Гнездовидные плоские центральные конфигурации трапециевидной формы в классическом и обобщенном вариантах общей задачи (4n+1)-тел

Полный текст

Введение Продолжая развивать теорию центральных конфигураций (ЦК) небесных тел [1], основанную классиками небесной механики - Эйлером, Лагранжем, Лапласом и Лиувиллем в XVIII- XIX вв., на рубеже XIX-XX вв. было доказано существование плоских ЦК в задачах 4 и 5 тел [2-11]. Анализ предшествующих работ позволил A. Wintner (1941) сформулировать их строгие определения и теоремы существования [12]. Многочисленные ЦК в рамках задачи (n+1)-тел, относящиеся к трем последним десятилетиям, рассмотрены в работах [13-16], на основе которых были проведены дальнейшие исследования [17-21]. С появлением вычислительных программных пакетов были проведены расчеты для ЦК многих типов [22-24]. Среди множества исследованных видов ЦК встречаются так называемые «каскадные» или «гнездовидные» («nested», анг.) [25], состоящие из последовательно вложенных один в другой многоугольников, в вершинах которых находятся тела. В упомянутых работах предполагалось, что входящие в ЦК тела имели сферическую структуру, т.е. являлись шарами и рассматривались как материальные точки с однородной структурой [26] (классические ЦК). Целью данной работы является получение доказательства существования плоских гнездовидных ЦК трапециевидной формы в упомянутой задаче (4n+1)-тел при n = 2, 3,…, p как без центрального тела, так и с шаровым центральным телом (классические варианты) [27; 28]. Все численные результаты получены с помощью программного пакета Maple. 1. Общий вид уравнений движения тел. Стационарные решения Уравнения пространственного движения тел Pk с массами , 1, . . . , ; k = 1, …, n (l - число вложенных один в другой подобных многоугольников; k - число вершин многоугольников) в относительной гелиоцентрической системе координат P0xyz, вращающейся с постоянной угловой скоростью ω вокруг тела P0 с массой М, имеют вид [29]: - 2ω - ω = = - ( + ) + + - - + + - - + 2ω - ω = = - ( + ) + - ± - + , (1) - + - - - + + - - где = + , Δ = ( - ) +( - ) +( - ) . При записи системы уравнений (1) предполагалось, что все тела P0, Pk притягиваются по 342 закону Ньютона и взаимодействующие один с другим тела Pk не оказывают влияние на движение центрального тела P0 в виду << , т.е. рассматривается планетный случай. Отметим также, что первая сумма в правой части системы уравнений (1) отражает гравитационное взаимодействие тела Plk с телами внутри «первого» многоугольника (l = 1), а вторая сумма учитывает гравитационное взаимодействие этого же тела Pk с телами, расположенными в вершинах «второго» (l = 2) и последующих (l = 3, …, p) многоугольников. Рассмотрим стационарные решения системы уравнений (1) = ̄ = const, = ̄ = const, = ̄ = const, определяющие центральную конфигурацию. Поскольку в этом случае имеет место ̄ = ̄ = 0 , ̄ = ̄ = 0 , ̄ = ̄ = 0, необходимыми и достаточными условиями существования пространственных центральных конфигураций будут: ω = (- - ∑- ̄ Далее будут рассматриваться лишь плоские ЦК, поэтому последнее уравнение системы (2) исключается и имеет место = + , = ( - ) + ( - ) . 2. Необходимые и достаточные условия существования в общем виде плоских гнездовидных трапециеобразных ЦК Рассмотрим плоские ЦК в форме равнобедренных необязательно подобных трапеций (рис. 1) с взаимно перпендикулярными диагоналями и с центральным телом P0. Рис. 1. Гнездовидная плоская трапециеобразная центральная конфигурация с центральным телом P0 И с т о ч н и к : составлено авторами Figure 1. Nestshaped flat trapezoidal central configuration with a central body P0 S o u r c e : made by the authors Запишем детальный общий вид относительно угловых скоростей вращения ωlk тел Pk необходимых и достаточных условий существования плоских ЦК последовательно для случаев одного многоугольника (l = 1), затем двух вложенных один в другой многоугольников (l = 1, 2), и, наконец, p (l = 1, 2, …, p) вложенных один в другой многоугольников. Таким образом, будем иметь при l = 1; k = 1, …, 4: ω = (+ ) - - - - - Δ - - - - Δ - - - Δ ……………………………………………………………… ω = (+ ) - - - - - Δ - - - - Δ - - - (3) Δ (↔). При l = 1, 2; k = 1, …, 4 к системе уравнений (3) добавятся: ω = (+ ) - - - - - Δ - - - - Δ - - - - Δ - - - - Δ - - - - Δ - - - - Δ (4) - - - Δ Аналогичные системы уравнений имеют место и для случая l = 1, 2, …, (p - 1), p; k = 1, …, 4, и затем для переменных у (↔). Для более удобной записи данные в соответствии с рис. 1 представлены в табл. 1. Подставляя значения ( , ) → (α , β ), приведенные в табл. 1, в системы уравнений (3)-(4), получаем «редуцированные» системы. Таблица 1 / Table 1 Фактические значения координат ( , ) тел Actual values of (xlk, ylk) coordinates of Pkl bodies = = - 1 2 3 4 ( ) α( ) 0 - ( ) 0 α 0 -α 0 ( ) 0 α( ) 0 α( ) 0 α 0 -α ( ) α( ) α( ) α( ) α( ) α α α α = = α 0 -α 0 α 0 -α 0 0 α 0 -α 0 α 0 -α α α α α α α α α При l = 1; k = 1, …, 4, (конфигурация «трапеция + шар») имеет место ω = + + (α 1 + α ) + - , ω = ω ω = + (α + α ) 1 1 +- , α ω = ω 0 = - α 1 1 - 2α α 0 = - + α α α 1 + α 1 - 1 - , (5) α + α α 1 1 + α. 2α α Аналогичные системы уравнений имеют место и для случая при l = 1, 2; k = 1, …, 4 (две трапеции + шар) и при l = 1, 2, …, (p - 1), p; k = 1, …, 4 (р трапеций + шар). Перейдем к доказательству существования решений приведенных иррациональных уравнений (1)-(5), подтверждающих существование гнездовидных ЦК (массы , тел P0, Plk должны быть положительными). Поскольку рассматриваются конкретные формы ЦК, расстояния α , являются известными в некоторых диапазонах, и система (1)-(5) сводится к системе линейных алгебраических уравнений. В табл. 2 приведены совокупности параметров ЦК в абсолютной (инерциальной) системе координат. Для нахождения этих координат последнее условие в системе уравнений (5), не участвующее в нахождении геометрических и физических параметров ЦК, записывается в виде уравнений: 0 = - (α + х ) 1 -+ 2(α + ) + (α + ) 1 (α + ) + (α - ) - . (6) Возьмем рассчитанную ранее таблицу геометрических и динамических параметров изолированной центральной конфигурации трапециевидного типа с шарообразным телом в центре [29], введя другие обозначения параметров в соответствии с обозначениями на рис. 1 (см. табл. 1), и получим расчеты для конфигурации из одной трапеции с шарообразным телом в центре и без него [30]. 3. Численный анализ необходимых и достаточных условий существования плоских обобщенных гнездовидных трапециевидных ЦК: шарообразное тело в центре Составим на основании табл. 2 расширенную таблицу параметров для состоящей уже из двух «кругов» плоской центральной конфигурации трапециевидного типа (табл. 3). Конфигурация «одна трапеция + шар» / «One trapezoid + sphere» configuration α α ω α α 2,0 1,2 2,30795 0,5 0,28058 5 2 1,2 15,0525 1 3,0 1,2 14,6761 1 0,55280 10 2 0,5 388,770 1 5,0 3,0 4,61450 1 0,03592 10 2 1,2 23,1832 0,5 2 1,2 4,39484 0,5 0,75879 10 5 3 25,4909 1 ω 0 2,95208 0 65,2218 0 5,06266 1 0,34197 Таблица 3 / Table 3 Конфигурация (две трапеции + шар) / «Two trapezoids + sphere» configuration α α ω 0 2,0 1,2 2,30795 0,5 0,28058 α α ω 4,0 2,4 18,1186 1,9343 0,28058 4,8 3,0 30,285 6,2283 0,28058 α α ω 1 2 1,2 4,3948 0,5 0,75879 α α ω 3,2 1,92 36,176 2,7895 0,75879 4,0 2,4 48,032 8,9805 0,75879 α α ω 5 2 1,2 15,0525 1 2,9521 α α ω 4,8 3,0 305,95 83,704 2,9521 α α ω 10 2 1.2 23.183 0.5 5.0626 α α ω 3,0 1,8 239,70 29,691 5,0626 4,0 3,0 328,79 152,03 5,0626 4,8 3,0 522,43 148,69 5,0626 α α ω 10 2 1,2 25,490 1 5,3432 α α ω 4,0 2,4 335,37 74,332 5,3432 α α ω 2,5 1,25 47,834 1 4,6020 α α ω 4,75 2,5 509,42 74,788 4,6020 α α ω 3,2 2 21,910 1 1,1622 α α ω 4,0 2,75 461,71 74,788 1,1622 Таблица 2 / Table 2 В приведенных системах уравнений (1) и условиях существования (3)-(5) ЦК тело с массой M является шаровым, т.е. эти условия соответствуют классическим вариантам ЦК. Считая значения геометрических и физических параметров (расстояния и массы) трапециевидной ЦК с одним изолированным многоугольником заданными, будем искать трапециевидной ЦК с двумя включенными один в другой многоугольниками, формирующими «гнездовидную» ЦК. Для этой цели используем систему уравнений (6) и записываем 6 равенств ω - ω = 0 , ω - ω = 0 ,…, ω - ω = 0 плюс рассматриваемое отдельно уравнение для квадрата общей угловой скорости вращения ЦК: ω = ω = (+ ) + 1 + 2+ α + β 1 + 2 1 α + β + -- α (α + α ) + - + + - . (7) Таким образом, имеем систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно масс mlk и М (размеры трапеций предполагаются заданными) вида ( + + (8) + + + ) = 0. Матрица коэффициентов системы имеет размер 6×5, ранг матрицы равен 5. Общее число неизвестных системы равно 10:4 расстояния α (расстояния в многоугольнике равны попарно), 4 массы mlk (массы равны попарно) и, наконец, центральная масса M и величина квадрата угловой скорости вращения ω . Однако, поскольку массы m m11, 12 и M, а также расстояния α = β = α, α = β = β первого многоугольника оказываются уже найденными (см. табл. 2), остается найти только α , α , m21, m23, ω . Следующая фигура обладает размерами, превышающими размеры предыдущей, поэтому выбираем α > α , α > α и неизвестными остаются лишь m21, m23, ω . Заключение Приведенные аналитические выкладки и численные результаты расчетов со всей очевидностью показывают, что для каждой изолированной ЦК трапециевидной формы с центральными телами в виде шара (табл. 2), найдется совокупность конечного числа охватывающих ее трапециеобразных ЦК (табл. 3). При этом процедуры вычисления геометрических и физических параметров сначала изолированных (состоящих из одного многоугольника), а затем формирующих уже гнездовидные центральные конфигурации (состоящих из двух охватывающих один другого многоугольников) могут рассматриваться как Шаг 1 (n = 1) и Шаг 2 (n = 2) метода математической индукции доказательства существования таких ЦК. В рассматриваемом случае имеют место весьма объемные условия существования в виде (5)-(7), которые представляют определенную трудность для их проверки даже в частном случае. Однако анализ всех уже рассмотренных классических вариантов ЦК для различных форм конфигураций указывает на факт существования ненулевого дефекта у матриц анализируемых систем, и это гарантирует множество решений.

Об авторах

Юлианна Вячеславовна Перепелкина

Всероссийский институт научной и технической информации РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: amadeycity@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8115-8253

кандидат физико-математических наук, заместитель заведующего отделом механики

Москва, Российская Федерация

Александр Никитич Задиранов

Академия государственной противопожарной службы МЧС России

Email: zadiranov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-7787-8290

доктор технических наук, профессор кафедры процессов горения и экологической безопасности, Учебно-научный комплекс процессов горения и экологической безопасности

Москва, Российская Федерация

Список литературы