СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ АВТОНОМНОЙ ГРУППЫ РОБОТОВ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ МЕТОДОМ МНОГОСЛОЙНОГО СЕТЕВОГО ОПЕРАТОРА С РАССТАНОВКОЙ ПРИОРИТЕТОВ

Полный текст

Управление автономными системами с многими роботами должно осущест- вляться на основании данных, полученных от датчиков о текущем состоянии роботов. При этом вырабатываемое управление должно быть оптимальным для любого состояния объекта, а не только для одного предварительно рассчитанно- го. Таким образом, решение традиционной задачи оптимального управления для объекта в каком-нибудь известном начальном состоянии и получение оптималь- ной программы управления в зависимости от времени не может отвечать требо- ваниям автономных систем. Модуль управления должен вырабатывать оптималь- ное управление для различных возможных начальных состояний объекта, а так- же для любых возможных состояний, в которых объект может оказаться в процессе управления, даже если они не принадлежат полученной оптимальной траектории.В связи с этим мы рассматриваем задачу синтеза управления. Она заключает- ся в разработке такого модуля управления, который на основании полученных данных о состоянии объекта вырабатывает управление, обеспечивающее дости- жение цели с оптимальными значениями некоторых заданных функционалов.Задача управления группой роботов обладает дополнительной сложностью из-за необходимости обеспечения координации между роботами. В сложных ро- бототехнических системах каждый робот должен удовлетворять своим кинема- тическим уравнениям, а также существующим фазовым ограничениям [1], вклю- чая динамические ограничения [2], обеспечивающие отсутствие столкновений между роботами.Решение задачи синтеза управления представляет собой математическое вы- ражение, описывающее модуль управления. Сегодня задача синтеза управления, или нахождение математического выражения функции управления, может быть решена численно с помощью методов символической регрессии. Все методы сим- волической регрессии позволяют находить оптимальное решение на множестве кодов математических выражений с помощью некоторого эволюционного алго- ритма. Методы символической регрессии различаются между собой по форме кодирования возможных решений. Форма кода влияет на реализацию эволюци- онного алгоритма поиска, в частности на выполнение операции кроссовера. В на- стоящее время существует несколько методов символической регрессии: грам- матическая эволюция [3], аналитическое программирование [4], метод сетевого оператора [5-7] и т.д. Генетическое программирование использовали для реше- ния задачи синтеза [8-11]. В отличие от генетического программирования и дру- гих известных методов символической регрессии метод сетевого оператора был специально разработан для решения задачи синтеза управления. Он использует принцип малых вариаций базисного решения [12]. Этот принцип позволяет умень- шить пространство поиска и время расчета за счет выбора хорошего базисного решения.Метод сетевого оператора кодирует математическое выражение в виде ориен- тированного графа. Для моделей объектов управления большой размерности ме- тод многослойного сетевого оператора является более удобным в использовании. Многослойный сетевой оператор представляет собой несколько связанных сете- вых операторов меньшего размера. В работе [13] мы использовали метод много- слойного сетевого оператора для синтеза управления группой роботов. Мы рас- сматривали группу роботов как один объект управления. Необходимо было най- ти функцию управления для обеспечения движения роботов из различных начальных состояний в терминальное состояние без столкновений. При синтезе мы учитывали столкновения роботов с помощью функции штрафа. Такой подход, основанный на рассмотрении группы роботов как одного единого объекта, труд- но применить к большой группе роботов. В работе [14] нами решалась аналогич- ная задача управления для перемещения группы из различных начальных состо- яний во множество терминальных состояний. В этой работе мы сначала синте- зировали одну систему управления для стабилизации робота относительнонекоторой точки пространства состояний с фазовыми ограничениями. Устано- вили полученную систему управления для всех роботов. И далее мы искали оп- тимальные траектории движения роботов в виде точек пространства состояний для движения роботов из разных начальных условий в заданные конечные по- ложения. Основная сложность заключалась в обеспечении отсутствия столкно- вений между роботами.В настоящей работе мы устанавливаем приоритеты для роботов для исключе- ния столкновений между ними. Для решения задачи стабилизации мы исполь- зуем метод многослойного сетевого оператора. В качестве примера мы рассмотрим задачу с четырьмя роботами и двумя фазовыми ограничениями в виде прямо- угольных областей.Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, описывающих группу роботов одного типа:ẋ1,i = u1,i cos(x3,i), (1)ẋ2,i = u1,i sin(x3,i), (2)x 3,iu1,i=Ltg(u2,i ),(3)где (ẋ1,i, ẋ2,i) - координаты геометрического центра робота i; x3,i - угол между про- дольной осью робота i и осью OX неподвижной системы координат; L - общий габаритный параметр робота; u1,i, u2,i - компоненты вектора управления робота i; i = 1, …, N, N - количество роботов в группе.Для системы (1)-(3) заданы ограничения на управление- + - +u1  u1,i  u1 , u2 u2,i  u2 , (4)задано множество начальных значенийX = {((x 0,1, x 0,1, x 0,1 ), …, (x 0,1 , x 0,1 , x 0,1 )), ...0 1,1 2,1 3,1 1,N2,N3,N..., ((x 0,M , x 0,M , x 0,M ), …, (x 0,M , x 0,M , x 0,M )),(5)1,1 2,1 3,1 1,N2,N3,Nзаданы терминальные условия1,k f 1,k| x (t ) - x f |≤ ε,2,k f 2,k| x (t ) - x f |≤ ε,3,k f 3,k| x (t ) - x f |≤ ε, k = 1, …, N, (6)где tf - не заданное, ограниченное сверху время выполнения терминальных условий, tf  t+; ε - заданная малая положительная величина; t+ - заданная верхняя времен- ная граница выполнения терминальных условий.Заданы фазовые ограничения в виде прямоугольных областей (рис. 1).Рис. 1. Фазовое ограничение [Phase constraints]На рисунке 1 (α, β) - координаты углов прямоугольной области ограничения,α ∈ {a, d}, β ∈ {b, c}, a < d, b < c.Мы рассматриваем роботов прямоугольной формы. Углы любого робота недолжны находиться внутри общей площади фазовых ограничений, т.е. должно выполняться условие(x̃1,j,i < ak) ∨ (x1,j,i > dk) ∨ (x̃2,j,i < bk) ∨ (x̃2,j,i > ck), (7)где (x̃1,j,i, x2,j,i) - координаты угла j робота i, j = 1, 2, 3, 4, i = 1, …, N; k = 1, …, K; K - количество фазовых ограничений.Рис. 2. Углы габаритной площади робота [Corners of the robots area]Координаты положения углов каждого робота (рис. 2) определяем по следую- щим формулам:x1,1 = xl,f cos(x3) - yl,f sin(x3), x̃2,1 = xl,f sin(x3) + yl,f cos(x3), x1,2 = xl,bcos(x3) - yl,bsin(x3), x̃2,2 = xl,bcos(x3) + yl,bsin(x3), x̃1,3 = xr,bcos(x3) - yr,bsin(x3), x̃2,3 = xr,bcos(x3) + yr,bsin(x3), x1,4 = xr,f cos(x3) - yr,f sin(x3), x̃2,4 = xr,f cos(x3) + yr,f sin(x3),где xl,f = x1cos(x3) + x2sin(x3) + L/2, yl,f = -x1sin(x3) + x2cos(x3) + H/2; xl,b = x1cos(x3) ++ x2sin(x3) - L/2, yl,b = yl,f, xr,f = xl,f; yr,f = -x1sin(x3) + x2cos(x3) - H/2, xr,b = xl,b, yr,b = yr,f.Задан критерий качества управленияM ⎛ N t f⎜J = ∑ ⎜ ∑ ∫⎝⎞f0 (x1,k , x2,k , x3,k , u1,k , u2,k )dt ⎟ ,⎟⎠(8)i =1k =1 0 iгде нижний индекс i у скобок (…)i означает, что выражение в скобках вычисляетсядля начальных значений ((x 0,i , x 0,i , x 0,i ), …, (x 0,i , x 0,i , x 0,i)), 1  i  M.1,1 2,1 3,1 1,N2,N3,NНеобходимо найти управление, которое для любых начальных условий (5) обе- спечивает достижение цели управления (6) без нарушения фазовых ограничений(7) с оптимальным значением критерия качества (8).Для решения поставленной задачи синтеза системы управления на первом этапе мы решаем задачу синтеза системы стабилизации для одного робота, но с фазовыми ограничениями, а затем мы тиражируем эту систему стабилизации для всех роботов.Для решения задачи стабилизации мы используем функционалM ⎛ t1 ⎞J = ∑ ⎜t1 + ∫ pdt ⎟→ min,(9)i =1 ⎝ 0 ⎠iгде M - количество начальных условий,⎧ 3⎪t, if (x f - x(t))2 < εt1 = ⎨⎪,∑ j jj =1(10)⎩t + - иначеε и t+ - заданные положительные величины; p(t) - штраф за нарушение фазовых ограничений.a бРис. 3. Нарушение фазовых ограничений [Violation of phase constraints]Нарушение прямоугольных фазовых ограничений возникает при условии по- падания угла робота внутрь общей площади фазовых ограничений или если угол фазовых ограничений попадает внутрь площади робота (рис. 3 а, б).⎧r + , if (δ1δ2 > 0) ∧ (δ2δ3 > 0) ∧ (δ3δ4 > 0)⎪p = ⎨s + , if (γ1γ 2 > 0) ∧ (γ 2 γ3 > 0) ∧ (γ3 γ 4 > 0),⎩⎪0 - иначе(11)где δ1 = (x1,1 - α)(x̃1,2 - x̃1,1) + (x̃2,1 - β)(x̃2,2 - x2,1),δ2 = (x1,2 - α)(x̃1,3 - x̃1,2) + (x̃2,2 - β)(x̃2,3 - x2,2),δ3 = (x1,3 - α)(x̃1,4 - x̃1,3) + (x2,3 - β)(x̃2,4 - x2,3),δ4 = (x1,4 - α)(x̃1,1 - x1,4) + (x2,4 - β)(x̃2,1 - x̃2,4),r+ = max{r1, r2, r3, r4}, ri =(x 1,i - α)2 + (x 2,i - β)2 , i = 1, 2, 3, 4,γ1 = (d - x1̃ )(a - d), γ2 = (c - x2̃ )(b - c), γ3 = (a - x̃1)(d - a), γ4 = (b - x2̃ )(c - b),s+ = max{s1, s2, s3, s4}, s1 =(d - x 1 )2 + (c - x 2 )2 , s2 =(a - x 1 )2 + (c - x 2 )2 ,2 2 2 2s3 =(a - x 1 )+ (b - x 2 ) , s4 =(d - x 1 )+ (b - x 2 ) .Для решения задачи стабилизации с фазовыми ограничениями мы использу- ем метод многослойного сетевого оператора. Описание метода представлено в работе [15].В качестве примера используем предложенный метод для решения задачи син- теза системы управления группой из N = 4 мобильных роботов с K = 2 фазовыми ограничениями и M = 2 начальными состояниями.Были заданы следующие начальные условия:{( 0,1 0,1 0,1) ( 0,1 0,1 0,1 )X 0 =x1,1= -12.5, x2,1 = 2, x3,1 = 0 ,x1,2 = -12.5, x2,2 = 4, x3,2 = 0 ,( 0,1 0,1 0,1) ( 0,1 0,1 0,1 )x1,3 = -12.5, x2,3 = 6, x3,3 = 0 ,x1,4 = -12.5, x2,4 = 8, x3,4 = 0 ,( 0,2 0,2 0,2) ( 0,2 0,2 0,2 )x1,2= 12.5, x2,2 = 2, x3,2 = 0 ,x1,2= 12.5, x2,2 = 4, x3,2 = 0 ,( 0,2 0,2 0,2) ( 0,2 0,2 0,2 )}x1,3= 12.5, x2,3 = 6, x3,3= 0 ,x1,4= 12.5, x2,4 = 8, x3,4 = 0и целевое терминальное положениеx f f f f f f1,1 = -7.5, x2,1 = 0, x3,1 = 0, x1,2 = -2.5, x2,2 = 0, x3,2 = 0,x f f f f f f1,3 = 2.5, x2,13 = 0, x3,3 = 0, x1,4 = 7.5, x2,4 = 0, x3,4 = 0.Были заданы следующие параметры фазовых ограничений:a1 = -20, b1 = -1, c1 = 1, d1 = -10.5, a2 = 10.5, b2 = -1, c2 = 1, d2 = 20.Длина и ширина каждого робота заданы соответственно L = 4, H = 2.1Ограничения на управление были u -1= -5, u +2= 5, u -2= -1, u += 1.В результате решения задачи методом многослойного сетевого оператора была получена следующая система стабилизации:u1 =⎪u 1 - otherwise⎧u- , if u 1< u-1 1⎧u- , if u 2< u-2 2⎪ +⎨u1 , if u > u+ , u = ⎪ + , if u 1 1 2 ⎨u2> u+2 2,⎪u 2 - otherwise⎩ ⎩где ũ1 = 3/2A, ũ2 = sgn(3B + sgn(A)exp(-|3A|)) × (exp|3B + sgn(A)exp(-|3A|)| - 1);Cq4 + sgn(Δ1,i )exp(- | Δ1,i | q1) 1- exp(-Cq4 ) 3A = + + Δ1,i ;2 1+ exp(-Cq4 )B = Dcos(Δ1,i) + sgn(D)(exp|D| - 1) + G-1; C = q1Δ1,i + q2Δ2,i - q3Δ3,iΔ2,i;D = G + sgn(G) | G | + sgn(sgn(Δ1,i )q6Δ3,i| q7Δ1,i |) × (exp | sgn(Δ1,i )q6Δ3,i| q7Δ1,i | | -1);G = q5Δ2,i + sgn(Δ2,i ) +q Δ2 26 3,i| q7Δ1,i| +1;sgn(Δ1,i )q6Δ3,i| q7Δ1,i |q1 = 10.218; q2 = 0.447754; q3 = 1.4932; q4 = 0.42098; q5 = 14.377441; q6 = 8.47973632;q7 = 0.28297; Δ1,i = x f - x ; Δ= x f - x ; Δ= x f - x .1,i1,i2,i2,i2,i3,i3,i3,iПолученная система стабилизации позволяет роботам успешно достичь тер- минальных положений из разных начальных условий.Во время движения роботы имели следующие приоритеты:di = N - i, i = 1, …, N. (12)Согласно заданным приоритетам если в процессе моделирования возникает вероятность столкновения роботов, то робот с меньшим приоритетом должен остановиться.а) расстояние между 1 и 2 роботом б) расстояние между 1 и 3 роботомв) расстояние между 1 и 4 роботом г) расстояние между 2 и 3 роботомд) расстояние между 2 и 4 роботом е) расстояние между 3 и 4 роботомРис. 4. Расстояния между роботами в процессе движения [Distance between robots]На рисунке 4 приведены результаты моделирования полученной системы управления. На рисунке 4, а-е представлены наименьшие расстояния между роботами, когда они перемещаются из первого начального состояния до конеч- ного состояния.Из результатов моделирования видно, что полученная система управления позволила роботам переместиться из начальных условий до конечного состояния без столкновений.В заключение отметим, что в настоящей работе проблема синтеза управления для группы роботов была решена методом многослойного оператора сети. Полу- ченное управление является сложной функцией от координат пространства со- стояний. Метод нашел не только параметры, но и структуру этой функции управ- ления. В отличие от традиционных методов синтеза управления, метод, который мы показали, позволяет решить задачу синтеза автоматически, а не просто опти- мизирует некоторую заданную структуру.© Дивеев А.И., Шмалько Е.Ю., 2017

Список литературы