Об условиях подчиненности для систем минимальных дифференциальных операторов

Полный текст

1. Общие сведения об априорных оценках в Lp Пусть Ω - область в Rn, p ∈ [1,∞]. Обозначим через L0p,Ω(P1,...,PN) линейное пространство операторов Q(x,D), подчиненных системе минимальных дифференциальных операторов , т. е. пространство операторов Q(x,D), удовлетворяющих априорной оценке , (1.1) где константа C > 0 не зависит от выбора f. В случае N = 1 говорят, что минимальный оператор P(x,D) сильнее оператора Q(x,D). © Д.В. Лиманский, М.М. Маламуд, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 121 1.1. Оценки в Lp при p ∈ (1,∞). Операторы Pj(x,D) порядка l имеют вид Здесь и , (1.3) т. е. получается заменой . Обозначим также через (1.4) главный символ (старшую однородную форму порядка l) оператора (1.3). В случае операторов с постоянными коэффициентами символ T(ξ) связан с оператором T(D) соотношением где - преобразование Фурье: В данной работе рассматриваются только минимальные операторы. Напомним, что дифференциальный оператор P в Lp(Ω) называется минимальным, если его область определения domP является замыканием множества в норме графика этого оператора. При этом оценка (1.1) эквивалентна вложению domdomPj областей определения соответствующих операторов (в случае N = 1 см. [27]). Предложение 1.1 (см. [2, 13, 33]). Пусть -система операторов с постоянными коэффициентами. Тогда для всех p ∈ [1,∞] и Ω = Rn из оценки (1.5) вытекает алгебраическое неравенство для символов операторов: . (1.6) Для доказательства предложения 1.1 достаточно положить в неравенстве (1.5) , где в окрестности нуля и ε > 0 достаточно мало, и воспользоваться тем, что для любого дифференциального полинома T(D) выполнено T(D)ei(ξ,x) = T(ξ)ei(ξ,x). При p = 2 и Ω = Rn из равенства Парсеваля вытекает, что оценка (1.5) и неравенство (1.6) эквивалентны. При p ∈ (1,∞) и Ω = Rn в случае дифференциальных мономов В.П. Ильиным [2, 6] доказана эквивалентность оценки (1.5) алгебраической оценке (1.6) (см. далее теорему 2.3). Однако в общем случае при эквивалентность (1.5) ⇐⇒(1.6), вообще говоря, не имеет места. Далее, при N = 1, p = 2 и ограниченной области Ω Л. Хермандером [27] получен следующий критерий справедливости оценки (1.1). Теорема 1.1 (см. [27]). Пусть Ω -ограниченная область в Rn. Тогда для дифференциальных полиномов Q(D) и P(D) включение Q ∈ L02,Ω(P) эквивалентно алгебраическому неравенству . (1.7) Функцию вида (1.7) называют функцией Хермандера. Из теоремы 1.1, в частности, вытекает, что предложение 1.1, вообще говоря, неверно для ограниченных областей Ω. Пример 1.1. Рассмотрим операторы Q(D) := D1 и P(D) := D12 -D22. Если область Ω ограничена и p = 2, то оценка (1.5) справедлива в силу теоремы 1.1, хотя неравенство не имеет места для всех (ξ1,ξ2) ∈ R2. Напомним, что оператор P(D) порядка l называют эллиптическим, если (1.8) (см. далее более общее определение 2.1). Из теоремы 1.1 вытекает следующее утверждение. Предложение 1.2. Пусть Ω -ограниченная область в Rn. Тогда оператор P(D) порядка l эллиптичен в точности тогда, когда для всех операторов Q(D) порядка deg т. е. оператор P(D) сильнее любого оператора Q(D) порядка l. Предложение 1.2 также распространяется на операторы с переменными коэффициентами, действующие в Lp при p ∈ (1,∞) (см. далее теорему 2.2). Другим важным классом операторов, чью «силу» можно охарактеризовать в терминах символов, являются операторы главного типа, введенные Хермандером. Определение 1.1 (см. [27]). Пусть Ω- ограниченная область в Rn. Оператор P(D) порядка l называют оператором главного типа в L2(Ω), если . Пример 1.2. Гиперболический оператор (1.9) является оператором главного типа в L2(Ω). Предложение 1.3. Эллиптический оператор является оператором главного типа в L2(Ω). Доказательство. Предполагая противное, найдем точку ξ0 ∈ Rn \{0}, для которой ∇Pl(ξ0) = 0. Отсюда в силу тождества Эйлера для полинома Pl(ξ), . (1.10) Это противоречит эллиптичности оператора P(D). Предложение 1.4. Оператор P(D) главного типа в L2(Ω) порядка l сильнее любого оператора Q(D) порядка l - 1. Доказательство вытекает из теоремы 1.1, а также из общего свойства эллиптической системы (см. теорему 2.2 в «изотропном» случае l1 = ··· = ln = l). Утверждение, обратное к предложению 1.4, вообще говоря, не имеет места. Например, в силу теоремы 1.1 параболический оператор (1.11) сильнее в L2(Ω) любого оператора Q(D) = Dk, k ∈ {1,... ,n}, но не является оператором главного типа. Этот факт вытекает из теоремы 1.1 Хермандера, но также является следствием более общего свойства l-квазиэллиптического оператора (см. теорему 2.2). Кроме того, следствие 1.4 не имеет места при. Демонстрацией этого факта служит следующий глубокий результат Литтмана [39]. Теорема 1.2 (см. [39]). Пусть Ω -куб в-волновой оператор вида (1.9) с k = n - 1. Тогда при - оценка (1.5) с операторами Q(D) = Dk, k ∈ {1,... ,n} не имеет 1 места. Следующая характеристика операторов главного типа также принадлежит Хермандеру. Предложение 1.5 (см. [27]). Пусть P(D) -оператор порядка l в L2(Ω) и Ω -ограниченная область в Rn. Тогда P(D) является оператором главного типа в L2(Ω) в точности тогда, когда P(D) и любой другой оператор R(D) с той же главной частью, Pl(ξ) ≡ Rl(ξ), имеют одинаковую «силу» в том смысле, что пространства L0p,Ω(P) и L0p,Ω(R) совпадают. Результаты, аналогичные теореме 1.1 и предложению 1.5, справедливы при N > 1 для системы операторов с постоянными коэффициентами (см. [2, 19]). Из этого, в частности, вытекает, что пространство для эллиптической системыпорядка l максимально возможно, т. е. оценка (1.5) справедлива для любого оператора Q(D) порядка l. То же утверждение верно и для нормы в пространстве Lp(Ω) при p ∈ (1,∞), но утрачивает силу в концах шкалы, т. е. при p = 1 и p = ∞. 1.2. Оценки в L∞. Изотропный случай. При p = ∞ Б.С. Митягиным [20, 21] доказана невозможность оценки (1.1) при N = 2 для операторов Q(D) = D1D2 и Pj(D) = Dj2, j ∈ {1,2}. Более того, в работе [21] показано, что при p = ∞ даже непрерывность вторых несмешанных производных D12f, D22f и функции f не влечет ограниченности в существенном обобщенной смешанной производной D1D2f (см. также [2]). Явный пример функции с такими свойствами принадлежит В.И. Юдовичу [29]: , (x1,x2) ∈ D, (1.12) где- единичный круг. Первый общий результат об оценках в L∞(Rn) получен де Лю и Миркилом [34]. Именно, они получили следующее необходимое условие справедливости оценки (1.5) в L∞(Rn). Теорема 1.3 (см. [34]). Пусть Pj(D), j ∈ {1,... ,N}, -операторы с постоянными коэффициентами порядка l, а Q(D) -оператор порядка l. Тогда из справедливости оценки (1.13) вытекает тождество (1.14) для главных символов операторов Q(D) и Pj(D), соответственно, с некоторыми константами λj ∈ C. В частности, для однородных полиномов Pj(ξ) = Pjl(ξ), j ∈ {1,...,N}, и Q(ξ) = Ql(ξ) оценка (1.5) при p = ∞ эквивалентна тождеству (1.14). Как указал Г.Е. Шилов [28] (см. также работу Е.А. Горина [5]), теоремы типа теоремы 1.3 имеют непосредственное применение для локальной классификации алгебр типа C. Обобщение теоремы 1.3 на системы операторов с переменными коэффициентами другим методом получено одним из авторов в [17]. В этом случае из оценки (1.1) при p = ∞ и произвольной области Ω ⊂ Rn вытекает тождество , (1.15) с функциями λj(·) вместо констант λj. Более общий случай операторов с l-квазиоднородными главными частями обсуждается далее в теореме 1.6. Отметим также, что в недавней работе Казанецкого и Войцеховского [36] доказано, что на пространстве аналитических тригонометрических полиномов , (1.16) α1+α2m степени m от двух переменных справедлива оценка , (1.17) где T2 := S1 × S1 - двумерный тор, а константа C > 0 не зависит от m. Если отказаться от аналитичности полиномов, то, как сообщил нам Б.С. Митягин, для однородных дифференциальных операторов порядка l с постоянными коэффициентами им доказаны следующие оценки: если, то . Здесь C > 0 - не зависящая от m константа, а f(·) пробегает множество всех (не обязательно аналитических) тригонометрических полиномов степени m от n переменных: . (1.18) Напомним определение понятия мультипликатора в Lp, играющее важную роль в дальнейшем. Определение 1.2 (см. [26]). Пусть F - преобразование Фурье в L2(Rn). Ограниченную измеримую (по Лебегу) функцию Φ : Rn → C называют мультипликатором в Lp(Rn), p ∈ [1,∞], если оператор свертки отображает Lp(Rn)∩L2(Rn) в Lp(Rn) и ограничен в Lp(Rn). Совокупность всех мультипликаторов из Lp в Lp обозначается Mp. Простое описание пространств Mp известно лишь при p ∈ {1,2,∞}. Так, алгебраRn (см. [26]):M1 = M∞ состоит из преобразований Фурье-Стилтьеса конечных борелевских мер в . (1.19) Для остальных значений p ∈ (1,∞) известны лишь достаточные условия включения Φ ∈ Mp (см. [2, 26]). Следующий результат де Лю и Миркила дополняет теорему 1.3 и дает критерий справедливости оценки (1.5) при p = ∞ и Ω = Rn в терминах мультипликаторов. Теорема 1.4 (см. [34]). Пусть-дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. Тогда априорная оценка (1.13) эквивалентна тождеству , (1.20) в котором-мультипликаторы в L∞(Rn). Приведем наброски доказательств теорем 1.3 и 1.4. Сначала докажем следующую лемму. Лемма 1.1 (см. [34]). Из справедливости априорной оценки (1.5) в норме пространства L∞(Rn) вытекает следующее интегральное представление: , (1.21) где-конечные борелевские меры в Rn. Доказательство. Следуя [34], рассмотрим функционал F, для каждого сопоставляющий вектору значение [Q(D)f](0). Этот функционал линеен и, ввиду оценки (1.5), ограничен в - пространство непрерывных в Rn функций, стремящихся к нулю на бесконечности. По теореме Хана-Банаха функционал F продолжается до ограниченного линейного функционала в. Рассматривая одноточечную компактификацию Rn - сферу Sn, - расширим F до функционала F на подпространстве непрерывных векторфункций на сфере Sn, равных нулю в одной точке. К функционалу F на указанном подпространстве применима теорема Рисса, из которой вытекает представление (1.21). Набросок доказательства теоремы 1.3. Для функции полагаем fr(x) := f(rx), r > 0. Тогда, подставляя функции f = fr в интегральное представление (1.21), придем к соотношению Деля обе части (1.22) на rl и затем устремляя r → +∞, придем к тождеству , где λj := μj(0), j ∈ {1,...,N}. Наконец, заменяя в предыдущих рассуждениях функцию f(x) на f(x - h), где h ∈ Rn - произвольный вектор, получим доказываемое тождество (1.14). Набросок доказательства теоремы 1.4. (i) Пусть справедлива оценка (1.5). Тогда, согласно лемме 1.1, имеет место интегральное представление вида (1.21). Кроме того, функции Mj(ξ) := μj(ξ), j ∈ {1,...,N}, будут мультипликаторами в L∞(Rn). Отметим, что (1.23) для функции и конечной меры μ (см. [26]). Применяя в обеих частях (1.21) преобразование Фурье, с учетом равенства (1.23) придем к соотношению . (1.24) Так как множество образов Фурье функций плотно в L2(Rn), из (1.24) получаем тождество (1.20). (ii) Обратно, пусть выполнено тождество (1.20). Умножая обе его части на и учитывая, что в силу определения мультипликаторов , где {Tj}- ограниченные операторы в L∞(Rn), придем к соотношению . (1.25) Применяя теперь к обеим частям (1.25) обратное преобразование Фурье и затем обозначая , получаем оценку (1.5). Следствие 1.1. Пусть дополнительно в условиях теоремы 1.4 в систему входит тождественный оператор PN+1(D) := E. Тогда априорная оценка (1.26) эквивалентна тождеству , (1.27) в котором -мультипликаторы в L∞(Rn). Приведем еще один важный результат, касающийся оценок в L∞(Rn). Теорема 1.5 (см. [13]). Пусть-дифференциальные операторы, а также : (i) из оценки (1.1) с p = ∞ и Ω = Rn при любом m < n следует «суженная» оценка . (1.28) (ii) Если коэффициенты операторов Q и Pj постоянны, то оценка (1.1) остается справедливой после «сужения» операторов на произвольное подпространство E ⊂ Rn. Набросок доказательства. (i) Пусть - «срезающая» функция, равная единице в окрестности нуля. Рассмотрим функции вида f(x f x x , где . (1.29) Далее, для r > (1.30) монома имеем Dαfr = r-(αm+1+···+αn)(Dαf)r, то после перехода к пределу при r → +∞ в полученном неравенстве придем к (1.28). (ii) Если коэффициенты операторов Q и Pj постоянны, то каждая из L∞(Rn)-норм в (1.28) равна соответствующей L∞(Rm)-норме, что доказывает справедливость оценки (1.1) после «сужения» всех операторов на подпространство E, порожденное ξ1,...,ξm. Так как символы Q(ξ) и Pj(ξ) инвариантны при ортогональной замене переменных ξ1,...,ξn, то можно считать m-мерное подпространство E произвольным. Замечание 1.1. Поясним, что в теореме 1.5 коэффициенты суженных операторов Q(x,D), по-прежнему зависят от всех n переменных, в то время как дифференцирование производится лишь по первым m переменным. Заметим еще, что функции не являются финитными в Rn. 1.3. Оценки в L∞. Анизотропный случай. В дальнейшем мы определяем главную часть дифференциального оператора по отношению к произвольному вектору l с натуральными компонентами, l = (l1,...,ln) ∈ Nn. Для полагают |α : l| := α1/l1 + ··· + αn/ln. Определение 1.3. Пусть l = (l1,...,ln) ∈ Nn. Полином P(ξ) = P(ξ1,...,ξn) называется lоднородным, если справедливо тождество P(t1/l1ξ1,...,t1/lnξn) = tP(ξ1,...,ξn), t > 0, ξ ∈ Rn. (1.31) Далее везде будем считать, что операторы имеют вид . (1.32) Отметим, что в изотропном случае, т. е. при l1 = ··· = ln = l, неравенство принимает обычный вид Определение 1.4. Операторы (1.33) | называют l-главными частями, а их l-однородные символы | | | называют l-главными символами, соответственно, операторов Q(x,D) и Pj(x,D) вида (1.32). При l1 = ··· = ln = l определение 1.4 совпадает с определением главных символов, данным в пункте 1.1 (см. формулу (1.4)). Замечание 1.2. Как видно из доказательства теоремы 1.5, пункт (i), в отличие от пункта (ii), справедлив для операторов как с однородными, так и с l-квазиоднородными главными частями. Отметим, что при заданном операторе существуют различные векторы l, задающие l-главные части этого оператора. Например, параболический оператор вида (1.11) имеет главные при l := (2,... ,2,2) и Pl (D) := D12 + ··· + Dn2-1 + iDn при := (2,... , , Следующая теорема обобщает теорему 1.3 де Лю и Миркила в трех направлениях: (i) для операторов с переменными коэффициентами; (ii) для операторов с l-квазиоднородными главными частями; (iii) на случай произвольной области Ω вместо Rn. Отметим, что метод доказательства теоремы 1.6, предложенный одним из авторов в [17, 19], в отличие от метода работы [34], позволяет охватить случай операторов с переменными коэффициентами. Теорема 1.6 (см. [17, 19]). Пусть Ω -область в -дифференциальные операторы вида (1.32) с коэффициентами ajα(·),bα(·) ∈ L∞(Ω) при |α : l| < 1 и ajα(·),bα(·) ∈ C1(Ω) при |α : l| = 1. Тогда из априорной оценки (1.34) вытекает тождество , (1.35) в котором функции λj(·) ∈ C1(Ω). Если коэффициенты операторов постоянны, то функции λj(x) в (1.35) также постоянны, λj(x) ≡ λj. В частности, для l-однородных операторов Pj(x,D) = Pjl(x,D), j ∈ {1,... ,N}, и Q(x,D) = Ql(x,D) оценка (1.34) при p = ∞ эквивалентна тождеству (1.35). Набросок доказательства. В доказательстве мы следуем [17, 19]. Ограничимся случаем операторов с постоянными коэффициентами. Замыкая неравенство (1.34) в норме C(Ω), распространим его на все финитные непрерывные в Ω функции, для которых правая часть в (1.34) конечна. Здесь дифференциальные операторы Q(D) и Pj(D) понимаются как обобщенные. Кроме того, без ограничения общности считаем, что 0 ∈ Ω. Далее, при |α : l| = 1 полагаем α! := α1!...αn!, и пусть - срезающая функция с носителем в единичном шаре, причем η(x) = 1 при. Тогда система пробных функций , |α : l| = 1 (1.36) определена корректно. Заметим, что при n = 2, α = (1,1) и l1 = l2 = 1 функция в (1.36) совпадает с функцией (1.12). Функции (1.36) обладают следующими свойствами: ; (1.37) . (1.38) Более того, , поскольку . Предположим противное, т. е. что доказываемое тождество (1.35) нарушается. Переписывая (1.35) в терминах коэффициентов ajα и bα, заключаем, что нарушается хотя бы одно из равенств . Тогда найдутся числа {μα}, |α : l| = 1, не все равные нулю и такие, что , но . (1.39) Рассмотрим функцию , (1.40) где fα(·) - функции вида (1.36). Применяя операторы к (1.40) и учитывая соотношения (1.37)-(1.39), получаем: . Рассуждая аналогично, приходим к соотношению , в котором ϕ0 ∈ C(Ω). Поэтому в силу последнего соотношения в (1.39) имеем . Таким образом,, в то время как нормы конечны, j ∈ {1,...,N}. Полученное противоречие завершает доказательство. Следствие 1.2. Пусть в условиях теоремы 1.6 Q(x,D) = Ql(x,D) и Pj(x,D) = Pjl(x,D), j ∈ {1,... ,N}. Тогда априорная оценка (1.34) эквивалентна тождеству (1.35), в котором функции λj(·) ∈ C1(Ω), j ∈ {1,... ,N}. Если коэффициенты операторов постоянны, то функции λj(·) в (1.35) также постоянны, λj(x) ≡ λj, j ∈ {1,... ,N}. В частности, при N = 1 оценка (1.41) эквивалентна тождеству Q(x,ξ) = λ(x)P(x,ξ), x ∈ Ω, ξ ∈ Rn. (1.42) Условие (1.35), как и условие (1.14), является лишь необходимым, но не достаточным для справедливости оценки (1.1). Кроме того, «анизотропная» теорема 1.6 демонстрирует полезность неоднозначного выделения l-главной части дифференциального оператора. Пример 1.3. Пусть P(D) := D14 + D22 + iD3. При l := (4,4,4) равенство (1.42) не исключает наличие оценки (1.41) для Но при оценка (1.41) противоречит следствию 1.2. Действительно, l-главные символы этих операторов и в этом случае не пропорциональны и, значит, как тождество (1.42), так и оценка (1.41) с Q(D) = Qj(D), j ∈ {1,... ,5}, вида (1.43) не имеют места. Отсутствие оценки (1.41) при Ω = R3 для операторов (1.43) показывает также, что функции , (1.44) не являются мультипликаторами в L∞(R3). Действительно, в противном случае каждое из вытекающих из (1.44) тождеств Qj(ξ) = Φj(ξ)P(ξ), в которых Φj ∈ M∞, j ∈ {1,... ,5}, противоречит теореме 1.4 де Лю и Миркила. 1.4. Оценки в L1. Остановимся кратко на результатах об оценках в L1. Орнстейном [41] был получен следующий результат, являющийся L1-версией теоремы 2.4 де Лю и Миркила. Теорема 1.7 (см. [41]). Пусть -однородные операторы порядка l с постоянными коэффициентами и Q(D) = Ql(D), degQ = l. Тогда оценка (1.45) эквивалентна тождеству (1.46) с некоторыми константами Изотропный аналог следствия 1.2 при N = 1 для пространства L1 получен в работе Кирхгайма и Кристенсена [37]. Теорема 1.8 (см. [37]). Пусть Q(x,D) = Ql(x,D) и P(x,D) = Pl(x,D) -однородные операторы порядка l с локально интегрируемыми в Rn коэффициентами. Тогда оценка (1.47) при Ω = Rn эквивалентна тождеству (1.42) при для п. в. x ∈ Rn с некоторой функцией λ(x) ∈ L∞(Rn). Наконец, в работе Казанецкого, Столярова и Войцеховского [35] теорема 1.7 Орнстейна обобщена на анизотропный случай l-однородных операторов с постоянными коэффициентами. Тем самым была получена L1-версия следствия 1.2. Теорема 1.9 (см. [35]). Пусть l = (l1,...,ln) ∈ Nn, и , (1.48) - l-однородные операторы с постоянными коэффициентами. Пусть также степени всех мономов, входящих в запись символов, имеют одинаковую четность. Тогда оценка (1.45) эквивалентна тождеству (1.46). Отметим, что доказательства теорем 1.7-1.9 значительно труднее соответствующих доказательств их L∞-версий. Отметим еще, что при доказательстве теорем 1.8 и 1.9 в работах [35, 37] существенно используются методы выпуклого анализа. 2. Оценки для квазиэллиптической системы в Lp при p ∈ [1,∞] Наиболее употребительными в приложениях являются априорные оценки для эллиптических и l-квазиэллиптических систем операторов. Определение 2.1 (см. [2, 4]). Пусть l = (l1,...,ln) ∈ Nn. Систему дифференциальных операторов вида (1.32) называют l-квазиэллиптической, если . (2.1) В частности, в изотропном случае, т. е. при l1 = ··· = ln = l, систему называют эллиптической порядка l. Определение 2.2 (см. [2]). Пусть l = (l1,...,ln) ∈ Nn. Анизотропным пространством Соболева, называют множество функций f ∈ Lp(Ω), имеющих обобщенные производные Dαf ∈ Lp(Ω) при всех , с нормой . (2.2) Подпространство в Wpl(Ω), совпадающее с замыканием множества в норме (2.2), обозначают через . Определение 2.3 (см. [2]). Систему дифференциальных операторов называют коэрцитивной в анизотропном пространстве Соболева , если справедлива априорная оценка , (2.3) в которой константы C1,C2 > 0 не зависят от f. Другими словами, система коэрцитивна в , если линейное пространство L0p,Ω(P1,...,PN) максимально возможное. Для доказательства критерия коэрцитивности нам понадобится следующая классическая теорема Михлина-Лизоркина [8, 23] о мультипликаторах в Lp при p ∈ (1,∞) (см. также [2, гл. III, §11]). Теорема 2.1 (см. [8, 23]). Пусть функция Φ(·) непрерывна и ограничена на множестве вместе со всеми производными. Если , (2.4) то Φ ∈ Mp(Rn) при Следующий классический результат об l-квазиэллиптических системах хорошо известен. Теорема 2.2 (см. [2, 4]). Система операторов вида (1.32) с непрерывными в области Ω коэффициентами l-квазиэллиптична в точности тогда, когда она коэрцитивна в анизотропном пространстве Wp,l 0(Ω) при каждом p ∈ (1,∞). Набросок доказательства. Ограничимся случаем операторов с постоянными коэффициентами. (i) Необходимость. Пусть система-квазиэллиптична. Тогда с помощью теоремы 2.1 легко проверить, что функции , (2.5) являются мультипликаторами в Lp(Rn) при p ∈ (1,∞). Доказательство теоремы 2.2 теперь вытекает из тождества . (2.6) Именно, после применения обратного преобразования Фурье к обеим частям (2.6) получаем , (2.7) где Tj - ограниченные в Lp операторы свертки с символами Φjα(·), j ∈ {1,... ,N}. Из равенства (2.7) вытекает оценка (1.5) с Q(D) = Dα. (ii) Достаточность. Пусть теперь система коэрцитивна в при некотором p ∈ (1,∞). Предположим противное, т. е. что система не l-квазиэллиптична, т. е. Pjl(ξ0) = 0, j ∈ {1,... ,N}, при некотором ξ0 = (ξ10,...,ξn0) ∈ Rn \ {0}. Положим при t > 0 , (2.8) где - ненулевая функция. Подставляя функции (2.8) в (1.5), придем к оценке , противоречивой при больших t. Теорема полностью доказана. Замечание 2.1. Отметим, что при p = 2 в изотропном случае для операторов с постоянными коэффициентами теорема 2.2 вытекает из равенства Парсеваля. Далее, обозначим через ch(A) выпуклую (замкнутую) оболочку множества A ⊂ Rn. Следующая теорема, доказанная Ильиным [6], дает критерий справедливости оценки (1.5) для случая, когда - дифференциальные мономы в Lp(Rn), p ∈ (1,∞). Ее доказательство также базируется на проверке условий теоремы 2.1 Михлина-Лизоркина. Теорема 2.3 (см. [6]). Пусть -конечное подмножество и. Тогда при каждом p ∈ (1,∞) оценка (2.9) с константой C = CA (не зависящей от f) эквивалентна условию β ∈ ch(A). При p = 1 и p = ∞ l-квазиэллиптическая система является коэрцитивной в в исключительных случаях (см. теорему 1.6). Тем не менее, она является слабо коэрцитивной в , в смысле следующего определения. Определение 2.4 (см. [13]). Систему дифференциальных операторовназывают слабо коэрцитивной в анизотропном пространстве Соболева Wp,l 0(Ω), если верна оценка (2.10) с некоторыми постоянными C1,C2 > 0, не зависящими от f. Оценка (2.10) для l-квазиэллиптической системы вытекает из (2.3), а при p = ∞ доказана в [19]. В случае постоянных коэффициентов она доказана в [32] при всех p ∈ [1,∞]. Для случая одного оператора с постоянными коэффициентами еще ранее де Лю и Миркил [34] показали, что при n 3 эллиптический оператор P(D) = P1(D) может быть охарактеризован при помощи априорных оценок в L∞(Rn). Именно, справедлив следующий результат. Теорема 2.4 (см. [34]). При эллиптичность дифференциального полинома P(D) порядка эквивалентна его слабой коэрцитивности в. Условие n 3 в теореме 2.4 существенно. Так, в [34] приведен принадлежащий Мальгранжу пример слабо коэрцитивного в W∞2 ,0(R2) неэллиптического оператора P(D) = (D1 + i)(D2 + i). В связи с критерием де Лю и Миркила естественно возникает вопрос о возможной характеризации эллиптических и l-квазиэллиптических операторов и систем при помощи априорных оценок типа слабой коэрцитивности в при p ∈ [1,∞]. Введем еще подкласс слабо коэрцитивных систем. Определение 2.5. Систему операторов будем называть ε-слабо коэрцитивной в анизотропном пространстве Соболева , если для каждого ε > 0 найдется константа Cε > 0, не зависящая от f и такая, что верна оценка . (2.11) Для выяснения условий слабой коэрцитивности в Lp при p ∈ [1,∞] нам понадобится теорема о мультипликаторах в L1, полученная Э.С. Белинским, М.З. Двейриным и одним из авторов в [32]. Теорема 2.5 (см. [32]). Пусть Φ ∈ C(Rn) и при некоторых постоянных δ ∈ (0,1) и Aδ > 0 удовлетворяет следующим условиям: (i) справедливо неравенство n ; (2.12) j=1 (ii) для любых мультииндексов таких, что α + β = (1,1,... ,1), существуют производные DαΦ и выполнено неравенство . (2.13) Здесь Nα ⊂ {1,...,n} -носитель мультииндекса, т. е. множество индексов j ∈ {1,...,n}, для которых αj > 0. Тогда Φ ∈ M1 и, значит, Φ ∈ Mp при p ∈ [1,∞]. Замечание 2.2. При δ = 0 условие (i) теоремы 2.5 выполняется автоматически, а условие (ii) принимает вид |, (2.14) где αj ∈ {0;1}, j ∈ {1,...,n}. В этом случае условие теоремы 2.5 превращается в условие (2.4) Михлина-Лизоркина из их теоремы 2.1, согласно которой функция Φ(·) является мультипликатором в Lp(Rn) при p ∈ (1,∞). С помощью теоремы 2.5 в работе [32] был получен следующий результат. Теорема 2.6 (см. [32]). Пусть -квазиэллиптическая система операторов вида (1.32) с постоянными коэффициентами. Тогда системаявляется ε-слабо коэрцитивной в шкале пространств. В работе [38] С.В. Кислякова, Д.В. Максимова и Д.М. Столярова теорема 2.5 применяется при доказательстве следующего утверждения. Предложение 2.1 (см. [38]). Пусть функция ϕ ∈ C∞(Rn\{0}) и l-однородна (в смысле тождества (1.31)) при l = (-l1,...,-ln), lk > 0, k ∈ {1,...,n}. Пусть также χ(·) ∈ C- срезающая функция и такая, что. Тогда функция f(x) := ϕ(x)χ(x) является мультипликатором в Lp(Rn) при p ∈ [1,∞]. В [38] по системе дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами вида (1.32) с l-однородными главными частями вида (1.33), первоначально заданными на множестве тригонометрических полиномов от n переменных, вводится полунорма графика отображения T: . (2.15) После факторизации по ядру полунормы и пополнения приходят к банаховому пространству CT (Tn), называемому пространством гладких функций, порождаемому системой на n-мерном торе Tn. Эти пространства играют важную роль в общей теории B-пространств (см. [38] и цитируемую там литературу). В частности, они фигурируют в формулировке следующего замечательного результата из [38], в доказательстве которого среди других утверждений используется также и предложение 2.1. Теорема 2.7 (см. [38, теорема 2.2]). Пусть-система операторов с постоянными коэффициентами вида (1.32), и пусть среди их l-однородных главных частейне менее двух линейно независимых. Тогда второе сопряжённое к CT(Tn) пространство CT (Tn)∗∗ не изоморфно дополняемому подпространству пространства C(K) ни для какого компакта K. Отметим, что согласно формуле (2.15) отображение T : f → {T1f,...,TNf} (после факторизации по ядру) задаёт изоморфизм пространства CT(Tn) некоторому подпространству пространства . Теорема 2.7, в частности, утверждает, что это подпространство не дополняемо. Отметим, что «изотропная» версия предложения 2.1 (при l1 = ··· = ln) другим методом ранее доказана Боманом в [33]. Этот факт использовался им для доказательства справедливости оценки , deg, в случае эллиптического оператора P(D) порядка l, т. е. для доказательства части теоремы 2.4 де Лю и Миркила. Далее, в работе [32] при помощи теоремы 2.5 было получено другое (более простое и короткое) доказательство критерия Бомана [33] для системы дифференциальных мономов в L∞(Rn). Этот результат является естественным распространением теоремы 2.3 Ильина на случай p = ∞. Для его формулировки обозначим через intk(A) множество внутренних точек A относительно k-мерного аффинного подпространства. Теорема 2.8 (см. [33]). Пусть -конечное подмножество и . (i) Если существует k-мерное аффинное подпространство Ek ⊂ Rn, k ∈ {0,...,n}, параллельное k-мерной координатной плоскости в Rn и такое, что β ∈ intk(ch(Ek ∩ A)), (2.16) то оценка (2.9) верна при p = ∞. (ii) Обратно, из справедливости оценки (2.9) при p = ∞ вытекает включение (2.16). Доказательство. Следуя [32], приведем доказательство достаточности (пункт (i)). 1. Пусть условие (2.16) выполнено при k = n, т. е. β ∈ intn(ch(A)). Положим (2.17) и mβ(0) := 0. Покажем, что mβ ∈ M1(Rn). Сначала проверим непрерывность mβ(·) при ξ = 0. Так как β - внутренняя точка ch(A), то существует ε0 > 0 такое, что - вектор с εj ∈ [0,ε0). Следовательно, β допускает различные представления вида . (2.18) Подставляя соотношения (2.18) в (2.17), получаем , (2.19) где и . (2.20) Применяя неравенство Юнга, из (2.19) видим, что . (2.21) Из оценки (2.21) со знаком «плюс» вытекает непрерывность mβ(·) в нуле. Далее, выбирая знак «минус» в представлении (2.18) и снова применяя неравенство Юнга, приходим к оценке . (2.22) Полагая ε = 0 в (2.22), видим, что mβ(·) ограничена,. Для доказательства включения mβ ∈ M1(Rn) проверим условия (i) и (ii) теоремы 2.5. Полагая ε := (0,... ,εj,...,0) c εj > 0, из (2.21) (взятого со знаком «минус») выводим, что при ξ ∈ Rn. Принимая во внимание неравенство, получаем оценку . (2.23) В случае |ξj| < 1 неравенство очевидно. Поэтому . (2.24) Перемножая неравенства (2.24) и применяя неравенство Бернулли, придем к требуемой оценке (2.25) с положительной постоянной Cε. Оценки (ii) для производных Dαmβ проверяются аналогично. Таким образом, mβ ∈ M1(Rn) для всех β ∈ intn(ch(A)). Оценка (2.9) вытекает теперь из тождества . (2.26) В самом деле, применяя к обеим частям (2.26) обратное преобразование Фурье, получаем соотношение вида (2.7), которое, в свою очередь, влечет оценку (2.9). 2. Пусть условие (2.16) выполнено для некоторого k ∈ {0,1,... ,n - 1}, и Ak := Ek ∩ A. По условию теоремы, аффинное подпространство Ek имеет вид Ek = Ek0 + γ, где Ek0 - k-мерная координатная плоскость, γ ∈ Rn и γ ⊥ Ek0. Не умаляя общности, можно считать, что Ek0 = {x ∈ Rn : xk+1 = ··· = xn = 0} и γ = (0,... ,0,γk+1,...,γn) ∈ Rn. Положим и . Если β удовлетворяет (2.16), то, где и . (2.27) Определим теперь mβ(·), заменяя A на Ak в (2.17), т. е. полагая . На предыдущем шаге было доказано, что . Следовательно, требуемая оценка вытекает из тождества , (2.28) аналогичного (2.26), но в котором Здесь δj обозначает меру Дирака, . Теорема полностью доказана. Замечание 2.3. (i) В силу включения M1 ⊂ Mp при p ∈ (1,∞) приведенное доказательство показывает, что оценка (2.9) в теореме 2.8 справедлива также при произвольном p ∈ [1,∞]. Это доказывает часть теоремы 2.3 Ильина для случая β ∈ intn(ch(A)). Доказательство теоремы 2.3 в общем случае может быть выведено из вида мультипликатора (2.17) и при β ∈ ch(A). (ii) Боман [33] доказал теорему 2.8 значительно сложнее, используя теорему 1.4 де Лю и Миркила и некоторые другие результаты гармонического анализа. В следующей теореме мы показываем, что при каждом p ∈ (1,∞] неравенство (2.11) с любым ε > 0 уже характеризует эллиптические системы в классе всех слабо коэрцитивных в систем с постоянными коэффициентами в их главных частях. Теорема 2.9 (см. [13]). Пусть p ∈ (1,∞], Ω -область в -операторы порядка l, главные части которых имеют постоянные коэффициенты, т. е. Pjl(x,D) = Pjl(D), и ajα(·) ∈ L∞(Ω) при |α| < l, j ∈ {1,... ,N}. Тогда система операторов {Pj(x,D)}1N эллиптична в точности тогда, когда она ε-слабо коэрцитивна в. Для операторов Pj(D) с постоянными коэффициентами результат остается верным и при p = 1. В частности, операторы типа Мальгранжа, т. е. операторы вида P(D) = (D1 + i)(D2 + i), являются слабо коэрцитивными, но не ε-слабо коэрцитивными в. Замечание 2.4. В этом обзоре мы не касаемся условий коэрцитивности для системы максимальных операторов. Этим вопросам, в частности, посвящены работы Ароншайна [31], Агмона [30], Шехтера [42], Смита [43], Нечаса [40] и В.П. Михайлова [22]. В работе О.В. Бесова [1] (см. также [2, гл. III, §11]) решается аналогичная задача коэрцитивности для максимальных операторов с переменными коэффициентами и l-квазиоднородной главной частью. Отметим также работу Г.Г. Казаряна [7], в которой найдены достаточные условия справедливости оценки вида (2.3) в случае N = 1 и вырожденного многочлена P1(ξ). 3. Оценки в L∞ для систем эллиптических и l-квазиэллиптических операторов В этом разделе мы распространяем теорему 2.4 де Лю и Миркила на случай одного оператора с переменными коэффициентами. Кроме того, мы приводим аналоги этой теоремы для системы с постоянными коэффициентами в изотропном и анизотропном случаях. Всюду в дальнейшем Ω = Rn. 3.1. Изотропный случай. Вначале мы приведем общие результаты о слабо коэрцитивных системах в изотропных пространствах Wp,l 0(Rn), p ∈ [1,∞], представляющие и самостоятельный интерес. Теорема 3.1 (см. [13]). Пусть -система операторов вида (1.2) порядка, коэффициенты главных частей которых постоянны. Пусть также система слабо коэрцитивна в изотропном пространстве. (i) Если коэффициенты операторов Pj(x,D) непрерывны, j ∈ {1,...,N}, то при каждом фиксированном x0 ∈ Rn множество нулей N(x0,P) := {ξ ∈ Rn : P1(x0,ξ) = ··· = PN(x0,ξ) = 0} системы полиномовкомпактно. (ii) Для любой системы , где Qj(x,D) -операторы порядка l - 2, система также слабо коэрцитивна в. (iii) Пусть ξ0 ∈ Rn \ {0} -нуль отображения , (3.1) т. е., и T2j-1(ξ) := RePjl(ξ), T2j(ξ) := ImPjl(ξ), j ∈ {1,...,N}. (3.2) Если, то ранг якобиевой матрицы отображения T := (T1,...,T2N) : Rn → R2N (3.3) в точке ξ0 не превосходит 2N - 1. (iv) Пусть дополнительно ajα(·) ∈ L∞(Rn) при |α| < l-1 и ajα(·) ∈ C1(Rn) при |α| = l-1. Если 0 ( ). ( ) = 0. В частности, при n = 2 нули полинома Pl(ξ) простые. Замечание 3.1. (i) Компактность множества нулей отображения P = (P1,...,PN) : Rn → R2N в случае слабо коэрцитивной системы с постоянными коэффициентами вытекает из алгебраического неравенства (1.6). (ii) В доказательстве утверждения (iii) используются теория степени отображения (см. [24, 25]) и другие топологические соображения. (iii) В случае постоянных коэффициентов утверждение (iv) содержательно лишь при n = 2, так как в силу теоремы 2.4 при n 3 каждый слабо коэрцитивный в оператор является эллиптическим. Теорема 3.2 (см. [13, 14]). Пусть-дифференциальный оператор порядка l, , (3.4) с постоянными коэффициентами в его главной части, Pl(x,D) = Pl(D). Пусть, кроме того, aα(·) ∈ L∞(Rn) при |α| < l - 1, а также aα(·) ∈ C1(Rn) при |α| = l - 1. Тогда оператор P(x,D) слабо коэрцитивен в изотропном пространстве Соболева в точности тогда, когда он эллиптичен. Набросок доказательства. Ввиду теоремы 2.5, достаточно доказать, что из слабой коэрцитивности оператора P(x,D) вида (3.4) в вытекает его эллиптичность. Предположим противное, т. е. что P(x,D) слабо коэрцитивен, но не эллиптичен. Тогда Pl(ξ0) = 0 при некотором ξ0 ∈ Rn \ {0}. Выполняя, если нужно, замену переменных ξ1,...,ξn, можно считать, что ξ0 = (1,0,... ,0). Тогда из тождества Эйлера (1.10) для однородных полиномов и равенства Pl(ξ0) = 0 вытекает, что (∂Pl/∂ξ1)(ξ0) = 0. Но так как, то согласно теореме 3.1 (iii) ранг матрицы Якоби отображения Pl := (Re в точке ξ0 не превосходит 1. Выполняя, если нужно, линейную замену координат ξ2,...,ξn, можно считать второй столбец этой матрицы нулевым, т. е. (∂Pl/∂ξ2)(ξ0) = 0. Таким образом, символ P(x,ξ) оператора P(x,D) не содержит мономов. Далее, в силу предложения 1.5, из оценки (2.10) при N = 1, p = ∞ и Ω = Rn вытекает «суженная» оценка Используя следствие 1.2, легко показать, что . Поэтому найдется, для которого коэффициент при мономе в полиноме Pl(ξ1,ξ2,0,...,0) отличен от нуля. Выберем наименьшее такое k и проведем прямую m через точки (l - 1;0) и (l -k;k). Обозначим через вектор, компоненты которого - длины отрезков, отсекаемых прямой m на осях координат. l 0 Рис. 1 Поскольку мономы в символе P(x,ξ1,ξ2,0,... ,0) отсутствуют, то все показатели α мономов ξα из P(x,ξ1,ξ2,0,... ,0) лежат в той же полуплоскости относительно прямой m, что и точка (0;0) (см. рис. 1). То есть «суженный» оператор P(x,D1,D2,0,... ,0) имеет вид . Это позволяет определить его главную (квазиоднородную) часть при помощи вектора l: , причем. Поскольку оценка (3.5) имеет место с оператором в левой части, то в силу (анизотропного!) следствия 1.2 справедливо равенство . (3.6) Из (3.6) вытекает, что λ(x)c(x) ≡ 1 и λ(x)b ≡ 0, что противоречит условию. Следовательно, оператор P(x,D) эллиптичен. Теорема доказана. Замечание 3.2. Отметим, что метод доказательства теоремы 2.4 де Лю и Миркила, основанный на применении теоремы 1.4 и некоторых свойств конечных борелевских мер, неприменим для операторов с переменными коэффициентами. Для доказательства теоремы 3.2 мы применили другой метод, связанный с принципиальной возможностью неоднозначного выделения главной части дифференциального оператора, что позволяет применять «анизотропный» результат (тождество (1.35)) в «изотропной» ситуации. Кроме того, приведенное выше доказательство дает другой (более простой) способ доказательства теоремы 2.4. Действительно, в случае постоянных коэффициентов условия после «сужения» оператора P на двумерное подпространство, порожденное ξ1 и ξ2, означают, что ∇Pl(1,0) = 0 (P - соответствующее «сужение» оператора P). Последнее условие сразу же ведет к противоречию с теоремой 3.1, (iv). Перейдем теперь к случаю системыв изотропном пространстве. Не нарушая общности, можно считать, что главные символы линейно независимы. Теорема 3.3 (см. [13]). Пусть-линейно независимая система операторов с постоянными коэффициентами порядка l, удовлетворяющая условиям: + 1; (ii) главные символы операторов , суженные на любое двумерное подпространство пространства Rn, остаются линейно независимыми. Тогда система слабо коэрцитивна в изотропном пространстве Соболева в точности тогда, когда она эллиптична. Примеры 3.1. (1) Условие (ii) теоремы 3.3 существенно для ее справедливости. Так, для системы выполнено условие (i) (n = 2N + 1 = 5), но сужения главных символов P12(ξ) = ξ12 + ξ22 + ξ32 и P22(ξ) = ξ4ξ5 полиномов {Pj(ξ)}12 на двумерное подпространство, порожденное ξ1 и ξ2, линейно зависимы (поскольку последнее из них - нулевое). Тогда условие (ii) нарушено. При этом система {Pj(D)}21 слабо коэрцитивна в W∞2 ,0(R5), но не эллиптична. (2) В то же время условие (ii) теоремы 3.3 не является необходимым. Так, система слабо коэрцитивна в , хотя сужения полиномов {Pj(ξ)}21 на подпространство, порожденное ξ1 и ξ2, линейно зависимы. (3) Мы не располагаем примерами слабо коэрцитивных в , но не эллиптических систем операторов при N > 1, для которых нарушено условие (i), но выполнено (ii). Однако системы, для которых нарушены оба условия (i) и (ii) теоремы 3.3, строятся легко. Например, при n = 2N для системы Pj(ξ) := (ξ2j-1 + i)(ξ2j + i), j ∈ {1,...,N} нарушены оба условия (i) и (ii) теоремы 3.3. Она также слабо коэрцитивна в W∞2 ,0(Rn), но не эллиптична. 3.2. Анизотропный случай. Пусть l = (l1,...,ln) ∈ Nn. Подпространство E ⊂ Rn назовем координатным, если оно имеет вид E = {x = (x1,...,xn) : ξi1 = ··· = ξik = 0}, где i1,...,ik ∈ {1,... ,n}. Обозначим через полинома P(ξ) на координатное подпространство E, а через - соответствующий оператор. Не ограничивая общности, расположим числа l1,...,ln в порядке убывания (нестрогого): l1 = ··· = ln1 > ln1+1 = ··· = ln2 > ··· > lnm-1+1 = ··· = ln. Также положим n0 := 0, nm := n. Тогда пространство Rn разлагается в прямую сумму , (3.7) в которой- «однородные» координатные подпространства, т. е. Ek, k ∈ {1,... ,m}, порождено переменными ξnk-1+1,...,ξnk, соответствующими k-й группе равных между собой компонент вектора l = (l1,...,ln). Для каждого k ∈ {1,... ,m} и всех j ∈ {1,...,N} обозначим черезсужение полинома Pj(ξ) на подпространство Ek. При этом системаявляется однородной степени lnk. Отметим также, что для сужений на «однородные» подпространства Ek, k ∈ {1,... ,m} остается справедливым и утверждение (ii) «однородной» теоремы 1.5. Теорема 3.4 (см. [11]). Пусть -«однородные» подпространства из (3.7). (i) Если системаявляется l-квазиэллиптической, то «суженная» система -эллиптическая при каждом k ∈ {1,...,m}. (3.8) (ii) Обратно, если система слабо коэрцитивна в анизотропном пространстве Соболева и выполнено условие (3.8), то она l-квазиэллиптична. Следствие 3.1 (см. [11]). Пусть l1 > l2 > ··· > ln и выполнено условие при . Тогда система слабо коэрцитивна в анизотропном пространстве Соболева в точности тогда, когда она l-квазиэллиптична. Следующие леммы иногда упрощают проверку условия (3.8). Лемма 3.1 (см. [11]). Пусть E ⊂ Rn -некоторое координатное подпространство. Если система слабо коэрцитивна в, то «суженная» система остается слабо коэрцитивной в-соответствующее «сужение» вектора l. Лемма 3.2 (см. [11]). Пусть и оператор (3.9) слабо коэрцитивен в. Тогда: , т. е. = 0; (ii) если к тому же l2 не является делителем l1, то, т. е.. Замечание 3.3. Подчеркнем, что условия леммы 3.2 являются необходимыми. Так, при l1 = l2 или l2 = 1 заключение леммы неверно. В первом случае контрпример дает оператор P(D) = (D1 + i)(D2 + i), а во втором - оператор. Леммы 3.1, 3.2 и теорема 3.4 играют существенную роль в доказательстве следующей теоремы, являющейся анизотропным аналогом теоремы 2.4 де Лю и Миркила. Теорема 3.5 (см. [11, 12]). Пусть - оператор с постоянными коэффициентами вида . (3.10) Пусть также выполнено хотя бы одно из следующих двух условий: (i) ln-2 = ln-1 = ln; (ii) ln не является делителем хотя бы одного из lk при k ∈ {1,...,n - 1}. Тогда оператор P(D) слабо коэрцитивен в анизотропном пространстве в точности тогда, когда он l-квазиэллиптичен. Таким образом, теорема 3.5 верна для п. в. наборов l = (l1,...,ln) ∈ Nn. Поэтому слабая коэрцитивность оператора (3.10) в не влечет его l-квазиэллиптичность в исключительных случаях. В разделе 5 будет показано, что условие (ii) теоремы является существенным (см. теорему 5.4). Дополним теорему 3.5, рассмотрев случай n = 2. Следствие 3.2 (см. [11]). Пусть -оператор вида (3.10). Если l2 не является делителем l1, то слабая коэрцитивность оператора эквивалентна его l-квазиэллиптичности. Замечание 3.4. При N > 1, в отличие от случая N = 1, условие (3.8) не вытекает из слабой коэрцитивности системы даже в изотропном случае. Так, система (3.11) слабо коэрцитивна в изотропном пространстве, но не эллиптична. Отметим, что слабая коэрцитивность системы (3.11) в вытекает из ее l-квазиэллиптичности при l = (k+1,k). Менее тривиальный пример дает система , которая не l-квазиэллиптична при l = (5,3,3), но слабо коэрцитивна в. 4. Условия существования l-квазиэллиптических и слабо коэрцитивных систем при заданном векторе l = (l1,...,ln) 4.1. Существование l-квазиэллиптических систем. Согласно результату Лопатинского [16] (см. также [15, гл. II, §1]), при n 3 эллиптический оператор P(D) имеет четный порядок, а также является собственно эллиптическим. В [12, 13] нами получено следующее полное описание тех векторов l, для которых существуют l-квазиэллиптические системы . Теорема 4.1 . Для существования lквазиэллиптических системнеобходимо и достаточно, чтобы среди чисел l1,...,ln было не более 2N - 1 нечетных. Набросок доказательства. Ограничимся случаем операторов с постоянными коэффициентами. (i) Необходимость. Если n > 2N + 1, то сузим полиномы -мерное подпространство. Поэтому можно считать, что n = 2N + 1. Пусть вначале все нечетны. Обозначим и рассмотрим отображение T := (T1,...,T2N) : S2N → R2N, в котором T2j-1(ξ) := RePjl(ξ), T2j(ξ) := ImPjl(ξ), j ∈ {1,... ,N}. (4.1) Оно нечетно, T(-ξ) = -T(ξ), и согласно теореме Борсука-Улама [25] выполнено T(ξ0) = 0 в некоторой точке ξ0 ∈ S2N. Но это противоречит l-квазиэллиптичности системы. (ii) Пусть среди чисел lj есть ровно одно четное. Например, нечетны. Тогда из соотношения |α : l| = 1 вытекает . После замены в символах Pj(ξ) приходим к l-квазиэллиптической системе , , в которой все компоненты вектора l нечетны. Противоречие с (i). (iii) Достаточность. Пусть n = 2N+1, l = (l1,...,ln), где l1,...,ln-2 нечетны, а ln-1 и ln четны. Тогда система - -- - является l-квазиэллиптической, причем ровно два числа из четны. Замечание 4.1. Условие теоремы 4.1 является точным. Например, система - . (4.2) является l-квазиэллиптической при n = 2N и любом l = (l1,...,l2N). Следствие 4.1 (см. [13]). Если-квазиэллиптические операторы существуют в точности тогда, когда среди чисел l1,...,ln не более одного нечетного. В изотропном случае теорема 4.1 обобщает результат Лопатинского, принимая следующий вид. Следствие 4.2 (см. [13]). Пусть l1 = ··· -эллиптическая система порядка l. Если n 2N + 1, то l четно. 4.2. Существование слабо коэрцитивных систем. Перейдем теперь к условиям существования слабо коэрцитивных в систем. В анизотропном случае справедлив более общий, чем лемма 3.2, результат. Предложение 4.1 (см. [12]). Пусть ··· = ln и оператор P(D) вида (3.9) слабо коэрцитивен в W∞l ,0(Rn). Тогда его l-главный символ Pl(ξ) может обращаться в нуль лишь в точках k-мерного координатного подпространства {ξ ∈ Rn : ξ1 = ξ2 = ··· = ξn-k = 0}. Следующая теорема распространяет «половину» теоремы 4.1 на случай слабо коэрцитивных систем. Теорема 4.2 (см. [12]). Пусть система вида (4.3) слабо коэрцитивна в, а отображение T := (T1,...,T2N) : S2N → R2N, (4.4) определяются равенствами (4.1), имеет конечное число нулей на единичной сфере Sn-1. Тогда среди чисел l1,...,ln не более 2N нечетных. Следствие 4.3 (см. [12]). Пусть n 3 и оператор P(D) вида (3.9) слабо коэрцитивен в -главный символ Pl(ξ) имеет конечное число нулей на сфере Sn-1. Тогда среди чисел l1,...,ln не более двух нечетных. Комбинируя предложение 4.1 с теоремой 4.2, получим Следствие 4.4 (см. [12]). Пусть n 3 и среди чисел l1,...,ln не менее трех нечетных. Тогда не существует слабо коэрцитивных операторов в W∞l ,0(Rn). Из теоремы 4.2 вытекает следующий «изотропный» результат. Предложение 4.2 (см. [12]). Пусть l1 = ··· = и система вида (4.3) слабо коэрцитивна в Wp,l 0(Rn) при p ∈ [1,∞]. Если отображение (4.4) имеет конечное число нулей на сфере Sn-1, то l четно. 5. Слабо коэрцитивные неэллиптические и неквазиэллиптические системы В связи с ограничениями в теоремах 3.3, 3.4 и 3.5 на систему операторов перейдем теперь к вопросу об условиях существования слабо коэрцитивных неэллиптических (неквазиэллиптических) систем в шкале изотропных (анизотропных) пространств Соболева . 5.1. Изотропный случай. При n = 2 критерий де Лю и Миркила (см. теорему 2.4) не имеет места. Так, Мальгранж впервые указал, что неэллиптический оператор P(D) = (D1 + i)(D2 + i) является слабо коэрцитивным вВ следующей теореме дается полная характеристика операторов, слабо коэрцитивных в изо-W∞2 ,0(R2) (см. [34]). тропном пространстве Соболева и алгебраический критерий слабой коэрцитивности. Теорема 5.1 (см. [12, 13]). (i) Произвольный слабо коэрцитивный оператор порядка в изотропном пространстве имеет вид , (5.1) где P(D) -эллиптический оператор порядка l-m, Q(D) -произвольный оператор порядка l-2, αk ∈ C\R, (λk,μk) -попарно неколлинеарные векторы в (ii) Обратно, всякий оператор R(D) вида (5.1) слабо коэрцитивен в изотропном пространстве при p ∈ [1,∞]. Следствие 5.1. Произведение эллиптического оператора порядка l от двух переменных на слабо коэрцитивный в оператор порядка m является слабо коэрцитивным в оператором. Теорема 5.2 (см. [12, 13]). Пусть P(D), D = (D1,D2) -оператор порядка l, а все коэффициенты и корни полинома Pl(ξ) вещественны. Тогда оператор P(D) слабо коэрцитивен в изотропном пространстве в точности тогда, когда полиномы Pl(ξ) и ImPl-1(ξ) не имеют общих нетривиальных вещественных нулей. Здесь обозначает однородную часть полинома P(ξ) степени l - 1. Замечание 5.1. (i) При помощи результата R[f,g] полиномов f и g условие теоремы 5.2 записывается в виде . В таком виде проверка слабой коэрцитивности не требует знания нулей полинома Pl(ξ). (ii) Теорема 5.1 вместе с теоремой 3.1 показывают, что любой строго гиперболический операторпорядка l от двух переменных после подходящего возмущения его оператором порядка l - 1 становится слабо коэрцитивным в. Возмущениями порядка l-2 добиться этого, вообще говоря, невозможно. (iii) Операторы (5.1) остаются слабо коэрцитивными в в случае любой (в том числе ограниченной) области Ω ⊂ R2, но не описывают всей совокупности слабо коэрцитивных операторов в. (iv) Теорема 5.1 также позволяет дополнить теорему 3.1, (iii) для случая N = 1 и n = 2N = 2. Так, используя представление (5.1), легко показать, что для неэллиптического оператора P(D), слабо коэрцитивного в, ранг якобиевой матрицы отображения в точке ξ0 ∈ R2 \ {0}, в которой Pl(ξ0) = 0, равен единице. При этом условие нарушается. В следующей теореме приводятся широкие классы слабо коэрцитивных в, но не эллиптических систем. Теорема 5.3 (см. [11-13]). Пусть {Pj(D)} -эллиптическая система операторов с постоянными коэффициентами порядка l, Rpq(D) -операторы вида Rpq(D) := (Dp + i)(Dq + i), 1 p < q n. (5.2) Тогда система операторов Sjpq(D) := Pj(D)Rpq(D), j ∈ {1,... ,N}, p, q ∈ {1,...,n}, p > q (5.3) слабо коэрцитивна в изотропном пространстве, но не эллиптична. В доказательстве теоремы 5.3 используется теорема 2.5 о мультипликаторах в шкале Lp, p ∈ [1,∞]. В частности, при N = 1 используются мультипликаторы вида , где P(ξ) - эллиптический полином степени - гладкая функция, такая, что supp(1 - χ) ⊂ BR, где BR -шар, содержащий нули полинома P(ξ). Конструкция мультипликаторов для случая системы операторов (N > 1) более сложная и здесь опускается (см. детали в [13]). При N = 1 из теоремы 5.3 получаем следующее утверждение. Следствие 5.2 (см. [11-13]). Пусть P(D) -эллиптический оператор порядка l, Rpq(D) - операторы вида (5.2). Тогда система {P(D)Rpq(D)}p>q слабо коэрцитивна в изотропном пространстве, но не эллиптична. Теорема 5.2 точна при p = ∞. Справедливо следующее утверждение. Предложение 5.1 (см. [11-13]). Система {P(D)Rpq(D)}p>q, где P(D) -эллиптический оператор порядка l, а Rpq(D) -операторы вида (5.2), перестает быть слабо коэрцитивной в изотропном пространстве после удаления из нее любого оператора. 5.2. Анизотропный случай. В следующей теореме предъявляются широкие классы слабо коэрцитивных операторов в шкале анизотропных пространств , не являющихся l-квазиэллиптическими. Это, в частности, показывает точность условий теоремы 3.5 при п. в. l = (l1,...,ln) ∈ Nn. Теорема 5.4 (см. [12]). Пусть, а P(D) - l-квазиэллиптический оператор с постоянными коэффициентами вида (3.4). Пусть также выполнено одно из следующих двух условий: (i) все коэффициенты оператора P(D) вещественны; (ii) все коэффициенты оператора P(D), кроме коэффициента при Dnk, вещественны. Тогда оператор слабо коэрцитивен в шкале анизотропных пространств Соболева, где l+ := (2(k + 1)m1,...,2(k + 1)mn-1,k +1), при b ∈ C \ R в первом случае и b ∈ R \ {0} во втором. При этом оператор R(D) не является l+-квазиэллиптическим. В доказательстве теоремы 5.4 используется теорема 2.5, с помощью которой доказано, что функции вида , |α : l+| < 1, являются мультипликаторами в Lp(Rn), p ∈ [1,∞]. Здесь l и l+ - векторы в условии теоремы 5.4, P(ξ) - l-квазиэллиптический полином с вещественными коэффициентами, χ(ξ) - гладкая функция, удовлетворяющая условию supp(1 - χ) ⊂ Br, а Br - шар, содержащий нули полинома P(ξ). Замечание 5.2. Из теоремы 5.4 при l := (2,4,... ,2n) вытекает, что оператор слабо коэрцитивен в, но не является l-квазиэллиптическим. 6. Оценки для тензорного произведения эллиптических операторов в L∞ В этом разделе рассмотрим случай, когда система состоит из одного дифференциального оператора P(D) с постоянными коэффициентами. Л. Хермандер [27] полностью описал пространство в случае p = 2 и ограниченной области Ω для произвольного оператора P(D) (см. теорему 1.1). Отправляясь от этого результата, в [27, теорема 2.5] показано, что для тензорного произведения дифференциальных полиномов P(D) := P1(D) ⊗ P2(D) := P1(D1,...,Dp1)P2(Dp1+1,...,Dn), p1 ∈ [1,n), (6.1) т. е. произведения операторов, действующих по различным группам переменных, пространство совпадает с линейной оболочкой произведений Q1Q2 операторов, т. е. оно изоморфно тензорному произведению пространств . В связи с упомянутым результатом Хермандера возникает задача об описании пространства L0∞,Rn(P) для тензорного произведенияp = ∞ и Ω = Rn. Как будет видно далее, результат существенно зависит отP = P1 ⊗ P2 двух эллиптических дифференциальных полиномов при наличия младших членов в записи операторов Pj, j = 1,2. Назовем полный символ P(ξ) оператора P(D) невырожденным, если при всех ξ ∈ Rn. Теорема 6.1 (см. [13]). Пусть P(D) = P1(D) ⊗ P2(D), где P1(D) и P2(D) -эллиптические операторы, символы P1(ξ) и P2(ξ) которых зависят от n1 и n2 переменных соответственно, n1 + n2 = n. (i) Если полные символы операторов P1(D) и P2(D) невырождены, т. е. и . Другими словами, справедлива эквивалентность . (ii) Если символы операторов P1(D) и P2(D) однородны (т. е. не содержат младших членов), при каждом , т. е. оценка (1.26) невозможна при Q(D) = Dα, Результат теоремы 6.1 был впоследствии усилен одним из авторов. Теорема 6.2 (см. [9]). Пусть P(D) -дифференциальный оператор вида (6.1), где P1(D) и P2(D) -однородные эллиптические операторы. Тогда включение Q ∈ L0∞,Rn(P) эквивалентно равенству Q(D) = c1P(D) + c2 с некоторыми постоянными c1,c2 ∈ C. Отдельный интерес представляет случай оператора P(D) от двух переменных, являющегося тензорным произведением двух обыкновенных дифференциальных операторов P1(D1) и P2(D2). В работе [10] было получено описание пространства для случая, когда один из сомножителей имеет специальный вид (все его нули - вещественные и простые), а второй произволен. Теорема 6.3 (см. [10]). Пусть P(D) = P1(D1) ⊗ P2(D2) -дифференциальный оператор, такой, что P1(ξ1) -полином степени l, все нули которого вещественные и простые, а P2(ξ2) - произвольный полином степени m. Тогда включение эквивалентно равенству . (6.2) Здесь p22(ξ2) -максимальный делитель P2(ξ2), не имеющий вещественных нулей, q(ξ2) -произвольный полином степени s := degp22, а r(ξ1) -произвольный полином степени l - 1, если s = m, и произвольная постоянная, если s < m.

Об авторах

Д. В. Лиманский

Донецкий государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: d.limanskiy.dongu@mail.ru
Донецк, Россия

М. М. Маламуд

Российский университет дружбы народов; Санкт-Петербургский государственный университет

Email: malamud3m@gmail.com
Москва, Россия; Санкт-Петербург, Россия

Список литературы