МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТРЕЩИНЫ В ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЯХ ПРИ КРУЧЕНИИ С ИЗГИБОМ

Аннотация

В статье рассматривается вопрос моделирования пространственной трещины железобетонной конструкции, работающей на изгиб с кручением. Рассмотрены вари- анты моделирования поверхности пространственной трещины прямым геликоидом, бикубической поверхностью Кунса и билинейной поверхностью. Проведен анализ этих поверхностей и сделан выбор наиболее подходящего варианта моделирования.

Полный текст

Вопросам моделирования пространственной трещины при сложном сопро- тивлении на сегодняшний день посвящено сравнительно небольшое количество работ. При кручении с изгибом на первый взгляд наиболее приемлемой моде- лью является прямой геликоид [1-3] с направлением закручивания вокруг оси Z. Прямым геликоидом (рис. 1) называется винтовая линейчатая поверхность, описываемая прямой, которая пересекает ось геликоида под прямым углом, вращается с постоянной скоростью вдоль этой же оси. Скорости этих движений пропорциональны. В общем случае всякая точка образующей прямого геликои- да описывает винтовую линию. Задание поверхности прямого геликоида осуществляется формулой: , (1) где с- смещение образующей прямой при повороте ее на 1 рад (см. рис. 1). Анализ поверхности прямого геликоида показывает, что такая поверхность приемлема лишь для железобетонных конструкций круглого сечения. Если же мы ставим задачу моделирования поверхности пространственной трещины для железобетонных конструкций,например,прямоугольного сечения, то ис- пользование уравнения прямого геликоида здесь явно неудобно. Попытки использования прямого геликоида при вращении образующей относительно других осей (например,X) не улучшает ситуацию при моделировании пространственной трещины. Более того, для конструкций прямоугольного сечения пересечение прямого геликоида с ее гранями требует введения дополнительных ограничений, что явно усложняет ее математическое описание. Проведенный анализ экспериментальных исследований железобетонных конструкций при кручении с изгибом показывает, что пространственная трещи- на также может быть промоделирована бикубической поверхностью Кунса или билинейной поверхностью со смещением угловых точек этих поверхностей вдоль оси железобетонной конструкции. Бикубическая поверхностьКунса представляет собой гладкую поверхность, построенную по 4-м граничным кривым (рис.2). Для всех четырех граничных кривых бикубической поверхности Кунса ис- пользуются нормализованные кубические сплайны. Уравнение для определения любой точки на бикубической поверхности Кунса записывается в виде: Рис.2. Бикубическая поверхность Кунса , (2) где ; - параметр, характеризующий отношение, в ко- тором кубический сплайн, содержащий искомую точку на поверхности Кунса и лежащий параллельно сплайнам ABи CD, делит сплайны AC и BD; ; - параметр, характеризующий отношение, в котором кубический сплайн, содержащий искомую точку на поверхности Кунса и лежащий парал- лельно сплайнам AC и BD, делит сплайны ABи CD; ; ; [P] - матрица, содержащая всю геометрическую информацию, необходимую для генерации одного бикубического куска поверхности Кунса. Анализ уравнения бикубической поверхности Кунса показывает, что для однозначного определения данной модели необходимо найти довольно большое количество различных параметров, что неоправданно усложняет моделирова- ние.Билинейная поверхность конструируется из четырех угловых точек в пара- метрическом пространстве, т.е. из точекА[yA, zA], В[yB, zB], С[yC, zC], D[yD, zD]. Отметим, что в качестве основной принята именно плоскость YOZ для удобства дальнейшего перехода к объемному элементу реальной пространственной тре- щины железобетонной конструкции, продольную ось которой удобно обозна- чить как ось X. Изображениетакой билинейной поверхности на плоскости YOZ приведено на рис.3. Математическое описание билинейной поверхности представлено парамет- рическим выражением для определения координат любой точки K на указанной плоской поверхности.Предположим, что точка K лежит на пересечении 2-х прямых HL и NM, параллельных соответственно прямым AC(BD) и AB(СD) (см. рис. 2). Прямая HL делит AB(СD) в отношении w:(1 - w), а NM делит соот- ветственно прямую AC(BD) в отношении u:(1- u). В таком случае координаты точки K находятся из выражения: . (3) Определенная таким образом точка Kбудет перемещаться по всей плоской поверхности при изменении параметров u и w от 0 до 1. Если координатные векторы четырех точек, определяющих билинейную поверхность, заданы в трехмерном объектном пространстве, то будет трехмер- ной и билинейная поверхность, получаемая в результате отображения параметрического пространства в объектное. При этом угловые точки будут иметь уже три координаты: А[xA, yA, zA], В[xB, yB, zB], С[xC, yC, zC], D[xD, yD, zD] (рис.4, а). В ходе аналитического исследования и анализа свойств билинейной поверхности были выявлены следующие ее закономерности: 1) все свойства билинейной поверхности сохраняются и для трехмерного объектного пространства при любых изменениях координаты Х угловых точек поверхности (при этом указанные изменения ординаты точек независимы друг от друга (см. рис.4, б, в, г); 2) билинейная поверхность может быть вписана не только в квадратное се- чение в плоскости YOZ, но и в прямоугольное; 3) в отличие от прямого геликоида для железобетонных конструкций пря- моугольного сечения пересечение с боковыми поверхностями не требует введе- ния дополнительных ограничений. Выражение (3) для трехмерного объектного пространства принимает фор- му: . (4) В случае необходимости учета депланации поверхности в плоскости XOZ в выбранных точках также за основу принимается билинейная поверхность. При этом каждое слагаемое в правой части уравнения (4) следует умножить на функцию f(x, z): , (5) где , a и b - размеры поперечного сечения, равные половине ширины и высоты сече- ния соответственно. а) б) в) г) Рис.4. Общий вид трехмерной билинейной поверхности и примеры ее трансформа- ции при изменении значения координат угловых точек: а - произвольная 3-хмерная билинейная поверхность; б - ее трансформация при смещении т.Вна значение (-0.5h), а т.D на значение (-h) вдоль оси X относительно положения (а); в - то же при смещении т.В и т.Dна значение (-h) вдоль оси X относительно положения (а); г - то же при сме- щении т.В на значение (-h) вдоль оси X относительно положения (а) Выявленные закономерности билинейных поверхностей позволяют исполь- зовать их для описания геометрической формы пространственных трещин, воз- никающих в железобетонной конструкции при кручении с изгибом. Рис.5. Общий вид образования трещины по предлагаемой билинейной поверхности в железобетонном элементе, работающем на кручение с изгибом Анализ проведенных экспериментальных исследований [5-9] показал так- же, что наиболее вероятным случаем развития пространственной трещины яв- ляется вариант, при котором длина ее проекции вдоль оси X элемента колеблет- ся в пределах от l = hтр. до l=2hтр. (см. рис. 4, б, в, г). При этом высота hтр. опре- деляется как высота растянутой зоны бетона. Следует отметить, что исследованиями [4] уже была получена методика по определению длины проекции C на ось Х элемента балки (рис. 5), что в даль- нейшем можно использовать для определения координат угловых точек по- верхности пространственной трещины. На основании проведенного в данной работе исследования был сделан вы- вод о том, что билинейная поверхность является наиболее приемлемым вариан- том математического моделирования пространственной трещины в железобе- тонной конструкции при кручении с изгибом как наиболее простая в описании, но обеспечивающая при этом достаточную точность при выполнении расчетов