Assistant Professor of Department of Algebra and Geometry
Associate Professor, Department of Fine art
The article presents the implementation of one of the approaches to the integration of dynamical systems, which preserves algebraic integrals in the original fdm for Sage system. This approach, which goes back to the paper by del Buono and Mastroserio, makes it possible, based on any two explicit difference schemes, including any two explicit Runge-Kutta schemes, to construct a new numerical algorithm for integrating a dynamical system that preserves the given integral. This approach has been implemented and tested in the original fdm for Sage system. Details and implementation difficulties are discussed. For testing, two Runge-Kutta schemes were taken having the same order, but different Butcher tables, which does not complicate the method due to paralleling. Two examples are considered - a linear oscillator and a Jacobi oscillator with two quadratic integrals. The second example shows that the preservation of one integral of motion does not lead to the conservation of the other. Moreover, this method allows us to propose a practical application of the well-known ambiguity in the definition of Butcher tables.
В статье представлена реализация одного из подходов к интегрированию динамических систем, при котором сохраняются алгебраические интегралы в оригинальной системе fdm for sage. Этот подход, восходящий к статье дель Буоно и Мастросерио, позволяет на основе двух любых явных разностных схем, в том числе любых двух явных схем Рунге-Кутты, сконструировать новый численный алгоритм интегрирования динамической системы, сохраняющий заданный интеграл. Этот подход реализован и протестирован в оригинальной системе fdm for sage. Обсуждены детали и трудности реализации. Для тестирования в качестве двух схем взяты две схемы Рунге-Кутты одного порядка, но с разными таблицами Бутчера, что не приводит к усложнению метода благодаря распараллеливанию. Рассмотрено два примера - линейный осциллятор и осциллятор Якоби, имеющий два квадратичных интеграла. На втором примере показано, что сохранение одного интеграла движения не приводит к сохранению другого. Проделанные эксперименты подтверждают, что данный подход может быть использован и при нестандартном выборе исходных схем. Более того, этот метод позволяет предложить практическое применение хорошо известной неоднозначности в определении таблиц Бутчера.