Обоснование введения дискретно-непрерывной топологии в интересах алгоритмизации сложных процессов функционирования

Полный текст

Введение Для описания мира и построения моделей различных объектов топологи применяют исключительно две топологии: антидискретную или дискретную [1-3]. Однако в современном мире существуют сложные системы, и процессы их функционирования тоже сложные. Невозможно представить самолет, вертолет, автомобиль или подводную лодку с помощью непрерывной топологии (структуры). Мы не можем смять самолет, как глину, и слепить из него вертолет или подводную лодку одним непрерывным и взаимно-однозначным преобразованием. Аналогично мы не можем разобрать сложный объект на элементы и создать из этих элементов новый объект, тоже при условии соблюдения требования взаимно-однозначного преобразования [1-3]. Поэтому жизненно необходимо ввести еще одну топологическую структуру, которая поможет справиться с проблемами, возникающими при создании сложных систем и процессов, а именно дискретно-непрерывную топологию. О ней примерно 20 лет тому назад было написано В. Коруховым [4; 5], но в этих книгах она была описана в терминах философии. Попробуем обосновать введение подобной абстракции с позиций практической жизни на некоторых конкретных примерах и посмотрим, что это может дать для возможностей моделирования сложных процессов и систем. 1. Сложный процесс как объект моделирования Понятие сложного процесса, как и понятие сложной системы, не является строго определенным. В технике под словом «система» определяется главным образом организованно действующее целое, некоторая совокупность объектов, объединенных некоторой взаимной зависимостью [6]. Особенностью сложных систем в настоящее время являются информационные процессы, которые направлены на обеспечение оптимального управления [7]. Поэтому под сложным процессом следует понимать процесс функционирования сложной системы. Примерами подобных сложных процессов являются: - строительство, ремонт, эксплуатация сложной техники; - обработка деталей, сборка агрегатов или машин; - управление войсками и боевыми средствами; - полеты летательных аппаратов; - управление транспортными системами; - реализация программ на ЭВМ, математическое моделирование; - функционирование конечных автоматов; - государственное управление. Любой сложный процесс состоит из набора последовательных или параллельных операций (по существу, технологических, конструкторских, в том числе и творческих), а также моментов начала и окончания указанных операций или моментов перехода от одних операций к другим. Попробуем дать определения таким элементам. Элементы первого подмножества - это операции, протекающие во времени и требующие для своего осуществления затрат энергии (элементарные операции). Это могут быть сигналы, которые определяют возможность (или необходимость) начала или окончания элементарных операций. В совокупности они составляют физическое содержание исследуемого процесса. Элементы второго подмножества - это моменты начала и моменты окончания операций или моменты перехода от одних операций к другим. Они также могут включать связи между операциями и логические условия перехода от одних операций к другим. Элементы этого подмножества практически не требуют ни времени, ни затрат энергии для своей реализации. Они представляют собой логическую структуру сложного процесса. Очевидно, что любой из перечисленных процессов может быть представлен в виде дизъюнктивной суммы указанных подмножеств элементов. Физически весь такой процесс в целом может быть представлен как непрерывный, но с дискретными переходами от одних элементов процесса к другим. Иными словами, мы имеем физически непрерывный процесс с дискретной логической структурой. Однако при различных попытках автоматизации сложных процессов многие исследователи определяют их как функционал, применяя к ним антидискретную структуру. К сожалению, до сих пор не удалось разработать функционал сложного процесса, который бы описывал весь процесс, а не только его крошечную часть. 2. Анализ сложного процесса Рассмотрим сложный процесс на примере процесса полета (или проектирования) летательного аппарата, чтобы сделать обобщения на другие сложные процессы. К элементам полета для самолета могут быть отнесены, например, разбег, набор высоты, горизонтальный полет, отдельные фигуры пилотажа, атака в воздушном бою и т. д. Сложность процесса полета современных летательных аппаратов и необходимость его более детального изучения приводят к тому, что исследованию подвергаются все более и более мелкие элементы полета. При этом такие элементы могут относиться уже не только к летательному аппарату в целом, но также и к отдельным его агрегатам, системам и составным частям, включая и экипаж. Основным фактом является то, что любой сложный процесс можно разделить на элементы, в каждом из которых решаются некоторые частные задачи общей задачи сложного процесса. Особенность процесса проектирования состоит в разработке и создании новых, ранее не существовавших объектов, процессов или систем. Здесь творчество человека тесно переплетается с инженерным синтезом, который в настоящее время осуществляется только человеком [8; 9]. Определение проектирования как сложного дискретно-непрерывного процесса ни в коей мере не противоречит творческим аспектам проектирования [10; 11]. Составными частями сложного процесса, обычно называемыми его элементами, считают относительно ограниченные по времени и достаточно однородные по физическому содержанию операции, которые могут быть описаны сравнительно небольшим числом математических выражений. Взаимосвязи элементов более сложны и не всегда очевидны из простого их перечисления. Многие элементы сложного процесса, в частности полета, особенно очень мелкие, часто должны выполняться одновременно. Практическое применение понятия «элемент полета» в исследованиях и летной практике позволяет сделать некоторые общие выводы: 1) каждый элемент полета (сложного процесса) может иметь математическое описание или математическую модель, в которую входят те или иные параметры самолета (объекта, подвергнутого действию процесса); 2) каждый элемент полета (сложного процесса) имеет такие характеристики, как время выполнения, вероятность успешного выполнения и т. д.; 3) каждый элемент реального полета (сложного процесса) имеет вполне определенные моменты начала и окончания. В качестве элемента полета (сложного процесса) могут служить такие простейшие операции, которые, особенно при необходимости детального исследования, могут рассматриваться отдельно от других. Все то же самое можно перенести как на процесс проектирования, так и на другие сложные процессы функционирования. В итоге анализ любого сложного процесса предшествует разработке модели сложного процесса и включает определение: - элементов процесса; - перечня элементов сложного процесса, входящих в каждый исследуемый этап сложного процесса; - основных параметров и характеристик для каждого элемента процесса, в том числе временных и вероятностных; - системы связей и отношений между элементами процесса, или системы бинарных отношений на множестве этих элементов. Человеческий фактор, неизменно присутствуя в разработке, создании или реализации любого сложного процесса [8; 9], тесно переплетается с его синтезом, который, попадая в разряд NP-полных задач[20], в настоящее время осуществляется практически только человеком. Нет иной возможности проверить правильность тех или иных творческих решений, как «собрав» из частей всю сложную систему и проверив на практике соответствие процесса ее функционирования заданному критерию эффективности [10; 12]. Следовательно, любой сложный процесс включает в себя ряд последовательных и параллельных операций (технологических, конструкторских, в том числе и творческих), а также моменты начала и окончания указанных операций или моменты перехода от одних операций к другим. Каждый раз, когда создается программное обеспечение для автоматизации управления сложным процессом, считается, что сложный процесс состоит из большого количества элементарных операций. У элементарных операций есть общие свойства, но одновременно они могут быть и уникальными. Постараемся дать более точное определение понятию элемента процесса. Элементами или элементарными операциями сложного процесса называются ограниченные по времени и однородные по своему физическому содержанию и функциональному назначению участки сложного процесса. Каждая подобная операция имеет вполне определенное начало - вход (момент начала) и вполне определенное окончание - выход (момент окончания). Входы и выходы элементов сложного процесса составляют второе из подмножеств элементов сложного процесса, о которых упоминалось ранее. Посредством соединения входов и выходов различные элементарные операции сложного процесса объединяются в единый сложный процесс. Каждый из элементов может быть соединен со всем процессом только посредством входа и выхода. Поэтому в основу деления любого сложного процесса на этапы и элементы следует положить функционально-логический принцип, согласно которому каждый этап сложного процесса будет представлять систему элементов, направленную на решение одной из частных задач сложного процесса и оцененную соответствующим частным критерием эффективности для данного сложного процесса. При этом частная задача, решаемая на данном этапе сложного процесса, является на этом этапе главной функциональной задачей, от решения которой зависит также и исход сложного процесса в целом. Реализация всей совокупности элементов сложного процесса, составляющих данный этап, должна быть подчинена главной функциональной задаче сложного процесса. Очевидно, что любой сложный процесс, включает в себя не только элементарные операции и их совокупности (этапы), но также и моменты начала и окончания элементов (этапов) сложного процесса и моменты перехода от одних операций (элементов, этапов) к другим. Основываясь на понятиях элемента и этапа сложного процесса, которые соответствуют содержанию и целям данного исследования, примем следующее, предварительное определение сложного процесса: сложный процесс является дискретно-непрерывным, протекающим во времени и пространстве процессом. Он включает в себя отдельные взаимосвязанные элементы (этапы) этого процесса, а также моменты начала, окончания и переходов между ними. Итак, множество элементов сложного процесса состоит из двух подмножеств, связанных между собой, и поэтому может быть представлено как система, объединяющая эти два подмножества: . Процесс обычно реализуется с помощью какого-либо средства или сложной системы. Рассмотрим эти положения на примере анализа полета самолета или его проектирования. 3. Физическое и структурное подобие сложного процесса и модели В основе моделирования как метода исследований лежит теория подобия. Можно утверждать, что моделирование имеет место лишь тогда, когда имеется подобие. Однако часто исследователи, имея в виду физическое или механическое подобие, ограничиваются только критериями физического подобия, поскольку далеко не всегда понятно, как установить логическое и структурное подобие. Это происходит потому, что до сих пор в топологии существует только два варианта структуры: антидискретная и дискретная. В обе эти структуры сложные процессы не вписываются и остаются за бортом изучения с помощью топологических и комбинаторных средств, хотя частично они и употребляются в виде блок-схем или граф-схем. Вопросы физического подобия модели и процесса достаточно хорошо изучены, однако следует обратить внимание на вопросы связи структурного и физического подобия. Из понятия структурного подобия следует, что каждому элементу сложного процесса должен быть поставлен во взаимно однозначное соответствие элемент модели этого процесса при помощи некоторого отображения . Физическое подобие элементов модели и сложного процесса также непосредственно связано с отображением [2]. Рассмотрим прямоугольную диаграмму (рисунок). На этой диаграмме стрелкой обозначен элемент реального процесса, которому, посредством отображения поставлен во взаимно однозначное соответствие элемент модели . Начало реализации элемента обозначено вершиной , в которую входят концы стрелок (окончания элементов) и т. д. Окончание реализации элемента обозначено вершиной , в которой начинаются стрелки (начала реализаций элементов) и т. д. В модели этим вершинам соответствуют вершины и , которыми обозначены начало и конец реализации элемента модели . Прямоугольная диаграмма Примечание: - множество параметров на входе элемента ; - множество параметров на выходе элемента ; - множество параметров на входе элемента ; - множество параметров на выходе элемента ; - преобразование (отображение) параметров входа в параметры выхода, осуществляемое при реализации элемента реального сложного процесса ; - преобразование (отображение) параметров входа в параметры выхода, осуществляемое при моделировании элемента сложного процесса ; - «масштабный коэффициент» между входами элементов процесса и модели; - «масштабный коэффициент» между выходами элементов процесса и модели. В силу структурного подобия: и . (1) Обозначим: - множество критериев физического подобия для элемента ; - индексы критериев; - множество критериев физического подобия для элемента ; - индексы критериев. При моделировании критерии физического подобия реального сложного процесса и его модели должны быть равны: для всех . (2) Для обеспечения физического подобия элементов и отображения должны отвечать условию (3) Это возможно только тогда, когда отображения , , , являются взаимно однозначными. Из равенств (3) следует, что: (4) Это означает, что диаграмма - бикоммутативна [2]. Следовательно, при соблюдении структурного и физического подобия между элементами процесса и модели: - параметры входа элемента процесса однозначно определяют параметры выхода элемента модели и наоборот; - параметры входа элемента модели однозначно определяют параметры выхода элемента процесса и наоборот; Поскольку , то . (5) Выражение (5) означает, что отображение определяется не только отображением , но и отображениями и . Последние являются частными значениями отображения , которое отражает структурное подобие реального сложного процесса и его модели (систем и ). Таким образом, если отображение представляет собой преобразование реальных физических характеристик элемента процесса , то модель этого преобразования определяется не только преобразованием , но зависит также и от «масштабных коэффициентов» и , зависящих, в свою очередь, от структурного подобия процесса и его модели. Следовательно, выражение (5) устанавливает в самом общем виде связь между структурным и физическим подобием процесса и модели. В частном случае, когда коэффициенты и представляют собой тождественные преобразования (масштаб 1:1), имеем . (6) Отсюда следует формула (1). Рассмотрим процесс полета, а в его представлении любой сложный процесс как топологическое пространство . Изучение элементов и взаимосвязей между ними в сложных процессах на примерах процессов полета и проектирования показывает, что сложные процессы отвечают трем условиям, которые называются аксиомами топологической структуры [3], поэтому сложный процесс является топологическим пространством. Кроме того, сложный процесс, рассматриваемый как система , является метрическим. Метрика этого пространства задается временной программой или порядком выполнения процесса. Любая модель сложного процесса должна формироваться как некоторая математическая структура. Эта математическая структура превращается в модель в случае, когда элементам модели дается некоторая физическая интерпретация. Вопрос о подобии или эквивалентности сложного процесса и его модели упирается в проблему подобия или эквивалентности их структур. Поэтому следует установить их топологическое подобие и найти систему топологических инвариантов, чтобы иметь возможности для точного сравнения. Если говорить о процессе полета любого летательного аппарата, то для формирования его модели совершенно недостаточно описать динамику его полета. Любой полет характеризуется еще и временной программой или графиком полета, процессами формирования не только управляющих сигналов, но и моментами их реализации и т. д. Если исходить из требований подобия, то следует рассматривать и это, причем весьма большое, множество характеристик и свойств полета. Если говорить о процессе проектирования, то для формирования его модели недостаточно создать календарный план процесса. В процессе проектирования могут возникнуть новые технические решения (и не только), которые могут в корне изменить весь процесс. В результате становится необходимым рассматривать не только физическое подобие элементов сложного процесса и элементов его модели, но также и структурное подобие процесса и его модели. Попробуем рассмотреть топологические инварианты сложного процесса, применяя в качестве примера два таких сложных процесса, как проектирование и процесс полета самолета, и найти у них общие свойства и характеристики. 4. Топологические инварианты сложного процесса и его модели Введение дискретно-непрерывной топологии на множествах и позволяет описать свойства этих множеств с помощью топологических инвариантов. Каждое из множеств и конечно. Поэтому одним из инвариантов системы является конечность множеств, которая численно выражается их мощностью: - - мощность множества ; - - мощность множества . Из этих двух величин мощность множества является топологическим инвариантом системы , а мощность множества - не является, так как она вполне определяется через мощность множества и его порядковый тип . Одним из основных топологических свойств выступает свойство компактности. В применении к сложному процессу оно означает, что любая последовательность элементов имеет по крайней мере одну предельную точку, за которой не может быть ни одного элемента процесса. Свойство компактности эквивалентно свойству множества быть замкнутым и ограниченным. Действительно, процесс полета проектирования как множество включает в себя граничные точки (замкнутость), кроме того, никакая последовательность ни процесса полета, ни процесса проектирования не может устремиться в бесконечность. Все элементы сложного процесса имеют вполне определенную ориентацию во времени и пространстве. Каждый элементарный процесс может реализовываться только в одном направлении: от начала к концу, поскольку течение времени необратимо. Перечисленные свойства системы : конечность, замкнутость, ограниченность и направленность позволяют представлять модель процесса проектирования в виде конечного, прогрессивно-ограниченного, ориентированного графа . Граф имеет конечное число дуг (ориентированных ребер) и вершин, может иметь циклы, но не имеет контуров. Реальный сложный процесс (проектирования или полета) невозможно представить состоящим из совершенно независимых, несвязанных между собой элементов. Это означает, что и соответствующий ему граф не может состоять из несвязанных между собой компонент, то есть граф имеет одну компоненту связности. Итак, установлены следующие топологические свойства множества как системы множеств и : - конечность; - ограниченность; - замкнутость; - связность. Следовательно, и модель сложного процесса тоже может быть представлена в виде графа . Графы, кроме указанных свойств и числа, входящих в них элементов, могут иметь и различные характеристические числа. Особый интерес при этом представляет собой цикломатическое число графа , которое определяется следующей формулой: , (7) где - число дуг; - число вершин графа Цикломатическое число равно наибольшему числу независимых циклов графа [13; 14] и определяет сложность структуры графа, а следовательно, определяет сложность как процесса (системы), так и его модели. Цикломатическое число является очень важным инвариантом системы . Изучение свойств порядка, определенного на множествах и показывает, что эти множества линейно упорядочены, индуктивны и всегда могут быть упорядочены, то есть могут иметь порядковые типы, поэтому могут быть пронумерованы. При этом оказывается, что порядковый тип множества вполне определяется порядковым типом множества . Это означает, что способ упорядочения множества вполне определяется способом упорядочения множества . Таким образом, для обеспечения подобия сложного процесса и его модели необходимо, чтобы были равны порядковый тип , заданный на множестве элементов сложного процесса, и порядковый тип , определенный на множестве дуг графа , то есть . Равенство обеспечивается при этом автоматически. Теоремы, доказывающие топологические свойства, а именно: конечность, замкнутость, ограниченность и связность, приведены далее. Свойства множеств и Теорема 1. Множество конечно [11]. Доказательство. Каждый элемент имеет конечное время реализации . Если число одновременно выполняемых элементов процесса не превышает конечного числа возможных исполнителей (в процессе проектирования программного продукта это могут быть системы, программы, агрегаты, люди), то общее время протекания всего процесса в целом также конечно. Теорема доказана. Мощность множества равна числу элементов . Теорема 2. Множество конечно [11]. Доказательство. Множество конечно, а каждому элементу могут быть поставлены в соответствие в точности два элемента . Обозначим их и соответственно. Имеем . Очевидно, что и, следовательно, конечно. Теорема доказана. Мощность множества равна числу элементов . Из доказанных теорем следует, что множество конечно. Теорема 3. Множество является метрическим пространством [11]. Доказательство. Так как - суть точки на оси времени (числовой оси), то каждой паре можно поставить в соответствие число , называемое интервалом (расстоянием) и удовлетворяющее аксиомам метрики: 1) 2) ; 3) ; 4) - симметрия; 5) - правило треугольника. Теорема доказана. Следствие 1. Метрика на множестве является следствием метрики на множестве . Следствие 2. Множества , и являются топологическими пространствами [1-3]. Введение топологии на множестве позволяет рассматривать вопрос о топологических инвариантах системы . Одним из основных топологических свойств пространства является свойство компактности. Докажем это. Теорема 4. Если - множество элементов процесса, а - множество моментов их начала и окончания, то множество компактно [11]. Для доказательства теоремы 4 покажем вначале, что компактны множества и . В качестве первой части доказательства используем достижения теоремы 6.1 Н. Стинрода и У. Чинна [15] и введем лемму. Лемма 4.1. Любой замкнутый элемент компактен. Доказательство леммы приведено в [15]. Результат доказательства: элемент компактен. Для дальнейших рассуждений воспользуемся теоремой 6.4 Стинрода и У. Чинна [15] и снова введем лемму. Лемма 4.2. Пусть - компактное пространство, а функция непрерывна, тогда образ компактен [15]. Доказательство леммы приведено в [15]. Из лемм 4.1 и 4.2 с очевидностью вытекает, что любой замкнутый элемент сложного процесса компактен. Следовательно, множество компактно. Перейдем к доказательству второй части теоремы, что множество компактно. Для этого составим множество . Очевидно, что конечно и вполне покрывает множество, то есть - конечное покрытие . Следовательно, компактно. Так как компактно и компактно, очевидно, что компактно [11]. Теорема доказана. Поскольку топологическое пространство является метрическим и компактным, то оно компактно в себе. В применении к процессу проектирования (а также к любому сложному процессу, протекающему во времени) это означает, что предельные точки процесса принадлежат самому процессу. Свойство компактности эквивалентно свойствам множества быть замкнутым и ограниченным. Определение. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором, достаточно большом шаре, то есть если существуют такие точки и число , что [15]. Определение. Пусть - множество в . Подмножество называется замкнутым в , если его дополнение в является открытым множеством в . Короче, замкнуто в , если открыто в [15]. Теорема 5. Компактное множество ограничено и замкнуто [12]. В качестве леммы 4.1 была использована первая часть теоремы 6.1 из [15]. Полностью теорема гласит: каждое компактное подмножество ограничено и замкнуто в . Из этой теоремы следует справедливость теоремы 5. Таким образом, - замкнутое и ограниченное множество. Теорема доказана. В применении к рассматриваемому сложному процессу полета или проектирования свойство ограниченности означает, что никакая последовательность элементов процесса не может устремиться в бесконечность. Замкнутость, в свою очередь, означает, что сложный процесс как множество включает и все свои граничные точки (замыкание множества). Ограниченность и замкнутость множества являются топологическими инвариантами сложного процесса и позволяют установить некоторые свойства ориентированного графа, с помощью которого может быть представлена модель такого сложного процесса, как проектирование. Покажем далее, что множество как математический объект представляет собой граф. Определение. Граф есть пара, состоящая из множества и отображения , или, что то же самое, пара - суть граф, в котором - множество вершин, а - множество ребер. Теорема 6. Если - множество элементов сложного процесса, а - множество моментов их начала и окончания, то пара - суть граф [11]. Доказательство. Очевидно, что каждому соответствует пара и, если - множество всех таких пар, то . Следовательно, и существует однозначное отображение , такое, что все , а также существует - однозначное отображение множества на множество , такое, что все . Тогда по определению - суть граф, в котором - множество вершин, а - суть множество ребер. Теорема доказана. Свойства графа определяются, в частности, тем, что множество замкнуто и ограничено. Определение. Граф называется прогрессивно-ограниченным в вершине , если существует такое целое число , что длина каждого пути, начинающегося в вершине , не превосходит ; граф, прогрессивно-ограниченный в каждой своей точке, прогрессивно ограничен [13]. Значит, кроме того, что граф - прогрессивно-ограниченный, он является еще и прогрессивно-конечным, хотя обратное утверждение неверно [13]. Все элементы процесса проектирования (или полета) имеют вполне определенную ориентацию во времени и пространстве. Отсюда следует, что - ориентированный граф. Ребра ориентированного графа называются дугами. Перейдем к рассмотрению вопроса о связности графа. Определение. Топологическое пространство называется связным тогда и только тогда, когда множество нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся замкнутых множеств [1; 3]. Реальный сложный процесс (полет или проектирование) отличается от произвольного набора его элементов, прежде всего, взаимной зависимостью его отдельных элементов и участков между собой. Сложный процесс (полет или проектирование) невозможно представить себе в виде совершенно независимых участков, несмотря на то что при изучении сложного процесса и формировании его модели никогда нельзя утверждать, что нам известны все связи элементов сложного процесса между собой. Процесс проектирования или полета всегда состоит из одной и только одной компоненты связности, а это, в свою очередь, означает, что граф должен быть всегда связным. Данные рассуждения можно применить к любому сложному процессу, модель которого мы хотим построить для его изучения. Определение. Граф называется полным, если , то есть если любые две вершины соединены хотя бы в одном направлении [13; 14]. Определение. Граф называется сильно связным, когда для любых двух вершин и существует путь, идущий из в (или обратно) [13; 14]. Теорема 7. Граф , в котором - множество моментов начала и окончания элементов процесса проектирования, а - множество всех пар , таких, что (в том числе и по транзитивности), сильно связен [11]. Доказательство. По определению. Процесс проектирования (или полета), точнее, его модель, может включать в качестве элементов не все пары , такие, что , а только необходимую их часть, которая обеспечивает связность графа . Определение. Частичным графом графа называется граф , где при всех [16]. Из теоремы 7 и приведенного выше определения следует, что граф является частичным графом графа . Очевидно, что в рассматриваемом частичном графе не обязательно все , то есть если граф связен, то из этого еще не следует, что связен граф . Однако, имея в виду определение, принятое для всюду плотных и всюду не плотных элементов процесса проектирования, мы можем дополнить множество таким числом всюду не плотных элементов , чтобы граф был всегда связен [11]. Рассмотрим условия, необходимые для обеспечения связности графа . Максимально возможное число дуг в связном графе без петель определяется теоремой 2.2.4. Оре [14]: , где - число вершин в графе. Из теоремы 2.2.5 [14] следует, что если в графе с вершинами дуг больше, чем , то граф связен. Таким образом, имеет место следующая теорема [11]. Теорема 8. Для того чтобы граф , в котором - множество всюду плотных элементов процесса проектирования, а - множество моментов их начала и окончания, был связен, достаточно дополнить множество всюду не плотными элементами процесса проектирования так, чтобы соблюдалось условие где - число элементов процесса проектирования (всюду плотных) или мощность множества ; - дополнительное число всюду не плотных элементов процесса проектирования; - число моментов начала и окончания элементов сложного процесса [11]. Следствие 8.1. Минимально необходимое число дополнительных всюду не плотных элементов процесса проектирования, обеспечивающих связность графа не превышает Следствие 8.2. Максимально-возможное дополнение графа всюду не плотными элементами процесса проектирования (полета) определится формулой Следствие 8.3. Условие связности графа , определенное теоремой 10, всегда может быть выполнено [11]. Действительно, Это позволяет сформулировать следующую теорему. Теорема 9. Проектирование как дискретно-непрерывный процесс, рассматриваемый в виде системы , всегда может быть представлено связным графом [11]. Итак, если проектирование (или полет) как дискретно-непрерывный процесс рассматривается в виде множества , где - множество элементов процесса, а - множество моментов их начала и окончания, то множество конечно, ограничено и замкнуто и всегда может быть представлено в виде связного прогрессивно-ограниченного, ориентированного графа. Свойства системы отношений, определенных на множествах , и На множествах , и определены бинарные отношения вида . Рассмотрим свойства этих отношений (отношений порядка). Определение. Отношение типа называется частичным упорядочением или отношением включения, при наличии следующих свойств [1; 3]: 1) - рефлексивность; 2) если и , то - антисимметричность; 3) если и - транзитивность. Определение. Отношение называется отношением строго упорядочения или строго включения, если оно удовлетворяет двум условиям [1; 3]: 1) и не имеют место одновременно; 2) транзитивность. Отношение строго упорядочения называют также линейным упорядочением. Линейно упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если любое непустое подмножество в множестве имеет первый элемент. Далее будет приведен ряд теорем, которые позволят (с учетом того обстоятельства, что сложный процесс может быть представлен ориентированным графом ) установить следующие свойства множеств и системы и их порядка: 1) множество может быть определено в том и только в том случае, если задано множество и отношение порядка на множестве ; 2) способ упорядочения (нумерации элементов) множества вполне определяется способом упорядочения (нумерации элементов) множества ; 3) для того чтобы множество было линейно упорядочено, необходимо и достаточно, чтобы было линейно упорядоченным множество . Отсюда следует, что если множество линейно упорядочено, то и множество линейно упорядочено. Реальный процесс проектирования в действительности всегда, так или иначе, организован, то есть упорядочен. Из этого следует теорема 10. Теорема 10. Множество линейно упорядочено. Доказательство теоремы приведено в [11]. Из сказанного выше и теоремы 10 получаем, что множество также линейно упорядочено. Это, в частности, означает, что в ориентированном графе не должно быть (и не может быть) контуров. В реальном процессе проектирования (или полета) возможное наличие контуров означает, что может иметь место последовательное выполнение одинаково обозначенных элементов, однако это не означает повторения одних и тех же элементов. Действительно, если во время проектирования (полета) или другого сложного процесса некоторые элементы повторяются, то такое повторение, по сути, является выполнением нового элемента, так как при этом неминуемо меняется по крайней мере интервал времени реализации и область пространства, в которых производится «повторное» выполнение элемента. Подобное содержание имеют контуры в итерационных вычислительных процессах и системах с обратной связью, реализующих дискретно-непрерывные процессы. Представление такого «повторения» в виде графа с контурами позволяет существенно сократить размерность графического или матричного представления графа. Поскольку множества и линейно упорядочены, то каждое из них может иметь порядковые типы [2]. Порядковый тип множества может быть определен как множество вариантов упорядочения на множестве или множество вариантов процесса проектирования. Введем обозначения: - порядковый тип множества , - порядковый тип множества . Способ задания порядковых типов может быть различным. Удобно задавать порядковые типы в матричной форме с помощью матриц смежности или матриц отношения следования. Рассмотрим вопросы вполне упорядочения множеств и . На основании теоремы Цермело [14] справедливо утверждение: множество может быть вполне упорядочено. Следовательно, множество имеет минимальный элемент, а любое подмножество множества имеет первый элемент. Действительно, процесс проектирования (или полета) в целом и любой его участок или этап имеют минимальный или первый элемент. Порядковый тип вполне упорядоченного множества называется порядковым числом [2]. Введем обозначение - порядковое число множества . Наличие порядкового числа означает, что элементы можно перенумеровать, притом несколькими способами. Все элементы любого конкретного процесса полета (проектирования) можно перенумеровать, к тому же в нескольких вариантах, в соответствии с реализацией конкретного сложного процесса. Теорема 11. Множество индуктивно. Доказательство теоремы приведено в [11]. На основании леммы Цорна [2; 13] или принципа максимальности Хаусдорфа - Куратовского [2], множество имеет максимальный элемент, а на основании теоремы Цорна, любое непустое подмножество множества имеет по крайней мере один максимальный элемент. Для реального сложного процесса всегда можно указать элемент, определяющий начало процесса, и элементы, определяющие начало и окончание любого участка сложного процесса. Поскольку множество линейно упорядочено, то на множестве определены отношения антисимметрии и транзитивности. Как и множество , множество может быть вполне упорядочено, следовательно, множество имеет минимальный элемент. Любое подмножество множества имеет первый элемент. Множество имеет порядковое число. Элементы множества можно перенумеровать, притом несколькими способами, однако способ нумерации элементов множества определяется способом нумерации элементов множества . Обозначим порядковое число множества через . Теорема 12. Множество индуктивно. Доказательство теоремы приведено в [11]. Из вышеприведенных теорем следует, что отношения порядка на множествах и , которые определяются порядковыми типами и , не могут быть независимыми. Это означает, что порядковый тип не может быть задан независимо от множества и его порядкового типа . Заключение Основной результат исследования - показать, что промежуточная, дискретно-непрерывная структура необходима. Только с введением такой топологической структуры получается доказать, что сложный процесс или система, а также модель представляют собой прогрессивно-ограниченный ориентированный граф. Таким образом, мы получаем возможность перевести исследование сложных процессов в область комбинаторики и воспользоваться достижениями теории графов, топологии и т. п., чтобы установить топологические инварианты или критерии структурного подобия для возможности сравнения между собой как различных сложных процессов, так и созданных для их реализации продуктов. Сложные процессы как дискретно-непрерывные процессы и их модели имеют следующие топологические инварианты или критерии структурного подобия: 1) мощность множеств и . Обозначим их соответственно и ; 2) замкнутость множеств и . Это свойство не имеет численной характеристики, однако показывает, что все граничные точки сложного процесса принадлежат этому процессу. Каждой граничной точке сложного процесса взаимно-однозначно соответствует одна из граничных точек графа , представляющего собой модель сложного процесса; 3) ограниченность множеств и накладывает на граф требование отсутствия контуров; 4) связность множества требует, чтобы граф также был связным, то есть состоял из единственной компоненты; 5) порядковый тип множества . Сложный процесс и его модель будут только тогда подобны, когда равны порядковые типы множеств элементов и , то есть : а) временная программа сложного процесса есть не что иное, как вариант порядкового типа множества . Поскольку зависит от , то невозможно формирование временной программы независимо от порядкового типа . Таким образом, наличие логической структуры сложного процесса, определяющей порядковый тип , является необходимым условием формирования временной программы сложного процесса; б) поскольку порядковый тип вполне определяется порядковым типом при заданном , то должно существовать однозначное соответствие , такое, что . Следовательно, для формирования временной программы сложного процесса при известных и могут быть определены и заданы формализованные в полном виде правила (алгоритмы), допускающие автоматизированное применение; в) если порядковый тип не задан, то формирование временной программы процесса проектирования, то есть определение возможно только при одновременном определении и, следовательно, не может выполняться по правилам, формализованным в конечном виде, а потребует применения каких-либо итерационных методов. Цикломатическое число системы , представленной на модели в виде графа , определяется формулой . Этот инвариант является особым. Требование равенства цикломатических чисел сложного процесса и модели не всегда обязательно.

Об авторах

Наталия Леонидовна Малинина

Автор, ответственный за переписку.
Email: malinina806@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-0116-5889

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры 604, Аэрокосмический факультет

Список литературы