Docent, Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Applied Probability and Informatics
It is generally accepted that the main obstacle to the application of Riemannian geometrization of Maxwell’s equations is an insufficient number of parameters defining a geometrized medium. In the classical description of the equations of electrodynamics in the medium, a constitutive tensor with 20 components is used. With Riemannian geometrization, the constitutive tensor is constructed from a Riemannian metric tensor having 10 components. It is assumed that this discrepancy prevents the application of Riemannian geometrization of Maxwell’s equations. It is necessary to study the scope of applicability of the Riemannian geometrization of Maxwell’s equations. To determine whether the lack of components is really critical for the application of Riemannian geometrization. To determine the applicability of Riemannian geometrization, the most common variants of electromagnetic media are considered. The structure of the dielectric and magnetic permittivity is written out for them, the number of significant components for these tensors is determined. Practically all the considered types of electromagnetic media require less than ten parameters to describe the constitutive tensor. In the Riemannian geometrization of Maxwell’s equations, the requirement of a single impedance of the medium is critical. It is possible to circumvent this limitation by moving from the complete Maxwell’s equations to the approximation of geometric optics. The Riemannian geometrization of Maxwell’s equations is applicable to a wide variety of media types, but only for approximating geometric optics.
Считается, что основным препятствием к применению римановой геометризации уравнений Максвелла является недостаточное количество параметров, задающих геометризованную среду. При классическом описании уравнений электродинамики в среде используется тензор проницаемостей, имеющий 20 компонент. При римановой геометризации тензор проницаемостей строится из риманового метрического тензора, имеющего только 10 компонент. Предполагается, что данное несоответствие мешает применению римановой геометризации уравнений Максвелла. В статье предложено определить, действительно ли недостаток компонент является критическим для применения римановой геометризации уравнений Максвелла. Для определения области применимости римановой геометризации рассмотрены наиболее распространённые варианты электромагнитных сред. Для них выписана структура диэлектрической и магнитной проницаемостей, определено количество значащих компонент для этих тензоров. Показано, что практически все рассмотренные типы электромагнитных сред требуют менее десяти параметров для описания тензора проницаемостей. При римановой геометризации уравнений Максвелла критическим является требование единичного импеданса среды. Обойти данное ограничение возможно путём перехода от полных уравнений Максвелла к приближению геометрической оптики. Показано, что риманова геометризация уравнений Максвелла применима для большого разнообразия типов среды, но только для приближения геометрической оптики.