Анализ белого шума в приложениях к стохастическим уравнениям в гильбертовых пространствах

Аннотация

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ Стохастические дифференциальные уравнения возникают в многочисленных приложениях как математические модели, отражающие случайные воздействия типа белого шума на рассматриваемую систему. В дальнейшем мы ограничимся случаем гауссовского белого шума. Намерение ввести шум в дифференциальное уравнение встречает несколько препятствий, одно из которых связано с тем, что процесс белого шума (неформально) определяется как случайный процесс, значения которого при разных t являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами с равными нулю математическими ожиданиями и бесконечными отклонениями. Это означает, что белый шум не является случайным процессом в обычном смысле. Можно выделить два подхода к преодолению препятствия, связанного с сингулярностью белого шума. Первый состоит в использовании исчисления Ито. Главная идея этого подхода может быть в общих чертах описана следующим образом. Вместо того, чтобы работать собственно с шумом, работают с его «первообразной» - броуновским движением B(t), или винеровским процессом. Основы этой теории были заложены Н. Винером [35], который первым ввел математическую модель броуновского движения, построив вероятностную меру на пространстве всех непрерывных на отрезке [0; 1] функций так, что эти функции можно считать траекториями процесса броуновского движения. В силу конструкции меры Винера эти непрерывные траектории оказываются нигде не дифференцируемыми с вероятностью единица. В основе исчисления Ито лежит понятие интеграла от стохастического процесса X(t) по броуновскому движению- интеграла Ито: T r X(t) dB(t). 0 Этот математический аппарат позволяет изучать задачу Коши для стохастического дифференциального уравнения вида dX(t) = a(t, X(t)) dt + b(t, X(t)) dB(t), X(0) = ζ, которое, на самом деле, представляет собой краткую запись интегрального уравнения t r X(t) - ζ = 0 t r a(s, X(s)) ds + 0 b(s, X(s)) dB(s). Такие уравнения называются уравнениями Ито, а их решения - процессами Ито. Эти процессы можно считать функционалами траекторий броуновского движения, и исчисление Ито часто называют анализом броуновских функционалов. Второй подход появился в последних декадах XX столетия и известен как анализ белого шума. Этот термин появился в работе Т. Хиды [13], где он предложил рассматривать функционалы броуновского движения как функционалы белого шума. Поскольку белый шум можно считать Работа частично поддержана министерством образования и науки РФ (Программа 1.1016.2011), РФФИ, проект 1301-00090, и программой государственной поддержки лидирующих университетов РФ (соглашение №. 02.A03.21.0006 от 27.08.2013). Qc 2014 РУДН 30 АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 31 производной броуновского движения, траектории которого непрерывны, но нигде не дифференцируемы в обычном смысле, естественно считать траектории белого шума элементами пространства Шварца SI обобщенных функций медленного роста. Поэтому при построении вероятностного пространства белого шума, являющегося базовым понятием анализа белого шума, берут Ω = SI и вводят гауссовскую нормализованную меру μ на σ-алгебре B(SI) борелевских подмножеств SI. Построение этой меры основано на знаменитой теореме Бохнера-Минлоса-Сазонова. Этой теме и дальнейшему развитию анализа белого шума посвящена обширная литература (см., например, [7, 15, 17, 20-25, 30]). Анализ белого шума дает математический аппарат, в рамках которого все случайные переменные рассматриваются как функционалы траекторий белого шума, т. е. функции, определенные на SI. Для того, чтобы охватить все необходимые функционалы, Хида построил обобщение теории обобщенных функций Шварца на случай функций, определенных на SI. С помощью теории оснащенных гильбертовых пространств он построил тройку Гельфанда (S) ⊂ (L2) ⊂ (S)∗, (1) которая является аналогом хорошо известной тройки S ⊂ L2(R) ⊂ SI. Здесь (L2) - пространство всех случайных величин на SI с конечным моментом второго порядка; в тройке (1) оно играет роль пространства L2(R). Значения белого шума принадлежат пространству (S)∗ в правой части тройки (1). Оно называется пространством обобщенных случайных величин, или распределений Хиды над пространством основных функций Хиды (S). В работе [20] Кондратьев и Стрейт расширили пространство Хиды обобщенных случайных величин (S)∗, столкнувшись с необходимостью охватить некоторые функционалы белого шума, необходимые в приложениях. Они ввели в рассмотрение пространство (S)-ρ как правый элемент тройки Гельфанда с тем же пространством (L2) в центре и более узким пространством основных функций (S)ρ, где 0 ρ 1 - фиксированный параметр. Пространства основных и обобщенных случайных величин Хиды стали частным случаем пространств Кондратьева и Стрейта, соответствующими случаю параметра ρ = 0, а именно, справедливы следующие вложения: -0 (S)ρ ⊂ (S)0 = (S) ⊂ (L2) ⊂ (S)∗ = (S) ⊂ (S)-ρ. Чрезвычайно важным является то, что в рамках анализа белого шума, процесс белого шума оказывается бесконечно дифференцируемой функцией переменной t со значениями в пространстве обобщенных случайных величин. Кроме того, становится возможным перейти от рассмотрения проинтегрированных уравнений Ито к изучению собственно дифференциальных уравнений. Математический аппарат анализа белого шума позволяет не только ввести шум непосредственно в уравнение, но также ставить и решать стохастические дифференциальные уравнения без ограничений, связанных с такими понятиями, как адаптированность рассматриваемых процессов к фильтрации, порожденной броуновским движением, и предсказуемость. Наличие этих свойств у подынтегрального выражения существенно для определения интеграла Ито и, следовательно, для всех построений исчисления Ито. Адаптированность случайного процесса к фильтрации можно грубо описать как зависимость его значения в любой момент t только от истории броуновского движения до момента t (которая представлена фильтрацией) и независимость от будущего. В рамках анализа белого шума можно изучать и решать некоторые уравнения с «предвосхищением» (anticipating equations) (см., например, [2, 8, 26, 29]). Это дает перспективу введения «зависимости от будущего» в математическую модель, что уже нашло применения, например, в финансовой математике, где позволило моделировать рынки с учетом влияния инсайдерской информации (см., например, [1, 7, 16, 31]). Стохастические дифференциальные уравнения в бесконечномерных гильбертовых пространствах начали изучать в начале 80-х (см. [18, 19], где впервые рассмотрено обобщение исчисления Ито на случай стохастических процессов со значениями в гильбертовом пространстве). Дальнейшее развитие этой теории можно найти в более поздних работах, таких, например, как [4, 5, 12]. Такие уравнения имеют многочисленные приложения в физике, математической биологии и финансовой математике (см., например, [11, 28, 33]). Ввиду преимуществ, которыми обладает анализ белого шума по сравнению с исчислением Ито, представляется разумным и естественным расширить эту теорию на гильбертовозначный случай. 32 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ Первая попытка такого расширения была предпринята в работе [10], где были введены пространства основных и обобщенных случайных величин со значениями в гильбертовом пространстве и, с помощью преобразования Эрмита, изучены уравнения с аддитивным шумом. В настоящей работе рассматривается несколько другой подход, предложенный в работе [27]. Мы используем пространства скалярнозначных основных случайных величин чтобы определить обобщенные случайные величины со значениями в гильбертовом пространстве как линейные непрерывные операторы на этих пространствах со значениями в гильбертовом пространстве H, следуя подходу к определению обобщенных функций со значениями в банаховом пространстве, использованному в работе [9]. Полученные таким образом пространства обобщенных H-значных случайных величин имеют ту же линейную и топологическую структуру, что и пространства, построенные в [10], однако предлагаемый подход позволяет определить в гильбертовозначном случае S-преобразование, которое оказывается мощным инструментом исследования. С его помощью удается естественным образом определить произведение Уика и доказать связь между интегралом Ито и интегралом Хицуды- Скорохода от операторнозначных случайных величин и, таким образом, обосновать постановку стохастических дифференциальных уравнений в пространствах гильбертовозначных обобщенных случайных величин как обобщение соответствующих уравнений Ито. Все это позволило получить результат о существовании единственного решения задачи Коши для уравнения с мультипликативным шумом. Дадим описание настоящей работы по разделам. В разделе 1 рассмотрено определение и основные свойства пространств обобщенных H-значных случайных величин (S)-ρ(H), где H - сепарабельное гильбертово пространство, и даны определения H-значного цилиндрического белого шума и Q-белого шума как (S)-ρ(H)-значных процессов. В разделе 2 обсуждаются понятия непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости (S)-ρ(H)-значных функций. В разделе 3 введено S-преобразование обобщенных H-значных случайных величин, которое оказывается эффективным инструментом исследования линейных стохастических дифференциальных уравнений, и дана характеристическая теорема S-преобразований обобщенных H-значных случайных величин. В разделе 4 с помощью S-преобразования определено произведение Уика операторнозначной и гильбертовозначной обобщенных случайных величин. Раздел 5 посвящен понятию интеграла Хицуды-Скорохода от функции со значениями в пространстве операторнозначных обобщенных случайных величин. Показано (теорема 5.2), что этот интеграл можно считать обобщением интеграла Ито в бесконечномерном случае. Это оправдывает постановку стохастических дифференциальных уравнений в пространствах гильбертовозначных обобщенных случайных величин, которые рассмотрены далее в разделе 6. В разделе 6 получен результат о существовании и единственности решения задачи Коши для линейного бесконечномерного стохастического дифференциального уравнения с аддитивным шумом и с мультипликативным шумом. Заметим, что условия, при которых получены эти результаты, не требуют предсказуемости или адаптированности начальных значений задачи Коши. 1. ОБОБЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Вероятностное пространство белого шума играет фундаментальную роль в нашей конструкции пространств гильбертовозначных обобщенных случайных величин. Дадим его определение и рассмотрим его основные свойства. Пусть SI - пространство медленно растущих распределений над пространством быстро убывающих основных функций S. Пространство S является счетно-гильбертовым. Это означает, что S = n Sp, где Sp = {ϕ ∈ L2(R) | (ϕ, ϕ)p < ∞ , (1.1) p∈N и скалярное произведение (·, ·)p определяется равенством (ϕ, ψ)p := (Dˆ pϕ, Dˆ pψ)L2(R), где Dˆ = - d2 dx2 + x2 + 1. Обозначим через |· |p норму, порожденную этим скалярным произведением. Из определения пространств Sp следует, что для любого p вложение Sp+1 '→ Sp является ядерным оператором, т. е. АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 33 пространство S ядерное. В силу этого, по теореме Бохнера-Минлоса-Сазонова (см., например, [17, теорема 4.7]), существует единственная вероятностная мера μ, определенная на борелевской σ-алгебре B(SI) подмножеств SI, удовлетворяющая условию r 1 2 ei(ω, θ±dμ(ω) = e- 2 |θ|0 , θ ∈ S, (1.2) SI где |· |0 - норма пространства L2(R) (в дальнейшем через (·, ·)0 будем обозначать скалярное произведение в L2(R)). Мера μ называется нормализованной гауссовской мерой на SI, т. к. для любых θ1, θ2,..., θn ∈ S, ортогональных в L2(R), случайная величина ω ∓→ ((ω, θ1), (ω, θ2),..., (ω, θn)) является гауссовской с плотностью распределения 1 n 2 1 x ( \ i Эквивалентно, n (2π) 2 n n |θi|0 i=1 1 - 2 exp 2 i=1 | r θi|0 . n 2 x 1 ), i - 2 n E(f (·, θ1),..., (·, θn) = (2π) 2 n n |θi|0 Rn i=1 f (x1,..., xn)e 1 2 i=1 |θi|0 dx ... dxn (1.3) для любой f : Rn → R, такой, что существует интеграл в правой части равенства. Тройка (SI, B(SI), μ) называется вероятностным пространством белого шума. Обозначим через (L2) пространство L2(SI, μ; R) всех R-значных интегрируемых с квадратом по μ функций (случайных величин), определенных на SI. Обозначим через ⊗· ⊗0 норму этого пространства. Из равенства (1.3) следует, что для любых θ, η ∈S выполняются следующие равенства: (·, θ), (·, η) (L2) = E ( (·, θ)(·, η) )⊗0 = (θ, η)0, ⊗(·, θ 2 = E(·, θ)2 0 = |θ|2. (1.4) Отсюда следует, что отображение θ ∓→ (·, θ) можно по непрерывности продолжить с S на L2(R). Таким образом, случайная величина (·, θ) определена как элемент пространства (L2) для любого θ ∈ L2(R). Равенство (1.2) остается верным для θ ∈ L2(R), а равенство (1.3) остается верным для θ1,..., θn ∈ L2(R). В частности, для любого t ;;; 0 случайная величина B(t) := (·, 1[0;t]) (1.5) определена как элемент пространства (L2). Она является гауссовской с равным нулю математическим ожиданием, а из равенства (1.4) следует, что 0 ErB(t)B(s)l = (1[0;t], 1[0;s])0 = min{t, s}, ErB2(t)l = |1[0;t]|2 = t. Более того, при 0 s < t имеет место равенство 1 Er(B(t) - B(s))4l = Er(·, 1(s,t])4l = r x2 x4e- 2(t-s) dx = 3(t - s)2. 2π(t - s) R Отсюда по теореме Колмогорова о непрерывности (см. [34]) следует, что B(t) имеет непрерывную версию, которая является броуновским движением. Будем далее обозначать ее тем же символом. Как это обычно делается в теории обобщенных функций, запишем неформально правую часть t r равенства (1.5) в виде интеграла: (ω, 1[0;t]) = 0 ω(s) ds для любого ω ∈ SI. Таким образом, получим t r B(t) = 0 ω(s) ds. (1.6) Равенство (1.6) означает, что элементы пространства SI, являющиеся элементарными исходами, в рамках аппарата вероятностного пространства белого шума можно представлять себе как траектории белого шума, который является производной броуновского движения. 34 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ k=1 1. Пространства обобщенных случайных величин: (S)-ρ. Пусть {ξk }∞ - ортонормированный базис пространства L2(R), состоящий из функций Эрмита 1 2 1 - x k=0 где {hk (x)}∞ ξk (x) = π- 4 - полиномы Эрмита (k - 1)! 2 e- 2 hk-1(x), x2 dk x2 k - h (x) = ( 1)ne 2 e- 2 . dxk В дальнейшем мы будем пользоваться следующими известными оценками функций Эрмита (см. [14]): t 3 ( ξi(s) ds = O(i- 4 ), (1.7) 0 } Пусть T ⊂ N ∪ {0 N 1 ξi(t) = O i- 4 , (1.8) 1 sup |ξi(t)| = O(i- 12 ). (1.9) t∈R § множество всех финитных мультииндексов. Стохастические полиномы Эрмита определяются следующими равенствами: k hα(ω) := n hα k ( ω, ξk ) , ω ∈ SI,α ∈T . Произведение здесь, на самом деле, является конечным, так как каждый мультииндекс α финитный и, значит, hαk (x) = h0(x) = 1 для всех достаточно больших k. Пусть α, β ∈ T и n = max{k ∈ N | αk I= 0 или βk I= 0}. Из равенства (1.3) и ортогональности ( 1 полиномов Эрмита в пространстве L2 R; x2 \ 2 e- dx следует √2π I n n l (hα, hβ )(L2) = E k n hα k=1 ( ω, ξk ) n hβ k=1 n k (ω, ξk ) = x2 n 1 r n = n hαk n n n k xk n hβ xk e 1 ), - 2 k=1 | k ξk | 2 0 dx1 ... dxn = (2π) 2 1 i=1 n |ξi|0 Rn k=1 r k=1 1 2 (0, α I= β, (1.10) = n (2π) 2 n k=1 R hαk xk hβk xk e- 2 xk dxk = α!, α = β, α! := n αk !. k Таким образом, стохастические полиномы Эрмита образуют ортогональную систему в пространстве (L2). Более того, {hα | α ∈ T } - ортогональный базис пространства (L2) (см. [15, теорема 2.2.3]). Из этого факта и равенства (1.10) следует, что для скалярного произведения и нормы в (L2) выполняются следующие равенства: (Φ, Ψ)(L2) = \ α!ΦαΨα, ⊗Φ⊗(L2) = \ α!Φα, где α∈T 2 2 α∈T 1 1 Φ = \ Φαhα, Ψ = \ Ψαhα, Φα = α!(Φ, hα)(L2), Ψα = α!(Ψ, hα)(L2). α∈T α∈T В силу равенства (1.10) можно неформально представлять себе пространство (L2) как / ∞ L2 R∞; n k=1 1 √2π x 2 \ k e- 2 dxk , отождествляя любой элемент ω ∈ SI с последовательностью его «коэффициентов Фурье» (ω, ξk ) по системе функций Эрмита. Таким образом, интегрируемые с квадратом случайные величины на вероятностном пространстве белого шума (SI, B(SI), μ) можно считать функциями бесконечного АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 35 множества действительных переменных. Эта линейная структура области определения случайных величин приводит к обобщению на бесконечномерный случай теории распределений Шварца, при этом пространство (L2) играет ту же роль, что L2(R) в тройке S ⊂ L2(R) ⊂ SI. В результате появляется тройка Гельфанда -ρ (S)ρ ⊂ (L2) ⊂ (S) , (1.11) где ρ ∈ [0; 1] фиксировано. Тройка (1.11) была впервые введена в работе [20] и используется в [15, 21] и других работах. Рассмотрим ее построение подробнее. Напомним, что благодаря тому, что функции Эрмита ξi являются собственными функция- 2 ми дифференциального оператора Dˆ d = - dx2 + x2 + 1, для которых выполняются равенства Dˆ ξi = (2i)ξi, i ∈ N, пространства Sp, определенные равенствами (1.1), можно описать в терминах разложений по функциям Эрмита следующим образом: ( ∞ ∞ Sp = ϕ = \ ϕiξi ∈ L2(R) (ϕ, ϕ)p = \ |ϕi|2(2i)2p < ∞ . i=1 i=1 Пространства (Sp)ρ определяются по аналогии с Sp: J (Sp)ρ = ϕ = \ ϕαhα ∈ (L2) : \(α!)1+ρ|ϕα|2(2N)2pα < ∞ , α∈T α∈T с нормами |· |p,ρ, порожденными скалярными произведениями pα (ϕ, ψ)p,ρ = \(α!)1+ρϕαψα(2N)2pα, 2N := n(2i)pαi . α∈T i∈N Чтобы прояснить эту аналогию, заметим, что другой способ определить скалярное произведение (·, ·)p,ρ при ρ = 0 - сделать это в терминах так называемого оператора вторичного квантования Γ(Dˆ ), который обычно определяется через отождествление пространства (L2) с пространством Фока ∞ n=0 Lˆ2(Rn) с помощью разложения хаоса Винера-Ито (см., например, [21]). Для упрощения изложения определим его эквивалентным образом, положив для любого α ∈T ∞ Γ(Dˆ )hα := n(2i)αi hα , ξi) . Тогда i=1 i (· (ϕ, ψ)p,0 = (Γ(Dˆ )pϕ, Γ(Dˆ )pψ . (L2) Пространство (S)ρ определяется как (S)ρ = n (Sp)ρ с топологией проективного предела и назыp∈N вается пространством основных случайных переменных. Пространство (S)-ρ определяется как (S)-ρ = J (S-p)-ρ с топологией индуктивного предела, p∈N где (S-p)-ρ - сопряженное к пространству (Sp)ρ. Элементы (S)-ρ называются обобщенными случайными величинами. Пространство (S-p)-ρ можно отождествить с гильбертовым пространством всех формальных разложений Φ = ), Φαhα, удовлетворяющих условию α∈T \(α!)1-ρ|Φα|2(2N)-2pα < ∞, α∈T со скалярным произведением 1-ρ (Φ, Ψ)-p,-ρ = \(α!) ΦαΨα(2N) -2pα. α∈T 36 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ Будем обозначать норму пространства (S-p)-ρ через |· |-p,-ρ. Для Φ = ), Φαhα ∈ (S)-ρ, ϕ = ), α∈T ϕαhα ∈ (S)ρ имеем: (Φ, ϕ) = \ α!Φαϕα. α∈T α∈T В дальнейшем важную роль играет понятие ограниченного множества в пространстве (S)ρ. Определение 1.1. Множество M ⊆ (S)ρ называется ограниченным, если для любой последовательности {ϕn} ⊆ M и любой последовательности {εn} ⊂ R, сходящейся к нулю, последовательность {εnϕn} сходится к нулю в (S)ρ. Нетрудно получить следующую характеристику ограниченных множеств в (S)ρ. Предложение 1.1. Множество ограничено в (S)ρ тогда и только тогда, когда оно ограничено в любом (Sp)ρ, p ∈ N. 2. Пространства гильбертовозначных обобщенных случайных величин: (S)-ρ(H). Пусть H - сепарабельное комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (·, ·) и соответствующей нормой ⊗ · ⊗. Через (L2)(H) будем обозначать пространство всех H-значных функций, определенных на SI, интегрируемых с квадратом по Бохнеру по гауссовской мере μ, определенной на B(SI). j=1 Пусть {ej }∞ § ортонормированный базис в H. Тогда семейство {hαej }α∈T ,j∈N H-значных функций образует ортогональный базис пространства (L2)(H). Любая функция f ∈ (L2)(H) раскладывается в ряд Фурье по этому базису следующим образом: f = \ ∞ fα,j hαej = \ fαhα = \ fjej, (1.12) α∈T ,j∈N α∈T j=1 fα,j ∈ R, fα = \ fα,j ej ∈ H, fj = \ fα,j hα ∈ (L2), при этом j α∈T ∞ ⊗f ⊗(L2)(H) = \ α!|fα,j | = \ α!⊗fα⊗H = \ ⊗fj ⊗(L2). 2 α∈T ,j∈N 2 α∈T 2 2 j=1 Обозначим через (S)-ρ(H) пространство всех линейных непрерывных операторов Φ : (S)ρ → H, оснащенное топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах пространства (S)ρ. Будем называть эту сходимость сильной сходимостью в (S)-ρ(H) а элементы этого пространства называть H-значными обобщенными случайными величинами над пространством основных функций (случайных величин) (S)ρ. Действие Φ ∈ (S)-ρ(H) на основную случайную величину ϕ ∈ (S)ρ будем обозначать через Φ[ϕ]. Для построения анализа (S)-ρ(H)-значных функций переменной t ∈ R сначала опишем структуру этого пространства. Предложение 1.2. Любой элемент Φ ∈ (S)-ρ(H) является ограниченным оператором из (Sp)ρ в H для некоторого p ∈ N. Доказательство. Предположим противное. Пусть Φ ∈ (S)-ρ(H). Для любого p ∈ N выберем ϕp ∈ (Sp)ρ так, что |ϕp|p,ρ = 1 и ⊗Φ[ϕp]⊗ ;;; p. В силу неравенств |ϕk |p,ρ |ϕk |k,ρ, которые верны для всех k > p, последовательность J ϕk сходится к нулю в пространстве (S) . В то же время, I имеем IΦ r ϕk k ρ I 1I ;;; 1, что противоречит непрерывности Φ. I k I Пространство основных функций (S)ρ является счетно-гильбертовым ядерным пространством, так как для любого p ∈ N оператор вложения Ip,p+1 : (Sp+1)ρ '→ (Sp)ρ является оператором Гильберта-Шмидта. Чтобы проверить это, возьмем следующий ортонормированный базис пространства (Sp+1)ρ: ( hα 1+ρ . (α!) 2 (2N)(p+1)α АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 37 Имеем: \ hα 1+ρ 2 (p+1)α \ 1 = (2N)2α . (1.13) α∈T (α!) 2 (2N) p,ρ α∈T В [15] доказано, что A(p) := \ 1 (2N)pα сходится для любого p > 1. Таким образом, ряд (1.13) сходится. α∈T Благодаря ядерности пространства (S)ρ имеет место следующая характеристика обобщенных H-значных случайных величин. Предложение 1.3. Любой элемент Φ ∈ (S)-ρ(H) является оператором Гильберта-Шмидта из (Sp)ρ в H для некоторого p ∈ N. Доказательство. Пусть Φ ∈ (S)-ρ(H). В силу предложения 1.2 элемент Φ ограничен как оператор, действующий из (Sp)ρ в H для некоторого p ∈ N. Обозначим через Φ˜ его продолжение на (Sp)ρ по непрерывности. Тогда оператор Φ может быть записан в виде Φ˜ Ip,p+1 как оператор, действующий из (Sp+1)ρ в H, а значит, является оператором Гильберта-Шмидта как композиция оператора Гильберта-Шмидта Ip,p+1 и ограниченного оператора Φ˜ . Далее в разделе 2 для исследования топологии равномерной сходимости на ограниченных подмножествах пространства (S)ρ, которую мы ввели в пространстве (S)-ρ(H), нам понадобится представление этого пространства в виде счетного объединения сепарабельных гильбертовых пространств. Для любого Φ ∈ (S)-ρ(H) обозначим через Φj линейный функционал, определенный для ϕ ∈ (S)ρ равенством (Φj, ϕ) := (Φ[ϕ], ej ). Пусть p таково, что Φ является оператором Гильберта- Шмидта из (Sp)ρ в H. Тогда все Φj,j ∈ N принадлежат одному и тому же сопряженному пространству (S-p)-ρ и поэтому раскладываются в ряды Φj = \ Φα,j hα, \(α!)1-ρ|Φα,j |2(2N)-2pα < ∞. α∈T α∈T Обозначим через ⊗Φ⊗-p,-ρ норму Гильберта-Шмидта Φ : (Sp)ρ → H. Имеем: 2 2 I I hα lI ∞ I hα \ ⊗Φ⊗2 = \ IΦ I = \ \ Φj, = -p,-ρ I I α∈T I (α!) 1+ρ I I 2 (2N)pα I α∈T j=1 (α!) 1+ρ 2 (2N)pα (1.14) = \ α∈T ,j∈N (α!)1-ρ|Φα,j |2(2N)-2pα. Обозначим через (S-p)-ρ(H) пространство операторов Гильберта-Шмидта, действующих из (Sp)ρ в H. Это сепарабельное гильбертово пространство. Операторы hα ⊗ ej, α ∈T , j ∈ N, определенные равенством (L2) (hα ⊗ ej )ϕ := hα, ϕ ej, ϕ ∈ (Sp)ρ, образуют в нем ортогональный базис. Из предложения 1.3 следует, что (S)-ρ(H) = I (S-p)-ρ(H) p∈N и любой Φ ∈ (S)-ρ(H) имеет следующее разложение: Φ[·] = \(Φj, ·)ej = \ Φα,j (hα ⊗ ej ) = \ Φα(hα, ·)(L2), j∈N α∈T ,j∈N α∈T где Φj = (Φ[·], ej ) ∈ (S-p)-ρ для некоторого p ∈ N, Φα = ), Φα,j ej ∈ H, при этом j∈N ⊗Φ⊗ 2 -p,-ρ = |Φj | = \ 2 \ -p,-ρ (α!)1-ρ|Φα,j |2(2N)-2pα = j∈N α∈T ,j∈N 2 = \(α!)1-ρ⊗Φα⊗ (2N) -2pα < ∞. α∈T 38 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ Нетрудно видеть, что и (S-p1 )-ρ(H) ⊆ (S-p2 )-ρ(H), p1 < p2, (1.15) ⊗Φ⊗-p1,-ρ ;;; ⊗Φ⊗-p2,-ρ, Φ ∈ (S-p1 )-ρ(H). (1.16) 3. Основные примеры гильбертовозначных обобщенных случайных процессов. Сначала введем последовательность независимых одинаково распределенных броуновских движений на вероятностном пространстве белого шума. Для этого возьмем некоторую биекцию n(·, ·) : N × N → N, удовлетворяющую условию n(i, j) ;;; ij, i, j ∈ N. (1.17) Это может быть сделано разными способами, например, с помощью следующей таблицы: i j 1 2 3 4 5 6 7 ··· 1 1 3 6 10 15 21 28 ··· 2 2 5 9 14 20 27 3 4 8 13 19 26 4 7 12 18 25 5 11 17 24 n(i, j). 6 16 23 7 22 ··· Определим последовательность линейных операторов Jj, j ∈ N, в пространстве L2(R), положив ∞ Jjf = \(f, ξi)ξn(i,j). (1.18) i=1 Пусть L2(R)j - замыкание линейной оболочки множества {ξn(i,j),i ∈ N}. Для любого j ∈ N оператор Jj является изометрическим изоморфизмом пространств L2(R) и L2(R)j, так как для любых f, g ∈ L2(R) имеем (Jjf, Jjg)L2(R)j = ∞ \ i=1 (f, ξi)(g, ξi) = (f, g)0. (1.19) Пространства L2(R)j с разными индексами j порождаются непересекающимися семействами функций ξi, поэтому они являются попарно ортогональными подпространствами L2(R). Более того, J∞ ∞ ∞ {ξi}i=1 = {ξn(i,j)}i=1, откуда следует j=1 ∞ L2(R) = a:4 L2(R)j. j=1 В последствии нам потребуются ортогональные проекторы πj, j ∈ N, пространства L2(R) на L2(R)j, определенные равенствами πjξn = (ξn, n ∈ {n(i, j),i ∈ N}, 0, n ∈/ {n(i, j),i ∈ N}. (1.20) [a,b] Положим 1j := Jj 1[a,b], где 1[a,b] - индикатор отрезка [a, b]. Для любых a, b, c, d ∈ R функции 1j1 j2 2 [a,b] и 1[c,d], где j1 I= j2, ортогональны в L (R). Рассмотрим случайные процессы, определенные равенствами [0,t] βj (t) := (·, 1j ), j = 1, 2,..., t ∈ R. (1.21) АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 39 В силу (1.4) и (1.19) имеем: [0,t] E [βj (t)βj (s)] = (1j , 1 j [0, s] )0 = (1 j [0,t] , 1 j [0, s] )L2( R)j = (1[0,t], 1[0, s])0 = min{t; s}, кроме того, j1 j2 E [βj1 (t)βj2 (s)] = (1[0,t], 1[0, s])0 = 0 j=1 при j1 I= j2. Отсюда следует, что {βj (t)}∞ o последовательность независимых броуновских движений. Для них имеют место разложения βj (t) = I ∞ rt ·, \ r \ ∞ t ξi(s) ds ξn(i,j) = \ ξi(s) ds (·, ξn(i,j)) = i=1 0 i=1 0 t r ∞ = \ ξi(s) ds hε n(i,j) , где εn := (0, 0,..., 1, 0,... ). n i=1 0 Случайный процесс, определенный формальным рядом t r W (t) = \ βj (t)ej = \ Wεn (t) hεn , Wεn (t) := ξi(n)(s) ds ej(n) ∈ H, (1.22) j∈N n∈N 0 где i(n), j(n) ∈ N таковы, что n(i(n), j(n)) = n, и t ∈ R, называется цилиндрическим винеровским процессом. Пусть Q ∈ L1(H; H) - положительный оператор1, определенный следующим разложением2: ∞ j Q = \ σ2(ej ⊗ ej ). (1.23) Конечность следа Q означает ),∞ j=1 j σ2 < ∞. j=1 Случайный процесс, определенный равенством t r εn n WQ(t) = \ σjβj (t)ej = \ WQ (t) hε εn , WQ (t) := σj ξi(n)(s) ds ej(n) ∈ H, t ∈ R, (1.24) j∈N n∈N 0 называется Q-винеровским процессом. Легко проверить, что WQ(t) ∈ (L2)(H), но W (t) ∈/ (L2)(H) для всех t ∈ R. В то же время, для любого x ∈ H имеем: j E W (t), x 2 = \(ej, x)2Erβ2(t)l = t⊗x⊗2. j∈N Таким образом, W (t), x ∈ L2(SI, B(SI), μ). Из оценки (1.7) и условия (1.17), следует, что -1,-ρ ⊗W (t)⊗2 t r = \ 0 i,j∈N 2 ξi(s) ds 2 ∞ 2n(i, j) -2 \ O (i- 3 -2j-2 < . i,j∈N Поэтому W (t) ∈ (S-1)-ρ(H) ⊂ (S)-ρ(H) для любого 0 ρ 1. Определим H-значный Q-белый шум равенством WQ(t) := \ σjξi(t) hε i,j∈N n(i,j) εn n ej = \ WQ (t) hε n∈N εn , WQ (t) = σjξi(n)(t) ej(n) ∈ H, 1Через L1(H; H) обозначаем пространство операторов с конечным следом, действующих из H в H. 2Для v ∈ V, u ∈ U, где V и U - гильбертовы пространства, обозначим через v ⊗ u оператор, действующий из U в V, определенный равенством (v ⊗ u)h := v(u, h)U . 40 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ полученным формальным дифференцированием равенства (1.24), и цилиндрический белый шум - равенством W(t) := \ ξi(t) hε i,j∈N n(i,j) ej = \ Wεn (t) hεn , Wεn (t) = ξi(n)(t) ej(n) ∈ H, (1.25) n∈N полученным формальным дифференцированием равенства (1.22). В силу оценки (1.8) имеем 2 2 ⊗WQ(t)⊗-1,-ρ < ∞, и ⊗W(t)⊗-1,-ρ < ∞. Таким образом, и Q-белый шум и цилиндрический белый шум принадлежат (S-1)-ρ(H) ⊂ (S)-ρ(H),ρ ∈ [0; 1]. В следующем разделе мы определим дифференцирование и интегрирование по переменной t ∈ R для (S)-ρ(H)-значных функций и покажем, что для всех t ∈ R выполнены равенства d dt WQ(t) = WQ(t) и d dt W (t) = W(t). 1. АНАЛИЗ (S)-ρ(H)-ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ Чтобы ввести дифференцирование и интегрирование (S)-ρ(H)-значных функций переменной t ∈ R, сначала опишем более детально топологию в (S)-ρ(H), определенную как топология равномерной сходимости на ограниченных подмножествах пространства (S)ρ. Для этого нам понадобится понятие ограниченности множества в пространстве (S)-ρ(H), которое определяется так же, как и в (S)ρ. Определение 2.1. Множество M ⊆ (S)-ρ(H) называется ограниченным, если для любых последовательностей {Φn}⊆M и {εn}⊂ R сходимость εn → 0 влечет за собой сходимость {εnΦn} к нулю в (S)-ρ(H). Следующее предложение дает характеристику ограниченных множеств в (S)-ρ(H). Предложение 2.1. Множество M ограничено в пространстве (S)-ρ(H) тогда и только тогда, когда для любого ограниченного множества M ⊂ (S)ρ {Φ[ϕ] | Φ ∈ M,ϕ ∈ M } является ограниченным множеством в H. Доказательство. Чтобы доказать необходимость условия, возьмем некоторое ограниченное подмножество M пространства (S)-ρ(H). Предположим, существует ограниченное M ⊂ (S)ρ такое, что для любого n ∈ N существуют ϕn ∈ M и Φn ∈ M, для которых ⊗Φn[ϕn]⊗ > n. Тогда sup I 1 Φ k [ϕ ]I ;;; I 1 Φ [ϕ ]I > 1 и, следовательно, J 1 Φ не сходится к нулю равномерно на I n I k∈N I n I I n n I n I n I n 1 n -ρ ограниченном множестве {ϕk,k ∈ N}⊆ M. Таким образом, J Φn не сходится к нулю в (S) (H). Достаточность условия очевидна. Предложение 2.2. Множество M ⊂ (S)-ρ(H) ограничено тогда и только тогда, когда существуют такие p ∈ N и K > 0, что для любого Φ ∈ M неравенство ⊗Φ[ϕ]⊗ K|ϕ|p,ρ выполняется для всех ϕ ∈ (S)ρ. Доказательство. Сначала докажем необходимость этого условия. Предположим, что для любого p ∈ N существуют Φp ∈M и ϕp ∈ M такие, что ⊗Φp[ϕp]⊗ > p|ϕp|p,ρ. Обозначим ϕn ψn := . |ϕn|n,ρ Множество M = {ψn | n ∈ N} ограничено в (S)ρ, так как для любого p ∈ N выполнено |ψn|p,ρ = |ϕn|p,ρ |ϕn|n,ρ 1 при n > p. В силу предложения 2.1 множество {Φ[ϕ] | Φ ∈ M,ϕ ∈ M } ограничено в H, что противоречит неравенству ⊗Φ [ψn]⊗ > n. Для доказательства достаточности возьмем p и K > 0 так, что для любых Φ ∈ M и ϕ ∈ (S)ρ выполнено ⊗Φ[ϕ]⊗ K|ϕ|p,ρ. (2.1) АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 41 Возьмем ограниченное множество M ⊂ (S)ρ. Поскольку в силу предложения 1.1 оно ограничено в любом (Sp)ρ, из (2.1) следует, что множество {Φ[ϕ] | Φ ∈ M,ϕ ∈ M } ограничено в H. Доказательство завершается применением предложения 2.1. Отсюда следует: Предложение 2.3. Множество M ограничено в (S)-ρ(H) тогда и только тогда, когда M⊂ (S-p)-ρ(H) для некоторого p ∈ N и M ограничено в (S-p)-ρ(H). Доказательство. Пусть M ограничено в (S)-ρ(H). В силу предложения 2.2 любой Φ ∈M ограничен как оператор, действующий из (Sp)ρ в H для некоторого p ∈ N, при этом ⊗Φ⊗L((Sp)ρ;H) K для некоторого K > 0. Обозначая через Φ˜ продолжение Φ по непрерывности на (Sp)ρ и взяв i=1 произвольный ортонормированный базис {ζi}∞ в (Sp+1)ρ, получаем ⊗Φ⊗2 = ⊗Φ˜ Ip,p+1⊗ ∞ 2 = \ IΦ˜ Ip,p+1ζiI L2 (Sp+1)ρ;H 2 L2 (Sp+1)ρ;H K2 \ ⊗Ip,p+1ζi⊗ ∞ I I I IH i=1 H 2 = K ⊗ p,p+1⊗ 2 I . L2 (Sp+1)ρ;(Sp)ρ i=1 Обратное очевидно. Следующее предложение дает характеристику сильной сходимости в (S)-ρ(H). α Предложение 2.4. Пусть Φn = ), Φ(n)hα α , Ψ = ), Ψαhα α ∈ (S)-ρ (H). Следующие утверждения эквивалентны: 1. {Φn} сходится к Ψ в пространстве (S)-ρ(H). (n) n 2. Для любого α ∈T выполнено lim →∞ ⊗Φα - Ψα⊗ = 0, вся {Φn} и Ψ принадлежат (S-p)-ρ(H) для некоторого p ∈ N и {Φn} ограничена в этом пространстве. 3. Все элементы последовательности {Φn} и Ψ принадлежат (S-p)-ρ(H) для некоторого ∈ p N и lim n→∞ ⊗Φn - Ψ⊗-p,-ρ = 0. Доказательство. 1 ⇒ 2. Пусть {Φn} сходится к Ψ в пространстве (S)-ρ(H). Тогда для любого α ∈T имеем ⊗Φ(n) 1 (n) α - Ψα⊗ = α! ⊗Φ [hα] - Ψ[hα]⊗→ 0, n → ∞. В силу предложения 1.3, Ψ ∈ (S-p)-ρ(H) для некоторого p ∈ N. Для любого ограниченного множества M ⊂ (S)ρ при достаточно больших n для всех ϕ ∈ M выполнено неравенство ⊗Φn[ϕ] - Ψ[ϕ]⊗ < 1, следовательно, ⊗Φn[ϕ]⊗ 1+ ⊗Ψ⊗-p,-ρ|ϕ|p,ρ 1+ ⊗Ψ⊗-p,-ρKp, где Kp = sup |ϕ|p,ρ. В силу предложения 2.1 последовательность {Φn} ограничена в (S)-ρ(H). Из ϕ∈M предложения 2.3 следует, что последовательность принадлежит некоторому (S-q )-ρ(H) и ограничена в нем. 2 ⇒ 3. Пусть {Φn} и Ψ удовлетворяют условию 2. В силу (1.15) и (1.16) можно считать, что существует такое q, что для всех p > q последовательность {Φn} и Ψ принадлежат (S-p)-ρ(H) и {Φn} ограничена по норме каждого из этих пространств некоторым K > 0. 42 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ Пусть Index α := max{n ∈ N, αn I= 0}. Верна следующая оценка: 2 ⊗Φn - Ψ⊗-(p+1),-ρ = = \ Index α k (α!)1-ρ⊗Φ(n) - Ψα⊗ (2N) 2 -2(p+1)α α + \ Index α>k (α!)1-ρ α ⊗Φ(n) 2 - Ψα⊗ (2N) -2(p+1)α max Index α k α ⊗ r(α!)1-ρ⊗Φ(n) - Ψα 21 \ (2N)-2(p+1)α+ Index α k + \ r 2 2 -2pα1 -2α Index α>k 21 α (α!)1-ρ 2⊗Φ(n)⊗ + 2⊗Ψα⊗ (2N) (2N) α max Index α k r(α!)1-ρ⊗Φ(n) - Ψα⊗ A(2p + 1)+ 4K2 \ Index α>k (2N)-2α. Для любого ε > 0 сначала выберем k так, что \ Index α>k (2N)-2α < ε . 8K2 Затем выберем N так, что для всех n > N выполнено ε max r α!)1-ρ⊗Φ(n) - Ψα⊗ 1 < . ( Index α k 2 α 2A(2p + 2) ⊗-(p+1),-ρ Тогда ⊗Φn - Ψ 2 < ε для всех n > N. 3 ⇒ 1. Очевидно. Будем понимать предел функции Φ(·) : R → (S)-ρ(H) в точке t0 ∈ R в смысле сильной сходимости в пространстве (S)-ρ(H). Производная будет определена как обычно, с пределом, понимаемым в вышеописанном смысле. Следующее следствие вытекает из предложения 2.4. Следствие 2.1. Пусть t0 ∈ (a, b), Φ(t) = ), Φα(t)hα ∈ (S)-ρ(H) для всех t ∈ (a, b) \ {t0}. Пусть α Ψ = ), Ψαhα ∈ (S)-ρ(H), тогда следующие утверждения эквивалентны: α S - 1. lim Φ(t) = Ψ в пространстве ( ) ρ(H). t→t0 t t 2. lim ⊗Φα(t) - Ψα⊗ = 0 для любого α ∈ T и существуют δ > 0, p ∈ N, M > 0 такие, что → 0 ⊗Φ(t)⊗-p,-ρ M для всех t ∈ (a; b), удовлетворяющих 0 < |t - t0| < δ, Ψ ∈ (S-p)-ρ(H). 3. Существуют δ > 0,p ∈ N такие, что Φ(t) ∈ (S-p)-ρ(H) для всех t ∈ (a; b), таких, что t t 0 < |t - t0| < δ, Ψ ∈ (S-p)-ρ(H) и lim ⊗Φ(t) - Ψ⊗-p,-ρ = 0. → 0 Доказательство целиком повторяет шаги доказательства предложения 2.4, поэтому мы его опускаем. Применяя следствие 2.1, получаем следующее утверждение. Следствие 2.2. Пусть t0 ∈ (a, b), Φ(t) = ), Φα(t)hα ∈ (S)-ρ(H) для всех t ∈ (a, b) \ {t0}. α 1. Φ(t) дифференцируема в точке t0, при этом d Φ(t0) = Ψ. dt α 2. Для любого α ∈T функция Φα : (a; b) → H дифференцируема в точке t0, Ψ := ), ΦI (t0)hα α принадлежит (S-p)-ρ(H) и существуют δ > 0, p ∈ N, M > 0 такие, что I Φ(t) - Φ(t0) I I I I t - t0 I I I-p,-ρ M для всех t ∈ (a; b) таких, что 0 < |t - t0| < δ. 3. dΦ := lim Φ(t) - Φ(t0) существует в пространстве (S ) (H) для некоторого p. dt t→t0 t - t0 -p -ρ АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 43 Используя это следствие, можно доказать, что цилиндрический винеровский процесс W (t), определенный равенством (1.22), дифференцируем всюду в R и его производная совпадает с белым шумом W(t), определенным равенством (1.25). Это действительно так, поскольку для любого dWεn t0 ∈ R и любого n ∈ N имеем (t0) = Wεn (t0). Более того, используя оценку (1.9), получаем dt I W (t) - W (t0) I I t I2 I 1 r I I I I t - t0 I I I-p,-ρ I I I = \ - I t t0 i,j∈N I t0 \ ( ξi(τ ) dτej I I I \2 (2N)-2pεn(i,j) 1 i,j∈N sup |ξi(t)| t∈R (2n(i, j))-2p K \ i-2p- 6 j-2p < ∞ i,j∈N для любого p ;;; 1, что показывает, что условие 2 следствия 2.2 выполнено. Похожим образом, используя оценку (1.9) и известное свойство функций Эрмита i i +1 1(t) = ξ2(t), ξi(t) = ξi-1(t)+ ξi+1(t), i = 2, 3,..., 2 ξI из которых следует оценка I 2 (n) 1 n sup |ξi (t)| = O(i- 12 + 2 ), t∈R можно показать, что W(t) бесконечно дифференцируема как (S)-ρ(H)-значная функция. Будем называть функцию Φ(·) : R → (S)-ρ(H) интегрируемой на измеримом множестве C ⊂ R, если существует такое p ∈ N, что Φ(t) ∈ (S-p)-ρ(H) для всех t ∈ C и Φ интегрируема по Бохнеру на C как функция со значениями в гильбертовом пространстве (S-p)-ρ(H). Из равенства (1.14), выражающего норму ⊗·⊗-p,-ρ, следует, что для любого α ∈T имеем оценку 2 (2N)2pα 2 ⊗Φα⊗H (α!)1-ρ ⊗Φ⊗-p,-ρ, из которой следует, что если Φ(t) = ), Φα(t)hα интегрируема на C, то для любого α ∈T функция α Φα(t) интегрируема по Бохнеру на C как H-значная функция. Более того, имеет место следующее достаточное условие интегрируемости. Предложение 2.5. Пусть функция Φ(·) : R → (S)-ρ(H) задана разложением Φ(t) := \ Φα(t)hα. α∈T Если для любого α ∈ T функции Φα : R → H интегрируемы с квадратом по Бохнеру на множестве C ⊂ R с мерой Лебега μL(C) < ∞, Φ(t) ∈ (S-q )-ρ(H) для всех t ∈ C и \(α!)1-ρ r Φ (t) 2 dt 2N -2qα < (2.2) " α ⊗H ∞ α C для некоторого q ∈ N, тогда Φ(t) интегрируема на C и r Φ(t) dt = \ r C α C Φα(t) dt hα. (2.3) n=1 Доказательство. Пусть {α(k)}∞ · фиксированное упорядочение множества мультииндексов T . Пусть оно таково, что lim k→∞ |α(k)| = ∞ и lim k→∞ Index α(k) = lim n→∞ n max{n ∈ N, α(k) I= 0} = ∞. Поскольку Φ(t) ∈ (S-q )-ρ(H), последовательность n Fn(t) := \ Φα(k) (t)hα(k) k=1 сходится к Φ(t) в этом пространстве для любого t ∈ C. Из равенства 1-ρ -pα ⊗Φα(k) (t)hα(k) ⊗-p,-ρ = (α!) 2 ⊗Φα(k) (t)⊗H (2N) 44 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ следует, что любая Φα(k) (t)hα(k) , k ∈ N, и, следовательно, все Fn(t) интегрируемы по Бохнеру как r (S-p)-ρ(H)-значные функции для всех p ∈ N ∪ {0}. Таким образом, имеем C для любого p ∈ N ∪ {0}. Легко также видеть, что ⊗Fn(t)⊗-p,-ρdt < ∞ r r Φα(k) (t)hα(k) dt = C C Φα(k) (t)dthα(k) (заметим, что левая часть - интеграл Бохнера (S-p)-ρ(H)-значной функции, а интеграл в правой части - интеграл Бохнера H-значной функции). Таким образом, r n r Fn(t) dt = \ Φα(k) (t) dthα(k) . (2.4) C Используя условие (2.2), получаем k=1 C r ⎛r ⊗Fn(t)⊗-q,-ρdt μL(C) ⎝ C C 2 ⊗Fn(t)⊗-q,-ρ 1 ⎞ 2 dt⎠ = 1 ⎛ n r ⎞ 2 2 = μL(C) ⎝\ (α(k))! 1-ρ k=1 C ⊗Φα(k) (t)⊗H dt(2N) -2qα(k) ⎠ 1 ⎛ ∞ r μL(C) ⎝\ (α(k))! 1-ρ k=1 C ⊗Φα(k) 2 (t)⊗H dt(2N) ⎞ 2 -2qα(k) ⎠ =: M. Отсюда следует, что так как ⊗Fn(t)⊗-q,-ρ → ⊗Φ(t)⊗-q,-ρ при t ∈ C, то по теореме Фату r ⊗Φ(t)⊗-q,-ρdt < ∞ и C r lim n→∞ C r ⊗Fn(t)⊗-q,-ρdt = C ⊗Φ(t)⊗-q,-ρdt. Поэтому Φ(t) интегрируема по Бохнеру на C как (S-q )-ρ(H)-значная функция. r Мы также получаем C r ⊗Φ(t)⊗-q,-ρdt < M и r r ⊗Fn(t) - Φ(t)⊗-q,-ρdt C C ⊗Fn(t)⊗-q,-ρdt + C ⊗Φ(t)⊗-q,-ρdt 2M. Так как ⊗Fn(t) - Φ(t)⊗-q,-ρ → 0, то по теореме Фату получаем ( ⊗Fn(t) - Φ(t)⊗-q,-ρdt → 0, а в C силу того, что I Ir r I I Fn(t) dt - I IC C r I I r I Φ(t) dtI I I-q,-ρ C r ⊗Fn(t) - Φ(t)⊗-q,-ρdt, в конце концов, получаем lim n→∞ C Fn(t) dt = C Φ(t) dt в (S-p)-ρ(H), так что равенство (2.3) следует из (2.4). АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 45 1. S-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 1 2 Рассмотрим функцию, определенную на SI равенством Eθ (·) := e(·,θ±- 2 |θ|0 . Ее называют экспоненциальной функцией, ассоциированной с θ, или ренормализованной экспонентой. Она играет важную роль в анализе белого шума, в частности, она используется в определении Sпреобразования. Для Eθ имеет место следующее разложение в ряд по стохастическим полиномам Эрмита: Eθ = \ Eα,θ hα, Eα,θ = α∈T 1 ∞ 0 n(θ, ξi)αi . (3.1) α! i=1 Это можно увидеть из следующего непосредственного вычисления. Возьмем θ ∈ S и стохастичеn n ский полином Эрмита hα = n hαi (·, ξi) . Обозначая θ⊥ := θ - ),(θ, ξi)0ξi, получим разложение θ i=1 в конечную сумму попарно ортогональных слагаемых: n θ = \(θ, ξi)0ξi + θ⊥. i=1 i=1 Поскольку 1 1 1 r 2 ω,θ±- 1 |θ|0 (L2) Eα,θ = α! Eθ, hα Eθ α = E [ h ] = e( α! α! SI 2 hα (ω) dμ(ω) = n n 2 1 r ), (ω,ξi±(θ,ξi)0+(ω,θ⊥±- 1 ), (θ,ξi)2+|θ⊥| n = ei=1 α! SI 2 0 i=1 0 n i=1 hαi (ω, ξi) dμ(ω), можем применить формулу (1.3), где n n 2 ), xi(θ,ξi)0+xn+1- 1 ), (θ,ξi)2+|θ⊥| n Следовательно, Eα,θ = E 2 r f (·, ξ1),..., (·, ξn), (·, θ⊥) 1 = n x2 0 0 n i=1 hαi (xi). x2+ 1 r 1 ), n+1 - θ⊥| = α!(2π) n+1 2 |θ⊥|0 f (x1,..., xn+1)e Rn+1 2 i i=1 2 | 0 dx1 ... dxn+1 = n 1 n 1 r 1 2 1 2 1 r x- 1 θ⊥ 2 1 x2 = √ α! i=1 2π R exi(θ,ξi)0- 2 (θ,ξi)0 hα i (xi)e - 2 xi dxi · √ e 2π|θ⊥|0 R 2 2 | |0- 2 |θ ⊥|0 dx. Вспоминая, что для производящей функции полиномов Эрмита t2 ∞ tn ψ(x, t) := ext- 2 = \ hn(x) n! имеет место равенство n=0 1 r t2 x2 (ψ(·, t), hn) ( x2 \ = √ ext- 2 hn(x)e- 2 dx = tn, n = 0, 1, 2,..., получаем (3.1). √ 2π L2 R; 1 e- 2 dx 2π R Для любого θ ∈ S экспоненциальная функция Eθ принадлежит (S)ρ при любом 0 ρ < 1 со следующей оценкой для любого p ∈ N: 2ρ-1 2 (см., например, [21]). (1 |Eθ |p,ρ 2ρ/2 exp r - ρ) 1-ρ p |θ| 1-ρ 1 (3.2) 46 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ Это позволяет определить S-преобразование элемента Φ ∈ (S)-ρ(H), 0 ρ < 1 равенством (SΦ)(θ) := Φ[Eθ ], θ ∈ S. (3.3) S-преобразование элемента Φ ∈ (S)-ρ(H) - это H-значная функция от θ ∈ S. Заметим, что если Φ ∈ (L2)(H), то для всех θ ∈ L2(R) имеет место равенство r (SΦ)(θ) = SI Φ(ω)Eθ (ω) dμ(ω) = E(ΦEθ ). (3.4) Очень важным свойством экспоненциальных функций Eθ,θ ∈S является то, что они образуют линейно плотное подмножество в (S)ρ (0 ρ < 1) и, таким образом, в (L2) и в каждом (Sp)ρ. Отсюда следует, что выполнение равенства (SΦ)(θ) = 0 для всех θ ∈S влечет за собой Φ = 0. Таким образом, каждый элемент пространства (S)-ρ, (0 ρ < 1) единственным образом определяется своим S-преобразованием. Поскольку любой Φ ∈ (S)-ρ(H) принадлежит (S-p)-ρ(H) для некоторого p ∈ N, из оценки (3.2) следует, что для любого Φ ∈ (S)-ρ(H) существует p ∈ N такое, что ρ/2 r 2ρ-1 1 2 1-ρ ⊗(SΦ)(θ)⊗ = ⊗Φ[Eθ ]⊗ ⊗Φ⊗-p,-ρ⊗Eθ ⊗p,ρ 2 ⊗Φ⊗-p,-ρ exp (1 - ρ) 1-ρ |θ|p . (3.5) Оказывается, оценка такого типа является достаточным условием для H-значной функции, действующей из S в H, чтобы быть S-преобразованием обобщенной H-значной случайной величины, а именно, справедлива следующая характеристическая теорема. Теорема 3.1. Пусть Φ ∈ (S)-ρ(H), 0 ρ < 1. Тогда функция F = SΦ удовлетворяет условиям: 1. для любого θ, η ∈S функция F (θ + zη) является целой аналитической функцией от z ∈ C; 2. существуют K > 0,a > 0, p ∈ N, такие, что ⊗F (θ)⊗ K exp 2 l p a|θ| 1-ρ , θ ∈ S. (3.6) Если функция F : S → H удовлетворяет условиям 1 и 2, то существует единственная Φ ∈ (S)-ρ(H) такая, что F = SΦ для любого q, при котором e 2 ( 2a 1 - ρ \1-ρ ∞ ), (2i) -2(q-p) < 1, и верно неравенство: / 1-ρ ∞ \-1/2 i=1 ⊗Φ⊗-q,-ρ K 1 - e 2 ( 2a \ 1 - ρ \ i=1 (2i) -2(q-p) . (3.7) Мы опускаем доказательство, так как оно почти полностью повторяет доказательство в Rзначном случае (см., например, [21]). Пример. Рассмотрим S-преобразования Q-белого шума и цилиндрического белого шума. Имеем: j rSWQ(t)l(θ) = WQ(t)rEθ l = \ ξi(t)σjej (ξn(i,j), θ)0 = \ σjej [J-1πjθ](t), (3.8) и, аналогично, i,j∈N j∈N j rSW(t)l(θ) = \ ξi(t)ej (ξn(i,j), θ)0 = \ ej [J-1πjθ](t). (3.9) Кроме того, справедливо равенство i,j∈N j∈N IrSWQ(·)l(θ)I2 = \ σ2 (ξ , θ)0 2 I IL2(R;H) j i,j∈N n(i,j) и, так как функции ξi(t)ej, i, j ∈ N, образуют ортонормированный базис в пространстве L2(R; H), IrSW(·)l(θ)I2 = \ (ξ 2 , θ) = |θ|2. I IL2(R;H) i,j∈N n(i,j) 0 0 АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 47 2. ПРОИЗВЕДЕНИЕ УИКА ОБОБЩЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН СО ЗНАЧЕНИЯМИ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пусть H - еще одно сепарабельное гильбертово пространство. Пространство L2(H; H) операторов Гильберта-Шмидта, действующих из H в H является сепарабельным гильбертовым пространством, поэтому можем ввести пространство (S)-ρ L2(H; H) L2(H; H)-значных обобщенных случайных величин над пространством основных функций (S)ρ так же, как это сделано в пункте 1.2. Рассмотрим Ψ ∈ (S)-ρ L2(H; H) , Φ ∈ (S)-ρ(H). Их S-преобразования удовлетворяют условиям 1 и 2 теоремы 3.1. Для любого θ ∈ S имеем: SΨ(θ) ∈ L2(H; H), SΦ(θ) ∈ H, поэтому значения функции F (θ) := SΨ(θ)SΦ(θ) принадлежат H, и для любых θ, η ∈S функция F (θ + zη) переменной z ∈ C является целой аналитической. Имеем неравенство ⊗SΨ(θ)SΦ(θ)⊗H ⊗SΨ(θ)⊗L2(H;H)⊗SΦ(θ)⊗H K1K2 exp 2 l p (a1 + a2)|θ| 1-ρ , где K1, K2, a1, a2 - константы из условия 2 теоремы 3.1, которое выполнено для Ψ и Φ соответственно (очевидно, можно считать эти условия выполненными с одним и тем же p). Таким образом, F является S-преобразованием некоторой обобщенной случайной величины Θ ∈ (S)-ρ(H). Это обосновывает следующее определение. L2 Определение 4.1. Пусть Ψ ∈ (S)-ρ (H; H) , Φ ∈ (S)-ρ (H) (0 ρ < 1). Обобщенная случайная величина Θ ∈ (S)-ρ(H) такая, что SΘ = SΨSΦ, называется произведением Уика Ψ и Φ и обозначается через Ψ ≡ Φ. Следующие равенства следуют из разложения (3.1): ∞ ∞ SΨ(θ) = \ Ψα n(θ, ξi)αi , SΦ(θ) = \ Φα n(θ, ξi)αi , α∈T 0 i=1 α∈T 0 i=1 где Ψα ∈ L2(H; H), Φα ∈ H. Отсюда следует ⎛ ⎞ ∞ SΨ(θ)SΦ(θ) = \ ⎝ \ 0 ΨαΦβ ⎠ n(θ, ξi)γi . γ∈T α+β=γ i=1 В силу единственности S-преобразования получаем ⎛ Ψ ≡ Φ = \ ⎝ \ ⎞ ΨαΦβ ⎠ hγ. γ∈T α+β=γ 3. ИНТЕГРАЛ ХИЦУДЫ-СКОРОХОДА 1. Определения и основные свойства. Пусть Q ∈ L1(H; H) - положительный оператор, определенный равенством (1.23), где {ej } - фиксированный выше ортонормированный базис в H. Обо- 1 1 1 значим через HQ пространство Q 2 (H) со скалярным произведением (u, v)HQ = (Q- 2 u, Q- 2 v)H. Предложение 5.1. При любом t ∈ R выполнено WQ(t) ∈ (S)-ρ(HQ) для любого ρ ∈ [0; 1) и положительного Q ∈ L1(H; H) вида (1.23). Если, кроме того, выполнено условие ∞ j j \ σ-2 -2p < ∞ для некоторого p ∈ N, (5.1) j=1 то W(t) ∈ (S)-ρ(HQ) для всех t ∈ R. Доказательство. Первое утверждение следует из оценки 2 ⊗WQ 2N 2 - ⊗H 2pεn(i,j) = |ξi(t)| 2 2n(i, j) -2p |ξi(t)| = O i 2 j -2p- 1 -2p . εn(i,j) Q 2ij 2p 48 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ Второе утверждение следует из оценки ξi(t)|2 1 2 -2pεn(i,j) = |ξi(t)|2σ-2 -2p | -2 -2p- 2 -2p j ⊗Wεn(i,j) ⊗HQ 2N 2n(i, j) j σ2 2ij 2p = O σj i j . Пусть опять H - еще одно сепарабельное гильбертово пространство. Рассмотрим L(H; H) - пространство линейных ограниченных операторов из H в H. Поскольку оно не является сепарабельным гильбертовым пространством, нельзя определить пространство L(H; H)-значных обоб- L2 щенных случайных величин так же, как выше было определено пространство (S)-ρ (H; H) . Несмотря на это, введем понятие обобщенной операторнозначной случайной величины с помощью следующего определения. Определение 5.1. Линейный непрерывный оператор Φ : (S)ρ → L(H; H) называется обобщенной L(H; H)-значной случайной величиной. Предложение 5.2. Любая обобщенная L(H; H)-значная случайная величина Φ принадлежит пространству (S)-ρ L2(HQ; H) . Доказательство. Заметим сначала, что рассуждениями, аналогичными тем, что были проделаны при доказательстве предложения 1.2, можно показать, что любая обобщенная L(H; H)-значная случайная величина Φ принадлежит L (Sp)ρ; L(H; H) для некоторого p ∈ N, и, таким образом, мы имеем ⊗Φ[ϕ]⊗ ⊗Φ⊗ \ I ∞ I L2(HQ;H) L (Sp)ρ;L(H;H) j=1 j σ2 ⊗ϕ⊗p,ρ, ϕ ∈ (S)ρ. Отсюда следует, что Φ - непрерывный оператор из (S)ρ в L2(HQ; H). Из предложений 5.1 и 5.2 следует, что для любого обобщенного L(H; H)-значного случайного процесса Φ(t) произведение Уика Φ(t) ≡ WQ(t) определено для всех t и принадлежит пространству (S)-ρ(H), так как Φ(t) можно считать (S)-ρ L2(HQ; H) -значным процессом. Взяв оператор Q, удовлетворяющий условию (5.1) и рассматривая Φ(t) как (S)-ρ L2(HQ; H) -значный процесс, получим, что произведение Уика Φ(t)≡W(t) также определено и принадлежит пространству (S)-ρ(H) для всех t ∈ R. Это обосновывает следующее определение. Определение 5.2. Будем называть обобщенный L(H; H)-значный случайный процесс Φ(t) интегрируемым по Хицуде-Скороходу по Q-белому шуму WQ(t) (или цилиндрическому белому шуму W(t) на [0; T ]), если Φ(t) ≡ WQ(t) (или Φ(t) ≡ W(t), соответственно) интегрируемо на [0; T ] как (S)-ρ(H)-значная функция. В таком случае будем называть интегралы T r Φ(t) ≡ WQ(t) dt и 0 T r Φ(t) ≡ W(t) dt 0 интегралами Хицуды-Скорохода от Φ(t). 2. Связь интеграла Хицуды-Скорохода и интеграла Ито. В этом разделе мы установим связь между интегралом Ито и интегралом Хицуды-Скорохода, а именно, покажем, что последний является обобщением интеграла Ито по винеровскому процессу. Для простоты рассмотрим случай Q-винеровского процесса и соответствующего Q-белого шума. Доказательство, которое мы представляем, использует идеи [6], где эта связь доказана в одномерном случае. Мы обобщаем их на бесконечномерный случай. Пусть {Bt,t ;;; 0} - σ-алгебра, порожденная случайными величинами (WQ(s), x)H, где 0 s t, x ∈ H. Семейство {Bt} называется фильтрацией, порожденной Q-винеровским процессом WQ(t), t ;;; 0. Легко видеть, что {Bt,t ;;; 0} совпадает с σ-алгеброй, порожденной случайными величинами вида ∞ (W (s), x)H := \ βj (t)(ej, x)H, 0 s t, x ∈ H. j=1 АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 49 Здесь скалярное произведение в левой части не определено, так как W (s) не принадлежит H почти наверное. Несмотря на это, ряд в правой части сходится в (L2), так как ∞ ∞ H \ E [βj (t)(ej, x)H]2 = t \(ej, x)2 < ∞. j=1 j=1 Заметим, что броуновские движения βj (t) (j ∈ N, t ;;; 0) являются мартингалами относительно Bt. Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство. H-значный случайный процесс Φ(t),t ;;; 0 называется Bt-адаптированным, если Φ(t) Bt-измерима для каждого t ;;; 0. Мы будем далее рассматривать интегралы Ито по определенному выше H-значному Q-винеровскому процессу. Они определены для предсказуемых подынтегральных функций Φ(t), t ∈ [0; T ], со значениями в H = L2(HQ; H). Напомним, что H-значный процесс называется предсказуемым, H если он измерим как отображение из [0; T ] × SI, PT в , B(H) , где PT - предсказуемая σалгебра подмножеств [0; T ]×SI. Последняя определяется как σ-алгебра, порожденная множествами вида (s; t] × B, 0 s < t T, B ∈ Bs. Нам понадобится несколько лемм, которые характеризуют Bt-измеримые случайные величины в терминах их S-преобразований. Они используют операторы Jj, j ∈ N, определенные равенствами (1.18), являющиеся изометрическими изоморфизмами L2(R) и пространств L2(R)j, и ортогональные проекторы πj, j ∈ N, пространства L2(R) на пространства L2(R)j, определенные равенствами (1.20). Лемма 5.1. Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство. Для любого Θ, Φ ∈ (L2)(H) равенство Θ = E Φ|Bt верно тогда и только тогда, когда ⎛ ∞ ⎞ SΘ(θ) = SΦ ⎝\ θt,j ⎠ (5.2) j=1 j для любого θ ∈ S, где θt,j := Jj J-1πjθ · 1[0,t] . t,j Доказательство. Пусть θ⊥ j = Jj J-1πjθ · 1[0,t]c , j ∈ N, для θ ∈ S. Имеем πjθ = Jj J-1πjθ = Jj J-1πjθ · 1[0,t] + J-1πjθ · 1[0,t]c = θt,j + θ⊥ , j t,j кроме того, функции θt,j и θ⊥ j j ортогональны в L2(R): t,j (θt,j, θ⊥ )0 = (Jj J-1πjθ · 1[0,t] , Jj J-1πjθ · 1[0,t]c = J-1πjθ · 1[0,t], J-1πjθ · 1[0,t]c = 0. t,j j j L2(R) j j L2(R) Так как для любых ортогональных в L2(R) функций θ и η 1 2 1 2 1 2 - 2 θ+η 0 = e(·,θ±- 2 θ 0 e(·,η±- 2 η 0 Eθ+η = e(·,θ+η± отсюда следует, что e(θ,η)0 = Eθ Eη, (5.3) ⎛ n ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ E SΘ \ πjθ = E Θ n ), πjθ j ⎠ = E ⎝Θ n Eπ θ ⎠ = E ⎝Θ n E t,j θt,j +θ⊥ ⎠ . j=1 j=1 j=1 j=1 Снова используя свойство (5.3), получаем ⎛ n ⎞ ⎛ n n ⎞ SΘ ⎝\ πjθ⎠ = E ⎝Θ n Eθ t,j Eθ ⎠ . n ⊥ t,j Заметим, что для любого s ∈ [0; t] j=1 j=1 j=1 E (βj (s)(·, θ⊥ ) = ((·, Jj 1 ), ·, Jj J-1π θ · 1 c = t,j = (Jj 1[0, s], Jj J-1 j [0, s] [0,t] j j [0, s] [0,t] j j (L2) [0,t] j π θ · 1 c L2(R) = 1 , J-1π θ · 1 c L2(R) = 0, 50 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ таким образом, случайные величины (·, θ⊥ ) и, следовательно, E ⊥ , j ∈ N, не зависят от Bt. t,j θt,j Приближая θ в L2(R) финитными ступенчатыми функциями, можно легко доказать, что случайные величины (·, θt,j ), j ∈ N, и, следовательно, функции Eθt,j являются Bt-измеримыми. Таким образом, если Θ = E Φ|Bt , в силу свойств условных математических ожиданий имеем ⎛ n ⎞ ⎛ n n ⎞ ⎝ SΘ \ j=1 πjθ⎠ = E⎝E Φ|Bt n j=1 Eθt,j n j=1 ⎞ Eθ ⎠ ⊥ = t,j ⎛ ⎞ ⎛ ( n \ ( n \ n n ( n \ = E⎝E Φ n Eθ t,j Bt ⎠E n Eθ⊥ = E⎝Φ n Eθ t,j ⎠E Eθ⊥ . j=1 j=1 t,j j=1 j=1 t,j Снова используя равенство (5.3), получаем ⎛ n ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ n ⎞ ), θ SΘ⎝\ πjθ⎠ = E ⎝ΦE n t,j ⎠ ⎝E E n ), θ⊥ ⎠ = SΦ ⎝\ θt,j ⎠ . (5.4) j=1 j=1 j=1 t,j j=1 Поскольку сходимость последовательности θn к θ в L2(R) влечет за собой сходимость E ΦEθn к E ΦEθ в H для любого Φ ∈ (L2)(H), получаем равенство (5.2), устремляя n → ∞ в равенстве (5.4). Следствие 5.1. Φ ∈ (L2)(H) является Bt-измеримой тогда и только тогда, когда ⎛ ⎞ j SΦ(θ) = SΦ ⎝\ θt,j ⎠ , θt,j := Jj J-1πjθ · 1[0,t] , θ ∈ S. j∈N Лемма 5.2. Если случайная величина Φ ∈ (L2)(H) является Bt-измеримой, то для любых k ∈ N, b > t > 0 верно Доказательство. Имеем: (t,b] S(Φ(·, 1k ) (θ) = (1k (t,b] , θ)L2(R )SΦ(θ), θ ∈ S. (5.5) (t,b] S(Φ(·, 1k ) (θ) = |θ|0 ( d k \ (t,b] = E (Φ(·, 1k )Eθ = e- 2 E Φ eα(·,1(t,b]±+(·,θ± = dα α=0 |θ|0 d k 1 k 2 1 k 2 (5.6) = e- 2 E (Φ e(·,α1(t,b]+θ±- 2 |α1(t,b]+θ|0 e 2 |α1(t,b]+θ|0 = dα |θ|0 d ( 1 k 2 α=0 Далее, имеем = e- 2 dα e 2 |α1(t,b]+θ|0 SΦ α1 k (t,b] + θ . α=0 d 1 k = e 2 (t,b] (t,b] 2 2 1 2 k 2 k 2 1k 2 |θ|0 e 2 |α1(t,b]+θ|0 dα α=0 d α |1 |0+2α(1 ,θ)L (R)+|θ|0 = dα α=0 (t,b],θ L2(R)e . Кроме того, в силу Bt-измеримости Φ, предложения 5.1 и равенства (Jj 0 · 1[0,t] = 0, k I= j, (1k )t,j = Jj J-1πj 1k · 1[0,t] = получим (t,b] j (t,b] Jj 1(t,b] · 1[0,t] = 0, k = j, SΦ α1 k (t,b] Φ + θ = S ( \ j∈N α(1 k (t,b] )t,j + θt,j Φ = S ( \ j∈N θt,j . Отсюда следует, что d SΦ α1k + θ = 0. Таким образом, из равенства (5.6) следует (5.5). dα (t,b] АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 51 Теорема 5.1. Для любого предсказуемого L2(HQ; H)-значного процесса, удовлетворяющего условию верно равенство ⎡ T ⊗Φ(t)⊗ E r 2 ⎣ L2(HQ;H) 0 ⎤ dt⎦ < ∞, (5.7) T T r r Ψ(t) dWQ(t) = 0 0 Ψ(t) ≡ WQ(t) dt. (5.8) Доказательство. Чтобы доказать утверждение, вспомним, что интеграл Ито по Q-винеровскому процессу сначала определяется для так называемых элементарных процессов, т. е. для процессов вида N -1 k Ψ(t) = \ Ψk 1(t ,t k+1 ](t), (5.9) k=0 где 0 = t0 < t1 < ··· < tN = T, а Ψk - L(H; H)-значные Btk -измеримые случайные величины для всех k = 0, 1,...,N - 1. Затем определение распространяется на все предсказуемые L2(HQ; H)значные подынтегральные функции, удовлетворяющие условию (5.7). Используя равенство I T I2 Ir I E I I I Ψ(t) dWQ(t)I I I I0 IH ⎡ T r = E ⎣ 0 ⊗Ψ(t)⊗ 2 L2(HQ;H) ⎤ dt⎦ =: ⊗|Ψ⊗|T , которое можно проверить для любого элементарного процесса Ψ(t), и тот факт, что любой предсказуемый процесс Ψ(t) со значениями в L2(HQ; H) может быть аппроксимирован последовательn=1 ностью элементарных процессов {Ψ(n)(t)}∞ , t ∈ [0; T ], сходящихся к Ψ по норме ⊗| · ⊗|T , можно определить интеграл T r Ψ(t) dWQ(t) как предел в (L2)(H) соответствующей последовательности 0 T r интегралов от элементарных процессов 0 Ψ(n)(t) dWQ(t). Таким образом, достаточно доказать равенство (5.8) для элементарного процесса Ψ(t) вида (5.9). i=1 Поскольку операторы gi ⊗ ej, i, j ∈ N, где {gi}∞ - ортонормированный базис в H, образуют линейно плотное подмножество в L2(HQ; H), можно без ограничения общности предположить, что Ψk имеют вид Ψk = M \ ψk,i,j (gi ⊗ ej ), ψk,i,j ∈ (L2), i,j=1 где функции ψk,i,j Btk -измеримы для всех i, j = 1,..., M, k = 0, 1,...N - 1. Рассмотрим Sпреобразование левой части равенства (5.8). Для любого θ ∈S имеем: ⎡ T ⎤ r IN -1 l S ⎣ Ψ(t) dWQ(t)⎦ (θ) = S 0 \ Ψk WQ(tk+1) - WQ(tk ) k=0 (θ) = ⎡N -1 M ∞ ⎤ N -1 M 1 = S ⎣\ \ ψk,i,j (gi ⊗ ej ) \ σj βj (tk+1) - βj (tk ) ej ⎦ = \ (tk ,tk+1] \ σj S rψk,i,j (1j , ·) (θ)gi. k=0 i,j=1 j=1 k=0 i,j=1 52 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ В силу леммы 5.2 получим ⎡ T ⎤ r N -1 M S ⎣ Ψ(t) dWQ(t)⎦ (θ) = \ σj 1 \ j (tk ,tk+1] , θ L2(R) Sψk,i,j (θ)gi = 0 k=0 i,j=1 N -1 = \ M \ σj 1(t ,t ], J-1 j k,i,j i k=0 i,j=1 k tk+1 k+1 L2 j π θ (R)Sψ (θ)g = N -1 = \ M r \ σj j rJ-1πjθl(t)dtSψk,i,j (θ)gi = k=0 i,j=1 tk r N -1 tk+1 M M j = \ \ \ Sψk,i,j (θ)rσjgiJ-1πjθl(t)dt. k=0 tk i=1 j=1 Вспоминая формулу (3.8) и определение Ψk, окончательно получим ⎡ T ⎤ r tk+1 N -1 r S ⎣ Ψ(t) dWQ(t)⎦ (θ) = \ 0 k=0 tk T SΨk (θ)SWQ(t)(θ)dt = T r r r 1 = SrΨ(t) ≡ WQ(t)l(θ)dt = S 0 0 Ψ(t) ≡ WQ(t)dt (θ). В силу единственности S-преобразования это равенство влечет за собой (5.8). Следующая теорема устанавливает связь между интегралом Ито по цилиндрическому винеровскому процессу и интегралом Хицуды-Скорохода по цилиндрическому белому шуму. Она доказывается аналогично, с использованием равенства (3.9) вместо (3.8). Теорема 5.2. Для любого предсказуемого L2(H; H)-значного процесса, удовлетворяющего условию верно равенство ⎡ T ⊗Φ(t)⊗ E r 2 ⎣ L2(H;H) 0 T T r r ⎤ dt⎦ < ∞, Ψ(t) dW (t) = 0 0 Ψ(t) ≡ W(t) dt. (5.10) 4. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВАХ ОБОБЩЕННЫХ ГИЛЬБЕРТОВОЗНАЧНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для того, чтобы рассмотреть стохастические дифференциальные уравнения в гильбертовых пространствах как дифференциальные уравнения в пространствах обобщенных гильбертовозначных случайных величин, сначала распространим действие линейных операторов, действующих из H1 в H2, где Hi - сепарабельные гильбертовы пространства, на соответствующие пространства обобщенных случайных величин. Пусть сначала A ∈ L(H1, H2). Определим его действие как оператора из (S)-ρ(H1) в (S)-ρ(H2) равенством AΦ := \ AΦαhα, for Φ = \ Φαhα ∈ (S)-ρ(H1). (6.1) α∈T α∈T Определенный таким образом, оператор A становится линейным непрерывным оператором, действующим из (S)-ρ(H1) в (S)-ρ(H2). АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 53 Если A неограничен, определим (dom A) как множество всех ), Φαhα ∈ (S)-ρ(H1) таких, что α∈T Φα ∈ dom A для всех α ∈T и условие \(α!)1-ρ⊗AΦα⊗H 2N - 2 2 2pα < ∞ α∈T выполнено для некоторого p ∈ N. Тогда равенство (6.1) определяет на (dom A) линейный оператор, действующий из (S)-ρ(H1) в (S)-ρ(H2). Нетрудно проверить его замкнутость для оператора A, замкнутого как оператор, действующий из H1 в H2. Предложение 6.1. Пусть A - линейный замкнутый оператор из H1 в H2. Для любого Φ ∈ (domA) ⊆ (S)-ρ(H1), ρ ∈ [0; 1), верно rSΦl(θ) ∈ domA ⊆ H1 при всех θ ∈ S, и rSAΦl(θ) = ArSΦl(θ), θ ∈ S. 1. Уравнения с аддитивным шумом. Пусть H и H - сепарабельные гильбертовы пространства, A - замкнутый линейный оператор, действующий в H, B ∈ L(H,H). Рассмотрим следующую стохастическую задачу Коши: dX(t) = AX(t)dt + BdW (t), X(0) = ζ, (6.2) где W (t) - H-значный цилиндрический винеровский процесс. Это дифференциальная форма записи уравнения Ито t r X(t) = 0 t r AX(t) dt + 0 B dW (t). Из связи между интегралами Ито и Хицуды-Скорохода следует, что во введенных выше пространствах обобщенных гильбертовозначных случайных величин это уравнение может быть записано в виде t r X(t) = 0 t r AX(t) dt + 0 B ≡ W(t) dt. Принимая во внимание то, что B ≡ W(t) = BW(t) в силу того, что B детерминирован, видим, что задача Коши (6.2) в введенных выше пространствах обобщенных случайных величин принимает следующий вид: XI(t) = AX(t)+ BW(t), t ;;; 0, X(0) = ζ, (6.3) где W(t) - H-значный белый шум. В этом разделе мы получим результат о существовании и единственности решения этой задачи в пространстве (S)-ρ(H), т. е. о существовании и единственности (S)-ρ(H)-значной дифференцируемой функции X(t), удовлетворяющей (6.3). Теорема 6.1. Пусть A является генератором полугруппы {S(t),t ;;; 0} класса C0 в гильбертовом пространстве H, B ∈ L(H,H), W - определенный выше цилиндрический белый шум. Тогда t r X(t) = S(t)ζ + 0 S(t - s)BW(s)ds (6.4) - единственное решение задачи Коши (6.3) в пространстве (S)-ρ(H) для любого ζ ∈ dom A . Доказательство. Пусть X(t) = ), Xα(t)hα ∈ (S)-ρ(H), ζ = ), ζαhα ∈ dom A . Процесс X(t) α α является решением задачи (6.3), только если функции Xα(t) являются решениями задач Коши I Xεn (0) = ζεn , при α = εn, n ∈ N, (6.5) 0) = ζα при α I= εn (6.6) Xεn (t) = AXεn (t)+ BWεn (t), в пространстве H. I Xα(t) = AXα(t), Xα( Поскольку A является генератором полугруппы класса C0, а ζα ∈ dom A, Xα(t) := S(t)ζα (6.7) 54 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ - единственное решение задачи (6.6) для любого α I= εn, n ∈ N. Для любого n ∈ N функция BWεn (t) = Bejξi(t), где i, j ∈ N и n = n(i, j), непрерывно дифференцируема при любом t ∈ R. Поэтому функция t r vn(t) := 0 t r S(t - s)BWεn (s) ds = 0 S(s)BWεn (t - s) ds дифференцируема и, в силу известных свойств полугрупп класса C0, непрерывна и принимает значения, принадлежащие dom A при всех t > 0. Таким образом, по [32, теорема 2.4], задача Коши (6.5) имеет единственное решение t r Xεn (t) = S(t)ζεn + 0 S(t - s)BWεn (s) ds, n ∈ N. (6.8) Рассмотрим X(t) = ), Xα(t)hα, где Xα(t) определены равенствами (6.7) и (6.8). Покажем, что α X(t) ∈ (S)-0(H) и верно (6.4). Пусть M > 0 и a > 0 таковы, что ⊗S(t)⊗ Meat при t ;;; 0. Из оценки t r I I2 t 2 2 r 2a(t-s) 2 2 2 2at IS(t - s)BWεn (s)IH ds M 0 ⊗B⊗ e 0 |ξi(n)(s)| ds M ⊗B⊗ e следует, что при p ;;; 1 имеем t \ r I I2 2pεn n∈N 0 IS(t - s)BWεn (s)IH ds(2N)- < ∞. t В силу предложения 2.5, отсюда следует, что интеграл ( S(t - s)BW(s)ds существует как элемент 0 (S)-0(H) при всех t ;;; 0 и t t r r ∞ S(t - s)BW(s)ds = \ S(t - s)BWεn (s) ds. 0 n=1 0 Очевидно, S(t)ζ = \ S(t)ζαhα ∈ (S)-0(H), таким образом, X(t) в равенстве (6.4) определен как α∈T элемент ((S))-0(H). Для завершения доказательства достаточно показать, что X(t) дифференцируема при t ;;; 0. Тогда (6.3) следует из (6.5), (6.6) и замкнутости A. Пусть t ∈ [0; T ), тогда, поскольку ζα ∈ dom A для всех α ∈T , имеем I I S(t + h)ζα - S(t)ζα I I t+h I 1 I r I I I I I I = h I I I |h| I I t S(s)Aζα dsI MeaT ⊗Aζα⊗. I I -0 ⊗-p,-0 Так как ζ ∈ (dom A) ⊂ (S) (H), имеем ⊗Aζ 2 = \ α∈T ⊗ (α!)⊗Aζα 2(2N) -2pα < ∞ для некоторого p ∈ N, таким образом, для всех h ∈ R таких, что t + h ∈ [0; T ], имеем I I S(t + h)ζ - S(t)ζ I I I I MeaT ⊗Aζ⊗ . (6.9) I h I -p,-0 АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 55 Кроме того, 1 I I I ⎛ t+h r t ⎞I r I I I I h ⎝ I 0 S(t + h - s)Wε n(i,j) (s) ds - 0 S(t - s)Wεn (s) ds⎠I = I I I t+h t I I 1 I r r I I I = |h| I I t S(s)ξi(t + h - s)Bej ds + 0 S(s) ξi(t + h - s) - ξi(t - s) Bej I I I 5 i MeaT ⊗B⊗ sup |ξi(t)| + T sup |ξI(t)| = O(i 12 ) [0;T ] [0;T ] в силу оценки (6.9) равномерно по h таким, что t + h ∈ [0; T ]. Отсюда следует, что I ⎛ t+h I r 1 I t ⎞I r I I I I h ⎝ I 0 S(t + h - s)BW(s) ds - 0 S(t - s)BW(s) ds⎠I I I-p,ρ K (6.10) при p ;;; 2 для некоторых K > 0 и h, таких, что t + h ∈ [0; T ]. Из (6.9) и (6.10) следует, что I Xα(t + h) - Xα(t) I I I I I h I I-p,-0 ограничено при t + h ∈ [0; T ] для некоторого p ∈ N. В силу следствия 2.2 отсюда и из дифференцируемости всех Xα, α ∈T , следует, что XI(t) существует. 2. Пример. Стохастическое уравнение теплопроводности. Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения теплопроводности: ∂u(t, x¯) ∂t = ⊆u(t, x¯), t ;;; 0, x¯ = (x1,..., xm) ∈D ⊂ Rm, u(t, x¯) = 0, t ;;; 0, x¯ ∈ ∂D, u(0, x¯) = ζ(x¯), x¯ ∈ ∂D. Через ∂D обозначаем границу области D⊂ Rm. Эту задачу можно записать как задачу Коши для дифференциально-операторного уравнения du(t) dt = Au(t), t ;;; 0, u(0) = ζ (6.11) в гильбертовом пространстве H = L2 D , где A = Δ с областью определения dom A в пространствах Соболева: dom A = Ju ∈ L2 u ∈H ∩H . 2,2 D 1,2 0 Предположим, что D = [0; 1]m. В этом случае множество функций ( m m/2 n ϕn1,...,nm (x1,..., xm) := 2 k=1 sin (πnkxk ) n1,..., nm ∈ N ∪ {0} (6.12) состоит из собственных функций определенного выше оператора A и образует ортонормированный базис в H. Соответствующие собственные значения ( m \ k - k=1 π2n2 n1,..., nm ∈ N ∪ {0} (6.13) образуют его спектр. Зафиксируем некоторое упорядочение множеств (6.12) и (6.13) и обознаj=1 чим их через {ej }∞ j=1 и {λj }∞ соответственно. Оператор A порождает полугруппу класса C0, определенную формулой ∞ S(t)u = \ eλjt(ej, u)Hej. j=1 Рассмотрим следующее стохастическое возмущение задачи (6.11): dX(t) dt = AX(t)+ W(t), u(0) = ζ. 56 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ По теореме 6.1 эта задача имеет единственное решение в пространстве (S)-ρ(H). Для него есть точная формула (6.4), откуда мы получаем t ∞ ∞ r X(t) = \ eλjt(ej, ζ)Hej + \ eλj (t-s)ξi(s) dshε n(i,j) ej. j=1 Рассмотрим норму X(t) в (S-p)-ρ(H). Имеем i,j=1 0 t 2 2 \ r 2 λj (t-s) -2p ⊗X(t)⊗-p,-ρ = ⊗S(t)ζ⊗H + e 0 i,j∈N ξi(s) ds 2n(i, j) . (6.14) Легко увидеть, что она конечна для любого p ;;; 1. Таким образом, решение принимает значения в (S-1)-0(H). Заметим, что, поскольку мы имеем t r \ 0 i∈N 2 eλj (t-s)ξi(s) ds I = Ieλj (t-·) I I2 I 1[0;t]I 0 t = r e2λj (t-s) 0 ds = 1 - e2λjt 2|λj | 1 , 2|λj | ряд в правой части равенства (6.14) сходится при p = 0 и ρ = 0, только если m = 1. Таким образом, это единственный случай, когда решение принимает значения в пространстве (L2)(H) = (S-0)-0(H). 3. Уравнения с мультипликативным шумом. Пусть H и H - сепарабельные гильбертовы ∈ L пространства, A - линейный замкнутый оператор, действующий в H, B(·) H, L(H; H) (domA) ⊆ (S)-ρ(H). Рассмотрим следующую задачу Коши: dX(t) = AX(t)dt + B(X(t))dW (t), t ;;; 0, X(0) = ζ, , ζ ∈ где W (t) - H-значный цилиндрический винеровский процесс. Она соответствует следующему интегральному уравнению Ито: t r X(t) = ζ + 0 t r AX(s)ds + 0 B(X(s))dW (s), t ;;; 0. Заменяя интеграл Ито на интеграл Хицуды-Скорохода и дифференцируя по t, мы приходим к задаче Коши dX(t) dt = AX(t)+ B X(t) ≡ W(t), t ;;; 0, X(0) = ζ. (6.15) Изучим существование и единственность ее решения в пространстве (S)-ρ(H), где ρ ∈ [0; 1), т. е. существование и единственность (S)-ρ(H)-значной дифференцируемой функции, удовлетворяющей (6.15). Заметим, что если Q - ядерный оператор, действующий в H и удовлетворяющий условию предложения 5.1 для некоторого p ∈ N, то из того факта, что для любого X(t) ∈ (S)-ρ(H) L2 имеем B X(t) ∈ (S)-ρ (HQ ; H) , следует, что произведение Уика в уравнении (6.15) определено. Применяя S-преобразование к задаче (6.15), получим следующую задачу: d Xˆ (t, θ) = AXˆ (t, θ)+ B Xˆ (t, θ) Wˆ (t, θ), t ;;; 0, dt Xˆ (0, θ) = ζˆ(θ), θ ∈ S, (6.16) где Xˆ (t, θ) := S[X(t)](θ), Wˆ (t, θ) := S[W(t)](θ), Φˆ (θ) := SΦ(θ) и ζˆ(θ) := Sζ(θ). Будем предполагать впоследствии, что оператор B в уравнении удовлетворяет следующему условию: АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 57 Предположение 6.1. Для любого y ∈ H (B1) B(domA)y ⊆ domA; (B2) Ограничен оператор C(·)y : domA → L(H), определенный равенством C(x)y := AB(x)y - B(Ax)y, x ∈ domA; (B3) ker B(·)y = {0} для всех y ∈ H, y I= 0. Заметим, что из принципа равномерной ограниченности следует, что если оператор B удовлетворяет предположению 6.1, то существует MAB > 0 такое, что выполняется следующая оценка: ⊗C(x)y⊗ MAB ⊗x⊗ ⊗y⊗, x ∈ domA, y ∈ H. (6.17) Пусть A является генератором полугруппы {U (t), t ;;; 0} класса C0. Пусть M > 0 и a ∈ R таковы, что выполнено ⊗U (t)⊗ Meat, t ;;; 0. (6.18) Используем метод последовательных приближений для доказательства существования решения задачи (6.16). Определим последовательность линейных операторов {Tk (t, θ)}, t ;;; 0, θ ∈ S, положив T0(t, θ) = U (t), t r Tk (t, θ)x = 0 U (t - s)B Tk-1(s, θ)x Wˆ (s, θ) ds, x ∈ H, k = 1, 2,.... Для получения главного результата нам понадобится несколько лемм. Лемма 6.1. Для любых t ;;; 0, θ ∈S и k ∈ N ∪ {0} выполняется следующая оценка: tk k+1 k at k ⊗Tk (t, θ)⊗L(H) M ⊗B⊗ e |θ|0 , (6.19) k! где M > 0 и a ∈ R - константы из оценки (6.18), ⊗B⊗ = ⊗B⊗L(H,L(H;H)). Доказательство. Предположим, что (6.19) выполняется для некоторого k ∈ N. Тогда для любого x ∈ H имеем: I t Ir ⊗Tk+1(t, θ)x⊗ = I I I U (t - s)B Tk (s, θ)x W(s, θ) dsI I ˆ I I I I0 I t r I ˆ I IU (t - s)B 0 t r Tk (s, θ)x W(s, θ)I ds M ⊗B⊗ 0 ea(t-s)⊗Tk (s, θ)x⊗⊗Wˆ (s, θ)⊗ ds t ⊗ Mk+2⊗B k+1 eat k k r |θ|0 0 k! s ⊗Wˆ (s, θ)⊗ ds ⊗x⊗ k+1 at ⎛ t k r sk ⎞1/2 ⎛ t r ⎞1/2 2 Mk+2⊗B⊗ e |θ|0 ⎝ 0 k! ds⎠ ⎝ ⊗Wˆ (s, θ)⊗ 0 ds⎠ ⊗x⊗ ⊗ Mk+2⊗B k+1 eat k |θ|0 tk+1 ⊗Wˆ (·, θ)⊗L2(R;H) ⊗x⊗ ⊗ Mk+2⊗B k+1 eat θ k+1 | |0 (k + 1)! tk+1 (k + 1)! ⊗x⊗. 58 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ Поскольку оценка (6.19) верна при k = 0, отсюда следует по индукции, что она верна для всех k ∈ N. Лемма 6.2. Для любых t ;;; 0, θ ∈ S, k ∈ N ∪ {0}, ζ ∈ (domA) выполнена оценка k-1 ⊗ATk (t, θ)ζˆ(θ)⊗ Mk+1⊗B⊗ k |θ|0 eat tk ( k! ⊗B⊗⊗Aζˆ(θ)⊗ + kMAB ⊗ζˆ(θ)⊗ , (6.20) где M > 0 и a ∈ R - константы из оценки (6.18), ⊗B⊗ = ⊗B⊗L(H,L(H;H)), MAB - константа из оценки (6.17). Доказательство. При k = 0, используя свойства полугрупп класса C0, получим: ⊗AT0(t, θ)ζˆ(θ)⊗ = ⊗AU (t)ζˆ(θ)⊗ = ⊗U (t)Aζˆ(θ)⊗ M eat⊗ζˆ(θ)⊗. (6.21) Далее, имеем: t r ATk (t, θ)ζˆ(θ) = 0 AU (t - s)B Tk-1(s, θ)ζˆ(θ) Wˆ (s, θ) ds = t r = U (t - s)AB Tk-1(s, θ)ζˆ(θ) Wˆ (s, θ) ds = 0 t r r 1 = U (t - s) 0 B ATk-1(s, θ)ζˆ(θ) Wˆ (s, θ)+ C Tk-1(s, θ)ζˆ(θ) Wˆ (s, θ) ds. Если (6.20) верно для некоторого k ∈ N, в силу полученного выше представления и оценки (6.19), получаем: I I IATk+1(t, θ)ζˆ(θ)I I t r Mea(t-s) 0 I I k Mk+1⊗B⊗ k e θ as | |L2(R) sk ( k! \ ⊗B⊗⊗Aζˆ(θ)⊗ + kMAB ⊗ζˆ(θ)⊗ sk ⊗Wˆ (s, θ)⊗+ l k k + MABMk+1⊗B⊗ eas |θ|L ( ) ⊗ζˆ(θ)⊗⊗Wˆ (s, θ)⊗ ds = k k at( 2 R k! \ rt sk =Mk+2⊗B⊗ |θ|L2(R)e ⊗B⊗⊗Aζˆ(θ)⊗ + (k + 1)MAB ⊗ζˆ(θ)⊗ 0 k! ⊗Wˆ (s, θ)⊗ ds k k at( \ Mk+2⊗B⊗ |θ|L2(R)e ⊗B⊗⊗Aζˆ(θ)⊗ + (k + 1)MAB ⊗ζˆ(θ)⊗ × t ( r sk t \1/2( r \1/2 2 × k! ds ⊗Wˆ (s, θ)⊗ ds k k+1 0 0 t k+1 ( \ at Mk+2⊗B⊗ |θ|0 e (k + 1)! ⊗B⊗⊗Aζˆ(θ)⊗ + (k + 1)MAB ⊗ζˆ(θ)⊗ . Отсюда и из (6.21), по индукции, следует утверждение леммы. Рассмотрим ряд ∞ T (t, θ) = \ Tk (t, θ). (6.22) k=0 АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 59 Из леммы 6.1 следует, что для любых n, m ∈ N верна следующая оценка: n+m \ \ n+m M √2⊗B⊗|θ|0√t k 1 k=n ⊗Tk (t, θ)⊗ Meat k=n √k! √2k (6.23) 2 2 1/2 1/2 /n+m 2M 2⊗B⊗ |θ| t k \ /n+m 1 \ Meat \ 0 k! k=n \ . 2k k=n Отсюда следует, что ряд (6.22) абсолютно сходится в L(H) для любых t ;;; 0, θ ∈ S. Таким образом, T (t, h) ∈ L(H). Предложение 6.2. Для любых ζ ∈ (domA), θ ∈ S функция единственным решением задачи (6.16). Xˆ (t, θ) := T (t, θ)ζˆ(θ) является Доказательство. Из предложения 6.1 и свойств полугрупп класса C0 следует, что T0(t, θ)ζˆ(θ) ∈ domA для любых ζ ∈ (domA), t ;;; 0 и θ ∈ S. Условие (B1) влечет за собой B domA Wˆ (t, θ) ⊆ domA для всех t ;;; 0 и θ ∈ S. По индукции отсюда следует, что Tk (t, θ)ζˆ(θ) ∈ domA для всех ζ ∈ (domA),k ∈ N, t ;;; 0 и θ ∈ S. Из (B1) также следует, что B Tk (s, θ)ζˆ(θ) Wˆ (t, θ) ∈ domA. Кроме того, имеем d dt U (t - s)B Tk (s, θ)ζˆ(θ) Wˆ (t, θ) = AU (t - s)B Tk (s, θ)ζˆ(θ) Wˆ (t, θ), t ;;; 0,θ ∈ S. Таким образом, для любого ζ ∈ (domA) получаем d T0(t, θ)ζˆ(θ) = AT0(t, θ)ζˆ(θ), (6.24) dt t d r Tk (t, θ)ζˆ(θ) = dt 0 AU (t - s)B Tk-1(s, θ)ζˆ(θ) Wˆ (s, θ) ds + B Tk-1(t, θ)ζˆ(θ) Wˆ (t, θ). (6.25) Поскольку A замкнут, можем переписать равенство (6.25) в виде d dt Tk (t, θ)ζˆ(θ) = ATk (t, θ)ζˆ(θ)+ B Tk-1(t, θ)ζˆ(θ) Wˆ (t, θ). (6.26) В силу леммы 6.2 получаем следующую оценку: m \ ⊗ATk (t, θ)ζˆ(θ)⊗ k=n+1 / m √ √ k \ Meat \ k=n+1 ( 2M ⊗B⊗|θ|0 t) √k! 1 √2k ⊗Aζˆ(θ)⊗+ M / m (√2M ⊗B⊗|θ|0√t)k k \ + ⊗B⊗ eat \ k=n+1 √k! 0 2 2 √2k 1/2 MAB ⊗ζˆ(θ)⊗ 1/2 Meat / m \ k=n+1 2M 2⊗B⊗ |θ| t k \ k! 1 / m \ \ 2k k=n+1 ⊗Aζˆ(θ)⊗+ / m 2 2 1/2 1/2 0 + M eat \ 2M 2⊗B⊗ |θ| t k \ k / m 2 \ \ k MAB ⊗ζˆ(θ)⊗. ⊗B⊗ k! k=n+1 ∞ 2 k=n+1 Из этой оценки следует, что ряд \ ATk (t, θ)ζˆ(θ) сходится в пространстве H для всех θ ∈ S, k=0 ζ ∈ (domA). Суммируя равенства (6.24) и (6.26) по k ∈ N, получим в правой части ряд, сходящийся в H при всех t ;;; 0, θ ∈ S. Таким образом, доказано, что Xˆ (t, θ) = T (t, θ)ζˆ(θ) является решением задачи (6.16). 60 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ Чтобы доказать единственность, заметим, что если Xˆ (·, θ) - решение задачи (6.16) для некоторого θ ∈ S, то это решение уравнения t r Xˆ (t, θ) = U (t)ζˆ(θ)+ 0 U (t - s)B(Xˆ (s, θ))Wˆ (s, θ) ds. t ;;; 0. (Обратное, вообще говоря, неверно.) Поэтому достаточно доказать, что уравнение t r U (t - s)B(Xˆ (s, θ))Wˆ (s, θ) ds = 0, t ;;; 0, (6.27) 0 имеет только тривиальное решение X(·, h) ≡ 0 на [0; ∞) для любого θ ∈ S. Применяя преобразование Лапласа к обеим частям (6.27), получим при Re λ > a: r∞ dt eλt 0 r∞ t r U (t - s)B(Xˆ (s, θ))Wˆ (s, θ) ds = 0 r∞ r∞ r∞ ds 0 s eλtU (t - s)B(Xˆ (s, θ))Wˆ (s, θ) dt = r∞ = ds 0 0 eλ(t+s)U (t)B(Xˆ (s, θ))Wˆ (s, θ) dt = (λ - A)-1 0 eλsB(Xˆ (s, θ))Wˆ (s, θ) ds. Из свойств резольвенты A и преобразования Лапласа следует, что если Xˆ (·, θ) - решение уравнения (6.27) при любом θ ∈ S, то B(Xˆ (·, θ))Wˆ (·, θ) ≡ 0 на [0; ∞) для любого θ ∈ S. Полагая θ = ξn(i,j), i,j ∈ N, получим B(Xˆ (·, θ))Wˆ (·, θ) = B(ξi(·)Xˆ (·, ξn(i,j)))ej ≡ 0 на [0; ∞). Следовательно, Xˆ (·, θ) ≡ 0 на [0; ∞) для всех θ ∈ S. Теорема 6.2. Пусть A - линейный, плотно определенный в H генератор полугруппы класса C0, B(·) : H → L(H; H) удовлетворяет предположению 6.1. Тогда задача Коши (6.15) имеет единственное решение в пространстве (S)-0(H) для любого ζ ∈ (domA) ⊆ (S)-0(H). Доказательство. Из предложения 6.2 следует, что в условиях теоремы задача (6.16) имеет единственное решение Xˆ (t, θ) = T (t, θ)ζˆ(θ) для любых ζ ∈ (domA), θ ∈ S. При этом из (6.23) следует оценка: ∞ ∞ M √2⊗B⊗|θ|0√t k 1 ⊗T (t, θ)⊗ \ ⊗Tk (t, θ)⊗ Meat \ √ √ k=0 k=0 k! 2k 2 2 k 1/2 1/2 / ∞ 2M 2⊗B⊗ |θ|0t \ / ∞ 1 \ 2 2 Meat В силу (3.5) имеем: \ k! k=0 \ 2k k=0 ( 2 0 = M √2 eat exp M 2⊗B⊗ |θ| t . ⊗ζˆ(θ)⊗ ⊗ζ⊗-p,-0 exp |h|p , θ ∈ S, для некоторого p ∈ N. Следовательно, для всех t ;;; 0 имеем следующую оценку: ⊗Xˆ (t, θ)⊗ M √2 eat exp M 2⊗B⊗ |θ| t + |θ| ⊗ζ⊗ 2 2 2 0 p -p,-0 (6.28) M √2 eat exp ( M 2⊗B⊗ t + 1 |θ| ⊗ζ⊗ , θ ∈ S. 2 2 p -p,-0 Отсюда следует, что для любого t ;;; 0 Xˆ (t, θ) является S-преобразованием единственной обобщенной случайной величины X(t) ∈ (S)-0(H), которая является единственным решением задачи (6.16). АНАЛИЗ БЕЛОГО ШУМА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К УРАВНЕНИЯМ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 61 4. Пример из популяционной динамики. Рассмотрим пример введения стохастического возмущения в уравнение в частных производных. Рассмотрим упрощенный пример уравнения, возникающего в популяционной динамике. Начнем с детерминированного уравнения ∂u(t, s) ∂t ∂u(t, s) - = ∂s - m(s)u(t, s), t ;;; 0, 0 s 1. (6.29) Это уравнение Мак Кендрика-фон Ферстера популяции, структурированной по возрасту. Здесь t - время, s обозначает возраст, u(t, s) - функция плотности, так что u(t, s)ds представляет собой количество особей в популяции, возраст которых лежит в интервале [s; s + ds] в момент t. Структура популяции меняется в результате процессов старения и смерти. Старение моделирует- - ся первым слагаемым в правой части, так как оператор ∂ является генератором полугруппы ∂s правого сдвига. Множитель m(s) представляет собой долю особей возраста s, которые погибают. Предположим, что m ∈ L∞[0; 1]. Для простоты рассмотрим граничное условие u (t, 0) = 0, t > 0. (6.30) Начальная структура популяции описывается условием u(0, s) = ϕ(s), 0 s 1. (6.31) Задача (6.29)-(6.31) может быть записана как задача Коши uI(t) = Au(t), t ;;; 0, u(0) = ϕ (6.32) в гильбертовом пространстве H = L2[0, 1], где A - оператор, определенный равенством d [Aϕ](s) = - dsϕ(s) - m(s)ϕ(s) (6.33) с областью определения dom(A) = {ϕ ∈ H, ϕI ∈ H, ϕ(0) = 0, t > 0 . Используя методы теории возмущения полугрупп, можно показать, что A является генератором полугруппы класса C0 в H (см., например, [3, параграф 3.5]). Предположим теперь, что процесс гибели особей подвержен случайным флуктуациям вследствие влияния внешней среды. Естественно полагать, что функция m представляет среднее значение доли погибающих особей. Таким образом, мы должны заменить эту функцию в уравнении на m + μ(t), где μ(t) - «шум». Здесь возникает проблема, связанная с тем, что в данной ситуации невозможно использовать определенные выше гауссовские белые шумы (Q-белый шум и цилиндрический белый шум) непосредственно, так как для любого t величина μ(t) должна быть функцией переменной s такой, что умножение на нее является ограниченным оператором в H = L2[0, 1]. Чтобы преодолеть эту проблему, положим H = L2[0; 1] и рассмотрим следующий оператор: 1 rB(u)vl(s) := ε(s)u(s) r 0 ψ(s - τ )v(τ ) dτ, u ∈ H, v ∈ H, 0 где ψ ∈ C∞(R) и ε ∈ L∞[0; 1] - фиксированные функции. Взяв подходящую функцию в качестве множителя ψ в свертке (это может быть, например, подходящий элемент последовательности, сходящейся в некотором смысле к δ-функции Дирака), мы можем сделать B как оператор, действующий на u, оператором умножения на «гладкую аппроксимацию v». Для любых u ∈ H и v ∈ H имеем: ⊗B(u)v⊗H sup |ψ(t)|⊗u⊗H ⊗v⊗H. t∈R ∈L Таким образом, B(·) H; L(H; H) . Рассмотрим стохастическое возмущение задачи Коши (6.32) вида (6.15) с определенным выше оператором B. Поскольку значения W(t) при каждом t представлены рядом W(t) := \ ξi(t)ej (s)hε i,j∈N n(i,j) (ω), 62 И. В. МЕЛЬНИКОВА, М. А. АЛЬШАНСКИЙ расходящимся в H для любого ω ∈ SI, где {ej } - фиксированный ортонормированный базис в H = L2[0; 1] , можно неформально представлять себе эти значения нерегулярными функциями переменной s. Когда в уравнении в качестве аргумента v оператора B мы подставляем «≡W(t)», мы получаем своего рода гладкую аппроксимацию такой функции. Таким образом, оператор B(·)≡W(t) в уравнении можно считать оператором определенного рода умножения на сглаженные значения белого шума, что представляется вполне естественным способом введения стохастического возмущения в оператор умножения на m(s). Для любых v ∈ H, u ∈ dom(A) имеем: 1 r rC(u)vl(s) := rAB(u)v - B(Au)vl(s) = -u(s) 0 ψI(s - τ )v(tau) dτ. Таким образом, C(·)v - ограниченный оператор в H и условие (B2) предположения 6.1 выполнено. Условия (B1) и (B3), очевидно, также выполнены, и в результате задача Коши (6.32) удовлетворяет условиям теоремы 6.1 и, следовательно, имеет единственное решение в пространстве (S)-0(H).