Гладкость обобщенных решений краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения второго порядка со смешанными граничными условиями

Полный текст

Введение Функционально-дифференциальные уравнения играют важную роль во многих приложениях, например, в теории систем управления с последействием [1, 2, 6, 7, 12, 13], в теории многомерных пластин и оболочек [11, 17-19], в теории диффузионных процессов [19]. Впервые вопросы существования и гладкости обобщенных решений первой краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа на конечном интервале рассматривались в работах [3, 4]. Было показано, что гладкость обобщенных решений таких задач может нарушаться на сдвигах концов интервала внутрь интервала даже в случае бесконечно дифференцируемой правой части уравнения и сохраняться лишь на подынтервалах, образующихся выбрасыванием орбит концов этого интервала, порожденных группой целочисленных сдвигов разностного оператора. Условие гладкости обобщенных решений на всем интервале в виде ортогональности правой части уравнения конечному числу линейно независимых функций в пространстве L2(0,d) в случае первой краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения с постоянными коэффициентами получено в работах [5, 19]. Аналогичные условия в случае второй краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения с переменными коэффициентами на конечном интервале были получены в работах [14, 15]. В работах [10, 16] исследовались условия на коэффициенты разностного оператора, при которых гладкость обобщенных решений первой и второй краевых задач для дифференциально-разностного уравнения сохраняется при любой правой части. Смешанные задачи для дифференциально-разностных уравнений в цилиндрической области изучались в работах [8, 9]. Вопрос о гладкости обобщенных решений краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения со смешанными граничными условиями на конечном интервале в случае переменных коэффициентов ранее не рассматривался. В настоящей работе исследуется краевая задача для дифференциально-разностного уравнения с условием первого рода на левом конце интервала (0,d) и условием второго рода на правом, а именно, рассматривается уравнение в дивергентном виде , (1) с краевыми условиями (2) (3) где. Оператор RQ определен по формуле RQ = PQRIQ : L2(0,d) → L2(0,d), где IQ : L2(0,d) → L2(R) - оператор продолжения нулем функции из L2(0,d) в R \ (0,d), PQ : L2(R) → L2(0,d) - оператор сужения функции из L2(R) на интервал (0,d), а R : L2(R) → L2(R) - разностный оператор, определенный по формуле , где ak(t) ∈ C∞(R) - комплекснозначные функции. Доказательства свойств оператора RQ, сформулированных в разделе 1 в виде лемм, можно найти в [19, гл. 1]. В разделе 1 рассматриваются разностные операторы RQ на интервале (0,d). Раздел 2 посвящен вопросу существования обобщенного решения задачи (1)-(3). В разделах 3, 4 и 5 исследуется гладкость обобщенных решений рассматриваемой задачи на интервалах целой и нецелой длины. 1. Разностные операторы на интервале (0,d) Рассмотрим разбиение интервала (0,d) на подынтервалы, которые образуются выбрасыванием орбит концов интервала (0,d), порождаемых группой целочисленных сдвигов на k, k ∈ Z. Если θ = 1, то мы получим один класс непересекающихся подынтервалов Q1k = (k - 1,k), k = 1,...,N + 1. Если же 0 < θ < 1, то мы получим два класса непересекающихся подынтервалов Q1k = (k - 1,k - 1 + θ), k = 1,...,N + 1, Q2k = (k - 1 + θ,k), k = 1,...,N. Всюду в дальнейшем будем обозначать N(s) = N + 1 при s = 1 и N(s) = N при s = 2, где s- номер класса подынтервалов. Пример 1.1. Пусть. Тогда, а интервал разбивается на два класса подынтервалов:. Пример 1.2. Пусть d = 3. Тогда N = 2, θ = 1, при этом Q11 = (0,1), Q12 = (1,2), Q13 = (2,3). Через , обозначим оператор ортогонального проектирования функций на в пространстве есть подпространство функций из L2(0,d), равных нулю вне , если θ = 1, и s = 1,2, если 0 < θ < 1. Очевидно, . Лемма 1.1. Операторы R : L2(R) → L2(R) и RQ : L2(0,d) → L2(0,d) ограниченные, при этом . Лемма 1.2. Пространство функций, есть инвариантное подпространство оператора RQ, где s = 1, если θ = 1, и s = 1,2, если 0 < θ < 1. Рассмотрим изоморфизм гильбертовых пространств , определив вектор-функцию (Usu)(t) по формуле ); (1.1) Через, обозначим матрицу порядка N(s) × N(s) с элементами . (1.2) Другими словами, a0(t) a1(t) ... aN(t) ⎞ R1(t) = ⎜⎜⎜⎝ - ... .. ... -1(1 +... t) ⎟⎟⎟⎠, t ∈ R, a 1(1 + t) a0(1 + t) ... aN . a-N(N + t) a-N+1(N + t) ... a0(N + t) ⎛ a0(t) a1(t) ... aN-1(t) ⎞ R2(t) = ⎜ - .. ... ... -2(1 +... t) ⎟⎟⎠⎟, t ∈ R. a 1(1 + t) a0(1 + t) ... aN . ⎝⎜ a-N+1(N + t - 1) a-N+2(N + t - 1) ... a0(N + t - 1) Лемма 1.3. Оператор является оператором умножения на квадратную матрицу Rs(t), где s = 1, если θ = 1, и s = 1,2, если 0 < θ < 1. Лемма 1.4. Оператор RQ + RQ∗ : L2(0,d) → L2(0,d) является положительно определенным тогда и только тогда, когда матрицы Rs(t)+Rs∗(t) положительно определены для всех, s = 1, если θ = 1, и s = 1,2, если -эрмитово сопряженные матрицы. Определение 1.1. Будем говорить, что дифференциально-разностное уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности, если матрицы положительно определены для всех, если θ = 1, и s = 1,2, если 0 < θ < 1. Замечание 1.1. Условие сильной эллиптичности для уравнения (1) эквивалентно выполнению неравенства Re( (1.3) для всех, если θ = 1, и s = 1,2, если 0 < θ < 1; Y ∈ CN(s), где k0 > 0 не зависит от t и Y. Далее будем предполагать, что уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Обозначим через пространство Соболева комплекснозначных функций из L2(0,d), имеющих все обобщенные производные вплоть до k-го порядка из L2(0,d). Скалярное произведение для определено по формуле Лемма 1.5. Пусть , если θ = 1, и s = 1,2, если 0 < θ < 1. Тогда оператор RQ : L2(0,d) → L2(0,d) имеет ограниченный обратный. Пусть, кроме того, . Тогда, если θ = 1, и s = 1,2, если 0 < θ < 1; при этом , где k1 > 0 не зависит от u. 2. Обобщенные решения краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения со смешанными граничными условиями Через обозначим пространство функций u ∈ W21(0,d) таких, что u(0) = 0. Введем неограниченный оператор AR : L2(0,d) ⊃ D(AR) → L2(0,d) с областью определения , действующий по формуле . Определение 2.1. Функцию u ∈ D(AR) будем называть обобщенным решением задачи (1)- (3), если она удовлетворяет операторному уравнению ARu = f. (2.1) Дадим эквивалентное определение. Определение 2.2. Функцию будем называть обобщенным решением задачи (1)-(3), если для всех v ∈ W21,0(0,d) выполнено интегральное тождество . (2.2) Определяя эквивалентное скалярное произведение в пространстве, можно доказать следующую теорему. Теорема 2.1. Пусть выполняется условие (1.3). Тогда для любой функции f ∈ L2(0,d) существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(3), при этом имеет место оценка , (2.3) где k2 -постоянная, не зависящая от f. Следствие 2.1. Пусть уравнение (1) удовлетворяет условию сильной эллиптичности. Тогда оператор AR фредгольмов, indAR = 0 и dimN(AR) = 0. 3. Гладкость обобщенных решений на подынтервалах Теорема 3.1. Пусть выполнено условие сильной эллиптичности (1.3). Если - обобщенное решение задачи (1)-(3), тогда u ∈ W22(Qsk), где k = 1,...,N(s), s = 1, если θ = 1, и s = 1,2, если 0 < θ < 1; при этом , (3.1) где k3 > 0 не зависит от f. Доказательство. Зафиксируем число s. Предположим в интегральном тождестве (2.2), что v ∈ , а также v(t) = 0 при, если 0 < θ < 1. Из (1.1) и леммы 1.3 вытекает, что k где (·,·) - скалярное произведение в при t ∈ . Тогда вектор-функция является обобщенным решением системы N(s) обыкновенных дифференциальных уравнений . Поскольку . По условию элементы матрицы Rs(t) - бесконечно дифференцируемые функции, а , в силу (1.3). Таким образом, , т. е. u ∈ W22(Qsk), k = 1,...,N(s). Следствие 3.1. Пусть выполняется неравенство (1.3), а u ∈ W21,0(0,d) -обобщенное решение задачи (1)-(3), где f ∈ L2(0,d). Тогда уравнение (1) удовлетворяется почти всюду на (0,d), при этом выполняется краевое условие (3). Доказательство. 1. Возьмем произвольную функцию в интегральном тождестве (2.2). Используя определение обобщенной производной в пространстве распределений, получим . Так как f ∈ L2(0,d), то в силу произвольности выбора имеем (3.2) почти всюду на 2. Возьмем теперь произвольную функцию в (2.2). Проинтегрировав по частям левую часть тождества (2.2), в силу равенства v(0) = 0 получим Тогда из (3.2) следует, что . В силу произвольности выбора v ∈ W21,0(0,d) из последнего вытекает равенство . Замечание 3.1. Из теоремы 3.1 и следствия 3.1 следует, что , (3.3) k = 1,...,N(s),s = 1, если θ = 1, и s = 1,2, если 0 < θ < 1}. 4. Гладкость обобщенных решений на интервале целой длины Для формулировки основных результатов о гладкости обобщенных решений задачи (1)-(3) на интервале целой длины введем некоторые обозначения и докажем вспомогательные результаты. Рассмотрим блочную матрицу R1 порядка (N + 1) × (2N + 2) вида R, где - матрицы порядка (N + 1) × (N + 1), которые имеют вид Другими словами, R. Через R11 (R21) обозначим матрицу порядка (N + 1) × (2N + 1), полученную из матрицы R1 вычеркиванием первого (последнего) столбца соответственно, а через R01 матрицу порядка (N +1)×2N, полученную из R1 вычеркиванием первого и последнего столбцов. Введенные матрицы понадобятся для подсчета числа линейно независимых функций, которым должна быть ортогональна правая часть уравнения (1), чтобы обеспечить гладкость обобщенных решений на всем интервале при θ = 1. Замечание 4.1. Первые N + 1 столбцов матрицы R1 используются для описания линейных комбинаций правых производных решения в точках 0,1,... ,N, а последние N+1 столбцов матрицы R1 - для описания линейных комбинаций левых производных решения в точках 1,2,... ,N+1. Последняя строка матрицы R1 задает линейную комбинацию значений левых производных в точках 1,2,... ,N + 1, соответствующую краевому условию (3). Строки матрицы R1 с номерами 1,... ,N задают равенства 0), k = 1,...,N, вытекающие из уравнения (1) и условия f ∈ L2(0,d), см. (4.6). Лемма 4.1. Пусть выполнено условие сильной эллиптичности (1.3). Тогда rankR1 = rankR, rankR01 = rankR Доказательство. 1. Так как последние N + 1 столбцов матриц R1 и R11 формируют невырожденную матрицу R1(1) (см. (1.3)), то мы заключаем, что rankR1 = rankR11 = N + 1. 2. Докажем теперь, что rankR01 = rankR Рассмотрим матрицы R01 и R21. 2a. Если найдется такое k, , то (N + 1)-я строка матрицы порядка (N + 1) × N, полученной из матрицы R1(1) вычеркиванием последнего столбца, равна нетривиальной линейной комбинации строк матрицы R2(1) порядка N × N. С другой стороны, (N + 1)-я строка матрицы порядка (N + 1) × N, полученная из матрицы R1 вычеркиванием первого столбца равна тривиальной линейной комбинации строк матрицы. Таким образом, (N +1)-я строка матрицы R01 не может быть равна линейной комбинации 1-й, 2-й, ..., N-й строк этой матрицы. Таким образом, rankR01 = N + 1. 2b. Если a k(N + 1) = 0, k = 1,...,N, то последняя строка матрицы R01 является нулевой. С другой стороны, матрица- R01 содержит в себе невырожденную матрицу R2(1) порядка N × N. Следовательно, в этом случае rankR01 = N. 2c. Матрица R01 получается из матрицы R21 вычеркиванием ее первого столбца. Поэтому из rankR следует rankR01 = rankR Рассмотрим ограниченный оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(AR0) → L2(0,d) с областью определения , действующий по формуле A0Ru = ARu при u ∈ D(A0R). Из (3.3) следует, что . (4.1) В силу теоремы 2.1 операторное уравнение (2.1) имеет единственное решение uf при любой правой части f ∈ L2(0,d). Из (4.1) следует, что uf ∈ D(A0R) в том и только том случае, когда (4.2) Обозначим через G1j = G1j(t) (G2j = Gj2(t)), j = 1,...,N + 1, j-й столбец матрицы порядка N × (N + 1), полученной из матрицы R1(t) вычеркиванием первой (последней) строки. Предположим, что выполняются условия или . (4.3) Лемма 4.2. Пусть θ = 1, и пусть выполнены условия (1.3) и (4.3). Если столбцы G11(0) и G2N+1(1) линейно независимы, то обобщенное решение u задачи (1)-(3) принадлежит пространству W22(0,d) тогда и только тогда, когда. Если же существуют такие, что α1G11(0) + α2G2N+1(1) = 0, т. е. линейно зависимы, то u ∈ W22(0,d) тогда и только тогда, когда α2u (0 + 0) + α1u ( + 1 - 0) = 0. Доказательство. 1. Пусть столбцы G11(0) и G2N+1(1) линейно независимы. Из теоремы 3.1 и вложения W22(Q1k) ⊂ C1(Q1k), k = 1,...N + 1, следует, что значения определены на концах подынтервалов Q1k. Таким образом, условие u ∈ W22(0,d) можно представить в виде - (4.4) С другой стороны, поскольку u ∈ D(AR), то из (3.3) следует (4.5) Введем обозначения . В силу (1.1), (1.2) и леммы 1.3 равенства (4.5) можно представить в виде (4.6) Из (1.2) вытекают равенства ri,j1 (1) = ri1+1,j+1(0), i,j = 1,...,N. Следовательно, систему (4.6) можно переписать в виде (4.7) Так как (см. (1.3)), то при выполнении (4.4) система (4.7) имеет единственное решение ϕj - ψj = 0, j = 1,...,N, если . (4.8) Так как по условию столбцы G11(0) и G2N+1(1) линейно независимы, то (4.8) справедливо при (4.9) - . (4.10) Следовательно, из условия u ∈ W22(0,d) вытекают равенства (4.9) и (4.10). Обратно, из (4.7), (4.9), (4.10) и невырожденности матрицы R2(1) вытекают равенства (4.4). 2. Пусть теперь столбцы G11(0) и G2N+1(1) линейно зависимы. В этом случае существуют , такие, что α1G11(0) + α2G2N+1(1) = 0. В силу (4.3), не ограничивая общности, предположим, что . Следовательно, и . Таким образом, из (4.8) вытекает т. е. . (4.11) Далее мы покажем, что обобщенное решение u(t) задачи (1)-(3) принадлежит пространству W22(0,d) при условии ортогональности правой части уравнения (1) конечному числу линейно независимых функций в L2(0,d). Соответствующие результаты о гладкости обобщенного решения задачи (1)-(3) будут обобщены на случай 0 < θ < 1 в разделе 5. Теорема 4.1. Пусть θ = 1, и пусть выполнены условия (1.3) и (4.3). 1. Если столбцы G11(0) и G2N+1(1) линейно независимы, то оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(A0R) → L2(0,d) фредгольмов и dimN(A0R) = 0. Если к тому же rankR01 = rankR11 = rankR21 = N + 1, то codimR(A0R) = 2; если же rankR01 = rankR12 = N, то codimR(A0R) = 1. 2. , т. е., то оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(A0R) → L2(0,d) фредгольмов, dimN(AR0) = 0, а codimR(A0R) = 1. 3. Если α1G11(0) + α2G2N+1(1) = 0 и при этом либо rankR01 = rankR11 = N + 1 и G11(0) = 0 или G2N+1(1) = 0, либо rankR01 = rankR21 = N и GN2+1(1) = 0, то оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(A0R) → L2(0,d) фредгольмов, dimN(A0R) = 0, а codimR(A0R) = 1. 4. Если G11(0) = 0 и rankR01 = rankR21 = N, то оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(A0R) → L2(0,d) фредгольмов, dimN(A0R) = 0, а codimR(A0R) = 0. Доказательство. 1. В силу следствия 2.1 dimN(AR) = 0. Поскольку D(A0R) ⊂ D(AR), то dimN(A0R) = 0. 2. Перепишем равенство в виде . (4.12) В силу (3.3) функция u ∈ W21,0(0,d) такая, что u ∈ W22(Q1k), k = 1,...,N + 1, принадлежит D(AR) тогда и только тогда, когда выполняются равенства (4.6) и (4.12), которые можно переписать в виде матричного уравнения R1Φ = 0, (4.13) где Φ := (ϕ0,ϕ1,...,ϕN,-ψ1,-ψ2,...,-ψN+1)T . 3. Рассмотрим случай, когда столбцы G11(0) и G2N+1(1) линейно независимы. В силу леммы 4.2 решение uf операторного уравнения (2.1) принадлежит D(A0R) в том и только том случае, когда справедливы равенства (4.9) и (4.10). Из вложения W22(Q1k) ⊂ C1(Q1k), k = 1,N + 1, и неравенства (3.1) следует, что являются линейными ограниченными функционалами в L2(0,d). Таким образом, в силу теоремы Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве существуют определенные единственным образом функции h1,h2 ∈ L2(0,d) такие, что , Следовательно, равенства (4.9) и (4.10) можно представить в виде (f,hi)L2(0,d) = 0, i = 1,2. Исследуем условия, при которых функции h1 и h2 линейно независимы, а также условия, при которых эти функции линейно зависимы, но на множестве положительной меры. 3a. Рассмотрим случай rankR01 = rankR11 = rankR21 = N + 1. Для доказательства линейной независимости функций h1 и h2 достаточно показать, что существуют функции f1,f2 ∈ L2(0,d), обладающие свойством (fj,hi)L2(0,d) = δij, i,j = 1,2, где δij - символ Кронекера. Не ограничивая общности, докажем, что существует функция f2 ∈ L2(0,d), для которой (f2,h1)L2(0,d) = 0, (f2,h2)L2(0,d) = 1, т. е. . (4.14) Подставляя ϕ0 = ϕ0 = 0 и ψN+1 = ψN+1 = 1 в систему уравнений (4.13), получим , (4.15) где Φ0 = (ϕ1,...,ϕN,-ψ1,...,-ψN)T - 2N-мерный вектор с неизвестными координатами, H2 = (aN(1),aN-1(2),... ,a1(N),a0(N + 1))T . Из условия rankR01 = rankR11 и теоремы Кронекера- Капелли следует, что система уравнений (4.15) разрешима. Обозначим решение этой системы через . ∈ L2(0,d) такая, что решение uf2 операторного уравнения (2.1) удовлетворяет условию (4.14) и Введем функцию , где - вещественнозначная функция, 1/8,1/8] , supp η ⊂ числа удовлетворяют системе линейных По построению v ∈ (AR). Положим Следовательно, полагая uf2 := v, получим равенства (4.14). Используя условие rankR01 = rankR21, аналогичным образом можно доказать существование функции f1 ∈ L2(0,d), для которой ψ +1 = 0. Таким образом, в случае rankRоператор A0R фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 2. 3b. В силу леммы 4.1 кроме случая rankR01 = rankR11 = rankR21 = N + 1, описанного в пункте 3a, возможен лишь случай rankR01 = rankR21 = N. Рассмотрим этот случай. В силу теоремы Кронекера-Капелли система линейных алгебраических уравнений (4.13) несовместна, если для некоторого f2 ∈ L2(0,d) справедливы равенства , т. е. для указанной функции f2 операторное уравнение (2.1) не имеет решения uf2 ∈ D(AR) такого, что . Следовательно, для всех f ∈ L2(0,d) мы имеем , т. е. h2 = 0. С другой стороны, по предположению rankR01 = rankR21 = N. Поэтому в силу теоремы Кронекера-Капелли система уравнений (4.13) совместна для любых f ∈ L2(0,d). Аналогично части 3a доказательства можно построить такую функцию f1 ∈ L2(0,d), что , т. е. . Таким образом, оператор A0R фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 1. 4. Пусть теперь столбцы G11(0) и G2N+1(1) линейно зависимы. Тогда существуют такие , что . В силу леммы 4.2 решение uf операторного уравнения (2.1) принадлежит D(A0R) тогда и только тогда, когда справедливо (4.11). Таким образом, в силу теоремы Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве существует единственная функция h ∈ L2(0,d) такая, что . Следовательно, равенство (4.11) можно переписать в виде (f,h)L2(0,d) = 0. Покажем, что существует такая функция f0 ∈ L2(0,d), что выполнено равенство (f0,h)L2(0,d) = 1. (4.16) 4a. Предположим вначале, что , при этом либо rankR01 = rankR11 = N + 1, либо rankR01 = rankR21. Не ограничивая общности, рассмотрим случай rankR01 = rankR21. Докажем, что . В силу (4.16) достаточно показать, что существует такая функция f1 ∈ L2(0,d), что , т. е. (f1,h)L2(0,d) = 1. Другими словами, достаточно построить функцию, для которой . (4.17) Полагая в (4.13), получим , (4.18) где -мерный вектор с неизвестными координатами и . В силу леммы 4.1 rankR01 = rankR21. Отсюда и из теоремы Кронекера-Капелли следует, что система уравнений (4.18) разрешима. Обозначим через решение этой системы. Докажем существование функции f1 ∈ L2(0,d), для которой решение uf1 операторного уравнения (2.1) удовлетворяет условию (4.17) и Введем функцию , где, а числа ϕ1,...,ϕN, ψ1,...,ψN удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений (4.18). По построению v ∈ D(AR). Положим f1 := ARv. Полагая uf1 := v, получим равенства (4.17). Следовательно, . Таким образом, оператор A0R фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 1. 4b. Пусть теперь rankR01 = rankR11 = N+1, при этом либо α1 = 0, либо α2 = 0. Не ограничивая общности, предположим, что . Тогда G11(0) = 0. Для доказательства того, что , построим функцию f2 ∈ L2(0,d) такую, что , 1 т. е. (f2,h)L2(0,d) = 1. Другими словами, требуется построить такую функцию f2 ∈ L2(0,d), для которой . (4.19) Учитывая, что G11(0) = 0, и подставляя в систему уравнений (4.13), получим R, где -мерный вектор с неизвестными координатами и . В силу условия rankR01 = rankR11 = N + 1 и теоремы Кронекера-Капелли система уравнений (4.20) разрешима. Обозначим решение системы (4.20) через . Аналогично пункту 3a можно доказать существование такой функции f2 ∈ L2(0,d), что при f = f2 решение uf2 операторного уравнения (2.1) удовлетворяет условию (4.19) и, Таким образом, оператор A0R фредгольмов, dimи codim. 4c. Пусть rankR01 = rankR. В пункте 3b доказано, что из условия rankR01 = rankR21 = N следует равенство h2 = 0. Поэтому для доказательства того, что достаточно построить такую функцию f1 ∈ L2(0,d), что , т. е. (f1,h)L2(0,d) = 1. Другими словами, функция f1 ∈ L2(0,d) такова, что . (4.21) Учитывая, что h2 = 0, т. е. для всех f ∈ L2(0,d), и подставляя 1 в систему уравнений (4.13), получим систему (4.18). α2 Аналогично пункту 3a можно доказать существование такой функции f1 ∈ L2(0,d), что при f = f1 решение uf1 операторного уравнения (2.1) удовлетворяет условию (4.21) и, - 0) = ψj, j = 1,...,N. Таким образом, если при rankR01 = rankфредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 1. 4d. Остается рассмотреть случай, когда rankR01 = rank. Из пункта 3b и условия α2 = 0 следует, что h = α2h1 + α1h2 = 0. Таким образом, при оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(A0R) → L2(0,d) фредгольмов, dimN(A0R) = 0, а codimR(A0R) = 0, если rankR01 = rankR21 = N. Пример 4.1. Рассмотрим оператор RQ : L2(0,3) → L2(0,3), где Q = (0,3), (Ru)(t) = 20u(t) + etu(t + 1) + etu(t - 1). Тогда N = 2, θ = 1, а матрица R1(t) принимает вид , 0 t 1. Матрица R1 имеет вид R . Очевидно, матрица , удовлетворяет условию (1.3), условие (4.3) выполнено, а столбцы G11(0) = (e,0)T и G23(1) = (0,e2)T линейно независимы. Выпишем матрицу R01 R . Так как . Таким образом, в силу части 1 теоремы 4.1 оператор A0R : W22(0,3) ⊃ D(A0R) → L2(0,3) фредгольмов, dimN(AR0) = 0, при этом codimR(A0R) = 2. Пример 4.2. Рассмотрим оператор RQ : L2(0,3) → L2(0,3), где Q = (0,3), (Ru)(t) = 2u(t) + (1 - et-2)u(t + 1) + (1 - et-3)u(t - 1) + (1 - et-3)u(t + 2). Тогда N = 2, θ = 1, а матрица R1(t) имеет вид , 0 t 1. Матрица R1 принимает вид R . Матрица, удовлетворяет условию (1.3), условие (4.3), очевидно, выполнено, а столбцы G11(0) = (1-e-2,0)T и G23(1) = (1-e-2,0)T линейно зависимы, при этом α1 = 1, α2 = -1. Матрицы R01 и R21 имеют вид R , R . Очевидно, rankR01 = rankR21 = 2. Следовательно, в силу части 2 теоремы 4.1 оператор A0R : W22(0,3) ⊃ D(A0R) → L2(0,3) фредгольмов, dimN(A0R) = 0, при этом codimR(A0R) = 1. 5. Гладкость обобщенных решений на интервале нецелой длины Рассмотрим матрицу R1 порядка N × (2N + 1) вида R ... ... ... ... aN-1(1) aN-2(2) ... a0(N) a0(1) a 1(2) - ... a N+1(N) - ... ... ... ... и матрицу R2 порядка (N + 1) × (2N + 1) вида R . Обозначим через R11 матрицу порядка N × 2N, полученную из матрицы R1 вычеркиванием первого столбца, а через R22 матрицу порядка (N + 1) × 2N, полученную из матрицы R2 вычеркиванием последнего столбца. Замечание 5.1. Первые N + 1 столбцов матрицы R1 используются для описания линейных комбинаций правых производных решения в точках 0,1,... ,N, а последние N столбцов матрицы R1 - для описания линейных комбинаций левых производных решения в точках 1,2,... ,N. В случае матрицы R2 первые N столбцов необходимы для описания линейных комбинаций правых производных решения в точках k - 1 + θ, k = 1,...,N, а последние N + 1 столбцов - для описания линейных комбинаций левых производных решения в точках k-1+θ, k = 1,...,N +1. Последняя строка матрицы R2 задает линейную комбинацию значений левых производных в точках k-1+θ, k = 1,...,N +1, соответствующую краевому условию (3). Вытекающие из уравнения (1) и условия f ∈ L2(0,d) равенства (см. (5.4)), задаются 1,...,N строками матрицы R1, а равенства , k = 1,...,N (см. (5.5)), задаются строками матрицы R2 с номерами 1,...,N. Лемма 5.1. Пусть выполнено условие (1.3). Тогда rankR1 = rankR11 = N, rankR2 = N +1 и rankR Доказательство. Справедливость rankR1 = rankR11 = N и rankR очевидна. Равенство rankR2 = N + 1 вытекает из Rea0(t) > 0, что следует из условия (1.3). Как и в разделе 4, обозначим через G1j = G1j(t) (G2j = Gj2(t)), j = 1,...,N + 1, j-й столбец матрицы порядка N ×(N +1), полученной из матрицы R1(t) вычеркиванием первой (последней) строки. Предположим, что выполнены условия или . (5.1) Лемма 5.2. Пусть 0 < θ < 1, и пусть выполнены условия (1.3) и (5.1). Если, то обобщенное решение u задачи (1)-(3) принадлежит пространству W22(0,d) тогда и только тогда, когда. Если G11(0) = 0 или G2N+1(θ) = 0, то обобщенное решение u задачи (1)-(3) принадлежит пространству W22(0,d) тогда и только тогда, когда в случае θ - 0) = 0 в случае. Доказательство. В силу определения D(AR) (см. (3.3)), теоремы 3.1 и вложения W22(Qsk) ⊂ , значения определены на концах подынтервалов Qsk. Таким образом, условие u ∈ W22(0,d) можно переписать в виде (5.2) (5.3) С другой стороны, u ∈ D(AR), следовательно, (5.4) (5.5) Введем обозначения . Не ограничивая общности, рассмотрим соотношения (5.4). В силу (1.1), (1.2) и леммы 1.3 равенства (5.4) можно представить в виде Так как (см. (1.3)), то при условии выполнения равенств (5.2) система (5.6) имеет единственное решение ϕ1,j - ψ1,j = 0, j = 1,...,N, если . Пусть, например, выполнено первое из условий (5.1). Тогда. Следовательно, . (5.7) Аналогичным образом можно показать, что при условии выполнения (5.3) вытекающая из равенств (5.5) система (5.8) имеет единственное решение ϕ2,j - ψ2,j = 0, j = 1,...,N, если и . (5.9) Теорема 5.1. Пусть 0 < θ < 1, и пусть выполнены условия (1.3) и (5.1). 1. Если = rankR2 = N + 1, то оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(A0R) → L2(0,d) фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 2. 2. Если и rankR22 = N, то оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(A0R ) → L2(0,d) фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 1. 3. Если G2N+1(θ) = 0 или G11(0) = 0 и rankR22 = rankR2 = N +1, то оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(A0R) → L2(0,d) фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 1. 4. Если G11(0) = 0 и rankR22 = N, то оператор A0R : W22(0,d) ⊃ D(A0R) → L2(0,d) фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 0. Доказательство. 1. Согласно части 1 доказательства теоремы 4.1 заключаем, что dimN(A0R) = 0. 2. В силу леммы 5.2 решение uf операторного уравнения (2.1) принадлежит пространству W22(0,d) в том и только том случае, когда справедливы равенства (5.7) и (5.9). Из неравенства (3.1) и вложения W22(Q1k) ⊂ C1(Q1k), k = 1,N + 1, вытекает, что являются линейными ограниченными функционалами в L2(0,d). Таким образом, в силу теоремы Рисса об общем виде функционала в гильбертовом пространстве существуют определенные единственным образом функции h1,h2 ∈ L2(0,d) такие, что , Следовательно, равенства (5.7) и (5.9) можно представить в виде (f,hi)L2(0,d) = 0, i = 1,2. Перепишем равенство в виде . (5.10) В силу (3.3) функция такая, что u ∈ W22(Qsk), s = 1,2, k = 1,...,N(s), принадлежит D(AR) тогда и только тогда, когда выполняются равенства (5.6), (5.8) и (5.10), которые можно представить в виде матричных уравнений R1Φ1 = 0, (5.11) R2Φ2 = 0, (5.12) где Φ1 := (ϕ1,0,...,ϕ1,N,-ψ1,1,...,-ψ1,N)T , Φ2 := (ϕ2,1,...,ϕ2,N,-ψ2,1,...,-ψ2,N+1)T . 3. Предположим вначале, что 3a. Рассмотрим случай rankR22 = rankR2 = N+1. Для доказательства линейной независимости функций h1 и h2 достаточно показать, что существуют функции f1,f2 ∈ L2(0,d), обладающие свойством (fj,hi)L2(0,d) = δij, i,j = 1,2, где δij - символ Кронекера. Докажем, например, что существует функция f2 ∈ L2(0,d) такая, что (f2,h1)L2(0,d) = 0, (f2,h2)L2(0,d) = 1, т. е. необходимо построить функцию f2, для которой uf2(0 + 0) := ϕ1,0 = 0, uf2( + - 0) := ψ2,N+1 = 1. (5.13) Подставляя в системы уравнений (5.11) и (5.12) соответственно, получим R, (5.14) R22Φ02 = H2, (5.15) T ψ1,N)T , Φ02 := -ψ2,1,...,-ψ2,N)T . и теоремы Кронекера-Капелли система уравнений (5.15) разрешима. Обозначим через решение системы (5.15), а через - тривиальное решение системы (5.14). Докажем, что существует функция f2 ∈ L2(0,d) такая, что решение uf2 операторного уравнения (2.1) удовлетворяет условию (5.13) и, Введем функцию , где - вещественнозначная функция, [, , числа ϕ1,1 = 0,...,ϕ1,N = 0, ψ1,1 = удовлетворяют системам линейных алгебраических уравнений (5.14) и (5.15) соответственно. По построению v ∈ D(AR). Положим f2 := ARv. Тогда, полагая uf2 := v, получим равенства (5.13). Аналогично, используя очевидное равенство rankR1 = rankR11, можно построить функцию f1 ∈ L2(0,d), для которой . (5.16) Следовательно, оператор A0R фредгольмов, и codimR(A0R) = 2. 3b. Пусть теперь rankR22 = N. Тогда в силу теоремы Кронекера-Капелли система линейных алгебраических уравнений (5.12) несовместна, если для некоторого f2 ∈ L2(0,d) справедливо . Следовательно, для всех f ∈ L2(0,d) мы имеем . С другой стороны, в силу теоремы Кронекера- Капелли система уравнений (5.11) совместна для любых f ∈ L2(0,d), так как rankR1 = rankR11. Аналогично части 2a доказательства можно показать, что существует функция f1 ∈ L2(0,d) такая, что , т. е.. Таким образом, оператор A0R фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 1. 4. Предположим теперь, что . В этом случае, исследуя только систему уравнений (5.11), аналогично части 3a можно показать, что оператор A0R фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 1. 5. Наконец, предположим, что. Если rankR22 = rankR2 = N +1. Тогда, исследуя только систему уравнений (5.12), аналогично части 3a доказываем, что оператор A0R фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 1. Если же rankR22 = N, мы также исследуем только систему уравнений (5.12). Однако в пункте 3b показано, что из условия rankR22 = N следует равенство h2 = 0. Таким образом, h = h2 = 0 и мы заключаем, что оператор A0R фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 0. Пример 5.1. Рассмотрим оператор , (Ru)(t) = 10u(t) + (1 + et)u(t + 1) + et-1u(t - 1). Тогда, а матрицы R1(t) и R2(t) принимают вид . Матрицы R1 и R2 имеют вид R, R . Матрицы R1(t) при при удовлетворяют условию (1.3), при этом G11(0) = (1,0)T и G23(θ) = (0,1 + e6/5)T , а условие (5.1), очевидно, выполнено. Таким образом, в силу части 1 теоремы 5.1 оператор фредгольмов, dimN(A0R) = 0 и codimR(A0R) = 2.

Об авторах

Н. О. Иванов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: noivanov1@gmail.com
Москва, Россия

Список литературы