Аналитическое решение пространственно-временного дробного уравнения реакции-диффузии с переменными коэффициентами

Полный текст

1. Постановка задачи для уравнения дробной реакции-диффузии В области Ω = [0, 1] × [0,T], T < ∞, рассмотрим следующую модель адвективной диффузии с переменными коэффициентом диффузии , 0 < α, β < 1, (1.1) с начальным и граничным условиями w(x,0) = Φ(x), 0 x 1, (1.2) Здесь: • A(x) = xβ -пространственный непостоянный коэффициент диффузии; • g(x,t) - источник; © Э.И. Махмуд, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 430 • Dxβw(x,t) - дробная производная Римана-Лиувилля, которая определяется в виде 1; (1.3) • CDtαw(x,t) - дробная производная Капуто, которая определяется в виде . (1.4) Многие авторы исследовали уравнение адвективной диффузии дробного порядка [2, 3, 5, 8, 10, 11], которое возникает при описании физических процессов (например, стохастического переноса при изучении фильтрации жидкости в сильно пористой (фрактальной) среде). Мы решаем первую краевую задачу для уравнения (1.1) методом разделения переменных (метод Фурье). Производная Капуто и производная Римана-Лиувилля рассматриваются во временном и пространственном направлениях соответственно. Приведено доказательство того, что найденное решение краевой задачи удовлетворяет заданным краевым условиям. 2. Предварительные сведения Определение 2.1 (см. [10, c. 3]). Для β ∈ R определим пространство непрерывных функций со степенным весом , с нормой Определение 2.2 (см. [10, c. 3]). Говорят, что вещественнозначная функция Ψ(x) содержится в пространстве Cβm[0,∞), β ∈ R, m ∈ N ∪ 0, если Ψ(m) ∈ Cβ[0,∞), т. e. . Определим пространство функций в области Ω . Определение 2.3 Функция Миттаг-Леффлера с двумя параметрами определяется как , Re(α) > 0, z,β ∈ C. (2.1) Функция Миттаг-Леффлера является обобщением экспоненциальной, гиперболической и тригонометрической функций, поскольку E1,1(z) = ez, E2,2(-z2) = sin(z)/z, E2,1(-z2) = cos(z), E2,1(z2) = ch(z). Для функций Миттаг-Леффлера справедливы следующие формулы [7, c. 70]: (2.2) (2.3) CDtαEα,1(-λtα) = -λEα,1(-λtα), (2.4) d Eα,1(- α) = -λtα-1Eα,α(-λtα). (2.5) λt dt Лeммa 2.1 (см. [3]). Пусть выбраны числа α, β, θ так, что α < 2, β ∈ R и πα/2 < θ < min(π,πα). Тогда в секторе выполнено неравенство . (2.6) Лeммa 2.2 (см. [12, с. 278]). Пусть для последовательности функций gn,n ∈ N, определенных на интервале [t1 + ε,t2] для каждого ε > 0, выполняются следующие условия: a) длясуществуют дробные производные Капуто CDtαgn(t); b) как ряд, так и ряд равномерно сходятся. Тогда функция является α-дифференцируемой (т. е. для неё существует производная Капуто), и выполнено соотношение . (2.7) Лeммa 2.3 (см. [12]). Для f1(t),f2(t) ∈ C1[a,b] выполняется следующее соотношение: (2.8) 3. Основные результаты Для решения уравнения дробной адвекции-диффузии (1.1) с условиями (1.2) мы используем метод разделения переменных (метод Фурье). Представим функцию w(x,t) в виде w(x,t) = W1(x,t) + W2(x,t). (3.1) Тогда задачу (1.1)-(1.2) можно разделить на две задачи следующим образом - первая задача: , (3.2) с начальным и граничным условиями W1(x,0) = Φ(x), , W1(0,t) = W1(1,t) = 0, ; (3.3) и вторая: , (3.4) с начальным и граничным условиями W2(x,0) = 0,, W2(0,t) = W2(1,t) = 0,(3.5) Как принято при решении подобных задач методом Фурье, сначала рассмотрим вспомогательную задачу. Суть этой вспомогательной задачи заключается в нахождении нетривиального решения уравнения (3.2), удовлетворяющего однородным граничным условиям (3.3). Представим искомое решение W1(x,t) в виде произведения W1(x,t) = X(x)T(t). Отсюда следует Из последних соотношений получим , (3.6) (3.7) Таким образом, для определения функций X(x) мы получили задачу Штурма-Лиувилля (задачу на собственные значения). Собственные значения и собственные функции описываются в следующей лемме. Лeммa 3.1. Собственные функции Xn(x) задачи Штурма-Лиувилля (3.6), соответствующие собственным значениям λn будут равны . (3.8) Доказательство. Будем доказывать эту лемму, используя определение дробного дифференцирования Римана-Лиувилля (1.3) и интегрирование уравнения (3.6). Получим ; Затем снова интегрируем по x: Повторный интеграл в левой части равенства равен Используя формулу Коши для повторного интегрирования, получим Таким образом, в силу начальных условий (3.6) и условия , получаем, что задача Штурма-Лиувилля (3.6) эквивалентна интегральному уравнению Фредгольма (3.9) С помощью метода последовательных приближений решение уравнения (3.9) представим в виде , где . Пусть X0 = x и , Отсюда следует, что , тогда мы можем получить собственную функцию Xn(x) задачи Штурма-Лиувилля (3.6), соответствующую собственному значению λn: . Лeммa 3.2. Все собственные значения λn задачи Штурма-Лиувилля (3.6) положительны при λn+1 > λn и представляют собой нули следующей функции: . (3.10) Доказательство. Используем эквивалентное интегральное уравнение (3.9) для задачи (3.6) и обозначим , 1. Можно легко получить резольвентное ядро уравнения (3.9), задав последовательность ядер с помощью рекуррентных равенств Элементарные вычисления показывают, что . - - Индукцией по n получаем Kn+1(x,ν) = F0,n+1(x,ν) - λF1,n+1(x,ν) + λ2F2,n+1(x,ν) - ··· + (-1)n+1λn+1Fn+1,n+1(x,ν). Элементарные вычисления показывают, что Fi,n+1(x,ν) > 0 для любого i > 0 при x > ν. Отсюда для резольвенты уравнения (3.9) имеем формулу . Решение интегрального уравнения (3.9) представим в виде Получаем, что , (3.12) где По правилу знака Декарта [6] количество положительных корней полинома меньше или равно количеству перемен знаков между последовательными (ненулевыми) коэффициентами. Все коэффициенты λ в (3.12) ненулевые, чередуются по знаку. Тогда (3.12) не имеет отрицательных корней. Из уравнения (3.8) и граничного условия задачи Штурма-Лиувилля (3.6) следует, что собственное значение является нулём функции . Лeммa 3.3. Последовательность собственных функций задачи Штурма- Лиувилля (3.6) сходится в пространстве L2[0, 1], то есть удовлетворяет соотношению lim max|Xn(x)| → 0. n→∞ x Доказательство. Из отношений (3.8) для 0 < x 1 получим . Известно из (3.12), леммы 3.2, таб. 1 и [1, теорема 3.2, с. 308], что lim λn(β) = λn(β)|β=0 = β→0 (2πn)2 + 1 (т. е. λn ≡ O(n2)). Тогда получаемпри n → ∞, что приводит к |Xn(x)| -→ 0 при n → ∞. Используя лемму 3.3, легко доказать следующую лемму. Лeммa 3.4. Система собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (3.6) полна в L2(0,1). Рис. 1: График функции ω(λ) для β = 0,1;0,5;0,9. Fig. 1: Graph of the function ω(λ) for β = 0.1;0.5;0.9. λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 10,719 40,667 90,275 159,587 247,917 356,506 Таб. 1: Первые шесть собственных значений уравнения (3.6) при β = 0,5. Tab. 1: The first six eigenvalues of the equation (3.6) for β = 0.5. Система функций является не ортогональной в L2(0,1). Таким образом, мы создаем систему, которая будет биортогональна системе (3.8). Рассмотрим оператор (3.13) с областью определения . Предположим, что оператор K сопряжен с оператором K (см. [4]) таким образом, что , - скалярное произведение и (3.14) где . Поэтому мы рассматриваем следующую сопряженную задачу, связанную с задачей (3.6): , (3.15) с соответствующими собственными функциями . (3.16) Рис. 2: Графики функций для β = 0,5. Fig. 2: Graphs of functions. Уравнение (3.7) изучено в [9, 10], где показано, что собственные функции выражаются через функции Миттаг-Леффлера как Tn = ΦnEα,1(-λntα), а коэффициенты Φn можно определить с помощью системы функций: . (3.17) Пусть функция Φ(x) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям Φ(0) = Φ(1) = 0. Отсюда следует, что Φ(x) ограничена (т. e.). Тогда из ограниченности Xn получаем . (3.18) Если вернуться к вспомогательной задаче (3.2)-(3.3), то видно, что выполнено равенство . (3.19) Теперь будем искать решение задачи (3.4)-(3.5). Решение этой задачи может быть найдено с использованием полного базиса собственных функций Xn в виде ряда . (3.20) Также функция g(x,t) может быть разложена с использованием полного базиса собственных функций Xn в виде , (3.21) где коэффициенты gn(t) можно определить с помощью системы функций: (3.22) Подставив разложение (3.21) в (3.4), получим задачи CDtαun(t) + λnun(t) = gn(t), 0 < α < 1, (3.23) un(0) = 0. Применяя преобразование Лапласа L к каждой части уравнения (3.23), мы получаем . Это даёт Теперь мы получаем Теорема 3.1. Пусть g(x,t) ∈ Cβ,α2,1 (Ω),Φ(x) ∈ Cβ2[0, 1]. Тогда решение w(x,t) ∈ Cβ,α2,1 (Ω) краевой задачи (1.1)-(1.2) существует и может быть представлено в виде ряда где Φn,gn(t) -коэффициенты разложения Фурье функций Φ(x), g(x,t), соответственно, по функциям , Eα,β(z) -функция Миттаг-Леффлера и λn -собственные значения задачи. Доказательство. Из (3.1), (3.19), (3.24) получаем (3.25). Теперь (3.25) определяет классическое решение задачи (1.1)-(1.2), а поточечное дифференцирование слагаемых в (3.25) дает формулы бесконечных рядов для производных, которые мы хотим оценить. Эти результаты могут быть получены при соответствующих гипотезах о данных, обеспечивающих сходимость каждого ряда W1(x,t),W2(x,t). Подробно обсудим сходимость рядов. Предположим, что Φ(x) ∈ Cβ2[0, 1] и g(x,t) ∈ Cβ,α2,1 (Ω) для каждого t ∈ [ε,T], ε > 0, причём с некоторой константой C1, не зависящей от t. Рассмотрим сходимость ряда для W1(x,t) из (3.19). Мы учитываем тот факт, что |Xn(x)| < C2 для любого n. Применяя к (3.18) лемму 2.1, получаем оценку , (3.26) где. Отсюда следует абсолютная сходимость ряда. Теперь оценим функцию W2(x,t): (3.27) Пользуясь (3.24), получаем Таким образом, ряды (3.19) и (3.24) абсолютно и равномерно сходятся на Ω. Из (3.1), (3.26), (3.28), получаем при всех x ∈ [0, 1],t ∈ [ε,T]. Покажем, что решение (3.25) является непрерывно дифференцируемой функцией по переменной t на интервале [ε,T], ε > 0 с использованием (2.5) и леммы 2.1: Из равенства (3.24), леммы 2.3, и того факта, что , следует, что Тогда Комбинируя (3.29) и (3.30), мы видим, что при каждом фиксированном t ∈ [ε,T], ε > 0, ∂ w(x,t) сходится абсолютно и равномерно при (x,t) ∈ Ω для каждого ε > 0. ∂t Аналогичным образом можно доказать, что частное решение (3.25) дважды дифференцируемо по пространственной переменной и = const, (x,t) ∈ Ω. (3.31) Теперь обсудим α-дифференцируемость решения (3.25) по переменной t, используя результат леммы 2.2. Эти результаты могут быть получены при соответствующих гипотезах о данных, обеспечивающих сходимость каждого ряда W1(x,t),W2(x,t). Применим почленно дробную производную порядка α по переменной t к ряду из левой части формулы (3.19) и построим ряд производных: . (3.32) Затем получим Из равенства (3.24), (1.4), леммы 2.3, и того факта, что , следует, что Тогда С учетом (3.34) и леммы 2.3 для ряда (3.24) получаем: Комбинируя (3.33) и (3.35), мы видим, что для каждого фиксированного t α-производная ряда (3.25) сходится абсолютно и равномерно при (x,t) ∈ [0, 1] × [ε,T] для каждого ε > 0. Поэтому она равна CDtαw(x,t) на Ω, и мы получаем = const, (x,t) ∈ Ω. (3.36) Доказательство теоремы 3.1 завершено. 4. Примеры Рассмотрим дифференциальное уравнение , 0 < α,β < 1, (4.1) с начальным и граничным условиями , (4.2) Если в (1.1)-(1.2) подставить g(x,t) = x2+β sin(πx)tαEα,α+1(-tα), Φ(x) = xβ(1 - x), то мы получаем (4.1)-(4.2). Поэтому аналитическое решение уравнения (4.1) может быть получено c использованием теоремы 3.1, и где B(s,m) - бета-функция, . Из соотношений (3.17), (4.3), (4.4) получаем . (4.6) Обозначим . (4.7) Тогда из соотношений (3.22), (4.5), (4.7) получаем . (4.8) Следовательно, из (2.2), (2.3), (3.25) получаем Таким образом, из соотношений (3.25) мы получаем аналитическое решение w(x,t) уравне- (а) β =0,5 (б) β =0,9 Рис. 3: Решение краевой задачи (4.1)-(4.2) при различных β, α = 0,8, T = 1. Fig. 3: Solution of the boundary-value problem (4.1)-(4.2) for various β, α = 0.8, T = 1. (а) α =0,2, 0,5, 0,9, β =0,8, t =1 (б) β =0,1, 0,5, 0,9, α =0,8, t =1 Рис. 4: Решение краевой задачи (4.1)-(4.2) при различных β и α, T = 1. Fig. 4: Solution of the boundary-value problem (4.1)-(4.2) for various β and α, T = 1.

Об авторах

Э. И. Махмуд

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: ei_abdelgalil@yahoo.com
Москва, Россия

Список литературы