Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями

Аннотация

В круге рассматривается первая краевая задача для функционально-дифференциального уравнения, содержащего преобразования ортотропного сжатия аргументов искомой функции. Изучается гладкость обобщенных решений внутри подобластей специального вида и вблизи их границ. Формулируются некоторые условия сильной эллиптичности.

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ В работе рассматривается первая краевая задача для функционально-дифференциального урав- нения 2 i j ARu ≡- , (RijB ux )x = f (x), x ∈ B, (1.1) i,j=1 u|∂B =0 (1.2) в круге B ⊂ R2 некоторого радиуса r с центром в начале координат. Здесь оператор RijB является композицией следующих операторов: RijB = PB Rij IB , где IB : L2(B) → L2(R2) - оператор продолжения функций из L2(B) нулем в R2 \\B, PB : L2(R2) → L2(B) - оператор сужения функций из L2(R2) на B, а оператор Rij : L2(R2) → L2(R2) определя- ется по формуле Rij v(x)= aij0v(x)+ aij1v(q-1x1, px2)+ aij, 1v(qx , p-1x ). - 1 2 В рассматриваемой задаче числа p, q > 1, коэффициенты уравнения aij0, aij,±1 ∈ C (i, j = 1, 2), а функция f ∈ L2(B) является комплекснозначной. Сформулируем теперь определение сильной эллиптичности следующим образом: 0 Определение 1.1. Уравнение (1.1) будем называть сильно эллиптическим уравнением, а соот- ветствующий оператор AR - сильно эллиптическим оператором, если существуют такие постоян- ные c1 > 0, c2 ;;: 0, что для любой функции u ∈ C∞(B) выполняется неравенство типа Гординга 2 2 Re(ARu, u)L2(B) ;;: c1 u H1(B) - c2 u L2(B). (1.3) С задачей (1.1), (1.2) свяжем непрерывную на пространстве H˚1(B) полуторалинейную форму 2 aR[u, v]= , (RijB ux , vx ) (u, v ∈ H˚1(B)). i,j=1 i j L2(B) Очевидно, существует постоянная M > 0 такая, что |aR[u, v]| M u H1(B) v H1(B) (u, v ∈ H˚1(B)). (1.4) Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, Проект № 1974 на тему «Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений с частными производными». Qc 2015 РУДН 153 154 А. Л. ТАСЕВИЧ Кроме того, неравенство (1.3), левая часть которого совпадает на гладких финитных функциях с Re aR[u, u], обеспечивает оценку H1(B) Re aR[u, u] ;;: c1 u 2 L2(B) - c2 u 2 (u ∈ H˚1(B)) (1.5) на всем пространстве H˚1(B). Определение 1.2. Функция u ∈ H˚1(B) называется обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), если интегральное тождество aR[u, v]= (f, v)L2(B) (1.6) выполнено для любой функции v ∈ H˚1(B). Будем рассматривать также неограниченный оператор AR : D(AR) ⊂ L2(B) → L2(B), область определения D(AR) которого состоит из всевозможных обобщенных решений зада- чи (1.1), (1.2), когда f пробегает все пространство L2(B). Если u - обобщенное решение, от- вечающее правой части f, то полагаем ARu = f (оператор AR, очевидно, корректно определен на D(AR)). Понятно, что C∞(B) ⊂ D(AR) ⊂ H˚1(B) и ARu = ARu, если u ∈ C∞(B). 0 0 Изучение гладкости обобщенных решений является естественным шагом при исследовании кра- евых задач. Использованный в статье подход основан на аппроксимации производных конечными разностями. Для эллиптических дифференциальных уравнений он применялся в книгах О. А. Ла- дыженской [4] и В. П. Михайлова [5]. В отличие от эллиптических дифференциальных уравнений, гладкость обобщенных решений краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений может нарушаться в ограниченной области и сохраняться только в некоторых подобластях. Глад- кость решений краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений была изучена А. Л. Скубачевским в работах [10, 11, 23], а также в [12]. Случай, когда правая часть дифференциально-разностного уравнения принадлежит пространству Гельдера, рассматривался в работе [21]. Ряд результатов по гладкости для функционально-дифференциальных уравнений со сжатиями и растяжениями получен в [8]. В вышеперечисленных работах было показано возник- новение степенных особенностей у решения в некоторых точек внутри области. Гладкости обобщенных решений сильно эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями посвящены разделы 5 и 6. Предварительно в разделе 4 доказано необходимое условие сильной эллиптичности (в частном случае отсутствия смешанных производных оно будет и достаточным). Это условие формулируется в виде, отличном от рабо- ты [9], посвященной проблеме коэрцитивности уравнения (1.1). Изучение проблемы коэрцитивно- сти началось в 50-х годах XX века с работ М. И. Вишика [1] и Л. Гординга [16], в которых были рассмотрены дифференциальные уравнения, включая системы дифференциальных уравнений, пе- ременные коэффициенты и уравнения высокого порядка. Для дифференциально-разностных урав- нений необходимые и достаточные условия выполнения неравенства Гординга (1.3), которое рас- сматривается как аналог сильной эллиптичности, были получены в [22, 23], а для функционально- дифференциальных уравнений с изотропными сжатиями - в работах [6-8]. Хорошо известно, что неравенство Гординга гарантирует фредгольмову разрешимость, дискретность и секториальную структуру спектра. Кроме того это неравенство связано с решением известной проблемы Т. Като о квадратном корне из m-аккретивного оператора [13-15, 17-19]. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ КОНСТРУКЦИИ Данная глава посвящена построению специальных геометрических конструкций, связанных с рассматриваемым преобразованием и зависящих от исходной области, а также обсуждению их свойств. Схема построения основывается на подходе, разработанном для дифференциально-раз- ностных уравнений А. Л. Скубачевским [22, 23]. Для полноты и обоснованности результатов этой статьи основные положения подхода, модифицированного для функционально-дифференциальных уравнений с ортотропными сжатиями, приводятся ниже. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФДУ С ОРТОТРОПНЫМИ СЖАТИЯМИ 155 x2 B3 B2 B1 B B-1 B-2 B-3 x1 РИС. 1. Множества Bk , k = -4, 4. Опишем геометрические конструкции, связанные с отражением (x1, x2) → (q-1x1, px2), q, p > 1, в круге B. Обозначим через Bk множество Bk = {(x1, x2) ∈ R2|(qk-1x1, p1-k x2) ∈ B}, а через Br - открытую компоненту множества B \\ ( J k∈Z \\ ∂Bk . Замечание 2.1. Далее обозначение Ωk = {(x1, x2) ∈ R2|(qk-1x1, p1-k x2) ∈ Ω} используется для любых областей Ω ⊂ R2. Определение 2.1. Множество Br будем называть подобластью, а множество R всех подобла- стей Br назовем разбиением области B. На рис. 1 мы видим разбиение R круга B, рассматриваемое в первой координатной четверти. Легко убедиться, что R счетно. Для круга B, а также и для более сложной по форме области, будут справедливы следующие леммы: ( Лемма 2.1. J ∂Br = J \\ n ∂Bk B. r Лемма 2.2. J Br = B. r k∈Z k k Для любой подобласти Br1 и k ∈ Z или существует Br2 такое, что Br2 = (Br1 ) , или 2 (Br1 ) ⊂ R \\ B. Мы можем разбить множество R на непересекающиеся классы следующим образом: подобла- k сти Br1 , Br2 ∈ R принадлежат одному классу, если ∃k ∈ Z такое, что (Br1 ) = Br2 . Обозначим подобласти Br через Bsl, где s является номером класса, а l - номером подобласти в s-м классе, l = 1,N (s). В силу ограниченности круга каждый класс состоит из конечного числа подобластей. Количество классов будет счетным, поскольку область B содержит начало координат - точку сгу- щения орбит оператора P. 156 А. Л. ТАСЕВИЧ РИС. 2. Множества Bsl и Γrj . Замечание 2.2. В каждой координатной четверти возможно упорядочить классы подобластей таким образом, что номер класса совпадет с числом его элементов, т. е. N (s)= s. В этом можно убедиться на рис. 2. Поэтому без ограничения общности везде далее считаем, что количество элементов класса совпадает с его номером. Введем множество K по следующей формуле: K = 1 k1,k2∈Z k1/=k2 ( {B ∩ ∂Bk1 k ( ∩ ∂B 2 }. (2.1) Можно заметить, что для круга выполняется следующее условие: Условие 2.1. μ(K∩ ∂B)= 0. Обозначим через Γp компоненты множества ∂B \\ K, являющиеся открытыми и связными в топологии ∂B. p Мы можем разбить множество {Γk p : Γk ⊂ B, p ∈ N,k ∈ Z} на классы следующим образом. Множества Γk1 и Γk2 принадлежат одному классу, если существует k ∈ Z такое, что Γk1 = {Γk2 )k . p1 p2 p1 p2 p Очевидно, что множество Γk может содержаться только в одном классе. Обозначим мно- p жество Γk через Γrj , где r - это номер класса, а j - номер элемента в данном классе (1 j J = J (r)) . Для круга B возможно упорядочить множества элементов класса так, что- бы Γr1 ⊂ ∂B, Γr2,..., ΓrJ ⊂ B. Заметим, что для каждого Γr1 ⊂ ∂B существует подобласть Bsl такая, что Γrj ⊂ ∂Bsl и Γrj ∩ ∂Bs1l1 = ∅, если (s1, l1) ⊗= (s, l). Также для каждого класса r ∈ N существует единственное число s = s(r) такое, что J (r) = s и после перенумерации Γrl ⊂ ∂Bsl (l = 1, s). Отсюда, в свою очередь, можно получить, что для каждого Γrj ⊂ B существуют подобласти Bs1l1 и Bs2l2 такие, что Bs1l1 ⊗= Bs2l2 , Γrj ⊂ ∂Bs1l1 ∩ ∂Bs2l2 и Γrj ∩ ∂Bs3l3 = ∅, если (s3, l3) ⊗= (s1, l1), (s2, l2). ОПЕРАТОР ОРТОТРОПНОГО СЖАТИЯ И ЕГО СВОЙСТВА В данном пункте рассмотрим отдельно функциональный оператор P : L2(R2) → L2(R2), опреде- ленный по формуле Pu(x1, x2)= u {q-1x1, px2) , где p, q > 1 - некоторые фиксированные вещественные числа. Обратный и сопряженный операторы имеют вид P -1u(x1, x2)= u(qx1, p-1x2), q 1 q 1 P ∗u(x1, x2)= pu(qx1, p- x2)= p P - u(x1, x2). ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФДУ С ОРТОТРОПНЫМИ СЖАТИЯМИ 157 РИС. 3. Множества Sj . Отсюда следует, что оператор /p/qP является унитарным, а сам оператор P будет нормальным, т. е. PP ∗ = P ∗P. Обозначим через A минимальную замкнутую подалгебру алгебры ограниченных операторов в L2(R2), порожденную операторами P и P ∗. Несложно проверяется, что при таком построении A будет коммутативной B∗-алгеброй. Спектр σ(P ) является пространством максимальных идеалов алгебры A. Поэтому по теореме Гельфанда-Наймарка существует сохраняющий инволюцию изо- метрический изоморфизм между алгеброй A и алгеброй C(σ(P )) комплекснозначных непрерывных функций на спектре оператора P C(σ(P )) э r(λ) 1→ R(P ) ∈ A, (3.1) при котором r(λ) 1→ (R(P ))∗, 1 1→ I, λ 1→ P. Функцию r(λ) будем называть символом оператора R(P ). Переход к символам операторов очень удобен с точки зрения алгебраических свойств (поло- жительность, обратимость и т. д.). При этом спектр оператора R(P ) будет совпадать с множеством значений его символа r(λ). Лемма 3.1. Спектр оператора P совпадает со всей окружностью )= σ(P J λ ∈ C : |λ| = /q/p . (3.2) Доказательство. Поскольку оператор /p/qP унитарный, то спектр оператора P лежит на упо- мянутой окружности. Нам нужно показать, что для любого элемента окружности λ, |λ| = /q/p, 2 оператор P - λI не имеет ограниченного обратного. Для этого достаточно построить последова- тельность un ∈ L2(R2) такую, что un L (R2) → ∞, в то время как последовательность (P - λI)un ограничена по норме. Определим множества ( ( x2 \\2 S0 := (x1, x2) ∈ R2 : x2 + x2 > 1, (qx1)2 + < 1, x1 > 0 , 1 2 p ( x1 j \\ Sj := qj ,p x2 , (x1, x2) ∈ S0 . 158 А. Л. ТАСЕВИЧ После некоторых вычислений мы получаем, что p ( \\j 2j Положим mesSj = q mesS0 = |λ|- mesS0. 1 2 ∈ j (λj-1, (x , x ) S , j = 1, k; uk (x1, x2)= Тогда 0 для остальных (x1, x2). k k 2 uk L2(R2) = , j=1 |λ| 2(j-1) mesSj = , j=1 |λ| 2(j-1) |λ| -2j mesS0 = При этом = k|λ|-2mesS0 →∞ при k → ∞. ⎧ k ⎪⎨-λ , (x1, x2) ∈ Sk ; (P - λI)uk (x1, x2)= ⎪⎩ 1, (x1, x2) ∈ S0; 0 для остальных (x1, x2), 2 2k (P - λI)uk L2(R2) = |λ| mesSk + mesS0 = |λ|2k |λ| -2k mesS0 + mesS0 = = 2 mes S0 <C < ∞ для любого k. УСЛОВИЯ СИЛЬНОЙ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ФДУ С ОРТОТРОПНЫМИ СЖАТИЯМИ s Для каждого s ∈ N и всякой функции u ∈ L2(Bs), Bs = 2 U = (u1,..., us)T ∈ Ls (Bs1), где J Bsl построим вектор-функцию l=1 ( q \\ 1-k 2 1-k k-1 uk (x1, x2)= p u(q x1,p x2) (x ∈ Bs1,k = 1, s). (4.1) Отображение u → U унитарно, т. е. (u, v)L2(Bs) = (U, V )L2(Bs1). Построим матрицу Rijs (s × s) с элементами kl = ρijs ⎪ ⎧( q ⎨ p \\ l-k 2 aij,l-k , |l - k| 1; (4.2) ⎪⎩ 0, |l - k| > 1. 2 Тогда если v = Rij u и V = (v1 ... vs)T ∈ Ls (Bs1) - соответствующая вектор-функция, то vk (x1, x2)= ρijsuk (x1, x2)+ ρijs uk+1(x1, x2)+ ρijs uk 1(x ,x ). kk Таким образом, k,k+1 k,k-1 - 1 2 2 v = Rij u (u, v ∈ L2(Bs)) ⇐⇒ V = RijsU (U, V ∈ Ls (Bs1)) . (4.3) ijs Лемма 4.1. Пусть матрицы Rijs + R∗ существует постоянная c> 0 такая, что равномерно по s положительно определены, т. е. Тогда оператор Rij + R∗ Re (RijsY, Y ) ;;: c Y 2 (s = 1, 2,... ; Y ∈ Cs) . (4.4) : L2(R2) → L2(R2) положительно определен. ij Доказательство. Возьмем произвольную функцию u ∈ L2(R2) с компактным носителем, лежа- + щим в одной четверти координатной плоскости, например в первой R2 = {x ∈ R2 : x1 > 0, x2 > 0}. Тогда ∃r : suppu ⊂ Br (0). ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФДУ С ОРТОТРОПНЫМИ СЖАТИЯМИ 159 Положим ⎧ ⎪ 2 2 2 ( x2 \\2 ⎫ ⎪ Ωj1 = ⎨⎪ x ∈ R2 : x1 + x2 < r, (qx1) + p > r⎪ ⎬ , (4.5) x + ( ⎪ 1 \\2 2 + {pj-1x2) < r, ( x1 \\2 2 + {pj x2) > r⎪ ⎪⎩ qj-1 j ( x \\ qj ⎪⎭ s Ωj = 1 k=1 1 qk-1 , pk-1x2 , x ∈ Ωj1 , Ω= 1 Ωj . (4.6) j=1 Используя условие леммы и предыдущие рассуждения, получаем Re (Rij u, u)L2(R2) = Re (v, u)L2(Ω) = s , j=1 Re (v, u)L2(Ωj ) = s , j=1 2(Ωj1) Re (V, U )Ls = s = , Re (RijsU, U )Ls s ;;: , c U 2 s s = , c u 2 = c u 2 , j=1 2(Ωj1) j=1 L2(Ωj1) j=1 L2(Ωj ) L2(Ω) причем c не зависит от s, r, u. Но при r → ∞ и s → ∞ функция u пробегает всюду плотное + в L2(R2 ) подмножество. Поэтому неравенство Re(Rij u, u) любых u ∈ L2(R2). L2(R2) L2(R2) ;;: c u 2 выполняется для Заметим, что дифференциальный оператор не коммутирует с оператором сжатия и справедливы следующие отношения: ( q \\ 1-k 2 ( 1-k k-1 (ux1 )k (x1, x2)= p 1-k ux1 q x1,p x2 = (4.7) ( q \\ 2 = p qk-1 (u(q1-k x1, pk-1x2) x1 1 = qk-1 (uk (x1, x2))x . Аналогично (ux2 )k (x)= p Положим 1-k (uk (x))x2 . ⎛ 1 0 ⎞ q ⎛ 1 0 ⎞ p-1 ⎟ Qs = ⎜ . ⎟ ⎜ ⎜ . ⎟ , Ps = ⎜ . . ⎟ . (4.8) ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ 0 qs-1 ⎜ ⎟ ⎝ . ⎠ 0 p1-s 0 Тогда можно переписать неравенство (1.3) для функции u ∈ C∞(Bs) Re(ARu, u)L2(B) = Re(ARu, u)L2(Bs) = (4.9) = ((R11s + R∗ 11s ) QsUx1 , QsUx1 )Ls (Bs1) 2 + ((R12s + R∗ 12s ) QsUx1 , PsUx2 )Ls (Bs1) + 2 + ((R21s + R∗ ) PsUx , QsUx ) s + ((R22s + R∗ ) PsUx , PsUx ) s ;;: 21s 2 r ( 1 L2(Bs1) 2 2 22s 2 2 2 2 L2(Bs1) ;;: c2 Bs1 |QsUx1 | + |PsUx2 | 2(Bs1) + |U | dx - c1 U Ls ;;: r ;;: c2 ( 2 |Ux1 | + p2-2s 2 |Ux2 | + |U |2 L dx - c1 U 2 s ;;: c2p 2-2s 2 U 2 - c1 U s . Bs1 2(Bs1) H1,s(Bs1) L2(Bs1) 0 Данное неравенство выполняется для всех вектор-функций U ∈ C∞,s(Bs1) и означает сильную эллиптичность матричного дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэф- фициентами As = - ( ∂ ∂x1 ∂ 1 QsR11sQs ∂x ∂ + ∂x2 ∂ 1 PsR12sQs ∂x ∂ + ∂x1 ∂ 2 QsR21sPs ∂x ∂ + ∂x2 ∂ \\ 2 PsR22sPs ∂x . (4.10) 160 А. Л. ТАСЕВИЧ Введем обозначение R11sP Q = Q (R11s + R∗ R21sP Q = Q (R21s + R∗ 12sP Q 22sP Q 12s 22s 12s) Q, (4.11) 22s 21s) P, R = P (R + R∗ ) P. Таким образом, из известных результатов по сильно эллиптическим системам [1] вытекает Лемма 4.2. Пусть уравнение (1.1) сильно эллиптическое в B. Тогда матрицы 2 , RijsP Qξiξj (4.12) i,j=1 положительно определены для всех 0 ⊗= ξ ∈ R2 и s = 1, 2,.... Рассмотрим частный случай уравнения (1.1), не содержащего смешанные производные: 2 , ARu ≡- i=1 (RiiB uxi )xi = f (x), x ∈ B. (4.13) Оказывается, для данного уравнения необходимое условие и достаточное условие выполнения неравенства типа Гординга (1.3) совпадают и формулируются следующим образом: Теорема 4.1. Уравнение (4.13) является сильно эллиптическим в области B тогда и только тогда, когда 2 ReaR(λ, ξ)= - , i=1 ( i ξ2Re ( aii0 + aii1λ + aii,-1 1 \\\\ > 0 λ ( |λ| = q \\ p, |ξ| =1 . (4.14) Доказательство. Сначала докажем достаточность. После интегрирования по частям левой части неравенства Гординга (1.3) с учетом условия suppu ⊂ B получим 2 2Re , (Riiux , ux ) 2 = , ((Rii + R∗ )ux , ux ) ;;: (4.15) i i=1 2 i L2(B) i=1 ii i i L2(R2) 2 ;;: , c ux = c u ±2 ;;: c˜ u 2 , i=1 i L2(R2) H1(R2) H1(R2) где · ±H1(R2)- эквивалентная норма в H˚1(R2). Последнее верно в силу теоремы об эквивалентных нормах в H˚1(R2) и того, что положи- тельность действительной части символа уравнения на спектре (4.14) означает положительность действительных частей символов операторов Rii, i = 1, 2: ReaR(λ, ξ)= ξ2Rer1(λ)+ ξ2Rer2(λ) > 0 ( |λ| = q \\ , |ξ| =1 , (4.16) 1 2 p 1 где ri(λ) = aii0 + aii1λ + aii,-1 λ. Это легко проверяется при помощи подстановки ξ = (1, 0) и ξ = (0, 1). Из (4.15) и (4.16) следует (1.3). Перейдем к доказательству необходимости. Проинтегрировав по частям неравенство (1.3) для уравнения (4.13), мы имеем 2 , 2Re (Riiux , ux ) ;;: c1 u 2 - c2 u 2 (∀u ∈ C∞(B)) . (4.17) i=1 i i L2(B) H1(B) L2(B) 0 Будем рассматривать функции u ∈ C∞(Bs) ⊂ C∞(B). Определим вектор-функции H и F при 0 0 помощи матриц P и Q. 0 H = (h1,..., hs)T ∈ C∞,s (Bs1) , H = QU, (4.18) 0 F = (f1,..., fs)T ∈ C∞,s (Bs1) , F = PU. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФДУ С ОРТОТРОПНЫМИ СЖАТИЯМИ 161 Для введенных таким образом вектор-функций будут справедливы следующие соотношения: (ux1 )k (x1, x2)= (hk (x1, x2))x1 , (ux2 )k (x1, x2)= (fk (x1, x2))x2 , (4.19) т. е. в области Bs1 функции ux1 отвечает вектор-функция Hx1 , а функции ux2 - вектор- функция Fx2 . Используя введенные обозначения, мы получаем ((R11 + R∗ ) ux , ux ) + ((R22 + R∗ ) ux , ux ) = (4.20) 11 1 1 L2(Bs) 22 2 2 L2(Bs) = ((R11s + R∗ 11s ) Hx1 , Hx1 )Ls (Bs1) 2 + ((R22s + R∗ 22s ) Fx2 , Fx2 )Ls (Bs1) . 2 Перепишем также нормы из правой части неравенства (4.17): u 2 2 ∼ ux + ux 2 = ux 2 + ux 2 = (4.21) H1(B) s 1 L2(B) 2 L2(B) s 1 L2(Bs) 2 L2(Bs) = , 2 2 = , 2 2 k=1 (ux1 )k L2(Bs1) + (ux2 )k L2(Bs1) 2 k=1 (hk )x1 L2(Bs1) + (fk )x2 L2(Bs1) = 2 = Hx1 Ls + Fx s , 2(Bs1) s s 2 L2(Bs1) u 2 = u 2 2 = , uk = , q 2(1-k) 2 hk H 2 s . (4.22) L2(B) L2(Bs) k=1 L2(Bs1) k=1 L2(Bs1) L2(Bs1) Теперь мы можем переписать неравенство (4.17) в виде ((R11s + R∗ ) Hx , Hx ) s + ((R22s + R∗ ) Fx , Fx ) s ;;: (4.23) 11s c1 1 1 L2(Bs1) 2 2 22s c2 2 2 L2(Bs1) 2 ;;: Hx1 Ls + Fx s - H s , где , не зависят от H, F и s. 2(Bs1) 2 L2(Bs1) L2(Bs1) c1 c2 Пусть функция u такая, что uk (x) = zk u0(x), где u0(x) ∈ C∞(Bs1)- произвольная скалярная функция, zk ∈ C. Тогда 0 hk (x)= qk-1zk u0(x), fk (x)= p1-k zk u0(x). Обозначим через Z, Z±, Z±± векторы (z1,..., zk ,..., zs), (z1,..., qk-1zk ,..., qs-1zs), (z1,..., p1-k zk ,..., p1-szs), соответственно. Применим к неравенству преобразование Фурье: {(R11s + R∗ ) ξ2|u0(ξ)|Z±, |u0(ξ)|Z±) + {(R + R∗ ) ξ2|u0(ξ)|Z±±, |u0(ξ)|Z±±) ;;: (4.24) 11s 1 r Ls 2 2(R ) 22s 22s 2 r s 2 L2(R ) ;;: {c1ξ2 - c2) Z± 2 |u0(ξ)|2dξ + c1ξ2 Z±± 2 |u0(ξ)|2dξ. 1 2 R2 R2 u( В силу плотности образов Фурье ξ) финитных бесконечно дифференцируемых функций в L2(R2, dμ), где dμ(ξ)= (1 + |ξ|2)dξ, выводим из последнего неравенства, что ξ2 {(R11s + R∗ ) Z±, Z±) + ξ2 {(R22s + R∗ ) Z±±, Z±±) ;;: (4.25) 1 11s Cs 2 22s Cs ;;: {c1ξ2 - c2) Z± 2 + c1ξ2 Z±± 2 . 1 Cs 2 Cs 2c2 c2 ⊗ Поскольку это неравенство выполняется для всех ξ ∈ R2, тогда, если ξ2 =0 и получим 1 = 0, возьмем ξ2 = , 1 c 2 { 2c 11s (R11s + R∗ 1 c s ) Z±, Z±) C ;;: c2 c1 s , Z± 2 C 2 {(R11s + R∗ ) Z±, Z±) ;;: Z± . 11s Cs 2 Cs c2 Если же = 0, положим ξ1 = 1, ξ2 =0 и получим ) c1 2 11s {(R11s + R∗ ) Z±, Z± Cs ;;: Z± Cs . В обоих случаях, применив лемму 4.1, получаем положительно определенность оператора 11 R11 + R∗ . 162 А. Л. ТАСЕВИЧ Теперь положим в неравенстве (4.25) ξ1 = 0. Тогда оно примет следующий вид: ξ2 {(R22s + R∗ ) Z±±, Z±±) ;;: c1ξ2 Z±± 2 - c2 Z± 2 2 22s Cs 2 Cs Cs 2 Разделив предыдущее неравенство на ξ2 и устремив его к бесконечности, будем иметь c1 2 22s Cs {(R22s + R∗ ) Z±±, Z±±) ;;: Z±± Cs . 22 По лемме 4.1 оператор R22 + R∗ является положительно определенным. Таким образом, мы получаем, что неравенство (4.14) выполнено и необходимость доказана. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ В ПОДОБЛАСТЯХ Теорема 5.1. Пусть уравнение (1.1) является сильно эллиптическим в B. Предположим, что функция u является обобщенным решением краевой задачи (1.1), (1.2), а функция f ∈ loc L2(B) ∩ Hk loc (Bsl) (s ∈ N, l = 1, s). Тогда u ∈ Hk+2(Bsl) для всех s, l. Доказательство. В интегральном тождестве возьмем в качестве пробной функции функцию v ∈ ∞ C0 (Bs) и перепишем его: (R11sQsUx1 , QsVx1 )Ls + (R12sQsUx , PsVx ) s + (R21sPsUx , QsVx ) s + (5.1) 2(Bs1) 1 2 L2(Bs1) 2 1 L2(Bs1) 2(Bs1) + (R22sPsUx2 , PsVx2 )Ls = (F, V ) 2 Ls (Bs1) . 0 Поскольку V - произвольная функция из C∞,s(Bs1), получается, что вектор-функция U ∈ H1,s(Bs1) есть обобщенное решение системы AsU = F (x ∈ Bs1), (5.2) loc где F ∈ Hk,s(Bs1). Из (4.9) получаем, что эта система - сильно эллиптическая. Согласно резуль- татам о гладкости решений для сильно эллиптических систем вектор-функция U ∈ Hk+2,s(Bs1), а loc тогда u ∈ Hk+2(Bsl) для всех s, l (см. [2, 20]). ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦ ПОДОБЛАСТЕЙ Теперь мы изучим гладкость обобщенных решений вблизи множества ∂Bsl \\ K. Доказательство базируется на известном подходе, связанным с аппроксимацией дифференциальных операторов разностными операторами [3, глава XIV, пункт 3, лемма 50], [5, глава III, §3, теорема 4]. Однако, рассматриваемый класс операторов отличается от эллиптических операторов нелокальностью. Теорема 6.1. Пусть уравнение (1.1) является сильно эллиптическим в B. Предположим, что функция u является обобщенным решением краевой задачи (1.1), (1.2), а функция f ∈ L2(B) ∩ Hk (Bsl) (s ∈ N,l = 1, s). Тогда u ∈ Hk+2(Bsl \\ Kε) для всех ε > 0 (s ∈ N, l = 1, s), где Kε = {x ∈ R2 : ρ(x, K) < ε}. Доказательство. В силу теоремы 5.1 нам достаточно показать, что для произвольной фиксиро- ванной точки y = (y1, y2) ∈ ∂Bsl \\K найдется окрестность Sδ (y) такая, что u ∈ Hk+2 (Bsl ∩ Sδ (y)) . Без ограничения общности y ∈ Γrl ⊂ ∂Bsl ∩ ∂Bs+1,l и ∂Bs+1,s+1 ∩ ∂B ⊗= ∅. Построим последовательность {yk} : yk = (ql-k y1, pk-ly2), k = 1,s + 1. Тогда yl = y, ys+1 ∈ ∂B, yi ∈ B ∀i = 1, s. K ∩ Мы можем выбрать δ > 0 такое, что 4δ < min ρ(yk , ), а множества ∂Bsk S4δ (yk ) являются k связными и принадлежат классу C∞ (k = 1, s). Также верно, что S4δ (ys+1) ∩ Bs+1,s+1 = S4δ (ys+1) ∩ B, S4δ (yk ) ⊂ Bsk ∪ Bs+1,k (k = 1, s). В качестве пробной функции в интегральном равенстве (1.6) возьмем функцию v = ξv0, где v0 ∈ H˚1(B), ( \\ s k-1 q 2 ξ(x1, x2)= , p η(qk-1x1, p1-k x2), k=1 функция η ∈ C˙ ∞(R2), 0 η(x) 1 {x ∈ S2δ (y1)) , η(x)=1 {x ∈ Sδ (y1)) , η(x)=0 {x ∈/ S2δ (y1)) . ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФДУ С ОРТОТРОПНЫМИ СЖАТИЯМИ 163 Используя формулу Лейбница, мы получим m 2 m ⎛⎡ 2 ⎤ ⎞ , , (RijB ux k=1 i,j=1 0 i , ξvxj mk L2(Bδ ) = , k=1 ⎝⎣f - , i,j=1 i ξ i ⎦ ,v ⎠ RijB ux x 0 L (Bδ . (6.1) pk Здесь и далее Bδ = Bpk ∩ S4δ (yk ); суммирование идет по m = s, s + 1. 2 mk ) Используем отображение (4.1). В силу того, что оператор перехода к вектор-функциям комму- тирует с оператором умножения на функцию ξ, мы получаем следующую формулу: 0 {ηR11mQmUmx1 , QmVmx ) m δ { 12m m mx 0 ) m mx m δ (6.2) 1 L2 (Bm1) + ηR Q U 1 , P V 2 L2 (Bm1) + 0 + {ηR21mPmUmx2 , QmVmx1 )Lm δ { 22m m mx 0 ) m mx m δ 2 (Bm1) + ηR U 2 , P V 2 L2 (Bm1) = = {ηFm,V 0 ) {η R Q U , Q V 0 {η R Q U , P V 0 - m Lm δ x1 11m m mx1 ) m m m δ x2 12m m mx1 ) m m m δ 2 (Bm1) L2 (Bm1) L2 (Bm1) - {ηx1 R21mPmUmx2 , QmVm) 0 Lm δ - {ηx2 R22m PmU mx2 , Pm 0 Vm) m δ . 2 (Bm1) Воспользуемся формулой Лейбница еще раз и получим L2 (Bm1) 1 {R11mQm (ηUm)x mx1 Lm δ , QmV 0 ) + {R12mQm (ηUm)x mx2 , PmV 0 ) 2 + (6.3) m1 2 (Bm1) 1 Lm(Bδ ) 2 + {R21mPm (ηUm)x mx1 Lm δ , QmV 0 ) + {R22mPm (ηUm)x mx2 , PmV 0 ) 2 m - = {ηFm,V 0 ) m1 2 (Bm1) 2 Lm(Bδ ) 0 - {ηx1 R11mQmUmx1 , QmVm)Lm δ { x 12m m mx 0 ) m m m δ 2 (Bm1) - η 2 R U 1 , P V L2 (Bm1) - 0 - {ηx1 R21mPmUx2 , QmVm)Lm δ { x 22m m mx 0 ) m m m δ 2 (Bm1) - η 2 R U 2 , P V L2 (Bm1) + 0 + {ηx1 R11mQmUm, QmVmx1 )Lm δ { x 12m m m 0 ) m mx m δ 2 (Bm1) + η 2 R U , P V 1 L2 (Bm1) + + {ηx1 R21mPmUm, QmVmx2 ) 0 Lm δ + {ηx2 R22m PmUm , Pm 0 Vmx ) m δ . 2 (Bm1) 2 L2 (Bm1) Подходящей заменой координат мы можем получить, что y1 = 0 и уравнение части границы W δ ∂Bs1 ∩ S4δ (0) имеет вид x2 = 0. Через ˚ 1 обозначим пространство векторнозначных функций 1,s δ 1,s+1 δ δ ˚ 1 V = (Vs, Vs+1) ∈ W (Bs1) × W (Bs+1,1) таких, что suppVm ⊂ Bm1 ∩ S2δ (0),SV ∈ W B, где ml (SV )(x1, x2)= Vml(ql-1x1, p1-lx2) для x ∈ Bδ ml , (SV )(x)=0 для x ∈/ J Bδ m,l (l = 1, m, m = s, s+1). t Предположим, что v0 = SV 0, V 0 = δ1 δ1 - t V 1 = {δ1 - -t Vs, δ1 3δ Vs+1) , где V 1 ∈ W˚ 1 /2, 0 <t< δ. Оператор ±t определяется по формулам: D(δ1 )= {W ∈ Lm(Bδ ) : suppW ⊂ Bδ ∩ S3δ (0)}, ±t 2 m1 m1 δ1 ±t = W (x1 ± t, x2) - W (x1,x2) . ±t m По построению v0 ∈ W˚ 1(B) и в уравнении (6.3) V 0 = δ±t m V 1 . Поскольку операторы δt и δ-t - формально сопряженные, из (6.3) мы имеем 1 {R11mQmδt (ηUm)x mx1 Lm δ , QmV 1 ) + {R12mQmδt (ηUm)x mx2 , PmV 1 ) 2 + (6.4) m1 + {R21mPmδt (ηUm)x , QmV 1 2 (Bm1) ) 1 + {R22mPmδt (ηUm) , PmV 1 Lm(Bδ ) ) = I 2 mx1 Lm δ x mx2 2 m1 2 (Bm1) 2 Lm(Bδ ) 1 I = - {ηFm, δ-tVm) + (6.5) 1 + {ηx1 R11mQmUmx1 , Qmδ-tVm)Lm δ { x 12m m mx 1 ) m t m m δ 2 (Bm1) + η 2 R Q U 1 , P δ- V L2 (Bm1) + 1 + {ηx1 R21mPmUx2 , Qmδ-tVm)Lm δ { x 22m m mx 1 ) m t m m δ 2 (Bm1) + η 2 R P U 2 , P δ- V L2 (Bm1) + 0 + {R11mQmδt(ηx1 Um), QmVmx1 )Lm δ + {R12mQmδt(ηx Um), PmV 0 ) + 2 (Bm1) 2 mx1 Lm(Bδ ) + {R21mPmδt(ηx1 Um), QmVmx2 ) 0 Lm δ + {R 22m Pmδt(ηx2 Um), Pm 2 m1 0 Vmx ) m δ . Положим V 1 = δt 2 (Bm1) (ηUm) (0 < t1 < δ). Очевидно, что V 1 = (V 1,V 1 ) ∈ W˚ 1 2 L2 (Bm1) . m 1 s s+1 3δ/2 164 А. Л. ТАСЕВИЧ В силу неравенства Шварца и теоремы об аппроксимации дифференциальных операторов раз- ностными |I| k1 / , 2 V 1 \\1/2 , ( Um 1,m + Fm 0,m) , (6.6) m 1,m m m m 2 где V 1 k,m = { ), V 1 1/2 } , k = 0, 1. m l=1 m1 ml W k (Bδ ) m Теперь оценим левую часть уравнения (6.4). Положим t1 = t, т. е. V 1 = δt(ηUm). В силу определения сильной эллиптичности, уравнения (4.9) и теоремы об аппроксимации дифференциальных операторов разностными , Re{ R11mQmV 1 { mx1 m mx1 , QmV 1 ) Lm m1 2 (Bδ ) + {R 12m V 1 Qm mx1 , Pm V 1 mx2 ) L (B ) m δ 2 m1 } + (6.7) + , Re{ R21mPmV 1 { mx2 m mx1 , QmV 1 ) Lm m1 2 (Bδ ) + {R 22m V 1 Pm mx2 , Pm V 1 mx2 ) L (B m δ 2 m1 )} ;;: ;;: , c2 {p2-2s V 1 2 1 2 m 1,m - c1 Vm 0,m) ;;: m ;;: c2 , p2-2s V 1 2 / , V 1 2 \\1/2 , Um 1,m. m 1,m - k2 m m m 1,m m Таким образом, из (6.4)-(6.7) следует / V , 1 2 \\1/2 k3 , ( Um 1,m + Fm 0,m) . (6.8) m 1,m m m Из этого неравенства и теоремы об аппроксимации дифференциальных операторов разностными m δ s мы получим, что (ηUm)xix1 ∈ L2 (Bm1) для i = 1, 2, откуда Usxix1 ∈ L2(Bs1 ∩ Sδ (0)). Теперь покажем, что Usx2x2 ∈ L2(Bs1 ∩ Sδ (0)). Предположим, что в (6.3) Vs ∈ C˙ (Bs1 ∩ Sδ (0)) s 0 ∞,s V 0 является произвольной векторнозначной функцией, s+1 = 0. Тогда мы получаем, что векторнозначная функция Us является обобщенным решением системы дифференциальных уравнений ARUs = Fs, (6.9) 2 где Fs ∈ Ls (Bs1 ∩ Sδ (0)). По лемме 4.2 матрица R22sP Q положительно определенная. Тогда суще- R-1 -1 ствует обратная матрица s 22s. Поэтому Usx2x2 = R22s(Fs - ), i+j<4 Rijs s Usxixj ). Выше мы доказали, что Usxixj ∈ L2(Bs1 ∩ Sδ (0)) (i + j < 4). Таким образом, Usx2x2 ∈ L2(Bs1 ∩ Sδ (0)). Отсюда u ∈ W 2(Bsl ∩ Sδ (y)).