интег- рирования соответствующих компонент тензора напряжений по толщине, что обу- словлено возможностью распространения гипотезы Кирхгофа на всё тело анизо- тропной среды. В этом случае система уравнений равновесия строится через усилия и моменты в канонической форме. Если структура композиционного материала и композитной панели ортотроп- на, то жёсткости A16 = A26 = 0 и жесткостями B16, B26, D16, D26 можно пренебречь вследствие их малости по сравнению с остальными жесткостными характеристика- ми. Тогда линейные дифференциальные операторы связи (6), для симметричных компонентов НДС и линейный дифференциальный оператор разрешающего урав- нения (7) содержат лишь производные чётной степени по каждой из координат. Ко- со-симметричные компоненты НДС определяются нечётными производными. Решение задачи устойчивости осуществляется на основе общего дифференци- ального уравнения устойчивости 8-го порядка, построенного на основе дифферен- циального уравнения равновесия с учётом приведённой нагрузки от действия нор- мальных Nx, Ny и тангенциальных Nxy, Nyx усилий, которое имеет следующий вид: . (10) Прогиб w(x, y) связан с потенциальной функцией Ф(x, y) соотношением: . Если структура композитной панели ортотропна, задача сводится к исследова- нию дифференциального уравнения, в левой части которого содержатся чётные производные Ф(x, y) по каждой из координат, а нечётные производные в правой части связаны со сдвигом, то есть . (11) Все компоненты напряжённого состояния и внутренние силовые факторы - усилия в плоскости обшивки могут быть выражены через потенциальную функцию Ф(x, y): , (12) где, например, для ортотропной структуры и т. д. Коэффициенты , i =6,4,2,0 , j =0,2,4,6 так же, как и коэффициенты в формулах связи (6), определяются геометрией и упругими характеристиками материала кон- струкции. При непосредственной подстановке соотношений (12) в правую часть уравне- ния (11) задача устойчивости конструктивно-анизотропной композитной панели становится нелинейной, и, с точки зрения прямого подхода, её исследование в точ- ной постановке связано с определёнными математическими трудностями. Ограни- чиваясь в дальнейшем приближённым решением, для определения критических сил применим метод линеаризации. Для определения нормальных и сдвигающих усилий, вызванных внешней на- грузкой, рассмотрим напряжённо-деформированное состояние конструкции при продольном изгибе, то есть докритическое основное напряжённое состояние, кото- рое, согласно предложенной расчётной схеме, является сложным, так как не разде- ляется на плоскую задачу и изгиб пластины. Далее задачу устойчивости, из реше- ния которой может быть найдено дополнительное по отношению к исходному де- формированию искривление поверхности приведения, будем формулировать как задачу о собственных значениях, определяя критические нагрузки из условия не- тривиальности системы однородных линейных алгебраических уравнений, полу- ченной при выполнении условий на контуре. Рассмотрим определение критических сил общей изгибной формы потери ус- тойчивости плоской прямоугольной несимметрично подкреплённой композитной панели ортотропной структуры. Граничные условия соответствуют шарнирному опиранию в отношении изгиба и скользящей заделке в тангенциальном направле- нии в отношении плоской задачи, когда края панели нагружены потоками каса- тельных сил. По двум противоположным сторонам распределены равномерно нор- мальные сжимающие усилия интенсивности P. В первом приближении, пренебрегая переменностью докритического напря- жённого состояния, положим, что до потери устойчивости Nx = -P, Nxy = Nyx = Ny = 0. Тогда уравнение изогнутой поверхности запишем в виде , (13) где x = x/a, y = y/b - относительные координаты: a, b - длина и ширина панели, со- ответственно. Интеграл уравнения (13), удовлетворяющий краевым условиям: , (14) представим двойным тригонометрическим рядом: , (15) где m и n - параметры волнообразования. Тогда равенство , (16) где c = a/b, при m = 1, 2, 3,… и n = 1, 2, 3,… даст спектр значений параметра P, при котором становится возможным деформирование поверхности приведения ви- да (15). Для определения критического значения нагрузки Pкр выражение (16) необхо- димо минимизировать по параметрам волнообразования, то есть решить экстре- мальную задачу. Считая в дальнейшем число полуволн n в направлении стороны b фиксирован- ным и полагая, таким образом, усилие P функцией одной переменной ?= m/c, при- равниваем нулю её производную ?P/?? = 0.. Если соотношение сторон c удовлетворяет условию c = /?, где - целое число, а ? - наименьший положительный действительный корень алгебраического уравнения двенадцатого порядка (17) в выражении (16) следует положить m = , и полученное значение критической силы будет наименьшим из всех, определяемых по этой формуле. 251658240 Для уточнения величины критического усилия строятся соотношения между параметрами волнообразования и отношением сторон панели c в том случае, когда при одной и той же критической нагрузке окажутся возможными две формы равно- весия: c m полуволн и с (m + 1) - ой полуволной в направлении стороны a. 251658240 Рис. 2 Традиционный подход к построению функции Ф(x, y) в виде разложения её в двойные ряды по системе тригонометрических функций (15) позволяет исследовать критические параметры панелей с граничными условиями лишь частного вида, ко- торые соответствуют шарнирному опиранию в отношении изгиба, а в отношении плоской задачи - защемлению в тангенциальном направлении при нагружении контура потоками касательных сил. Если краевые условия отличны от условий (14), представляется возможным оценить влияние технологии изготовления на несущую способность конструктив- но-анизотропной композитной панели: остаточных температурных напряжений, имеющих место при охлаждении после завершения процесса отверждения, и пред- варительного натяжения армирующих волокон. Решение строится в одинарных тригонометрических рядах или методом одно- родных решений, либо принимается во внимание докритическое напряжённое со- стояние конструкции. В соответствии с изложенным алгоритмом на языке операционной среды MATLAB разработан пакет прикладных программ для PC, предназначенный для проведения расчётов на устойчивость и процесса оптимизации проектирования конструктивно-анизотропных панелей из композиционных материалов. В качестве примера на рис. 1, 2 представлены результаты определения крити- ческих параметров эксцентрично подкреплённых в продольно-поперечном направ- лениях и стрингерных, соответственно, прямоугольных панелей из углепластика, находящихся под действием постоянной погонной сжимающей нагрузки; n - число полуволн в направлении координаты y, m - число полуволн в направлении коорди- наты x. Для коротких панелей при отношении сторон c < 0,75 характерно многоволно- вое крутильное выпучивание n = 6, m = 8 (рис. 1). При отношении сторон c = 0,75 панель становится равноустойчивой. Панели с 0,75 < c < 2,0 теряют устойчивость по общей изгибной форме n = 1, m = 1, при c > 2,0 по общей изгибной форме n = 1, m = 2. Чем ниже жёсткость стержней на изгиб, высота стенки стрингера c4x < 25 мм, тем выше вероятность общей изгибной формы потери устойчивости n = 1, m = 1. Когда высота стенки стрингера c4x > 25 мм, панель теряет устойчивость по крутиль- ной форме n = 6, m = 7 (рис. 2). При фиксированном расстоянии между стрингерами высота стенки профиля выбирается таким образом, чтобы сжатая в продольном направлении панель не те- ряла устойчивости по различным формам при заданном уровне внешнего нагруже- ния. Выполнена компьютерная многокритериальная оптимизация конструктивно- анизотропных композитных панелей ЛА. Так как решение строится точными ана- литическими методами, время расчёта варианта минимально, что представляет ин- терес с точки зрения практики проектирования с использованием параметрического анализа. Результаты расчётов на устойчивость дают возможность снижения и оп- тимизации весовых характеристик конструкции. Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 17-08-00849/17)

Об авторах

ВАЛЕРИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ ФИРСАНОВ

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) МАИ

Автор, ответственный за переписку.
Email: k906@mai.ru

ФИРСАНОВ ВАЛЕРИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Машиноведение и детали машин», Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) МАИ, 125993, Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва

125993 Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва

ЛЮБОВЬ МИХАЙЛОВНА ГАВВА

Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет) МАИ

Email: k906@mai.ru

ГАВВА ЛЮБОВЬ МИХАЙЛОВНА, кандидат технических наук, ведущий инженер кафедры «Про- ектирование самолётов», доцент кафедры «Машиноведение и детали машин», Московский авиаци- онный институт (Национальный исследовательский университет) МАИ

125993 Волоколамское шоссе, д. 4, г. Москва

Список литературы