Об одной краевой задаче, связанной с внутренней флотацией

Полный текст

Введение Настоящая статья является продолжением работ [8-11, 13], в которых исследовались начальнокраевые задачи динамики жидкости, покрытой льдом (крошеным, упругим). Под крошеным льдом подразумеваем плавающие на свободной поверхности весомые частицы некоторого вещества (см., например, [2]). Упругий лед моделируется упругой пластиной, близкая по математической постановке задача о колебаниях однородной жидкости в контейнере с упругим дном рассматривалась в монографии [12]. Исследование задач проводилось по принципу «от простого к сложному», благодаря чему задачи можно классифицировать по трем уровням сложности. Задачам первого уровня соответствуют случаи, когда подвижная поверхность Γ есть область лишь одного типа: крошеный лед, упругий лед [8, 9]. К задачам второго уровня относятся задачи, когда на Γ соприкасаются две среды: подвижная поверхность без упругого льда и подвижная поверхность без крошеного льда [10]. Наконец, к третьему уровню отнесена наиболее общая задача, когда на Γ имеется участок чистой воды, упругого льда и крошеного льда [11, 13]. В монографии [12] рассматривалась задача о малых движениях системы однородных идеальных жидкостей со свободной поверхностью (чистая вода). Поля скоростей считались элементами векторного пространства пар функций. С учетом этого исходная задача переписывалась в виде пар соотношений для исходных объектов, далее с использованием метода ортогонального проектирования на выбранные подпространства задача сводилась к равносильной задаче Коши для дифференциального уравнения второго порядка в некотором гильбертовом пространстве, для которой устанавливалась теорема существования решений. Однако не был осуществлен переход от достаточных условий, где требуется принадлежность функций областям определения матричных операторов, к достаточным условиям, где ограничения накладываются на начальные условия и внешние силы на соответствующих границах. В представленной работе модифицируется изложенный выше подход при изучении задачи о малых движениях и нормальных колебаниях многослойной идеальной жидкости со свободной поверхностью, состоящей из двух областей: участка крошеного льда и участка упругого льда. Предполагается также, что граница раздела слоев жидкости является весомой поверхностью (т. н. внутренняя флотация). Интерес к таким проблемам может быть связан с тем, что при экспериментальных исследованиях распределения характеристик воды, например, в Черном море было обнаружено, что на границе раздела двух основных слоев (верхнего и нижнего) «плавают» частицы различных материалов, объемная плотность которых больше плотности верхнего слоя, но меньше нижнего. Этими материалами являются намокшее дерево, водоросли, растительные остатки, «экологический мусор» и тому подобное. 1. Эволюционная задача 1.1. Математическая формулировка задачи. Рассмотрим неподвижный сосуд, частично заполненный системой из двух идеальных несжимаемых жидкостей. Жидкости предполагаются тяжелыми, и в силу этого действие капиллярных сил в задаче не учитывается. Обозначим через Ωi (i = 1,2) область, занимаемую в состоянии покоя жидкостью плотности ρi (ρ1 > ρ2), соответствующий участок твердой стенки - через Si; всем параметрам, относящимся к нижней жидкости, будем приписывать индекс 1, а к верхней - 2. Представим , где Γ1 и Γ2 - это нижняя и верхняя границы области Ω2, соответственно, причем Γ2 состоит из областей нескольких типов: Γ2 = Γ21 ∪ Γ22, где Γ21 -участок крошеного льда, Γ22 - участок упругого льда. Кроме того, будем считать, что граница раздела слоев жидкостей (граница Γ1) является весомой поверхностью с поверхностной плотностью ρ0. Введем систему координат Ox1x2x3 таким образом, что ось Ox3 направлена против действия силы тяжести, а начало координат находится на поверхности раздела Γ1. Обозначим через ni единичный вектор, нормальный к ∂Ωi и направленный вне Ωi. Рассмотрим малые движения изучаемой гидросистемы, близкие к состоянию покоя. Пусть ui -поля скоростей в жидкостях, а ζi = ζi(t,xˆ), xˆ ∈ Γi представляют собой отклонение свободно движущихся поверхностей жидкостей Γi(t) от Γi по нормали- отклонение полей давлений от равновесных. Кроме того, полагаем, что на исследуемую гидродинамическую систему дополнительно к гравитационному полю действует малое поле внешних сил. Линейная постановка начально-краевой задачи о колебаниях рассматриваемой гидросистемы выглядит следующим образом: div, (1.1) , (1.2) (1.3) . (1.4) Здесь линеаризованные уравнения Эйлера, описывающие движения идеальных однородных жидкостей, принимают вид первых двух уравнений (1.1) (см., например, [12]). На границе задано условие непротекания жидкости, которое в терминах вектора скорости имеет вид третьего уравнения (1.1). Если искать отклонение движущихся поверхностей Γi(t) в виде x3 = bi + ζi (i = 1,2), то линеаризованные кинематические условия для частиц жидкости, находящихся на Γi(t), имеют вид четвертого и пятого уравнений (1.1); шестое - условие сохранения объема. Записав второй закон Ньютона для частиц крошеного льда и линеаризовав его, получим динамические условия (1.2) на Γ1 и первое уравнение (1.3) на Γ21 (см. подробнее [2]), где ρ0 и ρ01 - поверхностные плотности крошеного льда на границе раздела Γ1 и на свободной поверхности Γ21, соответственно. Вывод динамического условия на участке упругого льда (второе уравнение (1.3)) можно найти в [9]. Последние три условия (1.4) - это начальные условия, которые добавлены к задаче для полноты ее формулировки. Замечание 1.1. Линейный дифференциальный оператор K задается дифференциальным выражением (см. подробнее [9, 10]) на области определения , (1.5) где d > 0 - коэффициент жесткости льда, - поверхностная плотность упругого льда. Считаем, что на линии контакта упругого льда с твердой стенкой S2 выполнены условия жесткого закрепления льда как упругой пластинки ζ2 = 0, ∂ζ2/∂ν = 0 - единичный вектор внешней нормали к ∂Γ22 (расположенный, очевидно, в плоскости Ox1x2). Далее, на остальной части границы ∂Γ22 \ γ2 области Γ22, где упругий лед соприкасается с участком крошеного льда, поперечная сила и момент силы на кромке упругого льда должны равняться нулю. Математически эти условия записываются в следующем виде: Mζ2 = 0, Nζ2 = 0 (на ∂Γ2 \ γ2), где , , νi - i-я координата единичного вектора внешней нормали ν к границе- вектор касательной к ∂Γ21, а σ - т. н. постоянная Пуассона, характеризующая упругую пластинку. Замечание 1.2. Свяжем с поверхностью L2(Γ22) гильбертово пространство (скалярных) функций L2(Γ22) со скалярным произведением . В работе [10] установлено, что оператор K : D(K) ⊂ L2(Γ22) → L2(Γ22) (после расширения по Фридрихсу) - неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор с дискретным спектром. Обратный оператор K-1 является компактным и положительным в L2(Γ22). 1.2. Об одном ортогональном разложении гильбертова пространства. Пусть задана область Ω ⊂ R3. Граница области ∂Ω = S ∪ Γ, где Γ- связное множество с mesΓ > 0. Введем пространство функций из H1(Ω), имеющих средним значением по Γ нуль, с нормой . (1.6) Для HΓ1(Ω) имеет место ортогональное разложение (см. [12, c. 106]): , (1.7) где , причем ортогональность в (1.7) понимается относительно скалярного произведения, соответствующего норме (1.6). Предположим теперь, что Γ = Γ1 ∪ Γ2, Γ1 ∩ Γ2 = ∅, Γ1 и Γ2 - связные множества ненулевой меры, расположенные горизонтально. Введем в рассмотрение множество Лемма 1.1. Справедливо ортогональное разложение , (1.9) где {αϕ0}-одномерное подпространство, а функция ϕ0 является решением краевой задачи , (1.10) ϕ0 = mesΓ1 (на Γ2), ϕ0 = -mesΓ2 (на Γ1). Разложение (1.9) порождает разложение подпространства потенциальных полей в ортогональную сумму: . (1.11) 1.3. Метод ортогонального проектирования. Для области Ω1 введем разложение пространства векторных полей в ортогональную сумму (см. [12, c. 118]): (1.12) , Будем считать функциями переменной t со значениями в , тогда в силу уравнений, граничных условий (1.1) и ортогонального разложения (1.12) имеем . Поэтому при каждом t будем разыскивать их в виде Обозначим через P0,1, Ph,S1 и P0,Γ1 ортопроекторы на подпространства и , соответственно. Тогда, подставляя (1.13) в первое уравнение (1.1) и применяя ортопроекторы, получаем , (1.14) (1.15) Из первого уравнения (1.14) с учетом начальных условий (1.4) сразу получаем . Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением соотношения (1.15), а также граничных условий и начальных данных с соответствующей заменой p1 → p1,1, так как p1 = p1,1 + p1,2, где p1,2 = 0 (на Γ1). Для области Ω2 введем разложение пространства векторных полей в ортогональную сумму: . (1.16) Подпространство из (1.16) состоит из потенциальных гармонических полей с нулевой нормальной составляющей на твердой стенке S2, для которых также выполнено условие сохранения объема по всей границе Γ = Γ1 ∪ Γ2. В изучаемой задаче, в силу несжимаемости жидкостей, условие сохранения объема должно выполняться на каждой из границ Γ1 и Γ2 в отдельности. Отсюда следует, что подпространство шире, чем требуется. В связи с этим воспользуемся разложением этого подпространства в ортогональную сумму двух подпространств (см. (1.11)), естественным образом приспособленных к данной задаче. Учитывая (1.11) и (1.16), введем ортогональное разложение , (1.17) где Γ = Γ1 ∪ Γ2. Введем также ортопроекторы на соответствующие подпространства:, Pϕ, P0,Γ. Как и прежде, в силу условия соленоидальности и условия непротекания на твердой стенке S2 считаем, что. Поле ∇p2(t,x) потенциально, поэтому . Представим поля в виде: . (1.18) Подставим эти представления в уравнение движения для идеальной жидкости из Ω2 и применим к нему ортопроекторы, отвечающие разложению (1.17). Получим: , (1.19) (1.20) Из первого уравнения (1.19) с учетом начальных условий (1.4) получаем . Из третьего уравнения (1.19) следует, что составляющая ∇p2,2 поля давлений ∇p2 определяется непосредственно по полю внешних сил. Более того, потенциал этого поля обращается в нуль на Γ и потому в граничных условиях не участвует. Отметим также, что для элементов подпространства {α∇ϕ0} выполнены условия (1.10), поэтому из второго уравнения (1.19) находятся все коэффициенты α, и тем самым составляющая α∇ϕ0. Условимся называть решения уравнений (1.14), (1.19) тривиальными решениями. Итак, основные уравнения, которые будем рассматривать, это уравнения (1.15) и (1.20). 1.4. Формулировка задачи после отделения тривиальных соотношений. Введем в рассмотрение поля смещений частиц жидкостей, полагая, что . (1.21) При этом отклонения ζi подвижных границ Γi в процессе движения, очевидно, равны . (1.22) Далее, если, то из (1.15) и (1.20) следует , (1.23) с произвольными функциями ck(t), зависящими только от временной переменной (т. н. интегралы Коши-Лагранжа). С учетом сказанного, а также после отделения тривиальных соотношений начально-краевая задача (1.1)-(1.4) формулируется следующим образом: (1.24) , (1.25) (1.26) (1.27) (1.28) 1.5. Приведение системы к дифференциально-операторному уравнению. Для перехода к операторной формулировке исследуемой задачи рассмотрим ряд вспомогательных краевых задач. Вспомогательная задача I. , Введем в пространстве его оснащение в виде, где . Символом « » обозначен класс функций из , продолжимых нулем на всю границу ∂Ω1 в классе (см. [1] и [3, c.122-123]). Если , то задача имеет единственное решение . Введем по решению задачи I оператор: PΓ1Ψ1|Γ1 =: S0η0, оператор S0 является самосопряженным, положительным и компактным в L2,Γ1 = H1 (см., например, [3]). Вспомогательная задача II. , Аналогично предыдущим рассуждениям, если , то задача II имеет единственное решение , при этом PΓ1Ψ2,1 =: S1η1, где оператор S1 -самосопряженный, положительный и компактный в L2,Γ1 = H1. Вспомогательная задача III. , Функцию η2 будем рассматривать как элемент пространства и искать в виде пары функций η2 = (η2,1;η2,2), где η2,1 = η2|Γ21 и η2,2 = η2|Γ22, т. е. функций, заданных на соответствующих областях Γ21 и Γ22. Рассмотрим следующие подпространства пространства H2: , Пространство H2 можно разложить в ортогональную сумму трех пространств (см. подробнее [11]) (1.29) где H есть одномерное подпространство пространства H2, натянутое на вектор ϕ: = (mesΓ22;-mesΓ21)}. Введем действующие в пространстве H2 ортопроекторы на подпространства H21, соответственно. Они будут действовать по следующим правилам: P21w = (w2,1 - w˜2,1;0), w˜2,1 = (mesΓ, P22w = (0;w2,2 - w˜2,2), w˜2,2 = (mesΓ, . Для удобства дальнейших построений введем подпространствотогда (1.29) перепишем в виде: . При этом ортопроектор на подпространство H2 действует по закону P2w = (w˜2,1;w2,2). Перейдем к построению потенциала Ψ2,2 в области Ω2, выразив его через η2. Для получения общего вида функции Ψ2,2, учитывающего представление η2 в виде , (1.30) рассмотрим две вспомогательные задачи. Вспомогательная задача III.1. . Так как H21 ⊂ H2, то необходимое условие разрешимости задачи III.1 выполнено, а значит, эта задача имеет единственное решение из пространства. Введем оператор T1, который ставит в соответствие функции P21η2 решение задачи III.1: . Рассмотрим теперь значения функции на границе Γ2. Введем оператор следа на границе Γ2, , и представим функцию Ψ12,2|Γ2 в виде суммы ее проекций на подпространства : . (1.31) Вспомогательная задача III.2. . Вспомогательная задача III.2 имеет единственное решение . Введем оператор T2, который ставит в соответствие функции решение задачи III.2: . Рассмотрим значения функции Ψ22,2 на границе Γ2 в виде суммы проекций этой функции на подпространства: . (1.32) Замечание 1.3. В силу принадлежности ∇Ψ2 пространству и определения пространства потенциал Ψ2 с помощью решений вспомогательных задач можно представить в виде: Ψ2 = Ψ2,1 + Ψ2,2, (1.33) при этом считаем ∂Ψ η1 = 2,1 = -∂Ψ2,1 = -∂Ψ1 = -η0 = -ζ1 ∂n2 ∂n1 ∂n1 ∂Ψ η2 = 2,2 = ζ2 (на Γ2). (на Γ1), ∂n2 Исходя из сказанного, разложим пространство в виде следующей прямой суммы: В дальнейшем все функции, зависящие от t, будем считать функциями переменной t со значениями в соответствующем гильбертовом пространстве; в связи с этим в уравнениях задачи заменим ∂/∂t на d/dt. С учетом (1.33) перепишем соотношения (1.25)-(1.27) в виде ); ); (1.35) . Проектируя обе части первого уравнения (1.35) на пространство H1, используя введенные операторы вспомогательных задач I и II, приходим к следующему уравнению , (1.36) где G1 := PΓ1(ρ1F1|Γ1 - ρ2F2|Γ1), S3η2 = PΓ1Ψ2,2, I1 -единичный оператор в H1. Спроектируем теперь второе и третье уравнения (1.35) на подпространства. Для этого предварительно выделим явно элемент из подпространства H21: ); Отметим, что элементы ρ01d2/dt2w1 = ρ01d2/dt2 ((η2,1 - η2,1);0) и gρ2w1 = gρ2 ((η2,1 - η2,1);0) являются функциями переменной Элемент принадлежит подпространству H2 ⊕{1Γ2} (при ρ01 = ρ02 этот элемент принадлежит). Значит, проекцию на можно представить в следующем виде: M1w2 = M1 (η2,1;η2,2) := P2 (ρ01 η2,1;ρ02 η2,2) = (ρ01 η2,1 - c1;ρ02 η2,2 - c1). (1.37) Из условия ортогональности функции 1Γ2 : mesΓ mesΓ 1 01 2,1 02 2,2. mesΓ21 + mesΓ22 mesΓ21 + mesΓ22 Аналогично поступаем с элементом : , (1.38) . 21 22 21 22 Итак, после проектирования второго и третьего уравнения (1.35), получаем , (1.39) (1.40) В соответствии с разложением (1.30) представим решение задачи III в виде суммы решений двух вспомогательных задач: , тогда (см. подробнее (1.31), (1.32)) . (1.41) Перепишем (1.39), (1.40) в виде одного уравнения , (1.42) N1 := diag(ρ01I21;M1), N2 := diag(gρ2;M2), G2 = diag(f1;f2) . С учетом (1.36) и (1.42) запишем задачу (1.24)-(1.28) в следующем виде: (1.43) . Причем для начальных данных в силу разложения (1.34) должно выполняться следующее кинематическое условие: . (1.44) Здесь через Π1 обозначен проектор на подпространство , через символы γi - операция взятия нормального следа на Γ1 для полей, заданных в области Ωi (i = 1,2). Теорема 1.1. Начально-краевая задача (1.24)-(1.28) равносильна задаче Коши (1.43) для дифференциального уравнения второго порядка в гильбертовом пространстве . Рассмотрим свойства операторных блоков из (1.43). Лемма 1.2. Оператор C (см. (1.41)) -самосопряженный компактный и положительный оператор, действующий в пространстве. Доказательство. Все операторы Cij (i,j = 1,2), из которых состоит оператор C, являются произведением ограниченных операторов ортогонального проектирования на компактный оператор γ2Tj (см., например, [9]). Следовательно, все Cij (i,j = 1,2) являются компактными операторами, а значит, и оператор C является компактным. Докажем, что оператор C является самосопряженным. Обозначим через Φ решение вспомогательной задачи III при η2 = w = (w1;w2). Для любых w и v из H2 имеем: Обозначим через Ψ решение вспомогательной задачи III при η2 = v, тогда . Так как оператор C является ограниченным, то из полученного выражения следует, что оператор C - самосопряженный. Рассмотрим теперь форму оператора C: . Если (Cu,u)H2 = 0, то Φ = const, тогда из условия нормировки функции Φ получаем, что Φ ≡ 0, а следовательно, и u = 0. Отсюда следует, что оператор C положительный. Лемма 1.3. Оператор N2 (см. (1.42)) на области определения , (1.45) является неограниченным самосопряженным положительно определенным оператором. Доказательство. Исследуем оператор M2 из (1.38). Для произвольных , , в силу самосопряженности оператора ортогонального проектирования P2 и оператора K имеем: откуда следует, что оператор M2 - самосопряженный. Далее имеем: , (1.46) где (см. замечание 1.2), а значит, M2 - положительно определенный оператор в. Тогда и для оператора N2 = diag(ρ0gI1;M2) эти свойства сохранятся, т. е. оператор N2 -неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор, и следовательно, ограниченно обратим. Обратный N2-1 при этом является положительным оператором. Заметим в заключение, что так как M2 положительно определен, то обратный M2-1 является ограниченным. Докажем, что он является компактным. Для этого достаточно показать, что HM2 (энергетическое пространство оператора M2) компактно вложено в. Выберем произвольное ограниченное множество . Элементы η2 ∈ E имеют вид , где η2,2 ∈ D(K1/2) ⊂ L2(Γ22) (см. подробнее теорему 1 из работы [8]). Рассмотрим компоненты E из подпространства L2(Γ22). Обозначим это множество E1. Из (1.46) следует, что . Таким образом, E1 будет являться ограниченным множеством в Hk (энергетическое пространство оператора K), которое в свою очередь компактно вложено в L2(Γ22) (см. подробнее [8]). Следовательно, E1 будет компактно в L2(Γ22). В силу вида подпространства H22 и того, что H конечномерно, получаем, что E будет компактным множеством в. Таким образом, любое огра- ниченное множество в HM2 компактно в, значит, оператор M2-1 - компактный оператор. Изучим свойства оператора N1, который имеет вид (см. (1.42), (1.37)): N1 = diag, (1.47) mesΓ . Опираясь на представления оператора M1, учитывая связь между: mesΓ mesΓ22 = 0, имеем: mesΓ mesΓ mesΓ mesΓ21. Таким образом, mesΓ. Из полученного результата следует лемма. Лемма 1.4. Для M1 и N1 из (1.47) справедливы оценки , где-единичные операторы в, соответственно. Лемма 1.5. Оператор A1 (см. (1.43)) ограничен, самосопряжен и положителен. Доказательство. Свойство ограниченности следует из того, что ограничены все операторные коэффициенты матрицы A1. Найдем квадратичную форму оператора A1. Для любого η ∈ H имеем (1.48) Так как ; С учетом ограниченности оператора A1 из (1.48) можно установить, что он самосопряжен и положителен. 1.6. Вспомогательные утверждения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка следующего вида: , (1.49) где операторные коэффициенты удовлетворяют условиям . (1.50) Здесь L(H) - пространство ограниченных линейных операторов, действующих в пространстве H. В частности, операторы A-1 и B могут быть неограниченными самосопряженными операторами, заданными на плотных в H областях определения. Приведенные ниже результаты изложены в [4, c. 44-47], которые в свою очередь являются обоснованием соответствующих утверждений из [12, c. 57-62], а также [5, c. 38-76, 158-170]. Определение 1.1. Будем говорить, что функцияявляется сильным решением задачи Коши (1.49) со значениями в D(A-1/2) ⊂ H, если выполнены следующие условия: u(t) ∈ D(A-1/2B), Bu(t) ∈ C([0,T];D(A-1/2)), A1/2u(t) ∈ C2([0,T];H), выполнено уравнение и начальные условия (1.49). Теорема 1.2. Если выполнены условия u0 ∈ D(A-1/2B), u1 ∈ D(B1/2), f (t) ∈ C1([0,T];D(A-1/2)), (1.51) то задача Коши (1.49) имеет единственное сильное решение (со значениями в D(A-1/2)) на отрезке [0,T]. Замечание 1.4. Так как оператор 0 < A = A∗ ∈ L(H), то оператор A1/2 можно внести под знак производной d2/dt2, а следовательно, условия теоремы 1.2 достаточны и для существования сильного решения уравнения . (1.52) Замечание 1.5. В случае, когда оператор , обратный оператор A-1 является ограниченным, а значит, D(A-1) = H. Следовательно, условия (1.51) сильной разрешимости задачи Коши (1.49) эквивалентны условиям u0 ∈ D(B), u1 ∈ D(B1/2), f(t) ∈ C1 ([0,T];H). (1.53) 1.7. Теорема существования сильного решения. С учетом лемм 1.4 и 1.5 имеем, что опе- (см. определение (1.43)), и следовательно, он ограниченно обратим. Тогда, как следствие теоремы 1.2 и замечания 1.5, получим следующую теорему. Теорема 1.3. Если выполнены условия η0 ∈ D(B), η1 ∈ D(B1/2), G ∈ C1([0,T];H), (1.54) то существует единственное сильное решение задачи (1.43) (в смысле определения 1.1). Опишем достаточное условие сильной разрешимости в терминах исходного оператора K. Предварительно дадим (согласованные между собой) определения сильных по переменной t решений задач (1.1)-(1.4), (1.24)-(1.28). Определение 1.2. Сильным (по переменной t) решением задачи (1.1)-(1.4) на промежутке [0,T] назовем набор функций, для которых выполнены следующие условия: 1. , и при любом t ∈ [0,T] справедливо первое уравнение (1.1); 2. 2); 3. выполнены граничные условия на Γ1 и Γ2: ∂2ζ1 p1 - p2 = Δρgζ1 + ρ0 ∂t2 ∈ C([0,T];L2(Γ1)), ∂2ζ2 ∂2ζ2 p2 = gρ2ζ2 + ρ01 ∂t2 ∈ C ([0,T];L2(Γ21)), p2 = Kζ2 + ρ02 ∂t2 ∈ C ([0,T];L2(Γ22)), где все слагаемые являются непрерывными по t функциями со значениями в соответствующих пространствах; 4. выполнены начальные условия (1.4). Определение 1.3. Сильным (по переменной t) решением задачи (1.24)-(1.28) на промежутке [0,T] назовем такой набор функций Ψi (t,x), ζi(t,xˆ) (i = 1,2) для которых выполнены следующие условия: 1. , где (см. подробнее (1.34)); 2. для Ψi(t,x) и ζi(t,xˆ) выполнены кинематические условия )); 3. выполнены граничные условия (1.25)-(1.27), где все слагаемые являются непрерывными по t функциями со значениями в соответствующих пространствах; 4. выполнены начальные условия (1.28). Теорема 1.4. Пусть выполнены условия 1. (1.17)), причем(1.44)); 2. (1.5)); 3. , ); 4. fi (t) ∈ C1 [0,T];L2 (Ωi) . Тогда каждая из задач (1.1)-(1.4), (1.24)-(1.28), (1.43) имеет единственное сильное по t решение. Доказательство. Непосредственно проверяется, что если выполнены условия теоремы 1.4, то выполнены и условия (1.54), а значит, задача Коши (1.43) имеет единственное сильное по t решение. Дальнейшее доказательство основано на обратном переходе от задачи Коши (1.43) к начальнокраевой задаче (1.24)-(1.28), а затем к задаче (1.1)-(1.4). Замечание 1.6. Вспоминая вид оператора K и его область определения до расширения (см. (1.5)), можно записать в теореме 1.4 более простые достаточные условия на функцию ζ20: . Для функции ζ21 накладывается условие принадлежности области определения оператора K1/2. В этом случае главные условия (см., например, [6, c. 82]) сохраняются, а естественные условия снимаются (см. подробнее [10]), и потому достаточно потребовать, чтобы . 2. Собственные колебания В случае отсутствия внешних сил (кроме гравитационного поля), т. е. при G ≡ 0, рассмотрим собственные колебания -решения задачи (1.43), зависящие от времени по закону exp(iωt): η(t,x) = eiωtη(x). Для амплитудных элементов η(x) приходим к спектральной задаче λAη = Bη, λ := ω2. (2.1) При λ = 0 получаем η = 0. Значит, λ = 0 не является собственным значением для спектральной задачи (2.1). Разделим обе части на λ и переобозначим: Aη = μBη, μ := 1/λ. (2.2) Из определения оператора B = diag(gΔρ;N2) и леммы 1.3 следует его обратимость, причем обратный оператор B-1 - ограниченный и положительный. Значит, существует оператор B-1/2. Введем обозначение: B1/2η =: ψ. (2.3) Подставим (2.3) в уравнение (2.2), подействуем на обе части уравнения ограниченным оператором B-1/2 и получим: B-1/2AB-1/2η = μη. (2.4) Получили задачу на собственные значения для оператора (см. подробнее (1.43)) . Оператор A1 ограничен, самосопряжен и положителен (лемма 1.5). Более того, он является компактным оператором, компактность оператора C следует из леммы 1.2, а операторы Si компактны по построению (см. вспомогательные задачи). Таким образом, оператор B-1/2A1B-1/2 является компактным как произведение компактного оператора на ограниченные. Оператор A2 ограничен и положительно определен (лемма 1.4), следовательно, оператор J является самосопряженным ограниченным положительно определенным оператором, а значит, спектр задачи (2.4) будет вещественным и положительным. Далее, к оператору J применима теорема Вейля, а значит, предельный спектр этого оператора совпадает с предельным спектром оператора B-1/2A2B-1/2 (B-1/2A1B-1/2 есть компактное возмущение оператора B-1/2A2B-1/2). Напомним, что предельным спектром оператора называется совокупность точек непрерывного спектра, предельных точек точечного спектра и собственных значений бесконечной кратности. Исследуем предельный спектр оператора B-1/2A2B-1/2. Из вида операторов A2 и B имеем, что . Оператор M1 - ограниченный (лемма 1.4), а оператор M2-1/2 - компактный (конец леммы 1.3), следовательно, оператор M2-1/2M1M2-1/2 - компактный, и предельный спектр оператора B-1/2A2B-1/2 состоит из точек . Проверим, что данные точки предельного спектра оператора B-1/2A2B-1/2 являются пределами ветвей собственных значений, а не собственными значениями бесконечной кратности. Оператор A положительно определен, а следовательно, обратим. Тогда для μ = 0 (λ = ∞), решая уравнение (2.2), получаем, что η = 0. Таким образом, точка μ = 0 не является собственным значением оператора J. Для исследования точки ρ01/(gρ2) запишем уравнение (2.2) в виде системы: (2.5) где. Согласно результату, полученному в работе [13, теорема 4], оператор C11-1 ограниченно действует из пространства в пространство H21-1/2. Таким образом, из второго уравнения можно выразить w1: -ρ2S21η0 + ρ2C12w2 = -ρ2C11w1, w1 = C11-1(S21η0 - C12w2). Подставляя полученное выражение в (2.5), приходим к системе , Оператор S0 - положительный как оператор первой вспомогательной задачи. Кроме того, повторяя рассуждения леммы 1.5, имеем . Таким образом, при условии ρ0 - ρ01 Δρ/ρ2 > 0 оператор P положительно определен, а значит, имеет ограниченный обратный. Выражая из первого уравнения η0 = ρ2P-1(S32 - S31C11-1C12)w2 и подставляя результат во второе уравнение, приходим к задаче Здесь оператор M2 - положительно определенный (лемма 1.3), поэтому можно сделать замену Тогда уравнение (2.6) преобразуется в следующее: M2-1/2P0M2-1/2z = ρ01/(gρ2)z. Оператор P0 является ограниченным, а оператор M2-1/2 является компактным (см. подробнее доказательство леммы 1.3), поэтому весь целиком оператор, стоящий слева, также является компактным. Значит, собственное значение ρ01/(gρ2) может быть лишь собственным значением конечной кратности. Аналогично проверяется соответствующие утверждение для значения ρ0/(gΔρ). Итак, предельный спектр оператора J = B-1/2AB-1/2 из (2.4) состоит из трех точек: 0, ρ01/(gρ2) и ρ0/(gΔρ), причем к каждой точке сходится ветвь собственных значений оператора J. Тогда для квадратов собственных частот колебаний ωk получаем предельный спектр, состоящий из +∞ и точек gρ2/ρ01, gΔρ/ρ0 (gρ2/ρ01 > gΔρ/ρ0 > 0), причем существуют соответствующие ветви собственных значений, сходящиеся к данным значениям. Так как все собственные значения самосопряженного оператора J конечнократные, то объединение собственных элементов оператора J образует ортогональный базис пространства H (см. [7, c. 411]). На основании выше изложенного окончательно можно сформулировать спектральную теорему для задачи (2.1). Теорема 2.1. Задача (2.1) имеет дискретный положительный спектр с предельными точками на бесконечности и λ0 = gρ2/ρ01 > 0, λ1 = gΔρ/ρ0 > 0. Совокупность всех собственных элементов задачи (2.1) образует ортогональный базис в пространстве H

Об авторах

Д. О. Цветков

Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского

Автор, ответственный за переписку.
Email: tsvetdo@gmail.com
Симферополь, Россия

Список литературы