Исследование задачи о справедливом распределении квот на вылов рыбы методами теории игр

Полный текст

1. Введение Известно, что арктический запас черного палтуса является трансграничным, т. е. создает скопления во всех экономических зонах Баренцева моря. В соответствии с Конвенцией ООН по морскому праву (ч. V, ст. 63) управление такими запасами должно осуществляться на основе согласования между всеми прибрежными по отношению к указанным запасам странами. В нашем случае прибрежными странами являются Россия, Норвегия и Евросоюз. После признания палтуса совместным ресурсом, возникла задача установления квот на вылов этого гидробионта в общем допустимом улове (ОДУ) между Норвегией и Россией. Попытки ее решения предпринимались в ходе заседаний российско-норвежской комиссии по рыболовству (РНК) с 2001 по 2008 гг. За 8 лет работы объединенных российско-норвежских рабочих групп были формализованы и подготовлены для практического использования три основных критерия, по которым можно было выполнить расчёт так называемого «ключа распределения» (пропорций вылова) [4, с. 508]: • численность палтуса; • биомасса палтуса; • история промысла палтуса. Результаты обследования акватории вылова показали, что в распределении палтуса по численности преимущество имеет Россия, а по биомассе - Норвегия (таб. 1). Таб. 1. Распределение черного палтуса, % Показатель НЭЗ РЭЗ Шпицберген Биомасса 53-70 5-6 22-36 Численность 15-31 31-36 36-47 Tab. 1. Black halibut distribution, % Indicator NEZ REZ Svalbard Biomass 53-70 5-6 22-36 Population 15-31 31-36 36-47 Здесь через НЭЗ обозначена норвежская экономическая зона, через РЭЗ - российская экономическая зона. Район архипелага Шпицберген считается местом совместного вылова черного палтуса [5]. Что касается истории промысла, то здесь стороны согласились взять за основу период с 1973 по 1994 гг., где доля СССР в вылове палтуса составила в среднем 47,8%, Норвегии -32,6%, третьих стран -19,6% [4, с. 508]. В течение четырех лет российская и норвежская сторона РНК пытались найти такое распределение квот на вылов черного палтуса, которое устраивали бы всех. И только в 2012 г. соглашение было достигнуто (таб. 2). Таб. 2. Распределение квот на вылов Страна Россия Норвегия Третьи страны Вылов, % от ОДУ 45 51 4 Tab. 2. Distribution of fishing quotas Country Russia Norway Third countries Catch, % of TAC 45 51 4 2. Задача нахождения справедливой доли вылова с точки зрения теории биматричных игр Как видим, процесс нахождения приемлемого для всех участников распределения доли ОДУ был длительным и сложным. Для его упрощения можно использовать хорошо зарекомендовавшие себя в экономических и других ситуациях методы теории игр (см., например, [3]). Выберем в качестве игрока А - Россию, в качестве игрока В - Норвегию. Будем считать, что стратегии первого игрока - это выбор фактора для определения доли вылова: A1 - по биомассе; A2 - по численности; A3 - по истории промысла. Тогда для второго игрока имеет смысл определить стратегии выделения квот на вылов по следующим критериям: B1 - по своей экономической зоне, B2 - по району Шпицбергена. Усредним данные, имеющиеся в таб. 1, получим следующую таблицу. Таб. 3. Усредненные данные по распределению черного палтуса, %. Показатель НЭЗ РЭЗ Шпицберген Биомасса 62 6 29 Численность 23 33 42 Tab. 3. Average distribution of black halibut, %. Indicator NEZ REZ Svalbard Biomass 62 6 29 Population 23 33 42 Чтобы дополнить данные таб. 3 историческими сведениями, будем пока считать, что в районе архипелага Шпицберген вылавливалось примерно одинаковое[1], количество палтуса (x% от ОДУ). Положим, для простоты, x = 10, тогда в дополнении к таб. 3 будем иметь следующую таблицу: Таб. 4. Исторически сложившиеся объёмы промысла чёрного палтуса. НЭЗ, % вылова РЭЗ, % вылова Шпицберген, % вылова Доля Норвегии Доля России 38 23 10 10 Tab. 4. Historical volumes of the black halibut fishery. NEZ, % of catch REZ, % of catch Svalbard, % of catch Share of Norway Share of Russia 38 23 10 10 В этом случае соответствующие платёжные матрицы игроков А и В будут выглядеть так: . Поскольку стратегия A2 доминирует над A3, то последнюю можно исключить и рассматривать биматричную игру с редуцированными матрицами за счёт уменьшения числа применяемых игроком А стратегий. . Платёжный тензор такой игры имеет вид: . Для дальнейшего нам потребуется унифицировать компоненты матриц таким образом, чтобы их сумма в каждой ячейке нового тензора равнялась[2] 100. Для пересчёта компонент a11,b11 решим уравнение 6x + 62x = 100, получим x = 100/68 = 1,47 (коэффициент пропорциональности). Тогда a11 = 6 · 1,47 = 8,82 ≈ 9; b11 = 62 · 1,47 = 91,41 ≈ 91. Аналогично, для пересчёта компонент a21,b21 получим уравнение 33y + 23y = 100, откуда извлекаем коэффициент y = 100/56 = 1,7857. Тогда получим a21 = 33 · 1,7857 = 58,93 ≈ 59; b21 = 23 · 1,7857 ≈ 41. Продолжая расчёты для клеток (1,2) и (2,2), получим новый платёжный тензор: . Он распадается на две матрицы . В этой игре есть седловая точка, которой соответствует решение в чистых стратегиях: (A2,B2). Поэтому выигрыши игроков будут равны HA = 49% от вылова, HB = 51% от вылова. Поскольку информация о распределении чёрного палтуса (по численности, биомассе и по исторически сложившейся практике вылова) в зонах вылова России и Норвегии в районе архипелага Шпицберген является неполной, а сам вопрос - спорным, имеет смысл рассмотреть разные возможности для построения и редуцирования приведённых платёжных матриц игроков A и B. Если незначительно поменять процентное соотношение биомассы, численности и выловленного объёма палтуса стран в обсуждаемом районе, взяв его равным 45:55, 47:53 и 48:52, соответственно (в пользу Норвегии), то приведённые платёжные матрицы игроков A и B будут иметь вид . В этой ситуации следует исключить из рассмотрения первую стратегию игрока A (а не последнюю, как это было сделано выше). Тогда платёжный тензор игры будет иметь вид . В результате мы получим другое равновесное решение биматричной игры в смешанных стратегиях, которому соответствуют выигрыш игрока А равный 47,5% от общего вылова, и игрока В - 52,5% от общего вылова. Рассмотрим теперь более общую ситуацию, продолжая считать, что стратегия A1 доминируется в матрице А стратегий ). Обозначим через ε и δ величины превышения доли норвежского распределения палтуса над российской в районе Шпицбергена по биомассе и численности соответственно. Тогда платёжный тензор новой игры можно представить в виде . Для нахождения равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях такой биматричной игры выделим платёжные матрицы игроков: . Обозначим оптимальную смешанную стратегию игрока А через, игрока В - через Y ∗ = (q∗;1 - q∗)T , где q∗,p∗ ∈ [0;1]. Условия приемлемости ситуации ( ) для игроков A,B хорошо известны (см., например, [7, гл. 2-3]) и имеют вид , (2.1) (2.2) где Ai - i-я строка матрицы AI, Bj -j-й столбец матрицы BI. В предположении о том, что биматричная игра не имеет решений в чистых стратегиях[3] (что в нашем случае даёт 0 < ε < δ), для приемлемой ситуации получаем , (2.3) где Δ = δ - ε. Тогда равновесная стратегия игрока B имеет вид ⎛ Δ ⎞ Y ∗ = ⎝50 + Δ⎟⎟⎠. 50 50 + Δ Из условия (2.2) выводим . (2.4) - Таким образом, равновесная стратегия игрока A выглядит так: . - - Вычислим выигрыши игроков A,B из формул (2.1) и (2.2). (2.5) (2.6) - - Введём теперь ограничения для возможных изменений величин δ и ε, исходя из смысла задачи применительно к оптимальным стратегиям игроков[4] , (2.7) Представляет интерес найти соответствующие границы для выигрышей игроков. Это можно сделать методами условной оптимизации, решая задачи (2.8) 2; (2.9) . Здесь Т - трапеция в системе координат (ε,δ), определяемая неравенствами (2.7); через H1 обозначен выигрыш игрока A, через H2 - выигрыш игрока B. Применяя к задачам (2.8)-(2.9) стандартные методы дифференциального исчисления, получим: 4% от ОДУ, H 9% от ОДУ, 1% от ОДУ, H 1% от ОДУ. Из этих результатов следует, что максимально возможная доля в общем допустимом вылове палтуса для игрока А равна 0,499, а для игрока В - 0,531. При этом, как бы не менялись величины ε, δ в рамках допустимого коридора (2.7), доля игрока В не может быть ниже чем 0,501 от общего вылова, а игрока А - не может быть ниже, чем 0,404 от общего вылова. Проведём теперь параметрический анализ игровой ситуации, соответствующей возмущению тензора. По аналогии с предыдущим имеем , причём ε > δ, что даст отсутствие седловой точки. платёжные матрицы игроков А и В будут иметь вид . Условие приемлемости ситуации смешанного равновесия ( ) в этом случае равносильно выполнению равенства A2Y T = A1Y T , где Ai (i = 1,2) - строки матрицы Отсюда выводим , (2.10) где Δ = ε - δ. Поэтому равновесная стратегия игрока В выглядит так: . Из условия приемлемости ситуации (X,Y ) для игрока В: , где Bj (j = 1,2) - столбцы матрицы BI, получаем . Таким образом, Теперь выигрыши игроков будут иметь вид , Исходя из смысла задачи и естественных ограничений на компоненты векторов X∗ и Y ∗, целесообразно вывести границы возможных изменений переменных ε, δ по аналогии с (2.7): , (2.11) Соответствующие задачи условной оптимизации будут иметь вид HA(δ,ε) → extr, (2.12) (ε,δ) ∈ T1; HB(δ,ε) → extr, (2.13) Здесь T1 - треугольник в системе координат (δ, ε), определенный неравенствами (2.11). Решение задач (2.12), (2.13) дает следующие границы для HA и HB: HAmin = HA(8,9;8,9) ≈ 41,1% от ОДУ, HAmax = HA(0,1;019) ≈ 49,9% от ОДУ, HBmin = HB(0,1;8,9) ≈ 50,1% от ОДУ, HBmax = HB(8,9;8,9) ≈ 58,9% от ОДУ. Как видим, максимально возможная доля вылова игрока А не поменялась и составила 0,499, а игрока В увеличилась и составила 0,589 от общего вылова. В то же время нижний порог возможного выигрыша игрока А незначительно увеличился (до 0,411), а аналогичный порог игрока В остался прежним (0,501 от общего вылова). Это говорит о том, что ситуация с редуцированием первой строки платёжного тензора в целом более выгодна второму игроку и он будет стремиться её реализовать, игнорируя сведения о зональном распределении палтуса, исходя из биомассы. В то же время первый игрок более заинтересован в игнорировании сведений об исторически сложившихся объёмах промысла; это позволит ему приблизиться к 50%-й доле общего вылова. 3. Задача нахождения справедливой доли вылова с точки зрения теории кооперативных игр Будем считать что игроки (страны) могут заключать между собой соглашение о распределении квот на вылов палтуса, используя арбитражное решение Нэша. В соответствии с известной схемой (см., например, [1, гл. 6], [9, гл. VII]) необходимо построить область допустимых решений задачи с платёжными матрицами A, B из предыдущего пункта. Сделаем это в системе координат Ou1u2, где ui - выигрыш i-го игрока, взяв за основу тензор Р: . Выпуклая комбинация точек с координатами (aij;bij) (область допустимых решений) представляет собой треугольник KLM, где K(6;62), L(9;11), M(33;23). Внутри него лежат точки Q1(23;38), Q2(14;15), Q3(20;22), соответствующие декартовым произведениям остальных чистых стратегий. Определим величины выигрышей игроков, которые они могут получить, не вступая в коалицию (точку угрозы (uˆ1,uˆ2)). Для этого решим матричные игры с матрицами и . Игра с матрицей А имеет седловую точку, её цена равна vA = 20. Игра с матрицей В также имеет седловую точку; цена этой игры равна vB = 22. Таким образом точка угрозы имеет координаты (20;22), она совпадает с Q3. Проведем через точку угрозы линии, параллельные координатным осям. Они «высекают» из Парето-оптимального множества решений KM переговорное множество FM (см. рис. 1). На отрезке переговорного множества будет располагаться единственная точка арбитражного решения Рис. 1. Область допустимых решений кооперативной игры с платёжным тензором Р, содержащая переговорное множество FM. Fig. 1. The domain of admissible solutions of a cooperative game with payoff tensor P, containing the negotiation set FM. Нэша N, в которой достигается максимум произведения g(u) = (u1 - uˆ1)(u2 - uˆ2) - функции полезности игроков. В нашем случае g(u) = (u1-20)(u2-22); для её максимизации удобней перейти к более привычным обозначениям в координатной системе Oxy: g(u) ≡ g(x,y) = (x - 20)(y - 22). (3.1) Здесь у - линейная функция, соединяющая точки F и M, её уравнение выглядит так . (3.2) Подставляя (3.2) в (3.1) и проводя элементарные преобразования, получим квадратичную функцию , максимум которой достигается в точке xN = 349/13 ≈ 26,8, лежащей на отрезке FM. Соответствующая ей ордината равна yN = 287/9 ≈ 31,9. Таким образом[5], арбитражное решение Нэша - это точка N(26,8;31,9). Перейдем к относительной шкале, взяв суммарный вылов в арбитражном решении за 100%. Тогда доля игрока А (России) будет равна 45,65% от ОДУ, а доля игрока В (Норвегии) - 54,35%. Для оценки результата проведём расчеты в рамках теории бескоалиционных игр, преобразуя редуцированные матрицы A1 и B1 из предыдущего параграфа к относительной шкале (a1ij +b1ij = 100%) с округлением компонент a1i2,b1i2 до десятых. Получим новые платёжные матрицы . Подставляя в формулы (2.5)-(2.6) для вычисления H1 и H2 величины ε = 1,8, δ = 2,4, соответствующие матрицам , получим следующие величины выигрышей: HA = 45,6% и HB = 54,3%, что практически полностью совпадает с полученным выше решением. Таким образом, игра «в открытую» не даёт никакого преимущества ни одному из игроков. Однако параметрический анализ игровой ситуации здесь тоже представляет интерес, поскольку он основан на других принципах (сохранение «рисунка» игры) и может дать дополнительную информацию о возможных предельных значениях выигрышей игроков и их поведении. Введём параметры ε и δ возмущения матриц А и В, предполагая для простоты, что изменяться могут лишь компоненты a12,a22 (b12,b22). А именно, примем за ε и δ шаги отступа от половинного значения компонентов последнего столбца таб. 3-4, которые послужили основой для построения платёжных матриц. Получим . Угловые точки области допустимых решений остаются прежними: K(6;62), L(9;11), M(33;23). Чтобы записать условие того, что точки Q2,Q3 не выйдут за пределы треугольника KLM, составим уравнения его сторон LM : y = 6,5 + 0,5x, (3.3) KL : y = 164 - 17x. Зафиксируем координаты точки Q2: (3.4) Q2(14,5 - ε;14,5 + ε). (3.5) Для того чтобы точка Q2(x2,y2) оставалась внутри треугольника KLM, достаточно, чтобы выполнялись неравенства , (3.6) Подставим в (3.6) координаты точки Q2 из (3.5), получим . Теперь зафиксируем координаты точки Q3 Q3(21 - δ;21 + δ). (3.7) Точка Q3 также должна остаться внутри KLM, значит её координаты с необходимостью удовлетворяют системе (3.6). Отсюда выводим . Таким образом, при ε ∈ [-0,5;6,0685], δ ∈ [-8/3;13,375] областью допустимых решений останется треугольник KLM, а оптимальным множеством по Парето - отрезок KM. Чтобы определить положение точки угрозы N на переговорном множестве, выясним, при каких условиях стратегия № 1 будет сохранять своё доминирование над стратегией № 3 и в матрице , и в матрице . Для этого достаточно, чтобы выполнялись неравенства 9, 11, откуда (3.8) . Для того чтобы удовлетворялись условия (3.8), необходимо сузить область возможных изменений δ, положив δ ∈ [-8/3;12). (3.9) Тогда для нахождения точки угрозы целесообразно редуцировать матрицы в контексте матричных игр к следующим матрицам: , (3.10) (3.11) Определим наличие седловой точки в игре с матрицей (3.10). В соответствии с принципом минимакса имеем: α1 = min{6;14,5 ε} = 6; α2 = min{33;21 δ} = 21 δ. Нижняя цена игры равна Для игрока B имеем β1 = max{6;33} = 33; β2 = max{14,5 - ε;21 - δ} = 21 - δ. Последнее равенство справедливо при условии, что δ < 6,5 + ε. В этом случае α = β и цена игры (3.10) равна 21 - δ. Аналогично, для игры (3.11) получаем α1 = 14,5 + ε, α2 = 21 + δ (если δ > 2); β1 = 63, β2 = 21 + δ (если δ > ε - 6,5). Для одновременного выполнения неравенств (3.8)-(3.9) нам удобно будет положить ε = 35/6. Тогда условия того, что Q3 остаётся точкой угрозы, а отрезок FM - переговорным множеством, где точка F имеет абсциссу 21 - δ, дадут следующие промежутки[6]: ε ∈ [-0,5;6,0625], δ ∈ [ε - 6,5;2]. Составим для решения «возмущённой» кооперативной игры с матрицами функцию полезности g(x) = (x - 21 + δ)(149/3 - δ - 13x/9). Её точка максимума будет иметь абсциссу и ординату. Поскольку x0,y0 линейно зависят от δ, можно определить пределы изменения выигрышей игроков, подставляя вместо δ её наименьшее и наибольшее значение из отрезка [0, 2]. Получим . Этим значениям соответствуют выигрыши HAmax ≈ 45,5%, HBmax ≈ 54,5%. Аналогично, . Найденным значениям соответствуют выигрыши HAmin ≈ 45,9%; HBmin ≈ 54,1%. Таким образом, если при положительных δ величина ε меняется в пределах [-0,5;35/6], то выигрыши игроков не зависят от ε и находятся в пределах от 45,5% до 45,9% от ОДУ (игрок А) и от 54,1% до 54,5% от ОДУ (игрок В). Разрешим теперь величине δ принимать отрицательные значения в пределах от ε-6,5 до нуля, тогда при поиске новых экстремальных границ выигрышей игроков (координат точки Нэша) будем учитывать тот факт, что они являются линейными функциями от ε: . Тогда максимально возможное значение величины ε, равное 6,0625, даст игроку А выигрыш, равный приблизительно 48,2% от ОДУ, а игроку В - равный приблизительно 51,8% от ОДУ. В итоге, если игрок А по каким-либо причинам сможет обеспечить преимущество a22 над b22 хотя бы на 0,4375 единиц, то это даст ему возможность увеличить процент позволенного вылова палтуса в ОДУ на 2,3% (по сравнению с тем, что получится при отсутствии этого преимущества) несмотря на то, что его позиция a12 по сравнению с b12 может быть гораздо хуже (более, чем на 6 единиц). 4. Заключение Приведённые из области теории игр инструменты могут помочь в определении квот на вылов морских гидробионтов для любой пары стран, осуществляющих их совместный промысл. При этом допускается применение как теории биматричных бескоалиционных игр, так и арбитражной схемы Нэша. В любом случае решение конфликтной ситуации существует, единственно и даёт взаимовыгодное решение в виде оптимальных пропорций вылова. Если допустить, что в определении платёжных матриц игроков A и B присутствует неопределённость, то при любом подходе имеет смысл рассматривать континуум игровых ситуаций, вводя в некоторые компоненты A и B малые параметры (данное действие близко к поиску «равновесия дрожащей руки», определённого в работе Р. Селтэна [14]). Это позволяет исследовать в каком-то смысле обратную задачу, т. е. задачу об определении того, как и на сколько можно изменить платёжные матрицы игроков, чтобы максимизировать (минимизировать) выигрыш одного из них. Представленная методология может быть взята за основу при проектировании систем поддержки принятия решений о распределении квот на вылов рыбы и других морских обитателей между двумя субъектами вылова (в качестве ориентира см., например, [11]). Наличие трёх и более (нередуцируемых) строк в платёжном тензоре не является препятствием: поиск решения можно осуществить по алгоритму Лемке-Хоусона (см., например, [6, гл. 3]). В качестве возможного содержательного продолжения настоящего исследования можно назвать расширение множества игроков до трёх с использованием теории триматричных игр [12, 13], а также коалиционных игр [10, гл. 13] с созданием коалиций «двое против одного».

Об авторах

Е. М. Богатов

Национальный исследовательский технологический университет «МИСИС»

Email: embogatov@inbox.ru
Старый Оскол, Россия

Н. Е. Богатова

Национальный исследовательский технологический университет «МИСИС»

Автор, ответственный за переписку.
Email: emejnik@gmail.com
Старый Оскол, Россия

Список литературы