Propagation of Nonlinear Waves in Coaxial Physically Nonlinear Cylindrical Shells Filled with a Viscous Fluid

Full Text

Постановка задачи В современной волновой динамике одним из важных направлений является изучение поведения волн деформаций в упругих оболочках. Для абсолютно жёсткой трубы с круговым сечением ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости под действием гармонического по времени перепада давления исследовано в [1]. Для трубы - упругой цилиндрической оболочки проведено аналогичное исследование в [2-5], а с учётом жидкости в [6]. Проблемы распространения волн в вязкоупругих и нелинейно вязкоупругих тонкостенных конструкциях, в том числе цилиндрических оболочках, без взаимодействия с вязкой несжимаемой жидкостью рассматривались ранее с позиции теории солитонов [7]. Известны математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках [8, 9], содержащих вязкую несжимаемую жидкость, на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, в виде обобщённых уравнений Кортевега де Вриза (КдВ). Выявлены эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны. В случае органического материала (кровеносные сосуды) наличие жидкости приводит к быстрому затуханию волны. Методом возмущений по малому параметру задачи получены математические модели волнового процесса в бесконечно длинных геометрически нелинейных соосных цилиндрических упругих оболочках [10, 11], отличающиеся от известных учётом наличия несжимаемой вязкой жидкости между оболочками, на основе связанных задач гидроупругости, которые описываются уравнениями динамики оболочек и несжимаемой вязкой жидкости с соответствующими краевыми условиями, в виде системы обобщённых уравнений КдВ. Выявлены эффекты влияния несжимаемой вязкой жидкости между оболочками на поведение волны деформаций в соосных оболочках. Наличие волны деформаций во внешней оболочке приводит к возникновению волны деформаций во внутренней оболочке, которой не было в начальный момент времени, и происходит «перекачка энергии» (через слой жидкости) от внешней оболочки к внутренней, которая сопровождается немонотонным падением амплитуды волны во внешней оболочке, и, как следствие, немонотонным снижением скорости её распространения. При этом во внутренней оболочке происходит немонотонное увеличение амплитуды. Вследствие колебаний амплитуд и скоростей с течением времени их скорости и амплитуды выравниваются. Рассмотрим две соосные бесконечно длинные упругие оболочки на рис. (1), внутри которых находится вязкая несжимаемая жидкость. Ширина щели, занимаемой жидкостью d, радиус срединной поверхности оболочки R; R1 = R(1) -h0 /2 - внутренний радиус внешней оболочки; R2 = R(2) + h(2)/2 - внешний радиус внутренней оболочки; R3 = R(2) - h0 /2 - внутренний радиус внутренней оболочки, R(1), R(2) - радиусы срединных поверхностей внешней и внутренней оболочек; h(1), h(2) - их толщины. Все механические перемещения внутренней оболочки обозначены индексом (2) сверху, а внешней - индексом (1). Рис. 1. Упругие бесконечно длинные соосные цилиндрические оболочки Записывая уравнение движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява, считаем материал нелинейно-упругим с кубической зависимостью интенсивности напряжений si от интенсивности деформаций ei [12]: где E - модуль Юнга, m - константа материала, которая определяется из опытов на сжатие или растяжение. Уравнение движения несжимаемой вязкой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрической системе координат (r, Θ, x) в случае осесимметричного течения [13, 14] записываются в виде: На границе оболочек и жидкости на рис. 1 при r = Ri W (i) выполняются условия прилипания жидкости [14] Здесь t - время; r, x - цилиндрические координаты; r , - проекции на оси цилиндрической системы координат вектора скорости; (i) - продольное упругое перемещение оболочки по оси x; W (i) - прогиб оболочки, положительный к центру кривизны; R1 - внутренний радиус внешней оболочки; R2 - внешний радиус внутренней оболочки (R1 = R2 + d); d - толщина слоя жидкости при кольцевом сечении трубы, i = 1 относится к внешней, а i = 2 относится к внутренней оболочке; - давление в жидкости; - плотность жидкости; - кинематический коэффициент вязкости. Уравнения динамики физически нелинейной оболочки записываются в виде [15, Здесь 0 - коэффициент Пуассона, 0 - плотность материала оболочек; x - продольная координата. Нижние индексы у перемещений обозначают соответствующие частные производные. Напряжения со стороны слоя жидкости определяются формулами В подходе Эйлера здесь имеем Здесь n¯ - нормаль к срединной поверхности i-й оболочки, n¯r , ¯i - орты базиса (r, Θ, ) цилиндрической системы координат, центр которой расположен на геометрической оси. Если снести напряжения на невозмущённую поверхность оболочки, то можно считать -n¯ = n¯r и cos --n¯, n¯r = 1, cos ----n¯, ¯i = 0. Напряжения q˜, q˜n со стороны жидкости, которая находится во внутренней оболочке определяется теми же формулами (4), (5), в которых плотность жидкости ˜, коэффициент кинематической вязкости ˜. Уравнения динамики оболочек Принимая длину волны l за характерный размер и обозначая амплитуду продольного перемещения um и прогиба m, переходим к безразмерным переменным. Здесь 0 - скорость звука в оболочке. Полагаем Введём полухарактеристические (бегущие) координаты и растянутое время (6) где - неизвестная безразмерная скорость волны. Разделим обе части 1-го уравнения (3) на получим Разложим упругие перемещения по степеням = um/l: подставим их в уравнения, разделим обе части уравнений на = um/l и, оставляя члены 0 и 1, получим Приравнивая нулю коэффициенты при 0, будем иметь систему уравнений Из этой системы следует, что ml u(i) = u(i) , (︀1 - 2 - 2)︀ u(i) = 0. Следовательно u10 - произвольная функция, а безразмерная скорость волны в замене координат (6) имеет значение = √︀1 - . Приравниваем коэффициенты при в правых и левых частях уравнений и учитываем предыдущие результаты, тогда получаем Умножим обе части второго уравнения на 0, продифференцируем по , затем вычтем его из первого уравнения и разделим обе части полученного уравнения на . В результате получим систему уравнений В случае, когда жидкость отсутствует, правая часть уравнений становится равна нулю, и получаются независимые модифицированные уравнения Кортевега де Вриза (МКдВ). Определение напряжений действующих на оболочки со стороны жидкости Кольцевое сечение Введём безразмерные переменные и параметры Во введённых безразмерных переменных получим уравнения гидродинамики и граничные условия Полагая теперь d/l = 0, d/R2 = 0 (нулевое приближение по d/l - гидродинамическая теория смазки), а также d d0 = 0 - ползущие течения, получим уравнения гидродинамики и граничные условия: r = - 3 , = 0 при r* = 1 - lu и r* = -lu. Раскладывая давление и компоненты скорости по степеням малого параметра l, имеем Для первых членов разложения получим те же уравнения и граничные условия С точностью до , l получим Из уравнений движения жидкости получаем с учётом граничных условий Подставляя в уравнение неразрывности, получим Тогда, учитывая условия при r* = 0, получаем Удовлетворяя условиям при r* = 1, найдём При этом имеем В результате найдём Учитывая, что , найдём Круговое сечение Рассматривая круговое сечение, введём безразмерные переменные и параметры В этих переменных получим уравнения гидродинамики и граничные условия при r* = 1 - lu ; , - ограничены при r* = 0: r* = 0, r* = 0. Полагая теперь = 0 (нулевое приближение по - гидродинамическая теория смазки [17]), а также R30 = 0 - ползущие течения [18, 19], получаем уравнения гидродинамики Раскладывая давление и компоненты скорости по степеням малого параметра l: для первых членов разложений получим те же уравнения и граничные условия вида Определим теперь в этих переменных напряжения со стороны жидкости на оболочке. С точностью до l, имеем Получаем Решение уравнений гидродинамики легко получить (это классические уравнения гидродинамической теории смазки). Из уравнений движения имеем Здесь учтены граничные условия при r* = 1, r* = 0. Подставляя в уравнение неразрывности, получаем Тогда, учитывая условия при r* = 0, получим Удовлетворяя граничным условиям при r* = 1, найдём Интегрируя, получим Учитывая, что введены переменные (6), найдём с точностью до и с учётом связи (11) При этом Тогда учитывая, что ml u(2) = u , получаем Уравнения динамики с учётом наличия жидкости между оболочками и во внутренней оболочке Система уравнений (7) с учётом найденной правой части (12) примет вид Здесь с принятой точностью h0 ≈ (), d обозначено R(1) ≈ R(2) = R, при этом положено h(1) ≈ h(2) ≈ h0. Можно также ввести обозначения u(1) Получаем систему уравнений Система уравнений (13) имеет в качестве точного решения с верхнем знаком - при 6(1)2(1) и при s = 0 (отсутствие жидкости во внутренней оболочке) следующее точное решение (14) Численное моделирование В работах [20-22] развит подход к построению разностных схем, основанный на построении переопределённой системы разностных уравнений, получаемой из аппроксимации интегральных законов сохранения и интегральных соотношений, связывающих искомые функции и их производные. В результате разностная схема определяется как условие совместности для данной системы. Таким образом получается разностная схема, автоматически обеспечивающая выполнение интегральных законов сохранения по областям, составленным из шаблонов интегрирования построения. Запишем систему уравнений (13) в интегральной форме для любой области Ω. Для перехода к дискретной формулировке сопоставим и выберем в качестве базового контур, показанный на рис. 2. Добавим интегральные соотношения Рис. 2. Базовой контур для уравнения (15) Используя для интегрирования по времени и первой производной по формулу трапеций, а по второй производной по формулу среднего значения и полагая tn+1 - tn = , +1 - = h, перепишем соотношения (15), (16) в виде Поскольку пакет [21] работает только в случае линейных разностных идеалов, а исходное дифференциальное уравнение (13) нелинейно, заменим нелинейную часть введением дополнительной функции F (i) = 2u(i) . За счёт выбора допустимого упорядочения так, чтобы u(1) u(2) . . . F (1) F (1), а затем по переменным n, , нелинейная часть не будет входить в лидирующие мономы системы при построении базиса Грёбнера и структура базиса позволить проверить принадлежность искомой разностной схемы. В результате получим следующую разностную схему для уравнения (13), аналогичную схеме Кранка-Николсона для уравнения теплопроводности Полученные неявные разностные схемы имеют кубическую нелинейность для следующего временного слоя. При построении решения использована следующая линеаризация Количество итераций для достижения точности 10-12 на следующем временном слое, как правило, не превышало 2-3. Шаг по времени t брался равным половине шага по переменной . Программа расчёта была написана на языке Python с использованием пакета SciPy (http://scipy.org). При отсутствии жидкости во внутренней оболочке, как показано в работе [10], возникает нелинейная волна деформации во внутренней оболочке, в которой её не было в начальный момент времени, и амплитуды волн деформации в соосных оболочках со временем начинают совпадать. Эти амплитуды в два раза меньше исходной амплитуды волны деформации внешней оболочки в начальный момент времени. Выполненные вычислительные эксперименты, показанные на рис. 3, позволили оценить влияние вязкой несжимаемой жидкости во внутренней оболочке на поведение нелинейной волны деформации при значении параметра s > 0. Рис. 3. Графики численного решения уравнений (13) при s = 0.7 с начальным условием (2) = 0 и с (1), взятого из точного решения (14) при t = 0 с k = 0.2 Сначала происходит выравнивание амплитуд с их дальнейшим линейным ростом, при этом угол наклона амплитуды волны больше во внутренней оболочке. Наблюдается линейный синхронный рост амплитуды волны относительно времени в обеих оболочках при более сильном во внутренней оболочке.

About the authors

Y A Blinkov

Saratov State University

Email: blinkovua@info.sgu.ru
83, Astrahanskaya str., Saratov, Russian Federation, 410012

A V Mesyanzhin

Industrial Automatics Design Bureau JSC

Email: a.v.mesyanzhin@gmail.com
239, B. Sadovaya str., Saratov, Russian Federation, 410005

L I Mogilevich

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: mogilevich@sgu.ru
77, Politekhnicheskaya str., Saratov, Russian Federation, 410054

References

Supplementary files