Коэрцитивные оценки для многослойно-вырождающихся дифференциальных операторов

Полный текст

Введение Будем пользоваться следующими стандартными обозначениями: En и Rn - n-мерные евклидовы пространства точек (векторов) x = (x1,...,xn) и ξ = (ξ1,...,ξn), соответственно, Rn,+ := . Через N мы обозначим множество всех натуральных чисел, N0 = N ∪ {0}, а через - множество всех n-мерных мультииндексов, т. е. множество всех точек с целыми неотрицательными координатами {α = (α1,...,αn) : αi ∈ N0 (i = 1,...,n)}. Далее, для вектора (соответственно, (соответственно,. введём обозначения , а для или Dj = ∂/∂ξj (j = 1,...n). Многие вопросы теории общих линейных дифференциальных уравнений в частных производных (и с постоянными, и с переменными коэффициентами) сводятся к сравнению в том или ином © Г.Г. Казарян, 2024 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 99 смысле соответствующих дифференциальных операторов. В свою очередь, сравнение дифференциальных операторов чаще всего приводится к сравнению их символов (характеристических многочленов), к изучению алгебраических свойств этих символов, в том числе к нахождению алгебраических условий, при которых символ данного оператора бесконечно возрастает при бесконечном возрастании его аргументов, к выяснению вопроса о возможности добавления «младших членов» к символу данного оператора (следовательно, к данному оператору) без нарушения характера этого оператора и т. д. Следующий пример непосредственно выражает эту связь. Пусть P(D) и Q(D) -линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, а P(ξ) и Q(ξ) - отвечающие им характеристические многочлены. Применение L2-теории, преобразования Фурье и равенства Парсеваля непосредственно приводит к тому, что вопрос о существовании постоянной c1 > 0 такой, что для всех функций имеет место неравенство , (0.1) сводится к существованию постоянной c2 > 0 такой, что . (0.2) На наш взгляд, одной из ярких иллюстраций сведения задач теории дифференциальных уравнений к задачам изучения свойств алгебраических многочленов, в частности, к их сравнению, является теория Л. Хёрмандера (см. [22]) об эквивалентных условиях гипоэллиптичности. С одной стороны, это оператор P(D), для которого все обобщённые решения уравнения P(D)u = 0 являются бесконечно дифференцируемыми функциями, с другой стороны, это оператор, символ P(ξ) которого удовлетворяет условию при |ξ| → ∞ для любого мультииндекса . Отметим, что из этого условия, в частности, следует, что |P(ξ)| → ∞ при |ξ| → ∞. При этом оказывается, что многие свойства решений гипоэллиптических уравнений, в том числе их бесконечная гладкость, во многом объясняются именно этим свойством их символов. Отметим ещё, что по этой теории неравенство типа (0.1) для всех функций, где Ω- ограниченная область из En, сводится к неравенству (1.2) уже для функций Q˜ и P˜ Хёрмандера, образованных по символам Q(ξ) и P(ξ). Другой не менее типичный пример такого сведения - это понятие N-гиперболичности по Петровскому-Гордингу, где N ∈ En (см. [22, теорема 12.3.1]). С одной стороны, это такой оператор P(D), для которого уравнение P(D)u = f с suppf ⊂ H имеет одно и только одно решение u ∈ C∞(En) с suppu ⊂ H, где H := {x ∈ En,(x,N) > 0}; с другой стороны, это оператор, символ P(ξ) которого удовлетворяет условию: существует число τ0 такое, что и τ < τ0. Если в одномерном случае модуль любого многочлена, отличного от постоянной, бесконечно возрастает при бесконечном возрастании модуля его аргумента, то многочлены многих переменных (каковыми являются, например, символы гиперболических по Петровскому-Гордингу операторов), вообще говоря, не обладают этим свойством. В связи с этим естественно ввести следующее понятие: через In мы обозначим множество многочленов (вообще говоря, с комплексными коэффициентами) P(ξ) = P(ξ1,...,ξn) таких, что |P(ξ)| → ∞ при |ξ| → ∞, а через I+n обозначим множество многочленов с вещественными коэффициентами таких, что P(ξ) → +∞ при |ξ| → ∞. Так как эти понятия можно ввести для любой функции F(ξ) = F(ξ1,...,ξn) и, в частности, для функции |P(ξ)|, то далее мы можем пользоваться также и обозначением типа |P| ∈ I+n . При этом очевидно, что условие P ∈ In эквивалентно каждому из условий |P| ∈ I+n и |P| ∈ In. Имея в виду то, что условие P ∈ In является необходимым для гипоэллиптичности оператора P(D), а также вследствие того, что оно достаточно часто встречается в других областях математического анализа и при этом является трудно проверяемым, естественно задаться вопросом о нахождении условий, при которых многочлен многих вещественных переменных обладает этим свойством, т. е. принадлежит In. На наш взгляд, наиболее значимый результат в этом направлении принадлежит В.П. Михайлову (см. [21]). Аналогичный результат в других терминах получен в работе [2] (см. также [3]). Некоторые частные случаи получены и применены к дифференциальным уравнениям в работах [3-5, 25-27, 30] и др., в работе [4] изучены асимптотические свойства многочленов и алгебраических функций и т. д. Однако все эти работы относились к так называемым невырожденным (регулярным) многочленам. Вырожденные (нерегулярные) многочлены изучены в работах [7-19]. Отметим, что в многомерном случае в поведении многочлена на бесконечности решающую роль могут играть «младшие члены». При этом, если к эллиптическому оператору можно добавлять любой младший член, не нарушая его эллиптичность (при этом сохраняя и силу, и мощность оператора), то к гиперболическим или гипоэллиптическим операторам можно добавлять лишь такие младшие члены, которые удовлетворяют определенным ограничениям. Далее, многие вопросы разных областей дифференциальных уравнений естественным образом сводятся к требованиям: 1) описать множество операторов (многочленов) {Q} (в частности, мономов {ξα}), которые имеют в определенном смысле меньшую мощность или силу, чем данный оператор P(D) (многочлен P(ξ)) (точные определения см. ниже); 2) выяснить, как влияет добавление таких (в частности, младших) членов на силу, мощность, гипоэллиптичность по Хёрмандеру, гиперболичность по Петровскому-Гордингу или почти гипоэллиптичность данного оператора (многочлена)? Для изучения этих и других (возникших при изложении дальнейшего текста) вопросов, введём некоторые обозначения и понятия. Определение 0.1 (см. [28] или [21]). Линейную оболочку в Rn множества мультииндексов A := {α1,α2,...,αN} назовём многогранником Ньютона этого множества и обозначим через . Поверхность многогранника обозначим через ∂ , а множество вершин через 0. Определение 0.2. Многогранник называется полным [21], если имеет вершину в начале координат и отличную от начала координат вершину на каждой оси координат. Обозначим k-мерные грани многогранника через . Грани многогранника Ньютона будем по определению считать замкнутыми множествами. Единичный вектор λ называется внешней нормалью -нормалью) грани Γ многогранника , если: 1) (λ,μ) = (λ,ν) для всех μ и ν из Γ, 2) (λ,μ) > (λ,ν) для всех точек. Другими словами, -нормаль k-мерной грани Γ многогранника 1) - это единичная внешняя нормаль гиперплоскости, опорной к многограннику , содержащей грань Γ и не содержащей какую-либо грань Γ размерности больше k. Таким образом данный вектор λ может служить внешней нормалью одной и только одной грани многогранника . Обозначим через Λki множество всех внешних нормалей грани ; . Отметим, что либо множество Λki состоит из одного вектора (когда k = n - 1), либо является открытым множеством (когда . Из определения -нормалей следует, что для каждого1) существует такое, что (λ,β) = d для всех k и (λ,β) < d для любого β ∈ . Отметим, что -нормаль (n - 1)-мерной (и только (n - 1)-мерной) грани многогранника определяется однозначно. Определение 0.3 (см. [21] или [12]). Грань полного многогранника называется главной, если среди её внешних нормалей существует нормаль, хотя бы одна координата которой положительна. Пусть - полный многогранник в Rn,+ с вершинами - произвольная его грань, а Λki - множество всех -нормалей этой грани. Вместе с каждым n-мерным выпуклым многогранником рассмотрим n-мерную единичную сферу концов -нормалей этого многогранника, или, что то же самое, сферическое отображение поверхности многогранника на единичную сферу Λ. При этом отображении грани соответствует открытое связное множество Λki , лежащее на Λ и имеющее размерность n - k - 1. Граням размерности (n - 1) соответствуют точки на Λ. В дальнейших обозначениях мы не будем различать множество -нормалей грани и множество концов этих нормалей, лежащих на Λ, обозначая их через Λki . По контексту будет ясно, о каком множестве идет речь. Пусть при n 2 - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, а - отвечающий ему символ (характеристический многочлен), где сумма распространяется по конечному набору мультииндексов . Многогранник Ньютона множества (P) ∪ {0} назовём многогранником Ньютона оператора P(D) (многочлена P(ξ)) и обозначим через. Если - многогранник Ньютона многочлена n-1) -некоторая его (главная) грань, то многочлен назовём подмногочленом многочлена P, отвечающим грани многогранника. Определение 0.4. Многочлен R(ξ) назовём обобщённо-однородным (λ-однородным), если для вектора λ ∈ Rn и числа d = d(R,λ) R(tλ ξ) = R(tλ1 ξ1,...,tλn ξn) = td R(ξ) ∀t > 0, ξ ∈ Rn. Докажем, что любой подмногочлен многочлена является обобщённо-однородным. Лемма 0.1 (см. [21]). Подмногочленмногочлена P является λ-однородным для любого λ ∈ Λml , т. е. существует (однозначно определяемое) число dl,m,λ такое, что . Доказательство. Доказательство приведём для случая m = n-1, когда внешняя нормаль грани определяется однозначно. Случай m < n - 1 рассматривается аналогично. Пусть (λ,α) = dl,m,λ - уравнение (n - 1)-мерной гиперплоскости, в которой лежит грань , тогда (λ,α) = dl,m,λ для всех мультииндексов, для которых в подмногочлене Pl,m(ξ). Заменим вектор ξ на вектор tλξ при произвольном t > 0, получим , что доказывает лемму. Следствие 0.1. Для любого (единичного) вектора λ многочлен P можно представить в виде суммы λ-однородных многочленов , (0.3) где M = M(P) = M(P,λ); при этом, если λ > 0, то. Определение 0.5. Пусть -многогранник Ньютона многочлена P, - некоторая грань этого многогранника. Граньназывается невырожденной (см. [21]), если . В противном случае грань называется вырожденной. Многочлен P называется невырожденным, если невырождены все главные грани его многогранника Ньютона. Определение 0.6. Если - некоторая главная вырожденная грань многогранника Ньютона Λml , и многочлен P представлен по вектору λ в виде (0.3), где P0(ξ) = Pl,m(ξ). 1) Обозначим Σ(P0,λ) := {ξ ∈ Rn,0,|ξ,λ| = 1,P0(ξ) = 0}. 2) Пусть η ∈ Σ(P0,λ). Многочлен P назовём r = r(η)-слойно вырожденным относительно точки η, если для некоторого r = r(η) (0 < r < Mm); назовём k-слойно вырожденным, где k = k(P) := max r(η). Условимся η∈Σ(P0) ради краткости далее такой многочлен называть просто k-слойным. Отметим, что двухслойность многочлена определяется просто: для всех точек η ∈ Σ(P0,λ). Цель настоящей заметки - для данного линейного дифференциального оператора P(D) и данного числа p > 1 описать множество мультииндексов M = M(P,p) таких, что для каждого ν ∈ M с некоторой постоянной c = c(ν,P) > 0 имеет место (коэрцитивное) неравенство . (0.4) Как уже было сказано выше, при p = 2 оценка (0.4) эквивалентна оценке (0.5) с некоторой постоянной Ниже множество мультииндексов, для которых справедливо неравенство (0.5), т. е. множество M(P,2), мы обозначим просто через M. В первом разделе статьи для данного класса двухслойно-вырождающихся многочленов {P} мы описываем множество M, во втором разделе сравниваем мощности двухслойно-вырождающихся многочленов, в третьем разделе даём оценки мономов через многослойно-вырождающийся многочлен, в четвертом разделе, пользуясь теорией мультипликаторов Фурье, мы получаем коэрцитивные оценки производных функций через многослойно-вырождающийся дифференциальный оператор, применённый к этим функциям. Изучение оценок в Lp производных функций через данный дифференциальный оператор (проблема коэрцитивности) началось фундаментальной работой Ароншайна [25]. Затем Агмон [24] и независимо от него Хёрмандер [23], продолжая работу Ароншайна, решили общую проблему коэрцитивности для определенных классов операторов и для областей Ω с достаточно гладкой границей. Шехтер [35] получил аналогичные оценки для систем дифференциальных операторов. В более поздних работах Смита [36] и Нечаса [32] получены оценки производных через данные однородные дифференциальные операторы и для систем таких операторов В работе [1] О.В. Бесова решается аналогичная задача для обобщённо-однородных дифференциальных многочленов с более слабыми ограничениями на область Ω. В.П. Ильиным [6] получены необходимые и достаточные условия для справедливости оценок производных функций через заданный набор производных функций. Нами [7] аналогичные вопросы рассмотрены в более общей постановке, когда дифференциальные многочлены могут не быть однородными. Во всех перечисленных (и некоторых не перечисленных) работах изучаемые дифференциальные операторы (многочлены) были в определенном смысле невырожденные. Здесь мы рассматриваем случай, когда дифференциальный оператор (многочлен), через который должны оцениваться другие операторы (многочлены и, в частности, мономы) может быть вырожденным. В настоящей работе для данного многочлена P(ξ) = P(ξ1,...,ξn) мы выделяем множество мономов {ξν}, для которых выполняется неравенство (0.5), или, что то же самое, описываем множество M = M(P,2). Для этого сначала мы введём класс многочленов In как множество многочленов n (n 2) переменных с постоянными вещественными коэффициентами, модуль которых бесконечно возрастает при бесконечном возрастании модуля аргумента. Прежде чем перейти к решению поставленных задач, отметим несколько фактов, которые оправдывают такой выбор и позволят нам упростить их постановку: 1) модуль символа P(ξ) гипоэллиптического оператора P(D) бесконечно возрастает при бесконечном возрастании модуля аргумента |ξ|; 2) очевидно, что многочлены P(ξ) и P(ξ) + C одновременно принадлежат или одновременно не принадлежат In для любой постоянной C. Поэтому, не умаляя общности, достаточно считать, что множество In состоит из положительных многочленов {P(ξ) = P(ξ1,...,ξn)} с вещественными коэффициентами таких, что P(ξ) → +∞ при |ξ| → ∞. А тот факт, что мы рассматриваем только положительные многочлены с вещественными коэффициентами, оправдывается следующим предложением. Лемма 0.2 (см. [21] или [7]). Пусть-полный n-мерный многогранник Ньютона многочлена P(ξ) (вообще говоря, с комплексными коэффициентами), а M- многогранник Ньютона многочлена |P|2 = P P.¯ 1) Многогранник M(P) подобен многограннику с центром подобия в начале координат и коэффициентом подобия 2. 2) Пусть при этом соответствующие грани имеют одинаковые индексы i,k. Если и . Отсюда, в частности, следует, что [|P|2]i,k(ξ) ≡ [|Pi,k(ξ)|]2 (i = 1,...,Mk; k = 0,1,... ,n - 1). 3) Вырожденным соответствуют вырожденные (невырожденные) грани M(P) и наоборот. 4) P ∈ In тогда и только тогда, когда . 5) Если для всех точек справедлива оценка (0.5), то оценка (0.5) справедлива для точек с заменой P на |P|2. 6) Для произвольных многочленов P и Q (вообще говоря, с комплексными коэффициентами) соотношение Q < P выполняется тогда и только тогда, когда |Q|2 < |P|2. 1. Оценки мономов через данный многочлен. Двухслойный случай В.П. Михайлов в [21] ввёл класс невырожденных многочленов {P } с полными многогранниками Ньютона, для которых имеет место оптимальный результат, т. е.. Аналогичный результат в других терминах получен С.Г. Гиндикиным и Л.Р. Волевичем в [3]. Классы дифференциальных операторов (многочленов), изученных этими авторами, достаточно отличаются от класса эллиптических операторов, однако они близки им в том смысле, что состоят из невырожденных многочленов. В постановке вопроса настоящей работы случай двухслойновырожденных операторов (многочленов) впервые изучен в работе [7], в настоящей работе мы рассматриваем многослойно-вырожденный случай. Сначала докажем некоторые свойства многочленов класса In, которыми будем пользоваться. Лемма 1.1. Пусть -многогранник Ньютона многочлена 1,2,... ,Mk, k = 0,1,...,n - 1) -его главные грани. Тогда: a) многогранник является полным; b) для всех ξ ∈ Rn (i = 1,2,... ,Mk, k = 0,1,... ,n - 1); c) пусть параи точка η ∈ Σ(P0,λ) = Σ(Pi,k) фиксированы, и по некоторому вектору λ ∈ Λki (P) многочлен P представлен в виде . Тогда Pl(η) > 0. Доказательство. Пункт a) очевиден, потому что если многогранник не является полным, то не имеет вершину, например, на первой координатной оси, тогда на последовательности {ξs = (s,0,...,0)} (s = 1,2,... .) P(ξs) = const. Для доказательства обоих пунктов b) и c), полагая, что P0(η) := Pi,k(η) < 0 (соответственно, Pl(η) < 0) в некоторой точке η ∈ Σ(Pi,k), мы получим, что на последовательности {ξs := sλ η}∞s=1 P(ξs) → -∞ при s → ∞, что противоречит неотрицательности многочлена P. В добавление этой лемме мы докажем один простой результат, которым будем пользоваться ниже. Лемма 1.2. Пусть точка α ∈ Rn,+ (не обязательно с целыми компонентами) принадлежит выпуклой оболочке точек α1,...,αN, т. е. для некоторых, Тогда для всех ξ ∈ Rn имеем. Более того, если α -внутренняя точка . Доказательство. По неравенству Юнга имеем . Для доказательства второй части леммы отметим, что если - внутренняя точка , то для некоторого t > 1 точка tα также является внутренней точкой следовательно, |ξtα| = |ξα|t ch(ξ), т. е.. Поэтому ( ) ( ) 0 при h(ξ) → ∞. Чтобы описать множество мономов, которые оцениваются через данный многочлен P ∈ In, мы сначала рассмотрим простейший случай, когда только одна главная грань многогранника Ньютона многочлена P является вырожденной, при этом размерности (n - 1). Очевидно, что рассмотрение случая существования только одной вырожденной грани не умаляет общности потому, что при наличии более одной вырожденной грани соответствующие условия надо накладывать на каждую такую грань. Рассмотрение только (n - 1)-мерной вырожденной грани объясняется тем, что 1) в двумерном случае это единственно возможный вариант; 2) в случае существования вырожденной грани размерности k < n - 1 рассуждения можно вести аналогично рассуждениям работ [12] или [7]. Теорема 1.1. Пусть-многогранник Ньютона многочлена P ∈ In, все главные грани которого невырождены, кроме, быть может, одной (n-1)-мерной грани с внешней нормалью μ > 0. Тогда: 1) Если Γ невырождена, то для всех мультииндексов справедливо неравенство (1.1) с некоторой постоянной 2) Если Γ вырождена, по вектору μ многочлен P представляется в виде (0.3) и является двухслойным, т. е. для всех η ∈ Σ(P0), то неравенство (1.1) справедливо для всех мультииндексов. 3) если, то неравенство (1.1) не выполняется ни для какой постоянной c. Доказательство. Сначала докажем пункт 3). Так как очевидно, что для точек ство (1.1) не выполняется, то достаточно рассматривать случай и η ∈ Σ(P0,μ). Принимая во внимание, что и обозначая τ := η, имеем |ξ(t)ν| = t(μ,ν)τ, |P(ξ(t))| = td1 |P1(η)|(1 + o(1)) при t → ∞, т. e. . Это означает, что неравенство (1.1) не выполняется и доказывает пункт 3) теоремы. Первый пункт теоремы доказан В.П. Михайловым в работе [21]. Докажем пункт 2). Пусть наоборот, существуют точка и последовательность такие, что |ξs,μ| → ∞ (что эквивалентно |ξs| → ∞) при s → ∞ и . (1.2) Обозначая τs := ξs/|ξs,μ|μ (s = 1,2,...), имеем |τs,μ| = 1 (s = 1,2,...). По теореме Больцано- Вейерштрасса существуют подпоследовательность последовательности {ξs} (которую также обозначим через {ξs}) и точка τ такие, что |τ,μ| = 1 и |τs - τ,λ| → 0 (следовательно, τs → τ) при s → ∞. Таким образом, соотношение (1.2) возможно, только если P0(τ) = 0. С другой стороны, так как P ∈ In, то по лемме 1.1 , поэтому с некоторой постоянной c1 > 0 и для достаточно больших s имеем (напомним, что d0 > d1 > ... > dM) |P2(ξs)| + |P3(ξs)| + ... + |PM(ξs)| = o(|P0(ξs) + P1(ξs)|), т. е. соотношение (1.2) эквивалентно следующему соотношению: при s → ∞ . Отсюда имеем для достаточно больших s . Поэтому . при s → ∞. Так как множество чисел ограничено, то это противоречит условию (μ,ν) d1 и доказывает теорему. В дополнение к доказанной теореме мы приведём ещё один результат, которым будем пользоваться ниже и который доказан в работе [19]. Лемма 1.3. Пусть многочлен P ∈ In, удовлетворяет условиям теоремы 1.1, а {ξs} -последовательность из Rn такая, что ξs → ∞ и ξs/|ξs,μ|μ → η при s → ∞, где η1 ...ηn = 0. Тогда существует постоянная c > 0 такая, что для всех справедливо неравенство (1.1). Таким образом, задача об описании набора мультииндексов, для которых выполняется оценка (0.5), для двухслойных многочленов решена. Перейдём к решению этой задачи для многослойных многочленов. Для этого нам понадобится ввести понятие сравнения мощностей дифференциальных операторов (многочленов) (см., например, [14]) и вывести алгебраические условия, при которых один дифференциальный оператор (многочлен) мощнее другого дифференциального оператора (многочлена), чем мы будем заниматься в следующем разделе. 2. Сравнение мощностей дифференциальных операторов (многочленов). Двухслойный случай Определение 2.1. Будем говорить, что дифференциальный оператор P(D) (многочлен P(ξ)) мощнее дифференциального оператора Q(D) (многочлена Q(ξ)) и обозначать Q < P или P > Q, если существует постоянная c > 0 такая, чтодля всех ξ ∈ Rn. Если Q < P < Q, то говорим, что P и Q равномощны, или имеют одинаковую мощность. Прежде всего сделаем следующее замечание. Замечание 2.1. Условие является необходимым для выполнения соотношения Q < P независимо от вырожденности или невырожденности многочлена P. Доказательство. В самом деле, пусть для сравнимых многочленов P и Q. Тогда, очевидно, существуют вершина многогранника, не принадлежащая многограннику , вектор λ > 0, являющийся внешней нормалью вершины ν, и число d > 0 такие, что (λ,α) = d является уравнением опорной к гиперплоскости, проходящей через точку ν и не содержащей ни одной точки множества, отличной от ν. Тогда (λ,ν) > (λ,α) для всех Пусть η ∈ Rn,0 и ξs = sλ η (s = 1.2....), тогда при s → ∞ Q(ξs) = sd ην(1+o(1)), P(ξs) = o(sd). Так как , то это означает, что Из приведённого замечания следует, что при сравнении мощностей многочленов {Q} с заданным многочленом P интерес представляет только случай, когда. Уточним то множество многочленов {P}, с которыми будем сравнивать остальные многочлены. Определение 2.2. Через Gn = Gn(λ) обозначим множество многочленов P ∈ In, для которых невырождены все главные грани многогранника Ньютона, кроме, быть может одной (n-1)мерной главной грани Mn-1) с внешней нормалью λ > 0. При этом, если грань Γ вырождена и по вектору λ многочлен P представлен в виде (см. (0.3)) , (2.1) то Σ(P0,λ) ∩ Σ(P1,λ) = ∅ и с некоторой постоянной c > 0 . (2.2) Прежде всего докажем, что сравнение общих многочленов можно свести к сравнению обобщённо-однородного многочлена с общим многочленом. Лемма 2.1. Пусть по вектору λ многочлен P ∈ Gn представлен в виде (2.1). Тогда существует число c > 1 такое, что для всех . (2.3) Доказательство. Сначала докажем левую часть неравенства (2.3). Из условий d0 > d1 > ... > dM и P ∈ Gn с некоторой постоянной c1 > 0 для всех имеем , откуда следует левая часть оценки (2.3). Для доказательства правой части оценки (2.3) заметим, что в силу условия P ∈ Gn имеем с некоторыми положительными постоянными c2 и c3 при всех , что доказывает правую часть оценки (2.3). Лемма 2.2. Пусть по вектору λ = λ(P) многочлен P ∈ Gn представлен в виде (2.2), а многочлен Q в виде , (2.4) при этом. Тогда Q < P в том и только в том случае, когда Qj < P для всех j = 0,1,... ,M(Q). Доказательство. Так как часть теоремы, относящаяся к достаточности, очевидна, то докажем необходимость. Из условия Q < P следует, что с некоторой постоянной c1 > 0 имеем | | | . Отсюда в силу леммы 2.1 получаем, что для любого t > 1 с некоторой постоянной c2 = c2(t) > 0 . (2.5) Пусть - попарно различные числа. Рассмотрим следующую систему уравнений относительно {Qj} (j = 0,1,... ,M): . Так как матрица невырождена, то для любого j = 0,1,... ,MQ существуют числа κjl (l = 0,1,... ,M) такие, что (2.6) Применяя оценки (2.5) для точек t0,t1,...,tM, получаем с некоторой постоянной c3 > 0 Лемма 2.2 доказана. Таким образом, лемма 2.2 сводит задачу сравнения общих многочленов {Q} с (двухслойным) многочленом P ∈ Gn к задаче сравнения обобщённо-однородных многочленов с общим многочленом P. Прежде чем перейти к этому вопросу, нам понадобится сравнить два обобщённооднородных многочлена. Следующая теорема посвящена этому. Теорема 2.1. Пусть P и Q - λ-однородные многочлены λ-степени dP и dQ соответственно, (λ > 0 ). Пусть все главные грани многогранника Ньютона многочлена P невырождены, кроме, быть может, (n - 1)-мерной грани Γ, содержащей множество (P). Тогда: I) Если грань Γ невырождена, то Q < P для любого многочлена Q такого, что. II) Если грань Γ вырождена, то Q < P тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие условия: 1) ; 2) Σ(Q,λ) ⊃ Σ(P,λ); 3) ); 4) для каждой точки η ∈ Σ(P,λ) существует некоторая окрестность U(η) и постоянная c = c(η) > 0, такие, что ); 5) для каждой точки . (2.7) Для упрощения доказательства теоремы сделаем следующие шаги. Замечание 2.2 (первый шаг). Так как числа λ1,...,λn являются положительными и рациональными и любой λ-однородный многочлен R также (k λ)-однороден, то, выбирая натуральное число k соответствующим образом (что не влияет на отношение dQ/dP ), мы можем считать, что числа dQ и dP являются натуральными, следовательно, функции PdQ и QdP являются многочленами. Поэтому мы можем сравнивать их мощности. Более того, справедлива следующая лемма. Лемма 2.3 (второй шаг). Пусть P и Q - λ-однородные многочлены λ-степеней dP и dQ, соответственно, где. Тогда: a) P > Q в том и только в том случае, когда QdP < PdQ (или, что то же самое, Q < P dQ/dP ), т. е. существует положительное число c такое, что ; (2.8) b) если P > Q и dQ < dP , то lim |Q(ξ)|/[1 + |P(ξ)|] → 0; P(ξ)|→∞ c) пустьпри s → ∞, тогда |Q(ηs)|/|P(ηs)|δ → 0 при s → ∞. Доказательство. Докажем пункт a). Так как , то из QdP < PdQ следует, что Q < P. Следовательно, достаточность оценки (2.8) для выполнения Q < P очевидна. Докажем, что оценка (2.8) следует из Q < P. Пусть, наоборот, Q < P, но оценка (2.8) не выполняется, т. е. существует последовательностьP Q {ξs} такая, что ξs → ∞ при s → ∞ и |Q(ξs)|d /[1 + |P(ξs)|d ] → ∞. Тогда |Q(ξs)| → ∞ при s → ∞. Так как Q < P, то отсюда следует, что ts := |P(ξs)| → ∞ при s → ∞. P Обозначим, т. е. ξs = tλ/ds τs. Имеем P(τs) = 1 (i = 1,2,... ,n, s = 1,2,...). Из λ-однородности многочленов Q и P имеем Так как Q < P, из полученных представлений и из имеем . Так как, выражение ограничено, что противоречит нашему предположению и доказывает пункт a) леммы. Пункт b). Сначала отметим, что из неравенства (2.8) следует, что для достаточно больших |ξ| с некоторой постоянной c1 > 0 справедливо неравенство . | Так как dQ < dP , то lim |Q(ξ)|/|P(ξ)| → 0 при |P(ξ)| → ∞. |ξ|→∞ Теперь докажем пункт c). Опять полагаем обратное, т. е. что для некоторой точки η ∈ Σ(P,λ), некоторой последовательности {ηs},ηs → η и некоторого числа δ < dQ/dP . Обозначим. Тогда из λ-однородности многочленов Q и P имеем для всех s = 1,2,... , (2.9) | ( )| = s | (η ) 1. (2.10) Так как ts → ∞ (напомним, что P(ηs) → 0) при s → ∞ и dQ-δ dP > 0, соотношения (2.9)-(2.10) противоречат условию Q < P и доказывают пункт c). Основываясь на этой лемме и имея в виду, что многочлены PdQ и QdP имеют одинаковую λ-степень, далее, при сравнении мощностей двух многочленов P и Q, там, где это нам удобно, мы будем считать, что сравниваемые многочлены имеют одинаковую λ-степень: dP = dQ := d. После такого соглашения теорему 2.1 можно перефразировать следующим образом. Теорема 2.1’ (третий шаг). Пусть P и Q - λ-однородные многочлены λ-степени d := dP = dQ, где λ > 0. Тогда для выполнения соотношения Q < P каждое из следующих условий 1)-4) необходимо, а совместное выполнение условий 1)-3) достаточно: 1) ); 2) Σ(Q) ⊃ Σ(P); 3) для каждой точки η ∈ Σ(P,λ) существует окрестность U(η) и постоянная c = c(η) > 0 такие, что); 4) η,P) для каждой η ∈ Σ(P,λ). Сделаем ещё следующее замечание. Замечание 2.3. Очевидно, условие 3) теоремы эквивалентно следующему: 3.a) существует постоянная c = c(η) > 0 такая, чтодля всех ξ ∈ D(P) := {η ∈ Rn;|P(η)| = 1}. Доказательство теорем 2.1, 2.1’. Таким образом, дело сводится к доказательству теоремы 2.1’. Отметим, что доказательство проводится методом, отличным от метода доказательства теоремы 1 работы [16]. Необходимость условия 1) доказана в замечании 2.1. Необходимость условия 2) очевидна, потому что в противном случае для некоторой точки η ∈ Σ(Q,λ) \ Σ(P,λ) при t → ∞ мы будем иметь P(tλη) = td P(η) = 0, в то время как Q(tλη) = td Q(η) → ∞. Для доказательства необходимости условия 3), опять предполагая обратное, на основании пункта 2) получим существование точки η ∈ Σ(P,λ) и последовательности {ηs} : ηs → η при s → ∞ таких, что и R(ηs) := |Q(ηs)/P(ηs)| → ∞. (2.11) При этом отметим, что если P(ηs) = 0 для некоторых s, то по уже доказанному свойству 2) Q(ηs) = 0 для таких s и соотношение Q < P для таких s очевидно. Поэтому, можем считать, что Обозначим ts := |P(ηs)|-1/d, ξs := tλsηs (s = 1,2,...). На последовательности {ξs} мы имеем P(ξs) = P(tλsηs) = tds P(ηs) = 1 (s = 1,2,...) и Q(ξs) = tds Q(ηs). Из определения функции R следует, что Q(ηs) = [R(ηs)] |P(ηs)|. Так как ts |P(ηs)|1/d = 1 (s = 1,2,...), то (см. (2.11)) при s → ∞. Это значит что и доказывает необходимость условия 3) теоремы. Наконец, докажем необходимость условия 4). Пусть Δ(η,Q) < Δ(η,P) для некоторой точки η ∈ Σ(P,λ). По определению Δ(η,Q) существует точка τ ∈ Rn такая, что . Пусть t > 0 и ξ(t) = η + t-λ τ. Тогда ξ(t) → η при t → ∞, и по формуле Тейлора получим для достаточно больших t , где . Так как по нашему предположению Δ(η,Q) < Δ(η,P), то отсюда следует, что при t → ∞, что доказывает необходимость условия 4). Достаточность. Мы докажем, что условия 1)-3) (см. также замечание 2.3) обеспечивают соотношение Q < P. Представим Rn в виде объединения следующих двух множеств: A := {ξ ∈ Rn, P(ξ) = 0} и B := Rn \ A. Из λ-однородности многочленов P и Q и из условия 2) следует, что Q(ξ) = 0 для всех ξ ∈ A. Поэтому для любого c > 0 . (2.12) Покажем, что соотношение (2.12) справедливо также для множества B с некоторой постоянной c > 0. Для ξ ∈ B обозначим η(ξ) := |P(ξ)|-λ/d. Очевидно, что η(ξ) ∈ D(P) для всех ξ ∈ B. Поэтому в силу условия 3) нашей теоремы . Следовательно, в силу λ-однородности многочленов P и Q, имеющих одинаковую степень d, имеем . Мы получили оценку (2.12) также для множества B и, следовательно, для всего пространства Rn. Теорема 2.1’ и, следовательно, теорема 2.1 доказаны. Таким образом, чтобы ответить на поставленный вопрос, нам остаётся сравнить обобщённооднородный многочлен с общим многочленом, что дается следующей теоремой. Теорема 2.2. Пусть P ∈ Gn, а Q - λ-однородный многочлен λ-степени δ = δQ, μ > 0, . Тогда, если грань Γ невырождена, то Q < P. Если грань Γ вырождена, то: I) Q < P в том и только в том случае, когда I.1) Σ(P0,λ) ⊂ Σ(Q,λ); ); I.3) для каждой точки η ∈ Σ(P0,λ) существуют постоянная c = c(η) > 0 и окрестность U(η) такие, что . II) Более того, II.1) если для каждой точки η ∈ Σ(P0,λ) существует окрестность U1(η) такая, что для всех ξ ∈ U1(η), то P < P + Q < P; II.2) если ψ(ξ) → 0 при ξ → η для любой точки η ∈ Σ(P0,λ), то |Q(ξ)|/[P(ξ) + 1] → 0 при |ξ| → ∞ и Q < P + Q, P < P + Q < P. Доказательство. В невырожденном случае утверждение теоремы следует из теоремы 1.1. Рассмотрим случай, когда грань Γ вырождена. Необходимость условия I.1) очевидна. Докажем необходимость условия I.2). Пусть, наоборот, условие Q < P выполняется, но существует точка η ∈ Σ(P0,λ) такая, что (d0 - d1)/(δQ - d1) < Δ(η,P0)/Δ(η,Q). (2.13) Для t > 0, θ = (θ1,...,θn) ∈ Rn, κ > 0 положим ξi = ξi(t) = ξi(t,θ,κ) = tμi(ηi + θi t-κμi), i = 1,...,n. Тогда по формуле Тейлора имеем . Выберем вектор θ таким образом, чтобы . Существование такого вектора очевидно следует из определения числа Δ(η,Q). В самом деле, в противном случае получается, что все коэффициенты многочлена c(θ) - нули, что противоречит определению числа Δ(η,Q). Тогда (для числа θ, фиксированного таким образом), получаем . (2.14) Для многочленов P0 и P1, очевидно, имеем с некоторой постоянной c1 > 0, и для всех достаточно больших t | | . (2.15) Очевидные геометрические соображения показывают, что при t → +∞ r(ξ(t)) := P(ξ(t)) - [P0(ξ(t)) + P1(ξ(t))] = o(td1). Положим κ = (d0 - d1)/Δ(η,P0), тогда d0 - κΔ(η,P0) = d1, и из (2.15) получаем с некоторой постоянной c2 > 0 . (2.16) Легко убедиться, что из условия I.2) теоремы следует соотношение d1 < δQ - κΔ(η,Q). Отсюда и из оценок (2.14), (2.16) следует, что |Q(ξ(t))|/[1 + P(ξ(t))] → ∞ при t → ∞, что противоречит условию Q < P и доказывает необходимость условия I.2) теоремы. Необходимость условия I.3). Предположим, что для некоторой точки η ∈ Σ(P0,λ) существует последовательность {ηs} такая, что и ψ(ηs) := |Q(ηs)|/[|P0(ηs)|(δQ-d1)/(d0-d1)] → ∞. (2.17) Обозначим ts := |P0(ηs)|-1/(d0-d1), ξs = tμs ηs, s = 1,2,... Так как ηs → η ∈ Σ(P0,λ), имеем ts → ∞ при s → ∞. Тогда, как следствие μ-однородности многочленов P0(ξ), P1(ξ) и Q(ξ), имеем для достаточно больших , (2.18) (2.19) Представления (2.18), (2.19) показывают, что существует число c3 > 0 такое, что для достаточно больших s . (2.20) Для Q(ξ) аналогично получаем . (2.21) Оценки (2.20) и (2.21) вместе с (2.17) показывают, что при s → ∞ . Это доказывает необходимость условия I.3) для Q < P. Докажем достаточность. Предположим, что при условиях настоящей теоремы, т. е. существует последовательность {ξs} такая, что ξs → ∞ при s → ∞, но . (2.22) Поступая как выше, обозначим ηs := ξs/|ξs,λ|λ, тогда |ηs,λ| = 1 (s = 1,2,...). Так как множество {ηs : |ηs,λ| = 1, s = 1,2,...} ограничено (напомним, что λ > 0), существует подпоследовательность последовательности {ξs} (которую также обозначим через {ξs}) и точка η, |η,λ| = 1, такие, что → ∞. . Пусть, наоборот,. Тогда при s → ∞ имеем |P(ξs)| = |ξs,λ|d0 |P0(η)|(1 + o(1)) (2.23) и существует число c4 > 0 такое, что (2.24) Соотношения (2.23) и (2.24) вместе противоречат нашему предположению (2.22) и доказывают, что P0(η) = 0. Рассмотрим следующие возможные случаи: a) η ∈ Rn,0, т. е. η ∈ Σ(P0,λ); b) η /∈ Rn,0, т. е. η1 ...ηn = 0. Так как ηs → η при s → ∞, то в случае a) по условию I.3) теоремы существует постоянная c4 > 0 такая, что (не нарушая общности, можно считать, что для всех s = 1,2,...) . (2.25) В силу условия P ∈ G(n) существуют положительные постоянные c5 и c6 такие, что для достаточно больших s (не нарушая общности, можно считать, что для всех s = 1,2,...) имеем Пользуясь неравенством (2.25), мы оценим также |Q(ξs)|, именно . Применяя неравенство Гёльдера для, мы получим с некоторой постоянной (2.27) Из (2.26)-(2.27) мы получим с некоторой постоянной c6 > 0 что противоречит нашему предположению (2.22). В случае b) противоречие получается применением леммы 1.3. Докажем вторую часть теоремы. Сначала покажем, что P < P + Q. Будем повторять соображения, применённые при доказательстве достаточности первой части теоремы, т. е. предположим, что существует последовательность {ξs}, такая, что |ξs| → ∞, |ηs - η,λ| → 0 при s → ∞ и |P(ξs)| → ∞ . (2.28) Так как d0 > d1, в случае мы получим следующие представления для многочленов P и Q при s → ∞: |P(ξs)| = |ξs,λ|d0 ||P0(η)|(1 + o(1)) и |Q(ξs)| = o(|ξs,λ|d0), которые вместе противоречат (2.28) и доказывают, что P < P + Q. Если P0(η) = 0, то по предположению теоремы. В этом случае мы получаем противоречие с (2.28) в силу того, что при ξ ∈ U(η) и в силу того, что для многочленов P ∈ In. Соотношение P + Q < P является прямым следствием уже доказанной части теоремы. Этим доказан пункт II.1). Пункт II.2) доказывается буквальным повторением предыдущих соображений. Теорема 2.2 доказана. 3. Оценки мономов через многослойный многочлен В этом разделе мы рассмотрим более общий случай, когда многочлен P ∈ In является kслойным при 2 < k < M. Именно, пусть, как и в предыдущем разделе, - многогранник Ньютона многочлена P ∈ In, все главные грани которого невырождены, кроме, быть может, одной (n-1)-мерной грани с внешней нормалью μ > 0. При этом многочлен P ∈ In является k-слойным при 2 < k < M. Напомним, что это означает следующее: если по вектору μ многочлен P представить в виде суммы μ-однородных многочленов μ-степеней d0 > d1 > ... > dM (см. (0.3)) P(ξ) = P0(ξ) + P1(ξ) + ... + Pk-1(ξ) + Pk(ξ) + Pk+1(ξ) + ... + PM(ξ), (3.1) то для всех η ∈ Σ(P0), в то время как каждый из многочленов Pj (j = 1,2,... ,k - 1) обращается в нуль хотя бы в одной точке η ∈ Σ(P0). Наша цель в этом разделе - описать то (наиболее широкое) множество мультииндексов {ν}, для которых справедлива оценка (1.1) для многослойных многочленов. Сначала введём следующие обозначения для многочлена (3.1): M := {P1,P2,...,Pl-1}, P(ξ) := P0(ξ)+Pk(ξ), P1(ξ) := P1(ξ)+...+Pk-1(ξ), p(ξ) := Pk+1(ξ)+...+PM(ξ). Тогда P(ξ) = P(ξ)+P1(ξ)+ p(ξ). В этих обозначениях наша задача звучит так: пусть двухслойный многочлен P(ξ) + p(ξ) удовлетворяет условиям теоремы 1.1, следовательно, по этой теореме, для всех мультииндексов справедлива оценка с некоторой постоянной Поставленная цель сводится к ответу на следующий вопрос: каким условиям должны удовлетворять (μ-однородные) многочлены Pj ∈ M (j = 1,...k - 1), чтобы для всех мультииндексов выполнялась оценка (1.1) для многочлена P(ξ) = P(ξ) + P1(ξ) + p(ξ)? Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой. Теорема 3.1. Пусть-полный многогранник Ньютона k-слойного многочлена P ∈ Gn (см. определения 0.6 и 2.2), т. е. все главные грани невырождены, кроме, быть может, (n - 1)-мерной главной грани (с внешней нормалью μ > 0). Если Γ невырождена, то ξν < P для всех мультииндексов Если Γ вырождена, по вектору μ многочлен P представлен в виде (3.1) суммы μ-однородных многочленов, P(ξ) := P0(ξ) + Pk(ξ), P1(ξ) := P1(ξ) + ... + Pl-1(ξ), p(ξ) := Pk+1(ξ) + ... + PM(ξ), (двухслойный) удовлетворяет условиям теоремы 1.1, то а) при, неравенство ξν < P не может иметь места; b) неравенство ξν < P выполняется для любого мультииндекса, если либо b.1) P1 < P, т. е. (см. лемму 2.2) Pj < P (j = 1,...,k - 1), либо b.2) каждый многочлен Pj ∈ M (j = 1,... ,k - 1) удовлетворяет одному из следующих условий: b.2.1) Pj < P0, т. е. для пары (μ-однородных) многочленов (Pj,P0) удовлетворяются условия теоремы 2.1; b.2.2) Pj < P, т. е. для пары многочленов (Pj,P) выполняются условия I)-II) теоремы 2.2; b.2.3) Pj < P +Pj, P < P +Pj < P, т. е. для пары многочленов (Pj,P) выполняется одно из условий II.1) или II.2) теоремы 2.2. Прежде чем доказать теорему, сделаем следующее замечание. Замечание 3.1. 1) Условия b.2.2) и b.2.3) мы должны были ставить не для пары многочленов (Pj,P), а для пары (Pj,P + p). Но мы поступили так не только по соображениям краткости записи, но и потому, что по пункту II.1) теоремы 2.2 многочлен p не влияет на мощности многочленов P и P. 2) Доказанные выше предложения диктуют нам, что мы должны считать, что многочлены Pj ∈ M (j = 1,...,l - 1) должны обращаться в нуль во всех точках η ∈ Σ(P0). Доказательство теоремы 3.1. Имея в виду, что двухслойный многочлен P - P1 = P + p удовлетворяет условиям теоремы 1.1, следовательно, ξν < P для любого мультииндекса , достаточно доказать, что P < P = P + P1. Сначала мы добавим к многочлену P те многочлены из M, которые (совместно с многочлеудовлетворяют условию b.1), т. е. условиям леммы 2.2. Пусть это многочлены M1 = i1 i2 ik1 , ( 1 - 1). Так как dij < d0 j = 1,...,k1, то по пункту b) леммы 2.3 |Pi1(ξ)| + |Pi2(ξ)| +... + |Pik1 (ξ)| = o(|P0(ξ))| при |P0(ξ))| → ∞. Из леммы 1.1 вытекает, что P0 < P = P0+Pk, следовательно, |Pi1(ξ)|+|Pi2(ξ)| +...+|Pik1(ξ)| = o(|P0(ξ))| при |P0(ξ))| → ∞. Таким образом, существует постоянная c > 0 такая, что для достаточно больших |ξ| имеет место неравенство . (3.2) Если {|P0(ξs)|} ограничено для последовательности {ξs} при |ξs| → ∞, то многочлены {Pij(ξs)} также ограничены на этой последовательности (напомним, что Pij < P0 (j = 1,... ,k1)). С другой стороны, так как P ∈ In, то P(ξ) → ∞, и неравенство (3.2) (быть может, с другой постоянной) очевидно. В итоге мы получим P < P + Pi1 + Pi2 + ... + Pik1 < P. Это значит, что далее при сравнении многочленов P и P достаточно сравнивать многочлены P1 := P+Pi1+Pi2+...+Pik1 и P. Если k1 = k - 1, т. е. P1(ξ) := P(ξ) + P1(ξ) = P(ξ) ∀ξ ∈ Rn, то это доказывает теорему. Рассмотрим случай, когда k1 < k - 1, т. е. . Сначала рассмотрим те многочлены Pj ∈ M\M1, которые удовлетворяют условию b.2.3), т. е. для пары многочленов (Pj,P) выполняется одно из условий II.1) или II.2) теоремы 2.2. Пусть это многочлены M, т. е. при |ξ| → ∞ и P < P + Pij < P для всех. Рассуждая, как в предыдущем случае, получим, что P < P2 := P1 + Pk1+i1 + Pk1+i2 + ... + Pik1+k2 < P. Это значит, что далее при сравнении многочленов P и P достаточно сравнить многочлены P2 и P. Наконец, к многочлену P2 мы добавим оставшиеся многочлены из M, которые удовлетворяют условиям I)-II) теоремы 2.2. Пусть это многочлены M3 := {Pk1+k2+i1,Pk1+k2+i2,...,Pk1+k2+k3}, k1 + k2 + k3 = k - 1. Тогда P2(ξ)+ Pk1+k2+i1(ξ) + Pk1+k2+i2(ξ) + ... + Pk1+k2+k3(ξ) = P(ξ) для всех ξ ∈ Rn. В результате, как добавление к предыдущим двум случаям, мы получаем, что P < P2 < P. Из теоремы 2.2 следует, что P < P+ Pk1+k2+i1+Pk1+k2+i2+...+Pk1+k2+k3. Следовательно, P2 < P2+ Pk1+k2+i1 + Pk1+k2+i2 + ... + Pk1+k2+k3 = P. В итоге мы получили P < P < P, что доказывает теорему 3.1. 4. Коэрцитивные оценки в Lp Совершая преобразование Фурье и применяя равенство Парсеваля, непосредственно получим, что при p = 2 для тех мультииндексов {ν}, для которых выполняется условия теоремы 3.1, т. е. для которых ξν < P, выполняется оценка . (4.1’) Применяя теорию мультипликаторов Фурье, мы покажем, что для того же множества мультииндексов {ν} и для любого p > 1 также справедлива оценка . (4.1) Сначала напомним понятие мультипликатора. Определение 4.1 (см., например, [20]). Измеримая функция Φ называется мультипликато- (обозначим Φ ∈ Mqp, при этом, если q = p, то вместо Mpp мы обозначим просто Mp), если преобразование TM : Lp → Lq, определенное формулой , является ограниченным из, где F[f] -преобразование Фурье функции. Ниже мы будем пользоваться следующей теоремой П.И. Лизоркина. Теорема (см. [20] или [2]). Пусть функция Φ(ξ) непрерывна вместе с производной ∂nΦ(ξ) ∂ξ1 ...∂ξn и всеми предшествующими ее производными при ξ ∈ Rn,0. Тогда Φ ∈ Mp, если существует постоянная c > 0 такая, что для всех ξ ∈ Rn,0 имеет место неравенство где Теперь мы в состоянии доказать основной результат настоящей работы. Теорема 4.1. Пусть -полный многогранник Ньютона многочлена P ∈ Gn, удовлетворяющий условиям теоремы 3.1 и p > 1. Тогда: 1) если грань невырождена, то для всех имеет место неравенство (4.1); 2) если грань вырождена, то неравенство (4.1) имеет место для тех мультииндексов, для которых функция Φν = ξν/P(ξ) является мультипликатором; 3) если, то неравенство (4.1) не может иметь места. Доказательство. По свойствам преобразования Фурье для функций и для любого мультииндекса ν имеем F[Dνu] = ξν F[u]; F[P(D)u] = P(ξ)F[u]. Отсюда имеем (напомним, что P(ξ) > 0 (см. лемму 1.1)) . Для доказательства теоремы достаточно установить, что Φν ∈ Mp для соответствующих {ν}. По теореме Лизоркина для этого достаточно доказать ограниченность выражений {ξk DkΦ(ξ)} для определенных мультииндексов {k}. Пусть сначала многочлен P невырожден, т. е. невырождена также грань многогранника и k = 0. Тогда по теореме 3.1, что доказывает ограниченность для всех. Пусть теперь k = 0 и, например, k = (1,0,... ,0). Тогда, если, то . (4.2) Ограниченность первого слагаемого в правой части (4.2) для любого в невырожденном случае следует из теоремы 3.1. Для доказательства ограниченности второго слагаемого представим его в виде . (4.3) Ограниченность первого множителя в правой части (4.3) уже доказана, а ограниченность второго множителя для невырожденного многочлена P следует из того, что ∂P/∂ξ1 < P. Ограниченность других выражений в невырожденном случае доказывается аналогично. Перейдём к случаю, когда грань Γ многочлена P вырождена. Повторяя рассуждения, проводимые в невырожденном случае, с заменойи пользуясь условием 2) настоящей теоремы, мы получим неравенство (4.1) для тех мультииндексов, для которых функция Φν = ξν/P(ξ) является мультипликатором.

Об авторах

Г. Г. Казарян

Институт математики НАН Армении; Российско-Армянский университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: haikghazaryan@mail.ru
Ереван, Армения

Список литературы