ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГЕОМЕТРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ ПЛИТ НА ИХ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ

Полный текст

Введение. Стержневые плиты являются одним из перспективных направлений строительных конструкций, это связано с их достоинствами перед традиционными конструктивными формами, такими как: пространственная работа системы, устойчивость к прогрессирующему разрушению, возможность использования при больших пролетах, облегчение конструкции кровли благодаря частой сетке узлов, максимальная унификация узлов и элементов, возможность поточного производства, архитектурная выразительность [1-9]. Однако при знакомстве с литературой по этой теме, читающий столкнется с отсутствием информации об изменении НДС при различной высоте плиты, соотношении ее сторон, формы элементарной ячейки. Также, отсутствует информация о характерных формах и частотах собственных колебаний необходимых для динамического анализа конструкции и при проектировании с динамической нагрузкой или в сейсмоопасных районах. Именно отсутствие этой информации послужило поводом для исследования. Анализ исследований, публикаций и опыта проектирования. Первое применение пространственных стержневых конструкций относится к 30-м годам XX века за авторством Р. ЛеРиколе. В 40-х годах появляются конструкции за авторством С. Дю Шато, Р.Б. Фуллера получившие широкое распространение. С 50-х разработаны и применяются конструкции систем «Меро», «Мобилар», «Юнистрэт» и др. [7]. Первый проект пространственной стержневой конструкции в отечественной практике относится к проекту выставочного павильона в Сокольниках в 1960 году. В 1960-х годах были разработаны системы МАрхИ [10], ЦНИИСК [11], широко применявшиеся в отечественной практике [7]. Первоначально расчет пространственных стержневых конструкций выполнялся методами строительной механики как систем перекрестных балок или ферм, или приведением дискретной системы стержней к континуальной пластинке с последующим разложение полученных усилий на дискретную систему. Более подробно указанные методы изложены в работах Игнатьева В.А. и учеников его научной школы [12-16]. В 1980-х расчет начал осуществляться на ЭВМ с поиском оптимальных вариантов [4; 7; 8]. На данный момент расчет выполняется с помощью различных расчетных комплексов, основанных на методе конечных элементов (МКЭ), что позволяет с меньшими затратами времени производить не только прочностной расчет, но и оптимизацию конструкции. В источниках [2-4; 6-9; 17; 18], как правило, приводятся общая информация, касающаяся формы ячеек, типов узлов и рекомендаций по высоте поперечного сечения в 1/20 ~ 1/30 пролета. Но отсутствует информация о том, как получены эти значения и как изменяется НДС при изменении формы ячейки, высоты плиты и соотношении сторон. Цель исследования: изучение работы прямоугольных в плане, шарнирно опертых в углах, стержневых плит с кубической и пирамидальной ячейкой при изменении высоты плиты и соотношения сторон плиты для выявления закономерностей НДС связанных с геометрией плит. Задачи работы. 1. Выполнить расчет и анализ напряженно-деформированного состояния стержневой плиты с различной формой ячейки, высотой плиты и соотношением сторон. 2. Выявить закономерности связанные с варьированием формы ячейки, высоты плиты и соотношением сторон влияющие на усилия, деформации, частоты и формы колебаний. 3. Определить закономерности влияния жесткости плиты на частоту и форму колебаний. Объект исследования и обработка результатов. Объектом исследования данной работы были прямоугольные в плане стержневые плиты с кубической и пирамидальной ячейками, опертые по вершинам нижнего прямоугольника, образованного внешним контуром нижнего пояса. Для исследования использовался расчетный комплекс ЛИРА САПР основанный на МКЭ [19; 20]. Создана пространственная расчетная схема, состоящая из верхней и нижней сетки с квадратными ячейками соединенными раскосами. В расчетных схемах и схемах загружений стержневых плит (рис. 1, 2) общим параметром является размер ячейки 1×1 м. Варьируются тип ячейки, высота плиты и соотношение сторон плиты. Опорные закрепления осуществлены в угловых узлах плиты по нижнему поясу, со свободными горизонтальными деформациями. Рис. 1. Расчетная схема стержневой плиты с кубическими ячейками и картой приложения нагрузки [Fig. 1. Analysis scheme of a rods plate with cubic cells and a load map] Рис. 2. Расчетная схема стержневой плиты с пирамидальными ячейками и картой приложения нагрузки [Fig. 2. Analysis scheme of a rods plate with pyramidal cells and a load map Жесткостные характеристики поясов приняты как для поперечного сечения площадью A = 20 см 2 с продольной жесткостью EA = 420 МН и удельным весом погонного метра g = 1570 Н/м Жесткостные характеристики раскосов приняты как для поперечного сечения площадью A = 10 см 2 с продольной жесткостью EA = 210 МН и удельным весом погонного метра g = 785 Н/м. К верхнему поясу прикладывается единичная равномерно распределенная по площади нагрузка q = 1 кПа собранная в узлы согласно их грузовой площади в виде сосредоточенных сил. Всего было создано четыре серии моделей. 1. С кубической ячейкой, размером в плане 10×10 м и вариацией высоты плиты от 0,5 до 2,0 м. 2. С пирамидальной ячейкой, размером в плане 10×10 м и вариацией высоты плиты от 0,5 до 2,0 м. 3. С кубической ячейкой, высотой плиты 1 м и вариацией сторон плиты от 10×10 м до 10×20 м. 4. С пирамидальной ячейкой, высотой плиты 1 м и вариацией сторон плиты от 10×10 м до 10×20 м. В результате статического расчета и модального анализа получены значения усилий в стержнях, перемещения узлов, частоты и формы колебаний. Эти данные обработаны и сведены в графики: - максимальные и математически ожидаемые усилия в поясах и раскосах плиты для различных соотношений высоты плиты к размеру ячейки h/a (рис. 3, 4); - соотношение усилий в продольных стержнях к поперечных, в зависимости от соотношения сторон плиты (рис. 5, 6); - прогиб середины плиты для различных соотношений высоты плиты к размеру ячейки h/a (рис. 7, 8); - частота собственных колебаний для различных соотношений высоты плиты к размеру ячейки h/a (рис. 9, 10); - прогиб середины плиты в зависимости от соотношения сторон плиты (рис. 11, 12); - частота собственных колебаний в зависимости от соотношения сторон плиты (рис. 13, 14). Рис. 3. Кривые зависимости усилий в элементах плиты с кубическими ячейками от соотношения высоты плиты к размеру ячейки h/a [Fig. 3. The graph of the dependence of forces in the elements of a plate with cubic cells on the ratio of the height of the plate to the size of the cell, h/a] Рис. 4. Кривые зависимости усилий в элементах плиты с пирамидальными ячейками от соотношения высоты плиты к размеру ячейки h/a [Fig. 4. The graph of the dependence of forces in the elements of a plate with pyramidal cells on the ratio of the height of the plate to the size of the cell, h/a] Рис. 5. Кривые зависимости отношения усилий в продольных стержнях к поперечным стержням от соотношения сторон плиты с кубическими ячейками [Fig. 5. The graph of the dependence of the ratio of forces in longitudinal rods to transverse rods on the ratio of the sides of a plate with cubic cells] Рис. 6. Кривые зависимости отношения усилий в продольных стержнях к поперечным от соотношения сторон плиты с пирамидальными ячейками [Fig. 6. The graph of the influence of the ratio of forces in longitudinal rods to transverse rods on the ratio of the sides of a plate with pyramidal cells] Рис. 7. Зависимость прогиба середины плиты с кубическими ячейками от соотношения высоты плиты к размеру ячейки h/a [Fig. 7. Graph of the dependence of the deflection of the middle of the plate with cubic cells on the ratio of the plate height to the cell size, h/a] Рис. 8. Зависимость прогиба середины плиты с пирамидальными ячейками от соотношения высоты плиты к размеру ячейки h/a [Fig. 8. Graph of the dependence of the deflection of the middle of the plate with pyramidal cells on the ratio of the plate height to the cell size, h/a] Рис. 9. Кривые зависимости частоты собственных колебаний плиты с кубическими ячейками от соотношения высоты плиты к размеру ячейки h/a [Fig. 9. The graph of the frequency of natural oscillations of a plate with cubic cells on the ratio of the plate height to the cell size h/a] Рис. 10. Кривые зависимости частоты собственных колебаний плиты с пирамидальными ячейками от соотношения высоты плиты к размеру ячейки h/a [Fig. 10. The graph of the frequency of natural oscillations of a plate with pyramidal cells on the ratio of the plate height to the cell size h/a] Рис. 11. Зависимость прогиба середины плиты с кубическими ячейками от соотношения сторон плиты [Fig. 11. Graph of the dependence of the deflection of the middle of the plate with cubic cells on the ratio of the side of the plate] Рис. 12. Зависимость прогиба середины плиты с пирамидальными ячейками от соотношения сторон плиты [Fig. 12. Graph of the dependence of the deflection of the middle of the plate with pyramidal cells on the ratio of the side of the plate] Рис. 13. Кривые зависимости частоты собственных колебаний плиты с кубическими ячейками от соотношения сторон плиты [Fig. 13. Graph of the frequency of natural vibrations of a plate with cubic cells from the ratio of the side of the plate] Рис. 14. Кривые зависимости частоты собственных колебаний плиты с пирамидальными ячейками от соотношения сторон плиты [Fig. 14. Graph of the frequency of natural vibrations of a plate with cubic cells from the ratio of the side of the plate] Графики изменения усилий и прогибов от высоты поперечного сечения плиты и графики изменения усилий и прогибов от соотношения сторон плиты были аппроксимированы с помощью простых математических функций и сведены в таблицы 1-4. Формы колебаний для первых 5-ти частот были изучены и занесены в таблицу 5, а их соответствующее графическое отображение на рисунке 15. Таблица 1 Аппроксимирующие функции кривых для кубической ячейки [Approximating functions of the curves for a cubic cell] Тип кривой Макс. верхний пояс, кН Макс. нижней пояс, кН Макс. раскосы, кН Мат.ожид. верхний пояс, кН Мат.ожид. нижний пояс, кН Прогиб плиты, мм Формула кривой = + 1 () c y abx a 5,644 е-3 -3,138 е-4 -3,138 е-4 -1,635 е-3 9,416 е-3 1,360 е-1 b -6,548 е-2 -5,376 е-2 -5,376 е-2 -1,436 е-1 -1,478 е-1 -7,293 е-1 c 8,700 е-1 1,020 е+0 1,020 е+0 9,888 е-1 8,923 е-1 1,221 е+0 Таблица 2 Аппроксимирующие функции кривых для пирамидальной ячейки [Approximating functions of the curves for a pyramidal cell] Тип кривой Макс. верхний пояс, кН Макс. нижней пояс, кН Макс. раскосы, кН Мат.ожид. верхний пояс, кН Мат.ожид. нижний пояс, кН Прогиб плиты, мм Формула кривой = + 1 () c y abx a 2,890 е-3 7,935 е-4 7,184 е-1 -4,127 е-3 -4,952 е-3 1,416 е-1 b -3,698 е-2 -4,105 е-2 -7,501 е-1 -1,026 е-1 -1,125 е-1 -5,982 е-1 c 8,157 е-1 1,013 е+0 1,532 е-2 1,022 е+0 1,051 е+0 1,094 е+0 Таблица 3 Аппроксимирующие функции прогибов для плит с вариацией длины [Approximating functions of deflections for plates with a length variation] Тип кривой Прогиб с кубической ячейкой, мм Прогиб с пирамидальной ячейкой, мм Формула кривой y = a + bx + cx 2 a 8,35 е+0 6,96 е+0 b -1,467’375 е+1 -1,252 е+1 c 8,031’250 е+0 7,746 е+0 Таблица 4 Аппроксимирующие функции усилий для плит с вариацией длины [Approximating functions of force for slabs with a length variation] Тип кривой Усилия в нижнем поясе с кубической ячейкой, кН Усилия в верхнем поясе с кубической ячейкой, кН Усилия в нижнем поясе с пирамидальной ячейкой, кН Усилия в верхнем поясе с пирамидальной ячейкой, кН Формула кривой = + 1 () c y abx =+ + 2 c y abx x a 1,046 е+0 1,213 е+0 2,966 е-1 8,757 е-2 b -5,136 е-2 -2,198 е-1 2,315 е-1 3,074 е-1 c 2,194 е+0 1,073 е+0 4,733 е-1 6,060 е-1 Таблица 5 Тон собственных колебаний плиты и соответствующая ему форма [The tone of the natural oscillations of the plate and the corresponding form] Тон колебаний 12345 Тип формы колебания A B B C B+D Рис. 15. Типы форм собственных колебаний стержневой плиты [Fig. 15. Types of forms of natural oscillations rods plate] Выводы. По результатам выполненных расчетов и анализа НДС можно прийти к следующему: 1) изучена работа стержневых плит, выполнен анализ напряженно-деформированного состояния и выявлены закономерности, связанные с влиянием варьированием формой ячейки, высотой плиты от 0,5 м до 2,0 м и соотношения сторон от 1×1 до 2×1 на усилия, деформации, частоты и формы колебаний; 2) получены новые научные данные, не представленные в обозреваемой литературе, ценные для понимания характера изменения НДС стержневых плит при вариации их геометрии; 3) усилия в элементах могут быть описаны по обратной степенной функции, принимая максимальные значения при наименьшей высоте плиты и минимальные значения при наибольшей высоте плиты. Это связано с тем, что изменение высоты плиты изменяет плечо внутренней пары сил, являющейся эквивалентом изгибающего момента в континуальной пластинке к которой можно свести дискретную стержневую плиту; 4) прогиб середины плиты может быть описан по полиноминальной функции, принимая максимальные значения при наименьшей высоте плиты и минимальные значения при наибольшей высоте плиты. Это связано с тем, что высота плиты изменяет геометрические характеристики ее поперечного сечения, что сказывается на ее изгибной жесткости; 5) соотношение между усилиями в стержнях в продольном и поперечном направлениях, при кубической ячейке, возрастают линейно в 1,3 раза при изменении соотношения сторон от 1×1 до 2×1. Соотношение при этом остается положительным (усилия в продольных стержнях больше чем в поперечных); 6) соотношение между усилиями в стержнях в продольном и поперечном направлениях, при пирамидальной ячейке, характеризуются следующими закономерностями: уменьшаются от 1,00 до 0,81 при изменении соотношения сторон от 1×1 до 1,6×1, увеличиваются от 0,81 до 0,86 при изменении соотношения сторон от 1,6×1 до 2×1. Соотношение при этом остается отрицательным (усилия в продольных стержнях меньше, чем в поперечных), это можно связать с большей жесткостью на кручение пирамидальной ячейки; 7) прогиб середины плиты изменяется по параболе, возрастая в 6 раз при изменении соотношения сторон от 1×1 до 2×1; 8) при всех вариациях высоты поперечного сечения плиты форма колебаний сохраняется соответствующей каждому тону. Так, для первого тона характерны поступательные движения в вертикальной плоскости, которые можно охарактеризовать как «батут». Для второго и третьего тона характерно волнообразное поступательное движение в вертикальной плоскости из одного угла плиты в другой по диагонали. Их расхождение на графиках можно обосновать условиями закреплениями, допускающими горизонтальные деформации. Для четвертого тона характерны горизонтальные, поочередно сменяющиеся, движение вдоль и поперек плиты. Для пятого тона характерна форма, совмещающая в себе движения характерные для второго и четвертого тонов; 9) частоты собственных колебаний первых 5-ти тонов уменьшаются, в среднем, в 2 раза, при изменении соотношения сторон от 1×1 до 2×1. Все полученные данные можно использовать для оптимизации конструкции стержневой плиты при проектировании реальных сооружений.

Об авторах

И Д Аникеев

Волгоградский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: anikeevid@yandex.ru

Аникеев Илья Дмитриевич, магистрант кафедры строительных конструкций, оснований и надежности сооружений института архитектуры и строительства Волгоградского государственного технического университета. Область научных интересов: пространственные стержневые конструкции, в частности, перекрестно-стержневые системы.

ул. Академическая, 1, Волгоград, Россия, 400074

А В Голиков

Волгоградский государственный технический университет

Email: alexandr_golikov@mail.ru

Голиков Александр Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры строительных конструкций, оснований и надежности сооружений института архитектуры и строительства Волгоградского государственного технического университета. Область научных интересов: расчет и проектирование высотных сооружений, оценка состояния эксплуатируемых конструкций.

ул. Академическая, 1, Волгоград, Россия, 400074

Список литературы