Моделирование решетки профилей транспортного газотурбинного двигателя

Полный текст

Введение * Задача создания высокоэффективной проточной части лопаточных машин, в том числе и турбин, - актуальная, ответственная и очень трудоемкая многопараметрическая задача [1-5]. В практике проектирования профилей турбомашин существует много методов [6; 7]. Один из них - проектирование проточной части с использованием ранее разработанных профилей (обычно представленных в атласах с известными характеристиками). Для его применения необходимо аналитически описать обводы профиля. Хотя общий алгоритм аналитического описания через аппроксимацию координат можно считать установившимся, возможны и варианты [8; 9]. 1. Данные и методы В настоящей статье применен метод аппроксимации обвода кривыми Безье 2-го порядка [1; 2; 10]. Были исследованы два объекта: первый - математическая модель и алгоритм проектирования, второй - турбинный профиль типа С8626. На рис. 1 представлена расчетная схема решетки профилей С8626. Объектом исследования и проектирования был профиль С8626 и решетка из этих профилей с атласными параметрами: хорда профиля b = 52 мм, радиусы входной и выходной кромок R = 0,5 мм, угол установки профиля в решетке γ = 47°, относительный шаг t = 0,66. В табл. 1 приведена матрица координат обвода исходного профиля, где первая строка - абсциссы, вторая - ординаты спинки, третья - ординаты корытца. Для контроля корректности исходных данных строим точечный график профиля в исходной системе координат (рис. 2). Из графика видно, что «выпадающих» точек нет. Для аппроксимации области входной кромки со стороны спинки было записано уравнения окружности радиусом r1 = 0,5 мм (в статье и на графиках все линейные размеры указаны в миллиметрах). Рис. 1. Расчетная схема решетки профилей С8626: b - хорда профиля; R - радиусы входной и выходной кромок профиля; x - абсцисса исходной системы координат; y1, y2 - ординаты спинки и корытца профиля соответственно; γ - угол установки профиля в решетке; t - шаг профиля в решетке [Figure 1. Design scheme for lattice profiles with С8626: b - profile chord; R - leading and trailing edge radius; x - abscissa of original coordinate system; y1, y2 - profile suction and pressure side ordinates; γ - angle of installation of a profile in a lattice; t - profile step in a lattice] Матрица координат компрессорного профиля С8626 [Table 1. Matrix of coordinates of compressor profile with C8626] Таблица 1 x 0,5 1 1,5 2 3 4 6 8 10 12 - - y1 1,9 2,49 3,02 3,54 4,52 5,37 6,82 7,94 8,91 9,43 - - y2 0 0,12 0,45 0,76 1,38 1,96 3,0 3,87 4,55 5,13 - - x 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 - - y1 9,81 10,02 10,08 10,01 9,82 9,53 9,17 8,75 8,3 7,81 - - y2 5,58 5,89 6,08 6,12 6,14 6,07 5,92 5,71 5,43 5,06 - - x 34 36 38 40 42 44 46 48 50 51 51,5 52 y1 7,3 6,73 6,12 5,46 4,76 4,03 3,29 2,53 1,75 1,34 1,03 0,5 y2 4,64 4,17 3,7 3,15 2,59 2,01 1,42 0,8 0,21 0,12 0 0,5 10 Y1 Y2 5 0 0 20 40 X Рис. 2. Точечный график исходного профиля С8626: o - точки обвода спинки профиля; ▲ - обвод корытца [Figure 2. A scatter plot of the nominal profile C8626: o - suction side contour points; ▲ - pressure side contour] 2. Результаты вычислений Анализ области входной кромки со стороны спинка профиля с учетом угла установки профиля в решетке γ = 470 и угла натекания потока β1 = 860 показал, что координаты аппроксимационной кривой Безье могут быть приняты равными xA = 0, yA = r1 = 0,5. Правая опорная точка (точка С характеристического треугольника кривой Безье) первого участка аппроксимации была найдена итерационным методом, ее координаты xC = 1, yC = 2,49. Средняя опорная точка B определялась на пересечении касательной из точки С с осью ординат Y. В результате было получено уравнение аппроксимационной кривой Безье 2-го порядка для указывалось ранее, координаты конца участка находятся итерационным вариантом. Для второго участка правая граница аппроксимации имеет координаты x2C = 20, y2C = 10,01. Уравнение кривой Безье второго участка имеет вид 2 первого участка с учетом особенности ее положения в декартовых координатах в виде y2app (x) := 16, 551078⋅ y2A ⋅t 2(x) - 9, 031078⋅t 2(x) где + 2, 49, yapp (x) = 0, 207114⋅ х +1, 782886⋅ х + 0, 5 . t 2(x) := 0, 254207 3, 933806⋅ х + 52, 813744 - 1, 914964 . Важным показателем результата аппроксима- Второй участок аппроксимации сопрягается по 1-му классу гладкости [4], то есть до первой производной, когда начало последующего участка совпадает с концом предыдущего участка. Как ции является индекс корреляции. В настоящей работе в качестве примера был исследован ряд вариантов ширины второго участка аппроксимации, результаты представлены в табл. 2. Индекс корреляции второго участка в зависимости от правой границы участка [Table 2. Correlation index of the second plot depending on the right border of the plot] Таблица 2 Абсцисса [Abscissa] 14 16 18 20 22 24 26 28 30 Индекс корреляции [Correlation index] 0,99998 0,99997 0,99995 0,99992 0,99989 0,99981 0,99967 0,999386 0,99893 Из таблицы видно, что до точки x = 30 индекс корреляции достаточно высокий, практически не ниже 0,999. Однако для последующих построе- Безье 2-го порядка для четвертого участка спинки в виде 2 ний конечной точкой второго участка и начальной точкой третьего участка была принята точка 14 с индексом корреляции 0,99989. Естественно, y4bz (x) = 1,148795⋅t4(x) где - 3, 505782⋅t3(x) + 3, 29, , можно сделать вывод о том, что для повышения индекса корреляции следует уменьшать ширину аппроксимируемого участка, однако тогда на обводе кривой будет больше теоретических участков с разрывом кривизны (места сопряжения). Следует отметить, что суммарный индекс корреляции аппроксимации первого и второго участков составил 0,99992. Следующий участок - третий - с абсциссой правой границы x = 46. В результате итерационных расчетов было получено следующее аппроксимационное уравнение: t 4(x) = -0, 273422⋅ -3, 657348⋅ х +190, 362557 +1, 286089. Дуга окружности выходной кромки спинки строится в интервале 51,75 ≤ x ≤ 52. На рис. 3 показана спинка профиля, построенного по четырем уравнениям кривых Безье 2-го порядка и уравнению верхней полуокружности выходной кромки. 2 y3bz (x) := 10, 01-1, 275468⋅t3(x) - 5, 444532⋅t3(x) , где t3(x) := 0,150555 × 6,642074 × х - 39,159155 - 1,45722 . Рис. 3. Спинка профиля С8626, построенная по аппроксимационным уравнениям кривых Безье 2-го порядка и уравнению верхней полуокружности выходной кромки Четвертый участок аппроксимации спинки со- [Figure 3. Profile 8626 suction side, constructed nd прягается с дугой окружности выходной кромки. by approximation equations of Bezier curves of the 2 order Итерационным способом были определены координаты точки сопряжения: x4C = 51,75, y4C = 0,933013. После этого было записано уравнение кривой and the equation of the upper semicircle of the output edge] Заключительным шагом этапа аппроксимации спинки профиля был расчет индекса корреляции обвода спинки в целом. Расчет показал, что этот индекс равен 0,999896. Таким образом, можно утверждать, что аппроксимация по предлагаемой математической модели удовлетворительная. Как отмечалось ранее, можно несколько повысить ингде t 4w(x) = -0,164074 × при 44 ≤ x ≤ 51,5; - 6,094802 × х + 314,375948 + 1,115278 декс корреляции, но для этого следует увеличить число сопрягаемых участков, имеющих 1-й уроуравнение нижней полуокружности выходной кромки вень гладкости [4]. Аппроксимация корытца профиля осуществ- С2(x) = r 2 2 2 - (x - b + r2 ) + r2 при 51,5 ≤ 52. лялась по алгоритму, аналогичному реализованному для спинки профиля. В результате корытце профиля С8626 было аппроксимировано дугой нижней полуокружности входной кромки, четырьмя кривыми Безье 2-го порядка и дугой нижней полуокружности выходной кромки. В порядке проведения аппроксимации корытца далее приведены уравнения аппроксимации с интервалами их применения. Дуга нижней полуокружности входной кромки В процессе проведения аппроксимации корытца на каждом этапе контролировался индекс корреляции. В результате индекс корреляции аппроксимации корытца профиля дугами нижних полуокружностей входной и выходной кромок и четырьмя кривыми Безье 2-го порядка составил 0,999851. С учетом того, что координаты обводов профиля изначально заданы в матрице с округлением, результат реализации предлагаемой математической модели профиля типа С8626 можно считать удовлетворительным. С2(x) = - 0,25 - (x - 51,5)2 - 0,5 при 0 ≤ x ≤ 0,5; На рис. 4 представлен профиль С8626 с ценпервая кривая Безье 2-го порядка 2 y1wapp (x) := 0, 45⋅t1w(x) , тром тяжести, построенный по аппроксимационным аналитическим уравнениям для спинки и корытца. где t1w(x) = 2,934238 × при 0,5 ≤ x ≤ 1,5; 0,340804 × х - 0,061767 - 0,967119 вторая кривая Безье 2-го порядка 2 y2wapp (x) := 11, 381624⋅t2w(x) - 5, 690816⋅t2w(x) где + 0, 45 , Рис. 4. Профиль С8626, построенный по аппроксимационным уравнениям: - обводы профиля; + центр тяжести профиля [Figure 4. C8626 profile, built on approximating equations: o profile contour; + the center of gravity of the profile] t2w(x) = 0,302297 × 3,308002 × х + 66,915481 - 2,562894 На рис. 5 показана развертка сопловой решетпри 1,5 ≤ x ≤ 21,76412; третья кривая Безье 2-го порядка 2 y3wapp (x) = 6,140808 - 4,130808⋅t3w(x) , ки с номинальным относительным шагом 0,66. где t3w(x) = 0,175341× 5,703184 × х - 55,792272 - 1,449427 при 21,76412 ≤ x ≤ 44; четвертая кривая Безье 2-го порядка 2 y4wapp (x) = 2, 01⋅(1- t4w(x)) , Рис. 5. Развертка сопловой решетки [Figure 5. Development of a nozzle lattice] Аналитический формат обводов профиля позволил рассчитать некоторые геометрические характеристики профиля в исходной системе координат, представленные в табл. 3. Геометрические характеристики профиля С8626 [Table 3. Profile geometry with С8626] Таблица 3 № п/п Наименование параметра [Name of parameter] Обозначение [Designation] Величина [Value] 1 Площадь профиля, мм2 [The area of profile, mm2] F 157,316 2 Статический момент инерции относительно оси X, мм3 [Static moment of inertia with respect to the X-axis, mm3] Sx 923,314 3 Статический момент инерции относительно оси Y, мм3 [The static moment of inertia about the Y-axis, mm3] Sy 3,544114×103 4 Момент инерции относительно оси Y, мм4 [Moment of inertia about Y-axis, mm4] Iy 1,084702×105 5 Момент инерции относительно оси X, мм4 [Moment of inertia about X-axis, mm4] Ix 6,359121×103 6 Центробежный момент инерции относительно осей X, Y, мм4 [The product of inertia with respect to axes X, Y, mm4] Ixy 1,97848×104 7 Абсцисса центра тяжести, мм [The abscissa of the centre of gravity, mm] Xc 22,528685 8 Ордината центра тяжести, мм [The ordinate of the centre of gravity, mm] Yc 5,926392 9 Максимальный момент инерции относительно главной центральной оси V, мм4 [Maximum moment of inertia relative to the main central axis V, mm4] Jmax 2,867936×104 10 Минимальный момент инерции относительно главной центральной оси U, мм4 [Minimum moment of inertia relative to the main central axis U, mm4] Jmin 780,496335 11 Угол наклона главных центральных осей к исходным координатным осям, град. [The angle of inclination of the main central axes to the initial coordinate axes, deg.] δ -2,51 12 Максимальная толщина профиля (абсолютное значение) [Maximum profile thickness (absolute value)] Dmax 4,080 13 Относительная максимальная толщина профиля (относительно хорды) [Relative maximum profile thickness (relative to the chord)] Dотн 0,078 14 Относительная абсцисса центра окружности максимальной толщины [Relative abscissa of the center of the circle of maximum thickness] xDотн 0,275 15 Относительная абсцисса места максимальной вогнутости [Relative abscissa of the place of maximum concavity] bf 0,365 Рис. 6. Изменение угла наклона касательной к обводу профиля: - - спинка; ( ( - корытце [Figure 6. Change of a tilt angle of a tangent to profile contour: o - suction side of the airfoil; ( ( - pressure side of the airfoil] Рис. 7. Изменение кривизны по обводу профиля: - - спинка профиля; ▪ ▪ ▪ - корытце профиля [Figure 7. Change of curvature on profile length: - - suction side of the airfoil; ▪ ▪ ▪ - pressure side of the airfoil] На рис. 6 и 7 показаны важные геометрические характеристики для решетки профилей: изменение угла наклона касательных к обводу профиля и распределение кривизны профиля. Из графиков на рис. 6 и 7 видно, что при аппроксимации обводов семейством аналитических функций имеет место автоматический сглаживающий эффект. Это позволяет более корректно при необходимости рассчитывать параметры течения в решетке при учете их градиента поперек потока. (Теоретически имеющиеся разрывы кривизны обвода спинки в месте сопряжения аналитических кривых на графике не видны в силу их малости.) Естественно, что наибольшее изменение параметров (углов и кривизны) наблюдается в области входной и выходной кромок. На большей части профиля геометрические характеристики плавно изменяются. Выводы В результате проведенного исследования разработана математическая модель аппроксимации обводов соплового профиля типа С8626 серией аналитических кривых: дуг окружностей и кривых Безье 2-го порядка. Спинка профиля (выпуклая часть) аппроксимирована четырьмя кривыми Безье 2-го порядка и дугой окружности верхней полуокружности радиусом выходной кромки. Корытце профиля (вогнутая часть) аппроксимировано дугой нижней полуокружности радиуса входной кромки, четырьмя кривыми Безье 2-го порядка и дугой нижней полуокружности радиусом выходной кромки. Аналитическая форма описания обводов профиля позволяет вести проектирование профилей и решеток на их базе практически на любых языках. То есть разработанная математическая модель не «привязана» к определенному языку или пакету программирования типа Mathcad, Excel и т.д. Аналитическая форма описания профиля позволяет применять нелинейные преобразования при малых изменениях угла поворота потока в решетке профилей. Статистическая оценка результатов аппроксимации матрицы координат обводов спинки и корытца профиля показала, что спинка аппроксимирована с индексом корреляции 0,999896, а корытце - с индексом корреляции 0,999851. С учетом того, что значения исходных координат заданы с округлением до второго знака после запятой, результат можно признать удовлетворительным. Для повышения индекса корреляции следует увеличить число участков аппроксимации.

Об авторах

Владимир Константинович Мамаев

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: oshchepkov-pp@rudn.ru

старший преподаватель департамента машиностроения и приборостроения Инженерной академии

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Леонид Валерьевич Виноградов

Российский университет дружбы народов

Email: oshchepkov-pp@rudn.ru

учебный мастер департамента машиностроения и приборостроения Инженерной академии, кандидат технических наук, доцент

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Петр Платонович Ощепков

Российский университет дружбы народов

Email: oshchepkov-pp@rudn.ru

доцент департамента машиностроения и приборостроения Инженерной академии, кандидат технических наук

Российская Федерация, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Список литературы