Отсутствие положительных решений некоторых нелинейных неравенств с преобразованиями аргумента в полупространстве

Полный текст

Введение В настоящей работе рассматривается известная проблема необходимых условий существования положительных решений некоторых нелинейных уравнений и неравенств в частных производных. Существует несколько подходов к этим вопросам, такие как техники сравнения, энергетический метод и т. д. Подход, основанный на выборе специальных пробных функций, был предложен С. И. Похожаевым [3] и развит в совместных статьях и монографиях с Э. Митидиери, В. А. Галактионовым и другими соавторами (см. [2, 10] и ссылки в этих работах). В частности, было установлено, что для широкого класса неравенств в частных производных с нелинейностями степенного роста (f (u) ∼ cuq ) существование положительных решений определяется соотношением между показателем q и так называемым критическим показателем, зависящим от размерности области определения и других параметров задачи. Этот факт вызывает вопрос об устойчивости критического показателя по отношению к различным возмущениям и преобразованиям задачи, включая нелокальные эффекты, возникающие во многих областях теории уравнений с частными производными, таких как теория дробных степеней оператора Лапласа и интегро-дифференциальных операторов, имеющих такие приложения, как оценка влажности почв, математические модели лазерного излучения и особенно физика плазмы. Один из возможных примеров такого нелокального эффекта - интегрирование искомой функции по атомарной мере, что может быть также выражено как преобразование аргумента. Поэтому в работах авторов настоящей статьи (см., в частности, [9, 11]) были разработаны новые техники пробных функций для нескольких новых классов неравенств, включая неравенства с преобразованиями аргумента во всем пространстве. Здесь мы адаптируем метод пробных функций к получению достаточных условий отсутствия положительных решений для некоторых полулинейных эллиптических неравенств с преобразованиями аргумента в полупространстве. Мы приводим примеры, показывающие точность найденного критического показателя (см. замечания 2.2 и 3.1). Отметим, что аналогичные результаты для неравенств в полупространстве без преобразований аргумента были получены в [4, 5] и в более частном случае задачи Дирихле - в [6, 8] (см. также ссылки в этих работах) и авторами настоящей работы в [1]. Существенное продвижение в этом направлении было сделано недавно в [7]. Оставшаяся часть статьи состоит из трех разделов. В разделе 2 мы получаем результаты об отсутствии решений для полулинейных эллиптических неравенств с монотонно неубывающим (относительно нормальной переменной) преобразованием аргумента в нелинейном слагаемом, в разделе 3 - для неравенств с преобразованиями, близкими к тождественному (в определенном смысле, указанном ниже), а в разделе 4 мы рассматриваем более общие преобразования, но сужаем класс «допустимых» решений, ограничиваясь монотонными. 1. Монотонные преобразования 1 Пусть g(x1,... , xn-1, xn) = (x1,... , xn-1, g˜(xn)), где g˜ ∈ C растающая функция такая, что (R+; R+) - строго монотонно воз- (g0) g(s) s при всех s> 0 и inf s∈R+ g˜-1(s)|g˜∗(s)|-1 s > 0. Пример 2.1. Простейший пример: g(s)= as + b с константами a > 1, b 0. Рассмотрим полулинейное эллиптическое неравенство q -Δu(x) |u(g(x))| + где q > 1, Rn = {x = (x1,... , xn) ∈ Rn : xn > 0}. + (x ∈ Rn ), (2.1) + Определение 2.1. Назовем слабым решением неравенства (2.1) функцию u ∈ Lq,loc(Rn ), удовлетворяющую неравенству r - r u(x) · Δψ(x) dx q |u(g(x))| ψ(x) dx (2.2) R R n n + + + для любой неотрицательной пробной функции ψ ∈ C2(Rn ) с компактным носителем такой, что ψ(x1,... , xn-1, 0) ≡ 0. Лемма 2.1. Существует невозрастающая функция ϕ(s) 0 в C2[0, ∞), удовлетворяющая условиям (1, 0 =( s =( 1, ϕ(s)= 0, s 2, (2.3) 2 q× r |ϕ∗(s)| ϕq× -1(s) ds < ∞, (2.4) 1 Здесь и ниже q∗ = q . q - 1 2 q× r |ϕ∗∗(s)| ϕq× -1(s) ds < ∞. (2.5) 1 Доказательство. Можно выбрать ϕ(s) равным (2 - s)λ с достаточно большим λ> 0 в некоторой левой окрестности 2. 64 Е. И. ГАЛАХОВ, О. А. САЛИЕВА n +1 Теорема 2.1. Пусть выполнено условие (g0), n > 1 и 1 <q =( n - 1 . Тогда неравенство (2.1) + не имеет нетривиальных (в частности, положительных) решений u ∈ Lq,loc(Rn ). Доказательство. Рассуждая от противного, допустим, что нетривиальное решение (2.1) существует. Пусть 0 <R < ∞ (в частности, возможен случай R = 1). Функция xnϕR(x), где n ϕR(x)= n ϕ k=1 |xk | R + (x = (x1,... , xn) ∈ Rn ) и ϕ(s) - функция из леммы 2.1, будет использоваться в качестве пробной функции для неравенства (2.1). Отметим, что подобные пробные функции использовались для задачи (2.1) с g(x) ≡ x в [4]. Подставляя пробную функцию xnϕR в соотношение (2.2), получим r r - u(x) · Δ(xnϕR(x)) dx q |u(g(x))| xnϕR(x) dx. (2.6) R R n n + + Используя монотонность g˜ и ϕR, можно оценить правую часть (2.6) снизу как r q r q -1 -1 ∗ -1 |u(g(x))| xnϕR(x) dx = R R n n + + |u(x)| g˜ (xn)ϕR(x1,... , xn-1, g˜ (xn))|g˜ (xn)| r dx q где c = inf s∈R+ g˜-1(s)|g˜∗(s)|-1 s > 0 в силу (g0). c |u(x)| xnϕR(x) dx, (2.7) R n + С другой стороны, имеем r r r ∂ϕR - u(x) · Δ(ϕR(x)xn) dx = - R R n n + + u(x) · ΔϕR(x) · xn dx - 2 R n + n u(x) · ∂x dx. (2.8) Применяя параметрическое неравенство Юнга к первому слагаемому в правой части (2.8), получим r r - u(x) · ΔϕR(x) · xn dx =( |u(x)|· |ΔϕR(x)| xn dx =( R R n n + + c r q r q× 1-q× =( 4 R n + |u(x)| xnϕR(x) dx + c1 R n + |ΔϕR(x)| xnϕR (x) dx = q c r = 4 |u(x)| xnϕR(x) dx + c1R R n + n+1-2q× r R n + q× ϕ1-q (y) dy = × |Δϕ1(y)| 1 q c r = 4 |u(x)| xnϕR(x) dx + c2R n+1-2q× (2.9) R n + с некоторыми константами c1, c2 > 0. Второе слагаемое в правой части (2.8) можно оценить аналогично: r ∂ϕR r ∂ϕR -2 u(x) · ∂x dx =( 2 u(x) · ∂x dx =( n n R R n n + + c r q ∂ϕR r q× 1-q× 1-q× =( 4 |u(x)| xnϕR(x) dx + c3 xn ∂x ϕ (x) dx = R n R R n n + + ОТСУТСТВИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 65 = c r q |u(x)| xnϕR(x) dx + c3R n+1-2q× r 1 × ∂ϕ q× ϕ1-q (y) dy = 4 ∂yn 1 R R n n + + c r q n+1-2q× с некоторыми константами c3, c4 > 0. Комбинируя (2.6)-(2.10), будем иметь = 4 |u(x)| xnϕR(x) dx + c4R R n + (2.10) q c r 2 |u(x)| xnϕR(x) dx =( (c2 + c4)R R n + n+1-2q× . (2.11) n n Далее будем использовать стандартное обозначение Br (x∗) = {x ∈ R : |x - x∗| < r}, где x∗ ∈ R + , r > 0. Тогда для всех x ∈ BR(0) ∩ Rn по построению имеем ϕR(x) = 1. Поэтому, уменьшая область интегрирования в левой части неравенства (2.11), получим c r 2 + BR (0)∩Rn q |u(x)| xn dx =( (c2 + c4)R n+1-2q× . Устремляя R → ∞, приходим к противоречию при n +1 - 2q∗ < 0, что доказывает теорему во всех случаях, кроме критического (когда n +1 - 2q∗ = 0). В критическом случае получаем и отсюда r q |u(x)| xn dx < ∞ R n + r q supp Δ(ϕRxn) |u(x)| xn dx → 0 при R → ∞. Но из (2.6), (2.7) и неравенства Гельдера следует, что 1 1 ⎛ r q r ⎞ q ⎛ q r q× 1-q× ⎞ q× c + BR (0)∩Rn ⎝ |u(x)| xn dx =( ⎜ supp Δ(ϕRxn ) · |u(x)| xn dx⎟ ⎠ ⎜ ⎝ supp Δ(ϕRxn) n |Δ(ϕR (x)xn)| x dx⎟ ⎠ (2.12) и отсюда 1 ⎛ ⎞ q r q r q + BR(0)∩Rn ⎝ |u(x)| xn dx =( c ⎜ supp Δ(ϕRxn) |u(x)| xn dx⎟ ⎠ → 0 при R → ∞, так как второй множитель в правой части (2.12) можно оценить сверху через (c2 + c4)Rn+1-2q× , как и выше, причем n +1 - 2q∗ = 0, так что для нетривиального u получаем противоречие и в этом случае. Это завершает доказательство. Замечание 2.1. Такой же результат имеет место для g(x1,... , xn-1, xn)= (g˜(x1,... , xn-1), xn), n-1 где g˜ : Rn-1 → Rn-1 таково, что |g˜(x∗)| |x∗| d=ef i ), x2 и inf g˜× |J -1(x∗)|· |g˜∗(x∗)| > 0. Доказательство аналогично предыдущему. i=1 n +1 x×∈Rn-1 Замечание 2.2. Критический показатель n +1 n - 1 оптимален. См. пример решения uq (x) при q > n - 1 и g(x) ≡ x в [5]. Его модификация uq,g (x) = uq (x∗, g˜-1(xn)) удовлетворяет (2.1) для более общих g со свойством (g0). 66 Е. И. ГАЛАХОВ, О. А. САЛИЕВА 2. Преобразования, близкие к тождественному Пусть теперь g ∈ C1(Rn ; Rn ) удовлетворяет следующим условиям: + + + (g1) существует константа c1 > 0 такая, что при x ∈ Rn выполнено |g(x) - x| =( c1; = + (g2) g(x)= x при x ∈C def {(x1,... , xn) ∈ Rn : xn =( 4c1}. Пример 3.1. В качестве примера можно взять g(x)= (x1,... , xn-1, g˜(xn)), где ⎧ g˜(s)= ⎨s, 0 =( s =( 4, 1 ⎩s + 2 sin 2 πs 4 , s 4. + Введем обозначение Qr = {(x1,... , xn) ∈ Rn : |xi| =( r, i = 1,... , n}, где r > 0. Мы ограничиваемся рассмотрением класса положительных решений, удовлетворяющих для любого R > 0 оценке r r q |u(x)| xn dx =( c2 q |u(x)| xn dx, (3.1) Q2R QR который включает, в частности, решения, удовлетворяющие двусторонней оценке c(1 + |x|)α =( u(x) =( c∗(1 + |x|)α (x ∈ R+) c некоторыми константами α ∈ R и c, c∗ ∈ R+. n +1 Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (g1), (g2) и 1 <q =( n - 1 . Тогда неравенство (2.1) + не имеет положительных решений u ∈ Lq,loc(Rn ). Доказательство. Повторим рассуждения из доказательства предыдущей теоремы, оценивая правую часть (2.6) при R > 4c1 другим способом. А именно, мы покрываем область Q2R \C натуральным числом M (R) шаров Bm,R = B2c (xm,R) радиуса 2c1 с центрами в некоторых точ- 2c1 1 c1 ках xm,R так, что объединение M (R) меньших шаров с теми же центрами Bm,R = Bc1 (xm,R) радиуса c1 полностью лежит в QR \C и эти шары не пересекаются, так что r f (x) dx r M (R) "\" f (x) dx, (3.2) QR\C Bm,R m=1 c1 и существует константа c3 = c3(n) такая, что каждая точка QR \C принадлежит не более чем c3 2c1 шарам Bm,R, поэтому для любой неотрицательной функции f (x), интегрируемой в QR \C, имеем r f (x) dx =( c3 r M (R) "\" f (x) dx. (3.3) QR\C Bm,R m=1 2c1 Заметим, что, так как -Δu uq 0, функция u удовлетворяет слабому неравенству Харнака r inf y∈B m,R 2c1 uq (y) c4R-n B m,R 4c1 uq (x)dx (3.4) с некоторой константой c4 > 0, не зависящей от m и R. Кроме того, так как центры xm,R шаров Bm,R 2c1 по построению лежат вне C, т. е. n-е координаты этих центров больше 4c1, а следовательно, 2c1 n-е координаты всех точек шаров Bm,R больше 2c1, то sup yn y∈B m,R 2c1 inf y∈B m,R = 2c1 yn + 4c1 4c1 =1 + 4c1 1+ = 3. (3.5) inf yn ∈ y Bm,R 2c1 inf yn ∈ y Bm,R 2c1 inf ∈ y Bm,R 2c1 yn =( 2c1 ОТСУТСТВИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 67 Тогда получим: r Q2R uq (g(x))xn ϕR(x) dx = r = Q2R∩C r uq (g(x))xn ϕR(x) dx + r Q2R\C r uq (g(x))xn ϕR(x) dx (g2) = = Q2R∩C r uq (x)xnϕR(x) dx + Q2R\C r uq (g(x))xn ϕR(x) dx (3.2) Q2R∩C uq (x)xnϕR(x) dx + QR\C uq (g(x))xn dx r uq (x)xnϕR(x) dx + r M (R) "\" uq (g(x))xn dx (g1) Q2R∩C r M (R) Bm,R m=1 c1 r (3.4), (3.5) Q2R∩C uq (x)xnϕR (x) dx + "\" m=1 inf y∈B m,R 2c1 uq (y) B m,R c1 xn dx r uq (x)xnϕR(x) dx + r M (R) c4 "\" 3 uq (x)xndx (3.3) Q2R∩C Bm,R m=1 2c1 r Q2R∩C r uq (x)xnϕR(x) dx + c4 3c3 c4 r QR\C r uq (x)xn dx (3.1) Q2R∩C uq (x)xnϕR(x) dx + 3c2c3 Q2R\C uq (x)xn dx r Q2R∩C uq (x)xnϕR (x) dx + c4 3c2c3 r Q2R\C uq (x)xnϕR(x) dx 1 2 min 1, c4 r 3c c uq (x)xnϕR(x) dx и завершим доказательство аналогично предыдущему. 2 3 Q2R Далее ограничимся классом решений u неравенства (2.1) не более чем со степенным ростом на бесконечности, т. е. такими, для которых существуют константы c0 > 0 и α ∈ R такие, что | u(x) =( c0|x α + для всех x ∈ Rn . (3.6) Лемма 3.1. Обозначим IR = { QR uq (x)xndx. Тогда для любой функции u(x), удовлетворяющей (3.6), имеем lim inf I2R = 0. (3.7) R→∞ RIR Доказательство. Предположим обратное, т. е. ∃ε> 0: ∃R0 > 0: ∀R > R0 I2R εRIR. (3.8) Применяя (3.8) k раз, получим I2k R 2 k k(k-1) 2 (εR) IR. (3.9) 68 Е. И. ГАЛАХОВ, О. А. САЛИЕВА С другой стороны, из (3.6) следует I2k R =( c(2k R)αq+n+1. (3.10) Комбинируя (3.9) с (3.10) и устремляя k → ∞, получаем противоречие, которое доказывает утверждение. Замечание 3.1. Аналогично можно показать, что I2R-c lim sup R→∞ I2R = 1. Для решений неравенства (2.1), удовлетворяющих (3.6), условие (g2) в теореме 3.1 можно заменить следующими условиями: (g3) g ∈ C1(Rn ; Rn ) и существует константа c2 > 0 такая, что для всех x ∈ Rn выполнено |Jg-1 + + + (x)| c2. 1 -1 -1 (g4) Обозначим g- (x1,... , xn) = (g1 (x1,... , xn),... , gn (x1,... , xn)). Тогда существует кон- + станта c3 > 0 такая, что для всех x ∈ Rn n имеем g-1(x1,... , xn) c3xn. Пример 3.2. В качестве примера можно взять g(x)= (x1,... , xn-1, axn + b)) при a> 0 (но не обязательно a 1, как в примере 2.1) и b 0. Тогда справедлива следующая теорема. Теорема 3.2. Пусть выполнены условия (g1), (g3) и (g4) (но не обязательно (g2)), а такn +1 n же 1 <q =( n - 1 . Тогда неравенство (2.1) не имеет положительных решений u ∈ Lq,loc(R+), удовлетворяющих (3.6). Доказательство. При условиях теоремы имеем r uq (g(x))xn ϕR(x) dx x=g-1(y) r = uq (y)g-1(yn)ϕR (g-1(y))|J -1 (x)| dy (g3),(g4) Q2R r c2c3 g-1(Q2R ) uq (y)ynϕR(g-1(y)) dy n (g1) r c2c3 g uq (y)ynϕR(g-1(y)) dy = g-1(Q2R ) r = c2c3 Q2R-c1 uq (y)yn(ϕR(y)+ ϕR(g-1(y)) - ϕR(y)) dy c2c3 Q2R-c1 r uq (y)yn(ϕR(y) - max y∈Q2R-c1 R |ϕ∗ (y)|· |g-1(y) - y|) dy (g1) Q2R-c1 (g1) r c2c3 R uq (y)yn(ϕR (y) - max |ϕ∗ (y)|· c1) dy Q2R-c1 ⎛ r c2c3 ⎜ uq (y)y ϕ y∈Q2R c1 r (y) dy - max |ϕ∗ (z)|· ⎞ uq (y)yn dy⎟ . (3.11) ⎝ n R Q2R-c1 1 z∈Q2 R ⎠ Q2R Применяя лемму 3.1, при R > 2c1 приходим к c1 z Q 1 R max |ϕ∗ (z)|· ∈ 2 r Q2R 1 r uq (y)yn dy =( 2 QR uq (y)yn dx =( 1 r 2 Q2R uq (y)ynϕR (y) dy хотя бы для некоторой последовательности R, стремящейся к ∞. Отсюда с учетом (3.11) и замечания (3.1) следует r Q2R uq (g(x))xn ϕR(x) dx c2c3 2 r Q2R-c1 uq (y)ynϕR(y) dy c2c3 4 r Q2R uq (y)ynϕR(y) dy ОТСУТСТВИЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ 69 для некоторой подпоследовательности той же последовательности, что позволяет завершить доказательство аналогично предыдущим. Замечание 3.2. Критический показатель n +1 n - 1 оптимален по крайней мере для преобразо- + ваний g(x) таких, что g(x)= x вне некоторого компактного множества K ⊂ Rn и |g(x) - x| =( cK для всех x ∈ K, где cK - константа Липшица для решения uq (x), упомянутого в замечании 2.1, на множестве K. В этом случае легко показать, что функция 2 q× при q > n +1 n - 1 удовлетворяет (2.1). vq (x) d=ef 3 uq (g-1(x)) 3. Отсутствие монотонных решений Пусть теперь g ∈ C(Rn ; Rn )= (g˜(x1,... , xn 1),x ), где g˜ : Rn-1 → Rn-1 таково, что + + - n + (g5) существует константа c4 > 0 такая, что |g˜(x∗)| =( c4|x∗| для всех x ∈ Rn , где |x∗| определено, как в замечании 2.1. Пример 4.1. В качестве примера можно взять g(x)= (c4x1,... , c4xn-1, xn)) при c4 > 0. n +1 + Теорема 4.1. Пусть выполнены (g5) и 1 <q =( n - 1 . Тогда неравенство (2.1) не имеет нетривиальных решений u ∈ Lq,loc(Rn ), монотонно неубывающих по xn для любого x∗ ∈ Rn-1. Замечание 4.1. Известно, что в случае равенства в (2.1) с однородным условием Дирихле на + ∂Rn = {(x∗, 0) : x∗ ∈ Rn-1} все неотрицательные решения с необходимостью являются монотонно неубывающими (см. [6]), и поэтому из теоремы 4.1 следует отсутствие каких-либо нетривиальных решений этой задачи. Обобщения этого свойства монотонности и связанные с ними результаты об отсутствии решений квазилинейных задач с оператором p-Лапласа можно найти в [1, 8] и по ссылкам, приведенным в этих работах. Доказательство теоремы 4.1. Не ограничивая общности, будем считать, что c4 > 1 (иначе можно применить замечание 2.1), и рассмотрим пробные функции ψR(x) = ψR(x∗, xn) = ϕR (x∗, xn - 3c4R). Так как оценка правой части (2.8) остается неизменной с точностью до замены пробных функций ϕR на ψR, достаточно оценить { Q2R uq (g(x))xn ψR(x) dx снизу. Это можно сделать следующим образом: r Q2R r uq (g(x))xn ψR(x) dx QR uq (g(x))xn dx r r c inf x∈Q˜c4 R uq (x)Rn+1 c Q˜2c4 R uq (x)xn dx c Q˜R uq (x)xnψR dx, где Q˜r def {x = (x1,... , xn 1,x ) : (x ,... ,x ,x - 3c r) ∈ Q }, r > 0. Здесь на втором ша- = - n 1 n-1 n 4 r ге мы используем условие (g5), а на третьем - слабое неравенство Харнака. Далее аналогично предыдущим доказательствам получаем r Q˜R uq (x)xn dx = r Q˜R uq (x)xnψR dx =( cRn+1-2q× для некоторого c> 0, не зависящего от R, и в силу условия монотонности u(·, xn) по xn имеем r Q˜R r uq (x)xn dx QR uq (x)xn dx. Доказательство завершается аналогично предыдущим случаям.

Об авторах

Е. И. Галахов

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: egalakhov@gmail.com
Москва, Россия

О. А. Салиева

Московский государственный технологический университет «Станкин»

Email: olga.a.salieva@gmail.com
Москва, Россия

Список литературы