Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции

Аннотация

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Работа посвящена линейным уравнениям с частными производными четного порядка, содержащим сжатия и растяжения аргументов неизвестной функции под знаком старших производных. В основном изучаются краевые задачи для таких уравнений в ограниченных областях пространства Rn. Исключение составляет глава 4, где уравнение рассматривается во всем пространстве. В теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сдвигами пространственных переменных в старших производных в настоящее время существует несколько направлений. Одно из них восходит к известной работе Т. Карлемана [66]. В 1932 году им была рассмотрена задача о нахождении голоморфной в ограниченной области Ω функции Φ, удовлетворяющей на границе условию Φ(z)+ a(z)Φ(g(z)) = φ(z) (z ∈ ∂Ω), связывающему значение функции в точке z ∈ ∂Ω с ее значением в точке g(z) ∈ ∂Ω, где g - диффеоморфизм ∂Ω периода 2. При сведении такой задачи на границу возникает сингулярное интегральное уравнение со сдвигом. Его естественным обобщением является уравнение \ ag (x, D)u(g-1(x)) = f (x) (x ∈ M ) (1) g∈G на гладком замкнутом многообразии M, в котором суммирование ведется по конечному числу элементов g некоторой группы G диффеоморфизмов многообразия M, а ag (x, D) - заданные дифференциальные или псевдодифференциальные операторы на M. При этом сама группа G может быть как конечной, так и бесконечной. К изучению уравнений вида (1) сводятся нелокальные краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений в областях Rn, отвечающие диффеоморфизмам границы в краевых условиях [3, 5]. Существенные результаты по теории Фредгольма уравнений (1) (как для конечных, так и для бесконечных групп диффеоморфизмов) получены в работах А. Б. Антоневича [3-5], А. Б. Антоневича и А. В. Лебедева [6, 59]. Были предложены различные эквивалентные конструкции символа оператора (1) (эллиптичность в этой ситуации определялась как обратимость символа и влекла за собой фредгольмовость уравнения в подходящих пространствах Соболева); в случае конечной группы G при помощи вспомогательного эллиптического псевдодифференциального оператора на многообразии была установлена формула индекса. Следует отметить, что результаты, полученные в случае конечной группы диффеоморфизмов, близки к известным результатам для эллиптических дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие (случай бесконечной группы диффеоморфизмов) теория индекса операторов вида (1) получила в работах А. Ю. Савина [41], А. Ю. Савина и Б. Ю. Стернина [42] (см. также монографию [80]). Кроме упомянутых работ, эллиптические уравнения со сдвигами по пространственным переменным в этом направлении рассматривались также в [28, 83] и ряде других работ. В теории упругости [22, 82, 88], теории многомерных диффузионных процессов [50, 88], а также в связи с нелокальными краевыми задачами типа Бицадзе-Самарского [8, 45, 48] возникает необходимость рассматривать эллиптические функционально-дифференциальные уравнения в другой ситуации, когда присутствующие в старших производных преобразования аргументов могут отображать некоторые точки границы внутрь области. Так, например, упругие модели конструкций, содержащих многослойные оболочки и пластины с гофрированным заполнителем, могут быть сведены к сильно эллиптическим системам дифференциально-разностных уравнений вида -ΔRΩu(x) = f (x) (x ∈ Ω), (2) u(x) = 0 (x ∈ ∂Ω). (3) Здесь Ru(x) = u(x1, x2)+ γ1u(x1 + 1, x2)+ γ2u(x1 - 1, x2), Δ - оператор Лапласа, Ω = (0, 2) × (0, 1), γ1, γ2 ∈ R, f ∈ L2(Ω). Понятно, что для корректного определения действия оператора R необходимо задавать краевые условия не только на границе, но и в некоторой окрестности ∂Ω. Поэтому вводится оператор RΩ = PΩRIΩ, ВВЕДЕНИЕ 5 где IΩ - оператор продолжения функций нулем в R2 \ Ω, PΩ - оператор сужения функций на Ω. Решения краевой задачи (2), (3) следует искать в пространстве H˚1(Ω) (обобщенные решения). Это отвечает ее исходной вариационной формулировке (о связи краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с задачами на минимум функционалов с отклоняющимся аргументом см. также [14]). Отметим, что при γ1γ2 /= 1 задача (2), (3) эквивалентна нелокальной краевой задаче для уравнения Пуассона -Δw(x) = f (x) (x ∈ Ω), w(x1, 0) = w(x1, 1) = 0 (0 < x1 < 2), w(0, x2) = γ1w(1, x2), w(2, x2) = γ2w(1, x2) (0 < x2 < 1). Интенсивное изучение нелокальных задач такого сорта, вызванное их приложениями в физике (теория плазмы), началось с известной работы [8]. Впервые влияние сдвигов в старших производных, отображающих точки границы в область, на разрешимость эллиптических краевых задач и гладкость их обобщенных решений исследовалось А. Л. Скубачевским [44-49, 87]. В указанных работах были разработаны основы общей теории краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений: получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства типа Гординга, исследованы вопросы однозначной и фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева и весовых пространствах, а также гладкости обобщенных решений. Показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться в области даже при бесконечно дифференцируемой правой части и сохраняется лишь в некоторых подобластях. Был обнаружен эффект появления степенных особенностей у производных решений в некоторых точках как на границе, так и внутри области. Наиболее полно эти результаты представлены в монографии [88]. Дальнейшим исследованиям краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений посвящены работы [25-27, 52, 53, 56, 57]. Характерной чертой рассматриваемых в настоящей работе задач тоже является наличие преобразований, отображающих границу внутрь области. Вместо сдвигов на постоянные векторы уравнение содержит сжатия и растяжения аргументов x 1→ q-1x, x 1→ qx (q > 1) в старших производных. Примером может служить задача вида (2), (3), в которой оператор R задан формулой Ru(x) = u(x)+ γ1u(q-1x)+ γ2u(qx), а Ω - некоторая ограниченная область в Rn. Существенные различия с теорией дифференциальноразностных уравнений проявляются в случае, когда в область Ω, где рассматривается уравнение, попадает начало координат, являющееся точкой сгущения орбит {q-k x : k = 0, 1,.. .}, x ∈ Ω. С этим связаны принципиальные трудности в исследовании уравнений со сжатиями и растяжениями. Так, сведение к эллиптическим системам дифференциальных уравнений, использовавшееся в теории дифференциально-разностных уравнений, имеет здесь весьма ограниченное приложение. Теперь значения, которые решение принимает в окрестности O(x0) произвольной точки 0 /= x0 ∈ Ω, связаны уравнением с его значениями в счетном семействе окрестностей q-k O(x0), стягивающихся к началу координат (рис. 1). Кроме того, известный метод локализации [1, 70, 88], применяющийся обычно в теории краевых задач для исследования гладкости решений, доказательства априорных оценок, «замораживания» коэффициентов и т. д., в рассматриваемой ситуации не работает. Основу этого метода составляет разбиение единицы {ϕj (x)}, подчиненное подходящему покрытию Ω открытыми множествами (например, такими, в которых коэффициенты мало меняются), при этом в теории функциональнодифференциальных уравнений на разбиение единицы накладывается дополнительное алгебраическое условие: умножение на функции ϕj (x) должно коммутировать или «почти» коммутировать 6 ВВЕДЕНИЕ РИС. 1. Счетное семейство окрестностей с действием функциональных операторов того или иного класса. Но из результатов работы [43] вытекает несуществование разбиения единицы такого, что ϕj (qx) = ϕj (x), если область содержит начало координат. С другой стороны, уравнения со сжатиями и растяжениями обладают рядом новых свойств. Так, ядро краевой задачи для эллиптического уравнения со сжатием аргументов может быть бесконечномерным и содержать лишь негладкие функции. Гладкость решения краевой задачи во многих случаях равносильна его единственности. Имеет место и следующий интересный эффект: свойства краевой задачи в основном определяются значениями, которые коэффициенты при нелокальных членах (т. е. членах, содержащих преобразованные аргументы) принимают лишь в начале координат. Исследование сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений (здесь им посвящена глава 2) имеет непосредственное отношение к известной проблеме Т. Като [75] о совпадении областей определения квадратных корней из m-аккретивного оператора и сопряженного к нему. Для абстрактных операторов этот вопрос изучался в [78, 79]. Дальнейшему исследованию проблемы Като в приложении к дифференциальным и функционально-дифференциальным операторам посвящены работы [58, 60, 61, 89]. Полученные в настоящей работе результаты позволяют выделить новый класс операторов, для которых гипотеза Като имеет положительное решение. Проблема Като тесно связана с описанием пространства начальных данных для соответствующих параболических уравнений [58, 89]. Подчеркнем, что по обыкновенным уравнениям со сжатием (растяжением) аргумента имеется довольно обширная библиография. Первые работы появились в литературе в 1940-х годах, еще до систематического изучения уравнений с отклоняющимся аргументом, начало которому было положено А. Д. Мышкисом [21]. Хорошо известное классическое уравнение пантографа выглядит следующим образом: y∗(t) = ay(t)+ by(qt) (t > 0), (4) где a, b ∈ R (или C), 1 /= q > 0. Этот термин появился после статьи [81], в которой рассматривалась математическая модель динамики контактного провода электроснабжения подвижного состава (пантографом называют токоприемник на крыше трамвая или поезда). Однако, уравнение вида (4) можно найти еще в работе В. А. Амбарцумяна [2] 1944-го года, где описывалось поглощение света межзвездной материей. Через некоторое время уравнение пантографа возникло и в других приложениях, например, в биологии при моделировании процесса роста клеток [72]. При этом если в первом случае (техника) значимыми с физической точки зрения были значения q < 1, то во втором и третьем случаях (астрофизика, биология) уравнения выводились для q > 1. Первой работой, в которой уравнение пантографа подверглось серьезному математическому исследованию, была статья Т. Като и Дж. Б. Маклеода [76], посвященная в основной своей части асимптотическому анализу решений при t → +∞. Позже в [73, 74] и ряде других работ изучалось обобщенное уравнение пантографа y∗(t) = ay(t)+ by(qt)+ cy∗(qt) (t > 0), y(0) = y0. (5) ВВЕДЕНИЕ 7 Были найдены различные формы представления решения, исследовались асимптотическое поведение и условия существования (почти) периодических решений. Показано, что разрешимость задачи (5) зависит от коэффициента c и класса гладкости решений. Так, при c /= 1, q-1, q-2,... существует и единственно решение из C∞[0, +∞), но могут существовать (в зависимости от c) и другие C1-решения, не принадлежащие C∞[0, +∞) (похожий эффект зависимости количества решений от выбора пространства решений установлен и для рассматриваемых в работе краевых задач, см. главу 1). На асимптотику же решений в основном влияют параметры a, b ∈ C. Например, если a /= 0 и Re a 0, то асимптотическое поведение решения определяется характеристическим уравнением a + bqλ = 0. Стоит отметить, что теория уравнения (5) в корне отличается от хорошо известной теории [7] для дифференциально-разностного уравнения y∗(t) = ay(t)+ by(t - τ )+ cy∗(t - τ ) (t > 0), (6) y(t) = y0(t) (-τ < t 0). В то время как для (6) характерно нарушение гладкости решений в точках τ, 2τ,..., решение (5) в случае единственности - обязательно бесконечно гладкое. Условие устойчивости для уравнения (6), состоящее в отсутствии в правой полуплоскости корней характеристического квазиполинома z - a - e-τz (b + cz), существенно отличается от соответствующего условия для уравнения (5). Уравнение (6) порождает отображение в пространстве функций на отрезке [-τ, 0], в то время как (5) с точки зрения динамических систем ведет себя значительно сложней. В настоящей работе впервые проводится подробное исследование краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов неизвестной функции под знаком старших производных. Рассматриваются вопросы однозначной и фредгольмовой разрешимости в различных функциональных пространствах, гладкости обобщенных решений, спектральные свойства и др. Значительное внимание уделяется аспектам, связанным с определением эллиптичности и сильной эллиптичности функционально-дифференциального уравнения. Построенная теория линейных краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями и растяжениями аргументов существовала в аналогичной общности лишь для дифференциально-разностных уравнений. При этом вопрос о спектральной устойчивости для функционально-дифференциальных операторов прежде вообще не рассматривался. Ранее известные результаты для уравнений со сжатиями и растяжениями аргумента относятся к одномерному случаю и связаны с разрешимостью начальных задач, асимптотическим поведением решений на бесконечности и т. д. в основном для уравнений первого порядка. В качестве приложения в настоящей работе рассмотрена задача об оптимальном успокоении системы управления для уравнения (5). Первые результаты по обобщенным решениям краевой задачи для уравнения со сжатием аргумента в одномерном случае, -(y(t)+ αy(t/2))∗∗ = f (t) (0 < t < 1), y(0) = y(1) = 0, были получены в [18]. Опишем сейчас вкратце представленные в работе результаты. Глава 1 посвящена краевой задаче -ΔRu(x) = f (x) (x ∈ Ω), (7) u|∂Ω = 0 (8) для функционально-дифференциального уравнения с оператором R вида Ru(x) = \ ak u(q-k x), (9) k где q > 1, ak ∈ C - заданные числа, а суммирование ведется по конечному множеству целых индексов, причем среди них могут быть как неотрицательные, так и отрицательные. Таким образом, уравнение (7) может содержать как сжатия, так и растяжения аргументов искомой функции. 8 ВВЕДЕНИЕ Уравнение (7) является наиболее простым по структуре в классе рассматриваемых в данной работе уравнений: оно содержит лишь один функциональный оператор под знаком старших производных и имеет непосредственный аналог в одномерном случае. Через Ω обозначается произвольная ограниченная область в Rn, удовлетворяющая условию Ω ⊂ qΩ. Считаем f ∈ L2(Ω). Обобщенным решением краевой задачи (7), (8) называется всякая функция u из пространства Соболева H˚1(Ω), удовлетворяющая (после продолжения нулем в Rn \ Ω) интегральному тождеству r ∇Ru(x)∇φ(x) dx = Ω при любой функции φ ∈ H˚1(Ω). r f (x)φ(x) dx Ω Полученные в главе 1 результаты касаются вопросов существования и единственности обобщенного решения задачи (7), (8), гладкости обобщенных решений и их поведения при q → 1+ 0. Кроме того, рассмотрено обобщение на случай переменных коэффициентов в операторе R, а также приложение к теории управления (n = 1). Раздел 1.1 содержит вспомогательные результаты, связанные с действием функциональных операторов вида (9) в пространствах Соболева Hs(Ω) и H˚s(Ω), s = 0, 1,.... В разделе 1.2 краевая задача (7), (8) рассматривается в предположении, что в уравнении (7) присутствуют лишь сжатия аргументов (все коэффициенты ak , отвечающие отрицательным значениям индекса k в сумме (9), равны нулю). Показано (теоремы 1.1, 1.2), что в этом случае задача разрешима для любой правой части f ∈ L2(Ω) при любых значениях коэффициентов ak , одновременно не равных нулю, причем в зависимости от соотношения между коэффициентами реализуется одна из следующих двух ситуаций: · для любой функции f ∈ L2(Ω) обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω) единственно, принадлежит H2(Ω) и непрерывно по норме H2(Ω) зависит от f ; · при f = 0 соответствующая однородная задача имеет бесконечно много линейно независимых loc решений, не принадлежащих H2 (Ω). Таким образом, гладкость обобщенного решения краевой задачи для уравнения со сжатиями аргументов равносильна его единственности. Упомянутое соотношение на коэффициенты уравнения формулируется в терминах корней «характеристического» полинома r(λ) ≡ \ ak λk k на комплексной плоскости: первая ситуация имеет место, если r(λ) /= 0 при |λ| < qn/2-1; вторая ситуация имеет место, если внутрь круга |λ| < qn/2-1 попадает хотя бы один корень r(λ). Важно отметить следующий эффект (теоремы 1.2, 1.3): одновременно с наличием бесконечного множества негладких обобщенных решений краевая задача (7), (8) может иметь единственное решение из H2(Ω), непрерывно зависящее от правой части. В разделе 1.3 рассматривается ситуация, когда уравнение (7) содержит растяжения аргументов (в сумме (9) могут быть слагаемые с неотрицательными индексами, но при этом обязательно присутствуют слагаемые с отрицательными индексами). В этом случае возможны три следующих варианта поведения краевой задачи (7), (8) (теорема 1.4): · для любой функции f ∈ L2(Ω) задача имеет единственное обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω), и это решение непрерывно по норме H1(Ω) зависит от f ; · задача разрешима для любой функции f ∈ L2(Ω), но при f = 0 однородная задача имеет бесконечно много линейно независимых решений; · задача разрешима в том и только том случае, когда функция f ортогональна некоторому бесконечномерному подпространству в L2(Ω), при этом однородная задача имеет единственное тривиальное решение. Выбор варианта по-прежнему определяется расположением корней выражения r(λ) ≡ ), ak λk отk носительно окружности |λ| = qn/2-1 на комплексной плоскости. ВВЕДЕНИЕ 9 В отличие от раздела 1.2, гладкость обобщенного решения краевой задачи для уравнения с растяжениями аргументов может нарушаться даже в случае однозначной разрешимости задачи. Получены некоторые достаточные условия (теорема 1.5), при которых обобщенное решение принадлежит H2(Ω). Эти условия включают условия на корни r(λ), а также условия L2(Ω)ортогональности, которым должна удовлетворять правая часть f. При выполнении условий на r(λ), равносильных однозначной разрешимости краевой задачи (7), (8) для всех значений параметра q > 1, близких к 1, показана сходимость в H1(Ω) при q → 1 + 0 семейства обобщенных решений краевых задач (7), (8) к решению предельной задачи Дирихле для уравнения Пуассона -Δu = f /r(1), которое формально получается из уравнения (7), если положить q = 1. В разделе 1.4 рассматривается краевая задача для более общего уравнения n \ - i,j=1 aij (Ruxj )xi = f (x) (x ∈ Ω), (10) в предположении, что aij = aji ∈ R, а функциональный оператор R имеет вид l Ru(x) = \ bk (x)u(q-k x), k=0 где bk (x) - комплекснозначные функции из C1(Ω) и l > 0. На уравнение (10) накладывается условие n b0(x) \ aij ξiξj /= 0 (x ∈ Ω, 0 /= ξ ∈ Rn), i,j=1 выражающее эллиптичность его «локальной» части в Ω. Оказывается (теорема 1.7), что для фредгольмовой разрешимости краевой задачи (10), (8) достаточно дополнительно потребовать необращения в ноль выражения l r(x, λ) ≡ \ bk (x)λk k=0 в круге |λ| qn/2 и лишь при x = 0: r(0, λ) /= 0 (|λ| qn/2). Таким образом, значения коэффициентов b1(x),..., bl(x) вне начала координат не влияют на фредгольмову разрешимость. Кроме того, показано, что всякое обобщенное решение краевой задачи (10), (8) в случае выполнения перечисленных условий принадлежит H2(Ω). Рассматриваемая в разделе 1.5 задача об оптимальном успокоении системы управления для обобщенного уравнения пантографа приводит к задаче минимизации функционала qT r J (y) = 0 (y∗(t)+ ay∗(q-1t)+ by(t)+ cy(q-1t))2 dt -→ min (a, b, c ∈ R, T > 0) на множестве (вещественнозначных) функций y(t), удовлетворяющих заданному начальному условию y(0) = y0 ∈ R, а также условию y(t) = 0 (t ;;: T ). В предположении |a| /= q-1/2, означающем коэрцитивность функционала, устанавливаются существование и единственность решения данной вариационной задачи. Исследование вариационной задачи в значительной степени основано на ее сведении к краевой задаче для функционально-дифференциального уравнения с растяжением и сжатием аргумента - одномерного аналога уравнения, изученного в предыдущих разделах главы. При b = c = 0 получена явная формула для оптимальной траектории y(t). Результаты главы опубликованы в [29, 32, 39]. 10 ВВЕДЕНИЕ Глава 2 посвящена задаче Дирихле ARu(x) ≡ \ |α|,|β| m Dμ DαRαβ Dβ u(x) = f (x) (x ∈ Ω), (11) ν u|∂Ω = 0 (μ = 0,...,m - 1) (12) для сильно эллиптического уравнения (11), в котором операторы Rαβ определены формулой Rαβ v(x) = \ aαβj (x)v(q-j x). (13) j Здесь по-прежнему q > 1, Ω ⊂ Rn - ограниченная область, индекс j в (13) пробегает конечное подмножество целых чисел, aαβj ∈ C∞(Ω), f ∈ L2(Ω) - заданные комплекснозначные функции. Перед действием операторов Rαβ функции продолжаются нулем в Rn \ Ω. Уравнение (11) называется сильно эллиптическим в Ω, если существуют постоянные c1 > 0, c2 ;;: 0 такие, что неравенство 2 2 Re (ARu, u)L2(Ω) ;;: c1 u Hm(Ω) - c2 u L2(Ω) (14) 0 выполняется для всех функций u ∈ C∞(Ω). В разделах 2.1, 2.2 решается проблема коэрцитивности, состоящая в нахождении алгебраических условий, обеспечивающих сильную эллиптичность уравнения (11). В разделе 2.1 это делается в случае постоянных коэффициентов aαβj в операторах Rαβ , а в разделе 2.2 - для переменных коэффициентов. Символом уравнения (11) с постоянными коэффициентами назовем выражение aR(λ, ξ) ≡ \ |α|,|β|=m Показано (теорема 2.1), что условие \ aαβj λj ξα+β (λ ∈ C, ξ ∈ Rn). j Re aR(λ, ξ) > 0 (|λ| = qn/2, |ξ| = 1) (15) является достаточным для сильной эллиптичности уравнения (11) с постоянными коэффициентами в случае произвольной ограниченной области Ω. Если же дополнительно потребовать 0 ∈ Ω, то условие (15) будет и необходимым (теорема 2.2). Для доказательства используются комбинация преобразований Фурье и Гельфанда, а также техника, развитая для дифференциально-разностных уравнений (сведение к сильно эллиптическим системам дифференциальных уравнений). Методы и результаты раздела 2.1 на случай переменных коэффициентов непосредственно не переносятся. Необходимым условием сильной эллиптичности уравнения (11) с переменными коэффициентами, полученным в разделе 2.2 (теорема 2.3) в предположении Ω ⊂ qΩ, является положительная определенность функционального оператора \ |α|,|β|=m αβ ξα+β (Rαβ + R∗ ) : L2(Ω) -→ L2(Ω) с параметром ξ при 0 /= ξ ∈ Rn. В частности, a(x, ξ) ≡ \ |α|,|β|=m Re aαβ0(x)ξα+β > 0 (x ∈ Ω,ξ ∈ Sn-1) . Для получения достаточных условий сильной эллиптичности в разделе 2.2 накладывается ограничение на количество слагаемых в операторах Rαβ в старшей части уравнения (11): - Rαβ v(x) = aαβ0(x)v(x)+ aαβ1(x)v(q-1x)+ aαβ, 1(x)v(qx) (|α| = |β| = m). Кроме того, усиливается предположение относительно области Ω: считаем, что Ω ⊂ κΩ для всех κ > 1. В рассматриваемой ситуации символом уравнения (11) назовем выражение b(x, ξ) ρ(x, ξ) = ja(x, ξ)a(q-1x, ξ) , ВВЕДЕНИЕ 11 где b(x, ξ) = \ |α|,|β|=m - (aαβ1(x)+ q-na¯αβ, 1(q-1x)) ξα+β /2. Из необходимого условия сильной эллиптичности, полученного в теореме 2.3, вытекает, что qn|ρ(x, ξ)|2 < 1 при x ∈ Ω, qn|ρ(0, ξ)|2 < 1/4 при |ξ| = 1. Выполнение любого из следующих двух различных условий (теоремы 2.5, 2.6) является достаточным для сильной эллиптичности уравнения (11) (с учетом наложенных выше на Rαβ и Ω ограничений): • qn|ρ(x, ξ)|2 < 1/2 при x ∈ Ω и qn|ρ(x, ξ)|2 < 1/4 при x ∈ q-1Ω (|ξ| = 1); · существует гладкая в Ω × {|ξ| = 1} функция δ(x, ξ) со значениями в интервале (0, 1) такая, что qn |ρ(x, ξ)|2 < δ(q-1x, ξ) (1 - δ(x, ξ)) при x ∈ Ω, |ξ| = 1. Для получения этих достаточных условий строится специальное разложение функциональнодифференциального оператора с применением теории псевдодифференциальных операторов. Стоит отметить, что все приведенные в разделе 2.2 необходимые условия и достаточные условия сильной эллиптичности уравнения (11) превращаются в критерий (15) (или, что то же самое, условие qn|ρ(0, ξ)|2 < 1/4), как только коэффициенты становятся постоянными. В то же время приведены примеры сильно эллиптических уравнений (11) с переменными коэффициентами, у которых величина qn|ρ(x, ξ)|2 сколь угодно близка к 1 в точках x, расположенных сколь угодно близко к началу координат. Раздел 2.3 посвящен разрешимости и спектральным свойствам краевой задачи (11), (12) в случае, когда уравнение (11) сильно эллиптическое в Ω. Под обобщенным решением задачи (11), (12) понимается всякая функция u ∈ H˚m(Ω), удовлетворяющая интегральному тождеству \ (Rαβ Dβ u, Dαv)L (Ω) = (f, v)L (Ω) 2 2 |α|,|β| m при любой функции v ∈ H˚m(Ω). Вводится неограниченный оператор AR : D(AR) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω), область определения D(AR) которого состоит из всевозможных обобщенных решений задачи (11), (12), когда f пробегает все пространство L2(Ω). Если u - обобщенное решение, отвечающее правой части f, то полагаем ARu = f. Стандартными методами функционального анализа выводятся фредгольмовость оператора AR, дискретность и секториальная структура его спектра (теорема 2.7). Доказывается (следствие 2.3), что оператор AR, отвечающий сильно эллиптическому уравнению (11), является m-секториальным, ассоциированным с полуторалинейной формой aR[u, v] = \ |α|,|β| m 2 (Rαβ Dβ u, Dαv)L (Ω) (u, v ∈ H˚m(Ω)). В заключение раздела 2.3 исследуется вопрос о поведении обобщенных решений задачи (11), (12) при q → 1+ 0. При некоторых дополнительных условиях, обеспечивающих однозначную разрешимость задачи для всех значений параметра q > 1, близких к 1, доказана сходимость в Hm(Ω) семейства обобщенных решений к решению задачи Дирихле для «предельного» сильно эллиптического дифференциального уравнения (лемма 2.11, теорема 2.10). В разделе 2.4 исследуется гладкость обобщенных решений задачи (11), (12). Результаты здесь удается получить для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения второго порядка вида n \ - i,j=1 aij (Ruxj )xi = f (x) (x ∈ Ω), (16) Ω ⊂ qΩ, aij = aji ∈ R, Rv(x) = \ bk v(q-k x), bk ∈ C. k 12 ВВЕДЕНИЕ Доказана (теорема 2.12) гладкость обобщенных решений u ∈ H˚1(Ω) в подобластях Ωp = q1-p (Ω \ q-1Ω) (p = 1, 2,.. .), u|Ωp ∈ H 2(Ωp). Показано (теорема 2.11), что гладкость обобщенного решения сохраняется во всей области Ω лишь тогда, когда сильно эллиптическое уравнение (16) не содержит растяжений аргументов. Обнаружен эффект появления особенностей в начале координат у вторых производных решения: приведен пример сильно эллиптического уравнения (16) с растяжением аргументов, для которого обобщенное решение u принадлежит H2(Ω \ Bε) для любой ε-окрестности Bε начала координат, но не принадлежит H2(Ω). Методы, развитые в разделах 2.1-2.3 главы, применяются в разделе 2.5 для исследования дифференциально-разностного уравнения \ |α|,|β| m DαRαβ Dβ u = f (x) (x ∈ Ω), (17) J Rαβ v(x) = \ j=-J aαβj v(x1 + jε, x2,..., xn) (ε > 0, aαβj ∈ C), в цилиндрической области Ω = (0, 1) × G (G - ограниченная область в Rn-1). Понятия сильной эллиптичности и обобщенного решения задачи Дирихле (17), (12) формулируются аналогично уравнению (16). Сильно эллиптические дифференциально-разностные уравнения (причем гораздо более общего вида, нежели (17)) к настоящему времени достаточно хорошо изучены [88]. Новым же здесь является то, что уравнение (17) рассматривается для всех (в том числе сколь угодно малых) значений параметра сдвига ε. Находятся условия на коэффициенты aαβj , обеспечивающие сильную эллиптичность уравнения (17) для всех ε > 0 (теорема 2.13). Эти условия (одновременно необходимые и достаточные) формулируются в виде положительности действительной части скалярного символа дифференциально-разностного оператора, который отличается от обычного и имеет вид aR(η, ξ) = \ \ aαβj exp(ijη)ξα+β (η ∈ R, ξ ∈ Rn), |α|,|β|=m |j| J где i - мнимая единица. Переменная ξ ∈ Rn, отвечающая дифференцированию, и переменная η ∈ R, отвечающая сдвигу, изменяются независимо (обычным же символом будет aR(εξ1, ξ)). Исследуется поведение обобщенных решений задачи (17), (12) при ε → 0. При дополнительном условии, обеспечивающем однозначную разрешимость краевой задачи для всех достаточно малых значений параметра ε, доказана сходимость в Hm(Ω) семейства обобщенных решений к решению задачи Дирихле для «предельного» сильно эллиптического дифференциального уравнения (следствие 2.4). Результаты главы опубликованы в [30, 31, 33, 35, 37-39, 86]. В главе 3 рассматривается общая краевая задача l Au ≡ \ \ ajα(x)Dα(u(q-j x)) = f (x) (x ∈ Ω), (18) j=0 |α| 2m Tj (x, D)u(x) = gj (x) (j = 1,..., m; x ∈ ∂Ω). (19) Вновь считаем, что Ω ⊂ Rn - ограниченная область с гладкой границей, удовлетворяющая условию Ω ⊂ qΩ; коэффициенты уравнения - гладкие в Ω функции; Tj (x, D) - дифференциальные операторы порядка mj с гладкими на ∂Ω коэффициентами. Задаче (18), (19) отвечает ограниченный оператор в соболевских пространствах L = [A, T1,..., Tm] : Hs+2m(Ω) → m Hs(Ω; ∂Ω) = Hs(Ω) × n Hs+2m-mj -1/2(∂Ω), s ;;: 0, s + 2m - max mj ;;: 1. j=1 ВВЕДЕНИЕ 13 Символом оператора A будем называть выражение l a(x, ξ, λ) = \ \ ajα(x)ξαλj (x ∈ Ω, ξ ∈ Rn, λ ∈ C). j=0 |α|=2m Целью главы 3 является доказательство фредгольмовости оператора L. Это делается в предположении эллиптичности соответствующей «локальной» задачи L0 = [A0, T1,..., Tm], A0 = \ |α| 2m a0α(x)Dα (в ней собраны члены, не содержащие преобразований аргументов). Опираясь на существование регуляризатора «локальной» задачи и при условии P0 : Hs(Ω; ∂Ω) → Hs+2m(Ω) a(0, ξ, λ) /= 0 (|λ| qn/2-2m, 0 /= ξ ∈ Rn) (20) на символ оператора A, мы строим регуляризатор P исходной задачи в форме P = P0B, где B 0 s s B = 0 E : H (Ω; ∂Ω) → H (Ω; ∂Ω), ∞ Bv(x) = v(x)+ \ Bk (x, D) /(φv)(q-k x) , (21) k=0 0 Bk (x, D) - некоторые псевдодифференциальные операторы нулевого порядка, φ ∈ C∞(Ω) - подходящая срезающая функция, E - единичная m × m-матрица. Основной результат (теорема 3.6) содержится в разделе 3.3. В разделах 3.1 и 3.2 получены вспомогательные результаты, связанные с построением операторов Bk (x, D) и обоснованием сходимости ряда (21) по норме операторов, действующих в Hs(Ω). Достаточное условие (20) свидетельствует о том, что на фредгольмовость оператора L (в предположении эллиптичности его «локальной» части L0) влияют значения коэффициентов ajα(x) (j = 1,..., l) при членах с преобразованными аргументами лишь в начале координат. Результаты главы опубликованы в [32]. В главе 4 устанавливается разрешимость уравнения l \ \ akαDα /u(q-k x) = f (x) (x ∈ Rn) (22) k=0 |α|=2m (с однородной старшей частью и постоянными коэффициентами) в шкале весовых пространств В. А. Кондратьева Hs (Rn) (s, β ∈ R). Пространство Hs (Rn) при целом неотрицательном s вводится β β 0 как пополнение множества C∞(Rn \ {0}) финитных бесконечно дифференцируемых в Rn \ {0} функций по норме β (R u Hs n) ⎛ r = ⎝ \ ⎞1/2 |x|2(β-s+|α|)|Dαu(x)|2dx⎠ . |α| sRn При помощи преобразования Меллина данную норму можно распространить на случай произвольного вещественного s. Предполагается, что β - s /= n/2+ p, β - s - 2m /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .). Эти ограничения связаны с используемой в данной главе техникой работы с весовыми пространствами, а именно требованием изоморфности преобразования Фурье F : Hs (Rn) → Hβ (Rn), F : Hs+2m(Rn) → Hβ (Rn). β s β s+2m При этом уравнению (22) отвечает ограниченный оператор A : Hs+2m n s n β (R ) → Hβ (R ). 14 ВВЕДЕНИЕ Основной результат главы (теорема 4.1) приведен в разделе 4.4. Показано, что условие l \ \ akαξαλk /= 0 /0 /= ξ ∈ Rn, |λ| qβ-s+n/2-2m (23) k=0 |α|=2m β гарантирует существование и единственность решения u ∈ Hs+2m(Rn) уравнения (22) при любой β правой части f ∈ Hs (Rn). Метод получения основного результата близок к рассуждениям предыдущей главы: условие (23), означающее в том числе эллиптичность «локальной» части A0(D) = \ |α|=2m a0αDα оператора A (достаточно положить λ = 0) и, соответственно, существование ограниченного обратного оператора A-1 s n s+2m n 0 : Hβ (R ) → Hβ (R ), дает возможность построить ограниченный обратный оператор A-1 : Hs n s+2m n 0 в форме A-1 = A-1Ψ, где β (R ∞ ) → Hβ (R ) Ψv(x) = \ Ψk (D) /v(q-k x) , k=0 а Ψk (D) суть операторы свертки с некоторыми однородными функциями. Предварительным построениям посвящены разделы 4.1-4.3. Преимущество использования весовых пространств состоит в том, что в условие (23) включены параметры s и β. Уменьшая β и (или) увеличивая s, мы ослабляем условие на символ оператора: уменьшается круг, где символ не должен обращаться в ноль. За счет выбора β и s этот круг может быть сделан сколь угодно малым. В то же время, не обращаясь в ноль при λ = 0, символ будет отличным от нуля и в некотором круге, так что эллиптичность «локальной» части уравнения (22) β гарантирует однозначную разрешимость уравнения при всех функциях f ∈ Hs (Rn). Результаты главы опубликованы в [9, 34, 84]. В главе 5 рассматривается задача Неймана -div(RΩ∇u(x)) = f (x) (x ∈ Ω), (24) RΩ∇u(x) · ν(x) = 0 (x ∈ ∂Ω), (25) где Ω ⊂ Rn - ограниченная область, ν(x) - единичный вектор внешней нормали к ∂Ω в точке x ∈ ∂Ω. Оператор R определен формулой Rv(x) = av(x)+ bv(q-1x)+ qn¯bv(qx), а его коэффициенты удовлетворяют условию a > 2qn/2|b|, означающему положительную определенность R в L2(Rn). Использованием индекса Ω у R мы n подчеркиваем, что производные uxi продолжены нулем в R \ Ω перед применением оператора R. Относительно области делаются следующие предположения: Ω ⊂ qΩ, (26) H1(Ω) компактно вложено в L2(Ω). (27) Свойство (27) связано с регулярностью ∂Ω и выполнено, например, для всякой ограниченной области, удовлетворяющей хорошо известному условию конуса. При заданной функции f ∈ L2(Ω) интегральное тождество aR,Ω[u, v] ≡ r RΩ∇u · ∇v dx = (f, v)L2(Ω) (v ∈ H Ω 1(Ω)) (28) определяет обобщенное решение u ∈ H1(Ω) задачи (24), (25). ВВЕДЕНИЕ 15 В рассматриваемой ситуации задача (24), (25) порождает неотрицательный самосопряженный оператор с компактной резольвентой в пространстве L2(Ω). Она имеет дискретный спектр. Собственные значения λm, 0 = λ1 < λ2 ... → +∞, и (обобщенные) собственные функции ϕm ∈ H1(Ω) (ϕ1 = |Ω|-1/2), образующие ортонормированный базис L2(Ω), удовлетворяют тождеству aR,Ω[ϕm, v] = λm(ϕm, v) (v ∈ H1(Ω)). В разделе 5.2 при дополнительном, более сильном условии на коэффициенты a > qn/2(q + q-1)|b| (29) loc доказывается, что всякое обобщенное решение задачи (24), (25) принадлежит H2 (Ω). Соответloc ственно, все собственные функции ϕm задачи (24), (25) также принадлежат H2 (Ω) и удовлетворяют неравенству ϕm H2(q-1Ω) C(λm + 1) с постоянной C > 0, зависящей лишь от области. Условие (29) всюду далее в главе 5 считается выполненным. Основные результаты главы 5 содержатся в разделе 5.3. Здесь изучается вопрос о поведении собственных значений λm при малых внутренних возмущениях области. Наряду с задачей (24), (25) в области Ω, при неизменных параметрах оператора R рассматривается аналогичная задача в возмущенной области Ω∗ ⊂ Ω, удовлетворяющей условиям, аналогичным (26) и (27). Форма aR,Ωu [u, v] и обобщенные решения возмущенной задачи вводятся аналогично (28) с заменой Ω на Ω∗. Собm ственные значения возмущенной задачи обозначаются λ∗ . В качестве характеристики близости Ω и Ω∗ используется мера |Ω \ Ω∗|. На исходную область Ω накладывается дополнительное условие H1(Ω) непрерывно вложено в Lp(Ω) для некоторого p > 2 (30) (оно также выполняется, если область удовлетворяет условию конуса). Доказано (теорема 5.2) существование постоянных δm > 0 и Cm > 0, зависящих лишь от Ω и параметров оператора R, таких, что неравенство λ∗ ∗ 1-2/p m λm + Cm|Ω \ Ω | m выполнено для соответствующих собственных значений λm и λ∗ , как только |Ω \ Ω∗| < δm. В основе рассуждений лежит известная вариационная формула для собственных значений неотрицательного самосопряженного оператора с компактной резольвентой. Ее использование строится L2(Ωu) на оценке выражения aR,Ωu [u, u]/ u 2 на конечномерном линейном подпространстве в H1(Ω), натянутом на первые m собственных функций ϕi формы aR,Ω в Ω. В случае Ω∗ ⊂ Ω это возможно сделать, просто взяв сужения на Ω∗ функций из H1(Ω). Полученный результат существенно использует внутреннюю гладкость собственных функций. Для получения противоположного неравенства приходится накладывать дополнительные ограничения как на исходную область, так и на класс возмущений. В случае, когда исходная область Ω - звездная относительно шара, содержащего начала координат, доказано (следствие 5.2) сущеm ствование постоянных 0 < εm < 1 и C∗ > 0 таких, что для любой области Ω∗, звездной относительно шара, содержащего начало координат, диаметра не меньше D > 0, и удовлетворяющей условию выполняется неравенство (1 - ε)Ω ⊂ Ω∗ ⊂ Ω, 0 < ε εm, λ∗ ∗ 1-2/p m ;;: λm - Cmε . m При этом величины C∗ > 0, 0 < εm < 1 не зависят от Ω∗, а определяются лишь (сколь угодно малым, но фиксированным) параметром D > 0, исходной областью Ω и параметрами оператора R. Заметим, что условие (30) (как для Ω, так и для Ω∗) гарантируется условием звездности. В разделе 5.4 вопрос спектральной устойчивости при малых внутренних возмущениях области рассматривается для более общего функционально-дифференциального оператора. Задаче Неймана 16 ВВЕДЕНИЕ отвечает непрерывная на H1(Ω) полуторалинейная форма r aR,Ω[u, v] = n \ (RijΩux )v¯x dx (u, v ∈ H1(Ω)), (31) i j Ω i,j=1 Rij v(x) = \ aijk v(q-k x) k (суммы конечны). Форма aR,Ω[u, v] предполагается эрмитовой: ij Rji = R∗ , или, что то же самое, rji(ω) = rij (ω) (|ω| = qn/2), где rij = \ aijk ωk . k Выполнение же условия n \ rij (ω)ηiη¯j > 0 /0 /= η ∈ Cn, |ω| = qn/2 i,j=1 гарантирует коэрцитивность формы aR,Ω (следствие 5.3): | L2(Ω) aR,Ω[u, u] ;;: γ |∇u 2 (u ∈ H 1(Ω)). (32) (Из результатов раздела 2.1 главы 2 видно, что выполнение оценки (32) на более узком классе 0 u ∈ C∞(Ω) эквивалентно более слабому условию n \ rij (ω)ξiξj > 0 /0 /= ξ ∈ Rn, |ω| = qn/2 , i,j=1 т. е. вещественная часть эрмитовой матрицы должна быть положительно определена.) В этом случае при тех же предположениях относительно области вновь можно говорить о собственных значениях λm задачи Неймана и использовать для них вариационный принцип. Однако, внутреннюю гладкость обобщенных собственных функций в этой более общей по сравнению с предыдущими разделами главы ситуации доказать не удается. Получен ослабленный вариант теоремы о полунепрерывности собственных значений, не использующий внутреннюю гладкость собственных функций (теорема 5.4): для любого ε > 0 и для каждого натурального m существует δ > 0 такое, что неравенство ∗ λm λm + ε выполняется для соответствующих собственных значений в Ω и любой подобласти Ω∗ ⊂ Ω такой, что |Ω \ Ω∗| < δ. В то же время отметим, что все утверждения разделов 5.2 и 5.3 непосредственно переносятся на случай, когда операторы Rij пропорциональны одному и тому же оператору R, Rij = aij R, т. е. форма aR,Ω[u, v] имеет вид r aR,Ω[u, v] = n \ aij (RΩux )v¯x dx, где i j Ω i,j=1 Rv(x) = \ ak v(q-k x) (ak ∈ C), k i,j=1 матрица (aij )n и k0 положительно определенная эрмитова r(ω) ≡ \ ak ωk ≡ a0 + \ /ak ωk + qkna¯k ω-k /= 0 (qn/2 |ω| q1+n/2). k k=1 1.1. КЛАСС ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 17 Последнее условие, более сильное, нежели требование коэрцитивности формы aR,Ω, накладывается для того, чтобы гарантировать внутреннюю гладкость собственных функций. Результаты главы опубликованы в [36]. Автор выражает искреннюю благодарность профессору А. Л. Скубачевскому за полезные обсуждения изложенных здесь результатов, а также профессору Т. А. Суслиной за ценные советы, способствовавшие улучшению качества данной работы. ГЛАВА 1 МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 1.1. КЛАСС ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ Всюду в работе Ω обозначает ограниченную область в Rn. Через Hs(Ω) обозначается пространство Соболева комплекснозначных функций, принадлежащих L2(Ω) вместе с обобщенными производными до порядка s включительно, и 0 H˚s(Ω) - замыкание множества C∞(Ω) финитных бесконечно дифференцируемых функций в Hs(Ω). Пространство Hs(Ω) - гильбертово со скалярным произведением (u, v)Hs(Ω) = \ r Dαu(x)Dαv(x) dx, где α = (α1,..., αn) - мультииндекс, |α| s Ω |α| = α1 + ... + αn, Dα = (-i∂/∂x1)α1 ... (-i∂/∂xn)αn . Известно, что в H˚s(Ω) можно ввести эквивалентное скалярное произведение по формуле ˚s (u, v)∗ H (Ω) = \ r |α|=s Ω Dαu(x)Dαv(x) dx. Пространство H˚s(Ω) можно отождествлять с подпространством функций из Hs(Rn), равных нулю вне Ω. Зафиксируем число q > 1 и рассмотрим ограниченный оператор P, действующий в пространстве L2(Rn) по формуле Pu(x) = u(q-1x) = u Обратный и сопряженный операторы имеют вид x1 q xn ,..., . q P -1u(x) = u(qx), P ∗u(x) = qnu(qx). Отсюда следует, что оператор q-n/2P унитарен, а сам оператор P - нормальный. При этом спектр σ(P ) оператора P, очевидно, лежит на окружности {λ ∈ C : |λ| = qn/2}. Покажем, что σ(P ) занимает всю окружность. Лемма 1.1. Имеет место соотношение σ(P ) = {λ ∈ C : |λ| = qn/2}. Доказательство. Убедимся, что не существует ограниченного обратного оператора (P - λI)-1, если |λ| = qn/2. Достаточно построить последовательность uk (k = 1, 2,.. .) такую, что последовательность (P - λI)uk ограничена, в то время как uk L2(Rn) → ∞ при k → ∞. Положим ( λj-1 (q-j < |x| < q-j+1), j = 1,..., k, Тогда uk (x) = 0 для остальных x. k 2 uk L2(Rn) = \ j=1 qn(j-1) mes (q-j < |x| < q-j+1) = = k mes (q-1 < |x| < 1) → ∞, k → ∞. 18 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА При этом ⎧ k ⎨ -λ (q-k < |x| < q-k+1), (P - λI)uk (x) = ⎩ и 2 1 (1 < |x| < q), 0 для остальных x, Лемма доказана. (P - λI)uk L2(Rn) = 2 mes (1 < |x| < q) . В работе мы будем в основном иметь дело с функциональными операторами R = R(P ) вида Ru = J \ j=-J aj P j u = J \ j=-J aj u(q-j x1,..., q-j xn), aj ∈ C, (1.1) рассматривая их в Rn, а также в ограниченной области Ω ⊂ Rn. Во втором случае, как правило, действует соглашение: вначале продолжаем функцию нулем в Rn \ Ω, затем действуем оператором (1.1), а от того, что получилось в результате применения (1.1), берем сужение на Ω. Позднее нам придется рассматривать суммы с переменными коэффициентами aj = aj (x) - заданными в Ω функциями, а также суммы, состоящие из бесконечного числа слагаемых. Сопряженным к оператору R в L2(Rn) (и в L2(Ω)) будет оператор R∗ = J \ j=-J aj P j∗ = J \ j=-J aj qnj P -j = J \ j=-J a-j q-nj P j . Нетрудно видеть, что преобразование Фурье u(x) 1→ u˜(ξ) превращает P в P ∗. Поэтому оператор (1.1) в образах Фурье заменяется оператором того же вида. R = J \ j=-J aj P j∗ = J \ j=-J a-j q-nj P j Для проверки алгебраических свойств (обратимость, положительность и т. д.) таких операторов R : L2(Rn) → L2(Rn) удобно пользоваться преобразованием Гельфанда. Оператору R, заданному формулой (1.1), ставится в соответствие функция (символ оператора) J r(λ) = \ j=-J aj λj , λ ∈ σ(P ), (1.2) на спектре оператора P. По теореме Гельфанда-Наймарка [40, теорема 11.19] это соответствие однозначно продолжается до сохраняющего инволюцию изометрического изоморфизма между коммутативной B∗-алгеброй AR ограниченных операторов в L2(Rn), порожденной операторами P и P ∗ (это минимальная замкнутая подалгебра банаховой алгебры B (L2(Rn)) ограниченных операторов в L2(Rn), содержащая операторы P и P ∗; операторы вида (1.1) всюду плотны в AR), и алгеброй C(σ(P )) всех непрерывных комплекснозначных функций на спектре оператора P. Отсюда и из того факта, что спектр операторов в AR совпадает с их спектром в B(L2(Rn)) [40, теорема 11.29], следует, что спектр оператора R : L2(Rn) → L2(Rn) совпадает с множеством значений его символа r(λ). Символами операторов R∗ и R будут выражения r(λ) и r(λ), соответственно. Элементарно вычисляется резольвента (P - λ0I)-1 оператора P. Пусть, например, |λ0| > qn/2. Тогда при малом ε > 0 функция (λ - λ0)-1 аналитична в круге {|λ| < qn/2 + ε} и, следовательно, на окружности {|λ| = qn/2} представляется равномерно сходящимся рядом Тейлора: ∞ 0 (λ - λ0)-1 = - \ λ-(k+1)λk . k=0 1.1. КЛАСС ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 19 Используя описанное выше соответствие между операторами и их символами, получаем представление резольвенты в виде сходящегося по операторной норме ряда ∞ \ Таким образом, - k=0 ∞ 0 P k . λ-(k+1) 0 (P - λ0I)-1u(x) = - \ λ-(k+1)u(q-k x) (|λ0| > qn/2). (1.3) k=0 Если же |λ0| < qn/2, то функция (λ - λ0)-1 аналитична на множестве {|λ| > qn/2 - ε}, и на окружности {|λ| = qn/2} представляется равномерно сходящимся рядом Лорана: ∞ 0 (λ - λ0)-1 = \ λk-1λ-k . Значит, k=1 ∞ 0 (P - λ0I)-1 = \ λk-1P -k , т. е. k=1 ∞ 0 (P - λ0I)-1u(x) = \ λk-1u(qk x) (|λ0| < qn/2) (1.4) (ряд вновь сходится по операторной норме). Норма оператора k=1 равна, очевидно, (P - λ0I)-1 : L2(Rn) → L2(Rn) -1 max |λ - λ0|-1 = |λ0| - qn/2 . |λ|=qn/2 Получим на основе формул (1.3), (1.4) некоторые свойства оператора P - λ0I в пространствах Соболева в ограниченной области Ω. На область Ω будут накладываться различные дополнительные условия. Основным условием этой главы будет следующее условие геометрического характера: Ω ⊂ qΩ. (1.5) Из (1.5) следует, что область Ω обязательно содержит начало координат. С другой стороны, всякая выпуклая область, содержащая начало координат, удовлетворяет условию (1.5), в то время как обратное, конечно, неверно. Кроме того, это условие напоминает условие звездности относительно начала координат (область Ω называется звездной относительно точки x ∈ Ω, если для любой точки y ∈ Ω отрезок [x, y] целиком содержится в Ω), но на самом деле значительно слабее: звездность Ω относительно начала координат равносильна тому, что Ω ⊂ κΩ для всех κ > 1 - в условии же (1.5) соотношение выполняется лишь при фиксированном q > 1. Поэтому и с регулярностью границы ∂Ω области Ω условие (1.5) никак не связано, в отличие от условия звездности. Примеры области, удовлетворяющей условию (1.5), изображены на рис. 1.1, 1.2. Лемма 1.2. Пусть Ω ⊂ Rn - ограниченная область, удовлетворяющая условию (1.5). Тогда а). если |λ0| > qn/2, то оператор P - λ0I непрерывно и взаимно однозначно отображает Hs(Ω) на Hs(Ω) для всех s = 0, 1,... ; б). если |λ0| < qn/2-s для некоторого s = 0, 1,..., то оператор P - λ0I непрерывно и взаимно однозначно отображает H˚s(Ω) на H˚s(qΩ). Доказательство. а). Очевидно, оператор P - λ0I : Hs(Rn) → Hs(Rn) ограничен. При помощи почленного дифференцирования ряда в формуле (1.3) убеждаемся в том, что оператор (P - λ0I)-1 также ограничен в Hs(Rn) для любого s = 0, 1,.... Таким образом, 20 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИС. 1.1. «Звездная» область РИС. 1.2. «Звездная» область P - λ0I непрерывно и взаимно однозначно отображает Hs(Rn) на себя. Возьмем u ∈ Hs(Rn) и положим v = (P - λ0I)u ∈ Hs(Rn). В силу условия (1.5) на область Ω сужение v|Ω однозначно определяется сужением u|Ω, так что оператор P - λ0I корректно определен и из Hs(Ω) в Hs(Ω). Из формулы (1.3) следует обратное: сужение прообраза u|Ω однозначно определяется сужением v|Ω. Другими словами, ограниченный оператор из формулы (1.3) является обратным к оператору P - λ0I : Hs(Ω) → Hs(Ω). б). Аналогично предыдущему пункту, почленное дифференцирование ряда (1.4) s раз в случае |λ0| < qn/2-s показывает, что P - λ0I непрерывно и взаимно однозначно отображает Hs(Rn) на себя и для таких λ0. Более того, из формулы (1.4) видно, что условия u(x) = 0 (x ∈/ Ω) и v(x) = 0 (x ∈/ qΩ) равносильны. Лемма доказана. В случае |λ0| > qn/2 норма оператора (P - λ0I)-1 : L2(Ω) → L2(Ω) не превосходит нормы оператора (P - λ0I)-1 : L2(Rn) → L2(Rn), которая равна (|λ0| - qn/2)-1. 1.1. КЛАСС ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 21 Действительно, sup { (P - λ0I)-1u L (Ω) : u ∈ L2(Ω), u L (Ω) = 1 2 2 sup { (P - λ0I)-1u L (Rn) : u ∈ L2(Rn), u L (Rn) = 1, u(x) = 0 (x ∈/ Ω) 2 2 sup { (P - λ0I)-1u L (Rn) : u ∈ L2(Rn), u L (Rn) = 1 . 2 2 Следствие 1.1. Пусть Ω ⊂ Rn - ограниченная область, удовлетворяющая условию (1.5). Если |ω| > qs-n/2 для некоторого s = 0, 1,..., то оператор P -1 - ωI непрерывно и взаимно однозначно отображает пространство H˚s(Ω) на себя, и обратный оператор имеет вид ∞ (P -1 - ωI)-1u(x) = - \ ω-(k+1)u(qk x). (1.6) k=0 Доказательство. Оператор P -1 - ωI можно представить в виде P -1 - ωI = (I - ωP )P -1 = -ω(P - ω-1I)P -1, причем |ω-1| < qn/2-s. Остается заметить, что оператор P -1 является изоморфизмом H˚s(Ω) на H˚s(q-1Ω) (здесь и далее в аналогичной ситуации допускается вольность в употреблении термина «изоморфизм»; имеется в виду линейный гомеоморфизм, поскольку речь не идет о сохранении скалярного произведения), а оператор (P - ω-1I) по лемме 1.2 (б) (с заменой Ω на q-1Ω) непрерывно и взаимно однозначно отображает H˚s(q-1Ω) на H˚s(Ω). При этом, опираясь на (1.4), получим выражение для обратного оператора: ∞ ∞ (P -1 - ωI)-1 = -ω-1P (P - ω-1I)-1 = -ω-1P \ ω-(k-1)P -k = - \ ω-(k+1)P -k . k=1 k=0 Понятно, что в лемме 1.2 (б) и следствии 1.1 при s = 0 речь идет о пространствах L2(Ω) и L2(qΩ). В случае |ω| > q-n/2 норма оператора (P -1 - ωI)-1 : L2(Ω) → L2(Ω) не превосходит, очевидно, нормы оператора (P -1 - ωI)-1 : L2(Rn) → L2(Rn), которая равна max |λ|=qn/2 |λ-1 - ω|-1 = (|ω| - q-n/2)-1. Лемма 1.3. Пусть |λ0| = qn/2, u ∈ L2(Ω), v = (P - λ0I)u ∈ L2(Ω). Тогда функцию u(x) можно представить в виде сходящегося в L2(Ω) ряда ∞ 0 u(x) = - \ λ-(k+1)v(q-k x) (x ∈ Ω). (1.7) k=0 Кроме того, из принадлежности функции v пространству Hs(Ω) следует, что функция u также принадлежит Hs(Ω), s = 1, 2,.... Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ряда (1.7). Подставляя вместо v(x) выражение u(q-1x) - λ0u(x), получим M -1 λ-(k+1) \ 0 - k=0 0 v(q-k x) = u(x) - λ-M u(q-M x) (x ∈ Ω). 22 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Оценим второе слагаемое: 0 P λ-M u = |λ0| M 2 L2(Ω) -2M r Ω |u(q-M x)|2 dx = = qnM |λ0|-2M r q-M Ω L2(q-M Ω) |u(y)|2 dy = u 2 → 0, M → ∞. Второе утверждение леммы следует из (1.7) путем дифференцирования ряда. Отметим, что ограниченность области Ω является существенным условием в лемме 1.3. Кроме того, ряд в правой части (1.7) не обязан сходиться для всех v ∈ L2(Ω), если |λ0| = qn/2. 1.2. РАЗРЕШИМОСТЬ МОДЕЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЕ СО СЖАТИЯМИ В ограниченной области Ω, удовлетворяющей условию (1.5), рассмотрим функциональнодифференциальное уравнение с краевым условием -ΔRu(x) = f (x) (x ∈ Ω) (1.8) u|∂Ω = 0, (1.9) где функциональный оператор R определен по формуле l Ru(x) = \ ak u(q-k x), ak ∈ C, k = 0,..., l, k=0 а f ∈ L2(Ω) - произвольная комплексная функция. Без ограничения общности считаем al /= 0. Обобщенным решением краевой задачи (1.8), (1.9) назовем функцию u ∈ H˚1(Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству r ∇Ru(x)∇φ(x) dx = Ω при любой функции φ ∈ H˚1(Ω). r f (x)φ(x) dx Ω Замечание 1.1. В силу условия (1.5) преобразования аргументов неизвестной функции в уравнении (1.8) отображают область Ω в себя. В этом случае нет необходимости доопределять искомую функцию в окрестности области Ω, как это делается для, скажем, дифференциально-разностных уравнений (см. [88]), а достаточно задать лишь ее граничные значения. Поэтому (1.8), (1.9) выглядит как задача Дирихле для возмущенного нелокальными членами уравнения Пуассона. Принципиальным, однако, является тот факт, что, как и в случае дифференциально-разностных уравнений [88], функциональный оператор R, отвечающий преобразованиям аргументов искомой функции, применяется к u внутри лапласиана - такой вид уравнения связан с приложениями к исследованию вариационных задач для квадратичных функционалов с отклоняющимися аргументами. Поэтому естественно рассматривать обобщенные решения задачи (1.8), (1.9) из класса H˚1(Ω) без предположения принадлежности пространству H2(Ω). Более того, ниже будет показано, что loc задача (1.8), (1.9) может иметь обобщенные решения, не принадлежащие даже H2 (Ω). Нарушение гладкости обобщенных решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений было вызвано тем, что преобразования аргументов отображают некоторые точки области Ω в Rn \Ω (см. [88]). Здесь же причина появления негладких решений иная и связана с наличием в области начала координат - неподвижной точки для преобразования сжатия. Замечание 1.2. В этом и последующих двух разделах мы предполагаем, что область Ω удовлетворяет основному геометрическому условию (1.5). Чтобы сделать отдельные утверждения более содержательными, предположим также, что граница области ∂Ω является достаточно регулярной. Так, для теорем, связанных с гладкостью решений (теоремы 1.1, 1.3, 1.5, 1.7), удобно считать, что всякое обобщенное решение из H˚1(Ω) задачи Дирихле для уравнения Пуассона в Ω с правой частью из Hs(Ω) (s - неотрицательное целое число) принадлежит Hs+2(Ω). Так будет, конечно, в случае ∂Ω ∈ Cs+2, но последнее условие может быть ослаблено: хорошо известно, например, что 1.2. РАЗРЕШИМОСТЬ МОДЕЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЕ СО СЖАТИЯМИ 23 для плоской области Ω, гладкость границы которой нарушается в конечном числе угловых точек, всякое обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью из L2(Ω) принадлежит H2(Ω), если все углы лежат в промежутке (0, π]. В то же время отсутствие регулярности ∂Ω не оказывает принципиального влияния на суть результатов настоящей главы. Это будет хорошо видно из доказательства теорем 1.1-1.7, так что читатель без труда скорректирует все утверждения в случае негладкой границы. С уравнением (1.8) связывается полином l r(λ) = \ ak λk k=0 комплексного переменного λ. Этот полином естественно назвать символом уравнения (1.8). Определяющим для разрешимости краевой задачи (1.8), (1.9) будет расположение корней r(λ) относительно окружности {|λ| = qn/2-1 на комплексной плоскости. Теорема 1.1. Пусть r(λ) /= 0 при |λ| < qn/2-1. Тогда для любой функции f ∈ L2(Ω) существует единственное обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω) краевой задачи (1.8), (1.9). Если f ∈ Hs(Ω), то u ∈ Hs+2(Ω). Доказательство. В случае уравнения с постоянными коэффициентами (1.8) рассуждения основаны на возможности разложения функционального оператора R в произведение двучленных операторов вида P - λj I: R = R(P ) = al(P - λ1I) ... (P - λlI), где λ1,..., λl - корни r(λ). По условию теоремы корни удовлетворяют неравенствам |λj | ;;: qn/2-1 (j = 1,..., l). Будем считать вначале, что R = P - λ0I и |λ0| ;;: qn/2-1. Пусть u ∈ H˚1(Ω) - обобщенное решение задачи (1.8), (1.9). Обозначим Тогда v = (P - λ0I)u ∈ H1(Ω). причем vx -1 1 i = (q P - λ0I)uxi = q- (P - qλ0I)uxi , В силу лемм 1.2 (а), 1.3 имеем |qλ0| ;;: qn/2. ∞ uxi = -q k \ k=0 (qλ0)- (k+1) vxi (q- x) (ряд сходится в L2(Ω)). Из определения обобщенного решения следует, что 2 (Ω) (∇v, ∇φ)Ln = (f, φ) L2(Ω) для любой функции φ ∈ H˚1(Ω). Функция P -k φ(x) = φ(qk x) также принадлежит H˚1(Ω). Подставим ее в интегральное тождество вместо φ: /∇v, ∇(P -k φ) Ln 2 (Ω) 2 = (f, P -k φ)L (Ω). Дифференцируя P -k φ и перенося оператор P -k в левые части скалярных произведений, получим 2 (Ω) (P k ∇v, ∇φ)Ln = (q-k P k f, φ) L2(Ω). Просуммировав по всем k = 0, 1,... с коэффициентами -q(qλ0)-(k+1), будем иметь 2 (Ω) (∇u, ∇φ)Ln = (q2(P - q2λ0I)-1f, φ) L2(Ω) с ограниченным оператором (P - q2λ0I)-1 : L2(Ω) → L2(Ω). 24 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Итак, в случае R = P - λ0I, |λ0| ;;: qn/2-1, обобщенное решение задачи (1.8), (1.9) является обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона -Δu(x) = q2(P - q2λ0I)-1f (x) (x ∈ Ω). (1.10) Аналогично убеждаемся в обратном: всякое обобщенное решение задачи (1.10), (1.9) есть обобщенное решение задачи (1.8), (1.9). Повторяя процедуру для одного двучленного оператора, после l итераций в случае R = al(P - λ1I) ... (P - λlI), |λj | ;;: qn/2-1 (j = 1,..., l), приходим к эквивалентной (1.8), (1.9) задаче Дирихле для уравнения Пуассона -Δu(x) = g(x) (x ∈ Ω) (1.11) с правой частью l g(x) = a-1q2l(P - q2λ1I)-1 ... (P - q2λlI)-1f (x) из L2(Ω). Задача (1.11), (1.9) имеет единственное обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω) для любой функции g ∈ L2(Ω). C учетом замечания 1.2 это решение принадлежит Hs+2(Ω), если g ∈ Hs(Ω). При этом u Hs+2(Ω) c g Hs(Ω), где положительная постоянная c не зависит от g. Остается заметить, что все операторы (P - q2λj I)-1 ограничены не только в L2(Ω), но и в Hs(Ω) по лемме 1.2, что дает оценку u Hs+2(Ω) c1 f Hs(Ω) с не зависящей от f положительной постоянной c1. Замечание 1.3. Фактически решение задачи (1.8), (1.9) свелось к тому, что в уравнении (1.8) мы «продифференцировали» функциональный оператор R(P ), а затем, применив ограниченный обратный оператор (R(q-2P ))-1 к обеим частям уравнения, пришли к уравнению Пуассона. Для этого пришлось, однако, производить соответствующие выкладки в интегральном тождестве, поскольку гладкость обобщенного решения заранее не была известна. Понятно, что требование a0 /= 0 является необходимым для выполнения условия теоремы 1.1. Кроме того, ключевое условие отсутствия малых по абсолютной величине корней полинома a1 al l r(λ) = a0 1+ λ + ... + λ a0 a0 в определенной степени свидетельствует о том, что коэффициенты при членах с преобразованными аргументами (нелокальных членах) достаточно малы по сравнению с коэффициентом a0 локальной части оператора. Это хорошо иллюстрируется следующим примером. Пример 1.1. Рассмотрим уравнение -Δ (u(x)+ a1u(q-1x)) = f (x) (x ∈ Ω). (1.12) Символ уравнения (1.12) имеет вид r(λ) = 1 + a1λ и обращается в ноль при λ = λ1 = -1/a1. Условие |λ1| ;;: qn/2-1 означает, что |a1| q1-n/2. По теореме 1.1 краевая задача (1.12), (1.9) имеет единственное решение u ∈ H˚1(Ω) для любой функции f ∈ L2(Ω), если |a1| q1-n/2. При этом обязательно u ∈ H2(Ω). Пример 1.2. Краевая задача -Δ(2u(x1, x2) - u(x1/2, x2/2)) = x1 (|x|2 = x2 + x2 < 1), (1.13) 1 2 u(x) = 0 (|x| = 1) удовлетворяет условию теоремы 1.1 и имеет единственное обобщенное решение u. Кроме того, u ∈ C∞(|x| 1). Выпишем это решение в явном виде. Из доказательства теоремы 1.1 видно, что 1.2. РАЗРЕШИМОСТЬ МОДЕЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЕ СО СЖАТИЯМИ 25 уравнение (1.13) равносильно уравнению Пуассона Δu = g, в котором правая часть g вычисляется по формуле g(x) = 4(P - 8I)-1f (x), f (x1, x2) = x1. Пользуясь формулой (1.3), находим g: ∞ x1 \ 1 8 g(x1, x2) = - 2 k=0 16k = - 15 x1. Решая полученную задачу Дирихле для уравнения Пуассона в круге методом разделения переменных, находим 1 3 2 u(x1, x2) = - 15 (x1 + x1x2 - x1). В следующей теореме устанавливается разрешимость задачи (1.8), (1.9), когда условие теоремы 1.1 нарушается. Теорема 1.2. Предположим, что хотя бы один из корней полинома r(λ) попадает внутрь круга |λ| < qn/2-1. Тогда задача (1.8), (1.9) имеет обобщенные решения для любой функции f ∈ L2(Ω), причем при f = 0 существует бесконечно много линейно независимых обобщенных loc решений соответствующей однородной задачи, не принадлежащих H2 (Ω). Доказательство. Пусть λ1,..., λl - корни полинома r(λ). Будем считать, что |λj | ;;: qn/2-1 (j = 1,..., k0), |λj | < qn/2-1 (j = k0 + 1,..., l), причем k0 < l. Будем пользоваться представлением оператора R в виде произведения R = R2R1 операторов R1, R2, отвечающих этим двум группам корней, R1 = R1(P ) = (P - λk0+1I) ... (P - λlI), R2 = R2(P ) = al(P - λ1I) ... (P - λk0 I). Рассмотрим краевую задачу -ΔR2v2(x) = f (x) (x ∈ Ω), (1.14) v2|∂Ω = 0. (1.15) Для нее выполнено условие теоремы 1.1 - это следует из соответствующего расположения нулей символа r2(λ) оператора R2. Следовательно, задача (1.14), (1.15) имеет единственное обобщенное решение v2 ∈ H˚1(Ω). Далее возьмем произвольную функцию v1 ∈ H˚1(ql-k0 Ω \ Ω) и определим функцию v(x) в области ql-k0 Ω следующим образом: ( v1(x), x ∈ ql-k0 Ω \ Ω, Очевидно, v ∈ H˚1(ql-k0 Ω). v(x) = v2(x), x ∈ Ω. Для двучленных операторов P - λj I, входящих в состав оператора R1, выполнено условие части (б) леммы 1.2 с s = 1. Применяя эту лемму l - k0 раз, убеждаемся в существовании ограниченного обратного оператора Положим теперь -1 R1 : H˚1 (ql-k0 Ω) → H˚1 (Ω). 1 u = R-1v ∈ H˚1(Ω). Мы утверждаем, что u есть обобщенное решение задачи (1.8), (1.9). Действительно, для любой функции φ ∈ H˚1(Ω) справедлива следующая цепочка равенств: (∇Ru, ∇φ)Ln 2 (Ω) = (∇R2R1u, ∇φ)Ln(Ω) 2 = (∇R2v, ∇φ)Ln(Ω) 2 = (∇R2v2, ∇φ)Ln(Ω) 2 = (f, φ)L2(Ω). Предпоследнее равенство следует из того, что функция R2v на Ω совпадает с функцией R2v2, а последнее выражает тот факт, что функция v2 есть обобщенное решение задачи (1.14), (1.15). 1 Кроме того, из формулы (1.4), участвующей в задании обратного оператора R-1, следует, что u(x) = v1(ql-k0 x) (x ∈ Ω \ q-1Ω) . 26 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Поэтому если v1 ∈/ H2(ql-k0 Ω \ ql-k0-1Ω), то и u ∈/ H2(Ω \ q-1Ω), т. е. по произвольной и никак не связанной с f негладкой функции v1 строится обобщенное решение краевой задачи (1.8), (1.9), гладкость которого нарушается в Ω \ q-1Ω. Аналогичным образом на основании формулы (1.4) нетрудно убедиться, что при соответствующем выборе v1 будут получаться обобщенные решения u, гладкость которых нарушается во всех подобластях вида q-pΩ \ q-p-1Ω, p = 0, 1,.... Теорема 1.3. Пусть r(λ) не обращается в ноль при |λ| qn/2-2. Тогда для любой функции f ∈ L2(Ω) существует единственное обобщенное решение задачи (1.8), (1.9), принадлежащее пространству H2(Ω). Если f ∈ Hs(Ω), то это решение u принадлежит Hs+2(Ω) и имеет место оценка u Hs+2(Ω) c f Hs(Ω) с постоянной c > 0, не зависящей от f. Доказательство. Если обобщенное решение u задачи (1.8), (1.9) принадлежит H2(Ω), то оно является решением почти всюду в Ω уравнения (1.8), которое можно теперь переписать в виде l \ или, короче, - k=0 ak q-2k (Δu)(q-k x) = f (x), -R(q-2P )Δu = f (1.16) (см. замечание 1.3). По условию теоремы все корни λj полинома r(λ) удовлетворяют условию |λj | > qn/2-2. Корнями полинома r(q-2λ) будут тогда числа q2λj , причем |q2λj | > qn/2. В силу леммы 1.2 оператор R(q-2P ) = alq-2l(P - q2λ1I) ... (P - q2λlI) есть изоморфизм пространства L2(Ω). Поэтому уравнение (1.16) равносильно уравнению (1.11). Итак, в условиях теоремы всякое гладкое решение задачи (1.8), (1.9) является решением задачи (1.11), (1.9). Очевидно, верно и обратное. Из свойств решений задачи Дирихле для уравнения Пуассона и ограниченности оператора (R(q-2P ))-1 в Hs(Ω) при любом s = 0, 1,... следует утверждение теоремы. Теорема 1.3 в сочетании с теоремой 1.2 означает, что при соответствующем расположении корней полинома r(λ) одновременно с наличием бесконечного множества негладких обобщенных решений существует единственное гладкое решение задачи (1.8), (1.9), непрерывно зависящее от правой части. Пример 1.3. Выясним, при каких значениях параметра q > 1 всякое обобщенное решение краевой задачи -Δ (u(x)+ 2qu(x/q) - q2u(x/q2)) = f (x) (x ∈ Ω), u|∂Ω = 0 в ограниченной области Ω ⊂ R3, ∂Ω ∈ C∞, удовлетворяющей условию 1.5, принадлежит пространству H2(Ω), если f ∈ L2(Ω). В соответствии с теоремами 1.1, 1.2 так происходит тогда и только тогда, когда внутрь круга 2) радиуса q3/2-1 = q1/2 не попадают корни λ1,2 = q-1(1 ± √ квадратного трехчлена 1+ 2qλ - q2λ2. Приходим к неравенству q < (√2 - 1)2/3, противоречащему условию q > 1. Следовательно, краевая задача обязательно имеет негладкие решения. 1.2. РАЗРЕШИМОСТЬ МОДЕЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЕ СО СЖАТИЯМИ 27 Предположим теперь, что r(λ) /= 0 в замкнутом круге |λ| 1. Если n ;;: 3, то, очевидно, суn/2-1 0 ществует число q0 > 1 такое, что r(λ) /= 0 и при |λ| < q . По теореме 1.1 задача (1.8), (1.9) однозначно разрешима для всех значений параметра сжатия q ∈ (1, q0] при фиксированных коэффициентах ak в операторе R. В случае же n = 2 теорема 1.1 гарантирует однозначную разрешимость вообще для всех q > 1, если только r(λ) /= 0 при |λ| < 1. Обозначим соответствующее решение uq . В такой ситуации естественно поставить вопрос о поведении семейства решений uq при q → 1. Значению q = 1 отвечает (формально) задача Дирихле для уравнения Пуассона -Δu = f /r(1), где l r(1) = \ ak /= 0. k=0 Ее решение обозначим u1. Имеем uq ∈ H˚1(Ω) ∩ H2(Ω), q ∈ [1, q0]. Лемма 1.4. Пусть r(λ) /= 0 при |λ| 1. Тогда uq - u1 H2(Ω) → 0, q → 1. Доказательство. Без ограничения общности можно считать al = 1. При доказательстве теоремы 1.1 было установлено, что uq , q ∈ (1, q0], есть решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона -Δuq (x) = fq (x) с правой частью 1 fq (x) = (R(q-2Pq ))- f (x) = q2l(Pq - q2λlI)-1 ... (Pq - q2λ1I)-1f (x), где λ1,..., λl - корни r(λ) (чтобы подчеркнуть зависимость от параметра сжатия, мы добавили индекс q к оператору P ). Поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что fq - f /r(1) L2(Ω) → 0, q → 1. Начнем со случая двучленного оператора R(Pq ) = Pq - λ0I. 0 Для λ0 в условиях леммы имеем |λ0| ;;: qn/2-1, если n ;;: 3, и |λ0| > 1, если n = 2. Получается r(λ) = λ - λ0 и r(1) = 1 - λ0. Можем записать ∞ fq (x) = q2(Pq - q2λ0I)-1f (x) = -q2 \(q2λ0)-(k+1)f (q-k x), k=0 принимая во внимание формулу (1.3). При подстановке q = 1 правая часть дает ∞ 0 = - 1 -f (x) \ λ-(k+1) λ -1 0 λ-1 f (x) f (x) = 1 - λ f (x) = , r(1) так что k=0 - 0 0 ∞ 0 λ-(k+1) fq (x) - f (x)/r(1) = \ / f (x) - q2(q2λ0)-(k+1)f (q-k x) = k=0 ∞ ∞ = f (x) \ λ-(k+1) \ / /f (x) - f (q x) = Σ1 + Σ2. k=1 0 (1 - q-2k )+ k=0 q2(q2λ0)-(k+1) -k Осталось убедиться, что Σ1 L2(Ω) → 0, Σ2 L2(Ω) → 0 при q → 1. С одной стороны, L2(Ω)-норма общего члена каждого из этих рядов мажорируется убывающей геометрической прогрессией со знаменателем, не зависящим от q. Так, например, для Σ2 имеем f L (Ω) + P k f L (Ω) 2 q 2 q2(q2|λ0|)-(k+1) f - P k f q L2(Ω) q2k |λ0|k+1 2 (1 + qnk/2) f L (Ω) 0 q2k q(n/2-1)(k+1) 2 2q(n/2-1)k f L (Ω) q (n/2-1)k 0 2 f L2(Ω) 1+ q0 (n/2-1)k 2q0 28 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА при q ∈ [1, (1 + q0)/2], если n ;;: 3. Если же n = 2, то (1 + qk ) f L (Ω) 2 f L (Ω) 2 q2(q2|λ0|)-(k+1) f - Pq f L (Ω) 2 q2k |λ0|k+1 2 |λ0|k+1 для всех q ;;: 1. Поэтому k-е остатки рядов стремятся к нулю при k → ∞ равномерно по q из рассматриваемого диапазона. С другой стороны, общий член каждого ряда стремится к нулю при q → 1 по норме L2(Ω). Для Σ1 это совсем очевидно, а для Σ2 следует из непрерывности f (x) в среднем квадратичном. Случай многочленного оператора рассматривается по индукции. Обозначим fq,j (x) = q2j (Pq - q2λj I)-1 ... (Pq - q2λ1I)-1f (x), rj (λ) = (λ - λj ) ... (λ - λ1), j = 1,..., l. Предположим, что имеет место сходимость fq,j → f /rj (1) (для j = 1 она уже показана). Можем записать fq,j+1(x) = q2(Pq - q2λj+1I)-1fq,j (x) = = q2(Pq - q2λj+1I)-1 (fq,j - f /rj (1)) (x)+ q2(Pq - q2λj+1I)-1f (x)/rj (1). Второе слагаемое по уже доказанному стремится в L2(Ω) при q → 1 к функции f (x) = (1 - λj+1)rj (1) f (x) . rj+1(1) Из результатов раздела 1.1 получается оценка для первого слагаемого: 2 I I q fq,j - f /rj (1) L2(Ω) Iq2(Pq - q2λj+1I)-1 (fq,j - f /rj (1))I L2(Ω) . q2|λj+1| - qn/2 Поскольку |λj+1| > 1, правая часть стремится к нулю при q → 1, обеспечивая fq,j+1 → f /rj+1(1). Лемма доказана. 1.3. РАЗРЕШИМОСТЬ МОДЕЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЕ СО СЖАТИЯМИ И РАСТЯЖЕНИЯМИ В случае, когда преобразования аргументов отображают некоторые точки области Ω в Rn \ Ω, краевые условия для функционально-дифференциального уравнения по аналогии с дифференциально-разностными уравнениями задаются в окрестности области Ω. Рассмотрим следующую задачу: -ΔRu = f (x) (x ∈ Ω), (1.17) u(x) = 0 (x ∈/ Ω), (1.18) где теперь функциональный оператор действует по формуле l1 Ru(x) = \ k=-l2 ak u(q-k x), ak ∈ C, причем l2 > 0, -l2 l1, a-l2 /= 0 и al1 /= 0. Символом уравнения (1.17) будет выражение l1 r(λ) = \ k=-l2 ak λk . Как и прежде, под обобщенным решением краевой задачи понимаем функцию u ∈ H˚1(Ω) (продолженную нулем в Rn), удовлетворяющую интегральному тождеству 2 (Ω) (∇Ru, ∇φ)Ln = (f, φ) L2(Ω) (φ ∈ H˚1(Ω)). 1.3. РАЗРЕШИМОСТЬ МОДЕЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЕ СО СЖАТИЯМИ И РАСТЯЖЕНИЯМИ 29 Установим связь между расположением нулей выражения r(λ) и разрешимостью задачи (1.17), (1.18). Для этого представим r(λ) в виде l1+l2 r(λ) = λ-l2 \ ak k=0 - 2 1 l λk = al λ-l2 (λ - λ1) ... (λ - λ l1+l2 ), l2 где λ1,..., λl1+l2 - корни полинома λ r(λ). Без ограничения общности можно считать, что |λj | ;;: qn/2-1 (j = 1,..., k0), |λj | < qn/2-1 (j = k0 + 1,..., l1 + l2), где 0 k0 l1 + l2. Введем отвечающие этим группам корней операторы l2 R1 = (P - λk0+1I) ... (P - λl1+l2 I)P - , R2 = al1 (P - λ1I) ... (P - λk0 I), имея R = R2R1. Оператор P -l2 есть изоморфизм H˚1(Ω) на H˚1(q-l2 Ω), а оператор (P - λk0+1I) ... (P - λl1+l2 I) - изоморфизм H˚1(q-l2 Ω) на H˚1(ql1-k0 Ω) (по лемме 1.2 (б)), поэтому оператор R1 непрерывно и взаимно однозначно отображает H˚1(Ω) на H˚1(ql1-k0 Ω). Теорема 1.4. а). Если k0 = l1, то для любой функции f ∈ L2(Ω) существует единственное обобщенное решение задачи (1.17), (1.18). б). Если k0 < l1, то для любой функции f ∈ L2(Ω) существуют обобщенные решения задачи (1.17), (1.18); при f = 0 однородная задача имеет бесконечно много линейно независимых решений. в). Если k0 > l1, то обобщенное решение задачи (1.17), (1.18) существует в том и только том случае, когда функция f ортогональна некоторому бесконечномерному подпространству в L2(Ω); при f = 0 однородная задача имеет единственное тривиальное решение. Доказательство. Существование ограниченного обратного оператора -1 R1 : H˚1 (ql1-k0 Ω) → H˚1 (Ω) позволяет сделать замену R1u = v. Интегральное тождество для функции v (из пространства H˚1(ql1-k0 Ω)!) примет вид 2 (Ω) (∇R2v, ∇φ)Ln = (f, φ) L2(Ω). Последнее, учитывая расположение корней λ1,..., λk0 (см. доказательство теоремы 1.1), равносильно тождеству 2 (Ω) (∇v, ∇φ)Ln с функцией g = (R2(q-2P ))-1 f ∈ L2(Ω). = (g, φ) L2(Ω) (φ ∈ H˚1(Ω)) (1.19) Рассмотрим задачу нахождения функции v ∈ H˚1(ql1-k0 Ω) из интегрального тождества (1.19) при различных значениях k0. а). В случае k0 = l1 тождество (1.19) означает, что функция v ∈ H˚1(Ω) является обобщенным решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона -Δv = g в области Ω. Такое решение существует и единственно для любой правой части и, кроме того, принадлежит H2(Ω). При этом v H2(Ω) c1 g L2(Ω) c2 f L2(Ω). 1 Таким образом, задача (1.17), (1.18) имеет единственное обобщенное решение u = R-1v ∈ H˚1(Ω), непрерывно зависящее от правой части: u H1(Ω) c3 v H1(Ω) c2c3 f L2(Ω). 1 Отметим, что непрерывная зависимость гарантируется лишь по норме H1, поскольку оператор R-1 может быть и неограниченным относительно H2-нормы. 30 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА б). В случае k0 < l1, повторяя в точности рассуждения из доказательства теоремы 1.2, получаем утверждение второго пункта теоремы. в). Пусть k0 >l1. Функция v(x) в интегральном тождестве (1.19) обращается в ноль на множестве Ω \ ql1-k0 Ω. Следовательно, g(x) = 0 (x ∈ Ω \ ql1-k0 Ω) и равенство 2 (q (∇v, ∇φ)Ln l1-k0 Ω) = (g, φ) L2(q l1-k0 Ω) (1.20) должно выполняться уже для любой функции φ ∈ H1(ql1-k0 Ω). Покажем, что для существования функции v ∈ H˚1(ql1-k0 Ω), удовлетворяющей интегральному тождеству (1.20) (при любой φ ∈ H1(ql1-k0 Ω)), необходимо и достаточно, чтобы правая часть g была ортогональна в скалярном произведении в L2(ql1-k0 Ω) бесконечномерному подпространству, состоящему из гармонических функций, принадлежащих H1(ql1-k0 Ω). Действительно, пусть φ1 ∈ H1(ql1-k0 Ω) - гармоническая функция. В этом случае при подстановке φ = φ1 в тождество (1.20) левая часть обратится в ноль. Следовательно, (g, φ1)L2(ql1-k0 Ω) = 0. Обратно, пусть g такова, что (g, φ1)L2(ql1-k0 Ω) = 0 для всех гармонических функций φ1 ∈ H1(ql1-k0 Ω). Легко видеть, что множество гармонических функций есть ортогональное дополнение к подпространству H˚1(ql1-k0 Ω) в эквивалентном скалярном произведении 2 (q (φ, ψ)H1(ql1-k0 Ω) = (∇φ, ∇ψ)Ln l1-k0 Ω) + (φ, ψ) L2(∂(q l1-k0 Ω)). Таким образом, произвольную функцию φ ∈ H1(ql1-k0 Ω) можно единственным образом разложить в сумму где функция φ1 - гармоническая, а Но тогда φ = φ1 + φ2, φ2 |∂(ql1-k0 Ω)= 0. 2 (q (∇v, ∇φ)Ln l1-k0 Ω) = (∇v, ∇φ2) 2 Ln(q l1-k0 Ω), (g, φ)L2(ql1-k0 Ω) = (g, φ2)L2(ql1-k0 Ω), в результате чего (1.20) сводится к 2 (q (∇v, ∇φ2)Ln l1-k0 Ω) = (g, φ2) L2(q l1-k0 Ω), (1.21) где функция φ2 ∈ H˚1(ql1-k0 Ω) произвольна. Последнее соотношение определяет решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области ql1-k0 Ω, которое существует и единственно для любой функции g. Итак, в случае k0 > l1 задача (1.17), (1.18) разрешима только при тех f ∈ L2(Ω), для которых функция 1 g = (R2(q-2P ))- f ∈ L2(Ω) обращается в ноль вне ql1-k0 Ω, а в L2(ql1-k0 Ω) ортогональна всем гармоническим функциям из H1(ql1-k0 Ω). 1 При f = 0 имеем g = 0, откуда следует в силу (1.21), что v = 0, а значит, u = R-1v = 0. Таким образом, в рассматриваемом случае решение задачи (1.17), (1.18) единственно. Теорема доказана. Пример 1.4. Решим краевую задачу -Δ(5u(x1, x2)+ u(3x1, 3x2)) = 2(x2 + x2) - 1 (|x|2 = x2 + x2 < 1), (1.22) 1 2 1 2 Символ u(x1, x2) = 0 (|x| ;;: 1). (1.23) r(λ) = λ-1 +5 1.3. РАЗРЕШИМОСТЬ МОДЕЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЕ СО СЖАТИЯМИ И РАСТЯЖЕНИЯМИ 31 обращается в ноль при λ = λ1 = -1/5, поэтому k0 = 0 = l1 в условиях теоремы 1.4. Следовательно, краевая задача (1.22), (1.23) имеет единственное обобщенное решение u ∈ H˚1(|x| < 1). Кроме того, из доказательства теоремы 1.4 видно, что это решение находится по формуле u = (P -1 + 5I)-1v, где v есть решение однородной задачи Дирихле для уравнения Пуассона -Δv(x) = 2|x|2 - 1 в круге {|x| < 1}, 1 4 v(x) = - 8 |x| 4 1 + |x|2 1 - 8 (|x| < 1) и v(x) = 0 при |x| ;;: 1 (ср. с примером 1.2). Поскольку 5 > 32-2/2, оператор P -1 + 5I является изоморфизмом пространства H˚2(|x| < 1) в силу следствия 1.1. Учитывая то, что нормальная производная функции v на единичной окружности также обращается в ноль, получаем, что обобщенное решение u принадлежит H˚2(|x| < 1). Выпишем решение в явном виде. Для этого воспользуемся формулой (1.6): ∞ u(x) = - \(-5)-(k+1)v(3k x). k=0 В каждом из колец 3-(p+1) < |x| < 3-p (p = 0, 1,.. .) эта формула приводит к конечной сумме p p u(x) = - \(-5)-(k+1)v(3k x) = 1 v(3x) v(9x) v(3 x) v(x) - + - ... + , k=0 5 5 25 (-5)p поскольку у всех последующих членов ряда аргумент функции v лежит во внешности круга. После элементарных преобразований получаем u(x) = - (1 - (-81/5)p+1) 4 688 |x| + (1 - (-9/5)p+1) 2 56 |x| - (1 - (-1/5)p+1) 48 Наконец, (3-(p+1) < |x| < 3-p; p = 0, 1,.. .). ∞ u(0) = - \(-5)-(k+1)v(0) = -1/48. k=0 В рассмотренном примере обобщенное решение задачи для уравнения с растяжением аргументов принадлежало H2(Ω). Рассмотрим вопрос гладкости обобщенных решений в общей ситуации, когда задача (1.17), (1.18) однозначно разрешима, т. е. k0 = l1. Прежде всего покажем, что для решения u ∈ H˚1(Ω) задачи (1.17), (1.18) условие u ∈ H2(Ω) равносильно условию u ∈ H˚2(Ω). Предположим противное: u ∈ H2(Ω), в то время как для нормальной производной имеем ∂ u ∂ν = 0. ∂Ω / Это приведет к несовпадению следов нормальной производной функции l2 v = R1u = (P - λl1+1I) ... (P - λl1+l2 I)P - u loc с внутренней и внешней сторон многообразия q-l2 ∂Ω ⊂ Ω, т. е. v ∈/ H2 (Ω). Действительно, при таком предположении нормальная производная функции q-l2 ∂Ω, последующее же действие операторов P -l2 u терпит разрыв вдоль многообразия (P - λl1+l2 I),..., (P - λk0+1I) этот разрыв сохраняет, поскольку числа λk0+1,..., λl1+l2 отличны от нуля. С другой стороны, как видно из доказательства теоремы 1.4, функция v является в Ω решением loc задачи Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью из L2(Ω), а значит, принадлежит H2 (Ω). Полученное противоречие означает, что гладкие решения обязательно принадлежат H˚2(Ω), т. е. имеют равную нулю нормальную производную на границе ∂Ω. 32 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Итак, пусть u ∈ H˚2(Ω) - решение задачи (1.17), (1.18) и v = R1u. Тогда функция v принадлежит H˚2(Ω) и является решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью 1 g = (R2(q-2P ))- f. Это означает, что интегральное тождество 2 (Ω) (∇v, ∇φ)Ln = (g, φ) L2(Ω) выполняется уже для произвольной функции φ ∈ H1(Ω) (интеграл по ∂Ω при интегрировании по частям в данном случае аннулируется за счет того, что ∂v ∂ν ∂Ω = 0). Последнее, как мы убедились ранее, равносильно тому, что для всех гармонических функций φ1 ∈ H1(Ω) выполняется соотношение (g, φ1)L2(Ω) = 0. Получается, что для гладкости решения задачи (1.17), (1.18) необходимо выполнение бесконечного числа условий ортогональности (g, φ1)L2(Ω) = 1 /(R2(q-2P ))- f, φ1 L2(Ω) = (f, Bφ1)L2(Ω) = 0, где φ1 ∈ H1(Ω) - произвольная гармоническая функция, а B обозначает сопряженный к ограниченному оператору (R2(q-2P ))-1 : L2(Ω) → L2(Ω). Если же еще дополнительно потребовать |λj | < qn/2-2 (j = k0 + 1,..., l1 + l2), 1 то по лемме 1.2 (б) оператор R-1 будет ограниченным и в H˚2(Ω), обеспечивая принадлежность 1 обобщенного решения u = R-1v задачи (1.17), (1.18) пространству H˚2(Ω). Оформим полученные результаты. Теорема 1.5. Краевая задача (1.17), (1.18) имеет единственное обобщенное решение u для любой функции f ∈ L2(Ω) тогда и только тогда, когда из l1 + l2 корней полинома λl2 r(λ) ровно l1 корней удовлетворяют условию Если u ∈ H2(Ω), то u ∈ H˚2(Ω). |λ| ;;: qn/2-1. Если вдобавок все оставшиеся корни полинома λl2 r(λ) удовлетворяют условию |λ| < qn/2-2, то для принадлежности обобщенного решения пространству H2(Ω) необходимо и достаточно, чтобы функция f удовлетворяла условиям ортогональности (f, Bφ1)L2(Ω) = 0 с произвольной гармонической функцией φ1 ∈ H1(Ω) и оператором B, сопряженным оператору 1 (R2(q-2P ))- : L2(Ω) → L2(Ω). Конечно, для теоремы 1.5 существенно, чтобы l1 ;;: 0. В то же время теорема 1.4 остается содержательной и без этого предположения. Лемма 1.5. Пусть расположение корней полинома λl2 r(λ) таково, что l1 корней лежат вне замкнутого единичного круга |λ| 1, а оставшиеся l2 корней - внутри этого круга. Тогда имеет место соотношение uq - u1 H1(Ω) → 0, q → 1, где uq - обобщенные решения краевой задачи (1.17), (1.18), отвечающие произвольной фиксированной функции f ∈ L2(Ω) и значениям параметра q ;;: 1 (близким к 1). 1. РАЗРЕШИМОСТЬ МОДЕЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ. УРАВНЕНИЕ СО СЖАТИЯМИ И РАСТЯЖЕНИЯМИ 33 Доказательство. Ровно l2 корней полинома λl2 r(λ), которые мы обозначим λl +1,..., λl +l , удовлетворяют условию |λj | < 1. 1 1 2 Если n ;;: 3, то находим число q0 > 1 такое, что оставшиеся корни λ1,..., λl1 удовлетворяют условию Если же n = 2, то достаточно иметь n/2-1 |λj | ;;: q0 . |λj | > 1 для j = 1,..., l1. Кроме того, r(1) /= 0 (единичная окружность свободна от корней). Все это гарантирует однозначную разрешимость в пространстве H˚1(Ω) задачи (1.17), (1.18) для всех значений q ∈ (1, q0] (теорема 1.4), а также задачи Дирихле для «предельного» уравнения -Δu = f /r(1). Воспользуемся установленным выше алгоритмом (см. начало этого раздела и доказательство теоремы 1.4) нахождения решения uq , q ∈ (1, q0]. Обозначим vq ∈ H˚1(Ω) ∩ H2(Ω) решение задачи Дирихле для уравнения с правой частью fq (x) = (R2(q-2Pq ))- -Δvq (x) = fq (x) (x ∈ Ω) q l1 q 1 1 f (x) = q2l1 (P - q2λ I)-1 ... (P - q2λ I)-1f (x) (без ограничения общности считаем al1 = 1). Из леммы 1.4 следует, что vq - v1 H2(Ω) → 0, q → 1, где v1 отвечает функции f (x) 1 l1 f1(x) = (1 - λ ) ... (1 - λ ) . Решения uq исходной задачи для q > 1 находятся по функциям vq / при помощи формулы -1 uq (x) = (R1(Pq ))-1vq (x) = (Pq - λl +1I) ... (Pq - λl +l I)P -l2 vq (x). 1 1 2 q Легко видеть, что на функциях из H˚1(Ω) оператор R1(Pq ) совпадает с оператором (I - λl +1P -1) ... (I - λl +l P -1) = 1 q 1 2 q = (-1)l2 λl +1 ... λl +l (P -1 - λ-1 I) ... (P -1 - λ-1 I). Поскольку 1 |λ-1 1 2 q l1+1 q l1+l2 j | > 1, j = l1 + 1,..., l1 + l2, операторы P -1 - λ-1I удовлетворяют условиям следствия 1.1 (s = 1) для всех q > 1 и обращаются q j в пространстве H˚1(Ω) по формуле (P -1 -1 -1 ∞ \ k+1 -k Таким образом, q - λj I) = - k=0 λj Pq . l1+l2 ∞ (R1(Pq ))-1 = (I - λl +l P -1)-1 ... (I - λl +1P -1)-1 = n \ λk P -k . Обозначив 1 2 q 1 q j q j=l1+1 k=0 uq,j (x) = (I - λj P -1)-1 ... (I - λl +1P -1)-1vq (x) (j = l1 + 1,..., l1 + l2), q 1 q можем записать uq (x) = uq,l1+l2 (x), ∞ \ k k -1 -1 uq,l1+1(x) = k=0 λl1+1vq (q x), uq,j+1(x) = (I - λj+1Pq ) uq,j (x). 34 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Покажем вначале, что \ k H˚1(Ω) ∞ v1 uq,l1+1 -→ v1 k=0 λl1+1 = 1 - λ l1+1 , q → 1. Достаточно установить L2(Ω)-сходимость для производных. Итак, q,l1+1 xi 1 - λl +1 (u ) (x) - v1xi (x) 1 1 q = (I - qλl +1P -1)-1 \ ∞ qxi 1 - λl +1 v (x) - v1xi (x) = 1 ∞ 1 q = (I - qλl +1P -1)-1 (vqxi k - v1xi ) (x)+ k=0 (qλl1+1) v1xi (q ∞ x) - k k \ k=0 λl1+1 v1xi (x) = = (I - qλl +1P -1)-1 (vqx - v1x ) (x)+ v1x (x) \(qk - 1)λk + 1 q i i ∞ i k=0 l1+1 + \(qλl +1)k /v1x (qk x) - v1x (x) . (1.24) 1 i k=0 i 1 -1 q Из результатов раздела 1.1 следует, что норма оператора (I -qλl1+1P - ) , действующего в L2(Ω), не превосходит 1 1 1 = → , q → 1. | |qλl1+1| ( qλl1+1|-1 - q-n/2) 1 - q1-n/2|λl1+1| 1 - |λl1+1| Поэтому первое слагаемое в правой части соотношения (1.24) стремится к нулю в L2(Ω). Поскольку |λl1+1| < 1, стремление к нулю второго слагаемого очевидно. Относительно третьего слагаемого заметим, что общий член ряда стремится в L2(Ω) к нулю при q → 1 в силу непрерывности v1xi в среднем квадратичном. С другой стороны, этот общий член мажорируется выражением k если k |qλl1+1| (1 + q -nk/2 ) v1xi L2(Ω) 2 v1xi L2(Ω) 1+ |λl1+1| 1+ |λl1+1| , 2 1 q 2|λ , l1+1| что означает равномерное по q убывание остатка ряда. Получаем, что и третье слагаемое в правой части (1.24) стремится к нулю при q → 1 в L2(Ω). Предположим теперь, что для некоторого номера j доказана сходимость H˚1(Ω) v1 → uq,j -→ Тогда, записывая uq,j+1 в виде (1 - λj ) ... (1 - λ l1+1 , q 1. ) q (I - λj+1P -1)- 1 uq,j - v1(x) (1 - λj ) ... (1 - λl1+1) q - (I λj+1P -1)-1v1(x) + , (1 - λj ) ... (1 - λl1+1) легко убедиться в сходимости H˚1(Ω) v1 → uq,j+1 -→ (1 - λ j+1 )(1 - λj ) ... (1 - λ l1+1 , q 1. ) Достаточно вновь заметить, что нормы операторов 1 q (I - qλj+1P -1)- : L2(Ω) → L2(Ω) ограничены в совокупности для всех q, близких к 1. Это обеспечивает стремление в H˚1(Ω) к нулю первого слагаемого в представлении для uq,j+1. При помощи тех же рассуждений, что и для j = l1 + 1, показываем, что второе слагаемое дает нужный предел. В итоге получаем, что H˚1(Ω) v1 → uq = uq,l1+l2 -→ (1 - λ l1+l2 ) ... (1 - λ l1+1 , q 1, ) 2. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 35 при этом предельная функция является решением задачи Дирихле для уравнения Пуассона с правой частью f1(x) = f (x) , (1 - λl1+l2 ) ... (1 - λl1+1) т. е. f (x)/r(1). (1 - λl1+l2 ) ... (1 - λl1+1)(1 - λl1 ) ... (1 - λ1) Подчеркнем, что в лемме 1.5 речь идет о сходимости семейства uq к функции u1 ∈ H2(Ω) в пространстве H1(Ω), в отличие от леммы 1.4, где имела место сходимость uq → u1 в H2(Ω). Более того, выше мы убедились, что обобщенные решения uq краевой задачи для уравнения, содержащего растяжения аргументов, вообще говоря, не принадлежат пространству H2(Ω). Замечание 1.4. Интересно отметить, что в плоском случае (n = 2) пропадает зависимость от q критического значения |λ| = qn/2-1 = 1 для корней символа. Получается, что вопрос о разрешимости задачи в пространстве H˚1(Ω) (теоремы 1.1, 1.2 и 1.4) приводит к одним и тем же условиям на коэффициенты уравнения для всех q > 1. 1.4. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Переход к переменным коэффициентам при получении глобальных результатов для дифференциальных уравнений (например, оценки во всей области, доказательство фредгольмовой разрешимости путем построения регуляризатора и др.) обычно основан на принципе локализации, впервые примененном в работе [70]. Важным элементом принципа локализации является построение разбиения единицы, подчиненного специальному покрытию Ω открытыми множествами (такими, в которых коэффициенты мало меняются). Аналогичное применение локализации в теории функционально-дифференциальных уравнений сопровождается необходимостью накладывать дополнительные условия на разбиение единицы. Эти условия являются существенными и носят алгебраический характер: умножение на функции ϕj (x), составляющие разбиение единицы, должно коммутировать или «почти» коммутировать с действием функциональных операторов того или иного класса. В случае разностных операторов с соизмеримыми сдвигами доказано существование разбиения единицы, состоящего из периодических функций [87]. Это позволило применить принцип локализации для дифференциально-разностных уравнений с гладкими переменными коэффициентами и получить достаточные условия сильной эллиптичности, обобщающие соответствующие условия в случае постоянных коэффициентов. Если же рассматривать операторы со сжатиями и растяжениями аргументов, то, напротив, можно убедиться (см. [43]) в несуществовании q-периодического разбиения единицы для Ω ⊂ qΩ (т. е. такого, что ϕj (qx) = ϕj (x)). Продемонстрируем, как можно преодолеть возникающие трудности, на примере исследования краевой задачи n \ - i,j=1 aij (Ruxj )xi = f (x) (x ∈ Ω), (1.25) u|∂Ω = 0 (1.26) в предположении, что Ω ⊂ qΩ, aij = aji ∈ R, а функциональный оператор R = R(x, P ) имеет вид l Ru(x) = \ bk (x)u(q-k x), (1.27) k=0 где bk (x) - комплекснозначные функции из C1(Ω) и l > 0. С уравнением (1.25) связывается переменный (по x) символ n l aR(x, λ, ξ) = a(ξ)r(x, λ), a(ξ) = \ aij ξiξj , r(x, λ) = \ bk (x)λk . i,j=1 k=0 36 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА На уравнение (1.25) накладывается условие n aR(x, 0, ξ) ≡ \ aij b0(x)ξiξj /= 0 (x ∈ Ω, 0 /= ξ ∈ Rn), (1.28) i,j=1 выражающее эллиптичность его «локальной» части в Ω. Оказывается, для фредгольмовой разрешимости краевой задачи (1.25), (1.26) достаточно дополнительно потребовать необращения в ноль символа в круге |λ| qn/2 и лишь при x = 0: r(0, λ) /= 0 (|λ| qn/2). (1.29) Таким образом, значения коэффициентов b1(x),..., bl(x) вне начала координат не влияют на фредгольмову разрешимость. Кроме того, будет показано, что всякое обобщенное решение краевой задачи (1.25), (1.26) в случае выполнения (1.28), (1.29) принадлежит H2(Ω). Для более общего уравнения n \ - i,j=1 (Rij uxj )xi = f (x) с переменными коэффициентами в операторах Rij (а также для уравнения 2m-го порядка с краевыми условиями общего вида) фредгольмова разрешимость краевой задачи будет доказана в главе 3 путем построения регуляризатора с привлечением техники псевдодифференциальных операторов. В случае же уравнения (1.25) с одним оператором вида (1.27) приведенное ниже доказательство основано на исследовании обратимости функционального оператора. Вначале введем алгебру операторов R(x, P ) с переменными коэффициентами. Пусть B есть банахово пространство. Пространство всех аналитических в открытом множестве Q ⊂ C функций со значениями в B обозначается H(Q, B). Когда Q = {λ ∈ C : |λ| < ρ}, B = Cs(Ω), а s - целое неотрицательное число, будем для краткости писать H(Q, B) = H(ρ, s), а всякую функцию r из пространства ∈ H(ρ, s) рассматривать как функцию двух аргументов r = r(x, λ), x ∈ Ω, |λ| < ρ. Для любой фиксированной последовательности 0 < ρ1 < ρ2 < ... < ρ, ρj → ρ, счетный набор полунорм max r(·, λ) Cs(Ω) |λ|=ρj задает на пространстве H(ρ, s) топологию пространства Фреше. Опираясь на интегральную формулу Коши, легко показать аналогично скалярному случаю (B = C), что функции r ∈ H(ρ, s) суть в точности суммы степенных рядов ∞ \ ak (x)λk k=0 с коэффициентами ak ∈ Cs(Ω), удовлетворяющими условию: для любого ρ∗ < ρ найдется постоянная Ms(ρ∗) > 0 такая, что k ak Cs(Ω) Ms(ρ∗)ρ∗- (k = 0, 1,.. .). (1.30) При этом коэффициенты ряда ak связаны с его суммой ρ привычной формулой λ ak (x) = (1/k!)r(k)(x, 0), а в качестве постоянной Ms(ρ∗) можно взять max r(·, λ) Cs(Ω). |λ|=ρu 1.4. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 37 ∞ Лемма 1.6. Пусть r ∈ H(ρ, s), где ρ > qn/2, s - целое неотрицательное число. Тогда формулой R(x, P )u(x) = \ 1 r(k)(x, 0)u(q-k x) (1.31) k! λ k=0 определен ограниченный оператор R(x, P ) : Hs(Ω) → Hs(Ω) для всякой ограниченной области Ω ⊂ Rn такой, что Ω ⊂ qΩ. Доказательство. Вначале докажем ограниченность оператора (1.31) в пространстве L2(Ω). Если r есть полином от λ, то для области Ω указанного вида оператор R(x, P ) корректно определен, и утверждение очевидно. Докажем сходимость ряда (1.31) по операторной норме. Прежде всего заметим, что норма оператора P k в B(L2(Ω)) не превосходит его нормы в B(L2(Rn)), которая равна qkn/2. Далее, gu L2(Ω) g C(Ω) u L2(Ω) при g ∈ C(Ω), u ∈ L2(Ω). Теперь из принадлежности r ∈ H(ρ, s) и оценки (1.30) получается оценка для члена ряда ak P k B(L2(Ω)) Но по условию леммы можно взять откуда вытекает оценка M0(ρ∗)(qn/2/ρ∗)k (ρ∗ < ρ). qn/2 < ρ∗ < ρ, ρ∗ R B(L2(Ω)) ρ∗ n/2 max r(·, λ) C(Ω). - q |λ|=ρu Для доказательства ограниченности оператора R(x, P ) в Hs(Ω) в силу теоремы о замкнутом графике достаточно показать, что Ru ∈ Hs(Ω), если u ∈ Hs(Ω). Для мультииндекса α, |α| s, по формуле Лейбница будем иметь DαR(x, P )u(x) = \ α R β α-β (x, q-|β|P )Dβ u(x), β α x где Rα(x, P ) означает оператор с символом Dαr(x, λ) (результат дифференцирования коэффициентов). Очевидно, символ принадлежит классу Dα-β x r(x, q / -|β|λ) H q|β|ρ, s - |α| + |β| β| ⊂ H(ρ, |β|). Поэтому по уже доказанному оператор Rα-β (x, q-| Dβ u ∈ L2(Ω), получаем DαRu ∈ L2(Ω). P ) : L2(Ω) → L2(Ω) ограничен. Учитывая Операторы с символами из H(ρ, s) также образуют алгебру (обозначим ее Aρ,s), но уже не коммутативную. Перемножая соответствующие ряды, мы получаем формулу композиции. Если ∞ ∞ R1(x, P ) = \ ak (x)P k , R2(x, P ) = \ bk (x)P k , k=0 k=0 где r1, r2 ∈ H(ρ, s), то композиция R1R2 представляет собой оператор ∞ R3(x, P ) = \ ck (x)P k k=0 с коэффициентами k j ck (x) = \ aj (x)bk-j (q- x), k = 0, 1,.... (1.32) Легко проверить, что символ j=0 ∞ r3(x, λ) = \ ck (x)λk k=0 38 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА также принадлежит классу H(ρ, s). Центральным местом этого раздела является следующая ниже теорема об обратимости. Теорема 1.6. Пусть l r(x, λ) = \ ak (x)λk , k=0 где ak ∈ Cs(Ω) для некоторого s ;;: 1, и выполнены следующие условия: r(x, 0) /= 0 (x ∈ Ω), (1.33) r(0, λ) /= 0 (|λ| < ρ). (1.34) Тогда существует обратный оператор R-1(x, P ) ∈ Aρ,s. Доказательству теоремы предпошлем лемму, которая понадобится и в главе 3. Лемма 1.7. Пусть B - банахова алгебра и последовательность gn ∈ B, n = 1, 2,..., экспоненциально сходится к элементу g ∈ B: Тогда n gn - g B cd (c > 0, 0 < d < 1). 1/n lim sup gngn-1 ... g1 B ρ(g), n→∞ где ρ(g) обозначает спектральный радиус элемента g в B. Доказательство. Обозначим n gn - g = Δgn, gngn-1 ... g1 - g = Δn. Надо оценить величину Δn (здесь и далее в доказательстве · = · B ). Сгруппируем n Δn = (g + Δgn)(g + Δgn-1) ... (g + Δg1) - g в n сумм Δn,m (m = 1,..., n) так, что в Δn,m в каждом слагаемом m сомножителей составляют Δgi: Δn,m = n 1 \ gn-i1 (Δgi ) i1=m i1-1 \ i2=m-1 n Δn = \ Δn,m, m=1 2 gi1-1-i2 (Δgi ) × ... × im-1-1 \ im=1 m gim-1-1-im (Δgi )gim-1. Из формулы спектрального радиуса следует, что ρ(g) = lim n→∞ g n 1/n gn M (ρ¯)ρ¯n+1 для произвольного ρ¯ > ρ(g). Приходим к неравенству gn-i1 gi1-1-i2 × ... × gim-1-1-im gim-1 [M (ρ¯)]m+1ρ¯n-i1+1+i1-1-i2+1+...+im-1-1-im+1+im-1+1 = [M (ρ¯)]m+1ρ¯n+1. Отсюда и из условия леммы получаем n i1-1 im-1-1 Δn,m [M (ρ¯)]m+1ρ¯n+1cm \ \ ... \ di1+i2+...+im . i1=m i2=m-1 Последняя сумма оценивается непосредственно: im=1 n i1-1 im-1-1 ∞ ∞ ∞ m(m+1)/2 \ \ ... \ di1+i2+...+im \ di1 \ di2 ... dim-1 \ dim = d . (1 - d)m i1=m i2=m-1 im=1 i1=m i2=m-1 im=1 1.4. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 39 Таким образом, и Δn,m ( cM (ρ¯)d(m+1)/2 lm 1 - d M (ρ¯)ρ¯n+1 n n ( cM (ρ¯)d(m+1)/2 lm Δn \ Δn,m M (ρ¯)ρ¯n+1 \ . 1 - d Последовательность m=1 m=1 ( cM (ρ¯)d(m+1)/2 lm 1 - d мажорируется убывающей геометрической прогрессией, так что Δn Mc,d(ρ¯)ρ¯n. Окончательно Отсюда следует, что n gngn-1 ... g1 = g + Δn gn + Δn M˜ (ρ¯)ρ¯n. - 1 lim sup gngn 1 ... g 1/n n→∞ Но ρ¯ > ρ(g) произвольно, и лемма доказана. ρ¯. Замечание 1.5. Доказанное утверждение в определенном смысле обобщает известное свойство непрерывности сверху спектрального радиуса: gn - g → 0 =⇒ lim sup ρ(gn) ρ(g). n→∞ Замечание 1.6. Из доказательства леммы 1.7 видно, что постоянная M˜ (ρ¯) зависит (помимо ρ¯) лишь от предельного элемента g и параметров c, d в оценке сходимости, но не зависит от начального элемента последовательности. Поэтому с той же постоянной верно неравенство n gj+ngj+n-1 ... gj+1 M˜ (ρ¯)ρ¯ для любых натуральных n и j. Перейдем теперь к доказательству теоремы 1.6. Доказательство. Благодаря условию (1.33) можно без ограничения общности считать, что r(x, 0) = a0(x) = 1 (в противном случае на коэффициент a0(x) следует предварительно разделить). Воспользуемся формулой композиции (1.32) для построения обратного оператора R-1(x, P ) в виде ∞ R-1(x, P ) = \ bm(x)P m. m=0 Равенство RR-1 = I приводит к системе ⎧ ⎪⎨ b0(x) = 1, ⎩⎪ bk (x) = - min(l,k) ), j=1 j aj (x)bk-j (q- x), k = 1, 2,..., (1.35) а равенство R-1R = I дает ⎧ ⎪⎨ b0(x) = 1, ⎪⎩ bk (x) = - min(l,k) ), j=1 aj (qj-k x)bk -j (x), k = 1, 2,.... (1.36) Покажем, что обе системы определяют одну и ту же последовательность коэффициентов bk (x), k = 1, 2,.... 40 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Введем матрицы Ak (x) (x ∈ Ω) порядка k × k, k = 1, 2,.. .: ⎛ a1(x) a2(x) ... ak-1(x) ak (x) ⎞ ⎜ 1 a1(q-1x) ... ak 2(q-1x) a (q-1x) ⎟ ⎜ - 2 k-1 2 ⎟ k A (x) = ⎜ ⎜ . 0 1 ... ak-3(q- x) ak-2(q- x) ⎟ ⎟ . . . . . ⎜ . . ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 ... 1 a1(q1-k x) Мы утверждаем, что функции bk (x) в (1.35) и (1.36) вычисляются по формуле bk (x) = (-1)k det Ak (x). Докажем это индукцией по k = 1, 2,.... При k = 1 равенство очевидно. Предполагая, что оно имеет место для всех номеров вплоть до некоторого k, проверим его и для номера k + 1. Раскрывая det Ak+1(x) по первому столбцу и используя предположение индукции, получим bk+1(x) = (-1)k+1 (a1(x) det Ak (q-1x) - a2(x) det Ak - 1(q-2x)+ ... ... + (-1)k-1ak (x) det A1(q-k x)+ (-1)k ak+1(x) = = -a1(x)(-1)k det Ak (q-1x) - a2(x)(-1)k-1 det Ak k+1 - 1(q-2x) - ... - ... - ak (x)(-1) det A1(q-k x) - ak+1(x) = - \ aj (x)bk+1 j (q-j x), j=1 что совпадает с (1.35). Чтобы прийти к (1.36), надо раскрыть det Ak+1(x) по последней строке: bk+1(x) = (-1)k+1 /a1(q-k x) det Ak (x) - a2(q1-k x) det Ak -1(x)+ ... ... + (-1)k-1ak (q-1x) det A1(x)+ (-1)k ak+1(x) = = -a1(q-k x)(-1)k det Ak (x) - a2(q1-k x)(-1)k-1 det Ak k+1 -1(x) - ... - ... - ak (q-1x)(-1) det A1(x) - ak+1(x) = - \ aj (qj-k-1x)bk+1 j (x). j=1 Из (1.35) следует, что bk ∈ Cs(Ω), k = 0, 1,.... Необходимо убедиться, что для любого ρ∗ < ρ найдется постоянная Ms = Ms(ρ∗) > 0 такая, что k bk Cs(Ω) Ms(ρ∗)ρ∗- Введем матрицу G(x) порядка l × l: (k = 1, 2,.. .). ⎛ -a1(q1-lx) -a2(q2-lx) ... -al - 1(q-1x) -al(x) ⎞ ⎜ ⎜ G(x ) = ⎜ ⎜ 1 0 ... 0 0 ⎟ ⎟ 0 1 ... 0 0 ⎟ ⎟ . . . . . ⎜ . . ⎟ ⎝ ⎠ и вектор-столбец Положим 0 0 ... 1 0 Bk (x) = (bk+l(x),..., bk+1(x))T , k = 0, 1,.... Gk (x) = G(q-k x), k = 1, 2,.... Система (1.36) равносильна рекуррентным соотношениям Bk = Gk Bk-1, или Bk = Gk Gk-1 ... G1B0 (k = 1, 2,.. .). (1.37) Очевидно, теорема будет доказана, если для всех мультииндексов α таких, что |α| s, будет получена оценка max Dα(Gk ... G1)(x) cs(ρ∗)ρ∗-k (ρ∗ < ρ; k = 1, 2,.. .) (1.38) x∈Ω (здесь · означает матричную норму). 1.4. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 41 Докажем (1.38) индукцией по α. Вначале пусть |α| = 0. Сейчас через B обозначим банахову алгебру непрерывных на компакте Ω матричных функций порядка l × l. Если gk = Gk , g = G(0), то g, gk ∈ B и, как нетрудно видеть, k gk - g B cq- . Это следует из гладкости коэффициентов aj (x) - достаточно применить дифференциальную теорему о среднем. По лемме 1.7 для всякого ρ¯ > ρ(g) найдется постоянная M˜ = M˜ (ρ¯) такая, что k gk ... g1 B M˜ (ρ¯)ρ¯ (k = 1, 2,.. .). Оценим спектральный радиус ρ(g) элемента g ∈ B. Он совпадает с наибольшим из модулей собственных значений постоянной матрицы G(0). Характеристическое уравнение для определения этих собственных значений имеет вид zl + a1(0)zl-1 + ... + al(0) = 0 (1.39) (достаточно раскрыть det(G(0) - zE) по первому столбцу). Делая замену z = λ-1, получаем уравнение 1+ a1(0)λ + ... + al(0)λl = 0, т. е. r(0, λ) = 0. Условие (1.34) означает, что все корни λj многочлена r(0, λ) таковы, что |λj | ;;: ρ. Следовательно, все корни zj уравнения (1.39) удовлетворяют условию |zj | ρ-1. Итак, имеем ρ(g) ρ-1. Поэтому если ρ∗ < ρ, то ρ¯ = ρ∗-1 > ρ-1 ;;: ρ(g) и k max (Gk ... G1)(x) = gk ... g1 B c0(ρ∗)ρ∗- x∈Ω (k = 1, 2,.. .) с постоянной c0(ρ∗) = M˜ (ρ¯). Для |α| = 0 оценка (1.38) доказана. Предположим, что оценка (1.38) справедлива для всех мультииндексов α таких, что |α| s∗ при s∗ < s. Рассмотрим ∂ ∂xi α k 1 α k 1 | | ∂ D (G ... G )(x) = D (G ... G )(x) ( α = s∗; i = 1,..., n). ∂xi По формуле Лейбница Dα ∂ (G k ...G ) = Dα \ G ...G ∂Gj G ...G = ∂xi k 1 k j=1 j+1 ∂xi j-1 1 \ γ \ α β k = D (G ...G ) Dβ-γ ∂Gj Dα-β (G ...G ). β γ β α γ j=1 k j+1 ∂xi j-1 1 Понятно, что величина Dγ Gj (x) ограничена для всех γ, |γ| s, равномерно относительно x ∈ Ω и j = 1, 2,.... Опираясь на предположение индукции, с учетом замечания 1.6 будем при ρ∗ < ρ иметь I ∂ I k I I I Dα(Gk ... G1)(x)I c1(s) \ \ Dγ (Gk ... Gj+1)(x) × I ∂xi I γ β α j=1 k × Dα-β (Gj 1 ...G )(x) c (s) \ \ c u (ρ∗)ρ∗j-k c u (ρ∗)ρ∗1-j - 1 1 s s γ β α j=1 \ [c1(s)ρ∗c2 (ρ∗)]kρ∗-k [c2(s)ρc2 (ρ∗)]kρ∗-k su su γ β α для всех x ∈ Ω. Заменим в правой части полученного неравенства величину ρ∗ на ρ∗ + ε, где ε достаточно мало (чтобы ρ∗ + ε < ρ), и воспользуемся неравенством k(ρ∗ + ε)-k = k ρ∗ k k ρ∗-k ρ∗- ρ∗ + ε e[ln(ρ∗ + ε) - ln ρ∗] 42 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА (максимум функции f (t) = th-t на полупрямой t > 0 при h > 1 равен (e ln h)-1). В результате получаем (1.38) и для |α| = s∗ +1 с постоянной csu+1(ρ∗) = c2(s)ρ(csu (ρ∗ + ε))2e-1[ln(ρ∗ + ε) - ln ρ∗]-1. Оценка (1.38), а вместе с ней и теорема доказаны. Из теоремы 1.6 и леммы 1.6 вытекает l Следствие 1.2. Пусть r(x, λ) = ), ak (x)λk , где ak ∈ Cs(Ω) при некотором s ;;: 1, и выполнены k=0 следующие условия: r(x, 0) /= 0 (x ∈ Ω), r(0, λ) /= 0 (|λ| qn/2). Тогда для всякой ограниченной области Ω ⊂ Rn такой, что Ω ⊂ qΩ, оператор R(x, P ) : Hs(Ω) → Hs(Ω) является изоморфизмом. Пример 1.5. Решим функциональное уравнение 1 ex2 2 ( 0, x < 1, u(x)+ 1-x2 u(x/2) = | | (1.40) 1+ |x|2 3 в H1(Ω), где Ω = {x ∈ R2 : |x| < 4}. ln |x|, 1 < |x| < 4 Вначале убедимся в существовании и единственности решения. Для этого запишем символ оператора в левой части уравнения: 1 ex2 2 Условия r(x, λ) = + 1+ |x|2 1-x2 λ. 3 1 r(x, 0) ≡ 1+ |x|2 /= 0 λ и r(0, λ) ≡ 1+ 3 /= 0 (|λ| 2), очевидно, выполнены. По следствию 1.2 уравнение (1.40) имеет единственное решение из H1(Ω) (стоящая справа функция пространству H1(Ω) принадлежит). Удобно переписать уравнение (1.40) в виде u(x)+ a(x)u(x/2) = v(x), где 1 2 2 ( 0, |x| < 1, a(x) = 3 (1 + |x|2)ex1-x2 , v(x) = (1 + |x|2) ln |x|, 1 < |x| < 4. Его решение тогда выражается формулой (см. (1.35) или (1.36)) ∞ u(x) = v(x)+ \(-1)k a(x)a(2-1x) · ... · a(21-k x)v(2-k x). k=1 Учитывая, что v(2-k x) дает ноль в круге Ω при k ;;: 2, будем иметь u(x) = v(x) - a(x)v(x/2), или ⎧ 0, |x| < 1, u(x) = (1 + |x|2) ⎨ ln |x|, 1 < |x| < 2, 2 2 ⎩ ln |x| - ex1-x2 (4 + |x|2)(ln |x| - ln 2)/12, 2 < |x| < 4. 1. УРАВНЕНИЕ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 43 Перейдем теперь к краевой задаче (1.25), (1.26). По-прежнему, под ее обобщенным решением будем понимать функцию u ∈ H˚1(Ω), удовлетворяющую при всех v ∈ H˚1(Ω) интегральному тождеству n \ (aij Rux , vx ) = (f, v) . (1.41) i,j=1 j i L2(Ω) L2(Ω) Если ввести неограниченный оператор AR : D(AR) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω), действующий по формуле n ARu = - \ aij (Rux )x , с областью определения j i i,j=1 D(AR) = {u ∈ H˚1(Ω) : ARu ∈ L2(Ω)} (вторая производная берется в смысле обобщенных функций), то приходим к эквивалентному определению обобщенного решения задачи (1.25), (1.26) как решения операторного уравнения ARu = f в L2(Ω). Теорема 1.7. Пусть ограниченная область Ω удовлетворяет условию Ω ⊂ qΩ; aij = aji ∈ R, коэффициенты b0(x),..., bl(x) оператора R, заданного формулой (1.27), принадлежат пространству C1(Ω), и выполнены основные условия (1.28) и (1.29). Тогда оператор AR фредгольмов и D(AR) = H˚1(Ω) ∩ H2(Ω). Доказательство. Аналогично теореме 1.1, доказательство проводим путем сведения уравнения (1.25) к уравнению с эллиптической локальной старшей частью. Формально мы выносим функциональный оператор R(x, P ) за знак второй производной, а затем, применяя ограниченный обратный оператор [R(x, q-1P )]-1 к обеим частям уравнения, приходим к эллиптическому дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, возмущенному нелокальными, но достаточно регулярными младшими членами. Для этого приходится, однако, проводить соответствующие преобразования через пробную функцию в интегральном тождестве. Условие (1.28) означает, что b0(x) не обращается в ноль на Ω, а квадратичная форма n \ aij ξiξj i,j=1 не равна нулю нигде в Rn\{0}. Условия на оператор R = R(x, P ) позволяют применить теорему 1.6, по которой этот оператор обратим в алгебре Aρ,1 для некоторого ρ > qn/2. Обратный к R оператор R-1(x, P ) можно представить в виде ряда ∞ T (x, P ) = R-1(x, P ) = \ hk (x)P k k=0 с коэффициентами hk ∈ C1(Ω). По лемме 1.6 оператор T (x, P ) ограничен в L2(Ω) и в H1(Ω). Вместо функции v ∈ H˚1(Ω) подставим в интегральное тождество (1.41) функцию P -k hk v, также принадлежащую H˚1(Ω). Получим n \ /aij Rux , qk P -k (hk v) = (f, P -k hk v)L (Ω) j i,j=1 xi L2(Ω) 2 или, после очевидных преобразований, n n \ /aij hk P k Rux , vx + \ /aij hkx P k Rux ,v = (q-k hk P k f, v)L (Ω). (1.42) i,j=1 j i L2(Ω) i,j=1 i j L2(Ω) 2 Отметим, что операторы Txi (x, P ) = ∞ \ k=0 k hkxi (x)P (i = 1,..., n). 44 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА также являются ограниченными в L2(Ω). Поэтому, суммируя (1.42) по всем k = 0, 1,..., в пределе получим n \ (aij ux , vx ) n ,v + /\ R u = (T f, v) i,j=1 j i L2(Ω) j=1 j xj L2(Ω) L2(Ω) для произвольной функции v ∈ H˚1(Ω), где операторы n i (x, P )R, Rj = \ aij Tx T = T (x, q-1P ) i=1 ограничены в L2(Ω), причем оператор T является обратным к R = R(x, q-1P ). Таким образом, всякое обобщенное решение краевой задачи (1.25), (1.26) является и обобщенным решением краевой задачи для уравнения n \ - i,j=1 aij uxixj + n \ i=1 Riuxi = T f (x ∈ Ω) (1.43) с эллиптическим дифференциальным оператором в старшей части. Проводя аналогичным образом выкладки в обратном направлении, убеждаемся в эквивалентности задач (1.25), (1.26) и (1.43), (1.26) (с точки зрения обобщенного решения). Поэтому, если стандартным образом связать с задачей (1.43), (1.26) неограниченный оператор A0 : D(A0) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω), действующий по формуле с областью определения n i j A0u = - \ aij ux x i,j=1 n i + \ Riux , i=1 D(A0) = {u ∈ H˚1(Ω) : A0u ∈ L2(Ω)}, то можно будет записать AR = R A0. Утверждение теоремы теперь следует из соответствующих свойств оператора A0. В конце раздела еще раз отметим, что на фредгольмову разрешимость задачи (1.25), (1.26) в предположении эллиптичности локальной части уравнения (1.25) влияют лишь значения коэффициентов в начале координат. Так, b1(x),..., bl(x) могут быть сколь угодно велики (по сравнению с b0(x)) вне сколь угодно малой окрестности начала координат. Пример 1.6. Исследуем гладкость обобщенных решений краевой задачи -Δ (cos(π(x1 - x2)/3) u(x)+ μ(x2 + x2)u(x/2)l = f (x) (x ∈ Ω = {x ∈ R2 : |x1| + |x2| < 1}), с параметром μ ∈ C. 1 2 u|∂Ω = 0 Чтобы воспользоваться результатами этого раздела, перепишем уравнение в следующем виде: - (cos(π(x1 - x2)/3) ux1 (x)+ μ((x1 + x2)/2)ux1 (x/2))x - 2 2 1 - (cos(π(x1 - x2)/3) ux2 (x)+ μ((x1 + x2)/2)ux (x/2))x = F (x), 2 2 2 2 где F (x) = f (x)+ ((-π/3) sin(π(x1 - x2)/3) u(x)+ 2μx1u(x/2))x1 + + ((π/3) sin(π(x1 - x2)/3) u(x)+ 2μx2u(x/2))x2 , причем F ∈ L2(Ω), если f ∈ L2(Ω), а u ∈ H˚1(Ω) - обобщенное решение. В текущих обозначениях π(x1 - x2) x2 + x2 r(x, λ) = cos + 1 2 λ, aR(x, ξ, λ) = (ξ2 + ξ2)r(x, λ). 3 2 1 2 Проверим выполнение условий (1.28) и (1.29). Если x ∈ Ω, то π(x1 - x2) π π π(x1 - x2) 1 < 3 3 (|x1| + |x2|) < 3 =⇒ r(x, 0) = cos 3 > 2 . 2. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ОБ УСПОКОЕНИИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМ ВРЕМЕНИ 45 Далее, r(0, λ) = 1, так что условие (1.29) выполнено при любом значении параметра μ. По теореме 1.7 всякое обобщенное решение краевой задачи принадлежит H2(Ω). 1.5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ОБ УСПОКОЕНИИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМ ВРЕМЕНИ Рассмотрим линейную систему управления с запаздыванием, описываемую уравнением y∗(t)+ ay∗(q-1t)+ by(t)+ cy(q-1t) = u(t) (t > 0), (1.44) где a, b, c ∈ R,q > 1; u(t) - управляющее воздействие. Функции y(t) и u(t) считаем вещественнозначными. Состояние системы в начальный момент времени задается условием y(0) = y0 ∈ R. (1.45) Требуется привести систему (1.44), (1.45) в состояние равновесия к моменту времени T > 0. Если управлять системой на промежутке (0, qT ) так, чтобы иметь y(t) = 0 (T t qT ), (1.46) а затем сбросить управление, положив u(t) ≡ 0 (t > qT ), то решение задачи (1.44)-(1.46) окажется тождественно равным нулю и при t > qT. При этом из всех возможных управлений требуется найти управление, обладающее минимальной энергией qT r u2(t) dt. 0 В результате приходим к задаче минимизации квадратичного функционала qT r J (y) = 0 (y∗(t)+ ay∗(q-1t)+ by(t)+ cy(q-1t))2 dt -→ min (1.47) на множестве функций y(t), удовлетворяющих заданному начальному условию (1.45), а также условию y(t) = 0 (t ;;: T ). Решение полученной вариационной задачи естественно искать в пространстве H1 T = {y ∈ H 1(0, +∞) : y(t) = 0 (t ;;: T )}. Мы покажем далее, что при |a| /= q-1/2 и для любых значений параметров b и c функционал (1.47) удовлетворяет на пространстве T = {y ∈ HT : y(0) = 0} = H˚ (0,T ) оценке снизу H˚1 1 1 H1(0,T ) J (w) ;;: γ w 2 (w ∈ H˚1(0,T )). Это неравенство, в свою очередь, позволяет сделать вывод о существовании единственного решения вариационной задачи. Сейчас же выпишем необходимое условие экстремума функционала (1.47) (оно будет и достаточным). Это условие представляет собой интегральное тождество, определяющее обобщенное решение краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения. T Пусть функция y ∈ H1 принимает заданное начальное значение и минимизирует функционал (1.47). Для произвольной фиксированной функции v ∈ H˚1(0,T ) рассмотрим сужение функционала (1.47) на прямую {y + sv ∈ H˚1(0,T ) : s ∈ R}. Это сужение будет квадратным трехчленом относительно параметра s: J (y + sv) = J (y)+ 2sB(y, v)+ s2J (v), где билинейная форма B(y, v) имеет вид qT r B(y, v) = 0 (y∗(t)+ ay∗(q-1t)+ by(t)+ cy(q-1t)) (v∗(t)+ av∗(q-1t)+ bv(t)+ cv(q-1t)) dt. 46 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА Согласно нашему предположению, минимум функции J (y + sv) достигается при s = 0, что, очевидно, равносильно требованию B(y, v) = 0. Таким образом, решение y вариационной задачи должно удовлетворять условию B(y, v) = 0 для любой функции v ∈ H˚1(0,T ). Преобразуем теперь выражение для B(y, v). Слагаемые, содержащие v∗(q-1t) и v(q-1t), после замены переменных q-1t = τ примут вид T r (y∗(qτ )+ ay∗(τ )+ by(qτ )+ cy(τ )) (av∗(τ )+ cv(τ )) qdt. 0 В оставшихся слагаемых можно также перейти к интегралу по (0,T ) в силу условия v(t) = 0 (t ;;: T ). После приведения подобных членов будем иметь T r B(y, v) = 0 T r ((1 + a2q)y∗(t)+ ay∗(q-1t)+ aqy∗(qt)) v∗(t)dt + + ((b + acq)y(t)+ cy(q-1t)+ abqy(qt)) v∗(t)dt + 0 T + r ((b + acq)y∗(t)+ aby∗(q-1t)+ cqy∗(qt)) v(t)dt + 0 T + r ((b2 + c2q)y(t)+ bcy(q-1t)+ bcqy(qt)) v(t)dt. 0 Если проинтегрировать по частям во второй строке полученного выражения, то интегральное тождество B(y, v) = 0 примет вид T r ((1 + a2q)y∗(t)+ ay∗(q-1t)+ aqy∗(qt)) v∗(t)dt + 0 T r + ((ab - cq-1)y∗(q-1t)+ (cq - abq2)y∗(qt)+ (b2 + c2q)y(t)+ bcy(q-1t)+ bcqy(qt)) v(t)dt = 0. 0 (1.48) T Оно выполняется для всех v из H˚1(0,T ) и, следовательно, определяет обобщенное решение y ∈ H1 краевой задачи - ((1 + a2q)y∗(t)+ ay∗(q-1t)+ aqy∗(qt))∗ + +(ab-cq-1)y∗(q-1t)+(cq -abq2)y∗(qt)+(b2 +c2q)y(t)+bcy(q-1t)+bcqy(qt) = 0 (t ∈ (0,T )), (1.49) y(0) = y0, y(t) = 0 (t ;;: T ). (1.50) T Наоборот, пусть y ∈ H1 является обобщенным решением задачи (1.49), (1.50), т. е. B(y, v) = 0 для всех v ∈ H˚1(0,T ). Тогда J (y + v) = J (y)+ 2B(y, v)+ J (v) = J (y)+ J (v) ;;: J (y) для любой функции v ∈ H˚1(0,T ), поскольку функционал J неотрицателен. Это означает, что y доставляет минимум функционалу (1.47). Установлена равносильность вариационной задачи (1.47), (1.45) и краевой задачи (1.49), (1.50). Наряду с функционалом (1.47) рассмотрим соответствующий функционал без младших членов qT T на пространстве H˚1 . r J0(w) = 0 (w∗(t)+ aw∗(q-1t))2 T dt (w ∈ H˚1 ) 1.5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ОБ УСПОКОЕНИИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМ ВРЕМЕНИ 47 Лемма 1.8. Пусть |a| /= q-1/2. Тогда существует константа γ0 > 0 такая, что H1(0,T ) J0(w) ;;: γ0 w 2 (1.51) T для всех w ∈ H˚1 . Доказательство. Преобразуя выражение для J0 аналогично проделанному выше для билинейной формы B, получим T r J0(w) = 0 ((1 + a2q)w∗(t)+ aw∗(q-1t)+ aqw∗(qt)) w∗(t) dt. Учитывая, что w обращается в ноль при t > T, можем записать 0 J (w) = (((1 + a2q)I + aP + aqP -1)w∗, w∗) . L2(0,+∞) Символ оператора равен ((1 + a2q)I + aP + aqP -1) : L2(0, +∞) → L2(0, +∞) r(λ) = 1 + a2q + aλ + aqλ-1 (возможность переноса всех рассуждений и результатов раздела 1.1 с Rn на ситуацию (0, +∞) очевидна). Вспомним, что a ∈ R, а λ = √qeiθ , где θ пробегает R. Поэтому r(λ) = 1 + a2q + 2a√q cos θ есть вещественнозначная функция, минимум которой равен (1 - |a|√q)2. Так что если |a| /= q-1/2, то r(λ) ;;: (1 - |a|√q)2 > 0. В силу описанного в разделе 1.1 алгебраического изоморфизма получаем, что оператор (1+a2q)I + aP + aqP -1 является в L2(0, +∞) самосопряженным и положительно определенным: (((1 + a2q)I + aP + aqP -1)w∗, w∗) L2(0,+∞) 2 ;;: (1 - |a|√q)2 w∗ L (0,+ ∞). Остается заметить, что 2 w∗ L2(0,+∞) = w∗ L2(0,T ), 1 а w∗ L2(0,T ) задает эквивалентную норму в H˚ (0,T ). Вернемся к исходному функционалу с младшими членами qT r J (y) = 0 (y∗(t)+ ay∗(q-1t)+ by(t)+ cy(q-1t))2 dt. Лемма 1.9. Пусть |a| /= q-1/2. Тогда существует константа γ > 0 такая, что H1(0,T ) J (w) ;;: γ w 2 (1.52) T для всех w ∈ H˚1 . Доказательство. Из леммы 1.8 при помощи элементарного алгебраического неравенства (α + β)2 ;;: α2/2 - β2 (α, β ∈ R) легко вытекает существование константы γ1 > 0 такой, что γ0 2 2 J (w) ;;: 2 w H1(0,T ) - γ1 w L2(0,T ) (1.53) T для любой функции w ∈ H˚1 . В то же время предположим, что оценка (1.52) не имеет места. Это T найдется функция wn ∈ H˚1 такая, что 1 2 J (wn) < n wn H1(0,T ). 48 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА H (0,T ) Без ограничения общности можно считать, что wn H1(0,T ) = 1 (в противном случае обе части неравенства надо разделить на wn 2 1 и перейти к wn/ wn H1(0,T )) и 1 J (wn) < n. (1.54) k В силу компактности вложения H1(0,T ) в L2(0,T ), перейдем к подпоследовательности wn , фундаментальной в L2(0,T ). Но из (1.53) и (1.54) тогда будет следовать и фундаментальность wnk в H1(0,T ): γ0 2 2 2 wnk - wnm H1(0,T ) γ1 wnk - wnm L2(0,T ) + J (wnk - wnm ) 2 2 2 n n γ1 wnk - wnm L2(0,T ) + + k m -→ 0, k, m → ∞. 1 Таким образом, wnk сходится к некоторой функции w0 в H˚ . Очевидно, w0 H1(0,T ) = 1, а предельный переход в (1.54) дает qT r J (w0) = T 2 (w∗ (t)+ aw∗ (q-1t)+ bw0(t)+ cw0(q-1t)) dt = 0, 0 0 0 T т. е. w0 ∈ H˚1 удовлетворяет уравнению w∗ ∗ -1 -1 0(t)+ aw0(q t)+ bw0(t)+ cw0(q t) = 0 (1.55) почти всюду на (0, qT ). Поскольку w0(t) = 0 (t ;;: T ), уравнение (1.55) на интервале (T, qT ) превращается в уравнение или 0 aw∗ (q-1t)+ cw0(q-1t) = 0, 0 aw∗ (t)+ cw0(t) = 0 (q-1T < t < T ) (конечно, считаем, что a2 + c2 /= 0). Отсюда с учетом w0(T ) = 0 следует, что w0(t) = 0 (t ;;: q-1T ). Продолжая дальше влево аналогичным образом, получаем w0 = 0 и приходим к противоречию. Однозначная разрешимость вариационной и соответствующей краевой задач выводится теперь стандартным образом. Надо перейти к однородным краевым условиям (это делается заменой неизвестной функции) и воспользоваться оценкой (1.52). T Теорема 1.8. Пусть |a| /= q-1/2. Тогда задача (1.49), (1.50) имеет единственное обобщенное решение y ∈ H1 . T Доказательство. Напомним, что искомая функция y удовлетворяет при всех v ∈ H˚1 интегральному тождеству (1.48), которое коротко может быть записано как B(y, v) = 0. Введем функцию ( y0(t/T - 1)2, 0 t T, Очевидно, Φ(t) = 0, t > T. T Φ ∈ H2 = {y ∈ H2(0, +∞) : y(t) = 0 (t ;;: T )} T и Φ(0) = y0. Положим x = y - Φ ∈ H˚1 . Интегральное тождество примет вид B(Φ, v)+ B(x, v) = 0. (1.56) Но B(x, x) = J (x), а тогда по лемме 1.9 непрерывная симметрическая билинейная форма B(x, v) T задает на H˚1 = H˚1(0,T ) эквивалентное скалярное произведение Понятно, что ˚1 B(x, v) = (x, v)∗ . H (0,T ) H˚1(0,T ) |B(Φ, v)| k1|y0| v H1(0,T ) k2|y0| v ∗ . Следовательно, по теореме Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в веще- T ственном гильбертовом пространстве существует единственная функция F ∈ H˚1 такая, что ˚1 B(Φ, v) = (F, v)∗ H (0,T ) , F ∗ H˚1(0,T ) k2|y0|. 1.5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ОБ УСПОКОЕНИИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ, ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМ ВРЕМЕНИ 49 Теперь (1.56) можно переписать в виде ˚1 (x, v)∗ H (0,T ) ˚1 + (F, v)∗ H (0,T ) = 0, T откуда и получаем, что функция y = Φ - F ∈ H1 является решением задачи (1.49), (1.50). Конечно, исследовать существование и единственность решения краевой задачи (1.49), (1.50), рассматривая ее отдельно от задачи (1.47), (1.45), т. е. игнорируя ее вариационную природу, было бы затруднительно из-за наличия громоздких младших членов. Но если b = c = 0, то однозначная разрешимость задачи (1.49), (1.50) при |a| /= q-1/2 непосредственно следует из теоремы 1.4. T Действительно, после описанной выше замены y = Φ + x относительно x получается задача вида (1.17), (1.18) с правой частью из L2(0,T ) (поскольку Φ ∈ H2 ) и оператором R = (1 + a2q)I + aP + aqP -1, причем корни λ1 = -aq и λ2 = -1/a символа r(λ) = 1 + a2q + aλ + aqλ-1 таковы, что всегда один из них по абсолютной величине больше, а другой меньше, чем √q. Кроме того, опираясь на результаты разделов 1.1-1.3, легко выписать в этом случае решение задачи (1.49), (1.50) в явном виде. Проинтегрировав (1.49) один раз, получаем ((1 + a2q)I + aP + aqP -1) y∗ = c1 (0 < t < T ), (1.57) где c1 - произвольная постоянная. Воспользуемся разложением (1 + a2q)I + aP + aqP -1 = (P + aqI)(P -1 + aI). Предположим вначале, что |a| > q-1/2. Тогда |aq| > q1/2, в то время как |1/a| < q1/2. Из леммы 1.2 и формулы (1.3) следует, что (1.57) равносильно соотношению (P -1 + aI)y∗ = c2 (0 < t < T ) с некоторой постоянной c2. Учитывая тот факт, что y∗(t) = 0 при t > T, последнее равенство можно переписать в виде (P -1 + aI)y∗ = c2hT (t) (t > 0), где hT (t) = 1 для t < T и hT (t) = 0 для t > T. Обращая оператор при y∗ в соответствии с формулой (1.6), получаем ∞ y∗(t) = -c2 \(-a)-(m+1)hT (qmt) (t > 0) m=0 и t r ∞ ∞ y(t) = y0 - c2 \(-a)-(m+1)hT (qms) ds = y0 - c2 \(-a)-(m+1) min(t, q-mT ). 0 m=0 m=0 Постоянная c2 находится из условия y(T ) = 0: / ∞ \-1 y (aq + 1) c2 = -ay0 \(-aq)-mT m=0 - = 0 . qT Окончательно получаем формулу для оптимальной траектории: / aq +1 ∞ \ y(t) = y0 \ 1+ qT (-a)- (m+1) min(t, q-mT ) . (1.58) m=0 Соответственно, оптимальное управление имеет вид u(t) = y0(aq +1) qT ∞ \(-a)-(m+1)(hT (qmt)+ ahT (qm-1t)). (1.59) m=0 50 ГЛАВА 1. МОДЕЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В случае |a| < q-1/2, который рассматривается совершенно аналогично, будем иметь / a +1 ∞ \ - y(t) = y0 \ m 1 T (-aq) min(t, q-mT ) , (1.60) u(t) = - y0(a +1) T ∞ \ m=0 m=0 (-aq)m (hT (qm t)+ ahT (q m-1 t)). (1.61) Нетрудно видеть, что формулы (1.58), (1.59) и (1.60), (1.61) задают кусочно-линейную траекторию и кусочно-постоянное управление с особенностями в точках q-iT (i = 0, 1,.. .). Таким образом, решение вариационной задачи не принадлежит H2(0,T ). Замечание 1.7. Уравнение (1.44) в случае нулевой правой части называется обобщенным уравнением пантографа (а при a = 0 - просто уравнением пантографа). Уравнение пантографа возникает в астрофизике [2] (поглощение света межзвездной материей), технике [81] (динамика навесного провода электроснабжения локомотива), биологии [72] (моделирование процесса роста клеток), и имеет приложения в ряде других областей. Математическому исследованию уравнения пантографа и его обобщений посвящены работы [69, 73, 76]. Замечание 1.8. Впервые задача об успокоении системы управления с запаздыванием, сводившаяся к задаче на экстремум функционала с отклоняющимся аргументом, изучалась Н. Н. Красовским [17]. Для системы, содержащей отклонение аргумента под знаком производной (уравнение нейтрального типа), аналогичная задача рассматривалась в [51]. Теории вариационных задач для функционалов с отклоняющимся аргументом и связанных с ними краевых задач посвящены работы [13, 14]. Следующий пример посвящен многомерному аналогу вариационной задачи (1.47). Он приводит к краевой задаче для сильно эллиптического функционально-дифференциального уравнения. Этот класс уравнений подробно изучается во второй главе. Пример 1.7. Найдем минимум функционала rr J (u) = (5u2 (x1, x2)+ 5u2 (x1, x2)+ 2ux (x1/2, x2/2)ux (x1, x2)+ x1 x2 1 1 Ω + 2ux2 (x1/2, x2/2)ux2 (x1, x2)+ u(x1, x2)] dx1dx2 на (вещественном) пространстве функций u ∈ H˚1(Ω), равных нулю в R2 \ Ω, где Ω - это круг x2 2 1 + x2 < 1. Квадратичную часть J0(u) данного функционала можно записать в виде 2(Ω) J0(u) = ((5I + 2P )∇u, ∇u)L2 = ((5I + P + P ∗)∇u, ∇u) 2 L2(Ω) = 2(Ω) = ((5I + P + 4P -1)∇u, ∇u)L2 = (∇(5I + 2P + 2P -1)u, ∇u) 2 L2(Ω). Оператор 5I + P + P ∗ положительно определен в L2(Rn), поскольку его символ положителен: 5+ λ + λ¯ = 5 + 4 cos θ ;;: 1 > 0, λ = 2eiθ . 2 Отсюда следуют коэрцитивность функционала на H˚1(Ω), J0(u) ;;: |∇u| L (Ω), и существование 2 единственного решения вариационной задачи. Для нахождения решения надо найти производную функционала J (u) и приравнять ее к нулю (подобно тому, как это делалось выше в случае уравнения пантографа). Приходим к соотношению 2(Ω) 2(∇(5I + 2P + 2P -1)u, ∇v)L2 + (1, v) L2(Ω) = 0 (v ∈ H˚1(Ω)) на минимизирующую функцию. Оно определяет обобщенное решение краевой задачи Δ(5I + 2P + 2P -1)u(x) = 1/2 (x ∈ Ω), u|∂Ω = 0. Его можно выписать в явном виде, используя метод данной главы. Находим корни уравнения 5+ 2λ + 2λ-1 = 0 ⇐⇒ λ1 = -2, λ2 = -1/2, 2.1. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 51 и получаем разложение 5I + 2P + 2P -1 = 2(P + 2I)(P + (1/2)I)P -1 = (P + 2I)(P -1 + 2I). Делаем замену (P -1 + 2I)u = v, учитывая, что оператор P -1 + 2I - изоморфизм пространства H˚1(Ω) (следствие 1.1), и решаем вспомогательную задачу Δ(P + 2I)v(x) = 1/2 (x ∈ Ω), v|∂Ω = 0. К ней применима теорема 1.1, согласно которой функциональный оператор можно вынести за знак лапласиана и обратить по формуле (1.3): ∞ Δv = 4(P + 8I)-1f = (-1/2) \(-8)-(k+1) = 1/18 (f = 1/2). k=0 Теперь нетрудно получить 2 v = |x| - 1 (|x| < 1) 72 и, наконец, найти u, пользуясь формулой (1.6), а также учитывая, что v = 0 при |x| > 1: ∞ u = (P -1 + 2I)-1v = - \(-2)-(k+1)v(2k x). k=0 Точнее, если 2-(p+1) < |x| < 2-p, то p 72 u(x) = (-1/72) \(-2)-(k+1)(22k |x|2 - 1) = - 1 ((-2) p+1 6 x 2 - 1 (-2) | | - -(p+1) 3 l - 1 , p = 0, 1,.. .. k=0 ГЛАВА 2 СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ 2.1. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Эта глава посвящена исследованию краевой задачи ARu(x) ≡ \ |α|,|β| m Dμ DαRαβ Dβ u(x) = f (x) (x ∈ Ω), (2.1) ν u|∂Ω = 0 (μ = 0,...,m - 1), (2.2) где операторы Rαβ определены формулой Rαβ v(x) = \ aαβj (x)v(q-j x). (2.3) j Здесь Dν = -i∂/∂ν; ν - единичный вектор внешней нормали к границе ∂Ω. Краевую задачу (2.1), (2.2) будем называть первой краевой задачей или задачей Дирихле. Она является непосредственным обобщением модельной краевой задачи, рассмотренной в главе 1, на случай уравнения высокого порядка с различными функциональными операторами и переменными коэффициентами. Задача (2.1), (2.2) рассматривается при следующих общих предположениях: 1. q > 1; 1. Ω ⊂ Rn - ограниченная область с условием Ω ⊂ qΩ; 2. индекс j в (2.3) пробегает конечное множество целых чисел и может быть как положительным, так и отрицательным; 3. коэффициенты aαβj ∈ C∞(Ω) - заданные комплекснозначные функции; 52 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ 4. если q-j x ∈/ Ω при некоторых j и x ∈ Ω, то считаем v(q-j x) = 0 в (2.3) (другими словами, функции продолжаются нулем вне Ω перед применением к ним оператора Rαβ ). Ключевую роль в изучении задачи (2.1), (2.2) будет играть неравенство 2 2 ∞ Re (ARu, u)L2(Ω) ;;: c1 u Hm(Ω) - c2 u L2(Ω) (u ∈ C0 (Ω)) (2.4) 0 на гладких финитных функциях, называемое неравенством типа Гординга. Постоянные c1 > 0, c2 ;;: 0 не зависят от u ∈ C∞(Ω). Значение неравенства (2.4) определяется тем, что вместе с компактным вложением пространств H˚m(Ω) ⊂ L2(Ω) оно обеспечивает фредгольмову разрешимость, дискретность и секториальную структуру спектра задачи (2.1), (2.2) в L2(Ω) (доказательство этих следствий, приведенное для связности изложения в разделе 2.3, опирается на стандартную технику линейного функционального анализа [15] и достаточно элементарно). Кроме того, с этим неравенством связана известная проблема Т. Като [75] о совпадении областей определения квадратных корней A1/2 и A∗1/2 R (в нашем случае это будут операторы (AR + c2I)1/2 и (A∗ + c2I)1/2, где AR представляет со- 0 бой расширение оператора AR с C∞(Ω) на подпространство пространства H˚m(Ω), состоящее из обобщенных решений задачи Дирихле с правыми частями f из L2(Ω)). В работах [78, 79] для абстрактных операторов A были получены достаточные условия совпадения областей определения операторов A1/2 и A∗1/2, а также были построены примеры операторов с числовой областью значений в сколь угодно малом угле, охватывающем положительную вещественную полуось, для которых указанные области определения не совпадают. Дальнейшее развитие эти исследования в приложении к дифференциальным и функционально-дифференциальным операторам получили в работах [58, 60, 89]. Под проблемой коэрцитивности мы будем понимать задачу нахождения необходимых и достаточных условий в алгебраической форме (т. е. лишь в терминах коэффициентов уравнения) выполнения неравенства (2.4) для оператора AR. В случае, когда AR есть дифференциальный оператор (положим в (2.3) aαβj (x) ≡ 0, j /= 0), неравенство (2.4) является синонимом сильной эллиптичности [10, 70]: Re \ |α|,|β|=m aαβ0(x)ξα+β > 0 (x ∈ Ω, 0 /= ξ ∈ Rn). Поэтому уравнение (2.1), для которого выполнено неравенство (2.4), мы будем также называть сильно эллиптическим в Ω. Сильно эллиптические дифференциально-разностные уравнения в ограниченных областях Rn рассматривались в [87, 88]. В работе [87] в том числе была решена проблема коэрцитивности для дифференциально-разностных операторов. В этом разделе будет решена проблема коэрцитивности для оператора AR, заданного формулами (2.1), (2.3), при постоянных коэффициентах aαβj в операторах (2.3). Для этого нам понадобится более широкая по сравнению с алгеброй AR из раздела 1.1 операторная алгебра, в которую включены также операторы умножения на однородные функции нулевой степени. Начнем с предварительных рассуждений. Пусть Sn-1 есть единичная сфера в Rn. Поставим в соответствие каждой функции g ∈ C(Sn-1) n функцию G ∈ L∞(R ) по правилу G(x) = g(x/|x|) (x ∈ Rn, x /= 0). (2.5) Умножение на G(x) в L2(Rn) представляет собой ограниченный оператор, который мы также будем обозначать через G. Итак, Gu(x) = G(x)u(x) = g(x/|x|)u(x). Отображение g 1→ G есть, очевидно, гомоморфизм алгебры C(Sn-1) в алгебру ограниченных операторов B (L2(Rn)) . Покажем, что оно является изометрией. С одной стороны, 1/2 ⎛ r Gu L2(Rn) = ⎝ Rn 2 |G(x)| |u(x)|2 ⎞ dx⎠ G L∞(Rn) u L2(Rn) = = g C(Sn-1) u L2(Rn), т. е. G g C(Sn-1). (2.6) 2.1. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 53 С другой стороны, пусть точка ξ0 ∈ Sn-1 такова, что |G(ξ0)| = g C(Sn-1), и пусть uε(x) = 1 (|x - ξ0| < ε), uε(x) = 0 (|x - ξ0| > ε). Тогда по теореме о среднем ⎛ ⎞1/2 n Guε L2(Rn) = ⎜ 1 r |G(x)|2 dx⎟ ⎠ = |G(x˜)| uε L2(Rn) ⎝ σnε |x-ξ0|<ε для некоторого x˜, |x˜ - ξ0| < ε, так что lim Guε = |G(ξ0)| = |g(ξ0)|. (2.7) ε→0 uε Из (2.6) и (2.7) следует, что G = g C(Sn-1). Таким образом, алгебра C(Sn-1) изометрически изоморфна замкнутой подалгебре AG алгебры B (L2(Rn)) , состоящей из операторов умножения на функции G(x) вида (2.5). Отсюда заключаем, что, во-первых, каждый комплексный гомоморфизм h алгебры AG имеет вид h(G) = g(ξh) (ξh ∈ Sn-1). Во-вторых, так как полиномы Pol (ξ1,..., ξn) плотны в C(Sn-1) (по теореме Стоуна-Вейерштрасса [40, с. 137]), то в алгебре AG плотны полиномы Pol (G1,..., Gn), где Gi обозначает оператор умножения на функцию Gi(x) = xi/|x|. Далее, операторы P и P ∗ коммутируют с операторами из AG. Следовательно, замыкание (по операторной норме) множества всех полиномов Pol (P, P ∗, G1,..., Gn) есть коммутативная B∗алгебра (как подалгебра B∗-алгебры B (L2(Rn))). Обозначим ее AR,G. Очевидно, AG является замкнутой подалгеброй в AR,G. По теореме Гельфанда-Наймарка [40, с. 311] преобразование Гельфанда осуществляет изометрический изоморфизм AR,G ::i T 1→ T ∈ C(ΔR,G) алгебры AR,G на алгебру C(ΔR,G), где ΔR,G - пространство максимальных идеалов алгебры AR,G. Пространство ΔR,G снабжается топологией Гельфанда, которая является хаусдорфовой и компактной [40, с.300]. Покажем, что ΔR,G есть с точностью до гомеоморфизма некоторый компакт K ⊂ {(λ, ξ) ∈ C × Rn : |λ| = qn/2, |ξ| = 1}. Для этого рассмотрим отображение φ : ΔR,G → Cn+1, заданное формулой φ(h) = (P (h), G 1(h),..., G n(h)). По определению преобразования Гельфанда оно непрерывно, а множество значений первой координаты есть σ(P ). Если h - гомоморфизм AR,G, то h есть гомоморфизм AG, и поэтому h(G) = g(ξh) (ξh ∈ Sn-1). Но тогда (G 1(h),..., G n(h)) = (h(G1),..., h(Gn)) = (ξh,..., ξh) = ξh. 1 n Таким образом, множество значений векторной функции φ(h) есть компакт K ⊂ σ(P ) × Sn-1. Далее пусть φ(h1) = φ(h2), т. е. h1(P ) = h2(P ) и h1(Gi) = h2(Gi), i = 1,..., n. Так как преобразование Гельфанда сохраняет инволюцию, то h1(P ∗) = h2(P ∗). Отсюда следует, что гомоморфизмы совпадают на полиномах Pol (P, P ∗, G1,..., Gn), и в силу плотности последних получаем h1 = h2. Итак, отображение φ взаимно однозначно, а, как известно, непрерывное взаимно однозначное отображение компактного пространства в хаусдорфово есть гомеоморфизм. В результате имеем изометрический изоморфизм Ψ : AR,G → C(K), Ψ(T ) = T ◦ φ-1 (T ∈ AR,G), 54 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ при этом Ψ(P )(λ, ξ) = P (φ-1(λ, ξ)) = λ, Ψ(Gi)(λ, ξ) = G i (φ-1(λ, ξ)) = ξi (i = 1,..., n). Так как Ψ - гомоморфизм, то 1 ... Gn -→ \ \ aαβj λj ξα+β , (λ, ξ) ∈ K. \ |α|,|β|=m \ aαβj P j Gα1+β1 j αn+βn Ψ |α|,|β|=m j Здесь aαβj ∈ C; α = (α1,..., αn), β = (β1,..., βn) - мультииндексы; j пробегает конечное множество целых значений. Обозначим Rαβ = \ aαβj P j , rαβ (λ) = \ aαβj λj , j Gα+β = Gα1+β1 j αn+βn Лемма 2.1. Пусть Тогда оператор Re \ |α|,|β|=m 1 ... Gn . rαβ (λ)ξα+β > 0 ((λ, ξ) ∈ σ(P ) × Sn-1). T = \ |α|,|β|=m положительно определен, т. е. αβ (Rαβ + R∗ )Gα+β : L2(Rn) → L2(Rn) 2 n Re (Tu, u)L2(Rn) ;;: c u L2(Rn) (u ∈ L2(R )). Лемма вытекает из построенного изоморфизма и того факта, что спектр оператора один и тот же во всех ∗-алгебрах, его содержащих. Систематическое применение матричного подхода в духе разностных операторов к изучению операторов Ru = J \ j=-J aj P j u = J \ j=-J aj u(q-j x1,..., q-j xn), aj ∈ C, (2.8) затруднительно вследствие бесконечной размерности получающихся матриц - так будет, если область содержит начало координат. С другой стороны, эта «бесконечность» дает возможность предельного перехода. Ниже (лемма 2.2) приведен основной результат такого сорта. Он будет использован при выводе необходимых условий выполнения неравенства типа Гординга. Пусть ограниченное открытое множество O1 ⊂ Rn обладает тем свойством, что q-1O1 ∩ O1 = ∅, и пусть N - натуральное число. Положим N Ok = q1-k O1, k = 1,..., N, O = I Ok . k=1 Имеем Ok1 ∩ Ok2 = ∅ при k1 /= k2. По всякой функции u ∈ L2(O) строим вектор-функцию 2 u = (u1 ... uN )T ∈ LN (O1), uk (x) = qn(1-k)/2u(q1-k x) (x ∈ O1, k = 1,...,N ). (2.9) Отображение u 1→ u является унитарным. Действительно, используя замену переменных, будем иметь (u, v)L2(O) = N \ r u(x)v(x) dx = k=1Ok N N \ k=1 qn(1-k) r O1 u(q 1-k x)v(q 1-k x) dx = = \(uk , vk )L (O ) = (u, v) N . (2.10) 2 1 k=1 L2 (O1) 2.1. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 55 Далее по заданному формулой (2.8) оператору R строим матрицу R порядка N ×N с элементами ( qn(k-j)/2ak j , |k - j| J, ρjk = 0, - |k - j| > J. 2 Тогда, если u ∈ L2(O), v = Ru и v = (v1 ... vN )T ∈ LN (O1) - соответствующая вектор-функция (еще раз отметим, что по нашему соглашению u и v равны нулю вне O), то vk (x) = qn(1-k)/2(Ru)(q1-k x) = \ qn(1-k)/2aj u(q1-(k+j)x) = |j| J = \ qn(1-l)/2qn(l-k)/2al N k u(q1-lx) = \ ρ u (x), x ∈ O . Таким образом, |l-k| J - l=1 kl l 1 v = Ru ⇐⇒ v = Ru (2.11) 2 для любых функций u, v ∈ L2(O) и соответствующих вектор-функций u, v ∈ LN (O1). Лемма 2.2. Пусть матрицы R + R∗ равномерно по N положительно определены, т. е. существует постоянная c > 0 такая, что Re (Rz, z) ;;: c|z|2 (N = 1, 2,... ; z ∈ CN ). Тогда оператор R + R∗ : L2(Rn) → L2(Rn) положительно определен. Доказательство. Зафиксируем натуральное N. Положим N O1 = {x ∈ Rn : q-1M < |x| < M , O = I q1-k O1, k=1 где M > 0 произвольно. Пусть u ∈ L2(Rn), u = 0 вне O и v = Ru. Используя условие леммы, (2.10) и (2.11), будем иметь 2 (O1) Re (Ru, u)L2(Rn) = Re (v, u)L2(O) = Re (v, u)LN = 2 (O1) = Re (Ru, u)LN LN ;;: c u 2 2 (O1) = c u 2 L2(Rn), причем c не зависит от N, M, u. Но при всевозможных M и N функция u пробегает всюду плотное в L2(Rn) подмножество. Поэтому неравенство 2 L2(Rn) Re (Ru, u)L (Rn) ;;: c u 2 выполняется для любых u ∈ L2(Rn). Из положительной определенности оператора R + R∗ в L2(Rn) в свою очередь следует, что J Re r(λ) = Re \ j=-J aj λj > 0 (|λ| = qn/2). Следующий результат является примером применения леммы 2.2. Лемма 2.3. Предположим, что Ω - произвольная область в Rn, содержащая начало координат, и оператор R + R∗ : L2(Ω) → L2(Ω) положительно определен. Тогда положительно определенным будет и оператор R + R∗ : L2(Rn) → L2(Rn). Доказательство. Имеем 2 Re (Ru, u)L2(Ω) ;;: c u L2(Ω) (u ∈ L2(Ω)). (2.12) Возьмем лежащую в Ω шаровую окрестность B начала координат и положим N O1 = B \ q-1B, Ok = q1-k O1 (k = 1,...,N ), O = I Ok . k=1 56 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ Подставляя в (2.12) функцию z, принимающую постоянное значение на Ok и равную нулю вне O, получим с помощью (2.10) и (2.11) 2 (O1) Re (Rz, z)L2(Ω) = Re (Rz, z)L2(O) = Re (Rz, z)LN = μ(O1)Re (Rz, z) ;;: L2(Ω) ;;: c z 2 = c z 2 L2(O) LN = c z 2 2 (O1) = cμ(O1)|z|2 (z ∈ CN ). Таким образом, матрицы R + R∗ положительно определены равномерно по N. Остается применить лемму 2.2. Перейдем теперь к формулировке необходимых и достаточных условий сильной эллиптичности уравнения (2.1) при постоянных коэффициентах aαβj в операторах Rαβ : ARu(x) ≡ \ |α|,|β| m DαRαβ Dβ u(x) = f (x) (x ∈ Ω), (2.13) Rαβ v(x) = \ aαβj v(q-j x), aαβj ∈ C. (2.14) j Символом уравнения (2.13) будем называть выражение aR(λ, ξ) = \ |α|,|β|=m \ aαβj λj ξα+β (λ ∈ C, ξ ∈ Rn). j Начнем с теоремы о достаточных условиях. Отметим, что эти достаточные условия не зависят от рассматриваемой области Ω, которая может быть совершенно произвольной. Теорема 2.1. Если выполнено неравенство Re aR(λ, ξ) > 0 (|λ| = qn/2, |ξ| = 1), (2.15) то для любой ограниченной области Ω уравнение (2.13) является сильно эллиптическим в Ω. Доказательство. Легко видеть, что младшие члены оператора в уравнении (2.13) не влияют на выполнение неравенства (2.4), а лишь изменяют значения постоянных c1 и c2. Действительно, интегрируя по частям с учетом финитности функции u, применяя неравенство Коши-Буняковского, ограниченность операторов Rαβ в L2(Ω) и известное интерполяционное неравенство [1] 2 t u Hm-1(Ω) cΩ,m( u Hm(Ω) + tm u L (Ω)), (2.16) в котором постоянная cΩ,m > 0 не зависит от u ∈ Hm(Ω) и t > 0, будем иметь \ /DαRαβ Dβ u, u = \ /Rαβ Dβ u, Dαu |α|+|β|<2m L2(Ω) |α|+|β|<2m / L2(Ω) u M u Hm(Ω) u Hm-1(Ω) M1t-1 2 Hm(Ω) 2 + tm u Hm(Ω) u L (Ω) с некоторой постоянной M1 > 0. Отсюда с использованием неравенства 2ab εa2 + ε-1b2 (a ;;: 0,b ;;: 0,ε > 0) приходим к оценке \ /DαRαβ Dβ u, u M1 /2t-1 u 2 + t2m-1 u 2 |α|+|β|<2m L2(Ω) Hm(Ω) L2(Ω) 0 для всех u ∈ C∞(Ω) и t > 0 (положили ε = t-m). Взяв теперь t достаточно большим, например, t ;;: 4M1/c1, получаем требуемое утверждение. Таким образом, вопрос сводится лишь к оценке старшей части оператора AR. Очевидно, aR(λ, ξ) = \ |α|,|β|=m rαβ (λ)ξα+β = \ |α|,|β|=m rβα(λ)ξα+β , 2.1. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 57 поэтому 2 Re aR(λ, ξ) = \ |α|,|β|=m /rαβ (λ)+ rβα(λ) ξα+β . Кроме того, подставляя λ вместо λ в условие (2.15) и вводя обозначение r˜αβ (λ) = rαβ (λ) (выражение r˜αβ (λ) - символ оператора R αβ ), перепишем это условие в эквивалентной форме \ |α|,|β|=m /r˜αβ (λ)+ r˜βα(λ) ξα+β > 0 (|λ| = qn/2, |ξ| = 1). (2.17) В скалярном произведении (ARu, u)L2(Ω) рассмотрим слагаемые, входящие в старшую часть оператора AR. Перейдем к преобразованию Фурье. После интегрирования по частям с учетом supp u ⊂ Ω и применения теоремы Планшереля получаем (суммирование проводится по всем мультииндексам α и β таким, что |α| = |β| = m) 2 Re \ /DαRαβ Dβ u, u L2(Ω) βα = \ /(Rαβ + R∗ )Dβ u, Dαu = L2(Rn) βα = \((R αβ + R ∗ L ( n) )(ξβ u˜), ξαu˜) = 2 R = \ / βα ξ β m R αβ + R ∗ |ξ|mu˜, α m ξ |ξ|mu˜ = |ξ| |ξ| L2(Rn) = \ / βα ξ R αβ + R ∗ α+β 2m |ξ|m u˜, |ξ |mu˜ = |ξ| L2(Rn) βα = /\(R αβ + R ∗ )Gα+β (|ξ|mu˜), |ξ|mu˜ L2(Rn) . (2.18) Существенным здесь является то, что операторы вида (2.8) (Rαβ или R αβ ) коммутируют с операторами умножения на однородные функции нулевой степени. Остается воспользоваться соотношением (2.17) и леммой 2.1. Продолжая (2.18), будем иметь /\(R αβ + R ∗ )Gα+β (|ξ|mu˜), |ξ|mu˜ ;;: cI|ξ|mu˜I2 ;;: c u 2 (2.19) βα L2(Rn) I IL2(Rn) 1 Hm (Ω) по теореме Планшереля и теореме об эквивалентных нормах в H˚m(Ω). Теорема доказана. Достаточное условие (2.15) кажется весьма грубым, поскольку оно не учитывает вид области Ω и, кроме того, положительность символа проверяется на всем прямом произведении σ(P ) × Sn-1, а не на компакте K, который есть, вообще говоря, подмножество σ(P ) × Sn-1. Тем не менее, для областей, содержащих начало координат, это условие оказывается и необходимым для сильной эллиптичности. Теорема 2.2. Пусть уравнение (2.13) сильно эллиптическое в Ω и 0 ∈ Ω. Тогда Re aR(λ, ξ) > 0 (|λ| = qn/2, |ξ| = 1). Доказательство. Интегрируя в (2.4) по частям и оценивая младшие члены уравнения, будем иметь Re \ / Dβ u, Dαu ;;: c u 2 - c4 u 2 (2.20) |α|,|β|=m Rαβ L2(Ω) 3 Hm(Ω) L2(Ω) 0 с некоторыми не зависящими от u ∈ C∞(Ω) постоянными c3 > 0, c4 ;;: 0. Зафиксируем лежащую в Ω шаровую окрестность B начала координат и натуральное N. Обозначим N O1 = B \ q-1B, Ok = q1-k O1, k = 2,..., N, O = I Ok . k=1 Будем подставлять в неравенство (2.20) функции с носителями в O, u ∈ C∞(O) ⊂ C∞(Ω). По 0 0 каждой такой функции u(x) строим вектор-функцию (см. (2.9)) 0 w = (w1 ... wN )T ∈ C∞,N (O1), wk (x) = qm(k-1)uk (x) (x ∈ O1; k = 1,...,N ). 58 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ Для всех мультииндексов α, |α| = m, справедливы соотношения / - (Dαu)k (x) = qn(1-k)/2Dαu(y) |y=q1 k x= qm(k-1)qn(1-k)/2Dα u(q 1-k x) = = qm(k-1)Dαuk (x) = Dαwk (x), т. е. функции Dαu отвечает вектор-функция Dαw в области O1. Отсюда на основании соотношений (2.10), (2.11) получаем (Rαβ Dβ u, Dαu)L (Ω) = (Rαβ Dβ u, Dαu)L (O) = (Rαβ Dβ w, Dαw) N , 2 2 L2 (O1) u 2 \ Hm(Ω) ∼ Dαu L (O) 2 = \ 2 \ N (Dα 2 u)k L (O ) = |α|=m 2 1 |α|=m k=1 N \ 2 \ = \ Dαwk L (O ) = 2 L α D w ∼ w 2 m,N , |α|=m k=1 2 1 |α|=m 2 N (O1) H (O1) u 2 L2(Ω) = \ uk L (O ) N 2 2 1 k=1 N = \ q k=1 2m(1-k) 2 wk L2(O1) w LN 2 2 (O1). Теперь неравенство (2.20) может быть переписано в виде Re \ |α|,|β|=m /Rαβ Dβ w, Dαw 2 LN (O1) ;;: c5 w 2 H m,N (O1) - c4 w 2 N , L2 (O1) 0 где w ∈ C∞,N (O1) - произвольная вектор-функция, а c4, c5 не зависят от N и w. Отсюда и из классических результатов о сильно эллиптических системах [10] следует, что для всех натуральных N матричный оператор ), |α|,|β|=m DαRαβ Dβ - сильно эллиптический: \ |α|,|β|=m αβ ξα+β ((Rαβ + R∗ )z, z) ;;: c5|ξ|2m|z|2 (ξ ∈ Rn, z ∈ CN ). Другими словами, для каждого 0 /= ξ ∈ Rn матрицы \ |α|,|β|=m αβ ξα+β (Rαβ + R∗ ) положительно определены равномерно по N. По лемме 2.1 оператор \ |α|,|β|=m αβ ξα+β (Rαβ + R∗ ) : L2(Rn) → L2(Rn) положительно определен. Будучи оператором вида (2.8) (ξ здесь - фиксированный вектор), он имеет символ с положительной вещественной частью: Теорема доказана. Re \ |α|,|β|=m rαβ (λ)ξα+β > 0 (|λ| = qn/2). Замечание 2.1. В случае постоянных коэффициентов неравенство (2.15) является критерием сильной эллиптичности уравнения (2.13) в Ω для произвольной ограниченной области Ω, содержащей начало координат. Требование Ω ⊂ qΩ нигде не использовалось. Замечание 2.2. Из доказательства теорем 2.1 и 2.2 видно, что в случае отсутствия младших членов сильно эллиптическое уравнение (2.13) удовлетворяет неравенству (2.4) при постоянной c2 = 0. 2.1. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 59 Пример 2.1. Выясним, при каких значениях комплексных параметров a1, a2 уравнение ∂2 ( ) ∂2 ( ) 1 - ∂x2 u(x)+ a1u(x/2) 2 - ∂x2 u(x)+ a2u(x/4) = f (x) будет сильно эллиптическим в круге {|x|2 = x2 + x2 1 . Выпишем символ уравнения: 1 2 a1 a2 aR(λ, ξ) = /1+ 1 λ ξ2 + /1+ 2 2 λ2 ξ2. 4 В силу теорем 2.1, 2.2 вопрос сводится к проверке условия Re aR(λ, ξ) > 0 на множестве |λ| = 2, |ξ|2 = ξ2 + ξ2 = 1. 1 2 Записывая a1 = |a1|eiθ1 , a2 = |a2|eiθ2 , λ = 2eiθ , после элементарных преобразований приходим к неравенству (1 + |a1| cos(θ + θ1))ξ2 + (1+ |a2| cos(2θ + θ2))ξ2 > 0, 1 2 которое должно выполняться при всех θ ∈ R, ξ2 + ξ2 = 1. Оно равносильно системе 1 2 (1 + |a1| cos(θ + θ1)) > 0, (1 + |a2| cos(2θ + θ2)) > 0 (θ ∈ R), которая дает следующие необходимые и достаточные условия сильной эллиптичности: |a1| < 1, |a2| < 1. Пример 2.2. Рассмотрим тот же вопрос для уравнения ∂2 ( - ∂x2 ) ∂ u(x)+ a1u(x/3) + ∂x (∂u(x)/∂x2)+2 ∂2 ( u(x)+ a2u(x/3)) = f (x) 1 1 при |x1| < 1, |x2| < 1. Имеем a1 2 ∂x2 / a2 aR(λ, ξ) = /1+ 1 λ ξ2 + ξ1ξ2 +2 3 2 1+ λ ξ2, 3 так что сильная эллиптичность равносильна требованию (1 + |a1| cos(θ + θ1))ξ2 + ξ1ξ2 + 2(1 + |a2| cos(θ + θ2))ξ2 > 0 (θ ∈ R, ξ2 + ξ2 = 1). Матрица 1 2 1 2 (1 + |a1| cos(θ + θ1)) 1/2 1/2 2(1 + |a2| cos(θ + θ2)) квадратичной формы при всех θ ∈ R должна быть положительной, т. е. должны выполняться условия |a1| < 1, |a2| < 1 и 1 (1 + |a1| cos(θ + θ1))(1 + |a2| cos(θ + θ2)) > 8 (θ ∈ R). Рассмотрим последнее неравенство в случае вещественных параметров, 1 (1 + a1t)(1 + a2t) > 8 (|t| 1). На квадрате {|a1| < 1, |a2| < 1} оно равносильно системе 1 1 (1 + a1)(1 + a2) > 8 , (1 - a1)(1 - a2) > 8 . В результате для вещественных параметров получается следующая область сильной эллиптичности: √7 8a1 +7 8a1 - 7 √ - |a1| < 2 , 2 8a1 < a2 < . +8 8a1 - 8 60 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В этом разделе исследуется проблема коэрцитивности для функционально-дифференциального оператора AR, заданного формулами (2.1), (2.3), с переменными коэффициентами в операторах Rαβ . Будут получены необходимые условия и ряд достаточных условий сильной эллиптичности. Требование Ω ⊂ qΩ для этого раздела будет существенным, и мы считаем его выполненным. Следует отметить, что результат предыдущего раздела на переменные коэффициенты непосредственно не обобщается: неверно было бы требовать выполнения похожего на (2.15) неравенства Re aR(x, λ, ξ) > 0 (x ∈ Ω, |λ| = qn/2, |ξ| = 1) с «замороженными» в каждой точке области коэффициентами aαβj (x) (будет приведен соответствующий пример). Кроме того, как уже отмечалось выше, переход к переменным коэффициентам представляет определенную техническую трудность, связанную с тем, что в рассматриваемой ситуации (область содержит начало координат - неподвижную точку для преобразования сжатия) метод локализации не работает. Тем не менее, вывод необходимых условий сильной эллиптичности вполне аналогичен рассуждениям предыдущего раздела и основан на сведении к сильно эллиптическим системам дифференциальных уравнений. Для получения достаточных условий применяется иной метод исследования, основанный на специальном разложении функциональнодифференциального оператора с переменными коэффициентами и использовании элементов теории псевдодифференциальных операторов. В случае постоянных коэффициентов все найденные в этом разделе условия совпадают и превращаются в условие (2.15). Начнем с необходимых условий. Определим область ΩN = Ω \ q-N Ω для всякого натурального числа N. Каждой функции 2 u ∈ L2(ΩN ) поставим в соответствие вектор-функцию u ∈ LN (Ω1) по формуле u(x) = (u1(x),..., uN (x))T , uk (x) = qn(1-k)/2u(q1-k x), x ∈ Ω1, k = 1,..., N, имея при этом (u, v)L2(ΩN ) = (u, v)LN N = \(uk , vk )L (Ω ). По оператору R вида (2.3), 2 (Ω1) 2 1 k=1 Ru(x) = \ aj (x)u(q-j x), j построим в Ω1 матрицы-функции размера N × N, N = 1, 2,..., ⎛ a0(x) qn/2a1(x) qna2(x) ... ⎞ q-n/2a 1(q-1x) a0(q-1x) qn/2a1(q-1x) ... ⎜ . RN (x) = ⎜ n - 2 ⎟ n/2 2 2 ⎟ ⎜ q- a-2(q- x) q- a-1(q- x) a0(q- x) ... ⎟ ⎝ . . . . . . ⎠ Мы рассматриваем R как ограниченный оператор в L2(Ω) и в L2(ΩN ) для каждого фиксированного N, предполагая, что функция u продолжена в Rn нулем вне Ω (ΩN ), а функция Ru сужается на Ω (ΩN ). Имея это в виду, нетрудно проверить аналогично предыдущему разделу, что соотношение Ru = v для функций u, v ∈ L2(ΩN ) может быть записано в эквивалентной форме RN u = v. Другими словами, оператор R по-прежнему действует как умножение на матрицу RN (x) при таком векторном представлении. Отличие от предыдущего раздела состоит лишь в том, что матрицы RN сейчас переменные, но это никак не сказывается на выводе утверждения о положительной определенности функционального оператора при условии равномерной положительной определенности семейства матриц. Следующая лемма аналогична лемме 2.2. N Лемма 2.4. Пусть матрицы RN (x)+R∗ (x) положительно определены равномерно по N и x, т. е. существует постоянная C > 0 такая, что неравенство Re (RN (x)z, z) ;;: C|z|2 выполняется для всех N = 1, 2,..., z ∈ CN и x ∈ Ω1. Тогда оператор R + R∗ : L2(Ω) → L2(Ω) положительно определен. 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 61 Доказательство. Зафиксируем натуральное N и возьмем произвольную функцию u ∈ L2(Ω) такую, что u = 0 в q-N Ω. В условиях леммы 1 2 (Ω1) 2 ((R + R∗)u, u)L2(Ω) = Re (RN u, u)LN r = Re (RN (x)u(x), u(x)) dx ;;: r ;;: C Ω1 LN | | u(x) 2dx = C u 2 2 (Ω1) Ω1 = C u 2 L2(Ω). Поскольку N можно выбрать сколь угодно большим, функция u пробегает всюду плотное подмножество в L2(Ω), и лемма тем самым доказана. Теорема 2.3. Пусть уравнение (2.1) сильно эллиптическое в Ω ⊂ qΩ. Тогда оператор \ |α|,|β|=m αβ ξα+β (Rαβ + R∗ ) : L2(Ω) -→ L2(Ω) положительно определен при всяком ненулевом векторе ξ ∈ Rn. Доказательство. После интегрирования по частям слева в неравенстве (2.4) и оценки младших членов оператора AR обычным способом, используя ограниченность операторов Rαβ в L2(Ω) и интерполяционное неравенство (2.16), будем иметь Re \ (Rαβ Dβ u, Dαu)L (Ω) ;;: c3 u 2 - c4 u 2 (2.21) |α|,|β|=m 2 Hm(Ω) L2(Ω) 0 с постоянными c3 > 0 и c4 ;;: 0, не зависящими от u ∈ C∞(Ω). Зафиксируем N и x0 ∈ Ω1. Пусть U = U (x0) - (шаровая) окрестность точки x0 такая, что U ⊂ Ω1. С этого момента мы будем рассматривать неравенство (2.21) лишь для C∞-функций с N носителями в J q1-k U. Переходя к векторным обозначениям, мы показываем, как при доказаk=1 тельстве теоремы 2.2, что из (2.21) вытекает неравенство r 2 2 LN Re \ Ω1 |α|,|β|=m (Rαβ,N (x)Dβ w(x), Dαw(x)) dx ;;: c3 \ |α|=m Dαw 2 (Ω1) - c4 w 2 LN (Ω1) (2.22) для вектор-функции w(x) = (w1(x),..., wN (x))T , wk (x) = qm(k-1)uk (x) (x ∈ Ω1; k = 1,...,N ). 0 По построению, w - произвольный элемент пространства C∞,N (U ). Поскольку матрицы Rαβ,N (x) непрерывно зависят от точки x ∈ Ω1, можно выбрать окрестность U настолько малой, чтобы иметь r Re c3 \ ((Rαβ,N (x) - Rαβ,N (x0))Dβ w(x), Dαw(x)) dx α 2 \ D w N (2.23) U |α|,|β|=m 2 |α|=m L2 (U ) 0 при w ∈ C∞,N (U ). Величина этой окрестности зависит от N. Из (2.22) и (2.23) следует, что Re r \ c3 (Rαβ,N (x0)Dβ w(x), Dαw(x)) dx ;;: 2 α 2 \ D w LN - c4 w 2 N (2.24) U |α|,|β|=m |α|=m 2 (U ) L2 (U ) 0 для всех вектор-функций w ∈ C∞,N (U ). Радиус h окрестности U = Uh(x0) точки x0, в которой уравнению (2.1) отвечает полученная сильно эллиптическая система из N дифференциальных уравнений с «замороженными» в точке x0 коэффициентами, уменьшается, вообще говоря, с ростом N. Однако, это не оказывает влияния на константу c3 сильной эллиптичности. Чтобы убедиться в этом, мы используем известное рассуждение для сильно эллиптических систем [10]: рассмотрим замену переменных y = t(x - x0), t ;;: 1, отображающую шар Uh(x0) на шар Uth(0). 62 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ Пространство C∞,N (Uh(x0)) вектор-функций w(x) перейдет в пространство C∞,N (Uth(0)) функ- 0 ций v(y) = w(x0 + y/t). При этом Dα x w(x) = tm y Dαv(y) и dx = t-n 0 dy. Переходя к новой переменной y в интегралах в неравенстве (2.24), будем иметь r Re \ (Rαβ,N (x0)Dβ v(y), Dαv(y)) dy ;;: |y|<th |α|,|β|=m c3 r ;;: 2 \ |Dα v(y)|2 dy - c4t -2m r |v(y)|2 dy ;;: |y|<th |α|=m |y|<th c3 r ;;: 2 \ |Dα v(y)|2 r dy - c4 |v(y)|2 dy, |y|<th |α|=m |y|<th 0 где v - произвольная вектор-функция из C∞,N (Uth(0)). Поскольку t ;;: 1 можно брать любым, приходим к неравенству r c3 r r Re \ (Rαβ,N (x0)Dβ v(y), Dαv(y)) dy ;;: 2 \ |Dαv(y)|2 dy - c4 |v(y)|2 dy, (2.25) Rn |α|,|β|=m 0 которое выполняется уже для всех v ∈ C∞,N (Rn). Rn |α|=m Rn ∞ n Положим теперь в неравенстве (2.25) v(y) = v(y)z, где v ∈ C0 (R ) - произвольная скалярная функция, а z ∈ CN . Переходя к преобразованию Фурье и применяя теорему Планшереля, будем иметь Re r \ r ξα+β (Rαβ,N (x0)z, z) |v˜(ξ)|2 dξ ;;: / c3 2 |ξ|2m - c4 |z|2|v˜(ξ)|2 dξ. (2.26) Rn |α|,|β|=m Rn 0 Поскольку C∞(Rn) всюду плотно в Hm(Rn), а преобразование Фурье отображает пространство Hm(Rn) гомеоморфно на пространство L2(Rn, dμ), где dμ(ξ) = (1 + |ξ|2)mdξ, множество образов Фурье гладких финитных функций оказывается всюду плотным и в L2(Rn, dμ). Но это означает, что неравенство (2.26) распространяется на все L2(Rn, dμ), так что в качестве v˜(ξ) можно брать характеристическую функцию любого шара Bδ (ξ0). Получаем Re r \ r ξα+β (Rαβ,N (x0)z, z) dξ ;;: / c3 2 |ξ|2m - c4 |z|2 dξ, |ξ-ξ0|<δ |α|,|β|=m |ξ-ξ0|<δ откуда в силу непрерывности вытекает соответствующее неравенство для подынтегральных функций в точке ξ0. Итак, Re \ |α|,|β|=m c3 ξα+β (Rαβ,N (x0)z, z) ;;: / 2 |ξ|2m - c4 |z|2 (ξ ∈ Rn). На множестве |ξ|2m ;;: 4c4/c3 получается c3 Re \ |α|,|β|=m ξα+β (Rαβ,N (x0) z, z) ;;: 4 |ξ|2m|z|2. Из однородности обеих частей этого неравенства по ξ вытекает его справедливость во всем Rn. Поскольку постоянная c3 одна и та же для всех N = 1, 2,..., x0 ∈ Ω1, ξ ∈ Rn, z ∈ CN , лемма 2.4 завершает доказательство. Нетрудно видеть, что в случае постоянных коэффициентов утверждение теоремы 2.3 превращается в неравенство (2.15). Это следует из леммы 2.3. Замечание 2.3. Мы фактически не исследуем матрицы Rαβ,N (x), а лишь используем их, чтобы связать (2.4) с положительной определенностью функционального оператора. 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 63 В оставшейся части раздела общность относительно структуры операторов (2.3) в старшей части будет несколько сужена. А именно, мы будем предполагать эти операторы трехчленными, т. е. иметь дело с уравнением \ |α|,|β| m - Dα / aαβ0(x)Dβ u(x)+ aαβ1(x)Dβ u(q-1x)+ aαβ, 1(x)Dβ u(qx) = f (x) (x ∈ Ω) (2.27) (очевидно, аналогичное ограничение в младших членах не является принципиальным). Адаптируем полученные выше результаты для этого частного случая. Удобно ввести «симметризованные» коэффициенты и соответствующие им символы: - aαβ (x) = Re aαβ0(x), bαβ (x) = (aαβ1(x)+ q-na¯αβ, 1(q-1x))/2, a(x, ξ) = \ |α|,|β|=m aαβ (x)ξα+β , b(x, ξ) = \ |α|,|β|=m bαβ (x)ξα+β . Этих обозначений мы будем далее придерживаться. Поскольку сопряженный в L2(Ω) к оператору имеет вид - Rαβ v(x) = aαβ0(x)v(x)+ aαβ1(x)v(q-1x)+ aαβ, 1(x)v(qx) R∗ αβ v(x) = a¯αβ0(x)v(x)+ q-n 1 a¯αβ,-1(q- x)v(q-1 x)+ qn a¯αβ1(qx)v(qx), теорема 2.3 перепишется в новых обозначениях следующим образом. Теорема 2.4. Пусть уравнение (2.27) сильно эллиптическое в Ω ⊂ qΩ. Тогда функциональный оператор a(x, ξ)I + b(x, ξ)P + P ∗¯b(x, ξ) : L2(Ω) -→ L2(Ω) с параметром ξ положительно определен для всех значений ξ ∈ Sn-1. Здесь под a(x, ξ), b(x, ξ) и ¯b(x, ξ) подразумеваются операторы умножения на соответствующие функции от x в Ω, а ξ играет роль параметра. Полученное необходимое условие удобно записать в несколько измененном, «нормированном» виде. Следствие 2.1. Пусть уравнение (2.27) сильно эллиптическое в Ω ⊂ qΩ. Тогда a(x, ξ) > 0 (x ∈ Ω,ξ ∈ Sn-1) (2.28) и функциональный оператор I + ρ(x, ξ)P + P ∗ρ¯(x, ξ) : L2(Ω) -→ L2(Ω), (2.29) где b(x, ξ) ρ(x, ξ) = ja(x, ξ)a(q-1x, ξ) , (2.30) положительно определен для всех значений параметра ξ ∈ Sn-1. Доказательство. Для всех v ∈ L2(Ω) имеем L2(Ω) ;;: γ|ξ|2m v L (Ω), (2.31) 2 ((a(· , ξ)I + b(· , ξ)P + P ∗¯b(· , ξ)) v, v) 2 где постоянная γ > 0 не зависит от v. Рассмотрим любой шар B ⊂ Ω такой, что 0 ∈/ B и настолько малый, чтобы B ∩ qB = ∅. В силу последнего соотношения неравенство (2.31) на функциях v ∈ L2(B) (и равных нулю вне B) превращается в неравенство 2m ((a(· , ξ)v, v)L2(B) ;;: γ|ξ| 2 v L2(B) (v ∈ L2(B)), означающее, что a(x, ξ) ;;: γ|ξ|2m в B. Эта оценка, полученная для всех 0 /= x ∈ Ω, по непрерывности продолжается на Ω. С другой стороны, очевидно, существует постоянная Γ > 0 такая, что a(x, ξ) Γ|ξ|2m для всех x ∈ Ω и ξ ∈ Rn. Теперь подставим в (2.31) вместо v ∈ L2(Ω) функцию v(x) ja(x, ξ) . Будем иметь / 1 ja(· , ξ) (a(· , ξ)I + b(· , ξ)P + P ∗¯b(· , ξ) ) 1 ja(· , ξ) v, v \ L2(Ω) ;;: 64 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ I I2 I I ;;: γ|ξ|2m I v I γ ;;: v 2 . Ija(· , ξ) I Γ L2(Ω) I Остается лишь заметить, что 1 1 IL2(Ω) P 1 1 P ja(x, ξ) = ja(q-1x, ξ) P, ∗ ja(x, ξ) = P ∗ ja(q-1x, ξ) . Лемма доказана. Далее считаем условие (2.28) выполненным. Рассмотрим оператор (2.29). Если предположить, что символ ρ не зависит от x, ρ = ρ(ξ), то, будучи положительно определенным в L2(Ω), оператор I + ρ(ξ)P + P ∗ρ¯(ξ) по лемме 2.3 положительно определен и в L2(Rn) при произвольном ненулевом векторе ξ ∈ Rn, так что все сводится к алгебраическому неравенству 1+2 Re(ρ(ξ)λ) > 0 на множестве |λ| = qn/2,ξ ∈ Sn-1. Последнее неравенство есть в точности 2qn/2|ρ(ξ)| < 1 при всех ξ ∈ Sn-1. Если же ρ = ρ(x, ξ), то непосредственная проверка положительной определенности оператора (2.29) затруднительна. В качестве следствия можно пользоваться положительной определенностью всех матриц ⎛ 1 qn/2ρ(x, ξ) 0 0 ... ⎞ ⎜ qn/2ρ¯(x, ξ) 1 qn/2ρ(q-1x, ξ) 0 ... ⎟ ⎟ , (2.32) ⎟ ⎜ ⎜ 0 qn/2ρ¯(q-1x, ξ) 1 qn/2ρ(q-2x, ξ) ... ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 qn/2ρ¯(q-2x, ξ) 1 ... ⎟ ⎝ . . . . . . . ⎠ которые строятся по оператору (2.29) в соответствии с правилом, описанным в начале этого раздела. Имеет смысл выписать несколько первых определителей, чтобы увидеть, какие при этом получаются необходимые условия: qn|ρ(x, ξ)|2 < 1, qn (|ρ(x, ξ)|2 + |ρ(q-1x, ξ)|2) < 1, (2.33) qn ( |ρ(x, ξ)|2 + |ρ(q-1x, ξ)|2 + |ρ(q-2x, ξ)|2) < 1+ q2n|ρ(x, ξ)|2|ρ(q-2x, ξ)|2 и т. д. Неравенства должны выполняться для всех x ∈ Ω, ξ ∈ Sn-1. Приведем еще одно элементарное следствие из положительной определенности оператора (2.29). Следствие 2.2. Пусть оператор (2.29) положительно определен. Тогда 2qn/2|ρ(0, ξ)| < 1 (ξ ∈ Sn-1). Доказательство. Имеем r (v(x)+ ρ(x, ξ)v(q-1x)+ qnρ¯(qx, ξ)v(qx)) v(x) dx ;;: γ r Ω Ω |v(x)|2 dx для всех v ∈ L2(Ω). Для функций v с носителями в шаре |x| < h (при малых h шар лежит в Ω в силу условия Ω ⊂ qΩ) получаем или r |x|<h (v(x)+ ρ(x, ξ)v(q-1x)+ qnρ¯(qx, ξ)v(qx)) v(x) dx ;;: γ r |x|<h |v(x)|2 dx, r |x|<h (v(x)+ ρ(0, ξ)v(q-1x)+ qnρ¯(0, ξ)v(qx)) v(x) dx + 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 65 r + |x|<h r (ρ(x, ξ) - ρ(0, ξ))v(q-1x)v(x) dx + r + |qx|<h qn(ρ¯(qx, ξ) - ρ¯(0, ξ))v(qx)v(x) dx ;;: γ |x|<h |v(x)|2 dx. Из равномерной непрерывности ρ(x, ξ) на компакте Ω × Sn-1 следует, что сумма второго и третьего слагаемых в левой части последнего неравенства не превосходит (γ/2) v 2 L2(|x|<h) , если h достаточно мало. Таким образом, r |x|<h (v(x)+ ρ(0, ξ)v(q-1x)+ qnρ¯(0, ξ)v(qx)) v(x) dx ;;: γ 2 r |x|<h |v(x)|2 dx для всех v ∈ L2(|x| < h), т. е. оператор I + ρ(0, ξ)P + P ∗ρ¯(0, ξ) положительно определен в L2(|x| < h) при ξ ∈ Sn-1. По лемме 2.3 он будет положительно определен и в L2(Rn), что равносильно условию 2qn/2|ρ(0, ξ)| < 1, ξ ∈ Sn-1. Устанавливаемые ниже в этом разделе достаточные условия сильной эллиптичности уравнения (2.27) также имеют вид некоторых оценок сверху символа ρ(x, ξ). Прежде чем переходить к формулировке этих условий, докажем несколько вспомогательных утверждений. Замечание 2.4. Легко видеть, что разность DαRαβ Dβ u - Dβ Rαβ Dαu содержит производные функции u лишь до порядка 2m - 1. Поэтому с точностью до слагаемых, оценивающихся произведением u Hm(Ω) u Hm-1(Ω) и не влияющих на выполнение неравенства типа Гординга (см. доказательство теоремы 2.1), выражение 2 Re (ARu, u)L2(Ω), отвечающее урав- 0 нению (2.27), совпадает на функциях u ∈ C∞(Ω) с выражением \ |α|,|β|=m 2 (DαRαβ Dβ u, u)L (Ω) + \ |α|,|β|=m (Dβ Rαβ Dαu, u) L2(Ω) = = \ |α|,|β|=m 2 (DαRαβ Dβ u, u)L (Ω) + \ |α|,|β|=m αβ (u, DαR∗ Dβ u) = L2(Ω) = \ |α|,|β|=m αβ (Dα(Rαβ + R∗ )Dβ u, u) L2(Ω). Поэтому оператор AR в скалярном произведении можно заменить однородным порядка 2m оператором \ |α|,|β|=m Dα (aαβ (x)I + bαβ (x)P + P ∗¯bαβ (x)) Dβ = = \ |α|,|β|=m Dαaαβ (x)Dβ + \ |α|,|β|=m qmDαbαβ (x)Dβ P + P ∗ \ |α|,|β|=m qmDα¯bαβ (x)Dβ . Последний, в свою очередь, можно заменить на оператор a(x, D)+ qmb(x, D)P + P ∗qm¯b(x, D), где a(x, D), b(x, D) и ¯b(x, D) - дифференциальные операторы с символами a(x, ξ), b(x, ξ) и ¯b(x, ξ) (разница получается опять лишь в младших членах). Итак, в (2.4) вместо (ARu, u)L2(Ω) мы будем рассматривать скалярное произведение L2(Ω) ((a(· , D)+ qmb(· , D)P + P ∗qm¯b(· , D))u, u) . 66 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ Лемма 2.5. Предположим, что для области Ω выполнено более сильное условие: Ω ⊂ κΩ для всех κ > 1. Предположим также, что существует такое число h, 0 < h < 1, что для всех κ > 1 выполняется оценка L2(κ-1Ω) Re ((a(· , D)+ qm(1 - h)-1b(· , D)P + P ∗qm(1 - h)-1¯b(· , D)) u, u) ;;: 0 ;;: -c(κ) u Hm(κ-1Ω) u Hm-1(κ-1Ω) (u ∈ C∞(κ-1Ω)), (2.34) 0 в которой постоянная c(κ) зависит лишь от κ, но не зависит от функции u ∈ C∞(κ-1Ω). Тогда уравнение (2.27) - сильно эллиптическое в Ω. Доказательство. Условие (2.28) означает, что дифференциальный оператор a(x, D) - сильно эллиптический в Ω. Поэтому [70] для него неравенство Гординга уже выполнено: существуют такие постоянные c3 > 0, c4 ;;: 0, что 2 2 ∞ Re (a(· , D)u, u)L2(Ω) ;;: c3 u Hm(Ω) - c4 u L2(Ω) (u ∈ C0 (Ω)). Взяв h из условия леммы, на функциях с носителями в κ-1Ω будем иметь L2(Ω) Re ((a(· , D)+ qmb(· , D)P + P ∗qm¯b(· , D))u, u) Hm(Ω) ;;: c3h u 2 2 - c4h u L2(Ω) + qmb(· , D) qm¯b(· , D) + (1 - h)Re a(· , D)+ P + P ∗ 1 - h 1 - h u, u L2(Ω) ;;: Hm(Ω) ;;: c3h u 2 L2(Ω) - c4h u 2 - c(κ) u Hm(Ω) u Hm-1(Ω). (2.35) Оценим последний член в правой части (2.35), пользуясь интерполяционным неравенством (2.16) и элементарным алгебраическим неравенством 2ab t-ma2 + tmb2 (a ;;: 0,b ;;: 0,t > 0). Получим c(κ) u Hm(Ω) u Hm-1(Ω) c(κ)cΩ,mt-1 u / 2 Hm(Ω) 2 + tm u Hm(Ω) u L (Ω) Hm(Ω) c(κ)cΩ,mt-1 /2 u 2 + t u = 2m 2 L2(Ω) 2m-1 = c3h 2 2 u Hm(Ω) + (c(κ)cΩ,m) 2 2m 4 c3h u L2(Ω), если взять t = 4c(κ)cΩ,m/(c3h). Отсюда и из (2.35) вытекает L2(Ω) Re ((a(· , D)+ qmb(· , D)P + P ∗qm¯b(· , D))u, u) 2m-1\ ;;: c3h 2 / 2m 4 2 ;;: 2 u Hm(Ω) - c4h + (c(κ)cΩ,m) c3h u L2(Ω) 0 на функциях u ∈ C∞(κ-1Ω). Последнее неравенство с учетом замечания 2.4, касающегося оценки младших членов оператора, означает существование таких постоянных c5 > 0, c6 = c6(κ ) ;;: 0, что Re \ r |α|,|β|=m a / αβ0 (x)Dβ u(x)+ a αβ1 (x)Dβ u(q-1x)+ a αβ,-1 (x)Dβ u(qx) × κ-1Ω r × Dαu(x) dx ;;: c5 \ |α|=m r |Dαu(x)|2 dx - c6(κ) |u(x)|2 dx κ-1Ω 0 при всех u ∈ C∞(κ-1Ω). Отметим, что c5 от κ не зависит. 0 Подставляя в это неравенство в качестве функции u ∈ C∞( κ-1Ω κ-1Ω) функцию v(κx), где v(x) - 0 любая функция из C∞(Ω), будем иметь Re \ |α|,|β|=m r κ2m κ-1Ω a / αβ0 1. Dβ v(κx)+ a αβ1 (x)Dβ v(q-1κx)+ β + aαβ,-1(x)D v(qκx) Dαv(κx) dx ;;: 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 67 ;;: c5 \ r κ2m r |Dαv(κx)|2 dx - c6(κ) |v(κx)|2 dx, |α|=m κ-1Ω κ-1Ω а после замены переменных y = κx - Re \ r /a αβ0 (κ-1y)Dβ v(y)+ a αβ1 (κ-1y)Dβ v(q-1y)+ |α|,|β|=m Ω + aαβ,-1(κ- r 1y)Dβ v(qy) Dαv(y) dy ;;: r ;;: c5 \ |α|=m Ω |Dαv(y)|2 dy - c6(κ)κ-2m Ω |v(y)|2 dy. Из равномерной непрерывности коэффициентов aαβj (y) в Ω следует, что для любого ε > 0 можно выбрать κ настолько близким к 1, что погрешность левой части последнего неравенства при замене Hm(Ω) aαβj (κ-1y) на aαβj (y) не будет превышать ε u 2 . Зафиксировав такое число κ, получаем Re \ r /a αβ0 2. Dβ v(y)+ a αβ1 (y)Dβ v(q-1y)+ a αβ,-1 (y)Dβ v(qy) Dαv(y) dy ;;: |α|,|β|=m Ω r ;;: (c5 - ε) \ r |Dαv(y)|2 dy - c6(κ)κ-2m |v(y)|2 dy, |α|=m Ω Ω т. е. соответствующее неравенство для Ω (с измененными константами). Лемма 2.6. Пусть Ω ⊂ qΩ и выполнено условие 2qn/2|ρ(x, ξ)| < 1 (x ∈ Ω, ξ ∈ Sn-1). (2.36) Тогда существуют такие функции ω, η ∈ C∞ (Ω × Sn-1) , что имеет место разложение I + ρ(x, ξ)P + P ∗ρ¯(x, ξ) = (ω(x, ξ)I + η(x, ξ)P ) (ω¯(x, ξ)I + P ∗η¯(x, ξ)) . (2.37) Доказательство. После раскрытия скобок справа в (2.37) и приравнивания соответствующих коэффициентов получаем систему функциональных уравнений, которой должна удовлетворять пара функций (ω, η): |ω(x, ξ)|2 + qn|η(x, ξ)|2 = 1, η(x, ξ)ω¯(q-1x, ξ) = ρ(x, ξ). (2.38) Надо доказать существование гладкого решения этой системы в Ω × Sn-1. Из системы очевидным образом получается уравнение |ω(q-1x, ξ)|2(1 - |ω(x, ξ)|2) = qn|ρ(x, ξ)|2. Обозначим |ω(x, ξ)|2 = y(x, ξ). Мы ищем гладкое неотрицательное решение функционального уравнения Рассмотрим множество y(q-1x, ξ)(1 - y(x, ξ)) = qn|ρ(x, ξ)|2. (2.39) M = {y ∈ C (Ω × Sn-1) : y(x, ξ) ;;: 1/2 . Будучи замкнутым подмножеством банахова пространства C (Ω × Sn-1) , оно является полным метрическим пространством. Определим отображение n T : M → C (Ω × Sn-1) , Ty(x, ξ) = 1 - q |ρ(x, ξ)|2 . (2.40) Благодаря условию (2.36) имеем T : M → M. Кроме того, -1 qn|ρ(x, ξ)|2 y(q-1x, ξ) Ty1 - Ty2 = y (q-1x, ξ)y (q-1x, ξ) (y1(q x, ξ) - y2(q-1 x, ξ)) (y1, y2 ∈ M ), причем 1 2 qn|ρ(x, ξ)|2 4qn ρ(x, ξ)|2 κ < 1 y1(q-1x, ξ)y2(q-1x, ξ) | 68 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ (строгое неравенство (2.36) выполняется на компактном множестве). Отсюда Ty1 - Ty2 C(Ω×Sn-1) κ y1 - y2 C(q-1Ω×Sn-1) κ y1 - y2 C(Ω×Sn-1), / т. е. T есть сжимающее отображение. По теореме Банаха для сжимающих отображений T обладает единственной неподвижной точкой в M. Другими словами, уравнение (2.39) однозначно разрешимо в метрическом пространстве M. Полагая x = 0 в (2.39), мы можем найти «начальное» условие y0(ξ) = y(0, ξ), которому удовлетворяет рассматриваемое решение, из квадратного уравнения y0(1 - y0) = qn|ρ(0, ξ)|2 =⇒ y0(ξ) = 2 1 1+ j1 - 4qn|ρ(0, ξ)|2 . Другой корень уравнения не подходит, поскольку он меньше 1/2. Имеем y0 ∈ C∞ (Sn-1) . Мы собираемся показать, что само решение y принадлежит C∞ (Ω × Sn-1) . Для этого зафиксируем натуральное p и введем банахово пространство B = {h ∈ Cp (Ω × Sn-1) : h(0, ξ) = 0 . Рассмотрим отображение F (h)(x, ξ) = (y0(ξ)+ h(q-1x, ξ))(1 - y0(ξ) - h(x, ξ)) - qn|ρ(0, ξ)|2. Ясно, что F (h) ∈ Cp (Ω × Sn-1) и F (h)(0, ξ) = 0, так что F : B → B. При этом F есть дифференцируемое отображение с F (0) = 0 и (DF (0))h(x, ξ) = (1 - y0(ξ))h(q-1x, ξ) - y0(ξ)h(x, ξ) = -y0(ξ)(h(x, ξ) - s(ξ)h(q-1x, ξ)), где s(ξ) = 1 - y0(ξ) = 1 - j1 - 4qn|ρ(0, ξ)|2 j y0(ξ) 1+ 1 - 4qn|ρ(0, ξ)|2 есть гладкая функция, удовлетворяющая условию 0 s(ξ) s0 < 1 на Sn-1. Легко видеть, что ряд h(x, ξ)+ s(ξ)h(q-1x, ξ)+ s2(ξ)h(q-2x, ξ)+ ... задает ограниченный линейный оператор в B и этот оператор является обратным к h(x, ξ) 1-→ h(x, ξ) - s(ξ)h(q-1x, ξ). Действительно, при указанном выше условии на s(ξ) k-й член ряда и его производные по x и ξ экспоненциально убывают при k → ∞ равномерно в Ω × Sn-1. Поэтому производная в нуле DF (0) : B → B есть линейный гомеоморфизм, а F : B → B - диффеоморфизм некоторой окрестности точки h = 0. Далее, qn|ρ(x, ξ)|2 есть гладкая функция в Ω × Sn-1, причем функция g(x, ξ) = qn|ρ(x, ξ)|2 - qn|ρ(0, ξ)|2 принадлежит B. Отсюда следует, что последняя может быть представлена в виде n \ xig˜i(x, ξ) i=1 с участием гладких в окрестности точки x = 0 функций g˜i. Взяв число L0 > 0 достаточно большим, можно считать, что n g(x, ξ) = \ xig˜i(x, ξ) (x ∈ q-L0 Ω, ξ ∈ Sn-1), i=1 g˜i ∈ C∞ (q-L0 Ω × Sn-1) . (2.41) Рассмотрим функцию g(q-L0 x, ξ) в Ω× Sn-1. Пусть мультииндексы α и β таковы, что |α| +|β| p. Тогда |Dβ Dα(g(q-L0 x, ξ))| = q-L0|β||Dβ Dαg(q-L0 x, ξ)| q-L0 g x ξ x ξ Cp(q-L0 Ω×Sn-1) 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 69 для всех x ∈ Ω и ξ ∈ Sn-1, если |β| /= 0. Если же |β| = 0, то мы используем представление (2.41) и получаем Dα ξ g(q и -L0 ξ x, ξ) = Dα ( n \ i=1 q-L0 xig˜i(q -L0 l x, ξ) n n = q-L0 \ i=1 ξ xiDαg˜i(q -L0 x, ξ) |Dαg(q-L0 x, ξ)| (diam Ω)q-L0 \ g˜i . ξ i=1 Cp(q-L0 Ω×Sn-1) Сейчас ясно, что функция g(q-L0 x, ξ) как элемент пространства B попадет в наперед заданную окрестность точки h =0 в B за счет выбора L0. Возьмем ее прообраз h(x, ξ) при отображении F. Эта функция h из Cp (Ω × Sn-1) удовлетворяет уравнению (y0(ξ)+ h(q-1x, ξ))(1 - y0(ξ) - h(x, ξ)) = g(q-L0 x, ξ)+ qn|ρ(0, ξ)|2 в Ω × Sn-1. Переобозначая q-L0 x на x, получим (y0(ξ)+ h(qL0-1x, ξ))(1 - y0(ξ) - h(qL0 x, ξ)) = qn|ρ(x, ξ)|2. Последнее означает, что функция y∗(x, ξ) = y0(ξ)+ h(qL0 x, ξ), принадлежащая пространству Cp (q-L0 Ω × Sn-1) , является решением уравнения (2.39) при всех x ∈ q-L0 Ω, ξ ∈ Sn-1. Мы нашли Cp-решение уравнения (2.39), но пока лишь для x ∈ q-L0 Ω. Это гладкое решение y∗ удовлетворяет «начальному» условию y0 и, значит, y∗ ;;: 1/2 в окрестности начала координат x = 0. Но как мы уже видели (в первой части доказательства), последнее неравенство означает единственность в классе непрерывных функций. Итак, y(x, ξ) совпадает с y∗(x, ξ) в упомянутой выше окрестности, откуда заключаем, что наше глобальное решение y является Cp-гладким при малых значениях |x|. После этого гладкость при всех x ∈ Ω вытекает непосредственно из (2.39), поскольку y(qx, ξ) = 1 - . qn|ρ(qx, ξ)|2 y(x, ξ) Имея решение y ∈ Cp (Ω × Sn-1) , y ;;: 1/2, уравнения (2.39), полагаем ω(x, ξ) = jy(x, ξ), η(x, ξ) = ρ(x, ξ) jy(q-1x, ξ) √ и получаем Cp-решение системы (2.38) при x ∈ Ω, ξ ∈ Sn-1 с ω ;;: 1/ p произвольно. Лемма доказана. 2. Остается вспомнить, что Замечание 2.5. Разрешимость в C∞ (Ω × Sn-1) системы функциональных уравнений (2.38), связанной с разложением (2.37), можно получить при меньшем ограничении на ρ(x, ξ). Предположим вместо (2.36), что 2 qn|ρ(x, ξ)|2 < 1 4 (x ∈ Ω), qn|ρ(x, ξ)|2 < 1 (x ∈ q-1Ω) (2.42) для всех ξ ∈ Sn-1 (до этого было qn|ρ(x, ξ)|2 < 1/4 во всей Ω). Обозначим σ = max Ω×Sn-1 qn|ρ(x, ξ)|2 < 1/2, σ1 = max q-1Ω×Sn-1 qn|ρ(x, ξ)|2 < 1/4. Рассуждения проводятся аналогично доказательству леммы 2.6, только в качестве метрического пространства M следует взять M = {y ∈ C (Ω × Sn-1) : y ;;: 1 - 2σ (x ∈ Ω), y ;;: 1/2 (x ∈ q-1Ω) , а отображение T : M → C (Ω × Sn-1) задать той же формулой (2.40), qn|ρ(x, ξ)|2 Ty(x, ξ) = 1 - y(q-1x, ξ) . 70 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ Неравенства (2.42) гарантируют, что T по-прежнему отображает M в себя: (Ty(x) ;;: 1 - 2σ в Ω, Ty(x) ;;: 1/2, если x ∈ q-1Ω. Однако, в отличие от случая леммы 2.6, сжимающим будет не само отображение T, а некоторая его степень: T 2y1 - T 2y2 = T (Ty1) - T (Ty2) = = qn|ρ(x, ξ)|2 Ty1(q-1x, ξ)Ty2(q-1x, ξ) (Ty1(q-1x, ξ) - Ty2(q-1x, ξ)) = = qn|ρ(x, ξ)|2 Ty1(q-1x, ξ)Ty2(q-1x, ξ) · qn|ρ(q-1x, ξ)|2 y1(q-2x, ξ)y2(q-2x, ξ) (y1(q-2x, ξ) - y2(q-2x, ξ)), ... = qn|ρ(x, ξ)|2 T k y1 - T k y2 = · qn|ρ(q-1x, ξ)|2 × ... T k-1y1(q-1x, ξ)T k-1y2(q-1x, ξ) -k qn|ρ(q1-k x, ξ)|2 T k-2y1(q-2x, ξ)T k-2y2(q-2x, ξ) ... × y (q-k x, ξ)y (q-k x, ξ) (y1(q x, ξ) - y2(q-k x, ξ)). 1 2 В выражении для T k y1 - T k y2 первая дробь не превосходит 2, а остальные (k - 1) дробей не превосходят числа κ = 4σ1 < 1. Таким образом, T y1 - T y2 k k C(Ω×Sn-1) C(Ω×Sn-1) 2κk-1 y1 - y2 , и отображение T k сжимающее при k > 1 - ln 2/ ln κ. Хорошо известно, что существование единственной неподвижной точки гарантируется теоремой Банаха и в рассматриваемой ситуации. Так убеждаемся в существовании непрерывного положительного на компакте Ω× Sn-1 решения y(x, ξ) уравнения (2.39). Доказательство гладкости полученного решения такое же, как в лемме 2.6. Мы показали также, что функция ω(x, ξ) в разложении (2.37) может быть выбрана вещественнозначной и положительной. Умножим теперь обе части формулы (2.37) справа и слева на ja(x, ξ). Получим ja(x, ξ) (I + ρ(x, ξ)P + P ∗ρ¯(x, ξ)) ja(x, ξ) = = a(x, ξ)I + ja(x, ξ)ρ(x, ξ)ja(q-1x, ξ)P + P ∗ja(q-1x, ξ)ρ¯(x, ξ)ja(x, ξ) = = a(x, ξ)I + b(x, ξ)P + P ∗¯b(x, ξ), принимая во внимание определение (2.30) символа ρ(x, ξ). Аналогично, ja(x, ξ) (ω(x, ξ)I + η(x, ξ)P ) = ja(x, ξ)ω(x, ξ)I + ja(x, ξ)η(x, ξ)P, (ω(x, ξ)I + P ∗η¯(x, ξ)) ja(x, ξ) = ja(x, ξ)ω(x, ξ)I + P ∗ja(x, ξ)η¯(x, ξ). Обозначим ω1(x, ξ) = ja(x, ξ)ω(x, ξ), η1(x, ξ) = ja(x, ξ)η(x, ξ). Теперь из леммы 2.6 с учетом замечания 2.5 вытекает Лемма 2.7. Пусть Ω ⊂ qΩ и для всех ξ ∈ Sn-1 выполнено условие (2.42). Тогда существуют такие функции ω1, η1 ∈ C∞ (Ω × Sn-1) , ω1 > 0, что имеет место разложение a(x, ξ)I + b(x, ξ)P + P ∗¯b(x, ξ) = (ω1(x, ξ)I + η1(x, ξ)P ) (ω1(x, ξ)I + P ∗η¯1(x, ξ)) . (2.43) Замечание 2.6. Далее в работе будут использованы элементы теории псевдодифференциальных операторов (ПДО). Перечислим некоторые простейшие факты, касающиеся ПДО. Их можно найти в любой литературе, содержащей исчисление псевдодифференциальных операторов, например, [54, 55]. 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 71 1. Под оператором g(x, D) класса OPSμ, μ ∈ R, мы понимаем непрерывное отображение в пространстве Шварца S(Rn) быстро убывающих функций по формуле r g(x, D)u = (2π)-n/2 Rn g(x, ξ)u˜(ξ)eixξ dξ, где u˜(ξ) означает образ Фурье функции u(x). При этом гладкая в Rn × Rn функция g(x, ξ) x ξ такова, что конечны все полунормы sup /(1 + |ξ|)|α|-μ|DαDβ g(x, ξ)| : x, ξ ∈ Rnl . ξ x 2. Каждый ПДО g(x, D) класса OPSμ продолжается до ограниченного оператора в пространствах Соболева g(· , D) : Hs(Rn) → Hs-μ(Rn) для всех μ, s ∈ R. 3. Композицией ПДО g1(x, D) класса OPSμ1 и g2(x, D) класса OPSμ2 является ПДО g1(x, D)g2(x, D) класса OPSμ1+μ2 такой, что разность между ним и ПДО с символом g1(x, ξ)g2(x, ξ) есть оператор класса OPSμ1+μ2-1. 4. Для каждого ПДО g(x, D) класса OPSμ определен сопряженный (в смысле скалярного произведения в L2(Rn)) ПДО g(x, D)∗, также принадлежащий классу OPSμ. При этом разность между g(x, D)∗ и ПДО с комплексно сопряженным символом OPSμ-1. 5. Соотношение g¯(x, ξ) принадлежит классу Pg(x, D) = g(q-1x, qD)P или g(x, D)P ∗ = P ∗g(q-1x, qD) легко проверяется для любого ПДО g(x, D). Здесь g(q-1x, qD) обозначает оператор с символом g(q-1x, qξ). Далее вместо «ПДО класса OPSμ» мы будем говорить «оператор порядка μ». В следующей ниже теореме устанавливаются достаточные условия сильной эллиптичности уравнения (2.27). Теорема 2.5. Пусть область Ω такова, что Ω ⊂ κΩ для всех κ > 1, а символ ρ(x, ξ), определяемый по формуле (2.30), удовлетворяет условию 2 qn|ρ(x, ξ)|2 < 1 4 (x ∈ Ω), qn|ρ(x, ξ)|2 < 1 (x ∈ q-1Ω) (2.44) для всех ξ ∈ Sn-1. Тогда уравнение (2.27) - сильно эллиптическое в Ω. Доказательство. В силу леммы 2.5, доказательство сильной эллиптичности уравнения (2.27) сводится к получению оценки (2.34) на оператор a(x, D)+ qm(1 - h)-1b(x, D)P + P ∗qm(1 - h)-1¯b(x, D), которому отвечает символ (1 - h)-1ρ(x, ξ). Если условие теоремы 2.5 выполняется для ρ(x, ξ), то при достаточно малом h > 0 оно будет выполнено и для (1 - h)-1ρ(x, ξ) (строгие неравенства выполняются относительно непрерывных на компактах функций). Поэтому, чтобы не вводить новых обозначений, мы без потери строгости можем доказывать соответствующую оценку для исходного оператора a(x, D)+ qmb(x, D)P + P ∗qm¯b(x, D): L2(κ-1Ω) Re ((a(· , D)+ qmb(· , D)P + P ∗qm¯b(· , D)) u, u) ;;: 0 ;;: -c(κ) u Hm(κ-1Ω) u Hm-1(κ-1Ω) (u ∈ C∞(κ-1Ω)). (2.45) Доказательство будет опираться на разложение (2.43), существование которого гарантируется условием теоремы и леммой 2.7. Введем ПДО, отвечающие построенным в леммах 2.6 и 2.7 символам ω1(x, ξ) = ja(x, ξ)ω(x, ξ), η1(x, ξ) = ja(x, ξ)η(x, ξ). ξ n Продолжим функции ω(x, ξ) и η(x, ξ) по ξ со сферы Sn-1 в Rn \ {0} как положительно однородные нулевого порядка. Тогда функции ω1 и η1 естественным образом определены в Ω× Rξ \ {0} и являются положительно однородными порядка m по ξ. Зафиксировав число κ > 1, введем срезающую 72 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ функцию ϕ ∈ C∞(Ω), равную 1 на κ-1Ω. Возьмем также срезающую функцию χ ∈ C∞(Rn), об- 0 ξ ращающуюся в ноль в окрестности начала координат и равную 1 при |ξ| ;;: 1. Определим символы 1(x, ξ) = ϕ(x)χ(ξ)ω1(x, ξ), η1(x, ξ) = ϕ(x)χ(ξ)η1(x, ξ), ω∗ ∗ а через ω∗ (x, D) и η∗ (x, D) обозначим соответствующие ПДО. Через η¯∗ (x, D) мы обозначаем 1 1 1 1 оператор с символом η¯∗ (x, ξ). Эти операторы, очевидно, принадлежат стандартному классу OPSm. Рассмотрим следующий оператор, действующий на функции в Rn: (ω∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 1(x, D)+ η1(x, D)P ) (ω1(x, D)+ P η¯1(x, D)) = = ω∗ (x, D)2 + qnη∗ (x, D)η¯∗ (x, D)+ η∗ (x, D)ω∗ (q-1x, qD)P + P ∗ω∗ (q-1x, qD)η¯∗ (x, D). (2.46) 1 1 1 1 1 1 1 Из (2.43) и свойства композиции ПДО (п. 3 замечания 2.6) следует, что разность между оператором ω∗ 2 n ∗ ∗ и оператором с символом 1(x, D) + q η1(x, D)η¯1(x, D) ω∗ 2 n ∗ 2 2 2 2 n 2) 2 2 1(x, ξ) + q |η1(x, ξ)| = ϕ (x)χ (ξ) (ω1(x, ξ) + q |η1(x, ξ)| = ϕ (x)χ (ξ)a(x, ξ) принадлежит классу OPS2m-1. Кроме того, ϕ2(χ2 - 1)a ∈ OPS-∞, так что ω∗ 2 n ∗ ∗ 2 1(x, D) + q η1(x, D)η¯1(x, D) = ϕ (x)a(x, D)+ g1(x, D) (2.47) с оператором g1 ∈ OPS2m-1. Поскольку a(x, D) есть дифференциальный оператор и ϕ(x) = 1 в κ-1Ω, имеем Далее, 0 ϕ2(x)a(x, D)u = a(x, D)u, u ∈ C∞(κ-1Ω). (2.48) η∗ ∗ -1 -1 -1 1(x, ξ)ω1(q x, qξ) = ϕ(x)ϕ(q x)χ(ξ)χ(qξ)η1(x, ξ)ω1(q x, qξ) = = ϕ(x)χ(ξ)η1(x, ξ)qmω1(q-1x, ξ) = ϕ(x)χ(ξ)qmb(x, ξ) в силу однородности ω1 по ξ и формулы (2.43). Отсюда и из свойства композиции ПДО следует, что третье слагаемое в правой части (2.46) может быть записано в виде η∗ ∗ -1 m 1(x, D)ω1(q x, qD)P = q ϕ(x)b(x, D)P + g2(x, D)P (2.49) с оператором g2 ∈ OPS2m-1. Очевидно, 0 ϕ(x)b(x, D)u|κ-1Ω = b(x, D)u|κ-1Ω, u ∈ C∞(Rn). (2.50) Для четвертого слагаемого справа в (2.46) при помощи аналогичных рассуждений получаем ∗ P ∗ω1(q-1 ∗ x, qD)η¯1(x, D) = P ∗qm ϕ(x)¯b(x, D)+ P ∗g3(x, D) (2.51) с оператором g3 ∈ OPS2m-1. Заметим снова, что 0 ϕ(x)¯b(x, D)u = ¯b(x, D)u, u ∈ C∞(κ-1Ω). (2.52) Собирая вместе (2.46)-(2.52), будем иметь ((ω∗ ∗ )( 1 ) ) 1 L (κ-1Ω) 1(x, D)+ η1(x, D)P ω∗ (x, D)+ P ∗η¯∗ (x, D) u, u = 2 L2(κ-1Ω) = ((a(· , D)+ qmb(· , D)P + P ∗qm¯b(· , D)) u, u) + + ((g1(· , D)+ g2(· , D)P + P ∗g3(· , D))u, u)L2(κ-1Ω) (2.53) 0 для любой функции u ∈ C∞(κ-1Ω). С другой стороны, переходя к сопряженным относительно скалярного произведения в L2(Rn) операторам, получим ((ω∗ ∗ )( 1 ) ) 1 L (κ-1Ω) 1(x, D)+ η1(x, D)P ω∗ (x, D)+ P ∗η¯∗ (x, D) u, u = 2 = ((ω∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗) ) 1(x, D)+ P η¯1(x, D)) u, (ω1(x, D) + P η1(x, D) u L2(Rn) . (2.54) Из представления сопряженного ПДО (п. 4 замечания 2.6) следует, что Таким образом, ω∗ 1(x, D)∗ 1 · ω∗ (x, D) ∈ OPS m-1 1 , η∗ (x, D)∗ 1 · η¯∗ (x, D) ∈ OPS m-1. ∗ ω1(x, D)∗ + P ∗ ∗ η1(x, D)∗ ∗ = ω1(x, D)+ P ∗ ∗η¯1(x, D)+ g4(x, D)+ P ∗g5(x, D) (2.55) 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 73 с операторами g4, g5 ∈ OPSm-1. Из соотношений (2.53), (2.54) и (2.55) теперь следует равенство L2(κ-1Ω) ((a(· , D)+ qmb(· , D)P + P ∗qm¯b(· , D)) u, u) = = I(ω∗ (x, D)+ P ∗η¯∗ (x, D)) uI2 - I 1 1 IL2(Rn) ∗ - ((ω1(x, D)+ P ∗ ∗η¯1(x, D)) u, (g4(x, D)+ P L (Rn) - ∗g5(x, D)) u) 2 - ((g1(· , D)+ g2(· , D)P + P ∗g3(· , D))u, u)L2(κ-1Ω) . (2.56) Из ограниченности ПДО в пространствах Соболева (п. 2 замечания 2.6) вытекает оценка второго члена в правой части (2.56): (( 1 1 ) ) ω∗ (x, D)+ P ∗η¯∗ (x, D) u, (g4(x, D)+ P ∗g5(x, D)) u L2(Rn) c7(κ) u Hm(κ-1Ω) u Hm-1(κ-1Ω). (2.57) Получим такую же оценку для третьего слагаемого. Для этого введем вспомогательный ПДО (1 - Δ)μ/2, μ ∈ R, где Δ - оператор Лапласа. Символ этого ПДО порядка μ равен (1 + |ξ|2)μ/2, а сам оператор является изоморфизмом в шкале пространств Соболева (1 - Δ)μ/2 : Hs(Rn) → Hs-μ(Rn), s ∈ R, и имеет обратный, равный (1 - Δ)-μ/2. Кроме того, легко видеть, что ((1 - Δ)μ/2u, v)L (Rn) = (u, (1 - Δ)μ/2v)L (Rn), u, v ∈ S(Rn). 2 2 Тогда для любого ПДО g ∈ OPS2m-1 можем написать m/2 m/2 (g(· , D)u, v)L2(Rn) = ((1 - Δ)- g(· , D)u, (1 - Δ) v)L2(Rn), причем оператор (1 - Δ)-m/2g(· , D) имеет порядок m - 1, откуда следует, что (g(· , D)u, v)L (Rn) 2 оценивается произведением v Hm(Rn) u Hm-1(Rn). Итак, ((g1(· , D)+ g2(· , D)P + P ∗g3(· , D))u, u)L2(κ-1Ω) c8(κ) u Hm(κ-1Ω) u Hm-1(κ-1Ω). (2.58) Наконец, из (2.56), (2.57) и (2.58) вытекает (2.45). Теорема доказана. Ниже будет приведен еще один класс достаточных условий сильной эллиптичности уравнения (2.27). Эти условия также имеют вид некоторой специальной оценки символа ρ(x, ξ). В основе их получения лежит замена скалярного оператора (2.29) матричным оператором (1 - δ(x, ξ))I ρ(x, ξ)P : L2 2 P ∗ρ¯(x, ξ) δ(x, ξ)I 2(Ω) -→ L2(Ω), (2.59) где δ(x, ξ) - некоторая гладкая на Ω×Sn-1 вещественнозначная функция. Условия на δ будут наложены позже. Эти условия должны обеспечивать положительную определенность оператора (2.59). Если записать квадратичную форму этого оператора: (1 - δ(· , ξ))I ρ(· , ξ)P P ∗ρ¯(· , ξ) δ(· , ξ)I v1 v2 v1 , v2 = L2 2(Ω) = ((1 - δ(· , ξ))v1, v1)L2(Ω) + (δ(· , ξ)v2, v2)L2(Ω) +2 Re (ρ(· , ξ)Pv2, v1)L2(Ω) , то видно, что на подпространстве v1 = v2 = v она превращается в 2 v L2(Ω) +2 Re (ρ(· , ξ)Pv, v)L2(Ω) , что совпадает с квадратичной формой оператора I + ρ(x, ξ)P + P ∗ρ¯(x, ξ). Отсюда, в частности, следует, что условие положительной определенности оператора (2.59) не слабее, чем положительная определенность оператора (2.29). Вопрос о том, вытекает ли существование такой функции δ, при которой матричный оператор (2.59) положительно определен, из положительной определенности скалярного оператора (2.29), остается открытым (для автора). Преимущество перехода к матричным операторам состоит в том, что нужное разложение, заменяющее разложение (2.37), строится 74 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ в этом случае элементарно и не требует наложения новых дополнительных условий. Попробуем представить оператор (2.59) в виде (1 - δ(x, ξ))I ρ(x, ξ)P P ∗ρ¯(x, ξ) δ(x, ξ)I I N = 0 I M1 0 0 M2 I 0 N ∗ I (2.60) с положительно определенными операторами M1, M2, повторяющем хорошо известный из линейной алгебры способ разложения положительной матрицы в произведение верхней и эрмитово сопряженной нижней треугольных матриц. Записывая результат перемножения трех матриц справа, после приравнивания соответствующих элементов получаем систему уравнений M1 + NM2N ∗ = (1 - δ(x, ξ))I, NM2 = ρ(x, ξ)P, M2 = δ(x, ξ)I, из которой все операторы легко находятся: 1 ρ(x, ξ) M2 = δ(x, ξ)I, N = ρ(x, ξ)P δ(x, ξ) = δ(q-1x, ξ) P, ∗ ρ(x, ξ) M1 = (1 - δ(x, ξ))I - δ(q-1x, ξ) Pδ(x, ξ)P ρ¯(x, ξ) δ(q-1x, ξ) = Остается потребовать = 1 - δ(x, ξ) - qn|ρ(x, ξ)|2 δ(q-1x, ξ) I. 0 < δ(x, ξ) < 1, qn |ρ(x, ξ)|2 < δ(q-1x, ξ) (1 - δ(x, ξ)) (x ∈ Ω,ξ ∈ Sn-1). Эти соотношения, которые и будут условиями заключительной теоремы данного раздела, выражают тот факт, что матричный оператор (2.59) положительно определен. Сейчас будем считать эти условия выполненными. Переписывая теперь правую часть (2.60) в виде I N 0 I √M1 0 0 √M2 2 I 0 N ∗ I √M1 N √M2 = 0 √M2 √M1 0 √M2N ∗ √M2 , получаем разложение 2 ⎡ I qn|ρ(x,ξ)| ρ(x,ξ) ⎤ (1 - δ(x, ξ))I ρ(x, ξ)P = 1 - δ(x, ξ) - δ(q-1x,ξ) I √δ(q-1 P x,ξ) P ∗ρ¯(x, ξ) δ(x, ξ)I ⎡ I ⎣ 0 jδ(x, ξ)I ⎦ × n 2 ⎤ 1 - δ(x, ξ) - q |ρ(x,ξ)| δ(q-1x,ξ) I 0 √ × ⎣ P ∗ ρ¯(x,ξ) δ(q-1x,ξ) jδ(x, ξ)I ⎦ . (2.61) Умножая каждую из частей равенства (2.61) справа и слева на матрицу будем иметь ja(x, ξ)I 0 0 ja(x, ξ)I , = (1 - δ(x, ξ))a(x, ξ)I b(x, ξ)P P ∗¯b(x, ξ) δ(x, ξ)a(x, ξ)I = ω1(x, ξ)I η(x, ξ)P 0 ω2(x, ξ)I ω1(x, ξ)I 0 P ∗η¯(x, ξ) ω2(x, ξ)I , (2.62) где функции ω1, ω2 и η принадлежат C∞ (Ω × Sn-1) и определяются по формулам qn|b(x, ξ)|2 ω1(x, ξ) = (1 - δ(x, ξ))a(x, ξ) - a(q-1x, ξ)δ(q-1x, ξ) , b(x, ξ) j ω2(x, ξ) = jδ(x, ξ)a(x, ξ), η(x, ξ) = a(q-1x, ξ)δ(q-1x, ξ) 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 75 2 (к разложениям (2.37) и (2.43) эти функции отношения не имеют). Отметим вновь, что на подпространстве v1 = v2 вектор-функций ( v1 v2 lT ∈ L2(Ω) квадратичная форма матричного оператора (1 - δ)aI bP P ∗¯b δaI совпадает с квадратичной формой оператора a + bP + P ∗¯b. Теорема 2.6. Пусть область Ω такова, что Ω ⊂ κΩ для всех κ > 1. Предположим также, что существует гладкая на Ω × Sn-1 функция δ(x, ξ) такая, что 0 < δ(x, ξ) < 1 и qn |ρ(x, ξ)|2 < δ(q-1x, ξ) (1 - δ(x, ξ)) (x ∈ Ω,ξ ∈ Sn-1). (2.63) Тогда уравнение (2.27) - сильно эллиптическое в Ω. ξ Доказательство. Доказательство сводится к получению оценки (2.45) так же, как и в теореме 2.5. Вводим ПДО, отвечающие построенным символам. Продолжим функцию δ(x, ξ) по ξ со сферы Sn-1 в Rn \ {0} как положительно однородную нулевого порядка. Тогда функции ω1(x, ξ), ξ ω2(x, ξ) и η(x, ξ) естественным образом определены в Ω × Rn \ {0} и являются положительно однородными порядка m по ξ. Определим символы ω∗ ∗ ∗ 1(x, ξ) = ϕ(x)χ(ξ)ω1(x, ξ), ω2(x, ξ) = ϕ(x)χ(ξ)ω2(x, ξ), η (x, ξ) = ϕ(x)χ(ξ)η(x, ξ) 1 с теми же, что и ранее ϕ(x) и χ(ξ). Отвечающие им ПДО класса OPSm обозначим ω∗ (x, D), 2(x, D) и η (x, D). ω∗ ∗ Рассмотрим следующую композицию матричных операторов, действующих на функции в Rn: ω∗ ∗ 1 . (2.64) 1(x, D) η (x, D)P 2 0 ω∗ (x, D) ω∗ (x, D) 0 2 P ∗η¯∗(x, D) ω∗ (x, D) 0 Эта композиция построена по найденному выше разложению (2.62). Первый важный момент, связанный с (2.64), состоит в том, что для любой u ∈ C∞(Rn) выполняется соотношение ω∗ ∗ 1 , = 1(· , D) η (· , D)P 2 0 ω∗ (· , D) ω∗ (· , D) 0 u 2 P ∗η¯∗(· , D) ω∗ (· , D) u u L2 n u 2(R ) I ω∗ I2 = I I 1(· , D) 0 2 I I P ∗η¯∗(· , D) ω∗ (· , D) u IL2 u I + 2(Rn) ω∗ + 1(· , D) 0 2 P ∗η¯∗(· , D) ω∗ (· , D) u , h1(· , D) 0 u P ∗h3(· , D) h2(· , D) u L2 n u 2(R ) (2.65) с операторами h1(x, D), h2(x, D), h3(x, D) порядка m - 1. Здесь мы воспользовались свойством сопряженного ПДО (п. 4 замечания 2.6). Из ограниченности ПДО в пространствах Соболева (п. 2 замечания 2.6) следует, что второе слагаемое в правой части (2.65) оценивается сверху (с некоторой константой) произведением u Hm(Rn) u Hm-1(Rn), в то время как первое слагаемое неотрицательно. С другой стороны, композиция (2.64) приводит к оператору ω∗ 2 n ∗ ∗ ∗ ∗ -1 1(x, D) + q η (x, D)η¯ (x, D) η (x, D)ω2(q x, qD)P . P ∗ω∗ -1 ∗ ∗ 2 2(q x, qD)η¯ (x, D) ω2(x, D) Из свойства композиции ПДО (п. 3 замечания 2.6) и определения символов ω∗ (x, ξ), ω∗ (x, ξ), 1 2 1 η∗(x, ξ) следует, что оператор ω∗ (x, D)2 + qnη∗(x, D)η¯∗(x, D) отличается от оператора θ1(x, D) с символом θ1(x, ξ) = ω∗ (x, ξ)2 + qnη∗(x, ξ)η¯∗(x, ξ) = ϕ2(x)χ2(ξ) (ω2(x, ξ)+ qn|η(x, ξ)|2) = 1 1 = ϕ2(x)χ2(ξ)(1 - δ(x, ξ))a(x, ξ) на ПДО g1(x, D) порядка 2m - 1. 2 Оператор ω∗ (x, D)2 также отличается от оператора θ2(x, D) с символом θ2(x, ξ) = ϕ2(x)χ2(ξ)δ(x, ξ)a(x, ξ) на ПДО g2(x, D) порядка 2m - 1. 76 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ 2 Оператор η∗(x, D)ω∗ (q-1x, qD) отличается от оператора σ(x, D) с символом 2 σ(x, ξ) = η∗(x, ξ)ω∗ (q-1x, qξ) = ϕ(x)χ(ξ)η(x, ξ)ϕ(q-1x)χ(qξ)ω2(q-1x, qξ) = b(x, ξ) = ϕ(x)χ(ξ) ja(q-1x, ξ)δ(q-1x, ξ) q на ПДО g3(x, D) порядка 2m - 1. mjδ(q-1 x, ξ)a(q-1 x, ξ) = ϕ(x)χ(ξ)qm b(x, ξ) 2 Наконец, оператор ω∗ (q-1x, qD)η¯∗(x, D) отличается от оператора σ¯(x, D) с символом σ¯(x, ξ) на ПДО g4(x, D) порядка 2m - 1. Итак, композиция (2.64) представима в виде ω∗ ∗ 1 = 1(x, D) η (x, D)P 2 0 ω∗ (x, D) = θ1(x, D) σ(x, D)P P ∗σ¯(x, D) θ2(x, D) ω∗ (x, D) 0 2 P ∗η¯∗(x, D) ω∗ (x, D) g1(x, D) g3(x, D)P + P ∗g4(x, D) g2(x, D) . (2.66) Вклад второго слагаемого в квадратичную форму оценивается аналогично теореме 2.5: g1(· , D) g3(· , D)P u u , = P ∗g4(· , D) g2(· , D) g1(· , D) g3(· , D)P u u u L2 n 2(R ) u = (1 - Δ)-m/2 P ∗g4(· , D) g2(· , D) - , (1 Δ)m/2 u u = L2 n 2(R ) (g∗ ∗ m/2 = 1(· , D)+ g3(· , D)P ) u , (1 - Δ) u , (2.67) (P ∗g∗ (· , D)+ g∗ (· , D)) u (1 - Δ)m/2u L2 4 2 2(Rn) i причем все операторы g∗(x, D) = (1 - Δ)-m/2gi(x, D) (i = 1, 2, 3), а также g∗ 4(x, D) = (1 - q2 Δ)-m/2 g4(x, D) имеют порядок m-1. Вновь из свойства ограниченности ПДО в пространствах Соболева получаем, что скалярное произведение (2.67) оценивается выражением u Hm(Rn) u Hm-1(Rn). Остается рассмотреть скалярное произведение θ1(· , D) σ(· , D)P u u , = P ∗σ¯(· , D) θ2(· , D) u L2 n u 2(R ) = (θ1(· , D)u + σ(· , D)Pu, u)L2(Rn) + (P ∗σ¯(· , D)u + θ2(· , D)u, u)L2(Rn) = = ((θ1(· , D)+ θ2(· , D))u, u)L2(Rn) + + (σ(· , D)Pu, u)L2(Rn) + (P ∗σ¯(· , D)u, u)L2(Rn) . (2.68) Символ оператора θ1(x, D)+ θ2(x, D) равен θ1(x, ξ)+ θ2(x, ξ) = ϕ2(x)χ2(ξ)a(x, ξ) = ϕ2(x)a(x, ξ)+ ϕ2(x)(χ2(ξ) - 1)a(x, ξ), причем оператор g5(x, D) с символом g5(x, ξ) = ϕ2(x)(χ2(ξ) - 1)a(x, ξ) сглаживающий (имеет порядок -∞), а на функциях с носителем в κ-1Ω дифференциальный оператор ϕ2(x)a(x, D) совпадает с оператором a(x, D). Итак, ((θ1(· , D)+ θ2(· , D))u, u)L2(Rn) = (a(· , D))u, u)L2(κ-1Ω) + (g5(· , D)u, u)L2(κ-1Ω) (2.69) 0 для всех u ∈ C∞(κ-1Ω). Далее, σ(x, ξ) = ϕ(x)qmb(x, ξ)+ ϕ(x)(χ(ξ) - 1)qmb(x, ξ), причем оператор g6(x, D) с символом g6(x, ξ) = ϕ(x)(χ(ξ) - 1)qmb(x, ξ) сглаживающий, а сужения на область κ-1Ω функций ϕ(x)qmb(x, D)u и qmb(x, D)u совпадают. Поэтому m (σ(· , D)Pu, u)L2(Rn) = (q b(· , D)Pu, u)L2(κ-1Ω) + (g6(· , D)Pu, u)L2(κ-1Ω) (2.70) 2.2. ПРОБЛЕМА КОЭРЦИТИВНОСТИ. СЛУЧАЙ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 77 0 для всех u ∈ C∞(κ-1Ω). Аналогично, используя тот факт, что дифференциальные операторы 0 ϕ(x)qm¯b(x, D) и qm¯b(x, D) совпадают на функциях из C∞(κ-1Ω), имеем (P ∗σ¯(· , D)u, u)L2(Rn) = (P ∗q m¯b(· , D)u, u ) 2 L (κ-1Ω) + (P ∗g7(· , D)u, u)L2(κ-1Ω) (2.71) со сглаживающим оператором g7(x, D). Вторые слагаемые в правых частях формул (2.69), (2.70) и (2.71) оцениваются через u Hm(Rn) u Hm-1(Rn), а первые слагаемые в сумме дают нужное нам скалярное произведение L2(κ-1Ω) ((a(· , D)+ qmb(· , D)P + P ∗qm¯b(· , D))u, u) , фигурирующее в оценке (2.34). Таким образом, комбинируя (2.65), (2.66), (2.67), (2.68), (2.69), (2.70) и (2.71), получаем, что с точностью до слагаемых, оценивающихся выражением u Hm(Rn) u Hm-1(Rn), скалярное произведение L2(κ-1Ω) ((a(· , D)+ qmb(· , D)P + P ∗qm¯b(· , D))u, u) совпадает с величиной I ω∗ I2 I 1(· , D) 0 2 I I P ∗η¯∗(· , D) ω∗ (· , D) u I IL2 u I 2(Rn) ;;: 0 0 на функциях u ∈ C∞(κ-1Ω). Оценка (2.34), а вместе с ней и теорема 2.6 доказаны. Замечание 2.7. В получении содержащихся в теоремах 2.5 и 2.6 результатов естественным образом выделяются два этапа. Первый этап состоит в разложении положительно определенного функционального оператора с параметром ξ в произведение оператора заданного вида и сопряженного ему оператора. По найденному разложению, на втором этапе мы записываем соответствующее разложение для исходного функционально-дифференциального оператора уже в классе функциональных и псевдодифференциальных операторов (грубо говоря, заменяем ξ на D), после чего выводим нужные оценки, опираясь на хорошо известные свойства ПДО. Конечно, любой положительно определенный оператор представим (и притом бесконечным числом способов) в виде произведения невырожденного оператора и сопряженного к нему. Целью, однако, является получение такого разложения, по элементам которого можно построить псевдодифференциальные операторы. В этом состоит основная трудность предложенного подхода. Замечание 2.8. Требование на область Ω ⊂ κΩ (κ > 1) в теоремах 2.5, 2.6 является, в отличие от основного условия (1.5), более сильным, чем условие звездности. Например, звездная область, изображенная на рис. 1.2, этому требованию не удовлетворяет. С другой стороны, оно выполнено для любой области, звездной относительно шара, содержащего начало координат. Рассмотрим некоторые примеры применения теоремы 2.6. Пример 2.3. Полагая δ(x, ξ) = 1/2 в теореме 2.6, получаем, что неравенство qn/2 |ρ(x, ξ)| < 1/2 (x ∈ Ω,ξ ∈ Sn-1) (2.72) будет достаточным для выполнения оценки (2.4). Этот результат является и частным случаем достаточного условия из теоремы 2.5. Вновь отметим, что при постоянных коэффициентах (2.72) совпадает с необходимым условием из теоремы 2.4, эквивалентом которого (но только при постоянных коэффициентах!) служит алгебраическое неравенство (2.15). Следующий пример показывает, что требование qn/2 |ρ(x, ξ)| < 1/2, накладываемое даже лишь при x ∈ q-1Ω (теорема 2.5), в случае переменных коэффициентов необходимым для сильной эллиптичности, вообще говоря, не является. Более того, существуют сильно эллиптические уравнения (2.27), у которых величина qn/2 |ρ(x, ξ)| может быть сколь угодно близка к 1 в точках x, расположенных сколь угодно близко к началу координат. При этом условия qn/2 |ρ(x, ξ)| < 1 (x ∈ Ω), qn/2 |ρ(0, ξ)| < 1/2, являются, как мы убедились выше, необходимыми ((2.33) и следствие 2.2). 78 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ 2 2 Пример 2.4. Пусть Ω = {x ∈ Rn : |x| < d} . Возьмем δ(x, ξ) = ke-q |x| . Будем считать, что (q2 + 1)-1 < k < 1 и d > q-1jln k(q2 + 1). Теорема 2.6 дает следующее достаточное условие сильной эллиптичности уравнения (2.27): 2 / 2 2 ( ) qn|ρ(x, ξ)|2 < ke-|x| 1 - ke-q |x| |x| d, ξ ∈ Sn-1 . (2.73) Наибольшее значение, равное k1-q-2 q2(q2 + 1)-(1+q-2), правая часть неравенства (2.73) принимает в точках |x| = q-1jln k(q2 + 1) области Ω. Если взять q достаточно большим, а k близким к 1, то указанное значение будет мало отличаться от 1, а точки, где это значение достигается, будут близки к нулю. Приведем простой пример уравнения, для которого неравенство (2.73) выполнено (считаем n = 2): ∂ ∂u 1 1 -Δu(x)+2 ∂x b(x) ∂x2 (q- x) = f (x) (|x| < d), (2.74) где b ∈ C∞(|x| d) - комплекснозначная функция. Для этого уравнения имеем a(x, ξ) = |ξ|2, b(x, ξ) = b(x)ξ1ξ2, откуда при |ξ| = 1 получаем ρ(x, ξ) = b(x)ξ1ξ2 ⇒ |ρ(x, ξ)| |b(x)|/2. Таким образом, для всякого коэффициента b(x) такого, что |b(x)| < 2q-1I 2 (1 - ke 2 ) (|x| d), ke-|x| -q2|x| выполнено неравенство (2.73), и уравнение (2.74) является сильно эллиптическим в круге {x ∈ R2 : |x| d . Для сравнения, теорема 2.5 гарантирует сильную эллиптичность уравнения (2.74) при таком √ условии: |b(x)| < 2q-1 (|x| d), |b(x)| < q-1 (|x| q-1d). Если b от x не зависит, то условие |b| < q-1 является необходимым для сильной эллиптичности. 2.3. РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТР ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В этом разделе рассматривается задача (2.1), (2.2) в случае, когда уравнение (2.1) сильно эллиптическое в Ω, а правая часть f (x) принадлежит L2(Ω). С задачей свяжем непрерывную на пространстве H˚m(Ω) полуторалинейную форму aR[u, v] = \ |α|,|β| m 2 (Rαβ Dβ u, Dαv)L (Ω) (u, v ∈ H˚m(Ω)). Очевидно, существует постоянная M > 0 такая, что |aR[u, v]| M u Hm(Ω) v Hm(Ω) (u, v ∈ H˚m(Ω)). (2.75) Кроме того, неравенство (2.4), левая часть которого совпадает на гладких финитных функциях с Re aR[u, u], обеспечивает оценку Hm(Ω) Re aR[u, u] ;;: c1 u 2 L2(Ω) - c2 u 2 (u ∈ H˚m(Ω)) (2.76) на всем пространстве H˚m(Ω). Функция u ∈ H˚m(Ω) называется обобщенным решением задачи (2.1), (2.2), если интегральное тождество aR[u, v] = (f, v)L2(Ω) выполнено для любой функции v ∈ H˚m(Ω). Будем рассматривать также неограниченный оператор AR : D(AR) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω), 2.3. РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТР ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 79 область определения D(AR) которого состоит из всевозможных обобщенных решений задачи (2.1), (2.2), когда f пробегает все пространство L2(Ω). Если u - обобщенное решение, отвечающее правой части f, то полагаем ARu = f (оператор AR, очевидно, корректно определен на D(AR)). Понятно, что C∞(Ω) ⊂ D(AR) ⊂ H˚m(Ω) и ARu = ARu, если u ∈ C∞(Ω). 0 0 Рассуждения этого раздела хорошо известны, они носят достаточно общий характер и опираются на неравенство (2.4), позволяющее ввести в пространстве H˚m(Ω) связанное с оператором в уравнении эквивалентное скалярное произведение. Лемма 2.8. Формула ˚m (u, v)∗ = H (Ω) 1 / 2 aR[u, v]+ aR[v, u] + c2(u, v)L2(Ω), (2.77) где c2 ;;: 0 - постоянная из неравенства (2.76), задает эквивалентное скалярное произведение на пространстве H˚m(Ω). Доказательство. Правая часть (2.77) представляет собой непрерывную на H˚m(Ω) эрмитову полуторалинейную форму, причем 1. /a [u, u]+ a [u, u] + c (u, u) = Re a [u, u]+ c u 2 ;;: c u 2 2. R R в силу (2.76). 2 L2(Ω) R 2 L2(Ω) 1 Hm(Ω) Лемма 2.9. Существует (единственный) линейный ограниченный оператор K : H˚m(Ω) → H˚m(Ω) такой, что ˚m (u, Kv)∗ = H (Ω) 1 / 2i aR[u, v] - aR[v, u] (2.78) для всех u, v ∈ H˚m(Ω). При этом оператор K является самосопряженным, ˚m (Ku, v)∗ H (Ω) ˚m = (u, Kv)∗ H (Ω) , K ∗ M/c1, где M и c1 - постоянные из неравенств (2.75) и (2.76), а . ∗ обозначает операторную норму, H˚m(Ω) отвечающую норме . ∗ . Доказательство. При фиксированной функции v ∈ H˚m(Ω), правая часть (2.78) представляет собой непрерывный линейный функционал относительно u на пространстве H˚m(Ω), рассматриваемом (· , ·) с эквивалентным скалярным произведением ∗ : H˚m(Ω) 1 / aR[u, v] - aR[v, u] M v ˚m u ˚m M v ∗ u ∗ . 2i H (Ω) H (Ω) c1 H˚m(Ω) H˚m(Ω) По теореме Рисса существует единственный элемент, обозначим его Kv, пространства H˚m(Ω), для которого равенство (2.78) справедливо при всех u из H˚m(Ω). Соответствие v 1→ Kv является, очевидно, линейным и, кроме того, Kv ∗ H˚m(Ω) H˚m(Ω) (M/c1) v ∗ , откуда вытекает оценка нормы оператора K, K ∗ M/c1. / Наконец, 1 так что ˚m (v, Ku)∗ = H (Ω) 2i aR[v, u] - aR[u, v] , ˚m (Ku, v)∗ H (Ω) = (v, Ku)∗H˚m(Ω) = - 1 / 2i aR[v, u] - aR[u, v] ˚m = (u, Kv)∗ . H (Ω) Теорема 2.7. Оператор AR фредгольмов, а его спектр σ(AR) - дискретный, при этом σ(AR) ⊂ {λ ∈ C : Re λ > -c2, | arg(λ + c2)| arctg(M/c1)} . Для всякого λ ∈/ σ(AR) резольвента R(λ, AR) : L2(Ω) → L2(Ω) есть компактный оператор. 80 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ Доказательство. Рассмотрим уравнение -c2u - ARu = f, u ∈ D(AR), f ∈ L2(Ω). По определению, или aR[u, v]+ c2(u, v)L2(Ω) = -(f, v)L2(Ω), 3. /a 4. R [u, v]+ aR [v, u] + c2(u, v) L2(Ω) 1 / + i aR 2i [u, v] - aR [v, u] = -(f, v) L2(Ω) для всех v ∈ H˚m(Ω). В силу лемм 2.8 и 2.9 последнее соотношение можно переписать следующим образом: ˚m (u, v)∗ H (Ω) ˚m + i(Ku, v)∗ H (Ω) = -(f, v)L2(Ω). (2.79) Правая часть этого равенства является непрерывным антилинейным функционалом относительно v на пространстве H˚m(Ω) и по теореме Рисса порождает ограниченный линейный оператор Λ : L2(Ω) → H˚m(Ω) такой, что ˚m (Λf, v)∗ H (Ω) m = (f, v)L2(Ω), v ∈ H˚ (Ω). Таким образом, исходное уравнение равносильно операторному уравнению (I + iK)u = F в H˚m(Ω) с правой частью F = -Λf. Поскольку оператор iK кососимметрический, его спектр лежит на мнимой оси, и существует ограниченный обратный оператор (I + iK)-1 : H˚m(Ω), т. е. уравнение имеет единственное решение u = (I + iK)-1F = -(I + iK)-1Λf. Чтобы оценить норму этого решения, подставим в (2.79) v = u. Будем иметь H˚m(Ω) → u ∗ 2 H˚m(Ω) ˚m + i(Ku, u)∗ H (Ω) = -(f, u)L2(Ω), ˚m откуда с учетом вещественности (Ku, u)∗ H (Ω) получаем оценку u ∗ 2 |(f, u)L (Ω)| f L (Ω) u L (Ω). Поскольку H˚m(Ω) 2 2 2 выводим u ∗ 2 H˚m(Ω) L2(Ω) = Re aR[u, u]+ c2 u 2 Hm(Ω) ;;: c1 u 2 L2(Ω) ;;: c1 u 2 , u ∗ H˚m(Ω) 2 (1/√c1) f L (Ω). Итак, точка λ = -c2 является резольвентной точкой оператора AR, и резольвента в этой точке компактна (в силу компактного вложения H˚m(Ω) в L2(Ω)). А хорошо известно, что всякий оператор с компактной резольвентой имеет дискретный спектр, т. е. спектр, состоящий из изолированных собственных значений конечной кратности. Чтобы в этом убедиться, достаточно записать оператор λI - AR для произвольного λ ∈ C в виде λI - AR = (I + (λ + c2)R(-c2, AR)) (-c2I - AR), сводящем вопрос о разрешимости к уравнению с оператором «тождественный плюс компактный». Из этого представления очевидным образом вытекает и фредгольмовость оператора λI - AR. Убедимся теперь, что все собственные значения лежат в угле, охватывающем положительную вещественную полуось. Пусть ARu = λu при ненулевой функции u ∈ D(AR), которую можно u нормировать: ∗ H˚m(Ω) = 1. Прибавляя c2u к обеим частям этого уравнения и переходя к равносильной записи, получим ˚m (u, v)∗ H (Ω) ˚m + i(Ku, v)∗ H (Ω) H˚m(Ω) = (λ + c2)(Λu, v)∗ (v ∈ H˚m(Ω)). Полагая теперь v = u, будем иметь ˚m 1+ i(Ku, u)∗ H (Ω) H˚m(Ω) = (μ + c2)(Λu, u)∗ ˚m + iν(Λu, u)∗ H (Ω) , (2.80) где μ и ν обозначают действительную и мнимую части числа λ. 2.3. РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТР ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 81 Отметим, что сужение оператора Λ на пространство H˚m(Ω) (будем обозначать это сужение Λ0) является положительным и компактным оператором в H˚m(Ω). Действительно, по определению, H˚m(Ω) (Λ0u, u)∗ = u 2 L2(Ω) > 0, u /= 0, а компактность Λ0 следует из компактности вложения H˚m(Ω) в L2(Ω). Приравняем действительные и мнимые части равенства (2.80): H˚m(Ω) 1 = (μ + c2)(Λ0u, u)∗ ˚m , (Ku, u)∗ H (Ω) H˚m(Ω) = ν(Λ0u, u)∗ . Отсюда следует, что действительная и мнимая части собственного значения удовлетворяют соотношениям μ > -c2, ν μ + c2 ˚m = (Ku, u)∗ . H (Ω) Поскольку u лежит на единичной сфере, имеем H˚m(Ω) |(Ku, u)∗ | K ∗. Применяя лемму 2.9, получим |ν|/(μ + c2) M/c1. Теорема доказана. Пример 2.5. Из примера 2.4, теоремы 2.1 и замечания 2.2 следует, что при b ∈ C, |b| < q-1, краевая задача ∂ 1 -Δu(x)+ 2b ∂x ∂u ∂x2 (q-1x) = f (x) (x ∈ Ω ⊂ R2), u|∂Ω = 0 имеет единственное обобщенное решение u ∈ H˚1(Ω) для любой правой части f ∈ L2(Ω) и в случае произвольной ограниченной области Ω. Пример 2.6. Убедимся, что краевая задача -Δ (u(x)+ 2u(9x)) + 5(1 + |x|2)-1u(x) = f (x) (x ∈ Ω), (2.81) u(x) = 0 (x ∈/ Ω) имеет единственное обобщенное решение при любой функции f ∈ L2(Ω), где Ω ⊂ R3 - произвольная ограниченная область. Имеем aR(λ, ξ) = (1 + 18/λ)|ξ|2. Поскольку Re (1 + 18/λ) ;;: 1/3 > 0 на окружности |λ| = 93/2 = 27, уравнение (2.81) - сильно эллиптическое в Ω. Более того, 1 r Re aR[u, u] ;;: 3 Ω |∇u(x)|2 5 r dx + 1+ sup{|x|2 : x ∈ Ω} Ω |u(x)|2 dx, т. е. c2 = 0 в неравенстве (2.76). Тогда по теореме 2.7 краевая задача для уравнения (2.81) однозначно разрешима. Следствие 2.3. Оператор AR, отвечающий сильно эллиптическому уравнению (2.1), является m-секториальным, ассоциированным с полуторалинейной формой aR[u, v]. Доказательство. Из теоремы 2.7 следует, что оператор AR секториальный: его числовая область значений {(ARu, u)L2(Ω) : u ∈ D(AR), u L2(Ω) = 1} содержится, как нетрудно видеть, в угле {λ ∈ C : | arg(λ + c2)| arctg(M/c1)} . Убедимся, что оператор AR + c2I является аккретивным. Теорема 2.7 гарантирует существование ограниченного (и даже компактного) обратного оператора (AR + (c2 + λ)I)-1 : L2(Ω) → L2(Ω), Re λ > 0. Остается оценить его норму. Равенство (AR + (c2 + λ)I)u = f 82 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ означает по определению оператора AR, что aR[u, v]+ (λ + c2)(u, v)L2(Ω) = (f, v)L2(Ω), или ˚m (u, v)∗ H (Ω) ˚m + i(Ku, v)∗ H (Ω) m + λ(u, v)L2(Ω) = (f, v)L2(Ω) (v ∈ H˚ (Ω)). При подстановке v = u получаем u ∗ 2 H˚m(Ω) + μ u 2 L2(Ω) ˚m + i((Ku, u)∗ H (Ω) + ν u 2 L2(Ω) ) = (f, u)L2(Ω), где μ > 0 и ν есть действительная и мнимая части λ. Из последнего равенства следует оценка μ u 2 |(f, u)L (Ω)| f L (Ω) u L (Ω), откуда L2(Ω) 2 2 2 1 т. е. u L2(Ω) μ- f L2(Ω), I 1I 1 I(AR + (c2 + λ)I)- I (Re λ)- , Re λ > 0. I I Таким образом, оператор AR является квази-m-аккретивным и, следовательно, m-секториальным. То, что оператор AR ассоциирован с формой aR[u, v], вытекает из его определения. Вместе с уравнением (2.1) рассмотрим уравнение A Ru(x) ≡ \ |α|,|β| m D R βα α ∗ Dβ u(x) = f (x) (x ∈ Ω) (2.82) и отвечающую ему форму ∗ aR[u, v] = \ |α|,|β| m ∗ (RβαDβ u, Dα m v)L2(Ω) = aR[v, u] (u, v ∈ H˚ (Ω)). Уравнение (2.82), очевидно, также будет сильно эллиптическим. Аналогичным образом введем оператор A R : D(A R) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω), отвечающий задаче Дирихле для уравнения (2.82) в обобщенной постановке. Понятно, что теорема 2.7 и следствие 2.3 будут выполнены и для оператора A R. R Лемма 2.10. A∗ R = A R, A ∗ = AR. Доказательство. Из определения операторов AR и A R следует, что (ARu, v)L2(Ω) = aR[u, v] / u ∈ D(AR),v ∈ H˚m (Ω) , т. е. R (u, A Rv)L2(Ω) = a∗ [v, u] = aR[u, v] /u ∈ H˚m (Ω),v ∈ D(A R) , (ARu, v)L2(Ω) = (u, A Rv)L2(Ω) при u ∈ D(AR), v ∈ D(A R). R Это означает, что A R ⊂ A∗ R и AR ⊂ A ∗ . Утверждение леммы следует из дискретности спектров обоих операторов и леммы 3 [12, с. 889]. R Для m-аккретивных операторов AR + c2I и A∗ + c2I единственным образом определены mаккретивные квадратные корни R (AR + c2I)1/2 и (A∗ + c2I)1/2 [15, глава V]. Приведем без доказательства следующее важное утверждение, также опирающееся на неравенство (2.4) и справедливое в том числе для рассматриваемых здесь операторов. Теорема 2.8 (Р. В. Шамин, [58]). D /(AR + c2I)1/2 = D / R (A∗ + c2I)1/2 = H˚m(Ω). 2.3. РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТР ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 83 αβ Теорема 2.9. Предположим, что Rβα = R∗ для всех мультииндексов α, β. Тогда оператор AR : D(AR) ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) - самосопряженный, его собственные значения λk вещественны и λk → +∞ при k → +∞. Собственные функции uk оператора AR образуют ортонормированный базис в пространстве L2(Ω), а функции uk /√λk + c2 - ортонормированный базис в пространстве H˚m(Ω) со скалярным произведением по формуле (2.77). Доказательство. Первая часть заключения теоремы вытекает из теоремы 2.7 и леммы 2.10. Пусть u ∈ D(AR) - собственная функция оператора AR, соответствующая собственному значению λ. Тогда λ ∈ R и λ > -c2. Из леммы 2.8 и доказательства теоремы 2.7 следует, что (K = 0) для всех v ∈ H˚m(Ω). ˚m (u, v)∗ H (Ω) H˚m(Ω) = (c2 + λ)(u, v)L2(Q) = (c2 + λ)(Λ0u, v)∗ (2.83) Итак, интегральное тождество (2.83) эквивалентно операторному уравнению Λ0u = (c2 + λ)-1u в пространстве H˚m(Ω) с положительным компактным оператором Λ0. По теореме Гильберта- Шмидта существует ортогональный базис в H˚m(Ω) со скалярным произведением (2.77), состоящий из собственных функций uk оператора Λ0, которые соответствуют собственным значениям 1/(λk + c2). Будем считать, что uk L2(Ω) = 1. Отсюда и из (2.83) имеем H˚m(Ω) (ul, uk )L2(Ω) = (ul, uk )∗ /(λk + c2) = 0 (l /= k); /uk /jλk + c2, uk /jλk + c2 ∗ H˚m (Ω) = (uk , uk )L2(Ω) = 1 (k = 1, 2,.. .). Следовательно, функции uk /√λk + c2 составляют ортонормированный базис в H˚m(Ω), а uk , в силу того, что H˚m(Ω) плотно в L2(Ω) - ортонормированный базис в L2(Ω). В заключение этого раздела исследуем вопрос о поведении обобщенных решений задачи (2.1), (2.2) при q → 1. Будем рассматривать уравнение (2.1) при фиксированных правой части f и коэффициентах aαβj (x) и при всевозможных значениях q > 1 в операторах Rαβ , заданных формулой (2.3). Чтобы подчеркнуть зависимость от параметра сжатия q, используем до конца раздела обозначения Rαβ,q , Aq и aq [u, v] вместо Rαβ , AR и aR[u, v]. При (формальной) подстановке единицы вместо q операторы Rαβ,q превращаются в операторы умножения на функции aαβ (x) = ), aαβj (x), j обозначим эти операторы Rαβ,1, а само уравнение (2.1) становится обычным дифференциальным уравнением A1u(x) ≡ \ |α|,|β| m Dαaαβ (x)Dβ u(x) = f (x) (x ∈ Ω). (2.84) Соответствующая полуторалинейная форма имеет вид и соотношение a1[u, v] = \ |α|,|β| m 2 (aαβ Dβ u, Dαv)L (Ω) (u, v ∈ H˚m(Ω)), m a1[u, v] = (f, v)L2(Ω) (v ∈ H˚ (Ω)) определяет обобщенное решение u ∈ H˚m(Ω) задачи Дирихле для уравнения (2.84). В ситуации, когда для всех значений параметра q ;;: 1, близких к 1, соответствующая краевая задача (2.84), (2.2) имеет при одной и той же функции f единственное обобщенное решение u = uq (x), естественно поставить вопрос о сходимости при q → 1 семейства решений uq к решению u1 краевой задачи для дифференциального уравнения (2.84). Вначале сделаем ряд элементарных наблюдений относительно семейства форм aq [u, v], считая, что q пробегает отрезок [1, q0], где q0 > 1 - некоторое фиксированное значение. Заметим, во-первых, что при q ∈ [1, q0] нормы операторов Rαβ,q , действующих в L2(Ω), ограничены в совокупности. Поэтому неравенство |aq [u, v]| M u Hm(Ω) v Hm(Ω) (u, v ∈ H˚m(Ω)) 84 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ выполняется с некоторой постоянной M > 0, не зависящей от q ∈ [1, q0]. Далее рассмотрим разность aq [u, v] - a1[u, v] = \ |α|,|β| m /(Rαβ,q - Rαβ,1)Dβ u, Dαv = L2(Ω) = \ \ r aαβj (x) /Dβ u(q-j x) · Dβ u(x) Dαv(x) dx. |α|,|β| m j Ω Учитывая ограниченность в Ω коэффициентов aαβj (x), каждый из интегралов в правой части можно оценить (опускаем умножение на некоторую общую постоянную) выражением ⎛ r 2 Dαv L (Ω) ⎝ Ω Dβ u(q-j x) - Dβ 2 u(x) ⎞1/2 dx⎠ . Из непрерывности в среднем квадратичном производных Dβ u вытекает теперь, что |aq [u, v] - a1[u, v]| hq (u) v Hm(Ω), (2.85) где hq (u) → 0 при q → 1 для всякой фиксированной функции u ∈ H˚m(Ω). Лемма 2.11. Пусть при всех q ∈ [1, q0] функционально-дифференциальное уравнение (2.1) (в частном случае, дифференциальное уравнение (2.84)) - сильно эллиптическое в Ω. Более того, предположим, что неравенство 2 Hm(Ω) Re (Aq u, u)L (Ω) ;;: c u 2 (2.86) 0 выполняется для всех u ∈ C∞(Ω) и всех q ∈ [1, q0] с одной и той же постоянной c > 0. Тогда для каждого значения q ∈ [1, q0] краевая задача (2.1), (2.2) (в том числе и (2.84), (2.2)) имеет единственное обобщенное решение u = uq (x), при этом uq - u1 Hm(Ω) → 0, q → 1. Доказательство. Существование и единственность обобщенного решения uq при любой фиксированной функции f ∈ L2(Ω) для рассматриваемых значений параметра q моментально следует из теоремы 2.7, справедливой, конечно, и при q = 1. В условиях леммы имеем Из соотношений c u 2 Hm(Ω) Hm(Ω) Re aq [u, u] M u 2 (u ∈ H˚m(Ω), q ∈ [1, q0]). (2.87) вытекает или aq [uq , v] = (f, v)L2(Ω), a1[u1, v] = (f, v)L2(Ω) aq [uq , v] = a1[u1, v], aq [uq - u1, v] = a1[u1, v] - aq [u1, v] для всех v ∈ H˚m(Ω). Подставляя в последнее тождество v = uq - u1 и переходя к действительным частям, получим Hm(Ω) c uq - u1 2 Re aq [uq - u1, uq - u1] |a1[u1, uq - u1] - aq [u1, uq - u1]| hq (u1) uq - u1 Hm(Ω) в силу (2.85) и (2.87), откуда следует, что uq - u1 Hm(Ω) hq (u1) c → 0, q → 1. 2.3. РАЗРЕШИМОСТЬ И СПЕКТР ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 85 Для применения леммы 2.11 важно установить равномерную по q оценку (2.86) для всех q ;;: 1, близких к 1. Это легко сделать, если в уравнении коэффициенты aαβj ∈ C постоянные, а младшие члены равны нулю: Aq u(x) ≡ \ |α|,|β|=m Dα/\ aαβj Dβ u(q-j x) = f (x) (x ∈ Ω). (2.88) j Напомним, что под символом уравнения (2.88) мы понимаем выражение aR(λ, ξ) = \ |α|,|β|=m \ aαβj λj ξα+β (λ ∈ C, ξ ∈ Rn). j Теорема 2.10. Пусть выполнено условие Re aR(λ, ξ) > 0 (|λ| = 1, |ξ| = 1). Тогда существует такое число q0 > 1, что для произвольной фиксированной функции f ∈ L2(Ω) при всех значениях параметра сжатия q ∈ [1, q0] краевая задача (2.88), (2.2) имеет единственное обобщенное решение u = uq (x). При этом uq - u1 Hm(Ω) → 0, q → 1. 0 Доказательство. В условиях теоремы неравенство Re aR(λ, ξ) > 0 будет выполнено и на множестве {1 |λ| qn/2, |ξ| = 1} при некотором q0 > 1 (в противном случае можно построить k=1 ограниченную последовательность точек {(λk , ξk )}∞ такую, что 1 |λk | 1+ 1/k, |ξk | = 1, но при этом Re aR(λk , ξk ) 0; для предела (λ0, ξ0) некоторой сходящейся ее подпоследовательности будем иметь |λ0| = 1, |ξ0| = 1 и Re aR(λ0, ξ0) 0 в силу непрерывности aR(λ, ξ), что противоречит условию теоремы). Обозначим 0 = 1 γ = min /Re aR(λ, ξ) : 1 |λ| qn/2, |ξ| l > 0. При q ∈ (0, q0] это обеспечивает нам оценку (см. доказательство теоремы 2.1, неравенство (2.19)) Re (Aq u, u)L2(Ω) = \ |α|,|β|=m βα,q /(R αβ,q + R ∗ )Gα+β (|ξ|m u˜), |ξ|mu˜ L2(Rn) ;;: ;;: cq I|ξ|mu˜I2 (u ∈ C∞(Ω)), I IL2(Rn) 0 где в качестве постоянной cq можно взять наименьшую точку спектра положительно определенного оператора \ |α|,|β|=m βα,q (R αβ,q + R ∗ )Gα+β : L2(Rn) → L2(Rn). Но в силу леммы 2.1 и предваряющих эту лемму рассуждений cq = min{Re aR(λ, ξ) : |λ| = qn/2, |ξ| = 1} ;;: γ. Наконец, неравенство Re aR(1, ξ) ;;: γ при |ξ| = 1 (положили λ = 1) означает, что «предельное» дифференциальное уравнение A1u(x) ≡ \ |α|,|β|=m Dαaαβ Dβ u(x) = f (x) (x ∈ Ω) с коэффициентами aαβ = ), aαβj является сильно эллиптическим в Ω, так что оценка (2.86) имеет j место и для случая q = 1. Доказательство завершается применением леммы 2.11. Отметим, что условие сильной эллиптичности «предельного» дифференциального уравнения, вообще говоря, слабее условия теоремы 2.10, поскольку подразумевает положительность вещественной части символа только в одной точке λ = 1 на единичной окружности, в то время как в теореме 2.10 мы требуем Re aR(λ, ξ) > 0 на всей окружности |λ| = 1. Простейшим примером служит уравнение -Δ(u(x)+ qbu(x/q)) = f (x), символ которого (в терминах данной главы) равен (1+bλ)|ξ|2. В одном случае приходим к условию Re b > -1, а в другом - к условию |b| < 1. 86 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ 2.4. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ В этом разделе мы остановимся более подробно на свойствах решений первой краевой задачи лишь для частного случая сильно эллиптического уравнения второго порядка с одним функциональным оператором n \ - i,j=1 aij (Ruxj )xi = f (x) (x ∈ Ω). (2.89) Здесь Ω - ограниченная область с гладкой границей, удовлетворяющая основному условию (1.5), aij = aji ∈ R (i, j = 1,..., n), а R - функциональный оператор вида (2.14) с постоянными комплексными коэффициентами, R = R(P ) = \ bk P k (bk ∈ C). k Запишем символ уравнения (2.89): n aR(λ, ξ) = a(ξ)r(λ), a(ξ) = \ aij ξiξj , r(λ) = \ bk λk . i,j=1 k Отсюда и из теорем 2.1, 2.2 следует, что сильная эллиптичность уравнения (2.89) в Ω равносильна эллиптичности дифференциального оператора n A = - \ aij i,j=1 и положительной определенности оператора ∂2 ∂xi∂xj Условие R + R∗ : L2(Rn) → L2(Rn). Re r(λ) > 0 (|λ| = qn/2) позволяет уточнить структуру функционального оператора. Данное условие означает, что на комплексной плоскости вектор, изображающий r(λ), не совершает ни одного оборота вокруг начала координат, когда точка λ проходит окружность |λ| = qn/2. В соответствии с принципом аргумента количество нулей функции r(λ) в круге |λ| < qn/2 совпадает с количеством полюсов r(λ) в этом же круге. Но единственным конечным полюсом (кратным) функции r(λ) может быть лишь начало координат. Оформим сделанное наблюдение. Лемма 2.12. Пусть уравнение (2.89) сильно эллиптическое в Ω ⊂ qΩ. Тогда символ r(λ) оператора R может быть записан в виде l1 r(λ) = \ k=-l2 l1+l2 bk λk = λ-l2 \ bk k=0 - 2 l λk , где l1 ;;: 0, l2 ;;: 0, bl1 /= 0, bl2 /= 0. Функция r(λ) имеет на комплексной плоскости l1 + l2 нулей, из которых l1 удовлетворяют условию |λ| > qn/2, а остальные l2 - условию |λ| < qn/2. Если λ1,..., λl1+l2 - корни r(λ), то можно считать, что |λj | > qn/2 (j = 1,..., l1), |λj | < qn/2 (j = l1 + 1,..., l1 + l2). Вновь воспользуемся разложением оператора R = в произведение R = R1R2, где l1 \ k=-l2 bk P k = /l1+l2 \ l P bk \ k - 2 k=0 P -l2 R1 = R1(P ) = bl1 (P - λ1I) ... (P - λl1 I), 2.4. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 87 R2 = R2(P ) = P -l2 (P - λl +1I) ... (P - λl +l I). 1 1 2 Напомним, что обобщенное решение первой краевой задачи u|∂Ω = 0 для уравнения (2.89) есть функция u ∈ H˚1(Ω), удовлетворяющая интегральному тождеству n \ (aij Rux , vx ) = (f, v) (2.90) i,j=1 при всех v ∈ H˚1(Ω), где f ∈ L2(Ω). j i L2(Ω) L2(Ω) Теорема 2.11. Пусть Ω - ограниченная область с гладкой границей, удовлетворяющая условию (1.5), уравнение (2.89) сильно эллиптическое в Ω и, кроме того, l2 = 0. Тогда всякое обобщенное решение первой краевой задачи для уравнения (2.89) принадлежит H2(Ω). Другими словами, если в сильно эллиптическом уравнении (2.89) присутствуют лишь сжатия аргументов, гладкость обобщенного решения сохраняется во всей области. Доказательство. В условиях теоремы R = R1 = bl1 (P - λ1I) ... (P - λl1 I). (2.91) Предположим вначале, что R = P - λ0I, где |λ0| > qn/2. Пусть u ∈ H˚1(Ω) - обобщенное решение первой краевой задачи для уравнения (2.89), т. е. имеет место интегральное тождество (2.90). Введем функцию w = (qP - λ0I)u ∈ H1(Ω). Тогда wxj = Ruxj ∈ L2(Ω), и по лемме 1.2 с учетом формулы (1.3) будем иметь ∞ uxj (x) = - m \ m=0 λ -(m+1) 0 wxj (q- x) (x ∈ Ω). (2.92) Для функции v ∈ H˚1(Ω) функция P -mv(x) = v(qmx) также принадлежит H˚1(Ω). Подставив ее в тождество (2.90) вместо v, получим n \ (aij wx , (P -mv)x ) = (f, P -mv) или j i,j=1 n i L2(Ω) L2(Ω) \ (aij P mwx , vx ) = (q-mP mf, v) . i,j=1 Мы воспользовались тем, что j i L2(Ω) L2(Ω) i (P -mv)x i = qmP -mvx , (P -m)∗ = q-nmP m. 0 Просуммировав полученные соотношения по всем m = 0, 1,... с коэффициентами -λ-(m+1), будем иметь n \ (aij ux , vx ) = ((q-1P - λ I)-1f, v) . i,j=1 j i L2(Ω) 0 L2(Ω) в силу (1.3). По лемме 1.2 оператор (q-1P - λ0I)-1 ограничен в L2(Ω) (а также в Hs(Ω) для любого s = 1, 2,.. .). Если оператор R имеет вид (2.91), то после l1 однотипных итераций приходим к интегральному тождеству n \ (aij ux , vx ) = (g, v)L (Ω) , (2.93) i,j=1 j i L2(Ω) 2 88 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ где g = [R(q-1P )]-1f ∈ L2(Ω). Из (2.93), в свою очередь, следует (2.90). Остается заметить, что тождество (2.93) определяет обобщенное решение первой краевой задачи для эллиптического уравнения n \ - i,j=1 aij uxixj = g(x) (x ∈ Ω) (2.94) с постоянными коэффициентами и правой частью из L2(Ω) в ограниченной области Ω с гладкой границей. Пример 2.7. Исследуем гладкость решений первой краевой задачи для уравнения со сжатием / √ / √ - - 2ux1 (x)+ ux1 (x/ 3) 4 x1 2ux2 (x)+ ux2 (x/ x 3) + ux1 - ux2 = f (x) (x ∈ Ω), 2 предполагая, что f ∈ L2(Ω), а Поскольку Ω = {x ∈ R2 : |x1| + 2|x2| < 1}. Re (2 + λ)(ξ2 + 4ξ2) > 0 (|λ| = √3), 1 2 рассматриваемое уравнение - сильно эллиптическое. Пусть u ∈ H˚1(Ω) - обобщенное решение краевой задачи. Тогда u является обобщенным решением краевой задачи и для уравнения / √ / √ - - 2ux1 (x)+ ux1 (x/ 3) 4 x1 2ux2 (x)+ ux2 (x/ 3) = F (x), x2 в котором правая часть F = -ux1 + ux2 + f по-прежнему лежит в L2(Ω). По теореме 2.11, u ∈ H2(Ω). Конечно, теорема 2.11 остается справедливой и для данной негладкой области (ромба) Ω, поскольку сводит вопрос к известному вопросу о гладкости решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения в Ω при g ∈ L2(Ω). -ux1x1 - 4ux2x2 = g Замечание 2.9. Из доказательства теоремы 2.11 и из результатов главы 1 видно, что обобщенное решение существует, единственно и принадлежит H2(Ω) и при менее жестком ограничении 1 |λj | ;;: qn/2 на корни λ1,..., λl полинома r(λ), хотя уравнение (2.89) может и не быть в этом случае сильно эллиптическим. Дело в том, что ряд в правой части (2.92) будет сходиться к uxj в L2(Ω) и для |λ0| = qn/2 (лемма 1.3). Поэтому с точки зрения обобщенного решения первой краевой задачи сохраняется эквивалентность уравнений (2.89) и (2.94). Как и прежде, обозначим Ω1 = Ω \ q-1Ω, Ωp = q1-pΩ1 (p = 2, 3,.. .). Теорема 2.12. Пусть Ω - ограниченная область с гладкой границей, удовлетворяющая условию (1.5), а уравнение (2.89) сильно эллиптическое в Ω. Если u ∈ H˚1(Ω) - обобщенное решение первой краевой задачи для уравнения (2.89), то u ∈ H2(Ωp) при p = 1, 2,.... Доказательство. Для u ∈ H˚1(Ω) можем записать Ruxj = R1R2uxj = R1(P )[R2(qP )u]xj . Рассмотрим оператор l2 R2(qP ) = (qP - λl1+1I) ... (qP - λl1+l2 I)(qP )- Имеем = (P - q-1 1 λl1+1I) ... (P - q- λl1+l2 I)P -l2 . |q-1λl +1| < qn/2-1,..., |q-1λl +l | < qn/2-1. 1 1 2 Применяя пункт (б) леммы 1.2, заключаем, что оператор R2(qP ) есть изоморфизм пространства H˚1(Ω). Поэтому, полагая w = R2(qP )u ∈ H˚1(Ω), приходим к равносильной записи интегрального тождества (2.90): n \ (aij R1wx , vx ) = (f, v) . i,j=1 j i L2(Ω) L2(Ω) 2.4. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 89 Отсюда и из доказательства теоремы 2.11 вытекает, что функция w является обобщенным решением первой краевой задачи для эллиптического уравнения n \ - i,j=1 aij wxixj = g1(x) (x ∈ Ω) с правой частью g1 = [R1(q-1P )]-1f ∈ L2(Ω); следовательно, w ∈ H2(Ω). Находя решение u исходной задачи по формуле u = [R2(qP )]-1w, заметим, что при обращении оператора R2(qP ) в H˚1(Ω) мы пользуемся формулой (1.4). При этом в силу финитности функции w ряд для определения u|Ωp вырождается в конечную сумму. Нарушение гладкости обобщенного решения на границе соседних подобластей Ωp в случае уравнения с растяжениями аргументов (l2 > 0) имеет ту же природу, что и для дифференциальноразностных уравнений - соответствующие примеры легко строятся. Напротив, следующий эффект нарушения гладкости связан именно с наличием в области Ω начала координат - неподвижной точки преобразования x 1→ q-1x. Пример 2.8. Рассмотрим краевую задачу -Δ[u(x)+ au(qx)] = f (x) (x ∈ Ω), (2.95) u|∂Ω = 0, (2.96) где Ω - ограниченная область с гладкой границей, удовлетворяющая условию (1.5); 0 /= a ∈ C, f ∈ L2(Ω). Критерием сильной эллиптичности уравнения (2.95) является условие |a| < qn/2-1. Кроме того, здесь R1 = I, R2(qP ) = I + aP -1 = a(P -1 + a-1I). Из доказательства теоремы 2.12 видно, что при |a| < qn/2-1 краевая задача (2.95), (2.96) имеет единственное обобщенное решение u = (I + aP -1)-1w, где w - решение задачи -Δw = f (x) (x ∈ Ω), w|∂Ω = 0. 0 Предположим теперь, что qn/2-2 |a| < qn/2-1. Возьмем w0 ∈ C∞(Ω1) и обозначим f0 = -Δw0, u0 = (I + aP -1)-1w0. 0 Функция u0 ∈ H˚1(Ω) есть обобщенное решение краевой задачи (2.95), (2.96) при f = f0 ∈ C∞(Ω1). Находим его, пользуясь формулой (1.6): ∞ u0(x) = \(-a)mw0(qmx) m=0 (поскольку выполнено условие |a-1| > q1-n/2, к оператору P -1 + a-1I применимо следствие 1.1). Понятно, что C∞ 0 (Ωp) ::i u0|Ωp = (-a) p-1 w0(q p-1 x) (x ∈ Ωp; p = 1, 2,.. .). Поэтому u0 ∈ H2(Ω \ Bε) для любой ε-окрестности Bε начала координат. В то же время вторые производные решения u0 растут при x → 0 так, что I I2 \ r α 2 2(p-1) \ r α ( p-1 ) 2 Iu0|Ωp IH2(Ωp) ;;: |D |α|=2 Ωp u0(x)| dx = |a| r D |α|=2 Ωp w0(q x) dx = = |a|2(p-1)q4(p-1) \ |α|=2 Ωp r α D w0(q p-1 2 x) dx = r ),∞ = |a|2(p-1)q(4-n)(p-1) \ |α|=2 Ω1 2 |Dαw0(x)|2 dx ;;: \ |α|=2 Ω1 2 |Dαw0|2 dx. Ряд p=0 u0|Ωp H2(Ωp) расходится и, следовательно, u0 ∈/ H (Ω). 90 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ Под конец отметим, что для сильно эллиптического уравнения n \ - i,j=1 (Rij uxj )xi = f (x) с различными операторами Rij вида (1.1) остается открытым вопрос даже о внутренней гладкости обобщенных решений первой краевой задачи в подобластях Ωp. Препятствием к применению в этой ситуации методов, развитых для дифференциально-разностных уравнений, является то, что приходится одновременно рассматривать поведение решения на бесконечном наборе окрестностей вида q-pO(x0), p = 0, 1,.... Очевидные трудности здесь связаны, например, с аппроксимацией обобщенных производных конечными разностями. 2.5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ Пусть Ω = (0, 1) × G, где G - ограниченная область в Rn-1. Рассмотрим дифференциальноразностное уравнение \ |α|,|β| m DαRαβ Dβ u = f (x) (x ∈ Ω), (2.97) в котором разностные операторы Rαβ имеют вид J Rαβ v(x) = \ j=-J aαβj v(x1 + jε, x2,..., xn) (ε > 0, aαβj ∈ C). Назовем функцию u ∈ H˚m(Ω), продолженную нулем для значений x1 < 0 и x1 > 1, обобщенным решением первой краевой задачи (с однородными краевыми условиями вида (2.2)) для уравнения (2.97) в области Ω с правой частью f ∈ L2(Ω), если интегральное тождество \ |α|,|β| m /Rαβ Dβ u, Dαv L2(Ω) = (f, v)L2(Ω) выполняется для любой функции v ∈ H˚m(Ω). При исследовании разрешимости первой краевой задачи для уравнения (2.97) неравенство Гординга Re \ |α|,|β| m /Rαβ Dβ u, Dαu L2(Ω) H ;;: c1 u 2 m (Ω) L2(Ω) - c2 u 2 0 (u ∈ C∞(Ω)) (2.98) играет аналогичную роль. В случае удовлетворения этому неравенству дифференциальноразностное уравнение (2.97) называется сильно эллиптическим в Ω. При фиксированном значении параметра сдвига ε уравнение (2.97) является частным случаем уравнения, рассмотренного в [87, 88]. Опираясь на результаты этих работ, легко выписать необходимые условия и достаточные условия сильной эллиптичности уравнения (2.97), формулируемые в виде положительности некоторых матричных полиномов. При этом элементами матриц будут выражения \ |α|,|β|=m aαβj ξα+β или нули, т. е. в них (в элементы) входят лишь коэффициенты из разностных операторов, в то время как строение и порядок матриц определяются параметром ε. Сейчас принципиально, что уравнение (2.97) будет рассматриваться для всех (в том числе сколь угодно малых) значений параметра сдвига ε. Соответственно, мы хотим найти условия на коэффициенты aαβj , обеспечивающие сильную эллиптичность уравнения (2.97) для всех ε > 0. При этом рассмотрение сколь угодно малых ε дает возможность предельного перехода по аналогии с разделом 2.1 (леммы 2.2 и 2.3, теорема 2.2), когда при неограниченном увеличении порядка матриц получаются условия, формулируемые в терминах скалярного символа дифференциальноразностного оператора. Этот символ несколько отличается от обычного и имеет вид aR(η, ξ) = \ \ aαβj exp(ijη)ξα+β (η ∈ R, ξ ∈ Rn), |α|,|β|=m |j| J 2.5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ 91 где i - мнимая единица. Он зависит от двух величин, меняющихся независимо: переменной ξ ∈ Rn, отвечающей дифференцированию, и переменной η ∈ R, отвечающей сдвигу (ср. с λ и ξ в символе функционально-дифференциального оператора с растяжениями и сжатиями аргументов). Обычным же символом будет aR(εξ1, ξ). Следующая лемма аналогична лемме 2.2. Лемма 2.13. Предположим, что имеется разностный оператор J Ru(x) = \ j=-J aj u(x1 + j, x2,..., xn) (aj ∈ C), (2.99) и для каждого натурального N матрица R = R(N ) есть матрица порядка N × N с элементами ρkj = ( aj-k , |j - k| J, (k, j = 1,...,N ). (2.100) 0, |j - k| > J Если матрицы R + R∗ положительно определены равномерно по N, то оператор R + R∗ : L2(Rn) → L2(Rn) положительно определен. Доказательство. Зафиксируем натуральное N и введем обозначения N Πk = (k - 1, k) × Rn-1, Π = I Πk . k=1 Рассмотрим (унитарное) отображение 2 L2(Π) ::i u 1-→ u = (u1 ... uN )T ∈ LN (Π1), uk (x) = u(x1 + k - 1, x2,..., xn) (x ∈ Π1, k = 1,...,N ). 2 Элементарно проверяется, что разностному оператору (2.99), действующему в L2(Π) (это действие, как обычно, включает продолжение функции нулем в Rn, применение (2.99) и последующее сужение результата на Π) отвечает оператор умножения на матрицу (2.100) в пространстве вектор-функций LN (Π1): 2 v = Ru (u, v ∈ L2(Π)) ⇐⇒ v = Ru (u, v ∈ LN (Π1)). Возьмем произвольную финитную функцию u ∈ L2(Rn). Поскольку скалярное произведение n (Ru, u)L2(Rn) инвариантно относительно сдвигов на векторы из R , можно без ограничения общности считать, что носитель функции u лежит в Π для некоторого N. Тогда в силу условий леммы 1 2 (Π1) Re (Ru, u)L2(Rn) = Re (Ru, u)L2(Π) = 2 ((R + R∗)u, u)LN ;;: LN ;;: c u 2 2 (Π1) = c u 2 L2(Π) = c u 2 L2(Rn), где постоянная c > 0 не зависит от N и u. Остается заметить, что финитные функции всюду плотны в L2(Rn). Теорема 2.13. Пусть Ω = (0, 1) × G, G - ограниченная область в Rn-1. Уравнение (2.97) является сильно эллиптическим в Ω для любого значения параметра ε > 0 тогда и только тогда, когда Доказательство. Re aR(η, ξ) > 0 (η ∈ R, 0 /= ξ ∈ Rn). (2.101) 0 Достаточность. Пусть u ∈ C∞(Ω). Интегрируя по частям и применяя теорему Планшереля, получим Re \ |α|,|β|=m /Rαβ Dβ u, Dαu r = L2(Ω) Rn Re aR(εξ1, ξ)|u˜(ξ)|2 dξ. Из (2.101) вытекает существование постоянной κ > 0 такой, что Re aR(η, ξ) ;;: κ|ξ|2m 92 ГЛАВА 2. СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СО СЖАТИЕМ И РАСТЯЖЕНИЕМ АРГУМЕНТОВ для всех η ∈ R и ξ ∈ Rn. Это неравенство имеет место в том числе и при η = εξ1. Поэтому r r Re aR(εξ1, ξ)|u˜(ξ)|2 dξ ;;: κ Hm(Ω) |ξ|2m|u˜(ξ)|2 dξ ;;: c1 u 2 Rn Rn в силу того, что supp u ⊂ Ω. Таким образом, при отсутствии младших членов неравенство Гординга выполняется с постоянной c2 = 0. Необходимость. Для доказательства необходимости будем рассматривать неравенство (2.98) при ε = 1/N, N = 1, 2,.... Обозначим I k - 1 k N Qk = N , N × G, k = 1,..., N, Q = k=1 Qk . Аналогично доказательству теоремы 2.2, будем подставлять в неравенство (2.98) функции с носителями в Q, u ∈ C∞(Q) ⊂ C∞(Ω). По каждой такой функции u(x) строим вектор-функцию 0 0 0 u = (u1 ... uN )T ∈ C∞,N (Q1), uk (x) = u(x1 + (k - 1)/N, x2,..., xn), k = 1,..., N. Производным Dαu, Dβ u отвечают вектор-функции Dαu, Dβ u, а функции Rαβ Dβ u - векторфункция Rαβ Dβ u, где Rαβ есть матрица порядка N × N с элементами ραβ ( aαβ,j-k , |j - k| J, При этом kj = (k, j = 1,...,N ). (2.102) 0, |j - k| > J /Rαβ Dβ u, Dαu L2(Ω) = /Rαβ Dβ u, Dαu , 2 LN (Q1) u 2 Hm(Ω) = \ 2 Dαu 2 (Q1) 2 , u L2(Ω) = u 2 L2 (Q1), LN N |α| m и из неравенства (2.98) вытекает оценка Re \ |α|,|β| m /Rαβ Dβ u, Dαu 2 LN (Q1) ;;: c1 \ |α| m Dαu 2 L 2 N (Q1) L 2 - c2 u 2 N (Q1), 0 справедливая для любой вектор-функции u ∈ C∞,N (Q1). Но эта оценка означает сильную эллиптичность системы дифференциальных уравнений в Q1 и поэтому влечет за собой (см. также доказательства теорем 2.2, 2.3) неравенство \ |α|,|β|=m αβ ξα+β ((Rαβ + R∗ )z, z) ;;: c3|ξ|2m|z|2 (ξ ∈ Rn, z ∈ CN ), в котором постоянная c3 > 0 определяется постоянными c1, c2 и не зависит от N, z и ξ. Здесь уместно подчеркнуть следующее: несмотря на то, что в разностный оператор Rαβ входит параметр ε = 1/N, при описанном матричном представлении ему отвечают в точности такие же матрицы, что и (2.100) в лемме 2.13 - последние строились по разностному оператору (2.99) с ε = 1. Так что если теперь сопоставить семейству матриц \ |α|,|β|=m ξα+β Rαβ (N ), N = 1, 2,..., действующий в L2(Rn) разностный оператор J \ j=-J ⎛ \ ⎝ |α|,|β|=m ⎞ aαβj ξα+β ⎠ v(x1 + j, x2,..., xn), 2.5. ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫМ УРАВНЕНИЯМ 93 зависящий от параметра ξ ∈ Rn, то по лемме 2.13 его симметрическая часть при ξ /= 0 будет положительно определена. Поскольку положительная определенность в L2(Rn) разностного оператора с постоянными коэффициентами равносильна положительности его символа, получаем Re \ \ aαβj exp(ijη)ξα+β > 0 (η ∈ R, 0 /= ξ ∈ Rn), |α|,|β|=m |j| J т. е. (2.101) (переменная η - двойственная к x1 переменная относительно преобразования Фурье). Теорема доказана. Следствие 2.4. Предположим, что выполнено условие (2.101) и, кроме того, Rαβ = 0 для |α| + |β| < 2m (в уравнении (2.97) отсутствуют младшие члены). Тогда при произвольной фиксированной функции f из L2(Ω) и любом значения параметра сдвига ε > 0 первая краевая задача для уравнения (2.97) имеет единственное обобщенное решение u = uε(x). При этом uε - u0 Hm(Ω) → 0, ε → 0, где u0(x) - решение задачи Дирихле для «предельного» сильно эллиптического дифференциального уравнения \ |α|,|β|=m Dαaαβ Dβ u0(x) = f (x) (x ∈ Ω), aαβ = \ aαβj . (2.103) |j| J Доказательство. Как видно из доказательства теоремы 2.13, в условиях данного следствия имеет место неравенство в котором Re \ |α|,|β|=m /Rαβ Dβ u, Dαu L2(Ω) H ;;: c1 u 2 m (Ω) 0 (u ∈ C∞(Ω)), (2.104) c1 = κ = min{Re aR(η, ξ) : η ∈ R, |ξ| = 1} > 0 не зависит от ε > 0. Применяя стандартные рассуждения, описанные в разделе 2.3, убеждаемся в существовании единственного обобщенного решения uε первой краевой задачи для уравнения (2.97). Кроме того, условие Re aR(0, ξ) = Re \ |α|,|β|=m aαβ ξα+β > 0 (0 /= ξ ∈ Rn), означающее сильную эллиптичность дифференциального уравнения (2.103), гарантирует однозначную разрешимость задачи Дирихле и для уравнения (2.103). Доказательство сходимости uε - u0 Hm(Ω) → 0, ε → 0 опирается на равномерную по ε оценку (2.104) и полностью повторяет соответствующие рассуждения из доказательства леммы 2.11. Пример 2.9. В квадрате Ω = (0, 1) × (0, 1) рассмотрим краевую задачу -Δ(u(x1, x2)+ bu(x1 + ε, x2)+ bu(x1 - ε, x2)) = f (x) ((x1, x2) ∈ Ω), (2.105) u|∂Ω = 0. (2.106) Символ уравнения (2.105) имеет вид aR(η, ξ) = (1 + 2b cos η)(ξ2 + ξ2), 1 2 так что условие (2.101) сводится к следующему требованию: |Re b| < 1/2. Итак, для всех значений параметров ε > 0 и b ∈ C, |Re b| < 1/2, краевая задача (2.105), (2.106) имеет по следствию 2.4 единственное обобщенное решение uε(x1, x2), которое при ε → 0 стремится в пространстве H˚1(Ω) к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона -Δu = f (x)/(1 + 2b). 94 ГЛАВА 3. ОБЩАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ ГЛАВА 3 ОБЩАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ 3.1. ОПЕРАТОРЫ СЖАТИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ СИМВОЛОВ В данной главе рассматривается общая краевая задача l Au ≡ \ \ ajα(x)Dα(u(q-j x)) = f (x) (x ∈ Ω), (3.1) j=0 |α| 2m Tj (x, D)u(x) = gj (x) (j = 1,..., m; x ∈ ∂Ω). (3.2) Сейчас мы считаем, что Ω ⊂ Rn - ограниченная область с гладкой границей, удовлетворяющая условию Ω ⊂ qΩ; коэффициенты уравнения - гладкие в Ω функции; Tj (x, D) - дифференциальные операторы порядка mj с гладкими на ∂Ω коэффициентами. Задаче (3.1), (3.2) отвечает ограниченный оператор в соболевских пространствах m L = [A, T1,..., Tm] : Hs+2m(Ω) → Hs(Ω) × n Hs+2m-mj -1/2(∂Ω), j=1 s ;;: 0, s + 2m - max mj ;;: 1. Символом оператора A будем называть выражение l a(x, ξ, λ) = \ \ ajα(x)ξαλj (x ∈ Ω, ξ ∈ Rn, λ ∈ C). j=0 |α|=2m Целью главы является доказательство фредгольмовости оператора L. Это будет сделано в предположении эллиптичности соответствующей «локальной» задачи L0 = [A0, T1,..., Tm], A0 = \ |α| 2m a0α(x)Dα (сюда входят слагаемые, не содержащие преобразований аргументов). Опираясь на существование регуляризатора «локальной» задачи и при условии a(0, ξ, λ) /= 0 (|λ| qn/2-2m, 0 /= ξ ∈ Rn) на символ функционально-дифференциального оператора, мы строим регуляризатор исходной задачи с применением теории псевдодифференциальных операторов. Основной результат содержится в разделе 3.3. В настоящем и следующем разделах излагается подготовительный материал. Как это обычно принято (см., например, [54, 55]), для каждого вещественного m обозначим через Sm = Sm(Rn × Rn) множество всех функций a ∈ C∞(Rn × Rn) таких, что при любых мультииндексах α, β выполнены неравенства |DαDβ a(x, ξ)| cαβ (1 + |ξ|)m-|α| (x, ξ ∈ Rn). ξ x с не зависящими от x и ξ положительными постоянными cαβ . Множество Sm называется пространством символов порядка m. Это множество уже фигурировало в главе 2 (замечание 2.6). На Sm определены полунормы p(m) α|-m α β αβ (a) = sup x,ξ∈Rn (1 + |ξ|)| |Dξ Dx a(x, ξ)|. Наделенное такими полунормами, Sm становится пространством Фреше. Пусть q > 1. Рассмотрим отображение Λ : Sμ → Sμ, (Λa)(x, ξ) = a(q-1x, qξ) (a ∈ Sμ), непрерывное в Sμ при любом μ. Конечные линейные комбинации вида ), ak (x, ξ)Λk с коэффициентами из Sm представляют, очевидно, ограниченные операторы Sμ → Sμ+m. Нам понадобятся и бесконечные линейные комбинации, т. е. ряды, введение которых подразумевает определенную 3.1. ОПЕРАТОРЫ СЖАТИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ СИМВОЛОВ 95 степень убывания коэффициентов ak . Получающимся при этом операторам будут соответствовать аналитические в круге Qr = {λ ∈ C : |λ| < r} функции a(λ) со значениями в Sm. Заметим, что скалярные аналитические в Qr функции a(λ) суть в точности суммы степенных рядов ∞ \ ak λk k=0 с коэффициентами ak такими, что для любого r∗ < r выполнены неравенства |ak | max |a(λ)| r∗-k |λ|=ru (неравенства Коши). Это соответствие, основанное на интегральной формуле Коши, очевидным образом переносится на аналитические функции со значениями в пространстве Фреше. Пусть X - пространство Фреше с топологией, порожденной счетной системой полунорм pN , N = 1, 2,.... Семейство X-значных аналитических в открытом множестве Q ⊂ C функций обозначим H(Q, X). Если Q = Qr , то ряд ∞ f (λ) = \ fk λk (fk ∈ X) k=0 представляет функцию f ∈ H(Qr ,X) тогда и только тогда, когда pN (fk ) cN (r∗)r∗-k (r∗ < r). (3.3) При этом в неравенстве (3.3) fk = (k!)-1f (k)(0), cN (r∗) = max pN (f (λ)). |λ|=ru На пространстве H(Qr ,X) определены полунормы pN,ru (f ) = max pN (f (λ)) (N = 1, 2,... ; r∗ < r). |λ|=ru Для произвольной последовательности чисел 0 < r1 < r2 < . . . < r, rj → r, счетный набор полунорм pN,rj задает на H(Qr ,X) топологию пространства Фреше. В случае αβru X = Sm соответствующие полунормы будем обозначать p(m,r). А именно, p(m,r) (m) m αβru (a) = max pαβ (a(λ)) (a ∈ H(Qr ,S |λ|=ru )). Теорема 3.1. Пусть функция a = a(x, ξ, λ) принадлежит пространству H(Qr , Sm) и удовлетворяет условию Тогда формула (k) ∂ k a(x, ξ, λ) ∂λk λ=0 0 a (x, ξ, 0) ≡ | = 0 (k = 1, 2,... ; |ξ| C ). (3.4) ∞ a(x, ξ, Λ)u = \ 1 a(k)(x, ξ, 0)Λk u (3.5) k! k=0 определяет непрерывное билинейное отображение H(Qr , Sm) × Sμ ::i (a, u) -→ a(x, ξ, Λ)u ∈ Sμ+m для всех μ < logq r. Доказательство. Используя для коэффициента (j!)-1a(j)(x, ξ, 0) сокращенное обозначение aj (x, ξ), оценим полунормы функции aj Λj u в пространстве Sm+μ. В силу условия (3.4) на коэффициенты aj можно записать p(m+μ) j |α|-(m+μ) α β j αβ (aj Λ u) = sup x∈Rn, |ξ|;;:C0 (1 + |ξ|) |Dξ Dx (aj Λ u)(x, ξ)|. 96 ГЛАВА 3. ОБЩАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ Применяя (3.3) в ситуации X = Sm, получим при r∗ < r: (1 + |ξ|)|α1|-m |Dα1 Dβ1 aj (x, ξ)| p(m) (aj ) p(m,r) (a)r∗-j . (3.6) ξ x Используя очевидное неравенство α1β1 α1β1ru 1+ |ξ| |α2|-μ 1+ t|ξ| C1tμ-|α2| (t ;;: 1, |ξ| ;;: C0), в котором C1 > 0 зависит лишь от C0 и α2, при |ξ| ;;: C0 будем иметь (1 + |ξ|)|α2|-μ |Dα2 Dβ2 (Λj u)(x, ξ)| = ξ x = qj(|α2|-|β2|)(1 + |ξ|)|α2|-μ |(Dα2 β2 -j j ξ Dx u)(q x, q ξ)| α2β2 qj|α2|(1 + |ξ|)|α2|-μ(1 + qj |ξ|)μ-|α2|p(μ) α2β2 (u) C1qjμp(μ) (u). (3.7) Применяя формулу Лейбница и учитывая (3.6), (3.7), получим при |ξ| ;;: C0 и r∗ < r (1 + |ξ|)|α|-(m+μ) |Dα β j ξ Dx (aj Λ u)(x, ξ)| \ α β (1 + ξ )|α1|-m Dα1 Dβ1 a (1 + ξ )|α2|-μ Dα2 Dβ2 Λj u 1 α α1+α2=α β1+β2=β β1 | | ⎧ | ξ x j | | | ⎫ | ξ x | \ ⎪⎨ C2 p(m,r) (μ) ⎪⎬ qμ j ⎩ ⎪ α1+α2=α β1+β2=β α1β1ru (a)pα2β2 (u) ⎪⎭ r∗ с постоянной C2 > 0, зависящей лишь от α, β (и C0). Если r > qμ, то можно взять r∗ > qμ. Тогда ряд (3.5) сходится в Sm+μ, причем αβ (a(x, ξ, Λ)u) cαβ (r∗) \ pα β r (a)pα β (u). p(m+μ) (m,r) (μ) Полученная оценка доказывает теорему. 1 1 u 2 2 В заключение отметим, что требование (3.4) (в соответствии с которым все коэффициенты ряда (3.5), начиная с номера j = 1, равны нулю при малых ξ), совершенно не обременительное с точки зрения теории псевдодифференциальных операторов, позволяет игнорировать рост производных по ξ в точке ξ = 0 у функций Λj u при неограниченном увеличении j. Функции из H(Qr , Sm), удовлетворяющие условию (3.4), будем называть символами класса (m, r). Каждому символу a(x, ξ, λ) класса (m, r) по теореме 3.1 соответствует ограниченный оператор a(x, ξ, Λ) : Sμ → Sμ+m (μ < logq r). Рассмотрим вопрос о композиции операторов. Теорема 3.2. Пусть a = a(x, ξ, λ), b = b(x, ξ, λ) - символы класса (m1, r), (m2, r) соответственно. Тогда произведение a(x, ξ, Λ)b(x, ξ, Λ) есть оператор c(x, ξ, Λ) с символом c(x, ξ, λ) класса (m1 + m2, q-m2 r). Билинейное отображение H(Qr , Sm1 ) × H(Qr , Sm2 ) ::i (a, b) -→ c ∈ H(Qq-m2 r , Sm1+m2 ) непрерывно. Доказательство. Перемножая ряды, получим где / ∞ \ ak (x, ξ)Λk k=0 \/ ∞ \ \ bk (x, ξ)Λk k=0 k ∞ = \ ck (x, ξ)Λk , k=0 ck (x, ξ) = \ aj (x, ξ)bk-j (q- x, q ξ). (3.8) j j j=0 3.1. ОПЕРАТОРЫ СЖАТИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ СИМВОЛОВ 97 Из (3.8) следует, что ck ∈ Sm1+m2 и выполняется условие (3.4). Оценим полунормы ck в Sm1+m2 : p(m1+m2) α|-(m1+m2) α β αβ (ck ) = sup x∈Rn, |ξ|;;:C0 (1 + |ξ|)| |Dξ Dx ck (x, ξ)|. Аналогично доказательству теоремы 3.1 будем иметь (1 + |ξ|)|α1|-m1 |Dα1 Dβ1 aj | p(m1,r) (a)r∗-j ; ξ x α1β1ru (1 + |ξ|)|α2|-m2 |Dα2 Dβ2 Λj bk j | C qjm2 p(m2)(bk j ) C qjm2 p(m2,r) (b)r∗j-k . Тогда ξ x p(m1+m2) j - 3 jm2 α2β2 k \ - 3 (m1,r) α2β2ru (m2,r) αβ (aj Λ bk-j ) C4q r∗- pα β ru (a)pα β ru (b) 1 1 2 2 α1+α2=α β1+β2=β и p(m1+m2) C5 \ p(m1,r) (m2,r) αβ (ck ) (q-m2 r∗)k α1+α2=α β1+β2=β α1β1ru (a)pα2β2ru (b). Постоянные C3, C4 и C5 зависят лишь от мультииндексов. Поскольку r∗ < r произвольно, для любого r¯ < q-m2 r верна оценка p(m1+m2) ⎧ ⎪⎨ \ (m1,r) ⎫ ⎬ -k (m2,r) ⎪ αβ (ck ) Cαβ (r¯) ⎩ ⎪ α1+α2=α β1+β2=β pα1,β1,qm2 r¯(a)pα2,β2,qm2 r¯(b) r¯ . ⎪⎭ Поэтому, взяв любое достаточно малое ε > 0 (r¯ + ε < q-m2 r), для символа будем иметь ∞ c(x, ξ, λ) = \ ck (x, ξ)λk k=0 m2 p p (m1+m2,q- αβr¯ r)(c) Cαβ (r¯, ε) \ (m1,r) α ,β ,qm (a)p (m2,r) (b). Теорема доказана. α1+α2=α β1+β2=β 1 1 2 (r¯+ε) α2,β2,qm2 (r¯+ε) Из теоремы 3.2 следует, что операторы a(x, ξ, Λ) образуют алгебру. Центральное место этого раздела - доказательство следующей теоремы обращения. Теорема 3.3. Пусть l a(x, ξ, λ) = 1 + \ aj (x, ξ)λj (λ ∈ C; aj ∈ S0) j=1 и выполнены следующие условия: aj (x, tξ) = aj (x, ξ) (t ;;: 1, |ξ| ;;: 1); supp aj ⊂ K × {|ξ| ;;: q-1 для некоторого компакта K ⊂ Rn. Если число r > 0 таково, что имеет место соотношение a(0, ξ, λ) /= 0 (|ξ| = 1, |λ| < r), то существует обратный оператор (a(x, ξ, Λ))-1 с символом b(x, ξ, λ) класса (0, r), причем b(x, ξ, 0) = 1 и supp b(k)(x, ξ, 0) ⊂ K × {|ξ| ;;: q-1 (k = 1, 2,.. .). 98 ГЛАВА 3. ОБЩАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ Доказательство. Доказательство проводится по той же схеме, что применялась при доказательстве теоремы 1.6. Воспользуемся формулой (3.8) композиции для построения оператора b(x, ξ, Λ), обратного к a(x, ξ, Λ). Равенство a(x, ξ, Λ)b(x, ξ, Λ) = I приводит к системе ⎧ ⎪⎨ b0(x, ξ) = 1, bk (x, ξ) = - min(k,l) ), aj (x, ξ)bk-j (q- x, q ξ) (k = 1, 2,.. .). (3.9) j j ⎩⎪ j=1 Равенство b(x, ξ, Λ)a(x, ξ, Λ) = I дает ⎧ ⎪⎨ b0(x, ξ) = 1, ⎩⎪ bk (x, ξ) = - min(k,l) ), j=1 aj (qj-k x, qk-j ξ)bk -j (x, ξ) (k = 1, 2,.. .). (3.10) Аналогично доказательству теоремы 1.6 убеждаемся, что обе системы задают одну и ту же формулу для коэффициентов bk (x, ξ): bk (x, ξ) = (-1)k det Ak (x, ξ), k = 0, 1,..., где матрица Ak (x, ξ) порядка k × k имеет вид ⎛ a1(x, ξ) a2(x, ξ) ... ak-1(x, ξ) ak (x, ξ) ⎞ ⎜ 1 a1(q-1x, qξ) ... ak 2(q-1x, qξ) a (q-1x, qξ) ⎟ ⎜ - 2 2 k-1 2 2 ⎟ k A (x, ξ) = ⎜ ⎜ 0 1 ... ak-3(q- x, q ⎟ . ξ) ak-2(q- x, q ξ) ⎟ . . . . . ⎜ . . ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 ... 1 a1(q1-k x, qk-1ξ) Из (3.9) следует, что функции bk (x, ξ) принадлежат S0 и supp bk (x, ξ) ⊂ K × {|ξ| ;;: q-1 (k = 1, 2,.. .). Для доказательства теоремы достаточно показать, что p(0) α| α β ∗ ∗-k αβ (bk ) = sup x∈K, |ξ|;;:q-1 (1 + |ξ|)| |Dξ Dx bk (x, ξ)| cαβ (r )r (k = 1, 2,.. .) (3.11) для любого r∗ < r. Введем вектор-столбец Bk = (bk+l,..., bk+1)T (k = 0, 1,.. .) и матрицу G(x, ξ) порядка l × l: ⎛ -a1(q1-lx, ql-1ξ) -a2(q2-lx, ql-2ξ) ... -al(x, ξ) ⎞ ⎜ ) = ⎜ G(x, ξ ⎜ ⎜ 1 0 ... 0 ⎟ ⎟ . 0 1 ... 0 ⎟ ⎟ . . . . ⎜ . . ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 ... 0 Если из матрицы G(x, ξ) удалить первую строку, то слева будет расположена единичная матрица порядка l-1, а справа - нулевой столбец длины l-1. Используя однородность по ξ коэффициентов aj , перепишем G(x, ξ) при |ξ| ;;: 1 в виде ⎛ -a1(q1-lx, ξ) -a2(q2-lx, ξ) ... -al(x, ξ) ⎞ ⎜ ⎜ G(x, ξ) = ⎜ ⎜ 1 0 ... 0 ⎟ . ⎟ 0 1 ... 0 ⎟ ⎟ . . . . ⎜ . . ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 ... 0 Положим Gk (x, ξ) = G(q-k x, qk ξ). Тогда Gk (x, ξ) = G(q-k x, qξ) при |ξ| ;;: q-1. Система (3.10) может быть записана в виде рекуррентных соотношений Bk = Gk Bk-1 (k = 1, 2,.. .), 3.1. ОПЕРАТОРЫ СЖАТИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ СИМВОЛОВ 99 или Докажем оценку Bk = Gk Gk-1 ... G1B0. (3.12) sup (1 + |ξ|)|α| IDαDβ (Gk Gk 1 ...G )(x, ξ)I cαβ (r∗)r∗-k (3.13) x∈K, |ξ|;;:q-1 I 1 I ξ x - I I (r∗ < r; k = 1, 2,.. .) индукцией по α и β (в (3.13) · обозначает матричную норму). В силу однородности функций aj по второму аргументу имеем sup Gk Gk-1 ... G1 = sup I IG(q-k x, η) ... G(q-1 I x, η)I = x∈K, |ξ|;;:q-1 = sup x∈K, |η|;;:1 I I IG(q-k x, η) ... G(q-1x, η)I = gk ... g1 , I I B x∈K, |η|=1 I I где gk = G(q-k x, η) - элементы банаховой алгебры B непрерывных на компакте K × {|ξ| = 1} матриц порядка l × l. Если g = G(0, η), то, как нетрудно видеть, k gk - g B cq- . Это следует из гладкости коэффициентов по x - достаточно применить дифференциальную теорему о среднем. Пусть ρ(g) обозначает спектральный радиус элемента g ∈ B. По лемме 1.7 gk ... g1 M˜ (r¯)r¯k (r¯ > ρ(g)). Оценим ρ(g). Характеристическое уравнение для определения собственных значений матрицы G(0, η) имеет вид zl + a1(0, η)zl-1 + ... + al(0, η) = 0 (3.14) (достаточно раскрыть det(G(0, η) - zE) по первому столбцу). После замены z = λ-1 уравнение (3.14) примет вид a(0, η, λ) = 0. По условию теоремы a(0, η, λ) /= 0 (|η| = 1, |λ| < r). Следовательно, все корни zj = zj (η) уравнения (3.14) таковы, что |zj | r-1 (j = 1,..., l; |η| = 1). Поскольку спектр элемента g ∈ B есть объединение по всем η ∈ Sn-1 собственных значений матриц G(0, η), отсюда вытекает, что ρ(g) r-1. Если r∗ < r, то r¯ = r∗-1 > r-1 ;;: ρ(g) и sup x∈K, |ξ|;;:q-1 k Gk Gk-1 ... G1 = gk ... g1 B M˜ (r∗)r∗- (k = 1, 2,.. .). Таким образом, для α = β = 0 оценка (3.13) доказана. Предположим теперь, что оценка (3.13) справедлива для всех мультииндексов γ = (α, β) таких, что Рассмотрим ∂ |γ| = |α| + |β| N. ∂ ∂xi D γ ξ,x (Gk ... G1), ∂ξi D γ ξ,x (Gk ... G1) (|γ| = N ; i = 1,..., n). По формуле Лейбница, ∂ ∂xi D γ ξ,x ξ,x (Gk ... G1) = Dγ k k \ Gk ... Gj+1 j=1 ∂Gj ∂xi Gj- 1 ... G1 = = \ γ γ1 \ Dγ2 (G D ...G ) ∂G (G ...G ). Аналогично, γ1 γ2 γ1 γ 2 γ j=1 ξ,x k D ∂ j+1 D γ1-γ2 ξ,x j ∂xi γ-γ1 ξ,x j-1 1 ∂ξi γ ξ,x (Gk ... G1) = 100 ГЛАВА 3. ОБЩАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ \ γ2 \ 1 γ γ k = D (G D ...G ) ∂G (G ...G ). γ1 γ2 γ1 γ 2 γ j=1 ξ,x k j+1 D γ1-γ2 ξ,x j ∂ξi γ-γ1 ξ,x j-1 1 Заметим, что для любого мультииндекса γ = (α, β) найдется константа Mγ такая, что I I γ α| -1 I I IDξ,xGj (x, ξ)I Mγ (1 + |ξ|)-| (j = 1, 2,... ; |ξ| ;;: q , x ∈ K). Отсюда с учетом предположения индукции и замечания 1.6 вытекает, что при x ∈ K, |ξ| ;;: q-1, r∗ < r справедлива оценка (1 + ξ )|α| ∂ I I I | | Dγ I I (G ...G )I \ k I \ I(1 + |ξ|)|α2|Dγ2 (G ...G I )I × I ∂xi ξ,x k 1 I γ2 γ1 γ j=1 I ξ,x k j+1 I I × I(1 + |ξ|)|α1-α2|Dγ1-γ2 ∂Gj I I I · I(1 + |ξ|)|α-α1|Dγ-γ1 (Gj 1 ...G )I I ξ,x I k I ∂xi I I I ξ,x - 1 I C6 \ 2 \ cγ (r∗)r∗j-k Mγ cγ - 1 γ (r∗)r∗1-j Cγ (r∗)kr∗-k . γ2 γ1 γ j=1 Взяв малое ε > 0, можем записать r - ε ∗ k kr∗-k = k r∗ (r∗ - ε)-k C(r∗, ε)(r∗ - ε)-k (k = 1, 2,.. .), что дает при любом r∗ < r на множестве x ∈ K, |ξ| ;;: q-1 оценку (1 + ξ )|α| ∂ I I I | | Dγ I I (G ...G )I C (r∗)r∗-k I ∂xi ξ,x k 1 I γ (с новой постоянной Cγ (r∗)). Аналогично (1 + ξ )|α|+1 ∂ I I I | | Dγ I I (G ...G )I C (r∗)r∗-k . I ∂ξi ξ,x k 1 I γ Оценка (3.13) доказана. Из (3.12), (3.13) следует, что (1 + |ξ|)|α| DαDβ Bk (x, ξ) \ I(1 + |ξ|)|α1|Dα1 Dβ1 (Gk ... G1)(x, ξ)I × I ξ x I α2 × I α2 β2 ξ x I I α1 α β1 β I I ξ x I ∗ ∗-k I(1 + |ξ|)| |D D B0(x, ξ)I cαβ (r )r (k = 1, 2,.. .) при x ∈ K, |ξ| ;;: q-1, r∗ < r. Получили (3.11). Теорема доказана. 3.2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ Вспомним теперь, что каждому символу a(x, ξ), a ∈ Sm, отвечает непрерывный оператор Op(a) = A(x, D) : S(Rn) → S(Rn) в пространстве Шварца S(Rn) быстро убывающих функций, определенный по формуле r A(x, D)u = (2π)-n/2 Rn eixξ a(x, ξ)u(ξ) dξ, u( и называемый псевдодифференциальным оператором порядка m ( ξ) - преобразование Фурье функции u(x)). Как уже было отмечено выше, такой оператор продолжается до непрерывного оператора в соболевских пространствах A(x, D) : Hμ(Rn) → Hμ-m(Rn), μ ∈ R (см., например, [55, теоремы 18.1.11, 18.1.13]). Кроме того, из доказательства упомянутых теорем видно, что соответствующая норма оператора A оценивается суммой конечного числа полунорм символа a: A L(Hμ(Rn); Hμ-m(Rn)) const \ α,β αβ p(m)(a). (3.15) 3.2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ 101 Другими словами, отображение ( ) также непрерывно. Sm ::i a -→ A ∈ L Hμ(Rn); Hμ-m(Rn) Для банаховых пространств X, Y через L(X, Y ) обозначается банахово пространство линейных ограниченных операторов из X в Y, а через K(X, Y ) - подпространство пространства L(X, Y ), состоящее из компактных операторов. Далее, если a ∈ Sm1 , b ∈ Sm2 , то композиция A(x, D)B(x, D) есть псевдодифференциальный оператор с символом σ(AB) ∈ Sm1+m2 , допускающим асимптотическое разложение σ(AB) ∼ \ 1 ξ x Dαa(x, ξ)Dαb(x, ξ) α α! (см. [55, теорема 18.1.8]). Это означает, что для любого N = 0, 1,... остаточный член σ(AB) - \ (α!)-1Dαa(x, ξ)Dαb(x, ξ) ξ x |α|<N принадлежит классу Sm1+m2-N . Кроме того, в ходе доказательства теоремы 18.1.8 выводится также непрерывность билинейного отображения Sm1 × Sm2 ::i (a, b) -→ σ(AB) - \ 1 (Dαa)(Dαb) ∈ Sm1+m2-N . α! ξ x |α|<N Показано, что всякая полунорма остаточного члена в Sm1+m2-N оценивается некоторой конечной суммой произведений полунорм функции a в Sm1 на полунормы функции b в Sm2 : ⎛ p(m1+m2-N ) ⎞ 1 α α (m1) (m2) αβ ⎝σ(AB) - \ α! |α|<N (Dξ a)(Dx b)⎠ const \ pα β (a)pα β (b) (3.16) 1 1 2 2 α1,β1 α2,β2 (сумма в правой части содержит конечное число членов). В случае, когда a(x, ξ) = a(x), имеем σ(AB) = a(x)b(x, ξ), если же b(x, ξ) = b(ξ), то, очевидно, σ(AB) = a(x, ξ)b(ξ). Пусть P, как и ранее, обозначает функциональный оператор, соответствующий сжатию переменной x: Pu(x) = u(q-1x). Вспомним, что и, кроме того, P k B(L2(Rn)) = P k B(L2(Rn)) = qkn/2 (k = 0, 1,.. .) P A(x, D) = A(q-1x, qD)P (3.17) для всякого ПДО A(x, D), где A(q-1x, qD) обозначает ПДО с символом a(q-1x, qξ). Теорема 3.4. Пусть a(x, ξ, λ) - символ класса (m, r). Тогда формулой ∞ a(k) A(x, D, P )u = \ 1 Op / (x, ξ, 0) P k u (3.18) определен ограниченный оператор k! k=0 для всех μ > n/2 - logq r. A(x, D, P ) : Hμ(Rn) -→ Hμ-m(Rn) Доказательство. Пусть χ(ξ) ∈ C∞(Rn) - срезающая функция: χ(ξ) = 0 при |ξ| ε, χ(ξ) = 1 при |ξ| ;;: C0, где C0 - константа из (3.4). Тогда, учитывая поведение коэффициентов ak (x, ξ) = (k!)-1a(k)(x, ξ, 0) при малых ξ (условия (3.4)), оператор Ak (x, D) можно разложить в произведение Ak (x, D) = Ak,1(x, D)Ak,2(D), 102 ГЛАВА 3. ОБЩАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ ak,1(x, ξ) = ak (x, ξ)|qk ξ|-μ, ak,2(x, ξ) = χ(ξ)|qk ξ|μ. Очевидно, ak,1 ∈ Sm-μ, ak,2 ∈ Sμ. Представим k-й член ряда (3.18) в виде Ak (x, D)P k = Ak,1(x, D)P k Ak,2(q-k D). Понятно, что отображение a(x, ξ) 1→ |ξ|-μa(x, ξ) из Sm в Sm-μ непрерывно на подпространстве символов, обращающихся в ноль при |ξ| C0. Поэтому p(m-μ) μk \ (m) ⎛ (m,r) ⎞ μ ∗ -k αβ (ak,1) const · q- pα β (ak ) const ⎝ \ pα β r (a)⎠ (q r ) 1 1 α1,β1 α1,β1 1 1 u для всех r∗ < r и k = 0, 1,.... Принимая во внимание (3.15), будем иметь ⎛ \ (m,r) ⎞ μ ∗ -k Ak,1 L(L2(Rn); Hμ-m(Rn)) const ⎝ Очевидно также, что последовательность α,β pαβru (a)⎠ (q r ) . ограничена в Sμ. Поэтому ak,2(q-k ξ) = χ(q-k ξ)|ξ|μ Таким образом, L(H Ak,2(q-k D) μ(Rn ); L2(Rn)) const (k = 0, 1,.. .). L(H Ak P k μ(Rn ); H μ-m (Rn)) Ak,1 L(L2(Rn ); H μ-m (Rn P k )) B(L2(Rn)) × × Ak,2(q-k D) μ n ⎛ ⎝ n const \ ⎞ / qn/2-μ \k p(m,r)(a)⎠ . L(H (R ); L2(R )) α,β αβru r∗ Если r > qn/2-μ, то можно взять r∗ > qn/2-μ. Тогда ряд ∞ \ Ak (x, D)P k k=0 сходится по операторной норме, и справедлива оценка (постоянная справа зависит от r∗) Теорема доказана. A L(Hμ(Rn); Hμ-m(Rn)) const \ α,β αβru p(m,r)(a) (q n/2-μ < r∗ < r). Заметим, что мы установили также непрерывность отображения ∈ L H(Qr , Sm) ::i a -→ A (Hμ(Rn); Hμ-m(Rn)) . Если a(x, ξ, λ) - символ класса (m, r), то оператор A(x, D, P ) из теоремы 3.4 будем называть псевдодифференциальным оператором со сжатием аргументов (класса (m, r)). Для символов a ∈ Sm1 , b ∈ Sm2 , обращающихся в ноль при |ξ| C0, символ произведения операторов A(x, D)B(x, D) этому условию, вообще говоря, не удовлетворяет. Поэтому мы будем рассматривать операторы (3.18) и для произвольных функций a ∈ H(Qr , Sm). Теорема 3.5. Если a ∈ H(Qr , Sm) и r > qn/2, то ряд (3.18) задает ограниченный оператор A(x, D, P ) : Hμ(Rn) -→ Hμ-m(Rn) для всех μ ;;: 0. 3.2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ 103 Доказательство. 1. В случае μ = 0 аналогично теореме 3.4 Ak P k L(L2(Rn ); H -m(Rn)) Ak L(L2(Rn ); H -m(Rn)) P k B(L2(Rn)) ⎛ \ (m,r) ⎞ / qn/2 \k откуда следует, что const ⎝ α,β pαβru (a)⎠ , r∗ \ (m,r) A L(L2(Rn); H-m(Rn)) const α,β pαβru (a) для r∗ из интервала qn/2 < r∗ < r (постоянная справа, конечно, зависит от r∗). 2. В случае натурального μ в силу теоремы о замкнутом графике достаточно показать, что Au ∈ Hμ-m(Rn), если u ∈ Hμ(Rn). Зафиксируем мультииндекс α, |α| μ. По формуле Лейбница α DαAk (x, D)u = \ β α β Ak,α- β (x, D)Dβ u, / α-β где Ak,α-β (x, D) = Op Dx a(x, ξ) . Тогда ∞ DαA(x, D, P )u = \ α \ β Ak,α-β (x, D)Dβ (P k u) = ∞ = \ α \ A β α β k=0 k β α β β β β α k=0 k,α-β (x, D)(q-| |P ) D u = \ β α β Aα-β (x, D, q-| |P )D u. Заметим, что если a ∈ H(Qr , Sm), то функция Dγ1 Dγ2 a(x, ξ, t-1λ) принадлежит пространству ξ x H(Qtr , Sm-|γ1|) для любых мультииндексов γ1, γ2 и любого t > 0. Ограниченность операторов - Aα β (x, D, q-|β| P ) : L2(Rn ) → H -m(Rn) уже доказана. А так как Dβ u ∈ L2(Rn) при β α, мы получили, что DαAu ∈ H-m(Rn). Таким образом, Au ∈ Hμ-m(Rn). 3. Интерполяция между нулем и натуральным μ завершает доказательство теоремы. Следующая задача - вывести формулу композиции псевдодифференциальных операторов со сжатием аргументов. Ограничимся случаем, когда один из сомножителей - полином относительно P. Лемма 3.1. Пусть a(x, ξ, λ) - полином относительно λ с коэффициентами из Sm1 , удовлетворяющий условию (3.4); b(x, ξ, λ) - символ класса (m2, r); c(x, ξ, λ) - символ класса (m1 + m2, r), отвечающий произведению c(x, ξ, Λ) = a(x, ξ, Λ)b(x, ξ, Λ). Если r > qn/2, то / A(x, D, P )B(x, D, P ) - C(x, D, P ) ∈ L для всех μ ;;: 0. Hμ(Rn); Hμ-(m1+m2)+1(Rn) Доказательство. Перемножая ряды и пользуясь формулой композиции ПДО, будем иметь (конечно, считаем Aj = 0 при j > l): A(x, D, P )B(x, D, P ) = / l \ Ak (x, D)P k k=0 \/ ∞ \ \ Bk (x, D)P k = k=0 ∞ ⎛ k ⎞ ∞ ∞ = \ ⎝\ Aj (x, D)Bk-j (q- x, q D)⎠ P = \ Ck (x, D)P + \ Ek (x, D)P , j j k k k k=0 j=0 k=0 k=0 104 ГЛАВА 3. ОБЩАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ где Ck (x, D) ∈ Op (Sm1+m2 ) - оператор с символом (см. (3.8)) k 1 ck (x, ξ) = k! c k (k) (x, ξ, 0) = \ j=0 j aj (x, ξ)bk-j (q- x, qj ξ), Ek (x, D) = \ Aj (x, D)Bk-j (q- x, q D) - Ck (x, D) ∈ Op (S . В силу (3.16) j j j=0 l m1+m2-1) p(m1+m2-1) \ \ (m1) (m2) j ∗ ∗-k ∗ αβ (ek ) const Следовательно, функция j=0 α1,β1 α2,β2 pα1β1 (aj )pα2β2 (Λ bk-j ) cαβ (r )r ∞ (r < r). e(x, ξ, λ) = \ ek (x, ξ)λk k=0 принадлежит пространству H(Qr , Sm1+m2-1) и A(x, D, P )B(x, D, P ) = C(x, D, P )+ E(x, D, P ). Но при r > qn/2 по теореме 3.5 оператор E(x, D, P ) : Hμ(Rn) → Hμ-(m1+m2)+1(Rn) ограничен для всех μ ;;: 0. Лемма доказана. Лемма 3.2. Пусть a(x, ξ, λ) - полином относительно λ с коэффициентами из Sm1 , удовлетворяющий условию (3.4), причем коэффициенты ak (x, ξ) имеют вид ak (x, ξ) = ak,1(x)ak,2(ξ) (k = 0,..., l); b(x, ξ, λ) - символ класса (m2, r); c(x, ξ, λ) - символ класса (m1 + m2, q-m1 r), отвечающий произведению Если r > qn/2, то c(x, ξ, Λ) = b(x, ξ, Λ)a(x, ξ, Λ). / B(x, D, P )A(x, D, P ) - C(x, D, P ) ∈ L для всех μ ;;: m1. Hμ(Rn); Hμ-(m1+m2)+1(Rn) Доказательство. Действуя аналогично лемме 3.1, получим (Aj = 0 при j > l): B(x, D, P )A(x, D, P ) = / ∞ \ Bk (x, D)P k k=0 \/ l \ \ Ak (x, D)P k = k=0 ∞ ⎛ k ⎞ = ⎝ \ \ Bk-j (x, D)Aj,1(q j-k x)Aj,2(q k-j D)⎠ P k = k=0 ∞ j=0 ∞ k = \ Ck (x, D)P k + \ \ Fkj (x, D)Aj,2(qk-j D)P k , где k=0 Fkj (x, D) = Bk-j (x, D)Aj,1(q j-k k=0 j=0 x) - Op / bk-j (x, ξ)aj,1(q j-k x) ∈ Op (S m2-1) и Fkj = 0 при j > l. В силу (3.16) αβ (fkj ) const \ pα β (bk-j )pα β (Λ aj,1) cαβ (r )r p(m2-1) (m2) (0) k-j ∗ ∗-k 1 1 2 2 α1,β1 α2,β2 (r∗ < r; j = 0,..., l; k ;;: j), поскольку семейство символов aj,1(qj-k x) (j = 0,..., l; k ;;: j) ограничено в S0. 1. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ 105 Меняя местами порядок суммирования, получим B(x, D, P )A(x, D, P ) - C(x, D, P ) = l ⎛ ∞ ⎞ l = \ ⎝\ Fkj (x, D)P k ⎠ Aj,2(q-j D) = \ Fj (x, D, P )Aj,2(q-j D), j=0 k=j j=0 ∞ fj (x, ξ, λ) = \ fkj (x, ξ)λk , fj ∈ H(Qr , Sm2-1). k=j Остается заметить, что по теореме 3.5 все операторы 2 Fj (x, D, P ) : Hμ-m1 (Rn) → Hμ-(m1+m2)+1(Rn) ограничены для всех μ ;;: m1. Лемма доказана. 0 Перейдем теперь к операторам, действующим на функции в ограниченной области. Рассмотрим ограниченную область Ω ⊂ Rn, ∂Ω ∈ C∞, удовлетворяющую условию Ω ⊂ qΩ (условие (1.5)). Пусть K ⊂ qΩ - фиксированный компакт, а φ ∈ C∞(Ω) - срезающая функция такая, что φ(x) = 1 при x ∈ q-1K. Если функция a ∈ H(Qr , Sm) является полиномом по ξ, то a(k) Ak (x, D) = (k!)-1 Op / (x, ξ, 0) - дифференциальные операторы, и формула (3.18) при r > qn/2 задает также ограниченный оператор A(x, D, P ) : Hμ(Ω) → Hμ-m(Ω) (μ ;;: 0) для всякой области Ω, удовлетворяющей (1.5). Если при этом коэффициенты операторов Ak (x, D) финитны в K, то ∞ A(x, D, P )u = A0(x, D)u + \ r+Ak (x, D)P k (φu). (3.19) k=1 В (3.19) операторы Ak (x, D), начиная с k = 1, действуют на функции в Rn; r+ - оператор сужения на Ω. Воспользуемся этим соображением, чтобы определить операторы в ограниченной области для более общих символов. Итак, пусть a(x, ξ, λ) - символ класса (m, r), для которого a(x, ξ, 0) - полином относительно ξ; (3.20) supp a(k)(x, ξ, 0) ⊂ K × {|ξ| ;;: C0} (k = 1, 2,.. .). (3.21) Тогда правой частью равенства (3.19) корректно определен оператор из Hμ(Ω) в Hμ-m(Ω), который мы будем обозначать r+A(x, D, P ), в отличие от оператора A(x, D, P ), действующего в Rn. Здесь μ > n/2 - logq r. Для символов a(x, ξ, λ) класса (m1, r), b(x, ξ, λ) класса (m2, r), удовлетворяющих условиям (3.20), (3.21), рассмотрим композицию r+A(x, D, P )r+B(x, D, P ) = (A0 + r+(A - A0)φ)(B0 + r+(B - B0)φ). В силу очевидных соотношений A0r+(B - B0)φ = r+[A0(B - B0)]φ, r+(A - A0)φr+(B - B0)φ = r+[(A - A0)φ(B - B0)]φ, будем иметь r+Ar+B = A0B0 + r+(A - A0)(φB0)+ r+ [A0(B - B0)+ (A - A0)φ(B - B0)] φ. Очевидно, φ(x)B0(x, D) = B0(x, D)φ(x)+ B 0(x, D), 106 ГЛАВА 3. ОБЩАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ где B 0(x, D) есть дифференциальный оператор порядка m2 - 1 с финитными в Ω коэффициентами. Далее, ∞ (A(x, D, P ) - A0(x, D)) φ(x) = \ Ak (x, D)φ(q-k x)P k = k=1 ∞ ∞ = \ Ak (x, D)P k + \ A k (x, D)P k = A - A0 + A , где k=1 k=1 причем A k (x, D) = Ak (x, D)φ(q-k x) - Ak (x, D) ∈ Op (Sm1-1) , αβ (ak ) const \ pα β (ak )pα β (φ(q- x)) cαβ (r )r (r < r), p(m1-1) (m1) (0) k ∗ ∗-k ∗ 1 1 2 2 α1,β1 α2,β2 поскольку семейство символов φ(q-k x) (k = 1, 2,.. .) ограничено в S0. Таким образом, функция ∞ a(x, ξ, λ) = \ ak (x, ξ)λk лежит в H(Qr , Sm1-1). В результате получим k=1 или r+Ar+B = A0B0 + r+ [(A - A0)B0 + A0(B - B0)+ (A - A0)(B - B0)] φ + + r+(A - A0)B 0 + r+A (B - B0)φ, r+A(x, D, P )r+B(x, D, P ) = A0(x, D)B0(x, D)+ + r+ [A(x, D, P )B(x, D, P ) - A0(x, D)B0(x, D)] φ(x)+ + r+ [A(x, D, P ) - A0(x, D)] B 0(x, D)+ + r+A (x, D, P ) [B(x, D, P ) - B0(x, D)] φ(x). Из полученного соотношения и теорем 3.4, 3.5 вытекает следующее утверждение. Лемма 3.3. Пусть символы a(x, ξ, λ), b(x, ξ, λ) принадлежат классам (m1, r), (m2, r) соответственно и удовлетворяют условиям (3.20), (3.21). Если r > qn/2, то для всех μ ∈ [m2, +∞) ∩ (n/2 - logq r, +∞) оператор r+A(x, D, P )r+B(x, D, P ) - A0(x, D)B0(x, D) - r+ [A(x, D, P )B(x, D, P ) - A0(x, D)B0(x, D)] φ(x) ограничен из Hμ(Ω) в Hμ-(m1+m2)+1(Ω). Действительно, следующие операторы: B 0(x, D) : Hμ(Ω) → Hμ-m2+1(Rn) (μ ∈ R), r+[A(x, D, P ) - A0(x, D)] : Hμ-m2+1(Rn) → Hμ-(m1+m2)+1(Ω) (μ - m2 +1 > n/2 - logq r), [B(x, D, P ) - B0(x, D)]φ : Hμ(Ω) → Hμ-m2 (Rn) (μ > n/2 - logq r), r+A (x, D, P ) : Hμ-m2 (Rn) → Hμ-(m1+m2)+1(Ω) (μ ;;: m2) ограничены (выполнение неравенства μ - m2 +1 > n/2 - logq r обеспечено условиями μ ;;: m2 и r > qn/2 леммы). 2. ФРЕДГОЛЬМОВА РАЗРЕШИМОСТЬ ОБЩЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ШКАЛЕ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА 107 3.3. ФРЕДГОЛЬМОВА РАЗРЕШИМОСТЬ ОБЩЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ШКАЛЕ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА В ограниченной области Ω ⊂ Rn, ∂Ω ∈ C∞, удовлетворяющей условию (1.5), рассмотрим уравнение l Au ≡ \ \ ajα(x)Dα(u(q-j x)) = f (x) (x ∈ Ω) (3.22) j=0 |α| 2m с бесконечно гладкими в Ω комплекснозначными коэффициентами. Не умаляя общности, можно считать, что ajα ∈ C∞(Rn) и supp ajα ⊂ K для некоторого компакта K ⊂ qΩ. Уравнению (3.22) соответствует ограниченный оператор в соболевских пространствах A : Hs+2m(Ω) → Hs(Ω). Будем рассматривать уравнение (3.22) в предположении, что дифференциальный оператор \ |α| 2m a0α(x)Dα («локальная» часть оператора A) правильно эллиптичен (см., например, [20, стр. 134]). Таким образом, \ |α|=2m a0α(x)ξα /= 0 (x ∈ Ω; 0 /= ξ ∈ Rn). Пусть χ(ξ) - срезающая функция: χ(ξ) = 0 при |ξ| q-1, χ(ξ) = 1 при |ξ| ;;: 1. Введем обозначения a∗ aj (x, ξ) = \ |α|=2m ∗∗ ajα(x)ξα (j = 0,..., l); ∗ aj (x, ξ) j (x, ξ) = aj (x, ξ)χ(ξ), aj (x, ξ) = l a0(q-j x, qj ξ) (j = 1,..., l); a(x, ξ, λ) = \ aj (x, ξ)λj , j=0 l l a∗(x, ξ, λ) = a0(x, ξ)+ \ a∗ (x, ξ)λj , a∗∗(x, ξ, λ) = 1 + \ a∗∗(x, ξ)λj . j j=1 j j=1 Символы a∗(x, ξ, λ), a∗∗(x, ξ, λ) связаны соотношением a∗(x, ξ, Λ) = a∗∗(x, ξ, Λ)a0(x, ξ). (3.23) Соответствующие символам операторы будем, как обычно, обозначать заглавными буквами: Aj (x, D), A∗ (x, D), A∗∗(x, D), A(x, D, P ), A∗(x, D, P ), A∗∗(x, D, P ). j j Поскольку 1 - χ ∈ S-∞, оператор ⎡ l ⎤ r+A(x, D, P ) - r+A∗(x, D, P ) = r+ ⎣\ Aj (x, D)(1 - χ(D))P j ⎦ φ j=1 сглаживающий. По теореме Реллиха-Гординга ∈ K A - r+A∗(x, D, P ) (Hs+2m(Ω); Hs(Ω)) (s ∈ R) (3.24) (в разность вошли также и младшие члены уравнения (3.22)). Из (3.23), формулы композиции ПДО и теоремы Реллиха-Гординга следует, что а значит, и ∈ K r+A∗(x, D, P ) - r+A∗∗(x, D, P )A0(x, D) (Hs+2m(Ω); Hs(Ω)) , ∈ K A - r+A∗∗(x, D, P )A0(x, D) (Hs+2m(Ω); Hs(Ω)) (s ∈ R). (3.25) 108 ГЛАВА 3. ОБЩАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СЖАТИЕМ АРГУМЕНТОВ Рассмотрим также систему граничных условий Tj (x, D)u(x) = gj (x) (j = 1,..., m; x ∈ ∂Ω), (3.26) где Tj (x, D) - дифференциальные операторы порядка mj с гладкими коэффициентами. Будем считать, что операторы Tj (x, D) (j = 1,..., m) удовлетворяют на ∂Ω условию Лопатинского относительно правильно эллиптического оператора A0(x, D), так что локальная часть уравнения (3.22) с краевыми условиями (3.26) образуют эллиптическую краевую задачу. Тогда для любого числа s ;;: 0 такого, что s + 2m - max mj ;;: 1, ограниченный оператор L0 = [A0,T ] = [A0, T1,..., Tm] : m Hs+2m(Ω) -→ Hs(Ω; ∂Ω) = Hs(Ω) × n Hs+2m-mj -1/2(∂Ω) j=1 фредгольмов (см., например, [11]). Через P0 : Hs(Ω; ∂Ω) → Hs+2m(Ω) обозначим его регуляризатор. Напомним, что оператор L ∈ L(X, Y ) (X и Y - банаховы пространства) называется фредгольмовым, если его ядро N (T ) конечномерно, а образ R(T ) замкнут и имеет конечную коразмерность. Фредгольмовость оператора L равносильна существованию таких операторов P1, P2 ∈ L(X, Y ), называемых левым и правым регуляризаторами, что P1L - I ∈ K(X, X) и LP2 - I ∈ K(Y, Y ). Если оператор L ∈ L(X, Y ) имеет левый и правый регуляризаторы, то любой правый регуляризатор одновременно является левым, и наоборот. Теорема 3.6. Предположим, что a(0, ξ, λ) /= 0 (|λ| qn/2-2m, 0 /= ξ ∈ Rn). Тогда для любого показателя s ;;: 0, s + 2m - max mj ;;: 1, оператор L = [A, T ] : Hs+2m(Ω) → Hs(Ω; ∂Ω) фредгольмов. j j Доказательство. Очевидно, функции a∗∗ (j = 1,..., l) принадлежат S0, положительно однородны по ξ при |ξ| ;;: 1 и supp a∗∗ ⊂ K × {|ξ| ;;: q-1 . Кроме того, используя условие теоремы, при |ξ| = 1 будем иметь l a∗∗(0, ξ, λ) = 1 + \ aj (0, ξ) (q-2mλ)j = a(0, ξ, q- 2mλ) = 0, j=1 a0(0, ξ) a0(0, ξ) / если |λ| qn/2. По теореме 3.3 существует символ b(x, ξ, λ) класса (0, r) для некоторого r > qn/2 такой, что b(x, ξ, 0) = 1, supp b(k)(x, ξ, 0) ⊂ K × {|ξ| ;;: q-1 (k = 1, 2,.. .) и a∗∗(x, ξ, Λ)b(x, ξ, Λ) = b(x, ξ, Λ)a∗∗(x, ξ, Λ) = I, откуда в силу равенства (3.23) следует также, что b(x, ξ, Λ)a∗(x, ξ, Λ) = a0(x, ξ). В таком случае по лемме 3.1 ( ) а по лемме 3.2 A∗∗(x, D, P )B(x, D, P ) - I ∈ L Hs(Rn); Hs+1(Rn) , ( ) B(x, D, P )A∗(x, D, P ) - A0(x, D) ∈ L Hs+2m(Rn); Hs+1(Rn) для всех s ;;: 0. После применения леммы 3.3 и теоремы Реллиха-Гординга будем иметь r+A∗∗(x, D, P )r+B(x, D, P ) - I ∈ K (Hs(Ω); Hs(Ω)) , ∈ K r+B(x, D, P )r+A∗(x, D, P ) - A0(x, D) (Hs+2m(Ω); Hs(Ω)) . 3.3. ФРЕДГОЛЬМОВА РАЗРЕШИМОСТЬ ОБЩЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ШКАЛЕ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА 109 Введем оператор и матричные операторы L∗ = [r+A∗,T ] : Hs+2m(Ω) → Hs(Ω; ∂Ω) r+A∗∗ 0 s s A∗∗ = 0 E : H (Ω; ∂Ω) → H (Ω; ∂Ω), r+B 0 s s B = 0 E : H (Ω; ∂Ω) → H (Ω; ∂Ω). Точнее, если [f, g] = [f, g1,..., gm] ∈ Hs(Ω; ∂Ω), то A∗∗[f, g]T = [r+A∗∗(x, D, P )f, g]T , B[f, g]T = [r+B(x, D, P )f, g]T . Покажем, что оператор P = P0B является одновременно правым и левым регуляризатором оператора L. Из (3.24), (3.25) следует, что ∈ K (Ω); H (Ω; ∂Ω) L - A∗∗L0 (Hs+2m s ) , (3.27) L - L∗ (Hs+2m s ∈ K (Ω); H (Ω; ∂Ω)) Поскольку P0 есть регуляризатор для L0, имеем . (3.28) L0P0 - I ∈ K (Hs(Ω; ∂Ω); Hs(Ω; ∂Ω)) , (3.29) Кроме того, ∈ K P0L0 - I (Hs+2m(Ω); Hs+2m(Ω)) . (3.30) A∗∗B - I ∈ K (Hs(Ω; ∂Ω); Hs(Ω; ∂Ω)) , (3.31) Из (3.29), (3.31) следует, что BL∗ - L0 (Hs+2m s ∈ K (Ω); H (Ω; ∂Ω)) . (3.32) A∗∗L0(P0B) - I ∈ K (Hs(Ω; ∂Ω); Hs(Ω; ∂Ω)) . (3.33) Из (3.27), (3.33) следует, что L(P0B) - I ∈ K (Hs(Ω; ∂Ω); Hs(Ω; ∂Ω)) , т. е. оператор P0B : Hs(Ω; ∂Ω) → Hs+2m(Ω) является для L правым регуляризатором. Далее, (3.30), (3.32) означают, что ∈ K P0BL∗ - I (Hs+2m(Ω); Hs+2m(Ω)) . (3.34) ∈ K Наконец, (3.28) и (3.34) дают P0BL - I (Hs+2m(Ω); Hs+2m(Ω)) левым регуляризатором для L. Теорема доказана. , т. е. P0B является также и Замечание 3.1. Из результатов раздела 1.2 (теоремы 1.1, 1.2 и 1.3) следует, что фредгольмовость краевой задачи для уравнения со сжатиями аргументов зависит, вообще говоря, от выбора пространства. В то же время в теореме 3.6 получились одни и те же достаточные условия фредгольмовости для всех s ;;: 0. Дело в том, что теорема 3.6 фактически опирается на более грубую теорему 3.5, а не на теорему 3.4, в которой условие на символ меняется в зависимости от показателя гладкости пространства. Этот недостаток в некоторой степени будет исправлен в главе 4 путем перехода к весовым пространствам. Пример 3.1. Выясним, при каких значениях параметра τ ∈ R краевая задача ∂2 ∂2 ∂x2 (u(x)+ sin x2u(x/2)) + ∂x2 (u(x)+ sin x1u(x/2)) + 1 + 2τ 2 2 ∂ (u(x)+ cos(x2 + x2)u(x/4)) = f (x) ∂x1∂x2 1 2 (x = (x1, x2) ∈ Ω = {x4 + x4 < 1}), 1 2 u|∂Ω = g(x) (x ∈ ∂Ω) 110 ГЛАВА 4. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ фредгольмова в паре пространств H2(Ω), L2(Ω) × H3/2(∂Ω). Структура уравнения, коэффициенты и область удовлетворяют всем предположениям настоящей главы. Запишем символ уравнения: a(x, ξ, λ) = ξ2 + 2τ ξ1ξ2 + ξ2 + (ξ2 sin x2 + ξ2 sin x1)λ + 2τ cos(x2 + x2)ξ1ξ2λ2. 1 2 1 2 1 2 Критерием правильной эллиптичности его «локальной части» a0(x, ξ) = a(x, ξ, 0) = ξ2 + 2τ ξ1ξ2 + ξ2 1 2 на множестве вещественных значений параметра будет условие |τ | < 1, гарантирующее, очевидно, и эллиптичность соответствующей локальной задачи Дирихле. По теореме 3.6 для фредгольмовой разрешимости исходной задачи достаточно потребовать отсутствия в круге |λ| q-1 нулей выражения a(0, ξ, λ) = ξ2 + 2τ ξ1ξ2 + ξ2 + 2τ ξ1ξ2λ2 1 2 при ξ /= 0, или, что то же самое, выражения 1+ τ (1 + λ2) sin 2θ при всех θ ∈ R. Последнее, как нетрудно видеть, равносильно следующему условию на τ : q2 |τ | < 1+ q2 . ГЛАВА 4 ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 4.1. ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Важной особенностью и значительной трудностью при исследовании краевых задач для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений служит наличие негладких решений. Так, обобщенные решения краевых задач для эллиптических дифференциально-разностных уравнений могут иметь степенные особенности в некоторых точках (как на границе, так и внутри области) даже при бесконечно гладких границе и правых частях [88]. Поэтому общие краевые задачи для эллиптических дифференциально-разностных уравнений естественно решать не только в пространствах Соболева, но и в весовых пространствах [53]. Для уравнений, рассматриваемых в данной работе, также естественно наличие негладких решений (см. разделы 1.2, 1.3, 2.4). Здесь, однако, эффект нарушения гладкости связан не только с постановкой краевых задач, но и с наличием неподвижной точки у преобразования сжатия. Оказывается, и в этом случае удобно регулировать поведение решений введением подходящего веса вблизи начала координат. В настоящей главе будет установлена разрешимость уравнения l \ \ akαDα /u(q-k x) = f (x) (x ∈ Rn) k=0 |α|=2m β в шкале весовых пространств Hs (Rn) и показано, что путем выбора параметров s и β всегда можно добиться однозначной разрешимости (при дополнительном условии эллиптичности «локальной» части оператора). В этом разделе приводятся известные результаты из теории весовых пространств (см. [16], [23]), необходимые для дальнейшего изложения. β 0 В соответствии с определением В. А. Кондратьева [16], весовое пространство Hs (Rn) при целом неотрицательном s вводится как пополнение множества C∞(Rn \ {0}) финитных бесконечно дифференцируемых функций по норме ⎛ r ⎞1/2 β (R u Hs n) = ⎝ \ |α| sRn |x|2(β-s+|α|)|Dαu(x)|2dx⎠ . 1. ВЕСОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 111 0 Рассмотрим простейший пример. При β = 0,s = 1,n ;;: 3 для всякой функции u ∈ C∞(Rn \ {0}) имеем u 2 r H1 0 (Rn) = Rn | ( x|-2|u(x)|2 + |∇u(x)|2) dx. Применяя неравенство Харди (в результате которого интеграл от первого слагаемого оценивается через интеграл от второго), получим u H1 r n ∼ / |∇u(x)|2dx 1/2 = / r |ξ|2|F u(ξ)|2dξ 1/2 = Fu 0 n . 0 (R ) Rn Rn H1 (R ) Здесь Fu(ξ) означает преобразование Фурье функции u(x). Отмечая плотность в H0(Rn) образов Фурье функций из C∞(Rn \ {0}) (любая функция из 1 (R 1 ) аппроксимируется в H1 (R 0 ) функцией из пересечения L2(R ) H1 (R ), последнее про- H0 n 0 n n 0 n 0 странство есть образ соболевского пространства H1(Rn) под действием изоморфизма F ; остается заметить, что C∞(Rn \ {0}) всюду плотно в H1(Rn)), получаем, что преобразование Фурье F продолжается до изоморфизма между H1(Rn) и H0(Rn). 0 1 β В общем случае для описания преобразования Фурье в весовых пространствах необходимо определить пространства Hs (Rn) для произвольных s, β ∈ R. Сделаем это, следуя [23]. Для функции 0 u ∈ C∞(Rn \ {0}) рассмотрим преобразование Меллина u˜(λ, φ) = 1 √2π ∞ r r-iλ-1 0 u(r, φ)dr (λ ∈ C,φ ∈ S n-1). Свойства преобразования Меллина вытекают из соответствующих хорошо известных свойств преобразования Фурье благодаря соотношению νt t u˜(μ + iν, φ) = Ft→μ[e Так, справедливы формула обращения u(e , φ)](μ). и равенство Парсеваля 1 u(r, φ) = √2π r r Imλ=ν r∞ riλ u˜(λ, φ)dλ Imλ=ν |u˜(λ, φ)|2dλ = 0 r2ν-1|u(r, φ)|2dr, β в силу которого можно перейти в Hs (Rn) к эквивалентной норме ⎛ ⎞1/2 s ⎜ r \ 2j 2 ⎟ ⎠ ⎝ Imλ=β-s j=0 |λ| u˜(λ + in/2, ·) Hs-j (Sn-1)dλ . Кроме того, в Hs(Sn-1) удобно пользоваться специальной нормой, зависящей от параметра λ, определяя ее при помощи ряда Фурье функции по ортонормированному базису в L2(Sn-1), состоящему из сферических функций Ymk (m = 0, 1,... ; k = 1,..., km), где km = (2m + n - 2)(m + n + 3)![(n - 2)!m!]-1 = O(mn-2), m → ∞ (Ymk - сферические функции порядка m). Если v(ω) = \ vmk Ymk (ω), m,k где vmk = r Sn-1 v(ω)Ymk (ω)dω, 112 ГЛАВА 4. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ то полагаем ⎛ ⎞1/2 v Hs(λ;Sn-1) = ⎝\(1 + m2 + |λ|2)s|vmk |2⎠ , m,k что при целом неотрицательном s эквивалентно (т. е. подчиняется двусторонней оценке с независящими от v и λ константами) выражению v / 2 Hs(Sn-1) + |λ| v 2s 2 L2(Sn-1) 1/2 . β Итак, исходная норма в Hs (Rn) эквивалентна норме β (R u Hs n) ⎛ r = ⎜ ⎝ Imλ=β-s Hs(λ;Sn-1) u˜(λ + in/2, ·) 2 ⎞1/2 dλ⎟ ⎠ . (4.1) Правая часть сохраняет смысл для любого вещественного s, что делает естественным определение пространства Hs (Rn) в случае произвольного s ∈ R как пополнения множества C∞(Rn \ {0}) по β 0 норме (4.1). β При изучении преобразования Фурье в Hs (Rn) можно вначале рассматривать его на множестве C∞ n 0 (R \ {0}) при β - s < n/2 и на множестве ⎧ ⎨ r 0 Mp = u ∈ C∞(Rn \ {0}) : ⎫ ,...,p xγ u(x)dx = 0, |γ| = 0, 1 ⎬ ⎭ ⎩ Rn при n/2+ p < β - s < n/2+ p +1 (p = 0, 1,.. .). β Для обоих случаев доказаны (см. [23, глава 2]) плотность области определения F в Hs (Rn), а s (Rn) также оценка Fu Hβ β (R c u Hs n). Замечание 4.1. Естественность накладываемых на u условий r xγ u(x)dx = 0 (|γ| = 0,..., p), Rn равносильных условиям (Fu)(γ)(0) = 0 (|γ| = 0,..., p), проиллюстрируем на примере n = 3, β = 2, s = 0, p = 0. Действительно, для конечности интеграла r обеспечивающего конечность нормы |ξ|-4|Fu|2dξ, R3 ⎛ 2 r ⎞1/2 Fu H2 3 = ⎝ \ |ξ|2(-2+|α|)|DαF u|2dξ⎠ , 0 (R ) ξ R3 |α|=0 необходимо и достаточно, чтобы Fu(0) = 0. Таким образом, при β - s /= n/2+ p (p = 0, 1,.. .) преобразование Фурье F однозначно продолжается до непрерывного оператора s n β n Fβ-s : Hβ (R ) → Hs (R ). При дополнительном условии β - s /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .) этот оператор является изоморфизмом, а обратный оператор F -1 β-s совпадает с обратным преобразованием Фурье на функциях из C∞ n 0 (R \ {0}), если s - β < n/2, и на функциях из Mq , если n/2+ q < s - β < n/2+ q +1 (q = 0, 1,.. .). 2. ОЦЕНКА ДЛЯ ОПЕРАТОРА УМНОЖЕНИЯ НА ОДНОРОДНУЮ ФУНКЦИЮ. ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 113 Стоит отметить, что операторы Fβ-s и Fβu-su , когда числа β - s и β∗ - s∗ принадлежат различным интервалам (-∞; n/2), (n/2+ p; n/2+ p + 1), p = 0, 1,..., 0 различаются, вообще говоря, на функциях из C∞(Rn \ {0}). 4.2. ОЦЕНКА ДЛЯ ОПЕРАТОРА УМНОЖЕНИЯ НА ОДНОРОДНУЮ ФУНКЦИЮ. ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пусть Φ(ξ) - гладкая в Rn \ {0} функция, положительно однородная вещественной степени a: Φ(tξ) = taΦ(ξ) (t > 0,ξ ∈ Rn \ {0}). Цель этого раздела - доказательство оценки " Hβ Φu n s-a(R ) c Φ CN (Sn-1) u s Hβ (Rn) для оператора умножения на Φ(ξ) в Hβ (Rn). Здесь N - некоторое целое неотрицательное число. s ξ Вначале оценим норму оператора Hβ (λ; Sn-1) ::i u 1→ Φu ∈ Hβ (λ; Sn-1) умножения на функцию Φ(ω) в Hβ (λ; Sn-1) (Φ ∈ C∞(Sn-1)). Для этого воспользуемся соотношением Φ(ω)u(ω)v(ω)dω Φu Hβ (λ;Sn-1) = sup v∈H-β (λ;Sn-1) Sn-1 v H-β (λ;Sn-1) . (4.2) Без ограничения общности можно считать u, v ∈ C∞(Sn-1). Сначала предположим, что β ;;: 0. Имеем u 2 Hβ (λ;Sn-1) = \(1 + m2 + |λ|2)β |umk |2, m,k где umk - коэффициенты Фурье разложения функции u в L2(Sn-1) по ортонормированному базису из сферических функций Ymk (для гладкой функции u последовательность umk быстро убывает). Запишем очевидные неравенства (β ;;: 0): c1((1 + m2)β + |λ|2β ) (1 + m2 + |λ|2)β c2((1 + m2)β + |λ|2β ) (c1 = min(1, 2β-1), c2 = max(1, 2β-1)). Умножая эти неравенства на |umk |2 и суммируя по m и k, получаем c1 u / 2 Hβ (Sn-1) + |λ| u 2β 2 L2(Sn-1) u 2 Hβ (λ;Sn-1) c2 u / 2 Hβ (Sn-1) + |λ| u . 2β 2 L2(Sn-1) Оценим норму оператора Hβ (Sn-1) ::i u 1→ Φu ∈ Hβ (Sn-1) (сейчас уже норма в пространстве не зависит от λ). 0 xu Возьмем какой-нибудь гладкий атлас сферы (например, основанный на стереографической проекции) {(Ui, χi)}i=1,2, где {U1, U2} - открытое покрытие Sn-1, а χi : Ui → Rn-1 (i = 1, 2) - координатные отображения (стереографические проекции). Пусть {ζi}i=1,2 - подчиненное указанному покрытию разбиение единицы. Тогда ζiu ∈ C∞(Ui) - гладкая финитная функция в окрестности Ui где действует координатная система χi, а (ζiu) ◦ χ-1 ∈ C∞(Rn-1). Соотношение , i 0 ⎛ ⎞1/2 u Hβ (Sn-1) = ⎝ \ (ζiu) ◦ χ- ⎠ i=1,2 1 2 i Hβ (Rn-1) задает в Hβ (Sn-1) норму, эквивалентную введенной при помощи коэффициентов Фурье. Возьмем также гладкие финитные в Ui функции hi, равные 1 на suppζi, так что ζiΦu = hiζiΦu = (hiΦ) · (ζiu), 114 ГЛАВА 4. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 0 причем функции hiΦ, ζiu принадлежат C∞(Ui). Тогда (ζiΦu) ◦ χ-1(x∗) = (hiΦ)(χ-1(x∗)) · (ζiu)(χ-1(x∗)). i i i Временно обозначим fi(x∗) = (ζiu)(χ-1(x∗)), φi(x∗) = (hiΦ)(χ-1(x∗)) (i = 1, 2) i i 0 - функции из C∞(Rn-1). Оценим норму φf Hβ (Rn-1) = sup 0 g∈C∞(Rn-1) Rn-1 φ(x∗)f (x∗)g(x∗)dx∗ . g H-β (Rn-1) Применяя последовательно равенство Парсеваля для преобразования Фурье (используем обозначение uˆ(ξ∗) = Fxu→ξu u), формулу для преобразования Фурье произведения (опускаем для краткости записи несущественный для оценки множитель (2π)-n/2) и теорему Фубини, получим r r (φf )(x∗)g(x∗)dx∗ = (φ--f )(ξ∗)gˆ(-ξ∗)dξ∗ = r r ˆ ˆ r ˆ r ˆ = gˆ(-ξ∗)dξ∗ f (ξ∗ - η∗)φ(η∗)dη∗ = φ(η∗)dη∗ f (ξ∗ - η∗)gˆ(-ξ∗)dξ∗ (интегрирование везде выполняется по всему пространству Rn-1), так что r r φ(x∗)f (x∗)g(x∗)dx∗ r |φˆ(η∗)|dη∗ |fˆ(ξ∗ - η∗)gˆ(-ξ∗)|dξ∗ = r r = |φˆ(η∗)|dη∗ (1 + |ξ∗|)β |fˆ(ξ∗ - η∗)|(1 + |ξ∗|)-β |gˆ(-ξ∗)|dξ∗. Применяя известное алгебраическое неравенство 1+ |ξ∗| (1 + |η∗|)(1 + |ξ∗ - η∗|), а затем неравенство Коши-Буняковского, видим, что последний интеграл не превосходит r r (1 + |η∗|)β |φˆ(η∗)|dη∗ (1 + |ξ∗ - η∗|)β |fˆ(ξ∗ - η∗)|(1 + |ξ∗|)-β |gˆ(-ξ∗)|dξ∗ r r (1 + |η∗|)β |φˆ(η∗)| (1 + |ξ∗ - η∗|)2β |fˆ(ξ∗ - η∗)|2dξ∗ 1/2 × r × (1 + |ξ∗|)-2β |gˆ(ξ∗)|2dξ∗ r 1/2 r r dη∗ 2β (1 + |η∗|)β |φˆ(η∗)|dη∗ × 1/2 × (1 + |ξ∗|2)β |fˆ(ξ∗)|2dξ∗ r (1 + |ξ∗|2)-β |gˆ(ξ∗)|2dξ∗ = = 2β - (1 + |η∗|)β |φˆ(η∗)|dη∗ · f Hβ (Rn 1) g H -β (Rn- 1). Первый интеграл можно оценить, например, следующим образом, взяв произвольное число δ > 0 : r r 2β (1 + |η∗|)β |φˆ(η∗)|dη∗ = 2β (1 + |η∗|)-(n+δ)/2(1 + |η∗|)β+(n+δ)/2|φˆ(η∗)|dη∗ r 2β (1 + |η∗|)-(n+δ)dη∗ 1/2 r (1 + |η∗|)2β+n+δ |φˆ(η∗)|2dη∗ 1/2 c3 φ Hβ+(n+δ)/2(Rn-1) (c3 = c3(δ, β)). Итак, φf Hβ (Rn-1) c3 φ Hβ+(n+δ)/2(Rn-1) f Hβ (Rn-1), откуда Φu 2 2 = \ (ζ Φu) ◦ χ-1 2 = \ φifi Hβ (Sn-1) i i=1,2 i Hβ (Rn-1) i=1,2 Hβ (Rn-1) 2 c2 \ φi 2 fi 3 i=1,2 Hβ+(n+δ)/2(Rn-1) Hβ (Rn-1) 4.2. ОЦЕНКА ДЛЯ ОПЕРАТОРА УМНОЖЕНИЯ НА ОДНОРОДНУЮ ФУНКЦИЮ. ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 115 2 c2 max φi \ (ζiu) ◦ χ-1 2 = 3 i=1,2 Hβ+(n+δ)/2(Rn-1) 2 i=1,2 i Hβ (Rn-1) 2 = c2 max φi u . 3 i=1,2 Hβ+(n+δ)/2(Rn-1) Hβ (Sn-1) Далее возьмем наименьшее δ > 0 так, чтобы число N = β + (n + δ)/2 было натуральным, а именно i N = [β + n/2] + 1. Тогда в силу финитности функций hi (supp(hi ◦ χ-1) ⊂ {|x∗| < R}) можно записать 2 -1 2 \ r α ( -1 ∗ 2 ∗ φi HN (Rn-1) = (hiΦ) ◦ χi HN (Rn-1) = D |α| NRn-1 hiΦ(χi (x ))) dx = r = \ α ( 1 ∗ 2 ∗ \ r α ( -1 ∗ 2 ∗ D hiΦ(χ- (x ))) dx c4 D Φ(χi (x ))) dx = i |α| N|xu|<R |α| N|xu|<R (c5 зависит от χi, hi). = c4 Φ ◦ χ-1 2 i HN (|xu|<R) 2 c5 Φ CN (Sn-1) Итак, норма оператора умножения на Φ в Hβ (Sn-1) не превосходит c6 Φ CN (Sn-1), причем в качестве N можно взять [β + n/2]+ 1. Наконец, Φu 2 Hβ (λ;Sn-1) c2 Φu / 2 Hβ (Sn-1) + |λ| Φu 2β 2 L2(Sn-1) 2 c2 /c2 Φ u 2 + |λ|2β 2 Φ u 2 6 CN (Sn-1) Hβ (Sn-1) C(Sn-1) L2(Sn-1) c7 Φ 2 CN (Sn-1) 2 / 2β u Hβ (Sn-1) + |λ| 2 u L2(Sn-1) 2 2 c8 Φ CN (Sn-1) u Hβ (λ;Sn-1), где константа c8 не зависит от u, Φ и λ. Замечание 4.2. Конечно, в случае, когда β - целое неотрицательное число, норма оператора умножения на Φ в Hβ (Sn-1) очевидным образом оценивается через Φ Cβ (Sn-1). Для перехода к отрицательным β воспользуемся соотношением (4.2), в силу которого и, значит, r Sn-1 Φ(ω)u(ω)v(ω)dω √c8 Φ CN (Sn-1) u Hβ (λ;Sn-1) v H-β (λ;Sn-1), (Φv)(ω)u(ω)dω Sn-1 √c Φ v , т. е. u Hβ (λ;Sn-1) 8 CN (Sn-1) H-β (λ;Sn-1) Φv H-β (λ;Sn-1) √c8 Φ CN (Sn-1) v H-β (λ;Sn-1). Таким образом, мы показали, что для произвольного вещественного β справедлива оценка Φu Hβ (λ;Sn-1) c9 Φ CN (Sn-1) u Hβ (λ;Sn-1), Hβ где N = [|β| + n/2]+ 1, а константа c9 (= √c8) не зависит от u, Φ и λ (но может зависеть от β). Рассмотрим теперь умножение на функцию Φ(ξ) = ρaΦ(ω) (ρ = |ξ|, ω ∈ Sn-1) в пространстве s (Rn). Имеем Hβ u 2 s (Rn) Hβ Φu 2 r = Imλ=s-β r = Hβ (λ;Sn-1) u˜(λ + in/2, ·) 2 Φ-u(λ + in/2, ·) 2 dλ, dλ. n s-a(R ) Но Imλ=s-a-β r +∞ Hβ (λ;Sn-1) √ Φ-u(λ, ω) = 1 2π 0 ρ-iλ-1 ρaΦ(ω)u(ρ, ω)dρ = 116 ГЛАВА 4. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ так что √2π = Φ(ω) · 1 +∞ r ρ-i(λ+ia)-1 0 u(ρ, ω)dρ = Φ(ω)u˜(λ + ia, ω), Φu Hβ 2 n s-a(R ) r = Imλ=s-a-β r 2 Φ(·)u˜(λ + ia + in/2, ·) Hβ (λ;Sn-1)dλ = = Imλ=s-β Hβ (λ-ia;Sn-1) Φ(·)u˜(λ + in/2, ·) 2 dλ c8 Φ 2 r CN (Sn-1) 2 u˜(λ + in/2, ·) Hβ (λ-ia;Sn-1)dλ Imλ=s-β 2 r 2 c10 Φ CN (Sn-1) Imλ=s-β u˜(λ + in/2, ·) Hβ (λ;Sn-1)dλ, поскольку для всех m = 0, 1,... и λ на прямой Imλ = s - β имеет место неравенство / (1+ m2 + |λ - ia|2)β max 1, 1+ (s - β - a)2 β \ 1+ (s - β)2 · (1+ m2 + |λ|)β . s Таким образом, для всех u ∈ Hβ (Rn) имеем " Hβ Φu n s-a(R ) c Φ CN (Sn-1) u s Hβ (R n), где константа c не зависит от u и Φ, a N = [|β| + n/2]+ 1. Для рассматриваемой функции Φ при условиях β - s /= n/2+ p, β - s + a /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .) s n s-a n можно ввести ограниченный оператор свертки Φβ-s(D), действующий из Hβ (R формуле ) в Hβ (R ) по 1 Φβ-s(D)u = F - Φ(ξ)Fβ-su. β-s+a Из результатов этого и предыдущего разделов для нормы этого оператора вытекает оценка Φβ-s(D) c(β, s, a) Φ CN (Sn-1), N = [|β| + n/2]+ 1. Пусть даны функции Φ1(ξ) и Φ2(ξ), положительно однородные степеней a1 и a2. При выполнении ограничений β - s /= n/2+ p, β - s + a1 /= ±(n/2+ p), β - s + a1 + a2 /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .) можно говорить об ограниченных операторах 1 Φ1,β-s(D) = F - Φ1(ξ)Fβ-s : H s (Rn ) → H s-a1 (Rn), β-s+a1 1 β β s-a1 n s-(a1+a2) n Φ2,β-s+a1 (D) = F - 2 β-s+a1 β β β-s+a1+a2 Φ (ξ)F s-a1 n : H (R β ) → H n (R ). В этом случае оператор Fβ-s+a1 : Hβ (R ) → Hs-a1 (R ) - изоморфизм, и композиция Φ2,β-s+a1 (D)Φ1,β-s(D) есть ограниченный оператор F -1 s n s-(a1+a2) n β-s+a1+a2 Φ2(ξ)Φ1(ξ)Fβ-s : Hβ (R отвечающий произведению функций (Φ2Φ1)(ξ). ) → Hβ (R ), В частности, если однородная функция Φ(ξ) степени a не обращается в ноль на Rn \ {0} (или, что то же самое, на Sn-1), то при всех β, s ∈ R таких, что β - s /= ±(n/2+ p), β - s + a /= ±(n/2+ p) (p = 0, 1,.. .) ограниченный оператор 1 Φβ-s(D) = F - Φ(ξ)Fβ-s : H s (Rn ) → H s-a (Rn) β-s+a β β 4.2. ОЦЕНКА ДЛЯ ОПЕРАТОРА УМНОЖЕНИЯ НА ОДНОРОДНУЮ ФУНКЦИЮ. ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 117 имеет ограниченный обратный Φ-1 -1 -1 s-a n s n β-s(D) = Fβ-sΦ (ξ)Fβ-s+a : Hβ (R ) → Hβ (R ), т. е. является изоморфизмом Hs (Rn) на Hs-a(Rn). β β Замечание 4.3. Рассмотрим однородный дифференциальный оператор A(D) = \ |α|=m aαDα порядка m = 0, 1,... с постоянными коэффициентами. Для всякого целого неотрицательного показателя s он задает непрерывное отображение из пространства Hs+m(Rn) в Hs (Rn). При фикси- β β рованных β и s, удовлетворяющих условиям β - s - m /= n/2+ p, β - s /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .), определен также ограниченный оператор свертки 1 Aβ-s-m(D) = F - A(ξ)Fβ-s-m : H s+m (Rn ) → H s (Rn), где β-s A(ξ) = \ |α|=m β β aαξα β - символ дифференциального оператора, однородный полином степени m. Покажем, что (при дополнительном условии β -s /= n/2+p, p = 0, 1,.. .) на всюду плотном в Hs+m(Rn) подпространстве то на подпространстве C∞(Rn \ {0}), если n/2+ p < β - s - m < n/2+ p + 1, (если β - s - m < n/2, 0 то на подпространстве Mp) выполнено соотношение - - Aβ s m(D)u = F -1A(ξ)Fu = A(D)u. Тогда в силу непрерывности операторов Aβ-s-m(D) и A(D) совпадают на всем пространстве Hs+m n β (R ). Действительно, пусть, например, n/2+ p < β - s - m < n/2+ p +1 0 для некоторого p = 0, 1,..., и пусть u ∈ Mp. Функция v = Fβ-s-mu = Fu (на Mp отображение Fβ-s-m совпадает с обычным преобразованием Фурье, примененным к гладкой финитной функции) удовлетворяет условиям v(γ)(0) = 0 (|γ| p). Тогда функция w(ξ) = A(ξ)v(ξ) является образом Фурье принадлежащей пространству C∞(Rn \ {0}) функции \ |α|=m aαDαu, причем w(γ)(0) = 0 для |γ| p + m, так что w ∈ F (Mp+m). Но при ограничении n/2+ (p + m) < β - s < n/2+ (p + m)+1 s n β n оператор Fβ-s : Hβ (R ) → Hs (R ) является изоморфизмом, на Mp+m совпадающим с преобразо- β s ванием Фурье. Следовательно, на подпространстве F (Mp+m) обратный оператор F -1 - совпадает с обратным преобразованием Фурье F -1. Поэтому F -1 β-sw = F -1w и, таким образом, F -1 β-sA(ξ)Fβ-s-mu = F -1A(ξ)Fu = A(D)u. 0 Если же выполняется неравенство то для u ∈ C∞(Rn \ {0}) снова имеем β - s - m < n/2, v = Fβ-s-mu = Fu, 118 ГЛАВА 4. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ в то время как функция w(ξ) = A(ξ)v(ξ) удовлетворяет условиям w(γ)(0) = 0 (|γ| m - 1). Так что при n/2+ p < β - s < n/2+ p +1 (p = 0, 1,...,m - 1) 0 обязательно получим w ∈ F (Mp), а при β - s < n/2 будем иметь w ∈ F (C∞(Rn \ {0})) . И в этом F случае -1 β-s w = F -1w. 4.3. ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ СО СЖАТИЯМИ АРГУМЕНТОВ Зафиксируем q > 1 и на заданных в Rn функциях рассмотрим оператор (Pu)(x) = u(x/q). Очевидно, (P-u)(λ, φ) = q-iλu˜(λ, φ) и 2 r 2 Pu Hs n = P-u(λ + in/2, ·) s n-1 dλ = β (R ) Imλ=β-s H (λ;S ) = r i(λ+in/2) 2 2 2(β-s+n/2) 2 Imλ=β-s q- β (R ) u˜(λ + in/2, ·) Hs(λ;Sn-1)dλ = q u Hs n , β так что норма оператора P в Hs (Rn) равна qβ-s+n/2. Для всякой гладкой в Rn \ {0} функции Φ(ξ), положительно однородной степени a ∈ R, легко проверяется соотношение a P Φβ-s(D) = q Φβ-s(D)P (4.3) (β - s /= n/2+ p, β - s + a /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .)). Надо лишь вспомнить, что 0 (FPu)(ξ) = qn(Fu)(qξ) (u ∈ C∞(Rn \ {0})), откуда получается qa(ΦFPu)(ξ) = qnqaΦ(ξ)F u(qξ) = qn(ΦFu)(qξ). При a = 0 операторы свертки коммутируют с оператором сжатия. Рассмотрим функцию двух переменных Φ(ω, z) (ω ∈ Sn-1,z ∈ C) такую, что вектор-функция z 1→ Φ(·, z) ∈ C∞(Sn-1) аналитична в круге |z| < κ для некоторого κ > 0. Если ее разложить в ряд по степеням z: ∞ Φ(ω, z) = \ Φk (ω)zk , k=0 то Φk ∈ C∞(Sn-1), причем для любого целого неотрицательного d и любого числа h, 0 < h < κ, найдется постоянная c = c(d, h) > 0 такая, что k Φk Cd(Sn-1) ch- (k = 0, 1,.. .). (4.4) Для произвольного a ∈ R функцию Φ(ξ, z) = ρaΦ(ω, z) назовем символом класса (a, κ). Лемма 4.1. Пусть a, β, s ∈ R таковы, что β - s /= n/2+ p, β - s + a /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .) и κ > qβ-s+n/2. Тогда всякому символу Φ(ξ, z) класса (a, κ) формулами ∞ Φβ-s(D, P ) = \ Φk,β-s(D)P , Φk,β-s(D) = Fβ s+aρ Φk (ω)Fβ-s (4.5) k k=0 -1 a - ставится в соответствие ограниченный оператор s n s-a n Φβ-s(D, P ) : Hβ (R ) → Hβ (R ). 4.3. ОПЕРАТОРЫ СВЕРТКИ СО СЖАТИЯМИ АРГУМЕНТОВ 119 Доказательство. В условиях леммы определены ограниченные операторы свертки s n s-a n причем Φk,β-s(D) : Hβ (R ) → Hβ (R ), Φk,β-s(D) c(β, s, a) Φk CN (Sn-1), N = |β| + n/2 + 1. Поэтому из (4.4) следует, что для любого числа h, 0 < h < κ, выполнены неравенства k Φk,β-s(D) c(β, s, a, h) · h- (k = 0, 1,.. .). β С учетом известного значения нормы оператора P в Hs (Rn) (при этом очевидно, что норма оператора P k равна qk(β-s+n/2)) для члена ряда (4.5) получаем оценку / qβ-s+n/2 \k Φk,β-s(D)P h k c(β, s, a, h) · (k = 0, 1,.. .). Если κ > qβ-s+n/2, то можно взять qβ-s+n/2 < h < κ, и тогда члены ряда по норме мажорируются убывающей геометрической прогрессией. Ряд (4.5) сходится по операторной норме. Лемма 4.2. Пусть β - s /= ±(n/2 + p) (p = 0, 1,.. .), κ > qβ-s+n/2, а для символов Φ(ξ, z), Ψ(ξ, z) и Θ(ξ, z) класса (0, κ) выполняется соотношение Θ(ξ, z) = Φ(ξ, z)Ψ(ξ, z). Тогда Θβ-s(D, P ) = Φβ-s(D, P )Ψβ-s(D, P ) = Ψβ-s(D, P )Φβ-s(D, P ). β Доказательство. На самом деле, в условиях леммы в Hs (Rn) действуют ограниченные операторы ∞ Φβ-s(D, P ) = \ Φk,β-s(D)P ∞ k k , Ψβ-s(D, P ) = \ Ψk,β-s(D)P k=0 k=0 ∞ Θβ-s(D, P ) = \ Θk,β-s(D)P k=0 k k , причем Θk (ξ) = \ Φj (ξ)Ψk j=0 -j (ξ). Но композиция Φβ-s(D, P )Ψβ-s(D, P ) задается рядом ∞ ⎛ k ∞ \ k=0 ⎛ k \ ⎝ j=0 Φj,β-s(D)P ⎞ j Ψk-j,β-s(D)P ∞ ⎞ k-j ⎠ = k = \ ⎝\ Φj,β-s(D)Ψk-j,β-s(D)⎠ P = \ Θk,β k -s(D)P = Θβ-s (D, P ). k=0 j=0 k=0 Здесь мы воспользовались тем, что оператор P j коммутирует с оператором Ψk -j,β -s(D), а оператор свертки Φj,β-s(D)Ψk-j,β-s(D) отвечает произведению функций Φj (ξ)Ψk-j (ξ). Из леммы 4.2 вытекает следующее утверждение. Лемма 4.3. Пусть β - s /= ±(n/2 + p) (p = 0, 1,.. .), κ > qβ-s+n/2, а символ Φ(ξ, z) класса (0, κ) не обращается в ноль при ξ ∈ Sn-1 и |z| < κ. Тогда ограниченный оператор s n s n есть изоморфизм. Φβ-s(D, P ) : Hβ (R ) → Hβ (R ) Доказательство. Заметим лишь, что функция Ψ(ξ, z) = 1/Φ(ξ, z) аналитична в том же круге |z| < κ, т. е. является символом класса (0, κ) таким, что Φ(ξ, z)Ψ(ξ, z) = 1. 120 ГЛАВА 4. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 4.4. РАЗРЕШИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ШКАЛЕ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Рассмотрим во всем пространстве Rn уравнение l \ \ akαDα /u(q-k x) = f (x) (x ∈ Rn), (4.6) k=0 |α|=2m с однородным оператором порядка 2m и постоянными коэффициентами akα ∈ C. Если s - целое неотрицательное число, то левой частью уравнения (4.6) задан ограниченный оператор l A(D, P ) : Hs+2m(Rn) → Hs (Rn), A(D, P ) = \ Ak (D)P k . β β k=0 Нас интересует вопрос обратимости этого оператора. Замечание 4.3 позволяет рассматривать в качестве обобщения уравнения (4.6) на случай произвольного s ∈ R уравнение с ограниченным оператором s+2m n s n Aβ-s-2m(D, P ) : Hβ (R Конечно, при этом накладываются ограничения ) → Hβ (R ). β - s - 2m /= n/2+ p, β - s /= ±(n/2+ p) (p = 0, 1,.. .). Замечание 4.4. Из того, что β - s /= n/2+ p, очевидно, следует, что β - s - 2m /= n/2+ p, а из того, что β - s - 2m /= -n/2 - p, вытекает, что β - s /= -n/2 - p (p везде пробегает множество неотрицательных целых чисел). Поэтому условия β - s /= ±(n/2+ p), β - s - 2m /= ±(n/2+ p) (p = 0, 1,.. .) равносильны условиям β - s /= n/2+ p, β - s - 2m /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .). Основным результатом данной главы является следующее утверждение. Теорема 4.1. Пусть β, s ∈ R таковы, что β - s /= n/2+ p, β - s - 2m /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .) и выполнено основное условие l A(ξ, z) ≡ \ \ akαξαzk /= 0 (ξ ∈ Rn \ {0}, |z| qβ-s+n/2-2m). k=0 |α|=2m Тогда для ограниченного оператора s+2m n s n Aβ-s-2m(D, P ) : Hβ (R ) → Hβ (R ) β существует ограниченный обратный. Другими словами, при произвольной функции f ∈ Hs (Rn) β уравнение (4.6) имеет единственное решение u ∈ Hs+2m(Rn). Доказательство. Из основного условия теоремы следует, в частности (полагаем z = 0), что «локальная» часть оператора эллиптична: A0(D) = \ |α|=2m a0αDα Поэтому ограниченный оператор A0(ξ) /= 0 (ξ ∈ Rn \ {0}). (4.7) s+2m n s n A0,β-s-2m(D) : Hβ (R ) → Hβ (R ) имеет ограниченный обратный (см. раздел 4.2). Условие (4.7) позволяет также ввести функции Aj (ξ) Φj (ξ) = q-2mj A0(ξ) , Aj (ξ) = \ |α|=2m ajαξα (j = 0, 1,..., l), 4.4. РАЗРЕШИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ШКАЛЕ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 121 являющиеся гладкими в Rn \ {0} положительно однородными функциями нулевой степени. Положим l Φ(ξ, z) = \ Φj (ξ)zj = j=0 A(ξ, q-2mz) . A0(ξ) Функция Φ(ξ, z) есть символ класса (0, κ) при любом κ > 0. Основное условие теоремы гарантирует необращение в ноль функции Φ(ξ, z) на множестве ξ ∈ Rn \ {0}, |z| < κ для некоторого κ > qβ-s+n/2. Но тогда по лемме 4.3 ограниченный оператор s n s n Φβ-s(D, R) : Hβ (R ) → Hβ (R ) имеет ограниченный обратный. Кроме того, используя (4.3), будем иметь ⎛ l ⎞ ⎝ Φβ-s(D, P )A0,β-s-2m(D) = \ j=0 Φj,β-s(D)P j ⎠ A0,β-s-2m(D) = так как l = \ q2mj Φj,β j=0 -s(D)A0,β-s-2m - - (D)P j = Aβ s 2m (D, P ), = q2mj F -1 q2mj Φj,β -2mj Aj (ξ) -s(D)A0,β-s-2m -1 (D) = A0(ξ) β-sq Поскольку каждый из операторов Fβ-sFβ-sA0(ξ)Fβ-s-2m = Aj,β-s-2m(D). s n s n s+2m n s n Φβ-s(D, P ) : Hβ (R ) → Hβ (R ), A0,β-s-2m(D) : Hβ (R ) → Hβ (R ) s+2m n s n является изоморфизмом, оператор Aβ-s-2m(D, P ) : Hβ (R ) → Hβ (R ) есть также изоморфизм, A-1 -1 -1 Теорема доказана. β-s-2m(D, P ) = A0,β-s-2m(D)Φβ-s(D, P ). Заметим, что, уменьшая β и (или) увеличивая s, мы ослабляем условие, накладываемое на символ оператора: уменьшается круг, где выражение A(ξ, z) не должно обращаться в ноль. За счет выбора β и s этот круг может быть сделан сколь угодно малым. В то же время, не обращаясь в ноль при z = 0, выражение A(ξ, z) будет отличным от нуля и в некотором круге, так что эллиптичность «локальной» части \ |α|=2m a0αDα оператора в уравнении (4.6) гарантирует однозначную разрешимость уравнения при всех «достаточно хороших» функциях f. Оформим это наблюдение. Следствие 4.1. Если A0(ξ) ≡ \ |α|=2m a0αξα /= 0 (ξ ∈ Rn \ {0}), то найдется число γ ∈ R такое, что для всех β, s ∈ R таких, что β - s /= n/2+ p, β - s - 2m /= -n/2 - p (p = 0, 1,.. .), β - s < γ, уравнение (4.6) имеет для всякой функции f ∈ Hs (Rn) единственное решение u ∈ Hs+2m(Rn). β β β β Такая «гибкость» при использовании весовых пространств Hs (Rn) имеет элементарное объяснение. С точки зрения уравнений со сжатиями аргументов, преимущество Hs (Rn) над соболевскими пространствами Hs(Rn) состоит в том, что в первом случае имеется примечательная зависимость нормы оператора Pu(x) = u(x/q), q > 1, от параметров s и β гладкости и веса β P ; Hs (Rn) = qβ-s+n/2, 122 ГЛАВА 4. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ в то время как (в этом несложно убедиться) для Hs(Rn) аналогичная зависимость отсутствует: соответствующая норма всегда равна (с точностью до эквивалентной нормировки) qn/2, если q > 1 и s ;;: 0. Этот факт имеет непосредственное отношение к тому, что достаточные условия фредгольмовой разрешимости в соболевских пространствах общей краевой задачи для уравнения со сжатиями аргументов (теорема 3.6) получились одни и те же для всех показателей s ;;: 0. Пример 4.1. Выясним, при каких значениях параметра s ∈ R уравнение ux x x x x x 2 1 1 (x)+ 2u 2 2 (x)+ u 1 2 (x/3) = f (x) (x ∈ R ) (4.8) имеет единственное решение u ∈ Hs+2(R2) для любой функции f ∈ Hs(R2). Символом урав- 0 0 нения (4.8) (в терминах данной главы) будет выражение -(ξ2 + 2ξ2 + 9ξ1ξ2z). По теореме 4.1 достаточно потребовать ξ2 2 1 2 2 2 -s-1) 1 + 2ξ2 + 9ξ1ξ2z /= 0 (ξ1 + ξ2 = 1, |z| 3 . (4.9) Для любого комплексного числа z с ненулевой мнимой частью выражение ξ2 + 2ξ2 + 9ξ1ξ2z, 1 2 очевидно, не обращается в ноль при ξ2 + ξ2 = 1. В случае же вещественного z соотношение (4.9) равносильно условию 1 2 1 9 ( ) 2 2 z 9 81 = 2 - z > 0 |z| 3-s-1 , или 2 z 2 4 2 2 3 √2/9 > 3-s-1 ⇔ s > 1 - 3 log 2. 0 Hs Итак, уравнение (4.8) имеет единственное решение u ∈ Hs+2(R2) для любой принадлежащей 0 (R2 ) функции f, если 3 s > 1 - 2 log3 2, s ∈/ Z. β Пример 4.2. Исследуем существование и единственность решения из пространства H2(R2) уравнения 1 1 2 2 Δu(x)+ b1ux x (x/2) + b2ux x (x/4) = f (x) (x ∈ R2), (4.10) β где b1, b2 ∈ C, β ∈ R, f ∈ H0(R2). Символ уравнения (4.10) имеет вид -(ξ2 + ξ2 + 4b1ξ2z + 16b2ξ2z2). 1 2 1 2 Запишем основное условие теоремы 4.1: ξ2 2 2 / 2 2 β-1 1 (1 + 4b1z)+ ξ2 (1 + 16b2z ) /= 0 ξ1 + ξ2 = 1, |z| 2 . (4.11) 1 Отсюда, очевидно, следует, что коэффициенты при ξ2 2 и ξ2 не должны обращаться в ноль при |z| 2β-1, что равносильно требованиям |b1| < 2-(β+1), |b2| < 2-2(β+1). 1 Но эти же требования обеспечивают положительность действительной части выражения ξ2(1 + 4b1z)+ ξ2(1 + 16b2z2) при ξ2 + ξ2 = 1, т. е. являются необходимыми и достаточными для выполне- 2 1 2 ния (4.11). β Итак, уравнение (4.10) имеет единственное решение u ∈ H2(R2) для любой принадлежащей H0 2 β (R ) функции f, если |b1| < 2-(β+1), |b2| < 2-2(β+1), β ∈/ Z. 5.1. ВАРИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 123 ГЛАВА 5 СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 1. ВАРИАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА Помимо простейших спектральных свойств задачи Дирихле, рассмотренных в разделе 2.3, для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений и уравнений с растяжениями и сжатиями аргументов были установлены также полнота и базисность системы корневых функций [24]. Кроме того, для симметрического дифференциально-разностного оператора был получен главный член спектральной асимптотики [25]. В то же время вопрос устойчивости собственных значений при возмущении области Ω остается открытым даже в том случае, когда рассматриваемая задача порождает неотрицательный самосопряженный оператор с компактной резольвентой в пространстве L2(Ω). Спектральной устойчивостью краевых задач (с разными типами краевых условий) для эллиптических дифференциальных уравнений занимались многие авторы [62, 64, 67, 71, 77], начиная с известной монографии [19]. В работе [65] предложен единый подход к исследованию спектральной устойчивости общих неотрицательных самосопряженных операторов, использующий вариационные свойства собственных значений и основанный на построении специального оператора переноса. Содержательность получаемых на этом пути результатов существенно зависит от регулярности собственных функций (что в значительной степени определяется регулярностью области) невозмущенной задачи и классом рассматриваемых возмущений. Попытки перенести разработанные методы на функционально-дифференциальные уравнения сталкиваются с определенными трудностями. В разность между соответствующими вариационными величинами для двух областей (исходной и возмущенной) входят дополнительные новые члены, обусловленные нелокальным характером задачи. В этих членах производные собственных функций интегрируются по некоторым множествам, образованным сдвигами границ как исходной, так и возмущенной областей. При этом геометрическая картина может оказаться достаточно сложной. Но настоящим препятствием является отсутствие априорной гладкости собственных функций. В монографии [88], а также главах 1, 2 данной работы показано, что решения краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений могут иметь сингулярности не только на границе, но и внутри области даже при бесконечно дифференцируемых данных, и такое поведение типично. В настоящей главе получены некоторые «положительные» результаты об устойчивости собственных значений задачи Неймана для функционально-дифференциального уравнения с растяжениями и сжатиями аргументов. С одной стороны, этот тип уравнений изучен меньше, чем дифференциально-разностные уравнения. Особенно это относится к задаче Неймана, которая всегда интересна с точки зрения спектральной устойчивости. С другой стороны, при некотором естественном техническом предположении (слабый вариант условия звездности) пропадает необходимость громоздких геометрических конструкций. Мы начинаем с вариационной формулы для собственных значений в разделе 5.1. В разделе 5.2 на основе утверждений относительно функциональных операторов, полученных в разделе 1.1, формулируются условия неотрицательности и дискретности спектра задачи Неймана для функционально-дифференциального уравнения. Основной результат раздела 5.2 - теорема о внутренней гладкости собственных функций. Раздел 5.3, являющийся центральным местом настоящей главы, содержит оценки изменения собственных значений под действием малых внутренних возмущений Ω∗ ⊂ Ω области Ω. Относительно свойства полунепрерывности собственных значений (теорема 5.2), малость возмущения означает, что мера Лебега |Ω \ Ω∗| мала. Для получения обратной оценки некоторые дополнительные ограничения накладываются как на Ω, так и на класс возмущений Ω∗. Заключительный раздел 5.4 посвящен обобщениям с точки зрения структуры уравнения. Напомним известную вариационную формулу, являющуюся основой для сравнения собственных значений. Пусть Ω - область в Rn, обладающая тем свойством, что вложение пространства Соболева H1(Ω) в пространство L2(Ω) компактно. Через a[u, v] обозначим непрерывную эрмитову 124 ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА полуторалинейную форму на H1(Ω), для которой существует постоянная γ > 0 такая, что | L2(Ω) a[u, u] ;;: γ |∇u 2 (5.1) для всех u ∈ H1(Ω). Более того, предположим, что a[1, v] = a[u, 1] = 0 при всех u, v ∈ H1(Ω). Из (5.1) немедленно следует, что a[u, u] = 0 тогда и только тогда, когда u = const. Для заданной функции f ∈ L2(Ω) рассмотрим абстрактную обобщенную задачу Неймана нахождения функции u ∈ H1(Ω) из равенства a[u, v] = (f, v)L2(Ω), справедливого при любой функции v ∈ H1(Ω). Соответствующая спектральная задача имеет вид 1 a[u, v] = λ(u, v)L2(Ω) ∀v ∈ H (Ω). (5.2) Оценка (5.1) позволяет ввести эквивалентное скалярное произведение в H1(Ω) по формуле (u, v) ∗ H1(Ω) Тогда переписываем тождество (5.2) в виде (u, v)∗ = a[u, v]+ (u, v)L2(Ω). = (λ + 1)(u, v)L (Ω) H1(Ω) 2 и, продолжая стандартным образом, убеждаемся при помощи теоремы Рисса в существовании непрерывного линейного оператора A : L2(Ω) → H1(Ω), A 1, такого, что H1(Ω) (f, v)L2(Ω) = (Af, v)∗ для всех f ∈ L2(Ω), v ∈ H 1(Ω). Его сужение на H1(Ω) является в таком случае компактным положительным оператором в H1(Ω), и мы приходим к операторному уравнению u = (λ + 1)Au в пространстве H1(Ω). Из теоремы Гильберта-Шмидта следует, что собственные значения μ оператора A составляют неубывающую бесконечно малую последовательность 1 = μ1 > μ2 ;;: ... → 0, m=1 а соответствующие собственные функции {ϕm}∞ образуют ортогональный базис в L2(Ω) и 2 H1(Ω). Везде будем предполагать, что ϕm L (Ω) = 1. В терминах исходной задачи имеем последовательность собственных значений λm: 0 = λ1 < λ2 ... → +∞ λm = 1/μm - 1. Очевидно, первое собственное значение λ1 = 0 - простое, и ему отвечает собственная функция ϕ1 = |Ω|-1/2. Собственные функции ϕm удовлетворяют соотношениям a[ϕm, ϕm] = λm, a[ϕm1 , ϕm2 ] = 0 (m1 /= m2). (5.3) Для произвольного конечномерного подпространства L ⊂ H1(Ω) положим λ(L) = sup{a[u, u] : u ∈ L, u L2(Ω) = 1}. Лемма 5.1 (Вариационный принцип для собственных значений [68, глава 4]). Собственные значения λm задачи (5.2) могут быть получены по формуле λm = inf{λ(L) : L ⊂ H1(Ω), dim L = m}. (5.4) 5.2. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ И ОБОБЩЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА 125 Доказательство. Обозначим через Mm линейную оболочку системы ϕ1,..., ϕm. Если u ∈ Mm, u L2(Ω) = 1, то (5.3) дает ⎡ m m ⎤ m m a[u, u] = a ⎣\ ciϕi, \ cj ϕj ⎦ = \ |ci|2λi \ |ci|2λm = λm, i=1 j=1 i=1 i=1 т. е. λ(Mm) не превосходит λm, и то же можно сказать про правую часть (5.4). Наоборот, пусть L - произвольное m-мерное подпространство в H1(Ω). Тогда существует функция u ∈ L с u L2(Ω) = 1 такая, что ее ортогональная проекция в L2(Ω) на Mm-1 равна нулю, т. е. Таким образом, имеем ci = (u, ϕi)L2(Ω) = 0, i = 1,...,m - 1. ⎡ ∞ ⎣ a[u, u] = a \ i=1 ciϕi, ∞ \ j=1 ⎤ cj ϕj ⎦ = ∞ \ i=1 |ci|2λi = ∞ \ i=m |ci|2λi ;;: ∞ \ i=m |ci|2λm = λm для этой функции u, а это означает, что правая часть (5.4) не может быть меньше λm. 2. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ И ОБОБЩЕННЫХ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Вначале будем рассматривать простейший положительно определенный оператор R, состоящий из трех слагаемых: причем Ru(x) = au(x)+ bu(q-1x)+ qn¯bu(qx), (5.5) r(ω) = a + bω + qn¯bω-1 > 0, когда |ω| = qn/2 (см. раздел 1.1). Записав последнее условие как a + bqn/2eiφ + qn¯bq-n/2e-iφ ≡ a + 2qn/2|b| cos(φ + φb) > 0 (φ ∈ R), получаем a > 2qn/2|b|. Нули r(ω) равны a + ja2 - 4qn|b|2 qn¯b ω1 = - , ω2 = , 2b bω1 при этом |ω1| > qn/2, |ω2|-1 > q-n/2. Таким образом, 2 r(ω) = bω-1(ω - ω1)(ω - ω2) = -bω2(ω - ω1)(ω-1 - ω-1), и оператор (5.5) представляется в виде 2 R = -bω2(P - ω1I)(P -1 - ω-1I). (5.6) Заметим, что числа bω1 и bω2 - вещественные и отрицательные. Понимая под ∗ сопряженный оператор в L2(Rn), можем записать (P -1 - ω-1I)∗ = q-nP - ω¯-1I = q-nP - ¯bω¯1 I = q-n(P - ω1I), 2 2 откуда приходим к другому представлению qnb R = -bω2q-n(P - ω1I)(P - ω1I)∗. (5.7) Пусть Ω ⊂ Rn - ограниченная область, а оператор R имеет вид (5.5) и выполнено условие a > 2qn/2|b|. Введем полуторалинейную форму aR,Ω[u, v] на пространстве H1(Ω) по формуле r aR,Ω[u, v] = Ω RΩ∇u · ∇v¯dx (u, v ∈ H1(Ω)). (5.8) Используя нижний индекс у RΩ, мы подчеркиваем, что производные uxi продолжены нулем вне Ω перед применением оператора R. Относительно областей сделаем несколько принципиальных предположений: Ω ⊂ qΩ, (S1) 126 ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА H1(Ω) компактно вложено в L2(Ω), (E1) H1(Ω) непрерывно вложено в Lp(Ω) для некоторого p > 2. (E2) Хорошо известно, что условия (E1) и (E2) выполнены, например, для всякой ограниченной области, удовлетворяющей условию конуса. Всякая ограниченная звездная относительно шара область удовлетворяет условию конуса. В то же время свойство (S1), уже широко использовавшееся в работе (это условие (1.5)), гораздо слабее звездности относительно шара. Число p в (E2) можно взять равным 2n/(n - 2), если n > 2, и любому числу, большему 2, при n = 2. Условие (E2) нам понадобится в следующем разделе. Соответствующий материал подробно обсуждается в монографии [63]. Поскольку выполнена оценка (5.1) (с γ = a - 2qn/2|b| > 0), все утверждения раздела 5.1 справедливы для aR,Ω[u, v]. При заданной функции f ∈ L2(Ω) интегральное тождество aR,Ω[u, v] = (f, v)L2(Ω), v ∈ H 1(Ω), (5.9) отвечает (формально записанной) задаче Неймана для функционально-дифференциального уравнения -div(RΩ∇u) = f в Ω, (5.10) RΩ∇u · ν = 0 на ∂Ω, (5.11) где ν(x) обозначает единичный вектор внешней нормали к ∂Ω в точке x ∈ ∂Ω. Как обычно, (5.9) получается из (5.10), (5.11) интегрированием по Ω уравнения (5.10), умноженного на произвольную функцию v, и последующим применением формулы интегрирования по частям. Удовлетворяющую (5.9) функцию u ∈ H1(Ω) поэтому естественно назвать обобщенным решением задачи (5.10), (5.11). loc Цель этого раздела - доказательство принадлежности H2 (Ω) решений (5.9), что будет играть важную роль при оценке собственных значений в следующем разделе. Лемма 5.2. Для функций u ∈ H1(Ω) и f ∈ L2(Ω) интегральное тождество aR,Ω[u, v] = (f, v)L2(Ω) (5.12) эквивалентно тождеству ((P -1 - ω-1I)∇u, ∇v) = -(bω )-1((q-1P - ω I)-1f, v) (5.13) 2 0 на классе v ∈ C∞(Ω). Ln 2 (Ω) 2 1 L2(Ω) Доказательство. Опирается на представление (5.6), формулу (1.3), лемму 1.2 и повторяет рассуждения из доказательств теорем 1.1, 1.7, 2.11, поскольку не использует краевые условия, которым удовлетворяет функция u(x) (условие на область (S1) дает возможность подставлять в (5.12) 0 функции P -k v(x) = v(qk x), принадлежащие C∞(Ω) вместе с v(x) - таким образом оператор -bω2(P - ω1I) «перебрасывается» на правую часть в интегральном тождестве). Лемма 5.3. Предположим, что выполняется условие |ω2|-1 > q1-n/2. Тогда для функций u ∈ H1(Ω) и g ∈ L2(Ω) интегральное тождество 1 -1 ((P - - ω2 I)∇u, ∇v)Ln = (g, v)L2(Ω) (5.14) эквивалентно тождеству (∇u, ∇v)Ln 2 (Ω) = ((qP -1 - ω-1I)-1g, v)L (Ω) (5.15) на классе v ∈ H1(Ω). 2 (Ω) 2 2 Доказательство. Возьмем v ∈ H1(Ω). Благодаря условию (S1) функции P k v(x) остаются в H1(Ω) при k = 1, 2,... и могут заменить v в (5.14). Имеем (P -1 - ω-1 / 2 I)∇u, ∇P k v и Ln 2 (Ω) = (g, P k v)L2(Ω) 2 I)∇u, ∇v /P -k (P -1 - ω-1 Ln 2 (Ω) = (qk P k - g, v)L2(Ω). (5.16) 5.3. ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ПРИ МАЛЫХ ВНУТРЕННИХ ДЕФОРМАЦИЯХ ОБЛАСТИ 127 2 Вновь суммирование по k = 0, 1,... соотношений (5.16), умноженных на -ωk+1, приводит к (5.15), где оператор 2 (qP -1 - ω-1I)-1 = q-1(P -1 - (qω2)-1I)-1 ограничен в L2(Ω) по следствию 1.1. Сейчас потребуем |ω2|-1 > q1-n/2, чтобы иметь неравенство |qω2|-1 > q-n/2. Тождество (5.14) может быть получено из тождества (5.15) тем же способом. Теорема 5.1. Пусть выполнено более сильное условие a > qn/2(q + q-1)|b| (5.17) на коэффициенты оператора R, и пусть f ∈ L2(Ω). Тогда всякое обобщенное решение u loc задачи (5.10), (5.11) принадлежит H2 (Ω). 0 Доказательство. Если u ∈ H1(Ω) есть обобщенное решение задачи (5.10), (5.11), то (5.9) выполняется для любой функции v ∈ H1(Ω) и тем более для любой функции v ∈ C∞(Ω). Условие (5.17) в точности означает неравенство |ω2|-1 > q1-n/2. Применяя последовательно леммы 5.2 и 5.3, мы видим, что функция u удовлетворяет интегральному тождеству 2 (Ω) (∇u, ∇v)Ln = (h, v) L2(Ω) 0 при произвольном v ∈ C∞(Ω), где функция h ∈ L2(Ω) задается формулой 1 h = -(bω2)-1 (P -1 - (qω2)-1I)- IΩ (P - qω1I)-1 f, а оператор IΩ продолжает функцию нулем вне Ω. Являясь решением уравнения Пуассона в Ω loc с правой частью из L2(Ω), функция u принадлежит H2 (Ω). Более того, ее H2-норма по любой строго внутренней подобласти, скажем q-1Ω, допускает оценку u H2(q-1Ω) C1( h L2(Ω) + u L2(Ω)) C2( f L2(Ω) + u L2(Ω)) с положительными постоянными C1, C2, зависящими только от Ω и параметров оператора R. Под обобщенной собственной функцией оператора -div(RΩ∇u) с условиями (5.11) понимается всякая не равная тождественно нулю функция ϕ ∈ H1(Ω), удовлетворяющая тождеству 1 aR,Ω[ϕ, v] = λ(ϕ, v)L2(Ω), v ∈ H (Ω). Следствие 5.1. При выполнении условий (E1), (S1) и (5.17) все обобщенные собственные loc функции ϕm задачи (5.10), (5.11) принадлежат пространству H2 (Ω) и удовлетворяют оценке ϕm H2(q-1Ω) C2(λm + 1), где λm - собственные значения ( ϕm L2(Ω) = 1). 5.3. ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ВНУТРЕННИХ ДЕФОРМАЦИЯХ ОБЛАСТИ Пусть Ω - ограниченная область в Rn со свойствами (E1), (E2) и (S1). Возьмем другую область Ω∗, удовлетворяющую (E1) и (S1). Эта область Ω∗ будет рассматриваться в качестве возмущения исходной области Ω. Принципиальное предположение относительно Ω∗ состоит в том, что она содержится в Ω. Цель этого раздела (и основная цель главы) - сравнить соответствующие m собственные значения λm и λ∗ форм aR,Ω и aR,Ωu , где оператор R, заданный формулами (5.5) и (5.17), остается неизменным. В основе рассуждений лежит вариационная формула (5.4). Ее L2(Ωu) использование строится на оценке выражения aR,Ωu [u, u]/ u 2 на конечномерном линейном подпространстве Mm ⊂ H1(Ω), натянутом на первые m собственных функций ϕi формы aR,Ω в Ω. В нашем случае это возможно сделать, просто взяв сужения на Ω∗ функций из H1(Ω) (эти сужения, естественно, принадлежат H1(Ω∗)). Когда Ω∗ \ Ω /= ∅, использование вариационной формулы требует построения специального оператора переноса T : H1(Ω) → H1(Ω∗); см. [65]. В качестве характеристики близости Ω и Ω∗ ⊂ Ω мы будем использовать меру |Ω \ Ω∗| и пытаться оценивать m разность λm - λ∗ функцией от |Ω \ Ω∗|, когда возможно (хотя есть и другие распространенные оценки малости возмущения [64, 65]). 128 ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА Теорема 5.2. Пусть оператор R имеет вид (5.5), его коэффициенты удовлетворяют неравенству (5.17), а Ω - ограниченная область в Rn со свойствами (S1), (E1) и (E2). Тогда существуют постоянные C > 0 и δm > 0, зависящие только от Ω и R, такие, что для любой подобласти Ω∗ ⊂ Ω, удовлетворяющей условиям (S1), (E1) и неравенству |Ω \ Ω∗| < δm, неравенство λ∗ 2 ∗ 1-2/p ∗ 1-2/p m λm + Cm(λm + 1) |Ω \ Ω | 1+ m(λm + 1)|Ω \ Ω | (5.18) m выполнено для соответствующих собственных значений λm и λ∗ форм aR,Ω и aR,Ωu . Доказательство. Применение (E2) и неравенства Гельдера к собственным функциям ϕi формы aR,Ω в Ω дает (d = 1 - 2/p > 0) 2 2 ∗ d 2 ∗ d ϕi L2(Ω\Ωu) ϕi Lp(Ω\Ωu)|Ω \ Ω | ϕi Lp(Ω)|Ω \ Ω | 2 ∗ d ∗ d C3 ϕi H1(Ω)|Ω \ Ω | C4(λi + 1)|Ω \ Ω | . Здесь C3 и C4 (а также все другие постоянные, возникающие в ходе доказательства) - положительные числа, зависящие только от Ω и R. m m 2 Возьмем u ∈ Mm, u L2(Ω) = 1, так что u = ), αiϕi и ), |αi| = 1. Тогда i=1 \ ϕi m i=1 откуда u 2 L2(Ω\Ωu) 2 L2(Ω\Ωu) i=1 C4m(λm + 1)|Ω \ Ω∗|d, Таким образом, u 2 L2(Ωu) - = 1 u 2 L2(Ω\Ωu) ;;: 1 - C4m(λm + 1)|Ω \ Ω∗|d. (5.19) u -2 L2(Ωu) 1+ 2C4m(λm + 1)|Ω \ Ω∗|d, (5.20) если мера |Ω \ Ω∗| достаточно мала, точнее, |Ω \ Ω∗| δm = [2C4m(λm + 1)]-1/d. (5.21) Благодаря представлению (5.7) и условию (S1) квадратичную форму aR,Ω[u, u] от u ∈ H1(Ω) можно переписать следующим образом (используется обозначение β = -q-nbω2): r aR,Ω[u, u] = r RΩ∇u · ∇u¯dx = β (P - ω1I)∗(P - ω1I)IΩ∇u · IΩ∇u¯dx = Ω r = β |(P - ω1I)IΩ∇u|2dx = β Rn r r |(P - ω1I)∇u|2dx + qnβ |∇u|2dx. (5.22) Аналогично, Rn r aR,Ωu [u, u] = β Ω r |(P - ω1I)∇u|2dx + qnβ Ω\q-1Ω |∇u|2dx (5.23) Ωu Ωu\q-1Ωu для той же функции u. Более точно, в (5.23) мы имеем дело с сужением u на Ω∗. Сравнивая далее (5.22) с (5.23) и принимая во внимание очевидное соотношение r r β |(P - ω1I)∇u|2dx β Ωu Ω |(P - ω1I)∇u|2dx, приходим к ключевому неравенству r aR,Ωu [u, u] aR,Ω[u, u]+ qnβ r |∇u|2dx - qnβ |∇u|2dx = aR,Ω[u, u]+ Ωu\q-1Ωu r r Ω\q-1Ω r + qnβ q-1(Ω\Ωu) |∇u|2dx - qnβ Ω\Ωu |∇u|2dx aR,Ω[u, u]+ qnβ q-1(Ω\Ωu) |∇u|2dx. (5.24) 1. ПОВЕДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ПРИ МАЛЫХ ВНУТРЕННИХ ДЕФОРМАЦИЯХ ОБЛАСТИ 129 Для u ∈ Mm, u L2(Ω) = 1, имеем r q-1(Ω\Ωu) m r |∇u|2dx \ i=1 q-1(Ω\Ωu) |∇ϕi|2dx. В силу следствия 5.1 и условия (S1) все производные ϕixj принадлежат H (q условием (E2) обеспечивает оценку Ω), что вместе с 2 2 2 |∇ϕi| Lp(q-1Ω) C5 ϕi H2(q-1Ω) C6(λi + 1) . С учетом этих неравенств и неравенства Гельдера получаем из (5.24), что aR,Ωu [u, u] aR,Ω[u, u]+ C7m(λm + 1)2|Ω \ Ω∗|d. Комбинируя последнее неравенство с неравенством (5.20) и принимая во внимание, что верхняя грань aR,Ω[u, u] на единичной сфере (относительно L2(Ω)-нормы) в Mm есть в точности λm, мы приходим к оценке aR,Ωu [u, u] u 2 L2(Ωu) / 1+ 2C4m(λm + 1)|Ω \ Ω∗|d / λm + C7m(λm + 1)2|Ω \ Ω∗|d λm + Cm(λm + 1)2|Ω \ Ω∗|d(1+ m(λm + 1)|Ω \ Ω∗|d) на пространстве Mm для всех достаточно малых |Ω \ Ω∗|. Отметим, что сужения ϕ1,..., ϕm на Ω∗ линейно независимы и тем самым порождают m-мерное подпространство в H1(Ω∗), если |Ω \ Ω∗| δm (см. (5.19)). Поэтому последнее неравенство вместе с вариационной формулой означают (5.18). Для получения оценки снизу обычно приходится накладывать дополнительные ограничения на области Ω и Ω∗ - хорошо известно, что одной малости |Ω \ Ω∗| недостаточно [19, глава 6]. Сейчас в дополнение к (S1) мы требуем Ω - звездная относительно начала координат, (S2) и ограничиваемся возмущениями Ω∗ ⊂ Ω, для которых существует общая постоянная Cemb в теореме о вложении H1(Ω∗) ⊂ Lp(Ω∗), т. е. u Lp(Ωu) Cemb u H1(Ωu), (E3) где Cemb > 0 не зависит ни от u ∈ H1(Ω∗), ни от Ω∗. Замечание 5.1. В качестве примера такого класса возмущений можно указать все области Ω∗ ⊂ Ω, звездные относительно шаров диаметра не меньше некоторого числа D > 0, или все области, удовлетворяющие условию конуса с фиксированными параметрами конуса (см. [63]). Постоянная Cemb в (E3) зависит только от D в первом случае и от параметров конуса - во втором случае. Теорема 5.3. Предположим, что оператор R имеет вид (5.5), его коэффициенты удовлетворяют условию (5.17), ограниченная область Ω ⊂ Rn удовлетворяет условиям (S1), (S2) и (E1), и задано число Cemb > 0. Тогда для каждого m = 1, 2,... можно указать такое число 0 < εm < 1, что для любой области Ω∗, удовлетворяющей условиям (S1), (E1) и (E3), и такой, что (1 - ε)Ω ⊂ Ω∗ ⊂ Ω при некотором ε ∈ (0, εm], имеет место неравенство m λm λ∗ m + C∗m(λ∗ 1+ + 1)2ε1-2/p m m(λ∗ + 1)ε1-2/p (5.25) m для собственных значений λm и λ∗ форм aR,Ω и aR,Ωu соответственно, где постоянная C∗ > 0 зависит лишь от Cemb. m Доказательство. Для начала отметим, что по теореме 5.2 числа λ∗ ограничены равномерно некоторой константой (своей для каждого m, но не зависящей от Ω∗) для всех областей Ω∗, удовлетворяющих условиям теоремы 5.3. Чтобы доказать теорему 5.3, применим теорему 5.2 к паре (1 - ε)Ω ⊂ Ω∗ и используем то, что собственные значения λ(1-ε)Ω,m задачи в (1 - ε)Ω равны в 130 ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА точности (1 - ε)-2λm. Действительно, замена x = κy, κ = (1 - ε)-1, переменных интегрирования в тождестве и очевидные соотношения r r RΩ∇u · ∇v¯dx = λ Ω Ω uv¯dx ∇v(κy) = κ-1∇[v(κy)], (RΩ∇u)(κy) = κ-1Rκ-1Ω∇[u(κy)] приводят к интегральному тождеству r r Rκ-1Ω∇[u(κy)] · ∇[v¯(κy)]dy = κ2λ u(κy)v¯(κy)dy κ-1Ω κ-1Ω (существенно, что оператор R перестановочен с заменой переменных). В ситуации, когда роль Ω играет переменная область Ω∗, а роль Ω∗ - область (1 - ε)Ω, необходимо дополнительно проверить независимость соответствующих постоянных C∗ , C∗ , C∗ , C∗ и C∗ 3 4 5 6 7 от Ω∗. Для C∗ , C∗ это очевидно - в условиях теоремы они определяются лишь постоянной вложе- 3 4 ния Cemb и коэффициентами уравнения. Проверим неравенство, аналогичное неравенству (5.21). Оно превращается в ограничение на ε: поскольку |Ω∗ \ (1 - ε)Ω| |Ω \ (1 - ε)Ω| εn|Ω|, будем иметь |Ω∗ \ (1 - ε)Ω| [2C∗ m(λ∗ + 1)]-1/d, как только 4 ε (n|Ω|)-1[2C∗ m(λ∗ m + 1)]-1/d. 4 m m При этом в силу равномерной (по Ω∗) ограниченности собственных значений λ∗ правая часть последнего неравенства не может быть меньше некоторого числа εm > 0. Далее имеем q-1Ω∗ ⊂ q-1Ω, в то время как q-1Ω ⊂ (1 - ε˜)Ω для достаточно малого ε˜. Будем считать, что εm ε˜. Это означает, что компакт q-1Ω∗ обладает открытой окрестностью (именно, (1 - ε˜)Ω), содержащейся в каждой рассматриваемой области Ω∗. Поэтому можно применить m рассуждения теоремы 5.1 к собственным функциям ϕ∗ формы aR,Ωu и записать оценку ϕ∗ 2 -1 u C∗ (λ∗ + 1) (m = 1, 2,.. .), m H (q Ω ) 2 m 2 в которой постоянная C∗ уже не зависит от Ω∗ и m. Действительно, поскольку для функции h∗ ∗ -1 ( -1 -1 1 -1 ∗ справедлива оценка m = -λm(bω2) P - (qω2) I)- IΩu (P - qω1I) ϕm h∗ u C λ∗ ϕ∗ u = C λ∗ m L2(Ω ) m m L2(Ω ) m с некоторой не зависящей от Ω∗ и m постоянной C , будем иметь ϕ∗ 2 -1 u ϕ∗ 2 -1 C1 ( h∗ + ϕ∗ L ((1-ε˜)Ω)) m H (q Ω ) m H (q Ω) m L2((1-ε˜)Ω) m 2 C1 ( h∗ L2(Ω ) ) m L2(Ω ) 1 m 2 m m u + ϕ∗ u C (C λ∗ + 1) C∗ (λ∗ + 1). То же верно и для C∗ , C∗ в неравенстве 5 6 2 ∗ ∗ 2 ∗ ∗ 2 m |∇ϕ∗ | Lp(q-1Ωu) C5 ϕm H2(q-1Ωu) C6(λm + 1) , 7 а, значит, и для соответствующей постоянной C∗ . Применение результата теоремы 5.2 с учетом очевидных неравенств завершает доказательство. |Ω∗ \ (1 - ε)Ω| εn|Ω|, λm < (1 - ε)-2λm В утверждении ниже под звездной областью относительно шара мы понимаем звездную область относительно шара, содержащего начало координат. 2. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ 131 Следствие 5.2. Предположим, что выполнено условие (5.17) на коэффициенты оператора R, а ограниченная область Ω является звездной относительно шара. Тогда существуют такие числа Cm > 0, δm > 0, что неравенство λ∗ ∗ 1-2/p m λm + Cm|Ω \ Ω | выполняется для любой подобласти Ω∗ ⊂ Ω, звездной относительно шара и удовлетворяющей условию |Ω \ Ω∗| < δm. Кроме того, для всех областей Ω∗, звездных относительно шара диаметра не меньше D (число D > 0 произвольно, но фиксировано) и таких, что (1 - ε)Ω ⊂ Ω∗ ⊂ Ω, выполняется неравенство λ∗ ∗ 1-2/p m ;;: λm - Cmε m как только 0 < ε εm. При этом величины C∗ , > 0, 0 < εm < 1 не зависят от Ω∗, а определяются лишь параметром D. Доказательство. Хорошо известно, что звездные относительно шара области обладают свойствами (S1), (E1) и (E2). Если же диаметр шара фиксирован, то можно зафиксировать и постоянную Cemb в теореме вложения, т. е. имеет место и (E3) (см. [63] и замечание 5.1). Остается применить m теоремы 5.2 и 5.3 и вновь учесть ограниченность относительно Ω∗ собственных значений λ∗ во второй части теоремы. 5.4. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ При тех же предположениях относительно областей рассмотрим более общий функциональнодифференциальный оператор. Пусть полуторалинейная форма aR,Ω на H1(Ω) задана теперь выражением r aR,Ω[u, v] = n \ (RijΩux )v¯x dx (u, v ∈ H1(Ω)) (5.26) i j Ω i,j=1 с (различными) операторами Rij , представимыми в виде конечных сумм (1.1): Rij v(x) = \ aijk v(q-k x). k ij Ограничиваясь эрмитовыми формами, мы полагаем Rji = R∗ или, переходя к символам операторов в смысле раздела 5.2, rji(ω) = rij (ω) на окружности |ω| = qn/2. Важно иметь алгебраические условия, обеспечивающие выполнение неравенства (5.1) для эрмитовой формы aR,Ω. Для этого достаточно потребовать, чтобы самосопряженный матричный оператор ⎛ R11 ... R1n ⎞ R = ⎜ . . . . ⎟ n n n n ⎝ . . . ⎠ : L2 (R ) -→ L2 (R ) (5.27) был положительно определен. Rn1 ... Rnn Лемма 5.4. Самосопряженный оператор R в (5.27) положительно определен тогда и только i,j=1 тогда, когда эрмитова матрица r(ω) = (rij (ω))n положительно определена в каждой точке ω ∈ C такой, что |ω| = qn/2, т. е. n \ rij (ω)ηiη¯j > 0 /0 /= η ∈ Cn, |ω| = qn/2 . (5.28) i,j=1 Доказательство. Вновь обратимся к подалгебре AR алгебры B(L2(Rn)), порожденной операторами P и P ∗ и изоморфной (с сохранением инволюции) алгебре всех комплексных непрерывных функций C(S) на окружности S = {ω ∈ C : |ω| = qn/2}. Будем рассматривать матричные алгебры n×n n×n AR и C(S, C ). Первая состоит из всех n × n-матриц с элементами из AR, действующих на 2 n-мерные векторы, компоненты которых принадлежат L2(Rn). Она представляет собой замкнутую подалгебру в B(Ln(Rn)) с инволюцией. Вторая - алгебра всех непрерывных на S матриц порядка n × n. Упомянутый выше изоморфизм естественным образом порождает изоморфизм и этих 132 ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА R алгебр, что влечет за собой совпадение спектра оператора R в An×n 2 (или в B(Ln(Rn)), что то же самое) со спектром матрицы-функции r(ω) в C(S, Cn×n). Последний есть объединение всех собственных значений матриц r(ω), когда ω пробегает S: σ(r) = {μ ∈ C : det(r(ω) - μe) = 0 для некоторого ω ∈ S}. Условие (5.28) означает положительность σ(r), а значит, и σ(R). Но для непрерывного линейного оператора в гильбертовом пространстве это эквивалентно положительной определенности. Следствие 5.3. Пусть Ω ⊂ Rn - произвольная область, aR,Ω задана посредством (5.26) и выполнено условие (5.28). Тогда aR,Ω есть непрерывная эрмитова полуторалинейная форма на H1(Ω) такая, что | L2(Ω) aR,Ω[u, u] ;;: γ |∇u 2 , u ∈ H с положительной постоянной γ, не зависящей от Ω и u. 1(Ω), 0 Замечание 5.2. В главе 2 мы видели, что выполнение последней оценки на более узком классе u ∈ C∞(Ω) в случае ограниченной области Ω, содержащей начало координат, эквивалентно более слабому условию n \ rij (ω)ξiξj > 0 /0 /= ξ ∈ Rn, |ω| = qn/2 i,j=1 на символ оператора, т. е. вещественная часть эрмитовой матрицы r(ω) должна быть положительно определена. Докажем ослабленный вариант теоремы 5.2 о полунепрерывности собственных значений, не использующий внутреннюю гладкость собственных функций. Теорема 5.4. Пусть aR,Ω задана формулами (5.26) и (5.28), и Ω - ограниченная область в Rn, удовлетворяющая (S1) и (E1). Тогда для любого ε > 0 и для каждого натурального m существует δ > 0 такое, что неравенство ∗ λm λm + ε (5.29) выполняется для соответствующих собственных значений в Ω и любой подобласти Ω∗ ⊂ Ω, удовлетворяющей (S1), (E1) и такой, что |Ω \ Ω∗| < δ. Доказательство. Пусть Mm обозначает то же, что и в теореме 5.2. Существование δ1 = δ1(m, ε) L2(Ωu) такого, что u -2 1+ ε для всех u ∈ Mm, u L2(Ω) = 1, и Ω∗ ⊂ Ω, |Ω \ Ω∗| < δ1, немедленно следует из абсолютной непрерывности интеграла. Сравним aR,Ω[u, u] и aR,Ωu [u, u] на конечномерном пространстве Mm. Под u в aR,Ωu [u, u] мы понимаем ограничение элемента u из Mm ⊂ H1(Ω) на Ω∗. Для любых i, j ∈ {1,..., n} можем записать r r (RijΩuxi )u¯xj dx = Ω Rn Rij (IΩ\Ωu uxi + IΩu uxi ) · (IΩ\Ωu u¯xj + IΩu u¯xj ) dx = r r n r = (RijΩu uxi )u¯xj dx + Ωu Ω\Ωu (Rij,Ω\Ωu uxi )u¯xj dx +2 Re \ (Rij,Ω\Ωu uxi )u¯xj dx, i,j=1Ωu u \ обозначая через I оператор продолжения функций нулем вне Ω Ω∗. Суммируя эти равенства Ω\Ω по всем i, j ∈ {1,..., n}, получим aR,Ω[u, u] = aR,Ωu [u, u]+ aR,Ω\Ωu [u, u]+2 Re Оценим третье слагаемое справа. Имеем n ij,Ω Ωu xi xj \ r (R u )u¯ dx. (5.30) \ i,j=1Ωu Rij,Ω\Ωu uxi = -k \ aijk (IΩ\Ωu uxi )(q k x), 5.4. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ 133 u x \ причем функция I u локализована в “тонком слое” Ω Ω∗. Поэтому слагаемые, отвечающие Ω\Ω i неотрицательным индексам k, обращаются в ноль в области интегрирования Ω∗. Слагаемые с k < 0 дают r r k k Ωu (IΩ\Ω u uxi )(q- x) u¯xj (x) dx Ωu (I \ Ω Ωu uxi )(q- x) |uxj (x)| dx r qk (Ω\Ωu) -k (IΩ\Ωu uxi )(q x) |uxj (x)| dx q u u . kn/2 " xi L2(Ω\Ωu) xj L2(qk (Ω\Ωu)) Отсюда получаем n r 2 Re \ (R u uxi )u¯xj dx C8 |∇u| \ u |∇u| u i,j=1Ωu ij,Ω\Ω 2 8 C2 /\ L2(Ω\Ω ) k<0 \2 L2(qk (Ω\Ω )) γ |∇u| L2(Ω\Ωu) + 4γ k<0 \ |∇u| L2(qk (Ω\Ωu)) 2 aR,Ω\Ωu [u, u]+ C9 k<0 |∇u| L2(qk (Ω\Ωu)) при помощи следствия 5.3, где положительные постоянные C8 и C9 зависят только от q и коэффициентов операторов Rij ; суммирование производится по конечному набору отрицательных чисел. Таким образом, aR,Ω\Ωu [u, u]+2 Re и из (5.30) теперь следует n \ r (R u )u¯ dx ;;: C ij,Ω\Ωu xi xj - 9 i,j=1Ωu \ k<0 2 |∇u| L2(qk (Ω\Ωu)), 2 L2(qk (Ω\Ωu)) aR,Ωu [u, u] aR,Ω[u, u]+ C9 \ |∇u| . k<0 m m Вспоминая сейчас, что u = ), αiϕi, ), |αi|2 = 1, получаем неравенство i=1 i=1 m 2 L2(qk (Ω\Ωu)) aR,Ωu [u, u] aR,Ω[u, u]+ C9 \ \ |∇ϕs| . (5.31) k<0 s=1 На основе этого неравенства и абсолютной непрерывности интеграла Лебега можно выбрать такое число δ2 = δ2(m, ε), что aR,Ωu [u, u] aR,Ω[u, u]+ ε λm + ε (5.32) для всех u ∈ Mm, u L2(Ω) = 1, и всех подобластей Ω∗, удовлетворяющих (S1) и (E1), и таких, что |Ω \ Ω∗| < δ2. Завершаем доказательство, рассуждая аналогично теореме 5.2. Замечание 5.3. Неравенство (5.31) показывает, что только сужения собственных функций aR,Ω на строго внутреннюю подобласть q-1Ω участвуют в оценке разности между aR,Ωu [u, u] и aR,Ω[u, u]. Однако, в ситуации, когда нет информации о внутренней регулярности собственных функций, мы используем более грубое неравенство (5.32). В заключение остановимся на частном случае формы (5.26), для которой остаются справедливыми результаты раздела 5.2 и могут быть получены непосредственные аналоги теорем 5.2 и 5.3 и следствия 5.2. Предположим, что все функциональные операторы Rij в (5.26) пропорциональны одному и тому же оператору вида (1.1): Rij = aij R, Ru(x) = \ ak u(q-k x) (aij , ak ∈ C). (5.33) k Чтобы удовлетворить условию (5.28), полагаем, что i,j=1 матрица (aij )n - положительно определенная эрмитова (5.34) 134 ГЛАВА 5. СПЕКТРАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА и k0 r(ω) ≡ \ ak ωk ≡ a0 + \ /ak ωk + qkna¯k ω-k > 0 (ω ∈ S). (5.35) k k=1 0 Можем без ограничения общности считать ak0 /= 0. Легко видеть, что r(ω) в (5.35) имеет в точности k0 корней ω = ωk , для которых |ωk | < qn/2, в то время как остальные ωk +k = qn/ω¯k 0 удовлетворяют неравенствам |ωk +k | > qn/2 (k = 1,..., k0). Получаем следующее разложение: k0 k0 R = (-1)k0 ak ω1 ... ωk n(P - ωk +k I) n(P -1 - ω-1I). 0 0 k=1 0 k k=1 Для того, чтобы имел место аналог леммы 5.3, мы должны потребовать выполнения неравенств |ωk |-1 > q1-n/2, k = 1,..., k0. Ввиду этого мы усиливаем условие (5.35), полагая k0 ak r(ω) ≡ a0 + \ / ωk + qkna¯k ω-k /= 0 (qn/2 |ω| q1+n/2) (5.36) k=1 (будучи вещественнозначной и непрерывной на связном множестве S, функция r(ω) не меняет знак и может считаться положительной на S без ограничения общности). Теорема 5.5. Пусть aR,Ω[u, v] задана формулами (5.26) и (5.33), выполнены условия (5.34) и (5.36), а ограниченная область Ω обладает свойствами (S1) и (E1). Тогда всякое решение тождества aR,Ω[u, v] = (f, v)L2(Ω), где v пробегает H1(Ω), при фиксированной функции f из L2(Ω) принадлежит пространству H2 2 loc(Ω). В частности, все собственные функции ϕm формы aR,Ω принадлежат Hloc(Ω) и удовлетворяют оценке ϕm H2(q-1Ω) C10(λm + 1), где λm суть соответствующие собственные значения, а положительная постоянная C10 зависит только от Ω и коэффициентов формы. Доказательство. Те же рассуждения, что и в доказательствах лемм 5.2, 5.3, позволяют свести исходное тождество n \ (aij RΩux , vx ) = (f, v) (v ∈ H1(Ω)) i,j=1 i j L2(Ω) L2(Ω) для функции u ∈ H1(Ω) к тождеству n \ (aij ux , wx ) = (g, w) , i,j=1 i j L2(Ω) L2(Ω) 0 справедливому для всех w ∈ C∞(Ω). Функция g ∈ L2(Ω) непрерывно зависит от f ∈ L2(Ω). Другими словами, u является решением эллиптического уравнения n \ - i,j=1 aij uxixj = g в Ω. Внутренняя гладкость вместе с соответствующей оценкой на любом открытом множестве, строго внутреннем по отношению к Ω, следует из хорошо известных результатов для эллиптических уравнений [40, глава 8], [12, глава XIV]. Опираясь на теорему 5.5 и оценку (5.31), полученную для общего случая, повторением схемы доказательства теоремы 5.2 получаем СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 135 Теорема 5.6. Все утверждения теорем 5.2, 5.3 и следствия 5.2 остаются справедливыми при замене aR,Ω в (5.8) формой r aR,Ω[u, v] = n \ aij (RΩux )v¯x dx, Ω удовлетворяющей условиям (5.34) и (5.36). i j i,j=1