Построение многомерных векторных полей, проекции которых на координатные плоскости имеют заданные топологические структуры

Полный текст

1. Введение Построение многомерных векторных полей, описываемых автономными системами обыкновенных дифференциальных уравнений и имеющих заданные топологические структуры в заданных ограниченных областях фазового пространства, является в общем случае трудноразрешимой задачей. Эта задача упрощается, если топологическая структура многомерного векторного поля может быть задана топологическими структурами его проекций на координатные плоскости фазового пространства. В этом случае построение искомого векторного полясводится сначала к построению (n-1)-го вспомогательного плоского векторного поля вида, i,j ∈ 1,2,... ,n, k = 1,2,... ,n-1, каждое из которых имеет заданную топологическую структуру в некоторой ограниченной области соответствующей координатной плоскости Oxixj, а затем - к согласованию изменений во времени компонент этих плоских векторных полей и составлению из них искомого векторного поля. В данной статье даны общее описание такого подхода к построению многомерных векторных полей указанного выше типа и пример его применения. Результаты работы могут быть использованы для построения математических моделей динамических систем, если их поведение описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений указанного выше типа. В частности, построенные описанным выше способом векторные поля обобщённых скоростей механических систем могут представлять кинематические уравнения их программных движений и быть использованы для нахождения управляющих сил и моментов, обеспечивающих реализацию этих движений, их устойчивость и другие свойства (как это указано, например, в [3]). 2. Обозначения - векторное поле, описываемое системой обыкновенных дифференциальных уравнений вида (2.1) , где Xi ∈ C(Rn) для i = 1,2,... ,n; • P1(p1,1,...,p1,n) и P2(p2,1,...,p2,n) - изолированные особые точки системы уравнений (2.1), соответствующие начальному и конечному положениям соответствующей динамической системы; • P1,ij и P2,ij - проекции точек P1 и P2 на координатную плоскость Oxixj; - множество пар индексов, соответствующих некоторой выборке (n - 1)-ой координатной плоскости системы координат Ox1,x2,...,xn. Например, для системы координат Ox1x2x3 таковыми являются множество {(1,2),(1,3)}, соответствующее координатным плоскостям Ox1x2 и Ox1x3, или множество {(1,2),(2,3)}, соответствующее координатным плоскостям Ox1x2 и Ox2x3; • D - область пространства Rn, ограниченная поверхностями Sm,ij : ωm,ij(xi,xj) = 0, (i,j) ∈ Ir, m ∈ Iij, где Iij - множество индексов; • Dij - проекция области D на соответствующую координатную плоскость Oxixj, (i,j) ∈ Ir, граница которой содержит точки P1,ij и P2,ij; • Lm,ij : ωm,ij(xi,xj) = 0, (i,j) ∈ Ir, m ∈ Iij, - кривые, ограничивающие область Dij в координатной плоскости Oxixj; • L - интегральная кривая векторного поля (2.1), которая является линией пересечения (n - 1)-ой поверхности fij(xi,xj) = 0, (i,j) ∈ Ir, проходящей через точки P1 и P2, а её дуга, заключённая между этими точками, находится внутри области D; • Lij - проекция кривой L на соответствующую координатную плоскость Oxixj. Далее будем полагать, что для всех (i,j) ∈ Ir и m ∈ Iij указанные выше функции ωm,ij(xi,xj) и fij(xi,xj) являются непрерывно дифференцируемыми, а их градиенты отличны от нуля. 3. Постановка задачи Построить векторное поле, соответствующее системе уравнений вида (2.1), у которой: • все фазовые траектории, расположенные внутри области D, выходят из точки P1 и стремятся при t → +∞ к особой точке P2, касаясь в ней фазовой кривой L; • топологическая структура разбиения на траектории области D задаётся топологическими структурами плоских векторных полей вида (3.1) , в соответствующих областях Dij для всех (i,j) ∈ Ir; при этом: • Pα,ij, где (i,j) ∈ Ir и α ∈ {1,2}, являются изолированными особыми точками соответствующих векторных полей (3.1), а дуги кривых Lm,ij и Lij, проходящие через эти точки, являются их сепаратрисами; • все траектории векторного поля (3.1), расположенные внутри области Dij, исходят из малой окрестности точки P1,ij и стремятся при t → +∞ к особой точке P2,ij, касаясь в ней интегральной кривой Lij. • по крайней мере одна из компонент векторного поля (3.1) не имеет нулевых значений в области Dij и её неособых граничных точках. 4. Решение задачи Поставленную задачу решим последовательным построением вспомогательных плоских векторных полей, определяемых системами уравнений вида (3.1), и согласованием изменений их компонент во времени при составлении искомого n-мерного векторного поля v. 1-ый шаг. Выберем любые две координаты, которые обозначим xi1 и xi2: i1,i2 ∈ {1,2,... ,n}, где, и построим плоское векторное поле , (4.1) которое имеет требуемую топологическую структуру в области Di1i2 соответствующей координатной плоскости Oxi1xi2 и одна из компонент которого не имеет нулевых значений в области Di1i2 и её неособых граничных точках. 2-ой шаг. Выберем любые две координаты, которые обозначим xj2 и xi3: внутри Di1i2, и построим плоское векторное поле , (4.2) с заданной топологической структурой в области Dj2,i3 соответствующей плоскости Oxj2xi3 и компонентой внутри этой области и в её неособых граничных точках. Так как j2 ∈ {i1,i2}, то следует выполнить согласование изменений одноименных координат векторных полей (4.1) и (4.2). В связи с этим заметим, что система уравнений в (4.2) имеет такой же фазовый портрет, что и дифференциальное уравнение , (4.3) где в соответствии с (4.1) dxj2 = X1,j2(xi1,xi2)dt. После подстановки (4.4) в (4.3) получим (4.4) x˙. (4.5) Согласование координат векторного поля (4.1) с полученной координатой (4.5) завершим умножением их на знаменатель последней X˜2,j2(xj2,xi3). В результате получим трёхмерное векторное поле , (4.6) Так как функции X1,j2(xi1,xi2) и X˜2,j2(xj2,xi3) отличны от нуля в соответствующих им областях Di1i2 и Dj2i3 и их неособых граничных точках, то: (а) проекциями векторного поля (4.6) на плоскости Oxi1xi2 и Oxj2xi3 являются векторные поля, которые имеют с векторными полями (4.1) и (4.2) в соответствующих им областях Di1i2 и Dj2i3 «одни и те же траектории, но с различными параметризациями на них» (см. [1, гл. I, § 1, с. 33]); (b) по крайней мере одна из компонент векторного поля (4.6) не имеет нулевых значений в области Di1i2 × Dj2i3 пространства Oxi1xi2xi3 по построению. Из сказанного в пункте (а) следует, что векторные поля, которые являются проекциями векторного поля (4.6) на области Di1i2 и Dj2i3, и соответствующие им векторные поля (4.1) и (4.2) имеют в этих областях эквивалентные топологические структуры. Для удобства дальнейшего изложения перепишем (4.6) следующим образом: { } ⎨ , где X2,i1 = X1,i1 · X˜2,j2, V2 = x˙i1,x˙i2,x˙i3 : x˙i2 = X2,i2(xi1,xi2,xi3), где X2,i2 = X1,i2 · X˜2,j2, ⎩ x˙i3 = X2,j3(xi1,xi2,xi3), где X2,i3 = X1,j2 · X˜2,i3. Предположим, что на (k-1)-ом шаге описанного выше процесса получено k-мерное векторное поле вида (4.7) , где по построению: при любых ; • по крайней мере одна из компонент (4.7) не имеет нулевых значений внутри области Di1i2 × Dj2i3 × ... × Djk-1ik пространства Oxi1xi2 ...xik; • проекции векторного поля на координатные плоскости, в которых были построены вспомогательные плоские векторные поля, имеют в соответствующих им областях Dij топологические структуры, эквивалентные структурам соответствующих вспомогательных векторных полей. k-ый шаг. Для выполнения этого шага выберем индекс jk, координату xik+1: в области Di1i2 × Dj2i3 × ... × Djk-1ik и построим вспомогательное плоское векторное поле (4.8) , которое имеет требуемую топологическую структуру в области Djk,ik+1 плоскости Oxjkxik+1. Для согласования компонент векторных полей (4.7) и (4.8) заметим, что последнему соответствует дифференциальное уравнение , (4.9) где согласно (4.7) dxjk = Xk-1,jk(xi1,xi2,...,xik)dt. После подстановки (4.10) в (4.9) получим (4.10) . (4.11) Добавим уравнение (4.11) к уравнениям (4.7). После умножения всех уравнений вновь полученной системы на X˜k,jk(xjk,xik+1) получим компоненты (k + 1)-мерного векторного поля (4.12) , проекции которого на координатные плоскости, в которых были построены вспомогательные плоские векторные поля, имеют в соответствующих им областях Dij топологические структуры соответствующих вспомогательных векторных полей, и по крайней мере одна из компонент Xk,i(xi1,xi2,...,xik+1), i = 1,2,... ,k + 1, не имеет нулевых значений в области Di1i2 × Dj2i3 × ... × Djkik+1 пространства Oxi1xi2 ...xik+1. Из сказанного выше следует, что на последнем (n - 1)-ом шаге этого процесса получим искомое n-мерное векторное поле, определяемое системой дифференциальных уравнений вида x˙i = Xi(x1,x2,...,xn) (i = 1,2,... ,n). (4.13) 5. О критических направлениях и типах сепаратрис особых точек плоских векторных полей Изложенное в разделе 4 решение задачи раздела 3 предполагает построение последовательности плоских векторных полей, которые имеют заданные сепаратрисы и заданные топологические структуры в ограниченных областях соответствующих координатных плоскостей. Вопрос существования у таких векторных полей заданных сепаратрис решается методом Еругина [4], после чего требуемые свойства топологических структур этих векторных полей определяются типами критических направлений и сепаратрис их особых точек. Построение плоских векторных полей с заданными критическими направлениями особых точек и заданными типами касающихся их сепаратрис можно выполнить, используя результаты Фроммера (в [5, § 5]) в исследовании особых точек дифференциального уравнения вида (5.1) с дробно-рациональной правой частью и простыми обыкновенными критическими направлениями этих точек. В соответствии с этими результатами тип критического направления) особой точки O(0;0) уравнения (5.1) и, следовательно, типы сепаратрис, касающихся этого направления в этой точке, определяются знаком производной функции , (5.2) где ui - угловой коэффициент критического направления. Заметим, что в (5.2) , (5.3) - проекция векторного произведения на ось Oz правой системы координат Oxyz, и (5.4) в достаточно малом секторе. Предположим, что: точка O(0;0) имеет n + 1 простое обыкновенное критическое направление и других критических направлений не имеет; каждого из этих направлений в точке O касается одна из интегральных кривых Li : ωi(x,y) = 0 (i = 1,... ,n + 1), содержащих сепаратрисы этой точки; и P(x,y) = Pn(x,y) + ϕ(x,y) и Q(x,y) = Qn(x,y) + ψ(x,y), где Pn(x,y) и Qn(x,y) - однородные многочлены степени n, а многочлены ϕ(x,y) и ψ(x,y) состоят из членов более высоких порядков. Тогда в точках сектора SO(i,ε,δ) , (5.5) (5.6) где α,β,μ - постоянные,- натуральные числа, и . (5.7) Дифференцируя (5.7) по переменной u, получим . (5.8) Пусть SO-(i,ε,δ) и SO+(i,ε,δ) - части сектора SO(i,ε,δ), на которые он разбивается прямой y = uix так, что из точки O сектор SO-(i,ε,δ) видится справа от этой прямой, а сектор SO+(i,ε,δ) - слева. Из (5.4)-(5.8) следует зависимость знака производной от комбинации знаков скалярного произведения и проекции векторного произведения внутри соответствующих достаточно малых секторов SO-(i,ε,δ) и SO+(i,ε,δ). А именно: < 0 внутри SO-(i,ε,δ), , если · · z > 0 внутри SO+(i,ε,δ); > 0 внутри SO-(i,ε,δ), , если · · z < 0 внутри SO+(i,ε,δ). Замечание 5.1. Согласно [5, § 5] сепаратриса особой точки O(0;0) уравнения (5.1), которая расположена на его интегральной кривой Li и касается в этой точке критического направления y = uix, имеет параболический тип в случае (a) и гиперболический тип в случае (b). Замечание 5.2. Если критическое направление особой точки O(0;0) уравнения (5.1) параллельно оси Oy, то его изучение можно свести к исследованию методом Фроммера [5] знака функции в достаточно малой окрестности точки O(0;0) плоскости Oyv. Таким образом, использованный в [5] алгебраический подход к исследованию топологической структуры особой точки, имеющей только простые обыкновенные критические направления, сводится к изучению знаков скалярного произведения и проекции векторного произведения во внутренних точках секторов SO-(i,ε,δ) и SO+(i,ε,δ), соответствующих этим направлениям. С геометрической точки зрения эти произведения характеризуют радиальные и трансверсальные составляющие плоского векторного поля относительно особой точки. Поэтому использование этих произведений упрощает решение задач на построение уравнений вида (5.1) и соответствующих им плоских векторных полей с особыми точками заданной локальной топологической структуры. Изложенный выше метод построения многомерных векторных полей иллюстрируется следующим примером. 6. Пример построения векторного поля в R3 Построить векторное поле, соответствующее системе обыкновенных дифференциальных уравнений x˙ = X(x,y,z), y˙ = Y (x,y,z), z˙ = Z(x,y,z), (6.1) для которой (i) интегральные поверхности, ограничивающие область D в R3, заданы уравнениями ω1 ≡ -x2 - (y - 1)2 + 1 = 0, ω2 ≡ (x - 1)2 + y - 1 = 0, (6.2) ω4 ≡ z = 0, ω5 ≡ 1 - y = 0, ω6 ≡ -y = 0, ω7 ≡ z - 1 = 0; Рис. 1: Схемы топологических структур векторных полей (a) разбиение области Dxy на траектории векторного поля (b) разбиение области Dyz на траектории векторного поля vyz. Fig. 1: Schemes of topological structures of vector fields vxy and (a) partition of the domain Dxy into trajectories of the vector field (b) partition of the domain Dyz into trajectories of the vector field vyz. (ii) P1(0,0,0), P2(1,1,1) являются особыми точками, предельными при t → -∞ и t → +∞, соответственно, для расположенных в области D траекторий, которые касаются или не касаются в этих точках поверхностей ω3 ≡ y - x = 0, ω8 ≡ -3y + y2 + 2z = 0 (6.3) указанным на рис. 1.a и 1.b образом; (iii) проекции векторного поля v на координатные плоскости Oxy и Oyz определяют плоские векторные поля, имеющие в областях топологические структуры, представленные на рис. 1.a и 1.b соответственно; (iv) все критические направления особых точек векторных полей будем полагать простыми обыкновенными в смысле определения из [5, § 4]. Замечание 6.1. Из ограничения пункта (iv) следует, что все сепаратрисы особых точек векторных полей являются только несмешанного типа: параболического или гиперболического (определения см. в [2]). Решение задачи начнём с построения вспомогательных плоских векторных полей , имеющих в областях Dxy и Dyz топологические структуры, представленные схемами на рис. 1.a и 1.b, соответственно. 1. В соответствии с [4] положим: , (6.4) где λi (i = 1,2,3) - неопределённые положительные множители, а векторы (6.5) являются касательными к соответствующим кривым Li,xy : ωi(x,y) = 0 (i = 1,2,3); , (6.6) где λi (i = 4,5,... ,8) - неопределённые положительные множители, а векторы - (6.7) являются касательными к соответствующим кривым Lyz,i : ωi(y,z) = 0 (i = 4...,8). В этом случае Li,xy (i = 1,2,3) являются интегральными кривыми векторного поля (i = 4,...,8) - интегральными кривыми векторного поля vyz. Проецируя (6.4) и (6.6) на координатные оси, получим, с учётом (6.5) и (6.7), компоненты вспомогательных векторных полей: vxy,x = -λ1(y - 1)ω2ω3 + λ2ω1ω3 - λ3ω1ω2, (6.8) vxy,y = λ1xω2ω3 - 2λ2(x - 1)ω1ω3 - λ3ω1ω2, (6.9) vyz,y = -λ4ω5ω6ω7ω8 - λ7ω4ω5ω6ω8 + 2λ8ω4ω5ω6ω7, (6.10) vyz,z = -λ5ω4ω6ω7ω8 - λ6ω4ω5ω7ω8 + λ8(3 - 2y)ω4ω5ω6ω7. (6.11) 2. Для векторных полей (6.4) и (6.6) найдём значения коэффициентов λi (i = 1,2,... ,8), при которых угловые особые точки областей Dxy и Dyz, а следовательно, и сами эти области будут иметь заданные топологические структуры. Эти значения найдём, используя замечание 5.1. 2.1. Для векторного поля vxy. 2.1.а. В окрестности точки P1,xy(0;0), полагая, рассмотрим векторное произведение где согласно (6.2), (6.3), (6.8) и (6.9) . (6.12) Согласно рис. 1.a в точках подмножества достаточно малой проколотой ε-окрестности U˚(P1,xy,ε) точки P1,xy скалярное произведение и ( 1,xy xy)z > 0,, еслиесли ωω11ωω22ωω33 >< 00;. Из (6.12) следует, что эти неравенства для проекции выполняются, если -λ1 - 2λ2 + 2λ3 < 0. (6.13) В этом случае согласно замечанию 5.1 сепаратрисы точки P1,xy, расположенные на кривых L1,xy и L2,xy, являются гиперболическими, а сепаратрисы, расположенные на прямой L3,xy - параболическими. 2.1.б. В окрестности точки где согласно (6.2), (6.3), (6.8) и (6.9) , (6.14) В соответствии с рис. 1.a в точках подмножества достаточно малой проколотой ε-окрестности U˚(P2,xy,ε) точки P2,xy скалярное произведение и ( 2,xy xy)z > 0, если ωω11ωω33 <> 00;. если Из (6.14) следует, что эти неравенства для проекции выполняются, если -λ1 - 2λ2 + 2λ3 < 0. (6.15) В этом случае согласно замечанию 5.1 сепаратрисы точки P2,xy, расположенные на кривых L1,xy и L2,xy, являются гиперболическими, а сепаратрисы, расположенные на прямой L3,xy, являются параболическими. При λ1 = λ2 = λ3 = 1 неравенства (6.13), (6.15) выполняются и компонентами векторного поля vxy являются vxy,x = -(y - 1)ω2ω3 + ω1ω3 - ω1ω2, (6.16) vxy,y = xω2ω3 - 2(x - 1)ω1ω3 - ω1ω2. (6.17) Покажем, что в (6.16) компонента vxy,y > 0 внутри области Dxy. Внутри той части области Dxy, где ω3 < 0, слагаемое xω2ω3 > 0, как и сумма остальных слагаемых: - 2(x - 1)ω1ω3 - ω1ω2 = ω1[-2(x - 1)ω3 + ω2] = = -ω1[2(x - 1)(y - x) + (x - 1)2 + y - 1] = ω1[x2 - 2xy + y) = ω1[(x - y)2 + y(1 - y)] > 0. Последнее неравенство следует из того, что в этой части области Dxy выполняются неравенства ω1 > 0 и 1 - y > 0. Внутри части области Dxy, где ω3 > 0, в компоненте (6.17) слагаемое -2(x-1)ω1ω3 > 0, как и сумма остальных слагаемых xω2ω3 - ω1ω2 = ω2[xω3 + ω1] = ω2(xy + y2 - 2y) = ω2y(y + x - 2) > 0, так как в этой части области Dxy справедливы неравенства ω2 < 0, y > 0 и y + x - 2 < 0. Из неравенства vxy,y > 0 в области Dxy и её граничных точках, отличных от P1,xy и P2,xy, следует, что векторное поле vxy не имеет особых точек внутри этой области. В этом случае векторное поле vxy имеет в Dxy топологическую структуру, которая задана схемой на рис. 1.а и определяется установленными выше типами сепаратрис особых точек P1,xy и P2,xy. 2.2. Для векторного поля vyz. 2.2.а. В окрестности точки P1,yz(0;0), полагая , рассмотрим векторное произведение где согласно (6.2), (6.3), (6.10) и (6.11) . (6.18) В соответствии с рис. 1.b в точках подмножества достаточно малой проколотой ε-окрестности U˚(P1,yz,ε) точки P1,yz скалярное произведение и ( 1,yz yz)x < 0, еслиесли ωω44ωω88 <> 00;. Из (6.18) и замечания 5.1 следует, что при λ4 + λ6 λ8 < 0 (6.19) сепаратрисы особой точки P1,yz векторного поля , расположенные на прямых L4,yz и L6,xy, являются параболическими, а расположенные на кривой L8,xy -гиперболическими (см. рис. 1.b). 2.2.б. В окрестности точки P2,yz(1;1), полагая , рассмотрим векторное произведение где согласно (6.2), (6.3), (6.10) и (6.11) . (6.20) В соответствии с рис. 1.b в точках подмножества достаточно малой проколотой ε-окрестности U˚(P2,yz,ε) точки P2,yz скалярное произведение и , если ω5ω8 < 0; ( 2,yz yz)x > 0, если ω5ω8 > 0. Из (6.20) и замечания 5.1 следует, что при λ5 + λ7 - λ8 > 0 (6.21) сепаратрисы точки P2,yz, лежащие на прямых L5,yz и L7,yz, имеют гиперболический тип, а сепаратрисы, расположенные на кривой L8,yz - параболический тип (см. рис. 1.b). 2.2.в. В окрестности точки P3,yz(1;0), полагая , найдём где согласно (6.2), (6.3), (6.10) и (6.11) . (6.22) В соответствии с рис. 1.b в точках подмножества малой проколотой окрестности U˚(P3,yz,ε) точки P3,yz проекция и при достаточно малых δ скалярное произведение в секторе SP-3,yz(4,ε,δ); 3,yz · yz > 0, в секторе. Из (6.22) и замечания 5.1 следует, что при λ4 + λ5 > 0 (6.23) сепаратрисы точки P3,yz, лежащие на прямых L4,yz и L5,yz, имеют гиперболический тип, как и заключённый между ними сектор малой окрестности U˚(P3,yz,ε) (см. рис. 1.b). 2.2.г. В окрестности точки. Тогда векторное произведение где согласно (6.2), (6.3), (6.10) и (6.11) . (6.24) В соответствии с рис. 1.b в точках подмножества малой проколотой окрестности U˚(P4,yz,ε) точки P4,yz проекция и при достаточно малых δ скалярное произведение в секторе); 4,yz · yz > 0, в секторе SP-4,yz(7,ε,δ). Из (6.24) и замечания 5.1 следует, что при λ6 + λ7 > 0 (6.25) сепаратрисы точки P4,yz, лежащие на прямых L6,yz и L7,yz, имеют гиперболический тип, как и заключённый между ними сектор малой окрестности U˚(P4,yz,ε) (см. рис. 1.b). Неравенствам (6.19), (6.21), (6.23) и (6.25) удовлетворяют, в частности, λ4 = λ6 = 1, λ5 = λ7 = 2, λ8 = 3. (6.26) После подстановки (6.26) в (6.10) и (6.11) получим компоненты векторного поля vyz: vyz,y = -ω5ω6ω7ω8 - 2ω4ω5ω6ω8 + 6ω4ω5ω6ω7, (6.27) vyz,z = -2ω4ω6ω7ω8 - ω4ω5ω7ω8 + 3(3 - 2y)ω4ω5ω6ω7. (6.28) Рис. 2: Векторное поле vxy Рис. 3: Векторное поле vyz Fig. 2: Vector field vxy Fig. 3: Vector field vyz Докажем, что компонента vyz,y, определяемая равенством (6.21), положительна в области Dyz. В той части этой области, где ω8 < 0, первое слагаемое в правой части (6.21) -ω5ω6ω7ω8 > 0, а сумма второго и третьего слагаемых -2ω4ω5ω6ω8 + 6ω4ω5ω6ω7 = 2(3ω7 - ω8)ω4ω5ω6, (6.29) где 3ω7 - ω8 = z - 1 - (y - 1)(y - 2) < 0 (6.30) в рассматриваемой части области Dyz. Из (6.29), (6.30) следует, что vyz,y > 0 в тех точках области Dyz, где ω8 < 0. В другой части этой области Dyz, где ω8 > 0, второе слагаемое в правой части равенства (6.21) -2ω4ω5ω6ω8 > 0, а сумма первого и третьего слагаемых -ω5ω6ω7ω8 + 6ω4ω5ω6ω7 = (6ω4 - ω8)ω5ω6ω7, где (6.31) 6ω4 - ω8 = 4(z - 1) - (y + 4)(y - 1) < 0 (6.32) в рассматриваемой части области Dyz. Из (6.31), (6.32) следует, что vyz,y > 0 в тех точках области Dyz, где ω8 > 0. Таким образом, в (6.27) компонента vyz,y > 0 в области Dyz и векторное поле vyz с компонентами (6.27), (6.28) не имеет особых точек в этой области и на её границе, кроме особых точек Pi,yz (i = 1,2,3,4). В этом случае векторное поле vyz имеет в Dyz заданную топологическую структуру, которая представлена схемой на рис. 1.b и определяется установленными выше типами сепаратрис особых граничных точек этой области. Графики векторных полей vxy с компонентами (6.16), (6.17) и vyz с компонентами (6.27), (6.28), построенные с помощью функции fieldplot пакета Maple, представлены на рис. 2 и 3 соответственно. Замечание 6.2. В рассмотренном выше примере построение плоских векторных полей vxy и vyz начиналось с их представления в виде (6.4) и (6.6) соответственно. Другой метод построения таких векторных полей представлен в статье [2]. Этот метод основан на составлении вспомогательной дробно-рациональной функции двух переменных, свойства нулей числителя и знаменателя которой соответствуют заданной топологической структуре искомого векторного поля Рис. 4: График векторного поля v(6.34), построенный функцией fieldplot3d пакета Maple. Fig. 4: Plot of the vector field v(6.34) plotted by the fieldplot3d function of the Maple package. вида (3.1) в заданной области фазовой плоскости. Затем поля касательных и нормальных направлений к линиям уровней этой функции используются в качестве полей направлений сравнения для искомого векторного поля в процессе его построения. 3. Искомое трёхмерное векторное поле v получим, выполнив согласование изменения во времени компонент (6.16), (6.17) и (6.27), (6.28) векторных полей. В связи с этим заметим, что для векторного поля vyz . Полагая в соответствии с (6.17) в этом равенстве dy = vxy,y · dt, получим . (6.33) Процесс согласования можно завершить умножением vxy,x, vxy,y, z˙ из (6.16), (6.17), (6.33) на vyz,y из (6.27). В результате компоненты искомого трёхмерного векторного поля принимают вид произведений x˙ = vxy,x · vyz,y, y˙ = vxy,y · vyz,y, z˙ = vyz,z · vxy,y. Заменив в правых частях этих равенств множители их выражениями из (6.16), (6.17), (6.27), (6.28), получим искомое векторное поле График этого векторного поля, построенный с использованием функции fieldplot3d пакета Maple, представлен на рис. 4. На этом рисунке жирной линией изображена сепаратриса, расположенная на линии L пересечения цилиндрических поверхностей, заданных уравнениями (6.3). 7. Заключение В статье изложен метод построения многомерных векторных полей, имеющих заданные особые траектории и заданную топологическую структуру в ограниченной области D соответствующего пространства Rn. При этом предполагается, что: (a) эта область ограничена совокупностью заданных цилиндрических поверхностей, уравнения которых имеют вид f(xi,xj) = 0; (б) топологическая структура искомого векторного поля в области D задаётся топологическими структурами плоских векторных полей в областях Dij, которые являются проекциями области D на соответствующие n-1 координатные плоскости системы координат Ox1 ...xn. Результаты статьи могут быть использованы для построения математических моделей динамических систем, поведение которых описываются системами с конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений указанного типа. Таковыми являются, в частности, механические системы с конечным числом степеней свободы (например, манипуляционные роботы). Векторные поля обобщённых скоростей таких систем в сочетании с уравнениями Лагранжа 2-го рода могут быть использованы для нахождения управляющих сил, обеспечивающих осуществление требуемых движений этих механических систем, их устойчивость, оптимальность и другие свойства.

Об авторах

С. В. Волков

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: volkov-sv@rudn.ru
Москва, Россия

Список литературы