Об асимптотических свойствах решений дифференциальных уравнений нейтрального типа

Полный текст

Введение В настоящей работе исследуются асимптотические свойства решений линейного функционально-дифференциального уравнения (ФДУ) нейтрального типа K J x˙ (t) - )"' Ak x˙ (t - kh) = )"' Bj x(t - jh), t ∈ R+ ≡ [0, +∞), (1) k=1 j=0 где h > 0, x : R+ → Rn, Ak и Bj - вещественные n × n-матрицы. В настоящее время количество работ, посвященных уравнениям нейтрального типа, продолжает расти, однако некоторые принципиальные вопросы, связанные с определениями относящихся к уравнению понятий, включая вопрос определения решения, остаются нерешенными или не имеют общепринятого решения. Несогласованность основных используемых понятий обусловливает разрозненность результатов исследований уравнений нейтрального типа, в том числе исследований асимптотических свойств решений. Даже по отношению к автономному уравнению (1) определения устойчивости из разных работ часто не могут быть формально сопоставлены, поскольку требующие согласования понятия не определены. Прежде чем описать цели настоящей работы и ее результаты, обратим внимание на следующее. Для корректности записи (1) требуется доопределить значения x(t) и x˙ (t) при t < 0. Для этого вводятся начальные функции ϕ, ψ : [-ω, 0) → Rn, где ω = max{Kh, Jh}, и при t < 0 полагается x(t) = ϕ(t) и x˙ (t) = ψ(t). Устойчивость решений уравнения (1) относительно начальных условий естественно определять как непрерывную зависимость (в том или ином смысле) решений от функций ϕ и ψ. Но эти функции рассматриваются как элементы некоторых множеств, выбирать которые можно по-разному и снабжать разными нормами. В определениях устойчивости зависимость от выбора класса начальных функций должна быть отражена явно. В настоящей работе: o устойчивость уравнения (1) определяется как свойство, зависящее от класса начальных функций: вводится понятие X-устойчивости - устойчивости относительно функций из множества X; o определяются несколько видов X-устойчивости: устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, экспоненциальная устойчивость; при этом выясняется, что понятие асимптотической X-устойчивости требует уточнения и выделения нового понятия сильной асимптотической X-устойчивости; o проясняются связи между различными подходами к исследованию устойчивости ФДУ нейтрального типа и результатами их применения; o на основе известной формулы представления решения исследуются виды Lp-устойчивости; o описаны виды Lp-устойчивости, которые реализуются на представителях класса уравнений вида (1). Под решением уравнения (1) мы понимаем абсолютно непрерывную на каждом конечном отрезке вектор-функцию x : R+ → Rn. В работах, где под решением ФДУ понимается непрерывное продолжение начальной функции (например, [5, 8, 13]), которая в таком случае считается непрерывной, предполагается также «непрерывная стыковка» x(0) = ϕ(0) и условие ψ = ϕ˙ . Мы не отрицаем этих условий, но и не предполагаем, что они обязательно выполняются. Работа структурирована следующим образом. Первый раздел посвящен представлению решений уравнения (1) через его фундаментальное решение X и функцию Коши Y. Во втором разделе вводятся несколько видов X-устойчивости и показывается, что они могут рассматриваться как свойства функций X и Y. В третьем разделе задача Lp-устойчивости уравнения (1) сводится к исследованию свойств только его функции Коши. Четвёртый раздел посвящен исследованию связи между асимптотической и экспоненциальной Lp-устойчивостями уравнения (1); сделан ряд принципиальных выводов об асимптотическом поведении его решений. В пятом разделе полученные результаты иллюстрируются описанием асимптотического поведения решений конкретного класса уравнений. 1. Представление решения и свойства матрицы Коши 1. Обозначения. Нормы в пространствах Rn и Rn×n вещественных n-мерных векторстолбцов и n × n-матриц обозначаются одинарными линиями |· |, при этом норма в Rn везде евклидова, а норма в Rn×n согласована с ней: для A ∈ Rn×n имеем |A| = sup |Ax|, где x ∈ Rn. |x|=1 Норма в функциональном пространстве X обозначается символом ±· ±X. Для измеримого множества S ⊆ R+ через Lp(S) обозначаются пространства вектор-функций, ∞ действующих из S в Rn и суммируемых со степенью p, где 1 p < ∞, а через L (S) - пространство измеримых и ограниченных в существенном на множестве S вектор-функций. Нормы в этих функциональных пространствах традиционны. Символами Θ и E будем обозначать соответственно нулевую и единичную n × n-матрицы, символом I - тождественный оператор, действующий в функциональных пространствах. Открытый и замкнутый круги в C обозначаются соответственно B(a, r) = {z ∈ C : |z - a| < r} и B[a, r] = {z ∈ C : |z - a| r}. 118 В. В. МАЛЫГИНА, К. М. ЧУДИНОВ 2. Формула Коши. Рассмотрим уравнение K J x˙ (t) - )"' Ak x˙ (t - kh) = )"' Bj x(t - jh), t ∈ R+, (1.2) k=1 j=0 где h > 0, K ∈ N, J ∈ N0 ≡ N ∪ {0}, Ak , Bj ∈ Rn×n. Обозначим через S оператор сдвига, действующий в пространствах вектор-функций и матрицфункций следующим образом: - - (y(t h), t h -;: 0, (Sy)(t) = 0, t - h < 0, и рассмотрим наряду с уравнением (1.2) неоднородное уравнение K J x˙ - )"' Ak (Sk x˙ ) = )"' Bj (Sj x)+ f. (1.3) k=1 j=0 Под решением x : R+ → Rn уравнения (1.3) будем понимать локально (т. е. на каждом конечном отрезке) абсолютно непрерывную вектор-функцию; будем считать оператор S действующим из пространства локально абсолютно непрерывных функций в пространство локально суммируемых функций и предполагать функцию внешнего возмущения f : R+ → Rn локально суммируемой. Уравнение (1.2) с заданными начальными функциями ϕ и ψ представляется в виде (1.3), если положить K J f (t) = σ(t) = )"' Ak ψ(t - kh)χk (t)+ )"' Bj ϕ(t - jh)χj (t), t ∈ R+; (1.4) k=1 j=1 здесь χm(t) - характеристические функции множеств (-∞, mh). В соответствии со сказанным решение уравнения (1.3) удовлетворяет равенству (1.2) почти всюду на R+. Таким образом, в дальнейшем будем по определению отождествлять решение уравнения (1.2) с решением уравнения (1.3). В указанных условиях, как известно [1, с. 84], уравнение (1.3) с заданным начальным значением x(0) ∈ Rn однозначно разрешимо, и его решение представимо в виде t r x(t) = X(t)x(0) + 0 Y (t - s)f (s) ds, t ∈ R+. (1.5) Представление (1.5) по аналогии с известным представлением решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) называют формулой Коши. Матрица-функция X : R+ → Rn×n называется фундаментальным решением, а Y : R+ → Rn×n - функцией Коши уравнения (1.3). На отрицательной полуоси фундаментальное решение и функцию Коши доопределим нулевой матрицей. Матрицы-функции X и Y не зависят ни от начального значения x(0), ни от внешнего возмущения f. 3. Выражение фундаментального решения через функцию Коши. В работе [14] показано, что фундаментальное решение уравнения (1.3) выражается через функцию Коши следующим образом: K X(t) = Y (t) - )"'(Sk Y )(t)Ak , (1.6) k=1 а для производной фундаментального решения выполняется соотношение M X˙ (t) = )"'(SmY )(t)Bm. (1.7) m=0 Таким образом, решение уравнения (1.3) задается формулой (1.5), где фундаментальное решение X выражается через функцию Коши Y, поэтому асимптотическое поведение решений уравнения (1.3) определяется свойствами матрицы Коши, которую, следовательно, можно выбрать основным объектом исследования при изучении асимптотических свойств решений уравнения (1.2). ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДУ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 119 Обозначим ω = max{Kh, Jh}. 2. X-устойчивость Введем определения устойчивости решений уравнения (1.2). Начальные условия для уравнения (1.2) задаются на множестве [-ω, 0]. Функции ϕ и ψ в силу (1.4) и (1.5) не выходят из L1[-ω, 0], но могут принадлежать более узкому множеству X ⊂ L1[-ω, 0], снабженному собственной нормой. Применительно к введенной выше функции σ это означает выбор аналогичного подмножества пространства L1[0, ω]. t Обозначим Ktσ = r Y (t - s)σ(s) ds. 0 Рассмотрим семейство линейных вектор-функционалов {Kt : X → Rn}t-;:0 и семейство линейных преобразований {Xt : Rn → Rn}t-;:0, определенных равенствами Xtα = X(t)α. Нормы функционалов Kt и Xt определим традиционно: ±Kt± = sup ∗σ∗=1 |Ktσ|, ±Xt± = sup |Xtα|. |α|=1 Решение x : R+ → Rn уравнения (1.2), определяемое значением x(0) = x0 ∈ Rn и начальной функцией σ ∈ X, будем называть соответствующим данным x0 и σ. Для него из формулы (1.5) получаем: x(t) = Xtx0 + Ktσ, t -;: 0. (2.1) Заметим, что для всех t -;: ω имеем Ktσ = ω r Y (t - s)σ(s) ds. (2.2) 0 Пусть X ⊆ L1[0, ω] - нормированное множество (естественно считать его линейным пространством) измеримых на множестве [0, ω] функций. Определение 2.1. Уравнение (1.2) называется X-устойчивым (по Ляпунову), если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что при любых x0 ∈ Rn и σ ∈ X, таких что |x0| < δ и ±σ±X < δ, для соответствующего решения x = x(t) уравнения (1.2) справедлива оценка sup |x(t)| < ε. t-;:0 Определение 2.2. Уравнение (1.2) называется асимптотически X-устойчивым, если оно X-устойчиво и для любых x0 ∈ Rn и σ ∈ X соответствующее решение x = x(t) уравнения (1.2) обладает свойством lim t→+∞ |x(t)| = 0. Определение 2.3. Уравнение (1.2) называется экспоненциально X-устойчивым, если существуют такие постоянные N, γ > 0, что для любых x0 ∈ Rn и σ ∈ X для соответствующего решения x = x(t) уравнения (1.2) справедлива оценка |x(t)| N e-γt (|x0| + ±σ±X) . Замечание 2.1. Выбор пространства X ⊆ L1[0, ω] произволен. В большинстве работ (например, в монографиях [8, 12, 13]) полагается X = C[0, ω]. В работах [6, 17] используется техника гильбертовых пространств, поэтому X = L2[0, ω]. В работе [11] X = L1[0, ω], в работе [4] рассматривались случаи X = Lp[0, ω] для всех p -;: 1. Укажем несколько эквивалентных переформулировок определений 2.1-2.3. Теорема 2.1. Следующие утверждения эквивалентны: 1. уравнение (1.2) X-устойчиво; 2. существует такое N > 0, что для любых x0 ∈ Rn, σ ∈ X и t -;: 0 для соответствующего решения x = x(t) уравнения (1.2) справедлива оценка |x(t)| N (|x0| + ±σ±X); 3. sup |X(t)| < ∞ и sup ±Kt± < ∞. t-;:0 t-;:0 Доказательство. Проведем его по цепочке 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 1). 4. ⇒ 2). В силу определения 2.1 линейные функционалы Xt и Kt ограничены равномерно по t. Остается применить формулу (2.1). 5. ⇒ 3). Используем формулу (2.1). Пусть σ = 0. Тогда ограниченность фундаментального решения очевидна из неравенства |X(t)x0| N |x0| . Пусть теперь x0 = 0. Тогда |Ktσ| N ±σ±X, т. е. ±Kt± N. 6. ⇒ 1). Следует из формулы (2.1) непосредственно. 120 В. В. МАЛЫГИНА, К. М. ЧУДИНОВ В классическом определении асимптотической устойчивости [7, с. 68] решения ОДУ предполагается, что асимптотически устойчивое решение устойчиво по Ляпунову. Вообще говоря, это требование существенно, однако для линейных уравнений оно излишне. Разберем вопрос о необходимости устойчивости по Ляпунову для асимптотической устойчивости применительно к уравнению (1.2). Лемма 2.1. Пусть X - банахово пространство. Если для любых x0 ∈ Rn и σ ∈ X решение уравнения (1.2) обладает свойством lim t→+∞ x(t) = 0, то уравнение (1.2) X-устойчиво. Доказательство. Из формулы (2.1) вытекает, что условие lim t→+∞ x(t) = 0 выполняется для всех решений уравнения (1.2) тогда и только тогда, когда lim t→+∞ X(t) = Θ и для любого σ ∈ X имеем lim Ktσ = 0. В таком случае sup |X(t)| < ∞ и для любого σ ∈ X имеем sup |Ktσ| < ∞. В силу t→+∞ t-;:0 t-;:0 теоремы Банаха-Штейнхауса [9, с. 116], получаем, что sup ±Kt± < ∞. Ссылка на теорему 2.1 t-;:0 завершает доказательство. Теорема 2.2. Пусть X - банахово пространство. Тогда следующие утверждения эквивалентны: 7. уравнение (1.2) асимптотически X-устойчиво; 8. для любых x0 ∈ Rn и σ ∈ X соответствующее решение x = x(t) уравнения (1.2) обладает свойством lim t→+∞ x(t) = 0; 9. lim t→+∞ ∈ t X(t) = Θ и для любого σ X имеем lim →+∞ Ktσ = 0. Доказательство. Как и доказательство теоремы 2.1, нетрудно провести по цепочке 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 1), опираясь на представление решения (2.1). Обратим внимание на вывод условия 3) из условия 2). Из условия 2) следует lim t→+∞ X(t)x0 = 0 ∈ для любого x0 Rn и lim t→+∞ Ktσ = 0 для любого σ ∈ X. Первое из этих следствий равносильно тому, что lim t→+∞ X(t) = Θ, что можно интерпретировать как сходимость семейства векторфункционалов Xt по норме ±Xt±, т. е. как равномерную сходимость. Однако второе следствие не равносильно равномерной сходимости lim t→+∞ ±Kt±. В связи с этим введем новое понятие. ±Kt± = 0 семейства функционалов {Kt} по норме Определение 2.4. Назовем уравнение (1.2) сильно асимптотически X-устойчивым, если lim X(t) = Θ и lim ±Kt± = 0. t→∞ t→∞ После того как различие между асимптотической и сильной асимптотической устойчивостями формально зафиксировано с помощью определения семейства функционалов {Kt}, оно становится очевидным. Традиционно в исследованиях асимптотической устойчивости линейных ФДУ речь идет именно о сильной асимптотической устойчивости в смысле определения 2.4, что не всегда согласуется с формальными определениями вследствие их неточности или даже отсутствия. Обоснованием введения нового определения служат примеры уравнений, для которых понятия асимптотической и сильной асимптотической устойчивости не эквивалентны. Один из таки примеров будет рассмотрен в разделе 5. Определение экспоненциальной устойчивости также переформулируем в терминах свойств фундаментального решения и функционалов Kt. Теорема 2.3. Уравнение (1.2) экспоненциально X-устойчиво, если и только если существуют такие N, γ > 0, что для всех t -;: 0 имеем |X(t)| N e-γt и ±Kt± N e-γt. Доказательство. Следует из формулы (2.1). Таким образом, равномерная по t ограниченность норм функционалов семейства {Kt} заложена в определениях 2.1 и 2.3, но не в определении 2.2. Определение 2.4 включает, как и определения 2.1 и 2.3, оценку нормы ±Kt±, поэтому устойчивость по Ляпунову и экспоненциальная устойчивость можно считать по определению сильными. Можно также ввести понятия, формально ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДУ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 121 относящиеся к устойчивости по Ляпунову и экспоненциальной устойчивости так же, как асимптотическая устойчивость относится к сильной асимптотической устойчивости, но если пространство X банахово, то эти понятия в силу теоремы Банаха-Штейнхауса совпадают с введенными в определениях 2.1 и 2.3. 3. Lp-устойчивость как свойство функции Коши Итак, устойчивость уравнения (1.2) естественно рассматривать как X-устойчивость, где X ⊆ L1[0, ω]. В этом разделе мы получим критерии Lp-устойчивости (по Ляпунову, сильной асимптотической и экспоненциальной) для всех p (1 p ∞) в терминах свойств функции Коши. 1. Нормы вектор-функционалов Lp → Rn. В случае n = 1 общий вид функционала F : Lp[0, ω] → R, где p -;: 1, определяется (см. [9, с. 150-154]) функцией α ∈ Lq [0, ω], где 1/p+1/q = ω 1, и формулой Fx = r α(s)x(s) ds; его норма ±F ± = sup |Fx| в случае p > 1 равна ±F ± = 0 ω 1/q |x|=1 q r |α(s)| ds , а в случае p = 1 равна ±F ± = ess sup |α(s)| = inf sup |α(s)|. Заметим, что 0 s∈[0,ω] μE=0 s∈[0,ω]\E формула нормы справедлива и в случае p = ∞ (тогда q = 1). Отсюда получаем вид векторфункционала F : Lp[0, ω] → Rn для произвольного n ∈ N: ⎛ n ω n ω ⎞ ⎝ Fx = )"' r i=1 0 α1i(s)xi(s) ds,... , )"' r i=1 0 αni(s)xi(s) ds⎠ , i,j=1 где компоненты матрицы-функции A(t) = (αij (t))n принадлежат Lp[0, ω]. В силу согласованности норм в Rn и Rn×n в случае p > 1 ⎛ ω ⎞1/q r ±F ± = sup |Fx| = ⎝ q |A(s)| ds⎠ , (3.1) а в случае p = 1 |x|=1 0 ±F ± = sup |Fx| = ess sup |A(s)|. (3.2) |x|=1 s∈[0,ω] 2. Устойчивость по Ляпунову. Покажем, что ограниченность интеграла функции Коши уравнения (1.2) на отрезке длины ω влечет ограниченность фундаментального решения на полуоси R+. Лемма 3.1. Если sup t-;:0 t+ω r t |Y (s)| ds < ∞, то sup |X(t)| < ∞. t-;:0 Доказательство. Из соотношений (1.6) и (1.7) и условий леммы следует, что sup t-;:0 t+ω r |X(s)| ds = N1 < ∞, sup t-;:0 t t+ω r |X˙ (s)| ds = N2 < ∞. (3.3) t Предположим, что sup |X(t)| = ∞. Тогда найдется такое t0 ∈ R+, что t-;:0 Значит, для всех t ∈ [t0, t0 + ω] имеем |X(t0)| > t r N1 + N . ω 2 t0 +ω r |X(t) - X(t0)| t0 |X˙ (s)| ds t0 |X˙ (s)| ds N2. 122 В. В. МАЛЫГИНА, К. М. ЧУДИНОВ Таким образом, для всех t ∈ [t0, t0 + ω] справедлива оценка |X(t)| > t0 +ω N1 . Следовательно, ω r |X(s)| ds > N1, что противоречит первому из соотношений (3.3). t0 Теперь получим критерий устойчивости по Ляпунову в терминах функции Коши. Теорема 3.1. Пусть 1 < p ∞. Тогда уравнение (1.2) Lp-устойчиво, если и только если t+ω где 1 1 + = 1. p q r sup t-;:0 t q |Y (s)| ds < ∞, Доказательство. В силу (2.2) и (3.1) для каждой фиксированной точки t ∈ R+ норма векторфункционала Kt : Lp[0, ω] → Rn определяется как ⎛ t+ω r ⎞1/q q ±Kt± = ⎝ t |Y (s)| ds⎠ . (3.4) Отсюда в силу теоремы 2.1 получаем доказательство теоремы в части необходимости. Учитывая неравенство Гёльдера и лемму 3.1, получаем достаточность. Случай p = 1 рассмотрим отдельно. Теорема 3.2. Уравнение (1.2) L1-устойчиво тогда и только тогда, когда sup |Y (t)| < ∞. t-;:0 Доказательство. В силу (2.2) и (3.2) для каждой фиксированной точки t ∈ R+ норма векторфункционала Kt : L1[0, ω] → Rn определяется как ±Kt± = ess sup |Y (s)|. (3.5) s∈[0,ω] Остается применить теорему 2.1 и лемму 3.1. Из теорем 3.1 и 3.2 получаем следствие. Следствие 3.1. Если функция Коши уравнения (1.2) ограничена, то уравнение (1.2) Lp-устойчиво для всех p, 1 p ∞. В последующих двух пунктах статьи получим теоремы, аналогичные теоремам 3.1 и 3.2, для двух других видов устойчивости. 3. Сильная асимптотическая устойчивость. t+ω Лемма 3.2. Если lim r t→∞ t t |Y (s)| ds = 0, то lim X(t) = Θ. →∞ t+ω Доказательство. Пусть lim r t→∞ t |Y (s)| ds = 0. Тогда в силу соотношений (1.6) и (1.7) имеем lim t→∞ t+ω r t |X(s)| ds = 0, lim →∞ t t+ω r |X˙ (s)| ds = 0. (3.6) t Предположим, что при этом X(t) не стремится к Θ при t → ∞. Тогда существует такие ε > 0 и последовательность {tn}n∈N, где tn → +∞ при n → ∞, что |X(tn)| -;: ε. В соответствии со вторым из соотношений (3.6) возьмем такое N ∈ N, что для всех n -;: N tn +ω r |X˙ (s)| ds < ε/2. tn ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДУ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 123 Рассмотрим произвольные n ∈ N и t ∈ [tn, tn + ω]. Имеем t r |X(t) - X(tn)| |X˙ (s)| ds tn +ω r |X˙ (s)| ds < ε/2. tn tn ε tn +ω εω Следовательно, |X(t)| -;: 2 для всех t ∈ [tn, tn + ω] и, значит, r |X(s)| ds -;: tn > 0 для всех 2 n -;: N, что противоречит первому из соотношений (3.6). Теорема 3.3. Пусть 1 < p ∞. Тогда уравнение (1.2) сильно асимптотически Lp-устойчиво, если и только если для его функции Коши Y имеем t+ω где 1 1 + = 1. p q r lim t→∞ t q |Y (s)| ds = 0, Доказательство. Для каждого фиксированного t ∈ R+ норма вектор-функционала Kt : Lp[0, ω] → t+ω q Rn определяется формулой (3.4). Следовательно, если lim ±Kt± = 0, то lim r |Y (s)| ds = 0, t→∞ t→∞ t что доказывает теорему в части необходимости. Достаточность получаем из (3.4), неравенства Гёльдера и леммы 3.2. Теорема 3.4. Уравнение (1.2) сильно асимптотически L1-устойчиво тогда и только тогда, когда lim Y (t) = Θ. t→∞ Доказательство. Для каждого фиксированного t ∈ R+ норма вектор-функционала Kt : L1[0, ω] → t Rn определяется формулой (3.5), из которой следует, что lim ±Kt± = 0, если и только если →∞ lim Y (t) = Θ. Остается заметить, что в силу (1.6) из lim Y (t) = Θ следует lim X(t) = Θ. t→∞ Из теорем 3.3 и 3.4 получаем следствие. t→∞ t→∞ Следствие 3.2. Если lim Y (t) = Θ, то уравнение (1.2) сильно асимптотически Lp-устойt→∞ чиво для всех p, 1 p ∞. 4. Экспоненциальная устойчивость. t+ω Лемма 3.3. Если r t |Y (s)| ds N e-γt, то |X(t)| M e-γt. Доказательство. Из соотношений (1.6) и (1.7) следует, что если условия леммы выполнены, то для всех t ∈ R+ имеют место соотношения t+ω t+ω r r |X(s)| ds M1e-γt, X˙ (s) ds M2e-γt. (3.7) t t Предположим, что существует такое t0 ∈ R+, что M1 |X(t0)eγt0 | > eγω Тогда для произвольного t ∈ [t0, t0 + ω] имеем γM1 + ω + M2 . t t0 +ω t0 +ω r d r r X(t)eγt - X(t0)eγt0 = (X(s)eγs ) ds γ |X(s)eγs| ds + X˙ (s)eγs ds ds t0 t0 t0 124 В. В. МАЛЫГИНА, К. М. ЧУДИНОВ t0 +ω t0 +ω r r γeγ(t0 +ω) |X(s)| ds + eγ(t0 +ω) X˙ (s) ds γeγω M1 + eγω M2. t0 t0 M1eγω Следовательно, для всех t ∈ [t0, t0 + ω] справедлива оценка X(t)eγt > . Значит, t0 +ω r ω t0 +ω r eγ(t0 +ω) t0 |X(s)| ds -;: t0 |X(s)eγs| ds > M1eγω , что противоречит первому из соотношений (3.7). Теорема 3.5. Пусть 1 < p ∞. Тогда уравнение (1.2) экспоненциально Lp-устойчиво, если и только если найдутся такие N, γ > 0, что t+ω где 1 1 + = 1. p q r q |Y (s)| t ds N e-γt , t ∈ R+, Доказательство. Для каждого фиксированного t ∈ R+ норма вектор-функционала Kt : Lp[0, ω] → Rn определяется формулой (3.4). В силу теоремы 2.3 это доказывает теорему в части необходимости. Достаточность получаем из (3.4), неравенства Гёльдера и леммы 3.3. Теорема 3.6. Уравнение (1.2) экспоненциально L1-устойчиво, если и только если найдутся такие N, γ > 0, что его функция Коши подчинена экспоненциальной оценке |Y (t)| N -γt, t ∈ R+. (3.8) Доказательство. Для каждого фиксированного t ∈ R+ норма вектор-функционала Kt : Lp[0, ω] → Rn определяется формулой (3.5). Следовательно, ±Kt± N e-γt, если и только если |Y (t)| N e-γt. Остается сослаться на соотношение (1.6). Из теорем 3.5 и 3.6 получаем следствие. Следствие 3.3. Если функция Коши уравнения (1.2) подчинена экспоненциальной оценке (3.8), то уравнение (1.2) экспоненциально Lp-устойчиво для всех p, 1 p ∞. 4. Lp-устойчивость и асимптотика функции Коши 1. Скачки функции Коши. В работе [15] показано, что все компоненты матрицы-функции Y абсолютно непрерывны на любом отрезке [mh, mh+ h), m ∈ N0, и имеют в точках mh конечные скачки H(m), при этом функция H : N0 → Rn×n является решением следующей задачи для матричного линейного разностного уравнения: K H(m) = )"' H(m - k)Ak , m ∈ N; k=1 H(0) = E; H(m) = Θ, m ∈ Z \ N0. В связи с этим изучим некоторые свойства линейных автономных разностных систем. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения K k y(m) = )"' AT y(m - k)+ f (m), m ∈ N, (4.1) (4.2) k=1 y(-p) = 0, p = 0, 1,... ,K - 1 относительно функции y : N → Rn. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДУ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 125 Лемма 4.1. Решение задачи (4.2) при любой функции f : N → Rn представимо в виде m y(m) = )"' HT (m - ν)f (ν), m ∈ N, (4.3) ν=1 где функция H : N0 → Rn×n определяется задачей (4.1). Доказательство. Очевидно, решение задачи (4.2) существует и единственно. Подставим (4.3) в уравнение (4.2) и используем свойства функции H, определяемые задачей (4.1): )"' AT K k y(m - k)+ f (m) = k=1 m-1 = AT )"' HT (m - ν - 1)f (ν)+ ... + AT m-K )"' HT (m - ν - K)f (ν)+ f (m) = 1 ν=1 K ν=1 /m-1 \ = )"' (AT HT (m - ν - 1) + ... + AT HT (m - ν - K)) f (ν)+ f (m) = 1 K ν=1 /m-1 \T = )"' (H(m - ν - 1)A1 + ... + H(m - ν - K)AK ) ν=1 f (ν)+ f (m) = m-1 m = )"' HT (m - ν)f (ν)+ f (m) = )"' HT (m - ν)f (ν) = y(m). ν=1 Уравнение (4.2) обратилось в тождество, что и доказывает лемму. ν=1 Приведенная ниже лемма описывает принцип известного переноса на разностные уравнения в рамках подхода пермской школы исследования ФДУ к определению решения уравнения [1, 2]. Рассмотрим разностную задачу Коши: K u(m) = )"' AT u(m - k), m ∈ N, k k=1 (4.4) Положим u(-p) = ϕ(p), p = 0, 1, 2,... ,K - 1. ⎧ K ⎪⎨ ), AT ϕ(k - m), если m = 1,... ,K; f (m) = k k=m (4.5) ⎪⎩0, если m = K + 1,K + 2,... ; и сопоставим решения задач (4.2) и (4.4). Нетрудно убедиться непосредственно, что решения задач (4.2) и (4.4) при условии (4.5) совпадают: u(m) = y(m) при всех m ∈ N. Лемма 4.2. Если lim m→∞ H(m) = Θ, то для решения u : N → Rn задачи (4.4) выполняется lim m→∞ u(m) = 0 при любом выборе начальных условий u(-p), p = 0,K - 1. Доказательство. Перепишем уравнение (4.4) в виде (4.2) по схеме, приведенной выше. Очевидно, что K K )"' k k |f (m)| )"' AT |ϕ(k - m)| max k=m 0 k K-1 |ϕ(k)| k=0 AT = α < ∞. Учитывая, что f (m) = 0 при m -;: K + 1, и применяя лемму 4.1, получаем: K K |u(m)| )"' HT (m - ν) |f (ν)| α )"' |H(m - ν)| → 0. Лемма доказана. ν=1 ν=1 n→∞ 126 В. В. МАЛЫГИНА, К. М. ЧУДИНОВ 2. Известные критерии наличия экспоненциальных оценок функций X и Y . Определим полиномы от комплексной переменной z с матричными коэффициентами K J PA(z) = E - )"' Ak zk , PB (z) = )"' Bj zj . k=1 j=0 Для всех точек z ∈ C, кроме таких, что det PA(z) = 0, определим функцию A Q(z) = exp(hP -1(z)PB (z)). Теорема 4.1 (см. [15]). Для того чтобы функция Коши уравнения (1.2) имела при некоторых N, γ > 0 экспоненциальную оценку (3.8), необходимо и достаточно, чтобы § все корни полинома det PA(z) лежали вне круга B[0, 1]; § все корни уравнения det(E - zQ(z)) = 0 лежали вне круга B[0, 1]. Из результатов раздела 3 работы [15] следуют также необходимые и достаточные условия наличия экспоненциальной оценки фундаментального решения уравнения (1.2). Теорема 4.2. Для того чтобы фундаментальное решение уравнения (1.2) имело при некоторых N, γ > 0 экспоненциальную оценку |X(t)| N e-γt, t ∈ R+, необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения det(E - zQ(z)) = 0 лежали вне круга B[0, 1]. 3. Характер стремления функции Коши к нулю. Лемма 4.3. Если lim m→∞ H(m) = Θ, то все корни полинома det PA(z) лежат вне круга B[0, 1]. Доказательство. Предположим, что существует корень z0 полинома det PA(z), лежащий в круге B[0, 1]. Тогда число 1/z0 является корнем характеристического многочлена det(zK E - K k z ), AT K-k ) системы (4.4) и представимо в виде 1/z0 = eα+iβ , где α -;: 0. k=1 Обозначим через ξ0 = ζ + iη нетривиальное решение системы K (e(α+iβ)K E - )"' AT (α+iβ)(K-k) k e k=1 )ξ = 0. Возьмем в (4.4) в качестве начальных функций ϕ(p) = e-αp(ζ cos βp + η sin βp), ϕ(p) = e-αp(η cos βp - ζ sin βp), p = 0, 1, 2,... ,K - 1. Легко видеть, что им соответствуют решения системы (4.4) v(m) = eαm(ζ cos βm - η sin βm), w(m) = eαm(η cos βm + ζ sin βm). Из леммы 4.2 следует, что если lim m→∞ можно, так как при α -;: 0 и m ∈ N H(m) = 0, то lim m→∞ v(m) = 0 и lim m→∞ w(m) = 0, что невоз- Лемма доказана. 2 |v(m)| | + |w(m) 2 = e2αm 2 |ζ| | + |η 2 = e2αm 2 |ξ0| | -;: |ξ0 2 > 0. m Лемма 4.4. Если Y (t) имеет предел при t → ∞, то lim →∞ H(m) = Θ. Доказательство. Допустим, что lim m→∞ H(m) I= Θ. Тогда из леммы 4.3 следует, что найдутся число ε > 0 и подпоследовательность {mk }k∈N такие, что |H(mk )| -;: ε. Пусть tk = hmk - точка, в которой матрица-функция Y имеет скачок величиной H(mk ). Тогда Y (tk ) - lim Y (tk - δ) = |H(mk )| -;: ε, δ→+0 откуда следует, что Y не может иметь предела при t → +∞. Следствие 4.1. Если lim Y (t) = Θ, то все корни полинома det PA(z) лежат вне круга t→∞ B[0, 1]. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДУ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 127 Обозначим K J G(λ) = λ(E - GA(λ)) - GB (λ), GA(λ) = )"' e-λhk Ak , GB (λ) = )"' e-λhj Bj . k=1 j=0 Уравнение det G(λ) = 0 называется характеристическим уравнением для уравнения (1.2). Функция det G(λ) является аналитической, а уравнение det G(λ) = 0 имеет в комплексной плоскости счетный набор корней. Пусть λ0 = α+iβ - корень характеристического уравнения. Тогда существует ненулевой вектор ξ0 = ζ + iη такой, что G(λ0)ξ0 = 0. Выбрав для уравнения (1.2) в качестве начальных функций при τ ∈ [-ω, 0) функции получим, что функция ϕ(τ ) = eατ (ζ cos(βτ ) - η sin(βτ )), ψ(τ ) = ϕ˙ (τ ), v(t) = eαt(ζ cos(βt) - η sin(βt)), t ∈ R+, есть решение уравнения (1.2). Аналогично, если положить ϕ(τ ) = eατ (η cos(βτ )+ ζ sin(βτ )), ψ(τ ) = ϕ˙ (τ ), то найдем другое решение уравнения (1.2): w(t) = eαt(η cos(βt)+ ζ sin(βt)), t ∈ R+. Теорема 4.3. Функция Коши обладает свойством lim Y (t) = Θ, если и только если она t→∞ имеет экспоненциальную оценку (3.8). Доказательство. Очевидно, что в доказательстве нуждается только необходимость. В соответствии с теоремой 4.1 надо убедиться, что все корни уравнений det PA(z) = 0 и det(E - zQ(z)) = 0 лежат вне круга B[0, 1]. Следствие 4.1 утверждает, что для уравнения det PA(z) = 0 это верно. Допустим, что уравнение det(E - zQ(z)) = 0 имеет корень z0, принадлежащий кругу B[0, 1]. Тогда число 1/z0 представимо в виде 1/z0 = eλ0 h, где λ0 = α + iβ, α -;: 0, и с учетом определения функции Q(z) имеем: A det(exp(hP -1(e-λ0 h)PB (e-λ0 h)) - eλ0 hE) = 0. A Следовательно, среди собственных чисел матрицы P -1(e-λ0 h)PB (e-λ0 h) присутствует число λ1 = α + iγ. Из определения G(λ) получаем: P -1 -λ1 h -1 -hλ1 -hλ1 A (e откуда следует, что det G(λ1) = 0. )G(λ1) = λ1E - PA (e )PB (e ), В силу приведенных перед доказываемой теоремой рассуждений функции v(t) = eαt(ζ cos(γt) - η sin(γt)), w(t) = eαt(η cos(γt)+ ζ sin(γt)), | где |ζ 2 | + |η 2 > 0, являются решениями уравнения (1.2). Из теоремы 3.4 следует, что lim v(t) = lim w(t) = 0, что невозможно, так как при α -;: 0 t→∞ 2 2 t→∞ 2αt 2 2 2 2 Теорема доказана. |v(t)| + |w(t)| = e (|ζ| + |η| ) -;: |ζ| + |η| > 0. Непосредственно из теорем 3.4 и 4.3 вытекает следствие. Следствие 4.2. Уравнение (1.2) сильно L1-асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда функция Коши имеет экспоненциальную оценку (3.8). Замечание 4.1. Таким образом, для уравнений нейтрального типа сохранилось свойство функции Коши, хорошо известное для ОДУ и ФДУ запаздывающего типа: если функция Коши стремится к нулю, то со скоростью не ниже экспоненциальной. Но это не означает совпадения асимптотических свойств решений уравнений! Для ОДУ и ФДУ запаздывающего типа любое 128 В. В. МАЛЫГИНА, К. М. ЧУДИНОВ решение может стремиться к нулю только по экспоненциальному закону. Напротив, для уравнения (1.2) бесконечное множество решений (в том числе фундаментальное решение) могут стремиться к нулю медленнее экспоненты - например, как степенная функция [16]. Причина становится понятной, если обратиться к формуле (2.1), определяющей любое решение уравнения (1.2). Для ОДУ и ФДУ запаздывающего типа справедливо равенство X(t) = Y (t); для уравнения (1.2) это равенство не выполняется (имеет место более сложная зависимость (1.6)), и в формуле (2.1) интегральное слагаемое может стремиться к нулю в случае, когда функция Y не имеет нулевого предела. Замечание 4.2. Получение критериев устойчивости по Ляпунову для уравнения (1.2) представляет собой самостоятельную технически сложную задачу. Очевидно, что если выполнены условия теоремы 4.1, то функция Y ограничена, а уравнение (1.2) Lp-устойчиво при любом p -;: 1. Но этими условиями не исчерпываются классы уравнений с ограниченной функцией Коши: в работах [4, 18] указаны классы уравнений, для которых ограниченность функции Y сохраняется в случае, когда уравнения det PA(z) = 0 и det(E - zQ(z)) = 0 имеют нули на границе круга B[0, 1]; более того, возможна ситуация, когда этих нулей бесконечно много. Неизвестно, существуют ли примеры Lp-устойчивых уравнений, функция Коши которых была бы неограничена. 4. Экспоненциальная Lp-устойчивость. В силу теоремы 3.6 экспоненциальная L1-устойчивость уравнения (1.2) эквивалентна экспоненциальной оценке функции Коши. Так как при p > 1 справедливо включение Lp[0, ω] ⊂ L1[0, ω], то оценка (3.8) влечет экспоненциальную Lp-устойчивость уравнения (1.2) при всех p > 1. Интересен вопрос, существуют ли экспоненциально Lp-устойчивые уравнения, функция Коши которых не имеет экспоненциальной оценки? Лемма 4.5. Пусть λ0 - корень уравнения det(1-GA(λ)) = 0. Тогда при любом ε > 0 найдется корень μ0 того же уравнения такой, что Re λ0 = Re μ0, а в круге B(μ0, ε) есть корень уравнения det G(λ) = 0. Доказательство. Обозначим η(z) = det(E - GA(λ0 + z)). Поскольку функция det(E - GA(λ)) аналитическая, ее нули изолированы, значит, при достаточно малом ε > 0 функция η имеет в круге B(0, ε) единственный нуль z = 0. На границе |z| = ε имеем min |η(z)| = m > 0. Пусть |z|=ε 2πki λ0 h λk h λk = λ0 + ∈ , где k Z. Очевидно, что e h = e , следовательно, GA(λk + z) = GA(λ0 + z), GB (λk +z) = GB (λ0 +z). Матрицы-функции GA(λ0 +z) и GB (λ0 +z) непрерывны и, следовательно, ограничены в круге B[0, ε]; значит, при |z| = ε справедливо равенство GB (λ0 + z) R(λk + z) det E - GA(λ0 + z)+ λk + z = η(z)+ , λk + z причем найдется такое M > 0, что |R(λk + z)| M при всех k ∈ Z. R(λk + z) Положим ξk (z) = Mh + z λ ; легко видеть, что при |z| = ε справедлива оценка |ξk (z)| k λ2 0h2 + 4π2k2 - hε , а значит, можно выбрать k = k0 ∈ Z таким, что |ξk0 (z)| < m. Обозначим ξk0 (z) = ξ(z), λk0 = μ0. С учетом приведенных выше оценок получаем, что при |z| = ε выполнены неравенства |η(z)| -;: m > |ξ(z)|, и по теореме Руше функции η(z)+ ξ(z) и η(z) имеют в круге B(0, ε) одинаковое число нулей. Так как в этом круге есть нуль у функции η(z), то при некотором z0 ∈ B(0, ε) GB (μ0 + z0) Так как η(z0)+ ξ(z0) = det(E - GA(μ0 + z0)+ μ0 + z0 ) = 0. det G(μ0 + z0) = (μ0 + z0)n det E - GA(μ0 + z0)+ GB (μ0 + z0) μ0 + z0 = 0, Re μ0 = Re λ0, а μ0 + z0 ∈ B(μ0, ε), то лемма доказана. ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДУ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА 129 Лемма 4.6. Пусть 1 p ∞. Если уравнение (1.2) экспоненциально Lp-устойчиво, то все корни многочлена PA(z) лежат вне круга B[0, 1]. Доказательство. Пусть z0 - корень уравнения многочлена PA(z). Допустим, что z0 ∈ B[0, 1], т. е. z0 = e-α-iβ , где α -;: 0. Тогда уравнение det(E - GA(λ)) = 0 имеет корень λ0 = α + iβ. Выберем ε < α + γ, где γ - показатель экспоненты в определении экспоненциальной Lp-устойчивости, и найдем, в соответствии с леммой 4.5, корень μ0 уравнения det(E-GA(λ)) = 0 такой, что Re μ0 = α, а в круге B(μ0, ε) есть корень функции det G(λ), который обозначим через λ1 = α1 + iβ1. По построению, |α1 -α| < ε < α+γ, следовательно, α1+γ > 0. Корню λ1 соответствует нетривиальное решение ξ0 = ζ + iη системы G(λ1)ξ = 0 и решения уравнения (1.2) x(t) = eα1 t(η cos β1t - ζ sin β1t), y(t) = eα1 t(η cos β1t + ζ sin β1t), для которых сумма 2 2γt 2 2γt 2(α1 +γ)t ( 2 2) 2(α1 +γ)t 2 |x(t)| e + |y(t)| e = e |η| + |ζ| = e |ξ0| является неограниченной функцией, что противоречит экспоненциальной Lp-устойчивости уравнения (1.2). Теорема 4.4. Пусть 1 p ∞. Уравнение (1.2) экспоненциально Lp-устойчиво тогда и только тогда, когда для функции Коши справедлива оценка (3.8). Доказательство. Очевидно, что в доказательстве нуждается только необходимость. Пусть уравнение (1.2) экспоненциально Lp-устойчиво. Из леммы 4.6 следует, что все корни многочлена det PA(z) лежат вне круга B(0, 1). Далее, если уравнение (1.2) экспоненциально Lp-устойчиво, то его фундаментальное решение имеет экспоненциальную оценку, и из теоремы 4.2 следует, что все корни уравнения det(E - zQ(z)) = 0 также лежат вне круга B(0, 1). Применение теоремы 4.1 завершает доказательство. Следствие 4.3. Если уравнение (1.2) экспоненциально Lp0 -устойчиво хотя бы при одном p0 -;: 1, то оно экспоненциально Lp-устойчиво при всех p -;: 1. Таким образом, в шкале пространств Lp (1 p ∞) экспоненциальную устойчивость достаточно исследовать при каком-то одном p. Наиболее удобными, по-видимому, являются пространства L1, L2 или L∞. Наиболее важные результаты раздела 4 соединим в одной теореме. Теорема 4.5. Следующие утверждения эквивалентны: § уравнение (1.2) сильно асимптотически L1-устойчиво; § уравнение (1.2) экспоненциально Lp-устойчиво при любом p -;: 1; • § уравнение (1.2) экспоненциально Lp-устойчиво хотя бы при одном p -;: 1; lim Y (t) = Θ; t→∞ § при некоторых N, γ > 0 справедлива оценка |Y (t)| N e-γt, t ∈ R+. 5. Пример Покажем, что все введенные выше виды устойчивости реализуются на конкретных представителях уравнений вида (1.2). Рассмотрим уравнение нейтрального типа x˙ (t) - ax˙ (t - 1) = bx(t) - cx(t - 1), t -;: 0, (5.1) x(ξ) = ϕ(ξ), x˙ (ξ) = ψ(ξ), ξ < 0, где a, b, c - произвольные вещественные числа. Для уравнения (5.1) в работе [4] была построена область устойчивости. Приведем ее здесь. В пространстве Ouvw зададим поверхность Γ: cos θ u = cos θ + v θ , w = -θ sin θ + v cos θ, 130 В. В. МАЛЫГИНА, К. М. ЧУДИНОВ Рис. 1. Область D Fig. 1. Domain D считая, что θ ∈ (θ1, π) при v -;: 0, где θ1 - наименьший положительный корень уравнения cos ζ + sin ζ v ζ = -1, и θ ∈ (0, θ2) при v ∈ (-2, 0), где θ2 - наименьший положительный корень уравнения sin ζ cos ζ + v ζ = 1. Вместе с тремя плоскостями v = w и u = ±1 поверхность Γ ограничивает в пространстве Ouvw область D, приведенную на рис. 1 (границы не принадлежат D). Пусть |a| < 1. В работе [4] показано, что функция Коши уравнения (5.1) имеет экспоненциальную оценку (3.8), если и только если (a, b, c) ∈ D. В силу теоремы 4.5 наличие экспоненциальной оценки можно заменить любым из четырех оставшихся утверждений. При попадании точки (a, b, c) на поверхность Γ или плоскость v = w (кроме отрезка AC) уравнение (5.1) теряет асимптотическую устойчивость, но остается Lp-устойчивым при любом p -;: 1. Таким образом, при |a| < 1 асимптотические свойства уравнения (5.1) не отличаются от свойств ФДУ запаздывающего типа. Пусть теперь |a| = 1. При попадании точки (a, b, c) на границы u = ±1 уравнение (5.1) теряет экспоненциальную устойчивость, но не обязательно теряет асимптотическую устойчивость. В работе [10] показано, что если |a| = 1, а |c| < b, то уравнение (5.1) сильно асимптотически Lpустойчиво при всех p > 1. При p = 1 сильная асимптотическая устойчивость теряется, но уравнение (5.1) остается асимптотически L1-устойчивым. Таким образом, при |a| = 1 обнаруживаются специфические свойства уравнений нейтрального типа: несмотря на то, что уравнение (5.1) является автономным, для него асимптотическая устойчивость не совпадает с экспоненциальной.

Об авторах

В. В. Малыгина

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: mavera@list.ru
Пермь, Россия

К. М. Чудинов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Email: cyril@list.ru
Пермь, Россия

Список литературы