Экспоненциальная устойчивость потока обобщенного уравнения Бюргерса на окружности

Полный текст

1. Введение Рассмотрим обобщенное уравнение Бюргерса с вязкостью x ∂tu - ν∂2u + ∂xf (u)= h(t, x), x ∈ S. (1.1) Здесь S = R/Z - окружность единичной длины, так что все функции предполагаются периодическими по x с периодом 1, ν > 0 - фиксированный параметр, h - внешняя сила, а f ∈ C2(R) - заданная функция (называемая потоком), вторая производная которой удовлетворяет неравенству1 f ××(u) σ для всех u ∈ R, (1.2) 1 Неравенство (1.2) для потока не требуется, если внешняя сила является ограниченной функцией времени. В частности, теоремы 3.1 и 4.1 справедливы для любого потока f класса C2 . © А. Джурджевак, А. Р. Ширикян, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 588 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОТОКА ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА 589 где σ > 0 - некоторое число. Функция h предполагается локально ограниченной в области R+ ×S, что обеспечивает корректность задачи Коши для уравнения (1.1). А именно, для любого начального условия u0 из класса Соболева H1(S) уравнение (1.1) имеет единственное решение u(t, x) в подходящем функциональном пространстве, такое, что u(0, x)= u0(x) (1.3) (точную формулировку результата см. в разделе 2.1). Для простоты изложения мы будем предполагать во введении, что все функции, определенные на окружности S, имеют нулевое среднее значение. 0 Простым следствием принципа максимума является невозрастание L1-нормы разности двух решений уравнения (1.1). Сопоставляя это со сглаживающим свойством разрешающего оператора, легко показать, что поток, порожденный задачей (1.1), (1.3), является H1-устойчивым в следующем смысле: если последовательность начальных условий (un) сходится к u0 в H1, то соответствующие решения (un) и u таковы, что sup ∗un(t) - u(t)∗H1 → 0 при n → ∞. t 0 Цель настоящей статьи - доказать, что поток на самом деле асимптотически экспоненциально устойчив при t → ∞. В частности, мы покажем, что имеют место следующие два свойства (подробности даны в разделе 4): Глобальный аттрактор: Если h - ограниченная функция от t ∈ R со значениями в H1, то существует единственное H1-ограниченное решение уравнения (1.1), определенное на вещественной прямой, и любое другое решение экспоненциально сходится к нему в H1 при t → +∞. Стохастическое уравнение: Если h - случайный процесс с непрерывными траекториями со значениями в H2 (не обязательно ограниченный по времени, но удовлетворяющий некоторому условию роста), то L1-норма разности двух решений уравнения (1.1) сходится к нулю с вероятностью 1 при t → +∞. Доказательство обоих результатов основано на сжимающем свойстве потока, установленном в разделе 3. Последнее использует одну идею из теории положительных операторов, примененную в работе [20] для случая граничного условия Дирихле. Отметим, что различные результаты об устойчивости потока уравнения Бюргерса были получены ранее как в детерминистской, так и в стохастической постановках, при периодических граничных условиях и условии Дирихле, а также для всего пространства. Один из первых математически строгих результатов был получен Синаем [21]. Он исследовал случаи, когда h - периодическая по времени детерминистская функция или гладкий по пространственным переменным белый шум, и доказал сходимость с вероятностью 1 траекторий со случайными начальными данными к предельному периодическому решению или мере, причем оба эти объекта не зависят от начального условия. Кифер [19] получил аналогичный результат для уравнения Бюргерса в Rd при условии, что и решение, и внешняя сила являются потенциальными полями. Хилл и Сули [15] исследовали вязкие скалярные законы сохранения в ограниченной области Rd с не зависящей от времени внешней силой и доказали существование, единственность и экспоненциальную устойчивость стационарного решения. Жослин, Крейс и Мозер [17] исследовали уравнение Бюргерса на S с периодической по времени внешней силой и доказали существование и асимптотическую устойчивость периодического по времени решения. Боричев [9] исследовал обобщенное уравнение Бюргерса на S и в предположении, что h - гладкий по пространству белый шум, доказал, что существует единственная стационарная мера и что любое другое решение сходится к ней со скоростью, не зависящей от вязкости ν > 0. Чанг и Квон [10] рассмотрели уравнение Бюргерса на R с квадратичным потоком и неотрицательной внешней силой h, не зависящей от времени, и доказали существование и единственность неотрицательного стационарного решения и полиномиальную сходимость к нему. Калита и Згличинский [18] исследовали это же уравнение с периодическим граничным условием и условием Дирихле и доказали сходимость к предельной траектории. Они также установили экспоненциальную скорость сходимости в случае граничного условия Дирихле. Бахтин и Ли [8], а также Данлап, Грэхем и Рыжик [11] построили пространственно-временные стационарные решения стохастического уравнения Бюргерса на R и доказали их устойчивость 590 А. ДЖУРДЖЕВАК, А. Р. ШИРИКЯН при t → +∞. Наконец, в недавней статье [12] доказана экспоненциальная синхронизация скалярного вязкого закона сохранения в ограниченной области с граничным условием Дирихле как в детерминистской, так и в стохастической постановках. В настоящей статье устанавливается экспоненциальная скорость сходимости в периодической постановке и упрощаются некоторые доказательства, полученные ранее. Отметим также, что результаты данной статьи могут быть распространены на вязкие скалярные законы сохранения в более высокой размерности. Однако поскольку соответствующие доказательства не содержат каких-либо новых идей и могут быть проведены с использованием методов, изложенных в статьях1 [12, 13], мы не обсуждаем их в данной работе. Статья организована следующим образом. В разделе 2 собраны различные результаты о задаче Коши для уравнения (1.1) и о линейных параболических уравнениях. В разделе 3 сформулирована и доказана основная теорема данной работы о строгом сжатии в L1-норме для потока уравнения Бюргерса. Наконец, в разделе 4 мы приводим точную формулировку двух упомянутых выше утверждений и приводим их доказательства. Обозначения и соглашения. Мы будем обозначать через S = R/Z окружность единичной длины и отождествлять любую функцию на S с 1-периодической функцией на прямой R. Лебеговские и соболевские пространства в области D обозначаются, соответственно, Lp(D) и Hs(D), и мы будем писать |· |p и ∗· ∗s для соответствующих норм и (·, ·) для скалярного произведения в L2. В случае, когда D = S, мы часто будем опускать S и писать просто Lp и Hs. Для заданной функции g ∈ L1(S) положим r ±g) = S g(x)dx. Если J ⊂ R - интервал (не обязательно ограниченный), а X - сепарабельное банахово пространство, то через Cb(J, X) обозначается пространство ограниченных непрерывных функций loc f : J → X с естественной нормой, а через L2 (J, X) - пространство измеримых по Борелю функций f : J → X, таких, что для любого ограниченного интервала I ⊂ J r 2 ∗f ∗L2 (I,X) := I 2 ∗f (t)∗X dt< ∞. loc Пусть X (J ) - пространство таких функций f ∈ L2 loc (J, H2), для которых ∂tf ∈ L2 (J, L2). В случае, когда интервал J ограничен, X (J ) является гильбертовым пространством с нормой ∗· ∗X , определенной равенством 2 r r 2 2 ∗f ∗X = J ∗f (t)∗2 + |∂tf (t)|2) dt. Если J = JT := [0,T ], то мы будем писать XT вместо X (JT ), а если J = R+, то просто X . Наконец, для банахова пространства X через BX (R) будем обозначать закрытый шар в X радиуса R с центром в нуле. 2. Предварительные сведения 1. Задача Коши. Зафиксируем константы ν > 0, T > 0 и рассмотрим уравнение (1.1) в области QT := JT × S. Следующий результат хорошо известен и устанавливается стандартными методами, основанными на априорных оценках и принципе неподвижной точки; см. [6, 14]. Теорема 2.1. Пусть f ∈ C2(R) - произвольная функция, u0 ∈ H1(S), а h ∈ L∞(QT ). Тогда задача (1.1), (1.3) имеет, и притом единственное, решение u ∈ XT , и найдется такая констан- T та KT > 0, зависящая2 от ν, f, |u0|L∞ , |h|L∞ (Q ), что |u|L∞(QT ) |u0|L∞ (S) + T |h|L∞ (QT ), (2.1) ∗u∗XT KT r∗u0∗1 + |h|L2 (QT )). (2.2) 1 Препринт [13] был отозван из публикации, так как основной его результат покрывается работами [12, 15]. 2 Заметим, что никаких условий на среднее значение по x функции h не налагается, так что норма решений действительно может расти со временем T. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОТОКА ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА 591 Доказательство. Для удобства читателя кратко изложим вывод априорных оценок. Чтобы установить неравенство (2.1), заметим, что функцию u(t, x) можно рассматривать как решение линейного уравнения x ∂tu - ν∂2u + b(t, x)∂xu = h(t, x), где b(t, x) = f ×(u(t, x)). Применяя принцип максимума к этому уравнению (см. [5, раздел 3.1]), получим (2.1). Для доказательства (2.2) возьмем сначала скалярное произведение в L2 уравнения (1.1) с функцией 2u. Используя периодичность и неравенство Коши-Шварца, получим 2 2 2 2 ∂t|u|2 + 2ν |∂xu|2 = 2(h, u) |h|2 + |u|2. (2.3) Согласно неравенству Гронуола, отсюда следует, что t ( 2 r 2 \ 2 2 | , sup 0 t T |u(t)|2 + 2ν 0 |∂xu(s)|2ds T C(T )r u0|2 + |h|L2 (Q )) x где C(T ) > 0 зависит только от T. Для получения оценок на соболевские нормы высокого порядка умножим уравнение (1.1) скалярно в L2 на функцию -2∂2u. После несложных преобразований получим 2 2 2 2 ∂t|∂xu|2 + 2ν |∂xu|2 2|h|2|∂xu|2 + K1(T )|∂xu|2|∂xu|2. Здесь и далее через Ki(T ) обозначаются числа, которые могут быть выражены в терминах величины |f ×(u)|L∞ (QT ) (которая конечна ввиду неравенства (2.1)). Применяя неравенство Коши, получаем 2 2 2 2 -1 2 ∂t|∂xu|2 + ν |∂xu|2 K2(T )|∂xu|2 + ν |h|2. Используя снова неравенство Гронуола, приходим к соотношению t sup ( r 2 |∂xu(t)|2 + ν \ 2 2 |∂ u(s)| ds ∗ K3(T )r∗u0 2 | + |h 2 ). (2.4) x 2 0 t T 0 1 L2 (QT ) Наконец, решая уравнение (1.1) относительно ∂tu и беря L2 норму в области QT , получаем x |∂tu|2 |h|2 + K4(T ) |∂xu|2 + ν |∂2u|2. Из неравенства (2.4) следует, что |∂tu|2 также можно оценить через правую часть (2.2). Это завершает доказательство теоремы. 2. Оценки диссипативности. В этом разделе мы будем предполагать, что h : R+ ×S → R - локально интегрируемая функция, такая, что ±h(t, ·)) =0 (2.5) для почти всех t ∈ R. Положим Q = R+ × S. Наш первый результат касается диссипативности динамики для уравнения (1.1). Теорема 2.2. В дополнение к приведенным выше условиям предположим, что h ∈ L∞(Q). Тогда для любого c ∈ R найдется такая константа C > 0, зависящая также от ν, f и |h|L∞ (Q), что для любого начального условия u0 ∈ H1(S), удовлетворяющего соотношению ±u0) = c, для решения u ∈X задачи (1.1), (1.3) при t C ln(|u0|2 + 2) выполнено неравенство t+1 2 r r 2 2 ∗u(t)∗1 + t ∗u(s)∗2 + |∂su(s)|2)ds C. (2.6) Доказательство. Заметим, что интегрируя уравнение (1.1) по t ∈ JT и x ∈ S, получим ±u(T )) = ±u0) = c для любого T 0. Подставляя u = c + v в (1.1), для v получим уравнение такого же вида, как и для u, в котором функция f заменена на ее сдвиг. Поэтому с самого начала мы можем предполагать, что ±u0) =0 и рассматривать решения с нулевым средним значением. Более того, так как пространство X1 непрерывно вложено в C(J1,H1) (см. [7, гл. I, теорема 3.1]), достаточно оценить интеграл в левой части неравенства (2.6). 592 А. ДЖУРДЖЕВАК, А. Р. ШИРИКЯН |2 Для этого заметим, что скалярное произведение в (2.3) не превосходит ν|∂xu 2 + C1ν 2 -1|h|2, где через Ci обозначаются несущественные константы, которые не зависят от решения. Сопоставляя это наблюдение с неравенством (2.3), получим 2 2 -1 2 ∂t|u|2 + ν |∂xu|2 C1ν |h|2. (2.7) 2 Вспомнив, что u имеет нулевое среднее значение по x, применяя неравенство Пуанкаре к |∂xu|2 и используя неравенство Гронуола, приходим к соотношению 2 -γt 2 2 |u(t)|2 e Сопоставляя это с (2.7), мы видим, что t+1 |u0|2 + C2 sup |h(s)|2. s 0 r 2 ( 2 2 |∂xu(s)|2 ds C3 t e-γt|u0|2 + sup |h(s)|2 . s 0 В частности, существует такая константа C4 > 0, что t+1 r 2 |∂xu(s)|2 ds C4 при t T := C4 ln(|u0|2 + 2). t Так как u - непрерывная функция от времени со значениями в H1, для любого t T +1 найдется такое t0 ∈ [t - 1, t], что ∗u(t0)∗1 C5. Применяя неравенство (2.2) к задаче Коши для (1.1) на интервале [t0, t0 + 2], мы видим, что интеграл в (2.6) ограничен абсолютной константой C. Это завершает доказательство теоремы. Следующий результат полезен, когда правая часть в (1.1) является неограниченной. Приведенное свойство связано с сильной нелинейной диссипацией уравнения Бюргерса со строго выпуклым потоком. Теорема 2.3. В дополнение к условиям теоремы 2.2 предположим, что h ∈ Cb(R+,H2), а f удовлетворяет (1.2). Тогда для любого c ∈ R найдется константа C > 0, зависящая также 1 от ν, f и |h|L∞ (R+ ,H2 ), такая, что для любого начального условия u0 ∈ H , удовлетворяющего соотношению ±u0) = c, для решения u ∈ X задачи (1.1), (1.3) выполнено неравенство (2.6) при t 1. Доказательство. Согласно принципу максимума Кружкова (см. [2] или [9, раздел 4.1]), найдется константа C1 > 0, зависящая только от ν, f и h, такая, что для любого t0 1/2 имеем |u(t0)|∞ C1. x Ввиду неравенства (2.1) (которое остается справедливым для начальных условий класса L∞), норма решения в пространстве L∞((t0, t0 + 1) × S) ограничена константой, зависящей только от h. Беря скалярное произведение в L2 уравнения (1.1) с функцией -(t - t0)∂2u и осуществляя некоторые простые преобразования, легко получаем универсальную оценку для H1-нормы решения в момент времени t = t0 + 1/2, так что sup ∗u(t)∗1 C2, t 1 где C2 > 0 зависит от ν, f и h. Теперь доказательство можно завершить точно таким же рассуждением, как и для теоремы 2.2. Комбинируя теоремы 2.2 и 2.3 со сглаживающим свойством уравнения (1.1), мы получаем следующую оценку на высшие производные решений. Ее доказательство можно получить, взяв скалярное произведение в L2 уравнения (1.1) с функциями (t - t0)∂4u или ∂4u и выполнив некоx x торые стандартные преобразования. Следствие 2.1. При условиях теоремы 2.2 (или теоремы 2.3) найдется такая константа C > 0, не зависящая от начального условия, что решение u ∈X задачи (1.1), (1.3) удовлетворяет неравенству ∗u(t)∗2 C, (2.8) ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОТОКА ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА 593 где t 0 принадлежит тем же полупрямым, что и в упомянутых выше теоремах. Если к тому же начальное условие u0 принадлежит H2, то оценка (2.8) справедлива для всех t 0 с некоторой константой C > 0, зависящей также от ∗u0∗2. 3. Некоторые свойства линейных параболических уравнений. Ключевым моментом нашего доказательства устойчивости потока уравнения Бюргерса является нижняя оценка для положительных решений параболических уравнений. Соответствующий результат выражается в терминах неравенства Харнака для линейного уравнения x ∂tw - ν∂2w + ∂xra(t, x)w) = 0, (t, x) ∈ QT , (2.9) где a : QT → R - заданная функция. Доказательство следующего предложения можно найти в работе [4] (см. [3, раздел IV.2]). Утверждение 2.1. Пусть ν, T и ρ - положительные константы, a ∈ L∞(QT ) - некоторая функция, такая, что ∂xa ∈ L∞(QT ) и |a|L∞ (QT ) + |∂xa|L∞ (QT ) ρ. (2.10) Тогда для каждого T × ∈ (0,T ) найдется такое θ = θ(T ×,T, ν, ρ) > 0, что для любого неотрицательного решения w ∈ XT уравнения (2.9) справедливо неравенство θ max w(T ×, x) min w(T, x). (2.11) x∈S x∈S Нам также понадобится свойство невозрастания L1-нормы решений для уравнения (2.9). Оно сразу следует из принципа максимума по двойственности, см. [16, лемма 3.2.2]. Утверждение 2.2. В условиях предложения 2.1 для любого решения w ∈ XT уравнения (2.9) справедливо неравенство |w(t)|1 |w(s)|1 при 0 s t T. (2.12) 3. Основной результат Основным вспомогательным результатом для доказательства устойчивости потока уравнения Бюргерса является свойство сжатия L1-нормы разности двух решений. Скорость сжатия зависит от нормы решений, которая, в свою очередь, определяется начальными условиями и правой частью. А именно, справедлив следующий результат. Теорема 3.1. Пусть f ∈ C2(R) - произвольная функция. Тогда для любого c ∈ R и любых положительных чисел ν, R и T найдется такое q ∈ (0, 1), что выполнено следующее свойство: для любой внешней силы h ∈ L∞(QT ) с L∞-нормой, не превосходящей R, и средним значением, удовлетворяющем соотношению (2.5) для п. в. t ∈ JT , и любых начальных условий u0, v0 ∈ BH1 (R), таких, что ±u0) = ±v0) = c, соответствующие решения удовлетворяют неравенству |u(T ) - v(T )|1 q |u0 - v0|1. (3.1) Доказательство. Обозначим через w разность u - v и заметим, что она удовлетворяет уравнению (2.9), в котором 1 r a(t, x)= 0 f ×(v(t, x)+ τw(t, x)) dτ. Более того, при всех t ∈ JT имеем ±w(t)) = 0, а ввиду неравенства (2.8), примененного к решениям u и v, найдется такое ρ> 0, зависящее только от ν, f, R, T, что выполнено (2.10). В частности, для любого положительного решения уравнения (2.9) справедливо неравенство Харнака (2.11). Положим w0 = u0 - v0 и обозначим через w+ и w-, соответственно, положительную и отри- 0 0 w0; т. е. w± = max{±w0, 0}. Пусть w± - решение уравнения (2.9), равное w± цательную части 0 0 при t = 0, так что w(t) = w+(t) - w- 1 1. для всех t ∈ JT , и функции w± 1 неотрицательны. Если w+(T /2, x) 4 |w0|1 для всех x ∈ S, то |w+(T /2)|1 4 |w0|1. Так как среднее значение w(t) равно 594 А. ДЖУРДЖЕВАК, А. Р. ШИРИКЯН нулю, L1-нормы функций w+(t) и w-(t) равны, так что |w-(T /2)|1 с (2.12), выводим 1 4 |w0|1. Сопоставляя это |w(T )|1 |w(T /2)|1 |w+(T /2)|1 + |w-(T /2)|1 1 1 2 |w0|1. Точно такие же рассуждения применимы, когда w-(T /2, x) 4 |w0|1 для всех x ∈ S. Предположим теперь, что max w±(T /2, x) x∈S 1 4 |w0|1. Ввиду неравенства Харнака (2.11), существует такая константа θ> 0, что θ min w±(T, x) θ max w±(T /2, x) |w0|1. x∈S Сопоставляя эту оценку с (2.12), выводим r x∈S 4 |w(T, x)|1 = 1w+(T, x) - w-(T, x)1 dx = 1 1 S r 1(w+(T, x) - θ |w0|1) - (w-(T, x) - θ |w0|1)1 dx = 1 4 4 1 S r r 4 rw+(T, x) - θ |w0|1) dx + S S 4 rw-(T, x) - θ |w0|1) dx = = |w+(T )|1 + |w-(T )|1 - θ |w0|1 |w+|1 + |w-|1 - θ |w0|1 = r1 - θ )|w0|1. 2 0 0 2 2 Таким образом, мы получаем требуемое неравенство (3.1), в котором q = max f 1 , 1 - θ \. 2 2 4. Приложения 1. Единственность и устойчивость ограниченной траектории. Рассмотрим уравнение (1.1), в котором f ∈ C2(R) - произвольная функция, а h принадлежит пространству Cb(R,H1) и удовлетворяет (2.5) при всех t ∈ R. Следующий результат описывает поведение решений уравнения (1.1) при больших временах. Теорема 4.1. При названных выше условиях для любого c ∈ R существует, и притом единственное, решение v(t, x) для (1.1) в пространстве X (R) ∩ Cb(R,H1), такое, что ±v(t, ·)) = c при всех t ∈ R. (4.1) Более того, существует такое γ > 0, что для любого числа R > 0, достаточно большой константы CR > 0 и любого начального условия u0 ∈ BH1 (R), такого, что ±u0) = c, соответствующее решение u(t, x) удовлетворяет неравенству Доказательство. 2/5 ∗u(t) - v(t)∗1 CR e-γt|u0 - v(0)|1 , t 1. (4.2) Шаг 1: экспоненциальная устойчивость. Покажем сначала, что для любого R > 0 и любых начальных условий u01, u02 ∈ BH1 (R), таких, что ±u01) = ±u02), соответствующие решения удовлетворяют неравенству 2/5 ∗u1(t) - u2(t)∗1 CR e-γt|u01 - u02|1 , t 1, (4.3) где γ > 0 не зависит от начальных условий. Для этого рассмотрим сначала случай, когда решения удовлетворяют неравенству (2.8) при всех t 0. Согласно хорошо известному неравенству 3/5 2/5 интерполяции (см. [1, раздел 15.1]), для любого u ∈ H2 имеем ∗u∗1 C1∗u∗2 |u|1 . Так как H2-норма разности u = u1 - u2 ограничена, неравенство (4.3) будет установлено при t 0, если мы покажем экспоненциальное убывание L1-нормы |u(t)|1. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОТОКА ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА 595 Для этого заметим, что разность u(t, x) удовлетворяет линейному уравнению (2.9). Ввиду невозрастания L1-нормы (см. предложение 2.2), достаточно доказать, что |u(k)|1 qk |u(0)|1 для любого целого числа k 0, где q ∈ (0, 1) не зависит от k. Последняя оценка является непосредственным следствием теоремы 3.1. |1 Для того, чтобы доказать (4.3) для произвольных начальных данных из BH1 (R), заметим, что решения ui удовлетворяют неравенству (2.8) при t 1 с некоторой константой C = C(R). Используя неравенство интерполяции и невозрастание L1-нормы, получаем, что ∗u(t)∗1 C2(R)|u(0) 2/5 при t 1. С другой стороны, решения ui ∈X удовлетворяют (2.8) при t t0 = C3 ln(R + 2), так что 2/5 2/5 ∗u(t)∗1 C4e-γ(t-t0 )|u(t0)|1 C5e-γt|u(t0)|1 при t t0. Сопоставляя это с полученной выше оценкой для ∗u(t)∗1, справедливой при t 1, приходим к неравенству (4.3). Шаг 2: ограниченное решение. Зафиксируем теперь число c ∈ R и построим ограниченное в H1 решение v ∈ X (R) уравнения (1.1), определенное на действительной прямой и удовлетворяющее соотношению (4.1). Как только это будет установлено, неравенство устойчивости (4.2) будет следовать из (4.3). Построение функции v основано на стандартной идее, использующей решения с начальными моментами времени, уходящими на -∞. А именно, обозначим через un решение уравнения (1.1), удовлетворяющее начальному условию un(-n) = c. Тогда для любых m < n и T 1 - m неравенство (4.3), примененное к полупрямой [-m, +∞), влечет, что sup ∗um(t) - un(t)∗1 C6e-γ(T +m). |t| T Переходя к пределу при m → +∞, мы видим, что последовательность (un) сходится в H1 к некоторой функции v ∈ Cb(R,H1) равномерно на любом конечном интервале. Далее, так как последовательность (un) ограничена в X ([-T, T ]) для любого T > 0, слабая компактность единичного шара в гильбертовом пространстве влечет, что v ∈ X (R). Легко проверить, что v является решением уравнения (1.1), удовлетворяющим соотношению (4.1). Это завершает доказательство теоремы. 2. Уравнения со случайной правой частью. Рассмотрим теперь случай, когда внешняя сила h является случайным процессом. А именно, мы предполагаем, что почти каждая траектория h является непрерывной функцией времени со значениями в H2, такой, что соотношение (2.5) выполняется при t 0, а случайная величина T 1 r K := lim sup T →∞ T 0 max t s t+1 ∗h(s)∗2 dt (4.4) конечна почти наверное. Например, в силу теоремы Биркгофа условие (4.4) заведомо выполняется, если h - стационарный случайный процесс в H2 с непрерывными с вероятностью 1 траекториями, такой, что ∗ ∗ ∞ M := E max h(t) 2 < . (4.5) 0 t 1 Теорема 4.2. Предположим, что f ∈ C2(R) - произвольная функция, удовлетворяющая неравенству (1.2), упомянутые выше условия выполнены для h, а u0, v0 ∈ H1 - произвольные начальные данные, такие, что ±u0) = ±v0). Тогда с вероятностью 1 соответствующие решения принадлежат пространству X и таковы, что |u(t) - v(t)|1 → 0 при t → ∞. (4.6) Замечание 4.1. Теорема 4.2 не применима к случаю, когда внешняя сила в уравнении (1.1) имеет вид h + η, где h = h(x) - детерминистская функция, а η = η(t, x) - регулярный по пространственным переменным белый шум. Однако, комбинируя диссипативность динамики с марковским свойством, нетрудно построить возрастающую последовательность моментов остановки (tk ), такую, что разность tk - tk-1 имеет конечный экспоненциальный момент, а решения ограничены в пространстве H2 на интервале [tk , tk + 1]. Повторяя затем рассуждения, использованные 596 А. ДЖУРДЖЕВАК, А. Р. ШИРИКЯН при доказательстве теоремы 4.2, можно установить экспоненциальную сходимость в (4.6) и единственность стационарной меры. Поскольку описанный выше подход хорошо известен и подробно изложен в [12, раздел 3], мы опускаем соответствующее доказательство. Доказательство теоремы 4.2. Зафиксируем два начальных условия u0, v0 ∈ BH1 (R) с одним и тем же средним значением и обозначим через u, v соответствующие решения. Ввиду теоремы 2.1 они корректно определены и принадлежат пространству X с вероятностью 1. Из конечности почти наверное случайной величины (4.4) следует, что существует возрастающая случайная последовательность (tk ), стремящаяся к +∞ вероятностью 1, такая, что sup tk t tk +2 ∗h(t)∗2 2K + 1. Применяя следствие 2.1 к решениям u, v на интервалах [tk , tk + 2], мы построим конечную с вероятностью 1 случайную константу C > 0, такую, что sup tk +1 t tk +2 (∗u(t)∗2 + ∗v(t)∗2) C. Используя теперь теорему 3.1, находим случайную величину q ∈ (0, 1), такую, что |u(tk + 2) - v(tk + 2)|1 q |u(tk + 1) - v(tk + 1)|1 для любого k 1. Сопоставляя это с неравенством (2.12), заключаем, что с вероятностью 1 |u(tk + 2) - v(tk + 2)|1 qk |u0 - v0|1 при всех k 1. Используя снова (2.12), мы видим, что сходимость (4.6) имеет место почти наверное. Замечание 4.2. Теорема 4.2 не уточняет скорость сходимости в (4.6), и вряд ли можно сказать что-то еще о сходимости (4.6) без какой-либо дополнительной информации. С другой стороны, если h - перемешивающийся стационарный процесс, такой, что выполнено (4.5), то случайная величина K в (4.4) равна M почти наверное (по теореме Биркгофа). В этом случае любая информация о скорости перемешивания даст некоторые количественные оценки для случайных времен (tk ), использoванных в приведенном выше доказательстве, а это позволяет описать скорость сходимости в (4.6).

Об авторах

А. Джурджевак

Freie Universitat Berlin

Автор, ответственный за переписку.
Email: adjurdjevac@zedat.fu-berlin.de
Berlin, Germany

А. Р. Ширикян

CY Cergy Paris University; Российский университет дружбы народов

Email: Armen.Shirikyan@cyu.fr
Cergy-Pontoise, France; Москва, Россия

Список литературы