Том 30, № 4 (2022)

Считается, что основным препятствием к применению римановой геометризации уравнений Максвелла является недостаточное количество параметров, задающих геометризованную среду. При классическом описании уравнений электродинамики в среде используется тензор проницаемостей, имеющий 20 компонент. При римановой геометризации тензор проницаемостей строится из риманового метрического тензора, имеющего только 10 компонент. Предполагается, что данное несоответствие мешает применению римановой геометризации уравнений Максвелла. В статье предложено определить, действительно ли недостаток компонент является критическим для применения римановой геометризации уравнений Максвелла. Для определения области применимости римановой геометризации рассмотрены наиболее распространённые варианты электромагнитных сред. Для них выписана структура диэлектрической и магнитной проницаемостей, определено количество значащих компонент для этих тензоров. Показано, что практически все рассмотренные типы электромагнитных сред требуют менее десяти параметров для описания тензора проницаемостей. При римановой геометризации уравнений Максвелла критическим является требование единичного импеданса среды. Обойти данное ограничение возможно путём перехода от полных уравнений Максвелла к приближению геометрической оптики. Показано, что риманова геометризация уравнений Максвелла применима для большого разнообразия типов среды, но только для приближения геометрической оптики.

В статье рассматривается связь между модами, бегущими вдоль оси волновода, и стоячими модами цилиндрического резонатора. Показывается, как данная связь может быть исследована с помощью системы компьютерной алгебры Sage. В работе мы исследуем эту связь и на её основе описываем новый метод построения дисперсионной кривой волновода с оптически неоднородным заполнением. Целью нашей работы было выяснить, что могут дать системы компьютерной алгебры при вычислении (точек) дисперсионной кривой волновода. Метод построения дисперсионной кривой волновода с оптически неоднородным заполнением, предложенный нами, отличается от предложенных ранее тем, что сводит эту задачу к вычислению собственных значений самосопряжённой матрицы, то есть к задаче, хорошо изученной. Использование самосопряжённой матрицы исключает возникновение артефактов, связанных с появлением малой мнимой добавки у собственных значений. Мы составили программу в системе компьютерной алгебры Sage, в которой реализован этот метод для волновода прямоугольного сечения с прямоугольными вставками, и протестировали её на SLE-модах. Полученные результаты показали, что программа успешно справляется с вычислением точек дисперсионной кривой, отвечающих гибридным модам волновода, и найденные точки с графической точностью ложатся на аналитическую кривую даже при небольшом числе учитываемых базисных элементов.

В работе показана связь между фокусирующей неоднородностью эффективного показателя преломления волноводной линзы Люнеберга и неравномерностью толщины волноводного слоя, порождающей эту неоднородность. Для закона дисперсии нерегулярного тонкоплёночного волновода в модели адиабатических мод волновода решается задача математического синтеза и компьютерного проектирования профиля толщины волноводного слоя для тонкоплёночной обобщённой волноводной линзы Люнеберга с заданным фокусным расстоянием. Расчёты ведутся в нормированных специальным образом координатах для адаптации используемых соотношений к компьютерным расчётам. Полученное решение сравнивается с таким же решением в рамках метода сечений. Работоспособность алгоритма, реализованного в Delphi, была продемонстрирована путём построения дисперсионных кривых и семейства дисперсионных кривых, показывающих критическую сходимость. В качестве дополнительного результата были синтезированы профили толщины дополнительного нерегулярного по толщине волноводного слоя, образующего тонкоплёночную обобщённую волноводную линзу Люнеберга. Этот результат обобщает результаты Саутвелла.

Рассмотрена задача о корректном асимптотическом построении радиальной структуры линейно неустойчивых собственных электростатических колебаний ионно-звукового типа, распространяющихся в однородном цилиндрическом столбе замагниченной плазмы вдоль осевого однородного магнитного поля. В цилиндрической области пространства координат сформулирована задача на собственные значения с краевыми условиями первого и второго рода (электродинамического и гидродинамического типа) для волнового уравнения ионно-звуковых колебаний. На основе базовых принципов геометрической оптики предложен метод построения дискретного спектра мелкомасштабных неустойчивых колебаний исследуемой системы, в основе которого лежит явное представление о типе краевых условий - проводимости и поглощающих свойствах стенки, ограничивающей плазменный цилиндр. При помощи уравнения эйконала получено дисперсионное соотношение для неустойчивых собственных мелкомасштабных мод, дестабилизированных за счёт эффектов дифференциального вращения - неоднородного по радиусу профиля угловой скорости ионов, вращающихся вокруг оси симметрии, вдоль которой направлен вектор индукции магнитного поля. Для корректного построения спектра дискретных инкрементов неустойчивых колебаний предложен универсальный рецепт подбора радиальных волновых чисел мелкомасштабных собственных мод в соответствии с каким-либо из типов краевых условий.