Исключительные множества

Полный текст

1. Введение Пусть f - целая функция экспоненциального типа в комплексной плоскости, т. е. . Другими словами, выполнено неравенство . Функция , © А.С. Кривошеев, О.А. Кривошеева, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 289 называется индикатором f. Говорят [15, гл. III], что f имеет вполне регулярный рост, если , где E ⊂ (0,+∞) - множество нулевой относительной меры (E0-множество), т. е. (символ mes обозначает лебегову меру множества). Классический результат Б.Я. Левина [15, гл. II, теорема 2; гл. III, теорема 4] утверждает, что f имеет вполне регулярный рост тогда и только тогда, когда ее кратное нулевое множество является правильно распределенным. При этом выполнено равенство ln|f(reiϕ)| = rhf(ϕ) + α(r), reiϕ ∈ C \ Bf, α(r)/r → 0, r → +∞, (1.1) где Bf - C0-множество, т. е. может быть покрыто кругами, такими, что . Отметим, что в работе [5] доказывается, что эти круги могут быть непересекающимися. Автор книги [15] отмечает, что исключительное множество Bf строится неконструктивно. Доказывается лишь, что оно существует. В одном частном случае в [15] удается построить простое исключительное множество. С этой целью в книге [15] вводится понятие регулярного множества Λ = {λk,nk}. Это простое (т. е. nk ≡ 1) правильно распределенное множество, для которого круги специальных радиусов с центрами в точках λk попарно не пересекаются. В случае, когда Λf - регулярное множество, верно (1.1), где Bf является объединением указанных кругов. В работе [14] вводится понятие правильно сбалансированного кратного множества Λ = {λk,nk}. Это правильно распределенное множество с нулевым индексом конденсации SΛ, который был введен в работе [6]. В [14] доказывается, что регулярное множество является частным случаем правильно сбалансированного множества. Более того, доказывается [14, теорема 4.5], что правильная сбалансированность множества Λf является необходимым и достаточным условием для того, чтобы в равенстве (1.1) исключительное множество Bf состояло из попарно непересекающихся кругов относительно малых радиусов. Цель данной работы - конструктивное построение простого исключительного множества Bf, которое фигурирует в равенстве (1.1), в форме, удобной для его применения. Другой целью этой работы является конструктивное построение разбиения нулевого множества Λf на относительно малые группы так, чтобы групповой индекс конденсации SΛ(U), введенный в работах [9, 10], равнялся нулю. В работе [10] по всем таким разбиениям строится базис в инвариантном относительно оператора дифференцирования подпространстве аналитических функций в выпуклой области комплексной плоскости. При этом в [10] подобные разбиения не строятся, а лишь доказывается, что они существуют. Во втором разделе данной работы строятся специальные покрытия кратных множеств {λk,nk}, состоящие из кругов с центрами в точках λk специальных радиусов. В частности, строятся покрытия, связные компоненты которых имеют относительно малый диаметр, а также покрытия, которые являются C0-множествами. Третий раздел носит вспомогательный характер. В нем устанавливаются оценки снизу на модули специальных многочленов. Основные результаты работы приведены в двух последних разделах. Здесь получена оценка (1.1) для функции вполне регулярного роста вне исключительных множеств Bf, построенных в предыдущем разделе (теоремы 4.1 и 4.2). Построены базисы в инвариантном подпространстве аналитических функций в выпуклой области. Они состоят из линейных комбинаций собственных и присоединенных функций (экспоненциальных мономов) оператора дифференцирования, разбитых на относительно малые группы (теоремы 5.1 и 5.2). 2. Специальное покрытие Пусть - последовательность различных комплексных чисел λk и их кратностей nk. Считаем, что |λk| не убывает и |λk| → ∞, k → ∞. Символом n(z,r,Λ) обозначим число точек λk с учетом их кратностей nk в круге B(z,r) с центром в точке z ∈ C и радиуса r > 0. Положим n(r,Λ) = n(0,r,Λ). Верхней плотностью последовательности Λ называется величина . Говорят, что Λ имеет плотность n(Λ) (измерима), если существует предел . Положим . Величина n0(Λ) называется максимальной плотностью Λ. В силу [1, лемма 2.1] верны неравенства . (2.1) Пусть , обозначает максимальное среди всех p ∈ N, для которых верно равенство n(λk,hp,Λ) = p. Таким образом, , (2.2) Лемма 2.1. Пусть Λ = {λk,nk} -последовательность с конечной верхней плотностью n(Λ) = τ. Для всех величина βk(h,Λ) корректно определена и n(λk,hp,Λ) < p, p > βk(h,Λ). (2.3) Если h ∈ (0,((μ + 1)τ)-1), то существует номер k(h) такой, что . (2.4) Доказательство. Пусть . Предположим, что для некоторой последовательности чисел pj верны неравенства. Тогда Получили противоречие. Таким образом, существует номер βk(h,Λ) такой, что . (2.5) Предположим, что n(λk,βk(h,Λ)h,Λ) > βk(h,Λ). Тогда . Это противоречит (2.5). Следовательно, верно (2.2) и (2.3). Это означает, что величина βk(h,Λ) определена корректно. Пусть h ∈ (0,((μ+1)τ)-1). Согласно определению n(Λ) найдем номер k(h) такой, что . Отсюда получаем (2.4). Лемма доказана. Положим , и пусть , - все связные компоненты множества Ω(h,Λ). Лемма 2.2. Λ = {λk,nk} -последовательность с конечной верхней плотностью n(Λ) = τ и h ∈ (0,(4τ)-1). Множества Ωs(h,Λ) ограничены и существуют номера k(s,p), , такие, что , (2.6) и круги, попарно не пересекаются. Кроме того, (2.7) где ds(h) -диаметр множества Ωs(h,Λ) и . Доказательство. Покажем вначале, что Ωs(h,Λ) - ограниченное множество для всех s 1. Для этого достаточно показать, что ограничены все связные компоненты множества . Предположим, что это множество содержит неограниченную компоненту (r1,∞). Определим номера k(l). Номер k(1) найдем из условия |λk(1)| + βk(1)(h,Λ)h = max{|λk| + βk(h,Λ)h : |λk| - βk(h,Λ)h = r1}. Предположим, что такой выбор невозможен. Тогда найдутся натуральные числа kj такие, что . Отсюда согласно условию и определению βk(h,Λ) получаем: Получили противоречие. Таким образом, номер k(1) корректно определен. Далее, среди всех номеров k таких, что |λk| + βk(h,Λ)h > |λk(1)| + βk(1)(h,Λ)h > |λk| - βk(h,Λ)h > r1, выберем номер k(2), реализующий максимум величины |λk| + βk(h,Λ)h. Он существует по тем же соображениям, что и при получении неравенств (2.8). Определим по индукции номера k(l) из условия |λk(l+1)| + βk(l+1)(h,Λ)h = max{|λk| + βk(h,Λ)h}, где максимум берется по всем номерам k таким, что (2.9) Как и выше, номер k(l + 1) корректно определен. Таким образом, верно равенство . В силу (2.9) и определения номера k(l + 1) имеем: |λk(l+1)| + βk(l+1)(h,Λ)h > |λk(l)| + βk(l)(h,Λ)h > |λk(l+1)| - βk(l+1)(h,Λ)h > > |λk(l-1)| + βk(l-1)(h,Λ)h, l > 1. Последнее означает, что каждая точка множества (r1,∞) принадлежит не более чем двум из интервалов . Поэтому с учетом определения чисел βk(h,Λ) получаем: Получили противоречие. Таким образом, все связные компоненты множества U ограничены. Это означает, что ограничены также множества . Фиксируем . Определим точки , такие, что верно (2.6) и круги , попарно не пересекаются. Пусть λk(s,1) - одна из точек λk ∈ Ωs(h,Λ), для которой верно равенство βk(s,1)(h,Λ) = max βk(h,Λ). λk∈Ωs(h,Λ) Поскольку Ωs(h,Λ) - ограниченное множество, то такая точка существует. Предположим, что мы уже определили точки. Тогда в качестве точки λk(s,l+1) берем любую из точек , для которой верно равенство . (2.10) Таким образом, точки , определены. По построению каждая точка λk ∈ Ωs(h,Λ) принадлежит объединению кругов . Пусть . Тогда в силу (2.10) имеет место вложение B(λk,βk(h,Λ)h) ⊂ B(λk(s,l+1),3βk(s,l+1)(h,Λ)h). Поскольку , (2.11) то это дает нам (2.9). Таким образом, . Отметим, что . Кроме того, в силу (2.10) верны неравенства . (2.12) Поэтому круг B(λk(s,l+1),βk(s,l+1)(h,Λ)h) не имеет общих точек с кругами B(λk(s,p),βk(s,p)(h,Λ)h) для всех Учитывая еще (2.10) и то, что множества , попарно не пересекаются, находим, что все круги, попарно не пересекаются. Отсюда с учетом (2.6), (2.11) и (2.2) получаем: . С учетом определения величины n(Λ) это дает нам (2.7). Лемма доказана. Пусть Λ = {λk,nk}, n(Λ) = τ и h ∈ (0,(4τ)-1). По лемме 2.2 множества Ωs(h,Λ) ограничены. В дальнейшем считаем, что (2.13) Лемма 2.3. Λ = {λk,nk} -последовательность с конечной максимальной плотностью n0(Λ) = τ при порядке ρ(r) ≡ 1. Для каждого h ∈ (0,(6τ)-1) имеем: . (2.14) Доказательство. Покажем вначале, что . (2.15) Предположим, что это неверно. Тогда в силу (2.4) существуют число α > 0 и номера, такие, что . Пусть ε ∈ (0,α) и . Тогда с учетом (2.2) получаем: . Отсюда в силу (2.1), произвольности ε ∈ (0,α) и выбора числа h имеем: Получили противоречие. Таким образом, (2.15) верно. Предположим теперь, что неверно (2.14). Тогда найдется последовательность номеров s(j), точки и число δ ∈ (0,1/2) такие, что . В силу (2.9) проекции кругов , (2.16) на прямую, проходящую через точки zs(j) и ws(j), покрывают отрезок [zs(j),ws(j)]. Поэтому согласно (2.15) и определению числа μs(j)(h) для всех достаточно больших номеров j сумма радиусов всех кругов (2.16), лежащих в кольце (1 - 2δ)μs(j) < |z| < μs(j) не меньше, чем δμs(j). Таким образом, , где сумма берется по всем указанным кругам. Поскольку круги B(λk(s(j),p),βk(s(j),p)(h,Λ)h), p = , попарно не пересекаются, то из предыдущего с учетом (2.2) получаем: . Отсюда в силу (2.1), произвольности ε ∈ (0,α) и выбора числа h имеем: Получили противоречие. Таким образом, (2.14) верно. Лемма доказана. Лемма 2.4. Пусть Λ = {λk,nk}, n(Λ) = τ и 2h ∈ (0,τ-1). Верно неравенство . (2.17) Доказательство. Предположим, чтоВыберем произвольную точку λk ∈ B(z,ph). Верно вложение B(z,ph) ⊂ B(λk,2ph). Следовательно, Отсюда с учетом (2.3) получаем:. Это означает, что z ∈ B(λk,2ph) ⊂ B(λk,2βk(2h,Λ)h) ⊂ Ω(2h,Λ). Получили противоречие. Таким образом, (2.17) верно. Лемма доказана. Пусть - разбиение последовательности {λk,nk} на конечные группы Us. Точки λk, попавшие в группу Us, будем обозначать λs,l, а их кратности - ns,l. Первый индекс совпадает с номером группы, а второй индекс меняется в пределах от 1 до Ms, где Ms - число точек λk, попавших в группу Us. Будем считать, что . Разбиение U = {Us} будем называть тривиальным, если каждая группа Us состоит из одной точки λs,1. Будем говорить, что Us - группы относительно малого диаметра, если . (2.18) | | Пусть Ns - число точек λk, попавших в Us, с учетом их кратности. Будем также говорить, что группы Us относительно малы, если они являются группами относительно малого диаметра и . | Пусть n(Λ) = τ и h ∈ (0,(4τ)-1). Символом U(h) = {Us(h)} обозначим разбиение {λk} на группы, где Us(h) состоит из всех точек λk, принадлежащих Ωs(h,Λ). По лемме 2.2 группы Us(h) ограничены. Пусть Ns(h) - число точек λk, попавших в Us(h) с учетом их кратности. Лемма 2.5. Пусть Λ = {λk,nk}, n0(Λ) = τ. Для каждого h ∈ (0,(6τ)-1) группы Us(h) относительно малы. Доказательство. В силу леммы 2.3 верно (2.18), т. е. Us(h) - группы относительно малого диаметра. Тогда и для каждого δ ∈ (0,1) найдется номер такой, что для всех множество Ωs(h,Λ) лежит в кольце (1 - δ)μs(h) < |z| < μs(h). Следовательно, согласно (2.12) имеем: | Так как δ ∈ (0,1) - любое, то N(Λ,U) = 0. Лемма доказана. Пусть . Имеет место вложение . (2.19) При этом для каждого s 1 существует такое, что . Пусть H = {hm}, R = {rm} удовлетворяют соотношениям: . (2.20) Определим множества Ωm,l(H,R,Λ), . (2.21) В качестве , возьмем все множества Ωs(h1,Λ), для которых верно неравенство . Предположим, что мы уже построили множества Ωj,l(H,R,Λ), - . (2.22) Тогда в качестве Ωs(hm,Λ), для которых верно неравенство, и которые попарно не пересекаются с множествами из (2.22). Положим . (2.23) По построению все множества из (2.21) являются связными и попарно не пересекаются. Таким образом, множества из (2.21) являются связными компонентами множества Ω(H,R,Λ). Из (2.19) следует, что . (2.24) Лемма 2.6. Λ = {λk,nk} и n(Λ) = τ. Предположим, что H = {hm} и R = {rm} удовлетворяют соотношениям (2.20). Тогда Ω(H,R,Λ) является C0-множеством. Доказательство. По построению с учетом (2.6) имеем: . Пусть. По лемме 2.2 круги , попарно не пересекаются. Поскольку Λ имеет конечную верхнюю плотность, то найдется c > 0 такое, что . Тогда с учетом (2.11), (2.2), (2.4) и (2.20) получаем: . Лемма доказана. 3. Оценки снизу специальных многочленов Пусть . Положим и B(w,δ|w|) не содержит ни одной точки λk, полагаем qΛ(z,w,δ) ≡ 1. Нетрудно заметить, что верны неравенства: (3.1) . (3.2) Лемма 3.1. Пусть . Тогда . (3.3) | Доказательство. Пусть z ∈ B(w,δ|w|)\Ω(h,Λ) и ξk(1),...,ξk(n) - все точки λk с учетом их кратностей nk из круга B(w,δ|w|). При этом . В силу леммы 2.4 имеем: Отсюда получаем: . Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть Λ = {λk,nk}, n(Λ) = τ, 2h ∈ (0,τ-1). Для каждого ε > 0 существует δ ∈ (0,1/3) такое, что . (3.4) Доказательство. В силу (3.3) имеем: Отсюда получаем (3.4). Лемма доказана. Введем локальную характеристику последовательности Λ = {λk,nk}. Пусть Λ разбита на группы U = {Us}. Положим . Если круг B(λs,l,δ|λs,l|) не содержит точек . Для разбиения U определим групповой индекс конденсации (см. [9, 10]) . В силу (3.1) функция SΛ(U,δ) монотонна. Поэтому предел всегда существует. При этом верно неравенство. В случае, когда разбиение U тривиально, SΛ(U) совпадает с индексом конденсации SΛ, введеным в работе [6]. Индексы SΛ и SΛ(U) играют важную роль при исследовании задач интерполяции и фундаментального принципа [6], представления функций из инвариантных подпространств [10], а также при решении задачи о распределении особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов, расположенных на границе его области сходимости [12]. Лемма 3.3. Пусть Λ = {λk,nk}, n(Λ) = τ, h ∈ (0,(4τ)-1). Тогда SΛ(U(h)) = 0. Доказательство. Пусть s 1. Рассмотрим последовательность . Так как Ωs(h,Λ) - связная компонента множества Ω(h,Λ), то верно равенство Ω(h,Λs(h)) = Ω(h,Λ) \ Ωs(h,Λ). В силу (3.3) для каждого , имеем: , Отсюда получаем неравенство Следовательно,. Поскольку всегда. Лемма доказана. Лемма 3.4. Пусть Λ = {λk,nk}, n0(Λ) = τ. Предположим, что H, R удовлетворяют (2.20) и . (3.5) Тогда для каждого ε > 0 существуют δ ∈ (0,1/3) и t > 0 такие, что (3.6) Доказательство. Предположим, что (3.6) неверно. Тогда для некоторого числа ε > 0 существуют последовательности {wp}, {zp} такие, что zp ∈ B(wp,p-1|wp|) \ Ω(H,R,Λ), |wp| → ∞, ln|qΛ(zp,wp,p-1)| < -5ε|wp|, p > 3. Отсюда и из (3.1) следует, что (3.7) ln|qΛ(zp,wp,δ)| < -4ε|wp|, δ ∈ (0,1/3), p > δ-1. (3.8) По лемме 3.2 для h = h1 выполнено (3.4). Следовательно, для каждого p > 3 найдется номер s(p) такой, что zp ∈ Ωs(p)(h1,Λ). Как и в лемме 3.3, рассмотрим последовательность Λs(p)(h1). Верно представление . В силу (3.3) имеем: . (3.9) Пусть. Так как zp ∈ Ωs(p)(h1,Λ), то в силу (2.14) и (3.5) rm(p) < μs(p)(h1) < rm(p)+2, p > p0. Из первого неравенства в (3.5) следует, что. Рассмотрим случай. Поскольку zp ∈ Ω(H,R,Λ), то в силу (2.24) и (2.19) zp ∈ Ω(hm(p)+1,Λ). Тогда по лемме 2.4, как и в лемме 3.1, получаем: | | где n - число точек λk с учетом кратностей, принадлежащих множеству B(w,δ|w|)∩Ωs(p)(h1,Λ), и 0 < δ < δ0. Так как zp ∈ B(wp,p-1|wp|) ∩ Ωs(p)(h1,Λ), то с учетом (2.14) находим, что μs(p)(h1) 1, p . |wp| → → ∞ Следовательно, согласно (3.5) имеем: Вместе с (3.9) это противоречит (3.8). Пусть теперь . Тогда в силу (3.5) s(p) m(p) + 2. Поскольку μs(p)(h1) < rm(p)+2, то, как и выше, получаем zp ∈ Ω(hm(p)+2,Λ). Затем получаем противоречие с (3.8). Лемма доказана. Пусть U(H,R) = {Um,l(H,R)} -разбиение последовательности Λ на группы, где Um,l(H,R) состоит из всех точек λk ∈ Ωm,l(H,R,Λ). Лемма 3.5. Пусть Λ = {λk,nk}, n0(Λ) = τ. Предположим, что H и R удовлетворяют (2.20) и (3.5). Тогда SΛ(U(H,R)) = 0. Доказательство. Для удобства можно считать, что группы разбиения U(H,R) пронумерованы одним индексом: U(H,R) = {Us}. Пусть , - все связные компоненты множества . Из (2.14), (2.19) и определения Ω(H,R,Λ) следует, что , (3.10) где ds - диаметр множества Ωs и . По лемме 3.4 существуют δ ∈ (0,1/3) и t > 0 такие, что выполнено (3.6). Фиксируем номер , для которого . Тогда в силу (3.6) и (3.1) имеем: . Согласно (3.10) можно считать, что . Тогда . Многочлен не имеет нулей на множестве Ωs. Поэтому по принципу минимума для гармонических функций последнее неравенство продолжается на Ωs. В частности, . Следовательно, В силу (3.1) . Поэтому Так как ε > 0 - любое и всегда верно неравенство SΛ(U(H,R)) 0, то SΛ(U(H,R)) = 0. Лемма доказана. 4. Оценки снизу целых функций Пусть f - целая функция экспоненциального типа. Отметим одно свойство индикатора [15, гл. I, §18, теорема 28]: для каждого ε > 0 существует R(ε) > 0 такое, что . (4.1) Функция hf совпадает с опорной функцией HT(ϕ) = maxRe(ze-iϕ) z∈T некоторого выпуклого компакта T ⊂ C, который называется индикаторной диаграммой функции f. Сопряженная диаграмма K функции f является компактом, комплексно сопряженным к компакту T [16, гл. I, §5, теорема 5.4]. Таким образом, hf(ϕ) = HK(-ϕ), ϕ ∈ [0,2π]. Отсюда следует, что функция hf непрерывна (а значит, и равномерно непрерывна) на отрезке [0,2π]. Поэтому для каждого ε0 > 0 найдется δ0 ∈ (0,1) такое, что . (4.2) Говорят также, что f имеет вполне регулярный рост на луче Lϕ = {reiϕ,r > 0}, если , где Eϕ - E0-множество. Если f имеет вполне регулярный рост на каждом луче, то множество Eϕ, вообще говоря, зависит от ϕ ∈ [0,2π]. Оказывается, однако, что можно подобрать исключительное E0-множество, которое подходит для всех ϕ ∈ [0,2π] [15, гл. III, §1, теорема 1]. Другими словами, функция f имеет вполне регулярный рост тогда и только тогда, когда она имеет вполне регулярный рост на каждом луче. Известно также другое эквивалентное определение функции вполне регулярного роста (см. [2] и [14, лемма 4.1]). Функция f имеет вполне регулярный рост на луче Lϕ тогда и только тогда, когда существует последовательность {zm}∞m=1 такая, что . (4.3) Пусть f -целая функция экспоненциального типа и Λf = {λk,nk} - все ее нули с учетом их кратностей. По теореме Линделефа [15, гл. I, §3] верно неравенство n(Λ) = τ < ∞. Теорема 4.1. Пусть f -целая функция экспоненциального типа, которая имеет вполне регулярный рост на каждом луче Lϕ, и h ∈ (0,τ-1), τ = n(Λ). Тогда ln|f(reiϕ)| = rhf(ϕ) + α(r), reiϕ ∈ C \ Ω(h,Λ), α(r)/r → 0, r → +∞. (4.4) Доказательство. Предположим, что (4.4) неверно. Тогда в силу (4.1) существуют ε > 0 и последовательность {wj} такие, что wj ∈ C \ Ω(h,Λ), . (4.5) Можно считать, что eiϕj → eiϕ, j → ∞. По условию существует последовательность {zm}, для которой выполнено (4.3). В силу второго и третьего равенства в (4.3) для каждого δ > 0 и всех найдется номер m(j) такой, что wj ∈ B(zm(j),δ|zm(j)|/5). Согласно (4.1), (4.2) и второму равенству в (4.3) существует δ ∈ (0,1/5) такое, что . (4.6) Уменьшая при необходимости δ, можно считать, что . (4.7) В силу леммы 3.2 можно также считать, что . (4.8) Из (4.5) и (4.7) получаем: . (4.9) Согласно последнему равенству в (4.3) имеем: . (4.10) Рассмотрим функции . Из (4.6), (4.10), (3.2) и принципа максимума модуля следует неравенство . Кроме того, gm(zm) = 1. Тогда по лемме [16, лемма 4.1] об оценке снизу функции, не имеющей нулей, получаем: . В частности, | - | | . Поскольку wj ∈ B(zm(j),δ|zm(j)|/5) \ Ω(h,Λ), то с учетом (4.8) и (4.10) имеем: . Это противоречит (4.9). Теорема доказана. Пусть f -целая функция экспоненциального типа и Λf = {λk,nk} -ее кратное нулевое множество. Как отмечалось во введении, Λf является правильно распределенным множеством. В частности, Λf имеет плотность n(Λ) = τ. Тогда по лемме 2.1 из работы [1] верны равенства n0(Λ) = n(Λ) = τ. Таким образом, заменяя лемму 3.2 на лемму 3.4 и практически дословно повторяя рассуждения из доказательства теоремы 4.1, получаем следующий результат. Теорема 4.2. Пусть f -целая функция экспоненциального типа, которая имеет вполне регулярный рост на каждом луче Lϕ. Предположим, что H и R удовлетворяют (2.20) и (3.5).Тогда ln|f(reiϕ)| = rhf(ϕ) + α(r), reiϕ ∈ C \ Ω(H,R,Λ), α(r)/r → 0, r → +∞. (4.11) Замечание 4.1. Равенство (4.11) является полным аналогом равенства (1.1). Однако в отличие от (1.1) исключительное множество в (4.11) строится конструктивно. 5. Базис в инвариантном подпространстве Пусть Λ = {λk,nk}, D ⊂ C - выпуклая область и H(D) - пространство функций, аналитических в области D с топологией равномерной сходимости на компактах из D. Символом W(Λ,D) обозначим замыкание в пространстве H(D) линейной оболочки системы . Если E(Λ) не полна в пространстве H(D), то W(Λ,D) является нетривиальным замкнутым подпространством в H(D). Из определения вытекает, что оно инвариантно относительно оператора дифференцирования. При этом система E(Λ) -это набор собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W(Λ,D), а Λ - его кратный спектр. Пусть W ⊂ H(D) - нетривиальное замкнутое подпространство, инвариантное относительно оператора дифференцирования, и Λ = {λk,nk} - его кратный спектр. Он является не более чем счетным множеством с единственной предельной точкой ∞ [6, гл. II, §7]. В случае, когда спектр W конечен, оно совпадает с пространством решений однородного линейного дифференциального уравнения конечного порядка с постоянными коэффициентами. Более общим примером инвариантного подпространства служит множество решений уравнения свертки μ(g(z + w)) ≡ 0 (или системы таких уравнений), где μ- линейный непрерывный функционал на пространстве H(D). Частными случаями уравнения свертки являются линейные дифференциальные, разностные, дифференциально-разностные уравнения с постоянными коэффициентами конечного и бесконечного порядков, а также некоторые виды интегральных уравнений. Основной задачей в теории инвариантных подпространств является представление всех функций g ∈ W при помощи собственных функций оператора дифференцирования - eλkz. Однако этих функций недостаточно для представления даже в случае, когда W есть пространство решений линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Это пространство совпадает с линейной оболочкой всех собственных и присоединенных функций оператора дифференцирования в W (т. е. с линейной оболочкой системы E(Λ)). Этот результат известен как фундаментальный принцип Л. Эйлера. В этой связи задача представления функций g ∈ W посредством рядов по элементам системы E(Λ), т. е. рядов , (5.1) называется проблемой фундаментального принципа для инвариантного подпространства. Первым шагом на пути к представлению (5.1) является решение проблемы спектрального синтеза, т. е. выяснение условий, при которых система E(Λ) полна в подпространстве W (другими словами, когда W = W(Λ,D)). Проблему фундаментального принципа, естественно, имеет смысл рассматривать лишь для инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, т. е. для подпространств вида W(Λ,D). Отметим, что критерий допустимости спектрального синтеза в подпространстве W получен в работах [3, 4]. Исследование проблемы фундаментального принципа имеет богатую историю. Частично она отражена в работе [6]. Полное решение проблемы фундаментального принципа в случае ограниченной выпуклой области получено в работах [6, 11, 13]. Одним из необходимых условий (см. [6]) фундаментального принципа является равенство нулю индекса конденсации SΛ. Если оно нарушается, то становится невозможным представление всех функций из подпространства W(Λ,D) в виде ряда (5.1). Известно, однако, что и в этом случае иногда удается получить представление всех функций g ∈ W(Λ,D) (для D = C) в виде ряда (5.1) «со скобками» История такого представления частично изложена в работе [10]. В этой связи естественным образом возникает задача о переходе от такого представления в виде ряда «со скобками» к представлению рядом , (5.2) где участвуют фиксированные линейные комбинации элементов системы E(Λ), которые образуют базис в подпространстве W(Λ,D). При этом показатели λk разбиты на группы U = {Us}. Линейная комбинация es,j формируется по точкам λk группы Us. Указанная задача называется проблемой существования базиса в инвариантном подпространстве. Если он существует, то возникает еще целый ряд вопросов. Каковы условия его существования. Как осуществить разбиение U и можно ли описать все подходящие разбиения? Как составлять линейные комбинации внутри группы и можно ли описать все подходящие комбинации? Насколько малым можно сделать диаметр групп Us, т. е. насколько новый «чистый» ряд будет близок по своим свойствам к (5.1)? Наконец, как описать пространство коэффициентов сходящихся рядов, построенных по базису? Другими словами, с каким пространством числовых последовательностей можно отождествить W(Λ,D)? Ответы на эти вопросы (за исключением второго) в случае ограниченной области были даны в работах [7-10]. В частности, было установлено, что группы должны быть относительно малыми, а групповой индекс конденсации SΛ(U) должен равняться нулю. Здесь мы дадим ответ на последний оставшийся вопрос - второй. Пусть последовательность Λ = {λk,nk} разбита на группы . Следуя [8], положим , где Γs - контур, охватывающий точки группы Us. Пусть . Полученную систему функций обозначим символом E(Λ,U). В случае тривиального разбиения система E(Λ,U) совпадает с E(Λ). Пусть Λ = {λk,nk} и Λ(ϕ1,ϕ2) - множество всех пар λk,nk таких, что λk лежит в угле Γ(ϕ1,ϕ2) = {z = teiϕ : ϕ ∈ (ϕ1,ϕ2),t > 0}. Пусть K - выпуклый компакт и z1,z2 - точки его границы ∂K. Через s(z1,z2,K) обозначим длину дуги ∂K, соединяющей z1 и z2, движение по которой от z1 к z2 осуществляется в положительном направлении (против часовой стрелки). Для каждого ϕ ∈ R пересечение опорной прямой и границы компакта L(ϕ) = {z : Re(ze-iϕ) = HK(eiϕ)} ∩ ∂K является либо точкой z(ϕ), либо отрезком. Множество Φ(K) направлений ϕ, для которых L(ϕ) - отрезок, не более чем счетное. Положим SK(ϕ1,ϕ2) = sup s(z1,z2,K). z1∈L(ϕ1), z2∈L(ϕ2) Функция SK(ϕ1,ϕ2) является неубывающей по ϕ2 и невозрастающей по ϕ1, а множество ее точек разрыва по обеим переменным совпадает с Φ(K). Если ϕ1,ϕ2 ∈ Φ(K), то SK(ϕ1,ϕ2) = s(z(ϕ1),z(ϕ2),K). Теорема 5.1. Пусть Λ = {λk,nk}, n(Λ) = τ, h ∈ (0,(6τ)-1) и D -ограниченная выпуклая область. Предположим, что W(Λ,D) нетривиально. Тогда эквивалентны утверждения: 1) Система E(Λ,U(h)) является базисом в подпространстве W(Λ,D). 2) Существует γ > 0 такое, что для всех ϕ1,ϕ2 ∈ Φ(K) с условием 0 < ϕ2-ϕ1 < γ выполнено неравенство , где K -компакт, комплексно сопряженный к замыканию D области D. Доказательство. По лемме 2.5 U(h) - разбиение на относительно малые группы. Согласно лемме 3.3 верно равенство SΛ(U(h)) = 0. Тогда в силу [11, теорема 3.1] утверждения 1) и 2) эквивалентны. Теорема доказана. Аналогично доказывается следующий результат. Теорема 5.2. Пусть Λ = {λk,nk}, n0(Λ) = τ и D -ограниченная выпуклая область. Предположим, что H и R удовлетворяют (2.20) и (3.5), а W(Λ,D) нетривиально. Тогда эквивалентны утверждения: 1) Система E(Λ,U(H,R)) является базисом в подпространстве W(Λ,D). 2) Существует γ > 0 такое, что для всех ϕ1,ϕ2 ∈ Φ(K) с условием 0 < ϕ2-ϕ1 < γ выполнено неравенство , где K -компакт, комплексно сопряженный к замыканию D области D.

Об авторах

А. С. Кривошеев

Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН

Email: kriolesya2006@yandex.ru
Уфа, Россия

О. А. Кривошеева

Уфимский университет науки и технологий

Автор, ответственный за переписку.
Email: kriolesya2006@yandex.ru
Уфа, Россия

Список литературы