Разностные схемы второго порядка точности для нелокальных по времени параболических задач интегрального типа

Полный текст

1. Введение Многие задачи физики и прикладных наук сводятся к локальным и нелокальным краевым задачам для уравнений параболического типа. Приближенные решения и корректность локальных и нелокальных краевых задач для параболических уравнений широко исследовались в ряде работ (см., например, [1-41] и приведенные там ссылки). В работе [12] исследована однозначная разрешимость нелокальной по времени краевой задачи для параболического уравнения в гильбертовом пространстве H с самосопряженными положительно определенными операторами A и B ⎧ du ⎪⎨ + Au = f (t), 0 < t < T, dt T (1.1) ⎪ u(0) = r a(s)Bu(s)ds + ϕ ⎩ 0 Здесь f : (0,T ) -→ H и a : [0,T ] -→ R1 - заданные функции, ϕ ∈ H - известный элемент, оператор B ограничен и D(B)= H. © А. Ашыралыев, Ч. Ашыралыев, 2023 This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/legalcode 32 РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 33 В работе [17] исследована корректность нелокальной по времени краевой задачи (1.1). Представлены одношаговые абсолютно устойчивые разностные схемы Роте и Кранка-Николсона для приближенного решения задачи (1.1). Установлена корректность дифференциальных и разностных задач в пространствах Гёльдера. В примерах даны численные иллюстрации. В настоящей работе одношаговые разностные схемы второго порядка точности для приближенного решения задачи (1.1) строятся с помощью разложения Тейлора на двух точках, порожденных A и A2. Установлены теоремы об устойчивости и коэрцитивной устойчивости rмодифицированной разностной схемы Кранка-Николсона и неявной разностной схемы второго порядка точности для приближенного решения задачи (1.1) в гильбертовом пространстве с самосопряженным положительно определенным оператором. В качестве приложения получены оценки устойчивости решений разностных схем второго порядка точности по t для одномерной и многомерной нелокальной во времени параболической задачи. Приведены численные результаты. 2. Устойчивость r-модифицированной разностной схемы Кранка-Николсона Пусть Cτ (H) = C ([0,T ]τ ,H) , Cα (H) = Cα ([0,T ] ,H]) , α ∈ (0, 1), - банаховы пространства τ 0 τ k=0 всех H-значных сеточных функций wτ = {wk}N , определенных на [0,T ]τ = {tk = kτ, 0 k N, Nτ = T } с соответствующими нормами -α α l l τ wτ C (H) = max 0 k N τ (H) lwk lH , lwτ lCα = sup 1 k<k+n N (N - n) (k) lwk+n - wk lH + lwτ lCτ (H) . Для приближенного решения краевой задачи (1.1) мы вводим r-модифицированную разностную схему Кранка-Николсона ⎧ 1 τ ⎪ (uk - uk-1)+ Auk = ϕk, ϕk = f ⎪ ⎪ tk - τ 2 , 1 k r, ⎨ 1 (uk - uk-1)+ A uk + uk-1 = ϕk, ϕk = f tk - τ , r +1 k N, (2.1) τ 2 2 ⎪ a Bu + a Bu N 1 u = ⎪ 0 0 ⎪ N N τ + - a Bu τ + ϕ. ⎩ 0 2 i i i=1 Из положительности оператора A следует существование ограниченных шаговых операторов -1 C = (I + τ A)-1, R = I - τA I + τA I , P = τA -1 + . 2 2 2 Лемма 2.1. При любом k = 1,... ,N выполнены оценки lClH→H 1, Лемма 2.2. Предположим, что I I k IR I I IH→H 1, N -1 I - I(I R) R I l I k I IH→H 1 . (2.2) k |a0| + |aN | τ + |a | τ lBl < 1. (2.3) Тогда оператор 2 a0B + aN BRN -rCr i i=1 r i N -1 k-r r - I τ 2 i=1 - aiBC τ - i=r+1 aiBR C τ имеет обратный Qτ , и выполнена следующая оценка: 1 lQτ lH→H 1 - τ + |a0 |+|aN | 2 N -1 i=1 l |ai| τ lBl = Ma,b. (2.4) Доказательство этой оценки основано на спектральном представлении самосопряженного положительно определенного оператора в гильбертовом пространстве. 34 А. АШЫРАЛЫЕВ, Ч. АШЫРАЛЫЕВ Лемма 2.3. Для решения разностной схемы (2.1) имеет место следующая формула: ⎧ k ⎪ Cku0 + Ck-j+1ϕjτ, 1 k r, ⎪ j=1 ⎪ r k ⎪ ⎪ Rk-rCru0 + Rk-rCr-j+1ϕjτ + ⎪ Rk-j P ϕj τ, r +1 k N, ⎪ ⎪ a B j=1 r j=r+1 N l ⎪⎨ uk = Qτ ⎪ ⎪ N τ 2 R j=1 r N -rC r-j+1 i ϕjτ + j=r+1 RN -j P ϕj τ + (2.5) ⎪ + aiB Cı-j+1ϕjτ 2 + ϕ + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ N -1 i=1 r j=1 i l Здесь ⎪ ⎩⎪ + i=r+1 aiB j=1 Ri-r C r-j+1 ϕjτ + j=r+1 Ri-j P ϕj τ τ , k = 0. -1 / Qτ = I - a0B + aN BRN -rCr - τ 2 r i=1 aiBCiτ - N -1 i=r+1 \ aiBRk-rCrτ . Доказательство. Для решения разностной схемы ⎧ 1 ⎪ τ (uk - uk-1)+ Auk = ϕk, ϕk = f (tk), 1 k r, ⎪ ⎨ 1 uk + uk-1 (2.6) (uk - uk-1)+ A ⎪ ⎪ τ τ 2 = ϕk, ⎩ имеем формулу ⎧ ϕk = f k tk - 2 , r +1 k N, u0 - заданный элемент, uk = ⎪ ⎪ Ck ⎨ u0 + j=1 Ck-j+1 r ϕjτ, 1 k r, k (2.7) ⎪ ⎪ Rk-r C ⎩ ru0 + j=1 Rk-rC r-j+1 ϕjτ + j=r+1 Rk-j P ϕj τ, r +1 k N. Применяя эту формулу и нелокальное условие u0 = a0Bu0 + aN BuN τ + 2 N -1 i=1 aiBuiτ + ϕ, получим a0Bu0 + aN BRN -rCru0 r i N -1 k r r u0 = τ + aiBC u0τ + 2 i=1 i=r+1 aiBR - C τ u0 + aN B r N l r i + τ RN -r Cr-j+1ϕjτ + RN -j P ϕj τ + aiB Cı-j+1ϕjτ 2 + 2 N -1 j=1 r j=r+1 i i=1 l j=1 + i=r+1 aiB Ri-r Cr-j+1ϕjτ + j=1 j=r+1 Ri-j P ϕj τ τ + ϕ. По лемме 2.1 оператор I - a0B + aN BRN -rCr - τ 2 r i=1 aiBCiτ - N -1 i=r+1 aiBRk-rCrτ имеет обратный Qτ . Отсюда следует формула (2.5). Лемма 2.3 доказана. Теорема 2.1. Пусть τ - достаточно малое число. Тогда разностная схема (2.1) устойчива в Cτ (H) и Cα(H), а для решения разностной схемы (2.1) в Cτ (H) и Cα(H) выполняются τ τ следующие неравенства устойчивости: Cα l uτ l l uτ l Cτ (H) Ma,b[l ϕ lH Ma,b[l ϕ l τ + l ϕτ lC (H) + l ϕτ l ], (2.8) ]. (2.9) τ (H) τ H Cα (H) РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 35 Доказательство. Неравенства устойчивости τ l uτ lC (H) τ lu0lH + T l ϕτ lC (H) , (2.10) Cα l uτ l M [l ϕ l + l ϕτ l α ] (2.11) τ (H) H Cτ (H) τ для решения разностной схемы (2.6) в Cτ (H) и Cα(H) были доказаны ранее (см. [20]). Используя формулу (2.5) и оценку (2.2), получаем оценки для решения разностной схемы (2.1) в Cτ (H) и Cα τ (H) τ l u0lH Ma,b[l ϕ lH + l ϕτ lC (H)], (2.12) τ (H) l u0lH Ma,b[l ϕ lH + l ϕτ lCα ]. (2.13) Поэтому оценки (2.8) и (2.9) следуют из оценок (2.10)-(2.13). Теорема 2.1 доказана. Поскольку нелокальная краевая задача (1.1) в пространстве C([0,T ] ,H) непрерывных H-значных функций, определенных на [0,T ], не является корректной для произвольного положительного оператора A и пространства H, то не имеет места равномерная по τ > 0 корректность разностной схемы (2.1) в норме Cτ (H). Это означает, что коэрцитивная норма N r ( uk + uk-1 1 N l uτ lK (H) = l {τ -1(uk - uk 1)}1 lC (H) + l{Auk} 1lC (H) + l A r+1 l τ - τ τ 2 Cτ (H) стремится к бесконечности при τ → +0. Исследование разностной схемы (2.1) по норме Cτ (H) позволяет установить порядок роста этой нормы. Теорема 2.2. Пусть τ - достаточно малое число. Тогда для решения разностной схемы (2.1) имеем неравенство почти коэрцитивной устойчивости τ l uτ lK (H) Ma,b ( min ln 1 τ , 1+ |ln l A lH 1 →H | l ϕτ l Cτ (H) + l Aϕ lH . Доказательство. Доказательство теоремы 2.2 основано на оценке почти коэрцитивной устойчивости τ l uτ lK (H) M ( min ln 1 τ , 1+ |ln l A lH 1 →H | τ l ϕτ lC (H) + l Au0lH для решения разностной схемы (2.6) в Cτ (H) из монографии [20], а также на оценке 1 τ l Au0 lH Ma,b l Aϕ lH + min{ln τ , 1+ | ln l A lH→H |}||ϕ lCτ (H) для решения разностной схемы (2.1) в Cτ (H). τ Теорема 2.3. Пусть τ - достаточно малое число и ϕ ∈ D(A). Тогда для решения разностной схемы (2.1) выполняется следующее неравенство коэрцитивной устойчивости в Cα(E): l {τ -1(uk - uk N 1)}1 lCα } + l {Auk r l ( + l A uk + uk-1 1 N l - τ (H) τ 1 Cα(H) Cα 2 Ma,b r+1 τ τ (H) α α(1 - α) ||ϕ lCτ (E) +Ma,b lAϕl |H . (2.14) τ Доказательство. Корректность разностных схем первого и второго порядков точности в Cα(E) для задачи Коши получена в работах [10, 20]. Доказательство этой теоремы проводится по схеме доказательств из работ [10, 20] и опирается на оценку коэрцитивной устойчивости M τ α l Au0 lE α(1 - α) l ϕ lCτ (E) +M l Aμ lE для решения разностной схемы (2.1). 0 Замечание 2.1. Переходя к пределу при τ -→ 0 в (2.14), можно получить корректность нелокальной краевой задачи (1.1) в Cα ([0,T ] ,H) . 36 А. АШЫРАЛЫЕВ, Ч. АШЫРАЛЫЕВ Замечание 2.2. Заметим, что оценки устойчивости, почти коэрцитивной устойчивости и коэрцитивной устойчивости разностной схемы (2.1) в теоремах 2.1-2.3 в произвольном банаховом пространстве E верны в предположении, что оператор - - a0B + aN BRN -r Cr I τ 2 r i=1 aiBCiτ - N -1 i=r+1 aiBRk-rC rτh имеет ограниченный обратный в E. Теперь рассмотрим приложения результатов теорем 2.1-2.3. Во-первых, рассматривается нелокальная краевая задача для одномерного параболического уравнения - ⎧vt (a(x)vx )x + δv = f (t, x), 0 < t < T, 0 < x < l, ⎪ ⎨⎪ T v(0, x)= r α(s)Bv(s, x)ds + ϕ(x), 0 x l, ⎪ 0 (2.15) ⎪⎩v(t, 0) = v(t, l), vx(t, 0) = vx(t, l), 0 t T. Здесь 0 < a a (x) , a(l) = a(0) и δ - положительная константа. При условиях согласования задача (2.15) имеет единственное решение v(t, x) для гладких функций a (x) , x ∈ (0, l) , ϕ(x), x ∈ [0, l], f (t, x), (t, x) ∈ (0,T ) × (0, l). Это позволяет свести смешанную задачу (2.20) к нелокальной краевой задаче (1.1) в гильбертовом пространстве H = L2[0, l]. Известно, что дифференциальное выражение d Az = - dx ( a(x) dz(x) dx + δz(x) (2.16) определяет самосопряженный положительно определенный оператор A с областью определения ×× × × D(A)= {z : z, z ∈ L2[0, l], z(0) = z(l),z (0) = z (l)}. (2.17) 2h Пусть L2h = L2 [0, l]h и W 2 2 = W 2 [0, l]h - нормированные пространства всех сеточных функn=0 ций γh (x) = {γn}M , определенных на [0, l]h = {xn = nh, 0 n M, Mh = l} и оснащенных, соответственно, нормами ⎛ ⎞1/2 ⎛ 2 ⎞1/2 I hI h 2 I hI I hI h I I I I I I 2h x∈[0,l]h IL γ 2h 2h + ⎝ γ x∈[0,l]h xx,j h⎠ . h Кроме того, введем разностный оператор Ax, действующий в пространстве сеточных функций }n=0 h uh (x) = {un M , определенных на [0, l] и удовлетворяющих условиям uM = u0 и u1 - u0 = uM - uM -1, по формуле Ax h ( 1 ( un+1 - un un - un-1 1M -1 hu (x)= - h an+1 h - an h + δun 1 . (2.18) Для численного решения {uh (x) N нелокальной краевой задачи (2.15) приведем разностную k k=0 схему второго порядка точности по t ⎧ k k-1 / k k k k \ ⎪ un - un 1 a un+1 - un un - un-1 + δuk k ⎪ τ - h ⎪ n+1 h - an h n = fn, ⎪ ⎪ fk τ ⎪ n = f ⎪ tk - 2 , xn / , tk = kτ, xn = nh, k = 1, r, n = 1,M - 1, \ ⎪ k k-1 k k k k ⎪ un - un 1 a un+1 - un un - un-1 ⎨⎪ τ - 2h / n+1 k-1 h - an k-1 h k-1 - k-1 \ k k-1 (2.19) ⎪ 1 a un+1-un un - un-1 n n u + u + δ k ⎪ - 2h f ⎪ ⎪ k ( τ ⎪ n+1 ) h - an h = fn, 2 n = f ⎪ tk - 2 , xn , tk = kτ, xn = nh, k = r + 1,N , n = 1,M - 1, ⎪ 0 a0Bu0 + aN BuN N -1 ⎪ un = n ⎪ 2 ⎪ n τ + i=1 n aiBui τ + ϕn, ϕn = ϕ (xn) , n ∈ 0,M, ⎩ uk k k k k k M = u0 , u1 - u0 = uM - uM -1, k ∈ 0,N. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 37 Применяя результаты теорем 2.1-2.3, мы можем получить результаты об устойчивости, почти коэрцитивной устойчивости и коэрцитивной устойчивости для (2.19). Теорема 2.4. Пусть τ и h - достаточно малые числа и выполнено условие - l N 1 |a0| + |aN | τ + |a | τ lBl < 1. 2 i i=1 Тогда для решения разностной схемы (2.19) выполняются оценки устойчивости I I If l.N I If I I I + fh I l.N I l , u h I k I Ma,b,q,δ IϕhI I k I α I k=1ICτ (L2h) I IL2h I k=1IC α(L2h ) τ почти коэрцитивной устойчивости I h I( 1 I I 1N I h I f I 1 I I l.N I l h I I h I I I τ uk - uk-1 I k=1 IW I k=1 I I IC(L2h ) Ma,b,q,δ ϕ + ln 2 2h h + τ I fk I IC(L2h ) и коэрцитивной устойчивости I I I N I( 1 h h 1 I 1 I If hl.N I l I I IϕhI I I IW τ I uk - uk-1 I ICα I ICα k=1I τ (L2h ) Ma,b,q,δ I 2h 2 + α (1 - α) I fk k=1I . τ (L2h ) Во-вторых, пусть Ω - единичный куб в n-мерном евклидовом пространстве Rn (0 < xk < 1, 1 k n) с границей S и Ω = Ω ∪ S. В [0,T ] × Ω рассмотрим нелокальную краевую задачу для многомерного параболического уравнения ⎧ n ⎪ ut - (ar (x)uxr ) = f (t, x), 0 < t < T, x ∈ Ω, xr ⎨⎪ r=1 T u(0, x)= r α(s)Bu(s, x)ds + ϕ(x), x ∈ Ω , ⎪ 0 ⎪ (2.20) ⎩ u(t, x)= 0, x ∈ S, 0 t T. Задача (2.20) имеет единственное гладкое решение u(t, x) для гладких функций ar (x) ): a > 0 (x ∈ Ω), ϕ(x)(x ∈ Ω ) и f (t, x) (t ∈ [0,T ],x ∈ Ω). Это позволяет свести смешанную задачу (2.20) к нелокальной краевой задаче (1.1) в гильбертовом пространстве H = L2(Ω) всех интегрируемых функций, определенных на Ω, снабженных нормой lf lL2 (Ω) = ⎧ ⎨r r ··· ⎩ x∈Ω 2 |f (x)| 1 ⎫ 2 dx1 ... dxn⎬ , ⎭ с самосопряженным положительно определенным оператором Ax, определяемым формулой n Axu(x)= - (ar (x)ux )x , (2.21) с областью определения r r r=1 D(Ax)= {u(x): u(x), ux (x), (ar (x)ux )x ∈ L2(Ω), 1 r n, u(x)= 0,x ∈ S . r r r Численное решение задачи (2.20) проводится в два этапа. На первом этапе задаётся сетка Ω h = {x = xm = (h1m1,... , hnmn), m = (m1,... , mn), 0 mr Mr, hr Mr = L, r = 1,... , n} , Ωh = Ω h ∩ Ω, Sh = Ω h ∩ S h и разностный оператор Ax по формуле ( n Ax h h hu (x)= - r=1 ar (x)u - xr xr,jr , (2.22) 38 А. АШЫРАЛЫЕВ, Ч. АШЫРАЛЫЕВ h действующий в пространстве сеточных функций uh(x), удовлетворяющих условиям uh(x)=0 для всех x ∈ Sh. С помощью Ax приходим к нелокальной краевой задаче для бесконечной системы дифференциальных уравнений ⎧ vh x h h ⎨ t (t, x)+ Ahv T (t, x)= f (t, x), 0 < t < T, x ∈ Ω h, (2.23) ⎩ vh(0, x)= r α(s)Bhvh(s, x)ds + ϕh(x), x ∈ Ω h. 0 На втором этапе задача (2.23) заменяется разностной схемой второго порядка точности по t ⎧ uh h ⎪ k (x) - uk-1(x) x h h ⎪ ⎪ ⎪ ϕh + A u (x)= ϕ (x), τ τ h k k k ⎪ k (x)= f ⎨⎪ uh h (tk - 2 , x), tk = kτ, 1 k r, x ∈ Ω h, k (x) - uk-1(x) + 1 Ax h 1 (2.24) huk (x)+ Axuh (x)= ϕh(x), τ τ 2 ⎪ h k ⎪ 2 h k-1 k ϕ (x)= f ⎪ k ⎪ (tk - 2 , x), tk = kτ, r +1 k N, x ∈ Ωh, N -1 ⎪ a(0)Buh(x)+ a(T )uh (x) ⎪ uh 0 N h h ⎩ 0 (x)= τ + 2 i=1 α(ti)Bui (x)τ + ϕ (x),x ∈ Ω h. Для формулировки результата об устойчивости введем пространство L2h = L2(Ωh) всех сеточных функций ϕh(x)= ϕ(h1m1,... , hnmn), определенных на x ∈ Ω h, снабженных нормой ⎛ I I 2 ⎞1/2 IϕhI = ϕh(x)| h . I IL2h ⎝ | ⎠ x∈Ω h Применяя результаты теорем 2.1-2.3 и теорему о коэрцитивном неравенстве для решения эллиптической разностной задачи в L2h (см. [11]), можно получить результаты об устойчивости, почти коэрцитивной устойчивости и коэрцитивной устойчивости. Теорема 2.5. Пусть τ и |h| = jh2 + h2 + ... + h2 - достаточно малые числа и выполнено условие 1 2 n N -1 l |a0| + |aN | τ + |a | τ lBl < 1. 2 i i=1 Тогда для решений разностной схемы (2.24) выполняются оценки устойчивости I I If l.N I I I I If I h l.N I l u h I k I f Ma,b,q,δ IϕhI + I k I , I k=1I α Cτ (L2h) α I IL2h I k=1ICτ (L2h ) почти коэрцитивной устойчивости I h I( 1 I I 1N I h I f I 1 I I l.N I l h I I h I I I τ uk - uk-1 I k=1 IW k=1 I I IC(L2h ) I Ma,b,q,δ ϕ + ln 2 2h fk |h| + τ I I IC(L2h) и коэрцитивной устойчивости I h I( 1 I I 1N I h I I 1 I If l.N I l h I h I I I f I τ uk - uk-1 I I k=1 ICα τ (L2h ) IW I ICα I Ma,b,q,δ 2h ϕ 2 + α (1 - α) I k k=1I . τ (L2h ) 3. Устойчивость неявной разностной схемы второго порядка точности Для приближенного решения краевой задачи (1.1) мы рассмотрим неявную разностную схему второго порядка 1 ( τ (uk - uk-1)+ A I + τA 2 ( uk = I + τA 2 ϕk, ϕk = f N -1 tk - τ 2 , 1 k N, (3.1) u0 = a0Bu0 + aN BuN τ + 2 i=1 aiBuiτ + ϕ. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 39 Из положительности оператора A следует, что существует ограниченный оператор шага R = R(τ A) этой разностной схемы на всем пространстве H, определяемый формулой 2 -1 I R = (τ A) + τA + . 2 Лемма 3.1. При любых k = 1,... ,N выполнены оценки I I I(I - R) Rk I 1 . (3.2) I kI IR IH 1, I →H I I IH→H k Лемма 3.2. Предположим, что N -1 l |a0| + |aN | τ + |a | τ lBl < 1. (3.3) a0B + aN BRN 2 N -1 i i=1 i Тогда оператор I - - τ 2 i=1 aiR Bτ имеет обратный Q и выполняется оценка 1 lQτ lH→H 1 - τ + |a0 |+|aN | 2 N -1 i=1 l |ai| τ lBl = Ma,b. (3.4) Доказательство этой оценки основано на спектральном представлении самосопряженного положительно определенного оператора в гильбертовом пространстве. Лемма 3.3. Для решения разностной схемы (3.1) имеет место формула: k ( uk = Rku0 + Rk-i+1 I + i=1 ⎡ N N -1 τA 2 i ϕiτ, (3.5) ⎤ u0 = Qτ ⎣ τ aN B 2 i=1 RN -i+1 (I + τA 2 ϕiτ + i=1 τ aiB j=1 Ri-j+1 (I + τA 2 ϕjτ + ϕ⎦ . (3.6) Доказательство. Для решения разностной схемы 1 ( τ (uk - uk-1)+ A I + τA 2 ( uk = I + τA 2 ϕk, 1 k N, u0 - заданный элемент (3.7) применим формулу (3.5). С учетом нелокального условия N -1 получаем u0 = a0Bu0 + aN BuN τ + 2 i=1 aiBuiτ + ϕ u0 = τa0 Bu + 2 0 τaN B 2 RN u0 + N i=1 RN -i+1 (I + τA 2 l ϕiτ + N -1 ⎡ i ( τA ⎤ 2 + τ aiB ⎣Riu0 + Ri-j+1 I + ϕjτ ⎦ + ϕ. a0B + aN BRN i=1 N -1 i j=1 По лемме 3.2 оператор I - - τ 2 i=1 aiR Bτ имеет обратный Qτ . Отсюда следует формула (3.6). Лемма 3.3 доказана. Теорема 3.1. Пусть τ - достаточно малое число. Тогда разностная схема (3.1) устойчива в Cτ (H) и Cα(H), а для решения разностной схемы (3.1) в Cτ (H) и Cα(H) выполняются τ τ следующие неравенства устойчивости: l u l τ Cτ (H) Cα l uτ l H Ma,b l ϕ l Ma,b l ϕ l τ + l ϕτ lC (H) + l ϕτ l α , (3.8) . (3.9) τ (H) H Cτ (H) 40 А. АШЫРАЛЫЕВ, Ч. АШЫРАЛЫЕВ τ Доказательство. Неравенства устойчивости решения разностной схемы (3.7) в Cτ (H) и Cα(H) τ l uτ lC (H) τ lu0lH + T l ϕτ lC (H) , (3.10) Cα l uτ l M l u0 l + l ϕτ l (3.11) τ (H) τ H Cα(H) τ были доказаны ранее (см. [10]). Используя формулу (3.6) и оценку (3.2), получаем оценки для решения разностной схемы (3.1) в Cτ (H) и Cα(H) l u0lH Ma,b τ l ϕ lH + l ϕτ lC (H) , (3.12) l u0lH Ma,b τ (H) l ϕ lH + l ϕτ lCα . (3.13) Поэтому оценки (3.8) и (3.9) вытекают из оценок (3.10)-(3.13). Поскольку нелокальная краевая задача (1.1) в пространстве C([0,T ] ,H) непрерывных H-значных функций, определенных на [0,T ], не является корректной для произвольного положительного оператора A и пространства H, то равномерная по τ > 0 корректность разностной схемы (3.1) по норме Cτ (H) не имеет места. Это означает, что коэрцитивная норма I( ( τA 1 I τ N I l uτ lK (H) = l {τ -1(uk - uk 2 u -1)}1 lCτ (H) + I A I + I N I k 1 I ICτ (H) стремится к ∞ при τ → . Исследование разностной схемы (3.1) по норме Cτ (H) позволяет установить порядок роста этой нормы до ∞. Теорема 3.2. Пусть τ - достаточно малое число. Тогда для решения разностной схемы (3.1) имеем неравенство почти коэрцитивной устойчивости τ l uτ lK (H) Ma,b ( min ln 1 τ , 1+ |ln l A lH 1 →H | τ l ϕτ lC (H) l + l Aϕ lH . Доказательство. Доказательство теоремы основано на оценке почти коэрцитивной устойчивости τ l uτ lK (H) M ( min ln 1 τ , 1+ |ln l A lH 1 →H | τ l ϕτ lC (H) l + l Au0lH для решения разностной схемы (3.7) в Cτ (H) из монографии [20] и оценки ( τA ( 1 1 τ l l A I + 2 u0 lH Ma,b l Aϕ lH + min τ ln , 1+ | ln l A lH→H | ||ϕ lCτ (H) для решения разностной схемы (3.1) в Cτ (H). τ Теорема 3.3. Пусть τ - достаточно малое число и ϕ ∈ D(A). Тогда для решения разностной схемы (3.1) выполняется следующее неравенство коэрцитивной устойчивости в Cα(E): l {τ -1(uk - uk N 1)}1 lCα ( ( + l A I + u τA 1 N k l Ma,b ||ϕτ lCα +M lAϕl| . - τ (H) τ 2 1 Cα(H) α(1 § α) τ (E) a,b H τ Доказательство. Доказательство этой теоремы основано на теореме о корректности в Cα(E) разностной схемы (3.7) из работ [10, 20] и оценках коэрцитивной устойчивости ( τA M τ l A I + 2 α u0 lE α(1 - α) l ϕ lCτ (E) +M l Aμ lE для решения разностной схемы (3.1). Замечание 3.1. Заметим, что оценки устойчивости, почти коэрцитивной устойчивости и коэрцитивной устойчивости разностной схемы (3.1) теорем 3.1-3.3 в произвольном банаховом пространстве E выполняются при предположении, что оператор I - имеет ограниченный обратный в E. a0B + aN BRN - τ 2 N -1 i=1 aiRiBτ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 41 Теперь перейдем к приложениям результатов теорем 3.1-3.3. Сначала рассмотрим нелокальную краевую задачу для одномерного параболического уравнения (2.15). Для численного решения {uh (x) N нелокальной краевой задачи (2.15) используем k k=0 разностную схему второго порядка точности по t ⎧ uh(x) - uh (x) ( τ Ax ( τ Ax k ⎪⎪ ⎪ ⎨ ϕh k-1 τ k h + Ax I + h 2 τ uh k (x)= I + h 2 k ϕh(x), k (x)= f tk - ,x , tk = kτ, 1 k N, x ∈ [0, l]h, (3.14) 2 ⎪ a(0)Buh(x)+ a(T )uh (x) ⎪ N -1 ⎪⎩ uh 0 N h h 0 (x)= τ + 2 i=1 α(ti)Bui (x)τ + ϕ (x), x ∈ [0, l]h. Применяя результаты теорем 3.1-3.3, мы можем получить результаты об устойчивости, почти коэрцитивной устойчивости и коэрцитивной устойчивости для (3.14). Теорема 3.4. Пусть τ и h - достаточно малые числа и выполнено условие - l N 1 |a0| + |aN | τ + |a | τ lBl < 1. 2 i i=1 Тогда для решения разностной схемы (3.14) выполняются оценки устойчивости I I If l.N I If I I I + fh I l.N I l , u h I k I Ma,b,q,δ IϕhI I k I α I k=1ICτ (L2h) I IL2h I k=1IC α(L2h ) τ почти коэрцитивной устойчивости I h I( 1 I I 1N I h I f I 1 I I l.N I l h I I h I I I τ uk - uk-1 I k=1 IW I k=1 I I IC(L2h ) Ma,b,q,δ ϕ + ln 2 2h h + τ I fk I IC(L2h ) и коэрцитивной устойчивости I I N I( 1 h h 1 I h If l. I l IW I ICα I f I I I I IϕhI + 1 I N I . I τ uk - uk-1 I ICα k=1I τ (L2h ) Ma,b,q,δ 2 2h α (1 - α) I k k=1I τ (L2h ) Теперь в [0,T ] × Ω рассмотрим нелокальную краевую задачу (2.20) для многомерного параболического уравнения. Численное решение задачи (2.20) проводится в два этапа. На первом этапе определяется сетка Ω h = {x = xm = (h1m1,... , hnmn), m = (m1,... , mn), 0 mr Mr, hr Mr = L, r = 1,... , n} , Ωh = Ω h ∩ Ω, Sh = Ω h ∩ S h и разностный оператор Ax по формуле ( n Ax h h hu (x)= - r=1 ar (x)u - xr xr,jr , (3.15) действующий в пространстве сеточных функций uh(x), удовлетворяющих условиям uh(x) = 0 h для всех x ∈ Sh. С помощью Ax приходим к нелокальной краевой задаче ⎧ vh x h h ⎨ t (t, x)+ Ahv T (t, x)= f (t, x), 0 < t < T, x ∈ Ω h, (3.16) ⎩ vh(0, x)= r α(s)Bhvh(s, x)ds + ϕh(x), x ∈ Ω h 0 для бесконечной системы дифференциальных уравнений. 42 А. АШЫРАЛЫЕВ, Ч. АШЫРАЛЫЕВ На втором этапе задача (3.16) заменяется разностной схемой второго порядка точности по t ⎧ h h x x ⎪ uk (x) - uk-1(x) x ( τ Ah h ( τ Ah h + A I + 2 ⎪ τ h ⎪ uk (x)= I + 2 ϕk (x), ⎪⎨ ϕh k τ k (x)= f ⎪ tk - 2 ,x , tk = kτ, 1 k N, x ∈ Ω h, (3.17) ⎪ ⎪ uh 0 N a(0)Buh (x)+ a(T )uh (x) N -1 h h ⎩⎪ 0 (x)= τ + 2 i=1 α(ti)Bui (x)τ + ϕ (x), x ∈ Ω h. Применяя результаты теорем 3.1-3.3 и теорему о коэрцитивном неравенстве для решения эллиптической разностной задачи в L2h (см. [11]), можно получить результаты об устойчивости, почти коэрцитивной устойчивости и коэрцитивной устойчивости. Теорема 3.5. Пусть τ и |h| = jh2 + h2 + ... + h2 - достаточно малые числа и выполнено условие 1 2 n N -1 l |a0| + |aN | τ + |a | τ lBl < 1. 2 i i=1 Тогда для решений разностной схемы (3.17) выполняются оценки устойчивости I I If l.N I I I I If I h l.N I l u h I k I f Ma,b,q,δ IϕhI + I k I , I k=1I α Cτ (L2h) α I IL2h I k=1ICτ (L2h ) почти коэрцитивной устойчивости I h I( 1 I I 1N I h I f I 1 I I l.N I l h I I h I I I τ uk - uk-1 I k=1 IW I k=1 I I IC(L2h ) Ma,b,q,δ ϕ + ln 2 2h fk |h| + τ I I IC(L2h) и коэрцитивной устойчивости I h I( 1 I I 1N I h I I 1 I If l.N I l h I h I I I f I τ uk - uk-1 I I k=1 ICα τ (L2h ) IW I ICα I Ma,b,q,δ 2h ϕ 2 + α (1 - α) I k k=1I . τ (L2h ) 4. Численные результаты Рассмотрим разностные схемы второго порядка точности для решения нелокальной краевой задачи ⎧ ut(t, x) - (1+ x2) uxx(t, x) - 2x ux(t, x)+ 2u(t, x)= f (t, x), ⎪ ⎪ f (t, x)= exp(-t - 1) ⎪⎪ {(2+ x2) ⎨ 1 ( 1 sin x - 2x cos x , (4.1) ⎪ u(0, x)= r e-su(s, x)ds + ϕ(x), ϕ(x)= sin x e-1 + 1 1 (e-3 - e-1) , 0 x π, ⎪ 5 10 0 ⎪ ⎪⎩ u(t, 0) = 0, u(t, π)= 0, 0 t 1 для одномерного параболического уравнения. Точное решение задачи u (t, x) = exp(-t - 1) sin x. Множество семейства узлов сетки [0, 1]τ × [0, π]h, зависящее от параметров τ и h, определяется как [0, 1]τ × [0, π]h = {(tk, xn): tk = τk, 0 k N, τ N = 1, xn = hn, 0 n M, hM = π} . РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 43 Сначала, применяя разностную схему (2.1) к задаче (4.1), мы получаем r-модифицированную разностную схему Кранка-Николсона / (1+ x2 ) 2x \ ( 1 / 1 2 (1+ x2 )\ / (1+ x2 ) 2x \ n n k k-1 n k n n k - h2 - 2h τ un+1 + - τ un + 2+ + τ h2 un + - h2 + 2h un-1 = = f (tk - 2 , xn), k = 1,... , r, 1 1 ( ( 1 1 ( -(1+ x2 ) 1 - 2x uk + + (1+ x2 ) +1 uk + -(1+ x2 ) 1 + 2x uk + n 2h2 ( n 4h n+1 τ ( n h2 n n 2h2 n 4h n-1 + - (1+ x2 ) 1 1 - 2x uk-1 + 1 1 - + (1+ x2 ) +1 uk-1 + n 2h2 ( n 4h n+1 τ n h2 n + - (1+ x2 ) 1 1 + 2x uk-1 = f (t τ - ,x ), k = r + 1,... , N. n 2h2 n 4h n-1 k 2 n (4.2) Эту систему уравнений можно переписать в матричной форме ⎧ ⎨AnUn+1 + Bn Un + Cn Un-1 = Rϕn, 2 n M - 2, (4.3) ⎩U0 = -→0 , U1 = 4 U2 1 4 1 UM = -→0 , 5 5 5 5 - U3UM -1 = UM -2 - UM -3, где R - единичная матрица с (N + 1) строками и столбцами, ϕ ⎡ 0 ⎤ n ϕ 1 ϕn = ⎢ n ⎥ ⎧ ⎨ ⎪ , ϕk = e-1 + - 1 (e-3 e-1)l 10 sin xn, k = 0, ⎦ ⎣ ⎢ ... ⎥ n ⎩⎪ f τ Us = ϕ N n (N +1)×1 tk - 2 , xn , 1 k N, ⎡ U 0 ⎤ ⎡ p s r ... 0 0 ⎢ U 1 ⎥ ⎢ 0 s p ... 0 0 ⎢ ... ⎢ ⎢ UN ⎣ s ⎥ , s = n - 1, n,n + ⎥ -1 ⎥ ⎦ 1, Q(p, r)= ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ... 0 ... 0 ... ... ... ... p r UN s 0 0 ... 0 0 An = Q(0, an), Cn = Q(0, cn ), ⎤ ⎥ ⎥ , ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ Bn = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ bn d 0 ... 0 0 0 0 bn d ... 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 bn d τ τ τ τ τ τ e-1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ , (4.4) ⎥ ⎦ 1 - 10 - 5 - 5 ... - 5 - 5 - 10 an = ( 1 - (1+ x2 ) 1 - 2xn , n 2h2 2h 1 2 1 bn = τ + (1+ xn) h2 + 1, 1 ( 2 1 1 d = - τ , cn = - (1+ xn) 2h2 + 2xn 2h . Во-вторых, применяя для решения разностную схему (4.1), получим разностную схему второго порядка точности uk k-1 n - un τ + 1+ uk + q uk o uk (2h)-1 + q3 uk o 2uk + uk + τ q0 τ 2 n 2 n+1 n-1 h2 n+1 τ n n-1 + uk o 2uk + 2uk o uk + q1 uk - 4uk + 6uk - 4uk + uk = h3 n+2 n+1 n-1 n-2 h4 2 n+2 n+1 n n-1 n-2 = e-tk- 1 -1 {(2+ x2 sin x 2x cos x τ -tk 1 -1 {( 9x2 sin x + ( 10x 8x3 cos x , 2 n) n - + e - x4 n 2 2 ) n - n n - n - n) n n = 2,M - 2, k = 1,N, (4.5) 44 А. АШЫРАЛЫЕВ, Ч. АШЫРАЛЫЕВ uk k 4 k 1 k k k 4 k 1 k 0 = 0, u1 = 5 u2 - 5 u3 , uM = 0, uM -1 = 5 uM -2 - 5 uM -3, k = 0,N, N uN 1 τ j j-1 где 2 2 n = j=1 2 μ(tj - )τ un + un + ϕn, n = 0,M, τ q1 = (1+ x2 ) , q0 = 4xn (1+ x2 ) , q3 = - (1+ x2 ) + (2+ 10x2) q2 = (-2xn - 2xnτ ) . n n n 2 Можно записать (4.5) в следующей матричной форме: ⎧ ⎨Anun+2 + Bnun+1 + Cnun + Dnun-1 + Enun-2 = IN +1ϕn, n = 2,M - 2, ⎩u0 = -→0 , u1 = 4 5 u2 - 1 5 u3, uM -1 = 4 5 uM -2 - 1 5 uM -3, uM = -→0 . (4.6) t n Здесь Ik - единичная матрица k × k, ϕn - матрица размера (N + 1) × 1, ϕn = ϕ0 n ··· ϕN , An, Bn, Cn, Dn, En - матрицы размера (N + 1) ×(N + 1), Ok×m - матрица типа k × m с нулевыми элементами, O1×(N +1) = l , B O1×(N +1) l , An = vnIN ON ×1 n ynIN ON ×1 O1×(N +1) = l , E O1×(N +1) l , Dn = znIN ON ×1 s0 s1 s2 ··· sN -2 sN -1 sN rn d 0 ··· 0 0 0 0 . rn . . . d . . . ··· . . . 0 . 0 . 0 . 0 0 0 . . . . . . 0 0 0 0 0 . . . rn d 0 0 0 0 ··· 0 rn d ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ n wnIN ON ×1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ , ⎥ Cn = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ где q0τ q1 τ q2 1 = - τ , yn q3 2q0τ 2q1τ vn = h3 + h4 2 , d - = + 2h h2 h3 - h4 , 1 2q3 3q1τ q0τ q1 τ rn =2 + τ + τ - h2 + h4 , wn = - h3 + h4 2 , q2 q3 2q0τ 2q1τ τ τ zn = - 2h + h2 + h3 - h4 , s0 =1 - 2 μ 2 , τ τ τ sN = - 2 μ tN - 2 , sj = - 2 μ(tj- 1 )+ μ(tj+ 1 ) , j = 1,... ,N - 1. 2 2 Решение (4.6) определяется модифицированным методом исключения Гаусса: un = αn+1un+1 + βn+1un+2 + γn+1, βn+1 = -F -1An, αn+1 = -F -1 (Bn + Dnβn + Enαn 1β ) , n n - n n γn+1 = -F -1 (IN +1ϕn - Dnγn - Enαn -1γn o En γn-1) , Fn = (Cn + Dnαn + Enβn-1 + Enαn-1αn) при n = M - 2,... , 0, где 4 1 -→ γ1 = γ2 = O(N +1)×1, α1 = β1 = O(N +1)×(N +1) , α2 = 5 IN +1, β2 = - 5 IN +1, uM = 0 , 1 M DM = (βM -2 + 5IN +1) - (4IN +1 - αM -2) αM -1, uM -1 = D- [(4IN +1 - αM -2) γM -1 - γM -2] . Для сравнения приближенного решения с точным решением вычисляется погрешность 1 /M -1 EM 2 \ 2 k N = max 1 k N -1 n=1 u(tk, xn) - un h . РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ ДЛЯ НЕЛОКАЛЬНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 45 В табл. 1 приведена погрешность между точным решением и решениями, полученными по разностной схеме (4.2). Погрешности (4.2) приведены в табл. 1 для r =1 и N, M = 20, 40, 80, 160, соответственно. Из табл. 1 видно, что порядок точности сходится к двум. В табл. 2 показана погрешность между точным решением и решением, полученным по разностной схеме (4.5) для N, M = 20, 40, 80, 160, соответственно. Из табл. 2 видно, что порядок точности сходится к двум. N = M EM N 20 3,15×10-2 40 7,05×10-3 80 1,47×10-3 160 3,71×10-4 Таб. 1. Погрешность приближения для разностной схемы (4.2) Tab. 1. Error of approximation for di erence scheme (4.2) N = M EM N 20 3,10×10-4 40 7,66×10-5 80 1,92×10-5 160 4,80×10-6 Таб. 2. Погрешность приближения для разностной схемы (4.5) Tab. 2. Error of approximation for di erence scheme (4.5)

Об авторах

Алллаберен Ашыралыев

Бахчешехир университет; Российский университет дружбы народов; Институт математики и математического моделирования

Автор, ответственный за переписку.
Email: aallaberen@gmail.com
Стамбул, Турция; Москва, Россия; Алматы, Казахстан

Чарыяр Ашыралыев

Бахчешехир университет; Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека

Email: charyar@gmail.com
Стамбул, Турция; Ташкент, Узбекистан

Список литературы