ОРТОГОНАЛЬНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТИ ПОСТРЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ТРАПЕЦИЕВИДНО-КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПЛАНАХ

Полный текст

Введение. В работах [1; 2] на основе подхода аппроксимации сложных поверхностей, предложенного американским ученым Стивеном Кунсом [3], рассмотрены возможности формообразования тонкостенных пространственных конструкций на трапециевидных планах для использования их в современном градостроительстве. Поверхности Кунса образуются суммированием линейчатых поверхностей [4], построенных на опорных кривых противоположных сторон трапециевидного плана. Если опорные кривые трапециевидного плана лежат в вертикальной плоскости, то координатная система трапециевидного плана состоит из системы неортогональных прямых. В работах [5; 6] рассмотрена возможность формообразования поверхностей модифицированных поверхностей Кунса с наклонными опорными кривыми. Координатная система в плане образуется системой не ортогональной кривых. Если опорные кривые трапециевидного плана лежат в горизонтальной плоскости, то поверхность Кунса вырождается в плоскость, образуя в плоскости криволинейную неортогональную систему координат. Задание функции вертикальной координаты позволяет получить разнообразные формы поверхностей [7]. Во всех рассмотренных работах координатная система криволинейных планов и координатная система поверхности неортогональная. В статье рассматривается ортогональная координатная система криволинейнотрапециевидных планов и способы формообразования поверхностей на этих планах. Рассмотрим систему координат, образуемую системой прямых ортогональных плоской базовой кривой r 0 (u) = x(u)i + y(u)j (рис. 1). Уравнение координатной системы получаем в виде где e(u) = -ν, ν - нормаль базовой кривой; v - координата образующих прямых по нормали к базовой кривой. Положительное значение координаты прямых принимаем в сторону выпуклости базовой кривой. Получаемая координатная система состоит из системы эквидистантных кривых - кривых параллельных базовой кривой и системы ортогональных им прямых, т.е. координатная система является ортогональной. Если базовая кривая - окружность, то получается полярная система координат. Для произвольной базовой кривой координатную систему можно назвать псевдо-полярной системой координат. Ограничивая значения координат u 1  u  u 2 , v 1  v  v 2 в общем случае получаем криволинейно-трапециевидную область. Если базовой кривой является замкнутая кривая, например, эллипс, то получаем овально-криволинейную замкнутую область. Отметим, что при отрицательных значениях прямолинейных координат (координаты в направлении вогнутости базовой кривой) на некотором расстоянии от базовой кривой (зависит от функции базовой кривой) получается взаимно пересекающаяся координатная система, поэтому далее будем в основном рассматривать области с положительными значениями координаты v. На криволинейных планах с различными базовыми кривыми (рис. 2) координата прямой образующей изменяется в диапазоне 0 ≤ v ≤ v k , где v k определяет ширину криволинейной полосы. Можно рассматривать планы с диапазоном v н ≤ v ≤ v k , с шириной полосы v k - v н . Ортогональность торцов криволинейных планов с псевдо-полярной системой координат криволинейным координатным линиям, позволяет строить комбинированные криволинейные планы из отсеков однотипных или различных отсеков полос с одинаковой шириной. При этом обеспечивается сопряженность координатных кривых по касательной. Радиусы кривизны в точках сопряжения в общем случае будут различны. На рисунке 3 приведены примеры комбинированных планов с базовой синусоидой (косинусоидой) из отсеков на одну полуволну синусоиды. Рис. 1. Псевдо-полярная система координат [Fig. 1. False-polar coordinate system] Рис. 2. Криволинейные планы с ортогональной системой координат и различными базовыми кривыми: а - синусоидой (косинусоидой) на одну полуволну; б - параболой; в - гиперболой; г - эвольвентой круга; д - лемнискатой Бернулли; е - кардиоидой; ж - цепной линией; з - циклоидой; и - эллипсом [Fig. 2. Curvilinear plans with orthogonal coordinate system] Рис. 3. Комбинированные планы из синусоидальных отсеков: а - комбинация отсеков проведена из отсеков с положительной и отрицательной амплитудой синусоиды; б-д - комбинированный план получен путем поворота начального отсека на угол пересечения торцевых прямых [Fig. 3. Combined plans from sinusoidal compartments] Отметим, что криволинейный синусоидальный план не может быть образован с синусоидой на две и больше полуволн, так как на четных полуволнах координатные прямые (для обеспечения непрерывности плана) пойдут в сторону вогнутости синусоиды и получится самопересекающаяся координатная система прямых. Если угол пересечения торцов криволинейного отсека θ не кратен 2π, то получается незамкнутая криволинейная область комбинированного плана (рис. 3, б). Если угол θ = 2π/k (k - целое число), то из k отсеков получаем замкнутый k-угольный криволинейный план (рис. 3, в-д). Примеры комбинированных криволинейных планов на основе отсеков однотипных базовых кривых приведены на рисунке 4. Рис. 4. Комбинированные планы из однотипных отсеков на основе базовых кривых: а, б - эвольвенты круга; в, г - равнобочной параболы; д - лемнискаты Бернулли; е - гиперболы [Fig. 4. Combined plans from the same compartment] Рис. 5. Комбинированные планы из отсеков разного вида с различными базовыми кривыми: а - две эвольвенты круга и циклоида; б - синусоида и две неравнобочные параболы [Fig. 5. Combined plans from compartments of different types] На рисунке 5 показаны примеры комбинированных планов из отсеков с различными базовыми кривыми. Приведенные примеры криволинейных планов дают возможность построения разнообразных видов поверхностей. Задаваясь функцией вертикальной координаты z(u, v), получаем уравнение поверхности: Рис. 6. Резные поверхности Монжа с различными базовыми кривыми: а - лемнискатой Бернулли; б - эвольвентой круга; в - эллипсом; г - эллипсом, образующая - синусоида на три полуволны; д - эвольвентой круга, образующая - синусоида на одну полуволну; е - синусоидой, образующая - парабола [Fig. 6. Carved Monge surfaces with different base curves] Рис. 7. Поверхности с произвольной функцией образующей базовой кривой: а - эллипсом, образующая - синусоида с линейным изменением амплитуды; б - лемнискатой Бернулли, образующая - синусоида с линейным изменением амплитуды; в - синусоидой, образующая - синусоида с параболическим законом изменением амплитуды; г - эллипсом; д - синусоидой, образующие синусоиды с изменениями амплитуды вдоль базовой кривой z(u, v) = a sin(v)|sin(ku)|; для эллипса k = 1, 0 u 2π; для синусоиды k = 2, 0 u π [Fig. 7. Surfaces with an arbitrary function of the generating curve] Если функция вертикальной координаты будет функцией только параметра v, то получим резную поверхность Монжа [7-9] - образующая кривая не изменяется при движении в нормальной плоскости базовой кривой. Если образующей будет прямая линия -z = сv, то получаем поверхность одинакового ската - торсовую, развертывающую поверхность. Поверхность одинакового ската относится к классу резных поверхностей Монжа. Поверхностная система координат резных поверхностей Монжа является линиями главных поверхностей. При произвольной функции z = z(u, v) координатная система поверхности будет неортогональной и несопряженной - не являясь системой главных кривизм поверхности. Формы резных поверхностей Монжа с различными базовыми кривыми представлены на рисунке 6. На рисунке 7 представлены поверхности с функцией вертикальной координаты общего вида z = z(u, v). Далее на рисунке 8 приведены поверхности на комбинированных планах из сегментов одного типа (см. рис. 3, 4). Рис. 8. Поверхности на комбинированных планах с сегментами одного типа с базовыми кривыми: а - лемнискатой Бернулли; б - равнобочной параболой; в - эвольвентой круга. Образующие - синусоиды на одну полуволну: а - постоянная амплитуда; б, в - линейно изменяющаяся амплитуда; г-и - комбинированные планы из отсеков с поворотом образующей синусоиды; г-е - незамкнутый комбинированный план; ж-и - замкнутые планы с различным количеством сегментов. Образующие: г, ж - наклонные прямые; д - косинусоида на две полуволны; е - наклонная синусоида; з - синусоида с постоянной амплитудой; и - синусоида с линейно меняющейся амплитудой - отсеки поверхности не сопряжены на границах сегментов плана [Fig. 8. Surfaces on combined plans with segments of the same type] На рисунке 9 приведены поверхности на комбинированных планах из сегментов различных видов плана (см. рис. 5): а - образующая кривая на всех сегментах плана наклонная синусоида; б - образующая на сегментах с базовой эвольвентой круга - синусоида с линейным изменением амплитуды, на участке с базовой циклоидой синусоида с постоянной амплитудой равной амплитуде синусоиды сопрягаемых сегментов на гране сопряжения; в - на всех участок образующая прямая линия - поверхность одинакового ската; г - синусоида с постоянной амплитудой - резная поверхность Монжа; д - на среднем участке (базовая кривая синусоида) образующая кривая синусоида с постоянной амплитудой, на краевых участках (базовые кривые - неравнобочные параболы) образующие кривые синусоиды с линейно меняющейся амплитудой (начальная амплитуда равна амплитуде синусоиды среднего участка). На рисунке 10 приведена пространственная конструкция спортивного сооружения с базовым эллипсом с прямолинейной (трибуны) и синусоидальной (покрытие) образующими и цилиндрическими опорными стенками. На данном примере показана возможность конструирования пространственных сооружений с различными образующими кривыми на одном отсеке криволинейного плана. Приведенные примеры планов и поверхностей показывают большие возможности формообразования поверхностей на криволинейных планах для создания новых конструктивных форм в архитектуре современного градостроительства.

Об авторах

В Н Иванов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: i.v.ivn@mail.ru

Иванов Вячеслав Николаевич, доктор технических наук, профессор департамента архитектуры и строительства инженерной академии Российского университета дружбы народов. Область научных интересов: геометрия, формообразование поверхностей и методы расчета тонкостенных конструкций сложных форм.

ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

Т С Имомназаров

Российский университет дружбы народов

Email: timur-imomnazarov@mail.ru

Имомназаров Тимур Соибназарович, аспирант департамента архитектуры и строительства инженерной академии Российского университета дружбы народов. Область научных интересов: строительная механика, геометрия, формообразование поверхностей и методы расчета тонкостенных конструкций сложных форм.

ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

И Т Фархан

Российский университет дружбы народов

Email: ismael.civilengineer@gmail.com

Исмаил Таха Фархан, аспирант департамента архитектуры и строительства инженерной академии Российского университета дружбы народов. Область научных интересов: строительная механика, геометрия, формообразование поверхностей и методы расчета тонкостенных конструкций сложных форм.

ул. Миклухо-Маклая, 6, Москва, Россия, 117198

Список литературы