КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С УЧЁТОМ НЕЛОКАЛЬНОГО ДЕМПФИРОВАНИЯ

Аннотация

Статья посвящена анализу влияния нелокального демпфирования материала на вынужденные колебания стержней, находящихся под действием периодической де- терминированной и стохастической стационарной поперечной нагрузки. Исследуется связь параметров нелокального демпфирования с характеристиками колебательного процесса стержней. Для решения задачи используется метод Бубнова-Галеркина.

Полный текст

1. Введение Многие строительные конструкции подвержены динамическим воздейст- виям, к которым можно отнести нагрузки от движущегося транспорта и пеше- ходов, ветровые нагрузки, сейсмические воздействия и др. При расчете конст- рукций на динамические воздействия необходимо учитывать, что энергия коле- баний постепенно рассеивается за счет внешнего и внутреннего трения, в ре- зультате чего происходит затухание колебаний. Демпфирование в некоторой точке стержня с координатой , отсчитывае- мой вдоль его оси, очевидно, зависит не только от локального значения скоро- сти движения в той же точке , но и от значения скорости в соседних точ- ках, причем степень их влияния друг на друга считается тем меньше, чем боль- ше расстояние между ними. H.T. Banksand D.J. Inman [1] рассмотрели механизм демпфирования в ком- позитных материалах на примере консольной балки с сосредоточенной массой на свободном конце. В этой работе экспериментально исследуются четыре мо- дели демпфирования: модель вязкого трения, частотно-независимая модель внутреннего трения, временной гистерезис и пространственный гистерезис. Ре- зультаты динамических испытаний в сочетании с приближенной моделью ис- пользуются для формирования и решения поставленной задачи методом наи- меньших квадратов. Полученные в результате эмпирические значения коэффи- циентов демпфирования сравниваются с коэффициентами, полученными путем математического моделирования. В 1992 г. D.L.Russell [3] предложил модель нелокального демпфирования для динамического анализа композитной балки. Lei, Friswell и Adhikari в статье [2] рассматривают использование модели нело- кального демпфирования с учетом эффекта пространственного и временного гистерезиса для динамического анализа конструкций, состоящих из балок и тонких пластин. В отличие от обычной локальной модели, демпфирующие силы вычисляются как среднее от поля скоростей в пространстве, определяемом яд- ровой функцией. Результирующее уравнение движения для балок и пластин представляет собой интегрально-дифференциальное уравнение в частных про- изводных, тогда как для локальной модели используется дифференциальное уравнение в частных производных. Приближенные решения задачи о собст- венных значениях и формах собственных колебаний с учетом нелокального демпфирования получены методом Бубнова-Галеркина. В работе [6] исследу- ется влияние нелокального демпфирования материала на устойчивость стержня, находящегося под действием продольной силы, детерминированной или ме- няющейся во времени случайным образом. В настоящей работе решается задача о вынужденных колебаниях стержней с учетом нелокального демпфирования материала с использованием модели, предложенной в работе [2]. Приводится численное решение и изучается влия- ние характеристик нелокального демпфирования на динамическое поведение стержня при действии периодической детерминированной и стационарной сто- хастической поперечной нагрузки. 2. Постановка задачи Часто для описания процесса демпфирования колебаний стержней исполь- зуется гипотеза Фойгта: , (1) где ?, - нормальное напряжение и относительная осевая деформация, - скорость изменения деформации, Е - модуль Юнга, - коэффициент демпфи- рования.Здесь и далее точкой обозначена производная по времени t. При учете нелокального демпфирования вместо выражения (1) использует- ся соотношение[2]: (2) Здесь - ядро оператора, характеризующего внутреннее демпфиро- вание.Функция удовлетворяет условиям нормирования, то есть: . (3) В работе [2] рассматриваются четыре различных варианта ядра: в виде экспоненциальной функции: , (4) в виде функции ошибок: , в виде прямоугольника: , в виде треугольника: . Здесь ? и - параметры, характеризующие масштаб нелокальности демпфирования материала, , - координаты, отсчитываемые вдоль оси стерж- ня. В данной работе в качестве функции используется экспоненци- альное ядро (4). Уравнение равновесия для элементарного участка стержня имеет следую- щий вид: , (5) причем w(x, t) -прогиб стержня, - погонная масса стержня, - интенсив- ность погонной нагрузки. Используя гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли) получим выра- жение для изгибающего момента: , (6) где EI - изгибная жесткость стержня. Подставляя в левую часть соотношения (5) выражение второй производной по х от момента M(x,t), приходим к уравнению относительно функции прогиба w(x,t): . (7) Решение этого уравнения должно удовлетворять граничным условиям при х=0 и x=l.Функцию будем искать в виде разложения по формам собст- венных колебаний упругого стержня: . (8) Здесь - обобщенные перемещения, а - базисные функции. Для определения обобщенных перемещений fi(t) воспользуемся методом Бубнова-Галеркина. В результате получим систему дифференциальных урав- нений: , (9) где , - частота собственных колебаний стержня [14], а . 2. Численные примеры Далее рассмотрим стальной стержень длиной 10 м и жесткостью защемленный по концам. Тогда граничные условия на обоих его концах записываются следующим образом: . (10) Базисные функции имеют вид [7]: , (11) вычисляется как i-ыйкорень характеристического уравнения . Чтобы несколько упростить процесс вычислений, избавимся от второй производной в третьем слагаемом в уравнении (9). Для этого воспользуемся ин- тегрированием по частям. Тогдасоотношение (9) принимает вид: . (12) Здесь z и y - безразмерные координаты - , , - безразмерное время , , , - минимальная частота собственных колебаний стержня. В результате решения системы дифференциальных уравнений (12) опреде- ляются значения функций fi(t), а с использованием выражения (8) и прогиба стержня. 3.1. Колебания стержня под действием постоянной нагрузки Сначала необходимо установить минимальное число слагаемых в разложе- нии прогиба w(x,t), которые необходимо учесть для достижения достаточной точности результатов. Для этого рассмотрим балку, загруженную постоянной равномерно распределенной нагрузкой . Из табл.1 видно, что значения прогибов в середине стержня, которые соот- ветствуют учету соответственно первых пяти и семи форм собственных колеба- ний полностьюсовпадают. Поэтому в дальнейших расчетах используются пер- вые 5 форм собственных колебаний стержня. Таблица 1 - Величины прогибов в середине стержня при учёте разного количества форм собственных колебаний Количество форм Величина прогиба в середине стержня, м 1 -0.0268 3 -0,0264 5 -0,0265 7 -0,0265 3.2. Колебания стержня под действием периодической нагрузки Учет нелокального демпфирования в модели осуществляется при помощи масштаба влияния (параметра . Чем больше значение , тем ближе рас- сматриваемая модель к традиционной фойгтовской модели затухания колеба- ний. Рассмотрим поведение стержня, загруженного периодической нагрузкой, изменяющейся по синусоидальному закону: (13) где A - амплитуда изменения вынуждающей силы, - ее частота, - время. Процесс моделируется при различных значениях параметра . На рис.1 изображен процесс изменения прогиба в середине стержня во времени при . Для сравнения результатов, полученных при различных значени- ях ,амплитуды прогибов в середине стержня приведены в табл. 2. Таблица 2. Амплитуды прогибов в середине стержня при различных значениях параметра ? ?, 1/м Амплитуда прогиба в середине стержня, м 0.2 0,0386 0.5 0,0283 1 0,0215 Из табл. 2 видно, что с увеличением параметра уменьшается амплитуда колебаний.Наименьшая амплитуда наблюдается при использовании классиче- ской модели Фойгта. 3.3. Колебания стержня под нагрузкой, представляющей собой случай- ный стационарный процесс. Рассмотрим, как влияет учет нелокального демпфирования на характери- стики колебательного процесса под действием равномерно распределенной на- грузки, представляющей собой случайный стационарный процесс с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью: . (14) Здесь - дисперсия случайного процесса, и параметры, характеризую- щие масштаб корреляции и частоту скрытой периодичности изменения нагруз- ки. Для моделирования случайного стационарного процесса воспользуемся ме- тодом канонических разложений [4], для чего случайную функцию представим в виде: . (15) Здесь - некоррелированные случайные величины, распреде- лённые по нормальному закону, с математическими ожиданиями равными нулю и дисперсиями одинаковыми для каждой пары случайных величин с одинако- выми индексами k.Для вычисления этих дисперсий на оси ? выделяем участок общей длиной 2L, так что начало координат находится посередине этого участ- ка. При спектральную плотность можно считать равной нулю. Весь выбранный отрезок разбиваем на равные участки длиной . Тогда дисперсия случайных величин вычисляется по формуле: (16) Нагрузка, смоделированная как случайный стационарный процесс, являет- ся постоянной по всей длине стержня в каждый отдельный момент времени и представляет собой гауссовский процесс. Корреляционная функция для нагруз- ки, построенная по четыремстам реализациям случайного процесса, представ- лена на рис. 2. Сплошной линией изображена корреляционная функция, полу- ченная теоретически, она определяется по формуле: . (17) Пунктирной линией изображена корреляционная функция, вычисленная из данных, полученных при моделировании случайного процесса. Десять реализаций процесса колебаний стержня под действием нагрузки, смоделированной таким образом, представлены на рис. 3. Жирной линией пока- зано математическое ожидание случайного процесса. Нормированная корреляционная функция для нагрузки представлена на рис. 4. Для наглядности результаты, полученные при моделировании колебатель- ного процесса при различных значениях параметра , представлены в форме гистограмм и приведены на рисунке 5. Математические ожидания для обеих гистограмм равны нулю, а дисперсии составляют 0,0021 для гистограм- мы, полученной при , и 0,0008 - при . Из рис. 5 видно, что с увеличением параметра , что соответствует при- ближению модели демпфирования к классической модели Фойгта, происходит уменьшение размаха колебаний. 4. Заключение В статье проведен анализ влияния нелокального демпфирования материала стержня, находящегося под действием детерминированной периодической и стохастической стационарной нагрузки, на характеристики колебательного процесса. Разработана компьютерная модель стержня с учетом нелокального демпфирования, определено количество форм собственных колебаний, необхо- димых для достижения требуемой точности расчета.