ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БУБНОВА - ГАЛЕРКИНА ДЛЯ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН

Полный текст

Подобные элементы часто можно представить в форме пластины. Оценка устойчивости в условиях эксплуатации и несущей способности таких конструкционных элементов является актуальной задачей, которая требует учета специфических особенностей поведения при деформировании анизотропных материалов [1-3]. Характерным видом расчетов конструкций из композиционных анизотропных материалов являются расчеты на устойчивость при действии сжимающей нагрузки в срединной поверхности анизотропных пластин [3, 4]. В работе предложена методика расчета на устойчивость при сжатии прямоугольных пластин из ортотропного материала, как частного случая учета анизотропии упругих свойств [2]. В работе [5] рассмотрен расчет на устойчивость анизотропной (ортотропной) прямоугольной пластины, свободно опертой по контуру, при действии усилий в плоскости срединной поверхности. Методика расчета при этом основана на применении решения аналогичного решению Навье с использованием двойных тригонометрических рядов [4]. Авторами получены математические соотношения, определяющие условия потери устойчивости ортотропной прямоугольной пластины и позволяющие рассчитать минимальные значения критической нагрузки. В данной работе приведена методика расчета на устойчивость при сжатии ортотропной прямоугольной пластины с использованием метода Бубнова - Галеркина [6] . При этом учтено, что анизотропный материал пластины в отношении своих упругих свойств обладает тремя плоскостями симметрии [1, 2]. Для описания характеристики упругих свойств ортотропного материала в случае плоского напряженного состояния достаточно знать четыре упругих постоянных материала: E?x, E?y - аналоги модулей упругости в направлении осей x и y соответственно, E?? - упругая постоянная, которая связывает направления x и y, G - модуль сдвига ортотропного материала. Устойчивость пластины при сложном нагружении определяется поперечной нагрузкой и силами, действующими в плоскости срединной поверхности. Дифференциальное уравнение сложного изгиба анизотропной прямоугольной пластины без учета поперечной нагрузки имеет вид [5]: , (1) где w(x,y) - функция прогибов; ; , , , - жесткости при изгибе в соответствующих направлениях; h - толщина пластины; Nx, Ny, Nxy - погонные усилия, действующие в срединной поверхности пластины. Для решения дифференциального уравнения (1) используем приближенный метод решения задач - метод Бубнова - Галеркина, в соответствие с которым искомая функция прогибов задается в виде ряда [6] , (2) где bi - неизвестные коэффициенты; wi(x,y)- подходящие функции, удовлетворяющие краевым условиям задачи изгиба прямоугольной пластины под дейст- вием сжимающей нагрузки, лежащей в срединной поверхности; n - количество членов ряда. По методу Бубнова - Галеркина с учетом (1) и (2) должны выполняться равенства: , (k=1,2,…,n). (3) Применение метода Бубнова - Галеркина позволяет привести уравнения (3) к системе n алгебраических уравнений: (4) Коэффициенты (i = 1,2,…n; k = 1,2,…n) системы (4) определяются следующим интегралом, который рассчитывается по площади пластины: . (5) Система уравнений (4) имеет ненулевое решение при условии равенства нулю определителя, составленного из коэффициентов [6]. Записав это условие, имеем . (6) Раскрывая определитель (6), получим уравнение n-ой степени, из решения которого определяются значения критической нагрузки. В качестве примера применения приведенной методики рассмотрим задачу оценки устойчивости прямоугольной свободно опертой по контуру ортотропной пластины под действием сжимающего усилия Nx. Расчетная схема задачи приведена на рис.1. Рис.1. Расчетная схема нагружения пластины Дифференциальное уравнение (3) с учетом того, что усилие Nx является сжимающим, примет вид . (7) Функция прогибов пластины должна удовлетворять граничным условиям свободного опирания по контуру, а именно: (8) В этом случае можно задать функцию w(x,y) в виде двойного тригонометрического ряда: , (9) где m и n - количество полуволн синусоид в направлении x и y при сжатии и потере устойчивости пластины. Преобразования и вычисления, произведенные с функцией (9) и соответствующие методу Бубнова - Галеркина, приводят к соотношению, определяющему значение нагрузки Nx в следующем виде: . (10) В задачах устойчивости актуальным является определение минимальных значений критической нагрузки. Предполагая, что при потере устойчивости пластина деформируется в направлении y в форме, соответствующей одной полуволне синусоиды (n=1), из соотношения (10) определили значение сжимающей нагрузки Nx в виде: , (11) Минимальное значение усилия (11) определили из условия: . (12) Из условия (12) рассчитали значение параметра m, соответствующее минимальному значению Nx, а, следовательно, критическому значению сжимающей нагрузки: . (13) Подставим (13) в (11), получим окончательно выражение для расчета критической нагрузки: . (14) Зная характеристики ортотропного материала, используя соотношение (14), можно рассчитать критическую нагрузку при потере устойчивости прямоуголь ной свободно опертой по контуру ортотропной пластины при сжатии. В частном случае, при сведении решения, полученного для критической нагрузки при оценке устойчивости ортотропной пластины, к анализу устойчивости изотропной пластины следует принять Dx = H = Dy = D (D - цилиндрическая жесткость изотропной пластины). При этом из (14) получим . (15) Значение критической нагрузки (15) совпадает с известным решением за- дачи устойчивости изотропной свободно опертой квадратной пластины [7, 8]. Таким образом, предложена методика определения критической нагрузки при оценке устойчивости анизотропной (ортотропной) пластины с использованием процедуры метода Бубнова - Галеркина. Методика применена для решения задачи устойчивости ортотропной свободно опертой по контуру прямоугольной пластины при сжатии в одном направлении под действием нагрузки, приложенной в срединной поверхности. Сведение полученного решения к за- даче устойчивости изотропной пластины показало согласование полученного решения с известным решением задачи устойчивости квадратной свободно опертой по контуру изотропной пластины под действием сжимающей нагрузки, ориентированной в одном направлении.

Об авторах

ГЕРМАН ЛЕОНИДОВИЧ КОЛМОГОРОВ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Автор, ответственный за переписку.
Email: dpm@pstu.ru

КОМОГОРОВ ГЕРМАН ЛЕОНИДОВИЧ, доктор технических наук, профессор кафедры Динамики и прочности машин, Пермский национальный исследовательский университет, 614990, пермский край, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, E-mail: dpm@ pstu.ru

614990, г. Пермь-ГСП, Комсомольский проспект, д. 29

ТАТЬЯНА ЕВГЕНЬЕВНА МЕЛЬНИКОВА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Email: dpm@pstu.ru

МЕЛЬНИКОВА ТАТЬЯНА ЕВГЕНЬЕВНА, кандидат технических наук, доцент кафедры Динамики и прочности машин, Пермский национальный исследовательский университет, 614990, пермский край, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29

614990, г. Пермь-ГСП, Комсомольский проспект, д. 29

ЕЛЕНА ОЛЕГОВНА АЗИНА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Email: dpm@pstu.ru

АЗИНА ЕЛЕНА ОЛЕГОВНА, магистр техники и технологий, кафедра Динамики и прочно- сти машин, Пермский национальный исследовательский университет, 614990, пермский край, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29

614990, г. Пермь-ГСП, Комсомольский проспект, д. 29

Список литературы