О растягивающихся аттракторах произвольной коразмерности

Полный текст

1. Введение Наиболее интересными инвариантными множествами динамических систем с точки зрения приложений являются аттракторы и репеллеры [12]. Среди нетривиальных аттракторов в гиперболической теории динамических систем наиболее известными являются соленоид Смейла, ДА-аттрактор и аттрактор Плыкина. Все эти аттракторы являются растягивающимися аттракторами. Мы будем рассматривать растягивающиеся аттракторы (для репеллеров все утверждения аналогичны) диффеоморфизмов, удовлетворяющих аксиоме A Смейла, на замкнутых многообразиях. Напомним, что согласно аксиоме A Смейла, неблуждающее множество диффеоморфизма © Е.В. Жужома, В.С. Медведев, 2024 является замыканием множества периодических орбит и имеет гиперболическую структуру (основные определения даны в разделе 2). Для краткости диффеоморфизм, удовлетворяющий аксиоме A Смейла, мы будем называть A-диффеоморфизмом. Класс A-диффеоморфизмов представляет собой довольно широкий класс, содержащий все Ω-устойчивые и структурно устойчивые диффеоморфизмы, включая диффеоморфизмы Аносова и диффеоморфизмы Морса-Смейла (основные понятия и определения теории динамических систем см. в книгах [8, 17, 24, 35]). Везде далее через Mn обозначается n-мерное гладкое связное замкнутое многообразие. Аттрактором A-диффеоморфизма f : Mn → Mn называется базисное множество Λ такое, что существует окрестность U(Λ) = U множества Λ, удовлетворяющая условиям , где через N обозначается топологическое замыкание множества N. Репеллером называется аттрактор диффеоморфизма f-1. Обычно свойства и понятия, связанные с аттрактором, легко переносятся для репеллера. Поэтому мы в основном будем рассматривать только аттракторы. В 1967 году Смейл [37] ввел топологический соленоид в гиперболическую теорию динамических систем, построив диффеоморфизм, у которого соленоид был аттрактором. Схематично пример Смейла можно представить сначала как растяжение полнотория вдоль его оси и сжатие в направлении, перпендикулярном оси. Затем полученный полноторий вкладывается в исходный так, чтобы ось полнотория прокручивалась не менее двух раз вдоль оси исходного полнотория и при этом сохранялась дисковая структура, см. рис. 1. Специфика этого соленоидального аттрактора состояла в том, что его топологическая размерность совпадала с размерностью неустойчивого многообразия любой его точки. Поскольку такой аттрактор представлял собой объединение неустойчивых многообразий своих точек, то Вильямс [38] предложил называть их растягивающимися аттракторами. Для изучения внутренней динамики растягивающихся аттракторов (т. е. динамики ограничений диффеоморфизмов на растягивающихся аттракторах) Вильямс ввел понятие обобщенного соленоида (см. обзор [23]). Подход Вильямса был развит в работах [20, 21, 27, 28], однако этот подход не учитывает вложение аттракторов в многообразие. Робинсон и Вильямс [36] привели пример диффеоморфизмов с растягивающимися аттракторами, которые не имели даже гомеоморфных окрестностей, но ограничения этих диффеоморфизмов на растягивающиеся аттракторы были сопряжены. В работах Гринеса [4-7, 22] (с соавторами) и Плыкина [13-15] были проклассифицированы растягивающиеся аттракторы коразмерности один относительно сопрягающих гомеоморфизмов, определенных на несущих многообразиях, т. е. была получена классификация, учитывающая вложение растягивающихся аттракторов в многообразие. Что касается растягивающихся аттракторов коразмерности два и больше, то авторам известны работы о классификации только одномерных растягивающихся аттракторов в трехмерных многообразиях, т. е. аттракторов коразмерности два [18, 26, 29, 30]. Классификация аттракторов коразмерности один существенно опиралась на описание окрестностей этих аттракторов и их вложений в несущее многообразие. Например, Плыкин [15] показал, что ориентируемый растягивающийся аттрактор коразмерности один в n-мерном многообразии, n 3, имеет захватывающую окрестность, гомеоморфную n-мерному тору с конечным числом удаленных n-мерных шаров. Для растягивающегося аттрактора коразмерности два на трехмерном многообразии было показано существование захватывающей окрестности, гомеоморфной внутренности шара с конечным числом приклеенных ручек индекса один [18]. В данной работе мы рассматриваем вопросы существования A-диффеоморфизмов (в том числе структурно устойчивых диффеоморфизмов) замкнутых многообразий с растягивающимися аттракторами. Основной упор делается на вопросы существования растягивающихся аттракторов произвольной коразмерности. Из приведенных конструкций легко извлекаются топологическая структура возможных притягивающих окрестностей. Решение вопроса в полной общности о топологической структуре притягивающих окрестностей позволит начать рассматривать проблему классификации растягивающихся аттракторов коразмерности, отличной от единицы. Основные результаты содержатся в следующих утверждениях. Теорема 1. Для любых n-мерное замкнутое многообразие Mn и структурно устойчивый диффеоморфизм f : Mn → Mn такие, что f имеет ориентируемый растягивающийся аттрактор коразмерности q. Кроме этого, существуют Mn и Ωустойчивый диффеоморфизм Mn → Mn с неориентируемым растягивающимся аттрактором коразмерности q. Следующие два результата относятся к одномерным растягивающимся аттракторам. Теорема 2. На n-мерной сфере, существует структурно устойчивый диффеоморфизм с одномерным растягивающимся аттрактором. Теорема 3. На любом замкнутом n-мерном ориентируемом многообразии существует Aдиффеоморфизм с одномерным растягивающимся аттрактором, т. е. с растягивающимся аттрактором коразмерности (n - 1). Следующий результат показывает, что одномерный растягивающийся аттрактор диффеоморфизма 4-мерной сферы может лежать на вложенной инвариантной 2-мерной сфере, образующей нетривиальный 2-узел. Теорема 4. Для любого нетривиального гладкого узла S2 в 4-мерной сфере S4 существует A-диффеоморфизм f : S4 → S4 с одномерным растягивающимся аттрактором на S2. diffeomorphismAnosov DA-diffeomorphism solenoidSmale Рис. 1. ДА-диффеоморфизм и соленоид Смейла Fig. 1. DA-diffeomorphism and Smale solenoid В конце статьи формулируются и обсуждаются несколько гипотез, связанных с вопросами существования растягивающихся аттракторов. Структура статьи следующая. В разделе 2 приводятся необходимые для дальнейшего определения и предварительные результаты. В разделе 3 доказываются основные утверждения. 2. Основные определения и предварительные сведения В этом разделе даются основные определения и вводятся необходимые понятия. A-диффеоморфизмы. Пусть f - диффеоморфизм замкнутого n-мерного () многообразия M = Mn, снабженного некоторой римановой метрикой d. Множество Λ ⊂ M, инвариантное относительно f, называется гиперболическим, если ограничение TΛM касательного расслоения TM многообразия M на Λ можно представить в виде суммы Уитни-инвариантных подрасслоений ), и существуют константы Cs > 0, Cu > 0, 0 < λ < 1 такие, что . Точка x ∈ M называется неблуждающей, если для любой ее окрестности0 U(x) и любого натурального числа N найдется такое, что fn (x) ∈ U(x). Множество неблуждающих точек диффеоморфизма f будем обозначать через NW(f). Диффеоморфизм f удовлетворяет аксиоме A (или, что то же самое, является A-диффеоморфизмом), если множество NW(f) гиперболическое и периодические точки всюду плотны в NW(f). Гиперболическая структура на неблуждающем множестве влечет существование т. н. устойчивых и неустойчивых многообразий. Их существование и свойства исследовались во многих работах (см. напр. [1, 2, 25]). Пусть Λ - компактное гиперболическое множество диффеоморфизма f : M → M. Тогда для любого x ∈ Λ существует инъективная C∞ иммерсия Jxs : Rs → M, образ которой называется устойчивым многообразием точки x, такая, что выполняются следующие свойства: 1. Точки x,y ∈ M принадлежат одному многообразию Ws(x) тогда и только тогда, когда d(fn(x),fn(y)) → 0 при n → +∞. 2. f(Ws(x)) = Ws(f(x)), TxWs(x) = EΛs . 3. Если x,y ∈ Λ, то либо Ws(x) = Ws(y), либо Ws(x) ∩ Ws(y) = ∅. 4. Если точки x,y ∈ Λ близки на M, то Ws(x), Ws(y) близки на компактных множествах. Неустойчивое многообразие Wu(x) точки x ∈ Λ определяется как устойчивое многообразие относительно диффеоморфизма f-1. Неустойчивые многообразия обладают аналогичными свойствами. Учитывая свойство 2, устойчивые и неустойчивые многообразия называются инвариантными многообразиями. Отметим, что с точки зрения дифференциальной топологии инвариантные многообразия не являются «настоящими» подмногообразиями. Однако они являются иммерсированными подмногообразиями, см. например, [35]. Обозначим через-окрестность точки x в многообразии Ws(u)(x) (в его внутренней топологии). Следующее утверждение, доказанное Смейлом [37], часто называют теоремой о локальной структуре произведения. Пусть диффеоморфизм f удовлетворяет аксиоме A. Тогда существует ε > 0 такое, что для любых ε-близких точек x1,x2 ∈ NW(f) пересечение Wεs(x1)∩Wεu(x2) состоит из единственной точки, принадлежащей NW(f). Смейл [37] доказал следующее утверждение, известное как теорема о спектральном разложении. Пусть диффеоморфизм f компактного многообразия M удовлетворяет аксиоме A (коротко, является A-диффеоморфизмом). Тогда множество неблуждающих точек NW(f) представляется в виде конечного объединения попарно непересекающихся замкнутых инвариантных множеств Ω1,...,Ωk, называемых базисными множествами, каждое из которых содержит всюду плотную орбиту. При этом многообразие M можно представить в виде , где . Базисное множество называется нетривиальным, если оно не является изолированной периодической орбитой (в частности, не является неподвижной изолированной точкой). Под размерностью dimΩ базисного множества Ω мы понимаем топологическую размерность в смысле теории Урысона-Менгера [9]. Именно, топологическая размерность dimF компакта F определяется как наименьшее число k такое, что для любого сколь угодно малого данный F имеет замкнутое -покрытие кратности k+1. Эта же размерность может быть определена индуктивно следующим образом. Размерность пустого множества считается равной -1. Для непустого множества F размерность есть наименьшее целое k такое, что каждая точка из F имеет сколь угодно малую окрестность, граница которой имеет размерность, меньшую, чем k. Отметим, что топологическая размерность является инвариантом относительно гомеоморфных преобразований. Аттрактор Ω называется растягивающимся, если размерность Ω совпадает с размерностью неустойчивого многообразия любой его точки. Базисное множество А-диффеоморфизма f называется сжимающимся репеллером, если оно является растягивающимся аттрактором диффеоморфизма f-1 [38]. Если dimΩ = называется базисным множеством коразмерности q. Согласно [13, теорема 1], базисное множество Ω коразмерности один является либо аттрактором, либо репеллером. В этом случае неустойчивое (если Ω - аттрактор), либо устойчивое (если Ω- репеллер) многообразие любой точки x ∈ Ω принадлежит Ω. Согласно [13, теорема 2], растягивающийся аттрактор или сжимающийся репеллер коразмерности один имеет локальную структуру прямого произведения (n - 1)-мерного евклидова пространства и канторова множества. В этом случае Ω состоит либо из неустойчивых (если Ω- аттрактор), либо из устойчивых (если Ω- репеллер) (n - 1)-мерных многообразий своих точек. Обратное также справедливо, т. е. если базисное множество Ω состоит либо из неустойчивых (если Ω - аттрактор), либо из устойчивых (если Ω - репеллер) (n-1)-мерных многообразий своих точек и имеет вышеуказанную локальную структуру прямого произведения, то Ω есть либо растягивающийся аттрактор, либо сжимающийся репеллер коразмерности один. Каждое инвариантное многообразие Ws(x), Wu(x) есть образ евклидового пространства относительно гладкой иммерсии (т. е. Ws(x), Wu(x) являются иммерсированными подмногообразиями). Поэтому открытые диски Wαs(x), Wβu(x) являются ориентируемыми и нормально ориентируемыми иммерсированными подмногообразиями дополнительной размерности, dimWαs(x) + dimWβu(x) = n, для любых α > 0, β > 0. Следовательно, корректно следующее определение ориентируемости базисного множества. Будем говорить, что базисное множество Ω ориентируемо, если для любой точки x ∈ Ω и любых фиксированных чисел α > 0, β > 0 индекс пересечения Wαs(x)∩Wβu(x) во всех точках пересечения один и тот же (+1 либо -1) [4, 5]. В противном случае базисное множество Ω называется неориентируемым. Отметим, что в вышеприведенном определении ориентируемости базисного множества несущее многообразие может быть как ориентируемым, так и неориентируемым (об индексе пересечения подмногообразий в неориентируемом многообразии см. [16, с. 175]). Структурная устойчивость. Обозначим через Diff1(M) пространство C1-диффеоморфизмов многообразия M, наделенное равномерной C1-топологией. Два диффеоморфизма f, g ∈ Diff1(M) называются (топологически) сопряженными, если существует гомеоморфизм ϕ : M → M такой, что ϕ ◦ f = g ◦ ϕ. Диффеоморфизм f ∈ Diff1(M) называется структурно устойчивым, если существует его окрестность U(f) ⊂ Diff1(M) такая, что любой диффеоморфизм g ∈ U(f) сопряжен f. При формулировке условий структурной устойчивости большую роль играет условие, которое называют сильным условием трансверсальности. Пусть W1, W2 ⊂ M - два иммерсированных подмногообразия (иногда вместо иммерсии используют термин погружение), имеющие непустое пересечение. По определению, W1, W2 пересекаются трансверсально, если для любой точки x ∈ W1 ∩W2 касательное пространство TxM порождается касательными подпространствами TxW1 и TxW2. В частности, если W1, W2 пересекаются трансверсально, то dimTxW1 + dimTxW2 dimTxM. Говорят, что A-диффеоморфизм удовлетворяет сильному условию трансверсальности, если для любых точек x, y ∈ NW(f) многообразия Ws(x), Wu(y) имеют только трансверсальные пересечения. Известно [31, 34], что диффеоморфизм структурно устойчив тогда и только тогда, когда он является A-диффеоморфизмом и удовлетворяет сильному условию трансверсальности. 2-узлы в 4-мерной сфере S4. Под топологическим (гладким) вложением понимается гомеоморфизм (гладкая взаимно однозначная иммерсия) на образ, на котором топология (гладкая структура) индуцируется топологией (гладкой структурой) объемлющего пространства. Под топологическим (гладким) 2-узлом s2 в 4-мерной сфере S4 понимается образ топологического (гладкого) вложения f : S2 → f(S2) = s2 ⊂ S4, где Sk есть стандартная k-мерная сфера, которая задается равенством x11+···+x2k+1 = 1 в (k+1)мерном евклидовом пространстве . Говорят, что 2-узел s2 в точке x ∈ s2 локально плоско вложен, если существует окрестность U(x) ⊂ S4 и гомеоморфизм h : U(x) → R4 = R2 ×R2 такие, что h(s2 ∩ U(x)) = {0} × R2. Точка 2-узла s2, в которой s2 не является локально плоско вложенным, называется точкой дикости. Узел s называется локально плоско вложенным, если он локально плоско вложен в каждой своей точке. Топологически вложенный узел может, вообще говоря, иметь точки дикости. Ясно, что гладко вложенный узел локально плоско вложен. 3. Доказательство основных утверждений Сперва докажем несколько вспомогательных утверждений. Для отображений fi : Mi → Mi, i = 1,2, через F12 = (f1,f2) : M1 × M2 → M1 × M2 обозначается отображение вида F12(x,y) = (f1,f2)(x,y) = (f1(x),f2(y)), x ∈ M1,y ∈ M2. Лемма 1. Пусть-диффеоморфизм (структурно устойчивый диффеоморфизм) замкнутого ki-мерного многообразия с неблуждающим множеством NW(fi), i = 1,2. Тогда является A-диффеоморфизмом (структурно устойчивым диффеоморфизмом) с неблуждающим множеством NW(f1)×NW(f2). Более того, если базисные множества составляют спектральное разложение диффеоморфизма fi, i = 1,2, то спектральное разложение диффеоморфизма (f1,f2) состоит из базисных множеств , где . Доказательство. Напомним, что в неблуждающем множестве NW(fi) всюду плотны периодические точки диффеоморфизма fi, i = 1,2. Поэтому сколь угодно близко к любой точке (x,y) ∈ NW(f1) × NW(f2) найдется точка (p1,p2), где pi - периодическая точка диффеоморфизма fi, i = 1,2. Ясно, что . Следовательно, (p1,p2) - периодическая точка диффеоморфизма F12. Таким образом, периодические точки F12 всюду плотны в NW(f1) × NW(f2). Любая окрестность точки (x,y) содержит окрестность, равную произведению окрестностей точек x и y в M1 и M2, соответственно. Тогда если точка x или y является блуждающей, то (x,y) также будет блуждающей. Отсюда вытекает требуемое равенство NW(F12) = NW(f1)×NW(f2). Так как матрица Якоби J(F12) в каждой точке (x,y) ∈ NW(f1) × NW(f2) имеет блочный вид (J(f1),J(f2)), то множество NW(f1) × NW(f2) имеет гиперболическую структуру, причем расслоение имеет вид, и дифференциал DF12 сохраняет структуру расслоения. Пусть Ωi - базисное множество диффеоморфизма fi, i = 1,2. Очевидно, Ω1 ×Ω2 = Ω12 является замкнутым инвариантным множеством. Для доказательства того, что оно является базисным множеством, осталось доказать наличие транзитивности ограничения F12 на Ω12. Предположим сперва, что базисные множества Ω1, Ω2 - тривиальные, т. е. являются периодическими орбитами. Тогда Ω12 также является периодической орбитой, период которой есть наименьшее общее кратное периодов Ω1 и Ω2. Теперь предположим, что базисные множества Ω1, Ω2 - нетривиальные. Воспользуемся критерием Биркгофа. Пусть V1, V2 - произвольные относительно открытые множества в Ω12. Не уменьшая общности, можно считать, что эти множества имеют вид V1 = V1x × V1y, V2 = V2x × V2y, где V1x, V2x - открытые множества в - открытые множества в. Известно [3, 19], что ограничение некоторой итерации A-диффеоморфизма на базисное множество является топологически перемешивающим преобразованием. Очевидно, достаточно доказать транзитивность относительно некоторой итерации. Поэтому будем считать, что ограничение fi на Ωi является топологически перемешивающим преобразованием, i = 1,2. Так как f1 является A-диффеоморфизмом, то существует n1 такое, чтопри всех . Аналогично, при всех. Отсюда вытекает, что для m0 = max{n1,n2}. Согласно критерию Биркгофа, ограничение F12 на Ω12 является транзитивным отображением (на самом деле, из приведенного рассуждения фактически следует перемешиваемость отображения). Таким образом, (f1,f2) является A-диффеоморфизмом, и спектральное разложение диффеоморфизма (f1,f2) состоит из базисных множеств Ω(1)α × Ω(2)β , где . Для случая, когда одно базисное множество - допустим, Ω1 - тривиальное, а Ω2 - нетривиальное, рассуждение аналогично вышеприведенному. Осталось рассмотреть случай, когда fi : Mi → Mi является структурно устойчивым диффеоморфизмом, i = 1,2. Для доказательства структурной устойчивости (f1,f2) достаточно проверить условие сильной трансверсальности. Предположим, что неустойчивое многообразие пересекается с устойчивым многообразием в некоторой точке (x,y) ∈ M1 × M2. В силу структурной устойчивости fi : Mi → Mi, i = 1,2, неустойчивое многообразие пересекает трансверсально устойчивое многообразие в точке x, а неустойчивое многообразие пересекает трансверсально устойчивое многообразие в точке y. Отсюда, а также из равенств (3.1) вытекает требуемое утверждение. Лемма 2. Пусть -диффеоморфизм замкнутого ki-мерного многообразия с растягивающимся аттрактором Λi коразмерности. Тогда является A-диффеоморфизмом с растягивающимся аттрактором Λ1 × Λ2 коразмерности m1 + m2. Доказательство. В силу леммы 1 Λ1 ×Λ2 является аттрактором диффеоморфизма F12. Согласно определению растягивающегося аттрактора dimΛi = dimWfui(xi) для любой точки xi ∈ Λi, i = 1,2. Положим ki = dimΛi, i = 1,2. Согласно [38, теорема C и лемма 4.3] растягивающийся аттрактор Λi локально гомеоморфен прямому произведению Rki ×Ki, где Ki -канторовское множество нулевой топологической размерности. Тогда K1 × K2 является канторовым множеством нулевой топологической размерности, поскольку dim( dimK1 + dimK2. Поэтому аттрактор Λ1 ×Λ2 локально гомеоморфен прямому произведению Rk1 ×Rk2 ×K = Rk1+k2 ×K, где K - канторовское множество нулевой топологической размерности. Следовательно, dim(Λ1 × Λ2) = k1 + k2 = dimΛ1 + dimΛ2. Напомним, что неустойчивое многообразие гомеоморфно во внутренней топологии Rki. Поэтому гомеоморфно во внутренней топологии Rk1+k2. Согласно (3.1) неустойчивое многообразие есть . Отсюда получаем dim(Λ1 × Λ2) = dimΛ1 + dimΛ ) = dim. Следовательно, Λ1 × Λ2 является растягивающимся аттрактором диффеоморфизма F12. Его коразмерность определяется прямым вычислением. Следствие 1. Пусть fi : Min → Min - A-диффеоморфизм замкнутого n-мерного (n 2) многообразия с растягивающимся аттрактором Λi коразмерности один, i = 1,2. Тогда является A-диффеоморфизмом с растягивающимся аттрактором Λ1 × Λ2 коразмерности два. Следствие 2. Пусть Mp2i -замкнутая поверхность рода pi, i = 1,2. Тогда на существует структурно устойчивый диффеоморфизм (следовательно, A-диффеоморфизм) с растягивающимся аттрактором коразмерности два. Замечание. Ясно, что аналогичные вышеприведенным леммам утверждения имеют место для произвольного конечного числа соответствующих множителей диффеоморфизмов. При доказательстве основных результатов мы будем использовать известные примеры диффеоморфизмов с растягивающимися аттракторами коразмерности один. На рис. 1 (левая часть) приводится сценарий построения ДА-диффеоморфизма двумерного тора с одномерным ориентируемым растягивающимся аттрактором из диффеоморфизма Аносова. Аналогичным образом может быть построен A-диффеоморфизм многомерного тора с ориентируемым растягивающимся аттрактором коразмерности один аттрактором из диффеоморфизма Аносова коразмерности один. Фазовый портрет A-диффеоморфизма неориентируемой поверхности с изолированным седлом и неориентируемым одномерным растягивающимся аттрактором представлен на рис. 2(a). На рис. 2(b) представлен фазовый портрет A-диффеоморфизма с изолированным седлом и двумя (неориентируемыми) аттракторами Плыкина. Доказательство теоремы 1. Для n = 2 утверждение верно, поскольку имеются замечательные примеры структурно устойчивого ДА-диффеоморфизма с ориентируемым растягивающимся аттрактором на торе T2 (см. например, [35, 37]), и структурно устойчивый диффеоморфизм с неориентируемым растягивающимся аттрактором Плыкина на сфере S2 [14]. Поэтому далее считаем . Согласно [6, 7, 15, 22], на n-мерном торе Tn существует структурно устойчивый диффеоморфизм с растягивающимся аттрактором коразмерности один для любого n 3. Поэтому для структурно устойчивых диффеоморфизмов далее будем считать. Рис. 2. (a) Изолированное седло и неориентируемый растягивающийся аттрактор на поверхности; (b) изолированное седло и два аттрактора Плыкина. Fig. 2. (a) Isolated saddle and nonorientable stretching attractor on the surface; (b) isolated saddle and two Plykin attractors. Пусть f1 : Tn-q+1 → Tn-q+1 - структурно устойчивый диффеоморфизм с ориентируемым растягивающимся аттрактором Λ коразмерности один, т. е. размерность аттрактора Λ равна (n - q). На сфере Sq-1 размерности (q - 1) существует структурно устойчивый диффеоморфизм f2 : Sq-1 → Sq-1, неблуждающее множество которого состоит из изолированного источника α и изолированного стока ω. В силу леммы 2 структурно устойчивый диффеоморфизм (f1,f2) : Mn = Tn-q+1 × Sq-1 → Tn-q+1 × Sq-1 имеет ориентируемый растягивающийся аттрактор Λ × {ω} размерности (n - q), т. е. коразмерности q. В работах [10, 32] было доказано существование замкнутого n-мерного многообразия Nn и Ωустойчивого диффеоморфизма g : Nn → Nn с неориентируемым растягивающимся аттрактором коразмерности один для любого n 3. Дальнейшее рассуждение для доказательства существования неориентируемого растягивающегося аттрактора коразмерности q полностью аналогично случаю ориентируемого аттрактора. Непосредственно из анализа доказательства теоремы 1 вытекает следствие. Следствие 3. Для любыхмногообразие Tn-q+1 × Sq-1 допускает структурно устойчивый диффеоморфизм с ориентируемым растягивающимся аттрактором коразмерности q. Доказательство теоремы 2. Сперва докажем утверждение для 3-мерной сферы S3. Пусть f : S2 → S2 - структурно устойчивый диффеоморфизм с аттрактором Плыкина [14], который мы обозначим через Λa. Напомним, что Λa является одномерным растягивающимся аттрактором. Будем рассматривать S2 как экватор сферы S3. Тогда S2 разделяет S3 два замкнутых диска D1, D2, пересекающихся вдоль экватора S2. Каждый диск D1, D2 удобно рассматривать как единичный диск в пространстве с центром в начале координат. На каждом луче зададим поток gt вида ρ˙ = ρ(1 - ρ), где точки с координатами ρ = 1 лежат на S2. Сдвиг на единицу времени вдоль траекторий потока gt определяет диффеоморфизм g : S3 → S3, множество неподвижных точек которого состоит из двух гиперболических источников α1 ∈ D1, α2 ∈ D2 и сферы S2. Существует трубчатая окрестность T(S2) сферы S2, которая представляет собой тривиальное расслоение S2 × [-1;1] с базой S2 × {0} = S2 ⊂ S3 и слоями, состоящими из дуг траекторий потока gt. Диффеоморфизм f сохраняет ориентацию, и поэтому существует диффеотопия , такая, что f0 = f, f1 = id. Обозначим через θ : R → [0;1] гладкую четную функцию, монотонно возрастающую на отрезке [0;1], и такую, что θ(0) = 0, θ(x) = 1 при . Диффеотопия позволяет определить диффеоморфизм fˆ: T(S2) = S2 × [-1;1] → S2 × [-1;1] ственный диффеоморфизм. Зададим теперь диффеоморфизмпо правилу fˆ|S2×{β} = fθ(β). Поскольку fθ(±1) = id, то fˆ продолжается наF : S3 → S3Sследующим образом:3 \ T(S2) как тождеF = g на S3\T(S2) и F = (fθ(β),g) на T(S2) = S2×[-1;1]. Из построения вытекает, что F является структурно устойчивым диффеоморфизмом с растягивающимся аттрактором Λa. Далее, вложив S3 в S4 как экватор, аналогичным образом можно построить структурно устойчивым диффеоморфизмом с растягивающимся аттрактором Λa на S4. Продолжая этот процесс, можно построить требуемый диффеоморфизм на n-мерной сфере Sn для любого. Доказательство теоремы 3. Покажем, что на любом замкнутом n-мерном многообразии (n 3) существует A-диффеоморфизм с одномерным растягивающимся аттрактором. Пусть Mn -произвольное n-мерное замкнутое многообразие. Известно что на Mn существует градиентноподобный диффеоморфизм Морса-Смейла g0 : Mn → Mn, у которого имеется стоковая неподвижная точка ω0. Согласно теореме 2, на n-мерной сфере Sn существует структурно устойчивый диффеоморфизм f0 : Sn → Sn, у которого имеется одномерный растягивающийся аттрактор Λa. Из построения f0 следует, что f0 имеет источниковую неподвижную точку α0. Удалим шаровые окрестности точек ω0, α0 из Mn и Sn, соответственно, и отождествим границы шаровых окрестностей с помощью обращающего ориентацию диффеоморфизма. Тогда получим многообразие , диффеоморфное Mn. Так как ω0 - сток, а α0 - источник, то диффеоморфизмы g0, f0 можно согласовать на так, чтобы получить требуемый A-диффеоморфизм f : Mn → Mn с одномерным растягивающимся аттрактором Λa. Доказательство теоремы 4. Пусть S2 ⊂ S4 - гладкий нетривиальный 2-узел в 4-мерной сфере S4. Тогда существует трубчатая окрестность U(S2) 2-узла S2, которая является локально тривиальным расслоением p : U(S2) → S2 над S2 с двумерным диском в качестве слоя [16]. Более того, можно считать, что граница ∂U(S2) окрестности U(S2) является гладко вложенным 3-многообразием. Зададим на S2 структурно устойчивый диффеоморфизм f0 : S2 → S2 с аттрактором Плыкина Λa. В силу построения f0 диффеоморфизм f0 сохраняет ориентацию сферы. Поскольку f0 диффеотопен тождественному диффеоморфизму, а слой расслоения p есть двумерный диск, то f0 можно продолжить до диффеоморфизма f1 : U(S2) → p(U(S2)) ⊂ U(S2), у которого S2 является притягивающим множеством. Многообразие S4 \ U(S2) = M4 допускает градиентно подобный поток Морса-Смейла, трансверсальный границе ∂U(S2) и направленный на этой границе наружу (т. е. внутрь трубчатой окрестности U(S2)). Сдвиг на единицу времени вдоль траекторий потока Морса-Смейла определяет диффеоморфизм f2 : M4 → S4. Согласовав диффеоморфизмы f1, f2 на границе ∂U(S2), получим требуемый A-диффеоморфизм f : S4 → S4 с одномерным растягивающимся аттрактором Λa на S2. Обсуждение и формулировки гипотез. В силу конструкций примеров, применяемых в доказательствах основных утверждений, растягивающиеся аттракторы произвольной коразмерности строятся на многообразиях, которые представляются в виде произведений других многообразий (в основном тор Tn или сфера Sn). Отметим, что из результатов работы [10] следует, что на Sn не существует A-диффеоморфизма с растягивающимся аттрактором коразмерности один. В связи с этим можно сформулировать следующую гипотезу. Гипотеза 1. Для любых - 2, на Sn не существует A-диффеоморфизма с растягивающимся аттрактором коразмерности q. Относительно ориентируемых аттракторов интересно было бы рассмотреть следующую гипотезу. Гипотеза 2. На S2 × S2 не существует A-диффеоморфизма с ориентируемым растягивающимся аттрактором коразмерности q = 2. Отметим, что на S2 × S2, в силу следствия 2, существует структурно устойчивый диффеоморфизм с неориентируемым растягивающимся аттрактором коразмерности q = 2. Интересно было бы рассмотреть следующую более общую гипотезу, из которой следовали бы две предыдущие. Гипотеза 3. Пусть A-диффеоморфизм замкнутого n-мерного многообразия, имеет растягивающийся аттрактор коразмерности. Тогда гомотопическая группа πn-q(Mn) нетривиальна. Эта гипотеза верна для (см. [10]), но неверна для n = 3, q = 2, поскольку на S3 существуют A-диффеоморфизмы с соленоидом Смейла в качестве растягивающегося аттрактора [26]. Очевидно, что если узел S2 в теореме 4 тривиальный, то можно построить структурно устойчивый диффеоморфизм f : S4 → S4. В связи с теоремой 4 можно сформулировать следующую проблему. Проблема. Классифицировать одномерные заузленные (поверхностные) растягивающиеся аттракторы в S4 (решение должно включать инварианты вложения и инвариант Плыкина- Гринеса). Мы рассматривали в данной работе аттракторы диффеоморфизмов. Разумеется, аналогичное рассмотрение можно провести для растягивающихся аттракторов A-потоков (т. е. потоков, удовлетворяющих аксиоме A Смейла). Однако для потоков, видимо, труднее найти содержательные результаты о связи между коразмерностью аттракторов и топологической структурой несущего многообразия. Наш пессимизм основан на примере авторов A-потока на 3-мерной сфере с неблуждающим множеством, состоящим из изолированной периодической отталкивающей траектории и растягивающимся аттрактором коразмерности один [11] (на 3-мерных многообразиях растягивающихся аттракторов коразмерности два A-потоков не бывает). Отметим, что в этом примере аттрактор может быть как перемешивающим, так и неперемешивающим [33].

Об авторах

Е. В. Жужома

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Автор, ответственный за переписку.
Email: zhuzhoma@mail.ru
Нижний Новгород, Россия

В. С. Медведев

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Email: medvedev-1942@mail.ru
Нижний Новгород, Россия

Список литературы