О нелокальной краевой задаче для эллиптических дифференциальных уравнений с условиями Самарского-Ионкина интегрального типа

Полный текст

Введение Эллиптические уравнения в частных производных имеют приложения почти во всех областях математики, от гармонического анализа до геометрии и теории Ли, а также многочисленные приложения в физике и технике. Корректность локальной краевой задачи для эллиптического © А. Ашыралыев, А. Хамад, 2025 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 1 уравнения , (1.1) в произвольном банаховом пространстве E с положительным оператором A и связанные с ним приложения изучались многими исследователями (см., например, [9, 12, 25, 34] и приведенную там библиографию). В математическом моделировании эллиптические уравнения используются вместе с локальными граничными условиями, задающими решение на границе области. В некоторых случаях классические граничные условия не могут точно описать процесс или явление. Поэтому математические модели различных физических, химических, биологических или экологических процессов часто включают неклассические условия. Такие условия обычно определяются как нелокальные граничные условия и отражают ситуации, когда данные на границе области не могут быть измерены напрямую или когда данные на границе зависят от данных внутри области. Корректность различных нелокальных краевых задач для уравнений в частных производных и разностных уравнений широко изучалась многими исследователями (см., например, [6-8, 10, 13-19, 22, 24, 26, 31-33, 35] и приведенные там ссылки). В статье [2] Ионкина исследовалась нелокальная задача для одномерного параболического уравнения, возникающего при моделировании некоторых неклассических тепловых процессов. Было доказано существование решений, а затем установлена их устойчивость в [3]. Для параболического уравнения с одной пространственной переменной Самарский [4] предложил нелокальную постановку краевой задачи, охватывающую как классические начально-краевые задачи, так и задачу Ионкина из [2, 3]. В последнее время различные нелокальные краевые задачи с условием Самарского-Ионкина для уравнений в частных производных изучались многими исследователями (см., например, [1, 20, 21, 23, 27-30, 37, 38] и приведенные там ссылки). В настоящей работе рассматривается нелокальная краевая задача для абстрактного дифференциального уравнения эллиптического типа с условиями Самарского-Ионкина интегрального типа (1.2) в произвольном банаховом пространстве E с положительным оператором A. Функция u(t) называется решением задачи (1.2), если выполняются следующие условия: 1. u(t) - дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке [0,T] функция. Производные на концах отрезка понимаются как соответствующие односторонние производные. 2. Элемент u(t) принадлежит D(A) для всех t ∈ [0,T], а функция Au(t) непрерывна на отрезке [0,T]. 3. u(t) удовлетворяет уравнению и граничным условиям (1.2). Решение задачи (1.2), определенное таким образом, в дальнейшем будет называться решением задачи (1.2) в пространстве C(E) = C([0,T],E). Здесь C(E) обозначает банахово пространство всех непрерывных функций ϕ(t), определенных на [0,T] со значениями в E, снабженное нормой . Установлена корректность задачи (1.2) в различных банаховых пространствах. В приложениях доказаны теоремы о корректности ряда нелокальных краевых задач для эллиптических уравнений с условиями Самарского-Ионкина интегрального типа. 2. Промежуточные результаты для локальной краевой задачи (1.1) В этом разделе мы приводим некоторые вспомогательные утверждения из [12], которые будут полезны в дальнейшем. Оператор имеет лучшие спектральные свойства, чем положительный оператор A. Действительно, оператор (-B) является генератором аналитической полугруппы с экспоненциально убывающей нормой при t -→ +∞, т. е. оценки (2.1) выполняются для некоторых M(B) ∈ [1,+∞) и α(B) ∈ (0,+∞). Из этого следует, что оператор I - e-2TB имеет ограниченный обратный и выполняется оценка . (2.2) Формула (2.3) справедлива для точного решения задачи (1.1) при достаточно гладких данных v0, vT и f(t). Обозначим через Cα(E) (0 < α < 1) банахово пространство, полученное пополнением множества всех гладких E-значных функций ϕ(t) на [0,T] по норме . Теорема 2.1. Пусть Av0-f(0),AvT -f(T) ∈ Eα, f(t) ∈ Cα(E)(0 < α < 1). Если A -положительный оператор в банаховом пространстве E, то краевая задача (1.1) корректно поставлена в пространстве Гёльдера Cα(E). Для решения v(t) в Cα(E) краевой задачи выполняется коэрцитивное неравенство (2.4) , где M не зависит от α, v0, vT и f(t). Здесь банахово пространство Eα = Eα(B,E) (0 < α < 1) состоит из тех v ∈ E, для которых конечна норма . Более того, положительность A является необходимым условием корректности задачи (1.1) в C(E). Однако задача (1.1) не корректна в C(E) для всех положительных операторов. Оказывается, что банахово пространство E можно ограничить до банахова пространства E) таким образом, что ограниченная задача (1.1) в E будет корректна в. Роль E здесь будут играть дробные пространства Eα = Eα(B,E) (0 < α < 1). Теорема 2.2. Пусть A -положительный оператор в банаховом пространстве E и f(t) ∈ C(Eα) (0 < α < 1), v0,vT ∈ Eα. Тогда для решения v(t) в C(Eα) локальной краевой задачи (1.1) выполняется коэрцитивное неравенство (2.5) , где M не зависит от α, v0, vT и f(t). 3. Корректность нелокальной краевой задачи (1.2) Рассмотрим нелокальную краевую задачу (1.2). Приведем лемму, которая понадобится в дальнейшем. Лемма 3.1. Пусть A -положительный оператор в банаховом пространстве E, и α(t) - неотрицательная непрерывная функция для любого t ∈ [0,T]. Тогда оператор имеет обратный , и справедлива следующая оценка: . (3.1) Доказательство. Используя свойство непрерывности α(t), мы можем записать . Из этого следует, что . Тогда оператор имеет обратный . Лемма 3.1 доказана. Более того, применяя формулу (2.3) для решения задачи (1.2) при u(0) = ϕ и взяв производную по t, получаем Имеем, что (3.2) и (3.3) Применяя формулу (2.3) для u(0) = ϕ, получаем (3.4) Применяя формулы (3.2)-(3.4) и условие Самарского-Ионкина получаем или По лемме 3.1 существует обратный ограниченный оператор для оператора (3.5) Таким образом, получаем (3.6) Итак, легко показать, что функция u(t), заданная на [0,T] формулами (2.3) при u(0) = ϕ и (3.6), дает единственное решение в C(E) задачи (1.2), если, например, α(t) ∈ C(1)[0,T], ϕ ∈ D(A2), или . Достаточные условия корректности нелокальной краевой задачи (1.2) можно установить, если рассмотреть эту задачу в некоторых пространствах гладких E-значных функций, определенных на [0,T]. Обратим внимание, что для решения задачи (1.2) неравенство коэрцитивности не выполняется. Тем не менее, мы имеем следующие результаты о корректности. Теорема 3.1. Предположим, что. Если A - положительный оператор в банаховом пространстве E, то краевая задача (1.2) корректно поставлена в пространстве Гёльдера Cα(E) и для решения этой задачи u(t) в Cα(E) выполняется коэрцитивное неравенство (3.7) , - где M не зависит от α, ϕ,ψ, f(t). Доказательство. По теореме 2.1 имеем следующую оценку: (3.8) для решения задачи (1.2). Поэтому для доказательства теоремы 3.1 достаточно установить оценки для . Применяя формулу (3.6), получаем где , Оценим Jk в норме Eα для любых k = 1,2,3,4 и 5 по отдельности. В каждом случае будем использовать лемму 3.1 и оценки (2.1), (2.2) и (3.1). Начнем с J1 в норме Eα. Применяя неравенство треугольника, получим для всех λ, λ ∈ (0,∞). Тогда . Таким же образом мы можем получить . Теперь оценим J3 в норме пространств Eα. Имеем, что Применяя неравенство треугольника и оценки (2.1), (3.1), получаем ! для всех λ, λ ∈ (0,∞). Так как , имеем, что . Оценим J4 в норме пространств Eα. Применяя неравенство треугольника и оценки (2.1), (3.1), получаем для всех λ, λ ∈ (0,∞). Поэтому . Оценим J5 в норме интерполяционных пространств Eα. Применяя неравенство треугольника, получаем для всех λ, λ ∈ (0,∞). Тогда . Объединяя оценки для Jk в норме Eα для любых k = 1,2,3,4 и 5, получаем . (3.9) Наконец, применяя оценки (3.8) и (3.9), получаем оценку (3.7). Теорема 3.1 доказана. Теорема 3.2. Пусть A -положительный оператор в банаховом пространстве Aϕ ∈ Eα, f(t) ∈ C(Eα) (0 < α < 1). Тогда для решения u(t) в C(Eα) краевой задачи (1.2) выполняется коэрцитивное неравенство , где M(μ) не зависит от α, ϕ,ψ и f(t). Доказательство. По теореме 2.2 имеем оценку для решения задачи (1.2). Поэтому для доказательства теоремы 3.2 достаточно установить оценки для . Применяя формулу (3.6), получаем Используя неравенство треугольника, оценки (2.1), (3.1) и определение пространств Eα, получаем - для любого λ > 0. Поэтому . (3.10) Теорема 3.2 доказана. 4. Приложения Теперь рассмотрим приложения теорем 3.1 и 3.2 к эллиптическим уравнениям. 1. Сначала рассмотрим краевые задачи для двумерных эллиптических уравнений (4.1) ⎪ где a(x), ϕ(x) и f(y,x) - заданные достаточно гладкие функции, а a(0) = a(l), a(x) > 0, δ > 0- достаточно большие числа. Введем банаховы пространства Cβ[0,l] (0 < β < 1) всех непрерывных функций ϕ(x), удовлетворяющих условию Гёльдера, для которых конечны следующие нормы: , где C[0,l] - пространство всех непрерывных на [0,l] функций ϕ(x) с обычной нормой . Известно, что дифференциальное выражение Axv = -(a(x)vx(x))x + δv(x) определяет положительный оператор Ax, действующий в Cβ[0,l] с областью определения Cβ+2[0,l] и удовлетворяющий условиям v(0) = v(l), vx(0) = vx(l). Поэтому мы можем заменить краевые задачи (4.1) абстрактной краевой задачей (1.2). Используя результаты теорем 3.1 и 3.2, мы получаем следующий результат. Теорема 4.1. Для решения краевой задачи (4.1) справедливы следующие коэрцитивные неравенства: , . Здесь M(α) не зависит от ϕ(x), ψ(x) и f(y,x). 2. Теперь пусть Ω будет единичным открытым кубом в n-мерном евклидовом пространстве Rn с границей рассмотрим смешанную краевую задачу для многомерного эллиптического уравнения (4.2) ), где- заданные гладкие функции, а αr(x) > 0, δ > 0- достаточно большое число. Введем банаховы пространства (β1,...,βn), 0 < xk < 1, k = 1,...,n) всех непрерывных функций, удовлетворяющих условию Гёльдера с индикатором β = (и весом xβkk(1 - xk - hk)βk, n, , где -пространство всех непрерывных функций, определенных на Ω, снабженное нормой . Известно, что дифференциальное выражение определяет положительный оператор Ax, действующий на с областью определения и удовлетворяющий условию v = 0 на S. Поэтому мы можем заменить краевые задачи (4.2) на абстрактные краевые задачи (1.2). Используя результаты теорем 3.1, мы можем получить следующий результат. Теорема 4.2. Предположим, что . Тогда для решения краевой задачи (4.2) справедливо коэрцитивное неравенство , где M(α) не зависит от f(y,x). 3. Перейдем к краевой задаче в диапазоне для многомерных эллиптических уравнений порядка 2m (4.3) , где ar(x) и f(y,x), ϕ(x),ψ (x) - заданные достаточно гладкие функции, а αr(x) > 0, δ > 0- достаточно большие числа. Будем считать, что символ дифференциального оператора вида , (4.4) действующего на функции, определенные на пространстве Rn, удовлетворяет неравенствам при. Задача (4.3) имеет единственное гладкое решение. Для формулировки наших результатов мы вводим банахово пространство Cμ(Rn) (0 < μ < 1) всех непрерывных функций ϕ(x), определенных на Rn и удовлетворяющих условию Гёльдера, для которого конечна следующая норма: , где C(Rn) - пространство всех непрерывных функций ϕ(x), определенных на Rn с обычной нормой . Теперь сформулируем следующий результат о корректности. Теорема 4.3. Для решения краевой задачи (4.3) выполняются следующие неравенства коэрцитивности: | где M(α) не зависит от ϕ(x), ψ (x), и f(y,x). Доказательство теоремы 4.3 основано на абстрактных теоремах 3.1 и 3.2, положительности оператора Ax в Cμ(Rn), структуре дробных пространств и неравенстве коэрцитивности для эллиптического оператора Ax в Cμ(Rn). Заключение В данной статье изучается нелокальная краевая задача для эллиптических уравнений с условием Самарского-Ионкина интегрального типа. Устанавливается корректность нелокальной краевой задачи для абстрактных эллиптических уравнений с условием Самарского-Ионкина интегрального типа в банаховом пространстве. В приложениях доказана теорема о корректности нелокальных краевых задач для эллиптических уравнений с условием Самарского-Ионкина интегрального типа. Представлены двухшаговые разностные схемы высокого порядка точности для численного решения дифференциальной задачи с условием Самарского-Ионкина интегрального типа. Отметим, что операторный метод в [12] позволяет установить корректность этих разностных схем.

Об авторах

Аллаберен Ашыралыев

Bahcesehir University; Российский университет дружбы народов; Институт математики и математического моделирования

Автор, ответственный за переписку.
Email: allaberen.ashyralyev@eng.bau.edu.tr
Стамбул, Турция; Москва, Россия; Алматы, Казахстан

Айман Хамад

University of Benghazi

Email: ayman.hamad@uob.edu.ly
Бенгази, Ливия

Список литературы

Дополнительные файлы