Индекс Маслова на симплектических многообразиях и инфинитезимальные лагранжевы многообразия

Полный текст

1. Введение Определение индекса Маслова лагранжева многообразия в виде класса одномерных когомологий на нем породило многочисленные работы, обобщающие понятия индекса Маслова. В работах В.И. Арнольда [1, 2, 10, 11] (1980), В.А. Васильева [3, 16] (1981) и их последователей была разработана теория лагранжевых бордизмов и на ее основании построены характеристические классы лагранжевых подмногообразий. Но имеется и другой подход описания классов Маслова лагранжевых подмногообразий, изложенный в работах В.В. Трофимова и А.Т. Фоменко [7, 9] (1991, 1995) с категорной точки зрения, который послужил источником настоящего доклада. Вдохновленные работами В.В. Трофимова и А.Т. Фоменко, мы вводим понятие т. н. инфинитезимальных лагранжевых многообразий, которые позволяют, по нашему мнению, с максимальной полнотой охарактеризовать характеристические классы лагранжевых многообразий и вычислять индекс Маслова практически для любых лагранжевых многообразий. Сам индекс Маслова строится как гомологический инвариант на лагранжевом подмногообразии некоторого симплектического многообразия. В простейшем случае лагранжево многообразие Λ - это n-мерное подмногообразие в симплектическом пространстве Rn ⊕ Rn, на котором симплектическая форма ω тривиальна. В общем случае рассматривается произвольное симплектическое многообразие (W,ω) и расслоение лагранжевых грассманианов LG(TW), параметризованных точками симплектического многообразия W. Вопрос, который нас интересует, заключается в следующем: когда индекс Маслова, заданный на индивидуальном лагранжевом многообразии как одномерный класс когомологий, является образом некоторого одномерного класса когомологий тотального пространства расслоения лагранжевых грассманианов? Дается ответ для различных классов расслоений лагранжевых грассманианов. В частности, находятся гомологические условия для симплектических многообразий, при выполнении которых строятся явные формулы для вычисления индекса Маслова лагранжевых подмногообразий. В заключение мы рассматриваем т. н. инфинитезимальные лагранжевы многообразия, которые не предполагают вложения лагранжевого многообразия в объемлющее симплектическое многообразие. Понятие инфинитезимальных лагранжевых многообразий предполагает только наличие пары векторных расслоений: касательного расслоения TΛ лагранжевого многообразия Λ, послойно вложенного в комплексное векторное расслоение TU(n)Λ таким образом, что слой расслоения TΛ является лагранжевым подпространством в слое расслоения TU(n)Λ. Таким образом, векторное расслоение TU(n)Λ играет роль симплектического многообразия W, в которое вкладывается лагранжево многообразие Λ. Это упрощает в определенной степени задачу построения индекса Маслова. Проблема применения инфинитезимальных лагранжевых многообразий к асимптотическим методам в уравнениях математической физики ожидает своего решения и может быть основана на работе М.В. Карасева и В.П. Маслова [4, 13] (1983) в которой канонический оператор строится для общих симплектических многообразий при помощи покрытий симплектического многообразия картами, которые диффеоморфны простейшим симплектическим многообразиям. 2. Согласованные структуры С каждым симплектическим многообразием W, задаваемым симплектической замкнутой (невырожденной) формой ω, можно связать дополнительные согласованные структуры: • почти комплексную структуру J: J : TW-→TW, J2 = -1; • евклидову структуру E(u,v), u,v ∈ Γ(TW), E(u,u) > 0; • эрмитову структуру H(u,v) = ReH(u,v) + iImH(u,v) = E(u,v) + iω(u,v), которая является полуторалинейной формой. Все эти структуры можно построить, стартуя от заданной симплектической формы ω; см., например, работу Ana Cannas da Silva [12] (2008). 3. Расслоение лагранжевых грассманианов Расслоение лагранжевых грассманианов согласно определению строится в виде тотального пространства LG(TW) расслоения LG(TW) πLG W со слоями πLG-1 (x) = LG(TW)x над точками x ∈ W. Слой LG(TW)x является лагранжевыми грассманианом πLG-1 (x) = LG(TW)x = LG(TxW) симплектического пространства TxW, который является многообразием, состоящим из всех лагранжевых плоскостей в касательном пространстве TxW: LG(TxW) = {L ⊂ TxW : dimR L = n, ω|L = 0}. 4. Категорное определение Рассмотрим вложение лагранжевого многообразия Λ в симплектическое многообразие W. Дифференциал Th вложения h порождает коммутативную диаграмму πTΛπTW Λ W. Лагранжево подмногообразие h : Λ-→W - это такое подмногообразие, для которого в каждой точке x ∈ Λ подпространство Th(TxΛ) ⊂ Th(x)W является лагранжевым подпространством. Дифференциал Th порождает отображение Lh лагранжева многообразия в тотальное пространство LG(TW) расслоения лагранжевых грассманианов: LG(TW) πLG Λ W. h Получаем отображение в когомологиях: . Категорное определение характеристических классов лагранжевого многообразия. Отображение (Lh)∗ задает универсальное категорное определение характеристических классов лагранжевого многообразия. А именно, если α ∈ H∗(LG(TW)) - класс когомологий пространства LG(TW), то класс когомологий α(Λ) = (Lh)∗(α) ∈ H∗(Λ) будем называть характеристическим классом лагранжева подмногообразия Λ W, порожh даемым универсальным характеристическим классом α ∈ H∗(LG(TW). 5. Классы Маслова Имеется по крайней мере три примера характеристических классов лагранжевых многообразий. 5.1. Класс Маслова для простейшего случая W = T∗(Cn). Один из них, простейший, это одномерный характеристический класс Маслова, значение которого на замкнутой кривой γ ⊂ Λ совпадает с индексом Маслова кривой γ; см. книгу Трофимова и Фоменко [9]. Пусть Λ ⊂ R2n - лагранжево подмногообразие, h : Λ ⊂ R2n - вложение, Lh : Λ-→LG(R2n) сопоставляет каждой точке x ∈ Λ касательное (лагранжево) подпространство Lh(x) = Tx(Λ) ∈ LG(R2n) как точку в лагранжевом грассманиане LG(R2n) всех лагранжевых подпространств. Получаем отображение в когомологиях: . Если α ∈ H∗(LG(R2n)) - класс когомологий пространства LG(R2n), то класс когомологий α(Λ) = (Lh)∗(α) ∈ H∗(Λ) - характеристический класс. Пример универсального характеристического класса, класса Маслова, - это образующий класс когомологий mas ∈ H1(LG(R2n)) ≈ Z, т. е. mas(Λ) ∈ H1(Λ). Вычисление класса Маслова mas ∈ H1(LG(R2n)) ≈ Z задается при помощи дифференциальной формы на многообразии LG(R2n). Многообразие LG(R2n) диффеоморфно однородному пространству U(n)/O(n) при помощи диффеоморфизма u : LG(R2n)-→U(n)/O(n), который сопоставляет каждой лагранжевой плоскости L ⊂ R2n = Cn, dimR L = n, ортонормированный вещественный базис (e1,...,en) ⊂ L. Этим корректно определен класс смежности u(L) ∈ U(n)/O(n). В самом деле, поскольку базисные вектора (e1,...,en) лежат в лагранжевой плоскости L, то они образуют ортонормированный комплексный базис в объемлющем пространстве Cn, который задается унитарной матрицей. Эта матрица задается однозначно с точностью до выбора ортонормированного вещественного базиса (e1,...,en) ⊂ L, т. е. до умножения на ортогональную матрицу. Композиция f отображений корректно задает одномерный класс когомологий, класс Маслова mas ∈ H1(LG(R2n)), mas. 5.2. Обобщенный класс Маслова для случая W = T∗(M). Конструкция обобщенного класса Маслова изложена в книге Трофимова и Фоменко [9] (1995): пусть M - гладкое многообразие, а ω - каноническая симплектическая структура на тотальном пространстве T∗M. Выбор римановой метрики на M индуцирует положительно определенное скалярное произведение на Tz(T∗M), позволяющее отождествить LG(Tz(T∗M)) c U(n)/O(n). Это отождествление неоднозначно, но позволяет корректно определить дифференциальную форму (det2)∗(dz/2πiz) на тотальном пространстве расслоения LG(T∗M) над T∗M, у которого слой над точкой z ∈ T∗M состоит из всех лагранжевых подпространств в Tz(T∗M). Аккуратное доказательства корректности определения обобщенного класса Маслова для тотального пространства кокасательного расслоения произвольного многообразия было дополнительно любезно предоставлено А.Т. Фоменко (см. в работе Мищенко [5, 14] (2022)). 5.3. Класс Маслова-Трофимова. Теорема 1. Наиболее общая конструкция категорных характеристических классов лагранжевых подмногообразий была представлена В.В. Трофимовым [8] (1994). Если линейная связность ∇ на многообразии W согласована с симплектической формой ω, то операция параллельного перенесения задает действие группы голономии πh (x0,W) на лагранжевом грассманиане в отмеченной точке x0. ∇ Это действие позволяет определить т. н. приведенный лагранжев грассманиан πLG(Tx0W) = LG(Tx0W)/π∇h (x0,W), а значит, и отображение лагранжева подмногообразия Nn ⊂ W2n par : Nn-→πLG(Tx0W), которое задает гомоморфизм в когомологиях (par)∗ : H∗(πLG(Tx0W))-→H∗(Nn), т. е. характеристический класс Маслова-Трофимова α(Nn) = (par)∗(α) ∈ H∗(Nn), α ∈ H∗(πLG(Tx0W)). Теорема 1. Класс Маслова-Трофимова является частным случаем категорного характеристического класса лагранжева многообразия. 6. Построение индекса Маслова Задача заключается в том, чтобы найти условия на симплектическое многообразие W, при которых индекс Маслова можно построить на всем симплектическом многообразии W, т. е. когда функция det2α не зависит от выбора карты Uα. Если функции склейки касательного расслоения TW принимают значения в ортогональной подгруппе, ϕαβT (w) ∈ O(n), то в каждом слое расслоения LG(T∗M) функция не зависит от выбора тривиализации: det2β(ϕαβT (x) · A) = det2(ϕαβT (x)) · det2(A) = det2α(A). На самом деле для того, чтобы определение det2α не зависело от тривиализации, требование ϕαβT (w) ∈ O(n) является слишком обременительным. Достаточно предполагать, что структурная группа U(n) редуцируется к подгруппе SU(n) ⊂ U(n). Конечно, подгруппа немного выползает из подгруппы SU(n). Но это легко поправить: рассмотрев гомоморфизм групп det : U(n)-→S1 ≈ U(1) и конечную подгруппу H ⊂ S1, задающую точную последовательность 1 H S1 SH 1. Положим H SHU(n) = det-1(H) ⊂ U(n). 2 В случае H = 1 получаем S = S1. В случае H = {0,1} = Z2 получаем подгруппу SZ U(n) ⊃ O(n). Поэтому задача о построении функции det2α, не зависящей от выбора тривиализации, сводится к следующей теореме. Теорема 2. Функция корректно определена на тотальном пространстве расслоения лагранжевых грассманианов, т. е. не зависит от выбора карты Uα, когда структурная группа комплексного касательного расслоения TW редуцируется к подгруппе SHU(n) ⊂ U(n), где H ⊂ U(1) -конечная подгруппа порядка k. Когда структурная группа U(n) редуцируется к подгруппе SHU(n) = det-1(H) ⊂ U(n)? Ответ на этот вопрос звучит следующим образом. Теорема 3. Структурная группа U(n) комплексного касательного расслоения TW редуцируется к подгруппе SHU(n) = det-1(H) ⊂ U(n), когда первый класс Чженя c1(TW) ∈ H2(W,Z) имеет конечный порядок k = #(H). 7. Инфинитезимальный подход Замена симплектического многообразия на меньшее симплектическое многообразие. Рассмотрим вложение h : Λ-→W многообразия Λ в симплектическое многообразие W как лагранжево подмногообразие. Такое вложение будем называть лагранжевым вложением. Напомним, что дифференциал Th порождает коммутативную диаграмму πTΛπTW Λ W, которая, в свою очередь, порождает послойное отображение Lh лагранжева многообразия Λ в тотальное пространство LG(TW) расслоения лагранжевых грассманианов: LG(TW) πLG Λ W. h Получаем морфизм когомологий: . Этот категорный подход позволяет использовать метод В.В. Трофимова еще раз; см. [6, 15] (2023). Судя по своей работе [8] (1994), В.В. Трофимов не был удовлетворен своим обобщением классов Маслова, поскольку при большой группе голономии теряются классы Маслова. Мы предлагаем и здесь сформулировать задачу на категорном языке. Объектом служит пара h : Λ ⊂ W, лагранжево подмногообразие Λ в симплектическом многообразии W. Предлагается заменить симплектическое многообразие W на меньшее симплектическое подмногообразие W, которое содержит лагранжево подмногообразие . Получим более широкое множество характеристических классов, к которому старые классы сводятся. В самом деле, послойные отображения лагранжева многообразия Λ в тотальные пространства расслоений лагранжевых грассманианов образуют коммутативную диаграмму: Lh πLG Λ Эта коммутативная диаграмма продолжается до предельного пространства которое имеет следующий вид: Lh πLG Λ где Отображение L строится как предельное отображение, поскольку тотальные пространства LG(TW) расслоений лагранжевых многообразий вкладываются друг в друга: πLG Значит, , и поскольку отображение (Th)LG является мономорфизмом, то отображение L однозначно определяется условием: Эта неявная конструкция отображения L лагранжева многообразия Λ в тотальное пространство LG(TU(n)Λ) расслоения лагранжевых грассманианов над базой Λ не зависит от выбора достаточно малой окрестности лагранжевого многообразия Λ в симплектическом многообразии W, но существенно зависит от выбора двух локальных инвариантов лагранжева многообразия Λ: 1. касательного расслоения TΛ лагранжева многообразия Λ (со структурной группой O(n)); 2. ограничения TU(n)(Λ) касательного расслоения TU(n)(W) над симплектическим многообразием W, на котором индуцирована комплексная структура со структурной группой U(n), порожденная симплектической структурой симплектического многообразия W; 3. и, наконец, послойного вложения расслоений ϕ : T(Λ) → TU(n)(Λ), линейного относительно поля вещественных чисел. Скажем, что многообразие с оснащением {Λ,ϕ : T(Λ) → TU(n)(Λ)} является инфинитезимальным лагранжевым многообразием, если в каждой точке x ∈ Λ слой является лагранжевым подпространством в симплектическом пространстве. Это оснащение называется лагранжевым оснащением. Таким образом, получаем теорему. Теорема 4. Любое лагранжево подмногообразие в симплектическом многообразии Λ ⊂ W наделяется лагранжевым оснащением, т. е. структурой инфинитезимального лагранжева многообразия. Верно и обратное: всякое инфинитезимальное лагранжево многообразие, т. е. многообразие Λ с лагранжевым оснащением {Λ,ϕ : T(Λ) → TU(n)(Λ)}, реализуется как лагранжево подмногообразие в некотором многообразии W, допускающем почти симплектическую структуру. Иными словами, существуют почти симплектическое многообразие W и лагранжево вложение h : Λ-→UW, для которого лагранжево оснащение {Λ,ϕ : T(Λ) → TU(n)(Λ)} строится как обратный образ T (n)(Λ) = h∗(TW) комплексного расслоения TW, причем дифференциал Th : TΛ-→TW отображения h разлагается в композицию Заметим, что если почти симплектическое многообразие существует, то достаточно малая трубчатая окрестность лагранжева подмногообразия диффеоморфна тотальному пространству нормального расслоения ν с базой Λ, а ограничение касательного расслоения (TW) Λ = h∗(TW) = U(n)(Λ) разлагается в прямую сумму двух расслоений TΛ и ν: | T TU(n)(Λ) = TΛ ⊕ ν. Поэтому нормальное расслоение можно построить при помощи послойного оператора I в расслоении TU(n)(Λ): ν = I(TΛ). Значит, построение нормального расслоения ν не требует информации о вложении h лагранжева многообразия Λ в окрестность W. Таким образом, каждой точке x ∈ Λ сопоставим касательное пространство TxΛ как подпространство, как лагранжеву плоскость в, т. е. точку L(x) в слое LGx(TU(n)Λ). В когомологиях получаем отображение: . Это значит, что категорные характеристические классы на лагранжевом многообразии Λ, вложенном в любое симплектическое многообразие, можно построить при помощи оснащения комплексным векторным расслоением TU(n) и задать посредством универсального характеристического класса из когомологий H∗(LG(TU(n)Λ)) тотального пространства расслоения LG(TU(n)Λ). Заметим, что при определении характеристических классов мы используем только структуру касательного расслоения T(W) к симплектическому многообразию W. Возникает естественная идея заменить пару h : Λ ⊂ W на само лагранжево многообразие Λ, которое оснащено структурой лагранжевости при помощи лагранжева оснащения. 8. Заключительные замечания 1. Каждое инфинитезимальное лагранжево многообразие может быть реализовано как лагранжево подмногообразие некоторого почти симплектического многообразия, структурная группа которого редуцируется к подгруппе O(n). Этого достаточно, чтобы описать одномерные классы Маслова для инфинитезимального лагранжева многообразия. 2. В частности, на инфинитезимальном лагранжевом многообразии справедливы теоремы 2 и 3 о редукции структурной группы U(n). 3. Почти симплектическое многообразие из первого пункта можно выбрать как тотальное пространство кокасательного расслоения некоторого n-мерного многообразия. Однако неясно, можно ли вложить инфинитезимальное лагранжево многообразие в компактное симплектическое многообразие. 4. Проблема применения инфинитезимальных лагранжевых многообразий к асимптотическимметодам в уравнениях математической физики ожидает своего решения. Мы предполагаем, что при помощи инфинитезимальных лагранжевых многообразий можно обобщить методы работы М.И. Карасева и В.П. Маслова [4] (1983) на более широкий класс канонических операторов в асимптотических методах. 5. Представляет также интерес описать группу голономий в смысле работы В.В. Трофимова [8] (1994).

Об авторах

А. С. Мищенко

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова; Московский Центр фундаментальной и прикладной математики

Автор, ответственный за переписку.
Email: asmish-prof@yandex.ru
Москва, Россия

Список литературы