Автомодельные решения многофазной задачи Стефана на полупрямой

Полный текст

1. Задача Стефана с граничным условием Дирихле В четверти плоскости Π+ = { (t,x) ∈ R2 | t,x > 0 } рассматривается многофазная задача Стефана для уравнения теплопроводности ut = a2i uxx, ui < u < ui+1, i = 0,...,m, (1.1) где- температуры фазовых переходов, ai > 0, i = 0,...,m - константы диффузии. Будем изучать непрерывные кусочно-гладкие решения u = u(t,x) в Π+, удовлетворяющие (1.1) в классическом смысле в областях ui < u(t,x) < ui+1, i = 0,...,m, заполненных фазами. На неизвестных линиях x = xi(t) фазовых переходов, где u = ui, выполняется условие Стефана - - , (1.2) где ki > 0- теплопроводность i-й фазы, а - число Стефана (скрытая теплоемкость) для i-го фазового перехода. В (1.2) односторонние пределы ux(t,xi(t)+), ux(t,xi(t)-) на прямой x = xi(t) берутся из области, соответствующей более теплой/холодной фазе, соответственно. Числа Стефана di должны быть положительными по физическим причинам. Мы рассмотрим еще более общий случай , полагая, что d1 > 0, если u0 = u1. В этом случае задача (1.1), (1.2) корректно поставлена для u0 u uD и сводится к вырожденному нелинейному уравнению диффузии (см. [1] и [2, гл. 5]) β(u)t - α(u)xx = 0, (1.3) где α(u), β(u) - строго возрастающие функции на [u0,uD], линейные на каждом интервале (ui,ui+1), i = 0,...,m, с наклонами и такие, что α(ui+) - α(ui-) = 0, β(ui+) - β(ui-) = di, i = 1,...,m (здесь полагаем α(u1-) = α(u0), β(u1-) = β(u0) в случае u1 = u0). Будем рассматривать начально-краевую задачу с постоянными начальными и граничными условиями Дирихле u(0,x) = u0 ∀x > 0, u(t,0) = uD ∀t > 0. (1.4) В силу инвариантности нашей задачи относительно группы преобразований (t,x) → (λ2t,λx), λ ∈ R, λ > 0, естественно искать автомодельное решение задачи (1.1), (1.2), (1.4), которое имеет√ вид u(t,x) = u(ξ), ξ = x/ t. В силу (1.4) . Таким образом, естественно предположить, что функция u(ξ) убывает. Случай, когда, рассматривается аналогично. Конечно, в этом случае функция u(ξ) должна возрастать. Для уравнения теплопроводности ut = a2uxx автомодельное решение должно удовлетворять линейному ОДУ, общее решение которого выражается как u = C1F(ξ/a) + C2, C1,C2 = const, где Это позволяет записать наше убывающее решение в виде (1.5) где +∞ = ξ0 > ξ1 > ··· > ξm > ξm+1 = 0. Считаем, что. Отметим, что функция u(ξ) может быть постоянной на интервале (ξ1,+∞), если u0 = u1. Параболы ξ = ξi, i = 1,...,m, где u = ui, являются свободными границами, которые определяются условиями (1.2). По переменной ξ эти условия имеют вид (см. [4, гл. XI]) , (1.6) - - - - - - i = 1,...,m. Формально можно рассматривать решение (1.5) также в случае um = um+1, когда u(ξ) ≡ uD для 0 < ξ < ξm, но в этом случае условие (1.6) при i = m сводится к соотношению , что невозможно, поскольку левая часть этого отношения строго положительна. Потому исключим случай um = um+1 из нашей постановки. Если d1 > 0, случай u1 = u0 является корректным и не вызывает никаких проблем, поскольку в этом случае (1.6) при i = 0 обеспечивает соотношение , содержащее члены противоположного знака. Для исследования нелинейной системы (1.6) заметим, что она является градиентной и отвечает равенству ∇E(ξ¯) = 0 с функцией , (1.7) где открытая выпуклая область Ω ⊂ Rm задается неравенствами ξ1 > ··· > ξm > 0. Заметим, что E(ξ¯) ∈ C∞(Ω). Поскольку функция F(ξ) принимает значения в интервале (0,1), все члены в выражении (1.7) неотрицательны, а некоторые из них строго положительны. Следовательно, E(ξ¯) > 0. 1.1. Коэрцитивность функции E и существование решения. Введем множества подуровня . Предложение 1.1 (коэрцитивность). Множество Ωc компактно для каждого c > 0. В частности, функция E(ξ¯) достигает своего минимального значения. Доказательство. Если ξ¯= (ξ1,...,ξm) ∈ Ωc, тогда ; (1.8) (1.9) Из (1.8) при i = m следует, что, что даёт нижнюю границу . Аналогично, из (1.8) при i = 0 выводим, что в случае u1 > u0 (отметим, что F(ξ0/a0) = F(+∞) = 1). Следовательно, . Это даёт верхнюю границу. С другой стороны, если u0 = u1, то d1 > 0, и из (1.9) при i = 1 следует, что. Итак, в любом случае имеем , Далее, из (1.8) следует, что для всех i = 1,...,m - 1 , (1.10) где α = min ki(ui+1 - ui) > 0. Поскольку, функция F(ξ) является i=1,...,m-1 липшицевой с константой 1, и из (1.10) следует, что . Следовательно, получаем оценки Таким образом, множество Ωc содержится в компакте | ··· - - . Поскольку E(ξ¯) непрерывна на K, множество Ωc является замкнутым подмножеством K и, следовательно, компактно. При c > N =. inf E(ξ¯) это множество не пусто и функция E(ξ¯) достигает на нем минимального значения, которое, очевидно, равно N. Мы установили существование минимального значения E(ξ¯0) = minE(ξ¯). В точке ξ¯0 выполняется требуемое условие ∇E(ξ¯0) = 0, и ξ¯0 является решением системы (1.6). Координаты ξ¯0 определяют решение (1.5) рассматриваемой задачи Стефана. Таким образом, устанавливаем следующий результат существования. Теорема 1.1. Существует автомодельное решение (1.5) задачи (1.1), (1.2), (1.4). 1.2. Выпуклость функции E и единственность решения. В этом разделе мы докажем, что функция E(ξ¯) строго выпукла. Поскольку строго выпуклая функция может иметь не более одной критической точки (и это обязательно глобальный минимум), система (1.6) имеет не более одного решения, т. е. автомодельное решение (1.5) задачи (1.1), (1.2), (1.4) единственно. Нам понадобится следующая простая лемма, доказанная в [5] (см. также [3]). Для полноты мы приводим её с доказательством. Лемма 1.1. Функция P(x,y) = -ln(F(x) - F(y)) строго выпукла в полуплоскости x > y. Доказательство. Функция P(x,y) бесконечно дифференцируема в области x > y. Для доказательства леммы нам нужно установить, что гессиан D2P положительно определен в каждой точке. Прямым вычислением находим . - - Нам нужно доказать положительную определенность матрицы Q = (F(x) - F(y))2D2P(x,y) с компонентами . Так как, и диагональные элементы этой матрицы можно записать в виде , По теореме Коши о среднем значении существует такое значение z ∈ (y,x), что . Следовательно, , откуда - диагональная матрица с положительными диагональными элементами. Поскольку - , имеем, что матрица Q > 0, что и требовалось доказать. Замечание 1.1. В дополнение к лемме 1.1 заметим, что функции P(x,0) = -lnF(x), P(+∞,x) = -ln(1 - F(x)) одной переменной x строго выпуклы на (0,+∞). Фактически, из леммы 1.1 в пределе при y → 0 следует, что функция P(x,0) выпукла на (0,+∞). Более того, . Так как, находим, что, в частности, . Если в некоторой точке является минимумом неотрицательной функции . Следовательно, её производная . Так как , то эта производная . Но это противоречит нашему предположению. Мы заключаем, что и функция P(x,0) строго выпукла. Аналогично доказывается сильная выпуклость функции P(+∞,x) = -ln(1 - F(x)). Для полноты изложения рассмотрим доказательство подробно. В пределе при x < y → +∞ из леммы 1.1 следует, что функция P(+∞,x) = lim P(y,x) выпукла на R и y→+∞ . Если в некоторой точке x = x0 ∈ R, то x0 является точкой минимума неотрицательной функции . Следовательно, . Из этого противоречия следует, что для всех x ∈ R и, следовательно, функция P(+∞,x) строго выпукла (даже на всей прямой R). Теперь мы готовы доказать ожидаемую выпуклость E(ξ¯). Предложение 1.2. Функция E(ξ¯) строго выпукла на Ω. Доказательство. Введём функции Ei(ξ¯) = -ki(ui+1 - ui)ln(F(ξi/ai) - F(ξi+1/ai)), i = 0,... ,m. По лемме 1.1 и замечанию 1.1 все эти функции выпуклые. Так как и все функции в этой сумме выпуклы, достаточно доказать сильную выпуклость суммы . По лемме 1.1 и замечанию 1.1 все члены этой суммы являются выпуклыми функциями. Следовательно, функция E˜ также выпукла. Для доказательства строгой выпуклости предположим, что для некоторого вектора . (1.11) Так как но все члены неотрицательны, заключаем, что D2Ei(ξ¯)ζ · ζ = 0, i = 1,...,m. (1.12) По лемме 1.1 для i = 1,...,m - 1 функция Ei(ξ¯) строго выпукла как функция двух переменных ξi,ξi+1, и из (1.12) следует, что ζi = ζi+1 = 0, i = 1,...,m - 1. Заметим, что в случае m = 1 таких i нет. В этом случае применяем (1.12) при i = m. Учитывая замечание 1.1, получаем, что Em(ξ¯) является строго выпуклой функцией одной переменной ξm, и из (1.12) следует, что ζm = 0. В любом случае получаем, что вектор ζ = 0. Таким образом, соотношение (1.11) может иметь место только при нулевом ζ, т. е. матрица D2E˜(ξ¯) является (строго) положительно определенной, а функция E˜(ξ¯) является строго выпуклой. Это завершает доказательство. Предложения 1.1, 1.2 обеспечивают основной результат этого раздела. Теорема 1.2. Существует единственное автомодельное решение (1.5) задачи (1.1), (1.2), (1.4), и оно соответствует минимуму строго выпуклой и коэрцитивной функции (1.7). Замечание 1.2. В статье [3] задача Стефана (1.1), (1.2) изучалась в полуплоскости t > 0, x ∈ R с начальным условием Римана , (1.13) Решения этой задачи имеют ту же структуру, что и (1.5), и соответствуют единственной точке минимума функции, аналогичной (1.7), с той лишь разницей, что параметры ξi не обязательно положительны и могут принимать произвольные действительные значения. В этом разделе мы в основном следуем схеме статьи [3]. Отметим также, что в работе [5] задача Стефана-Римана (1.1), (1.2), (1.13) изучалась в случае произвольных (возможно, отрицательных) скрытых удельных теплоемкостей di. Найдено необходимое и достаточное условие коэрцитивности E(ξ¯), а также более сильное достаточное условие её строгой выпуклости. Аналогичные результаты можно получить для задачи Стефана- Дирихле (1.1), (1.2), (1.4). 2. Задача Стефана с граничным условием Неймана Теперь рассмотрим задачу Стефана (1.1), (1.2) с постоянным начальным значением u0 и граничным условием Неймана: u(0,x) = u0 ∀x > 0, ux(t,0) = t-1/2bN ∀t > 0, (2.1) где bN < 0- константа. Конкретный вид граничных условий Неймана связан с требованием инвариантности нашей задачи относительно растяжений (t,x) →√ (λ2t,λx), λ > 0. Это позволяет сосредоточиться на изучении автомодельных решений u = u(x/ t) задачи (1.1), (1.2), (2.1). Для таких решений условия (2.1) сводятся к требованиям . (2.2) Так как bN < 0, будем считать, что функция u(ξ) убывает. Случай bN > 0 соответствует возрастанию u(ξ) и может рассматриваться аналогично. Для однородной задачи Неймана bN = 0 существует только постоянное решение u ≡ u0. Пусть ui, i = 1,...,m - температурные фазовые переходы в интервале [u0,+∞) такие, что u0 u1 < ··· < um < um+1 = +∞. Как и в разделе 1, полагаем, что скрытая удельная теплоемкость d1 > 0, если u1 = u0. Предположим, что u = u(ξ) является убывающим автомодельным решением (1.1), (1.2), (2.1). Тогда u(0) > u0, и существует целое число n, 0 n m, такое, что un < u(0) un+1. Назовем это число n (т. е. число фазовых переходов) типом решения u. Решение типа 0 не содержит свободных границ и может быть найдено по формуле u(ξ) = u0 + a0bN√π(F(ξ/a0) - 1). (2.3) Как легко проверить, и требование (2.2) выполнено. Несложным вычислением находим u(0) = u0 - a0bN√π, следовательно, необходимым и достаточным условием существования решения (2.3) является выполнение неравенства, которое можно записать в виде - - . (2.4) В частности, решение типа 0 не существует, если u1 = u0. Решение типа n > 0 имеет структуру, похожую на (1.5) (при m = n) u(ξ) = ui + ui+1 - ui (F(ξ/ai) - F(ξi/ai)), ξi+1 < ξ < ξi, i = 0,...,n - 1, (2.5) F(ξi+1/ai) - F(ξi/ai) √ u(ξ) = un + anbN π(F(ξ/an) - F(ξn/an)), 0 < ξ < ξn. (2.6) Необходимое (но не достаточное, как мы вскоре поймем) условие имеет вид (2.7) (если n = m, то оно всегда выполняется, так как um+1 = +∞). На линиях фазового перехода ξ = ξi условие Стефана имеет вид Как и в случае граничного условия Дирихле, эта система оказывается градиентной, она совпадает с равенством ∇E = 0 с функцией где Ω - открытый выпуклый конус в Rn, состоящий из векторов со строго убывающими положительными координатами. Заметим, что для всех s > 0. Поскольку bN < 0, это означает, что член knanbN√πF(ξn/an) - строго выпуклая функция одной переменной ξn на интервале [0,+∞). Как и в доказательстве предложения 1.2, мы находим, что функция строго выпукла на конусе , состоящем из точек со строго убывающими неотрицательными координатами. Так как E(ξ¯) = E˜(ξ¯) + knanbN√πF(ξn/an), функция E(ξ¯) также строго выпукла на Ω¯. Покажем, что эта функция коэрцитивна на Ω¯. Предложение 2.1. Для всех c ∈ R множество является компактным. Доказательство. Пусть Тогда Поскольку все члены левой части этого неравенства неотрицательны, получаем соотношения (2.11) (2.12) подобные неравенствам (1.8), (1.9). Как следует из (2.11), (2.12), множество Ω¯c = ∅, если c1 < 0. Потому мы можем (и будем) предполагать, что. Рассуждая так же, как в доказательстве предложения 1.1, выводим из (2.11), (2.12) границы , где α = min ki(ui+1 - ui) > 0. Таким образом, множество Ω¯c содержится в компакте i=1,...,n-1 . Поскольку E(ξ¯) непрерывно на K, множество Ω¯c является замкнутым подмножеством K и, следовательно, компактно. Это завершает доказательство. Из предложения 2.1 и строгой выпуклости функции E следует, что существует точка ξ¯0 = (ξ10,...,ξn0) ∈ Ω¯ глобального минимума E, и она является единственным локальным минимумом этой функции. Возможны два случая: A) ξ¯0 ∈ Ω, т. е. ξn0 > 0. Если, кроме того, выполняется условие (2.7), то существует единственное решение (2.5), (2.6) типа n с ξi = ξi0, i = 1,...,n. B) ξ¯0 ∈/ Ω, т. е. ξn0 = 0. Тогда решения типа n не существует. Разберем последний случай более подробно. Необходимые и достаточные условия для того, чтобы точка ξ¯0 = (ξ10,...,ξn0-1,0) была точкой минимума E(ξ¯), имеют следующий вид: , (2.13) (2.14) где условие (2.13) появляется только при n > 1. Отметим, что для таких n , где - конус, состоящий из точек со строго убывающими положительными координатами. Заметим, что E(ξ1,...,ξn-1,0) совпадает с функцией (1.7) при m = n - 1, соответствующей задаче Стефана-Дирихле (1.1), (1.2), (1.4) при uD = un. Соотношение (2.13) означает, что Согласно теореме 1.2, координаты∇E(ξ1,...,ξn-1,0) = 0, т. е. ξi0, i = 1,...,n- единственная точка минимума- 1, совпадают с параметрами фазового пере-E(ξ1,...,ξn-1,0). хода ξi единственного решения (1.5) задачи (1.1), (1.2), (1.4) при uD = un (в частности, они не зависят от условий Неймана bN и от параметров ai, ki, di при). Нетрудно заметить, что условие (2.14) имеет вид . (2.15) - таким, что F(ξn-1 Эта формула остается справедливой и длядение позволяет контролировать существование решения типарешение типа n0не существует. Заметим, что/an-1) = F(+∞) = 1. При требовании (2.15) реализуется случай B), так чтоξnn0-= 1не зависит от параметров. В этом случае положимn выбором параметраξn0-1 =Это наблю-knξ.0 Точнее,= +∞ 1 справедливы следующие утверждения. Лемма 2.1. (i) Если, то решение (2.5), (2.6) типа n задачи (1.1), (1.2), (2.1) не существует.-1 n-1 -1 достаточно мало, то решение (2.5), (2.6) типа n задачи (1.1), (1.2), Доказательство. Если , то выполняется соотношение (2.15), и следует первое утверждение. Для доказательства (ii) заметим, что в силу строгой выпуклости функции (2.10) точка её минимума ξ¯0 непрерывно зависит от параметра kn. В частности, последняя координата ξn0 = ξn0(kn) является непрерывной функцией от kn. Поскольку ξn0(k¯n) = 0, то при достаточно малых kn - k¯n > 0, левую часть соотношения (2.7) можно сделать настолько малой, что это соотношение будет выполняться, а условие (2.15) будет нарушено. Мы приходим к выводу, что существует единственное решение (2.5), (2.6) типа n с ξi = ξi0(kn), i = 1,...,n. Теперь мы готовы доказать следующий окончательный результат. Теорема 2.1. Пусть I ⊂ {0,1,... ,m} -произвольный набор типов, и если u0 = u1. Тогда можно выбрать такие значения параметров a0, k1,...,km, что набор типов n решений (2.5), (2.6) задачи Стефана-Неймана (1.1), (1.2), (2.1) совпадет с I. Доказательство. Во-первых, заметим, что решение типа 0 не существует, если u1 = u0. В противном случае всегда можно выбрать такое значение параметра a0, что условие (2.4) выполняется, если 0 ∈ I, и нарушается, если 0 ∈/ I. Далее, применяя лемму 2.1, мы можем последовательно выбрать параметры kn, n = 1,...,m, таким образом, что решение типа n существует тогда и только тогда, когда n ∈ I. Пусть I = ∅. Тогда теорема 2.1 дает задачу Стефана-Неймана (1.1), (1.2), (2.1), которая не имеет решения. В случае, когда множество допустимых типов I содержит более одного элемента, мы получаем задачу, которая имеет много различных решений. Очевидно, что максимальное число таких решений совпадает с числом m + 1 (m, если u1 = u0) всех возможных типов. В случае m = 1, u1 > u0, критерии существования решений типов n = 0,1 особенно просты и совпадают с соответствующими неравенствами . В частности, если - - - , то существует два решения типов 0,1, а если , то решений нет. Замечание 2.1. Ввиду теоремы 2.1, условие Неймана (2.1) не является «хорошим» и требует пересмотра. Как было недавно установлено в [6], корректное условие Неймана α(u)x(t,0) = t-1/2bN, (2.16) где α(u) - функция диффузии в уравнении (1.3). Поскольку - теплопроводность соответствующей фазы u, то α(u)x - это в точности поток тепла через границу x = 0, и условие (2.16) кажется более подходящим, чем (2.1) с физической точки зрения. В [6] было показано, что задача (1.1), (1.2), (2.16) имеет единственное решение (т. е. реализуется ровно один тип n). В заключение подчеркнем, что аналогичное исследование может быть проведено и для автомодельных слабых решений нелинейного и, возможно, вырожденного уравнения диффузии с кусочно-постоянным коэффициентом диффузии. Случай задачи Римана был рассмотрен ранее в [3].

Об авторах

Е. Ю. Панов

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: evpanov@yandex.ru
Санкт-Петербург, Россия

Список литературы