Базисность Рисса со скобками для системы Дирака с суммируемым потенциалом

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ. Спектральная теория краевых задач общего вида для обыкновенных дифференциальных опе- раторов берет свое начало с работ Г. Биркгофа [28, 29] и Я. Д. Тамаркина [23, 40, 41]. В этих работах были введены понятия регулярных и сильно регулярных краевых условий, было исследо- вано асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций. Кроме того, были доказаны теоремы о полноте системы собственных и присоединенных функций и исследована по- точечная сходимость спектральных разложений. Исследование свойств безусловной базисности (базисности Рисса) системы корневых векторов для обыкновенных дифференциальных операторов началось в 60-е годы с работ Н. Данфорда, В. П. Михайлова и Г. Кесельмана [8, 17, 34]. Тогда же А. С. Маркусом [14] и В. Э. Кацнельсоном [6] был предложен абстрактный метод, позволяющий доказывать базисность Рисса для возмущений самосопряженных операторов в гильбертовом про- странстве. Этот метод получил существенное развитие в работах А. С. Маркуса и В. И. Мацаева (см., например, [15]). По поводу применения этого метода к обыкновенным дифференциальным операторам следует отметить статьи А. А. Шкаликова [24-26]. В нашей работе мы также исполь- зуем этот метод. Изучение спектральных свойств дифференциальных систем первого порядка 1 iBY × + v(x)Y, Y = (yj (x))d, с постоянной n × n матрицей 0 0 ... b2 0 0 b3 ... ... ⎛b1 0 ⎞ ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ B = ⎜ 0 ⎟ ⎜.................. .⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 ... bn Qc 2015 РУДН 128 БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 129 и n × n матриц-функцией v(x) началось с работы Г. Биркгофа и Р. Лангера [30]. Из недавних ра- бот, посвященных таким системам, отметим работы М. М. Маламуда, Л. Л. Оридороги и А. А. Лу- нева [12, 36]. В них введено понятие слабо регулярных краевых условий (для случая системы Дирака оно эквивалентно обычной регулярности) и доказаны теоремы о полноте, минимальности и базисности Рисса системы корневых векторов для случая v ∈ L∞[a, b]. Свойствам базисности си- стемы собственных и присоединенных функций системы Дирака посвящена обширная литература. И. Трушин и М. Ямамото [42, 43] установили базисность Рисса в случае P ∈ L2 и разделенных краевых условий. В серии работ П. Джакова и Б. Митягина (см., например, [31, 32]) изучаются спектральные свойства оператора Дирака (в частности, подробно обсуждается случай периодиче- ских, антипериодических и общих регулярных, но не сильно регулярных краевых условий). В [33] изучен оператор Дирака с потенциалом P ∈ L2 и произвольными регулярными краевыми услови- ями. Для случая сильно регулярных условий была доказана базисность Рисса, а при отсутствии сильной регулярности - базисность Рисса из подпространств. В недавней работе [39] была доказа- на базисность Рисса для общего случая суммируемого на [0, π] потенциала Q и сильно регулярных краевых условий. Отметим, что в работе А. А. Лунева и М. М. Маламуда [13] также анонсирован этот результат и метод его доказательства, отличный от предложенного в [39]. Необходимо также упомянуть работы различных авторов [2, 10, 27], в которых читатель может найти близкие резуль- таты. Заметим еще, что свойства базисности естественным образом обобщаются до результатов о равносходимости (см. по этой теме обзорную статью [16] и ссылки в ней). Вопросы о равносходи- мости для системы корневых функций оператора Штурма-Лиувилля с негладкими потенциалами были исследованы вторым автором в работах [21, 22, 37]. Таким образом, результаты этой статьи подготовят базу для доказательства таких теорем в случае системы Дирака. Настоящая статья организована следующим образом. В первом разделе приведены предвари- тельные результаты, необходимые для дальнейшего. В частности, мы покажем, что достаточно изучить случай p1 ≡ p4 ≡ 0, сформулируем определение регулярных и сильно регулярных по Биркгофу краевых условий для случая системы Дирака и приведем несколько элементарных фак- тов об операторе L0,U с нулевым потенциалом. Во втором разделе мы получаем асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций оператора LP,U . Отметим, что здесь мы рассматриваем только общий случай P ∈ L1, хотя наш метод позволяет уточнить оценки оста- точных членов в этих формулах для случая P ∈ Lp (случай p ∈ [1, 2] разобран в работе [39]) и для 1,q шкалы пространств Бесова P ∈ Bθ , q ∈ [1, ∞], θ 0 (этот случай авторы планируют рассмотреть в отдельной работе). Третий раздел посвящен изучению функции Грина оператора LP,U . Мы най- дем ее явный вид в терминах фундаментальной системы решений и докажем ограниченность этой функции в полуплоскостях |Im λ| > α. Следуя работе [7], мы построим здесь систему собственных и присоединенных функций оператора LP,U . Также здесь доказана теорема об асимптотическом поведении спектральных проекторов. Результаты о полноте и минимальности системы собствен- ных и присоединенных векторов оператора LP,U приведены в четвертом разделе работы. Отметим, что эти результаты уже были кратко изложены в работе [39]; здесь мы снабдим их полным до- казательством. В четвертом разделе приведены также результаты о базисности Рисса для случая сильно регулярных краевых условий. По сравнению с работой [39] здесь мы несколько модифици- ровали и упростили доказательство. Наконец, в пятом разделе работы получен основной результат работы: доказана базисность Рисса из двумерных подпространств для случая произвольного сум- мируемого потенциала и регулярных, но не сильно регулярных краевых условий. Этот факт был анонсирован в [39]; здесь мы приводим его полное доказательство. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Заметим, что существует два альтернативных вида записи системы Дирака. В данной работе мы будем рассматривать систему вида fP (y) = By× + P y, где (1.1) p1(x) p2(x) y1(x) B = -i 0 0 i , P (x) = p3(x) p4(x) , y(x) = y2(x) в пространстве H = L2[0, π] ⊕ L2[0, π] Э y. Функции pj, j = 1, 2, 3, 4, предполагаются суммируе- мыми на отрезке [0, π] и комплекснозначными. Краевые условия и область определения оператора 130 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ будут обсуждаться ниже. Другой формой записи (см., например, [11]) является fQ(u) = Bu× + Qu, где (1.2) B = 0 -1 1 0 , Q(x) = q1(x) q2(x) , u(x) = q3(x) q4(x) u1(x) . u2(x) 1 i Эти формы записи эквивалентны. Так, замена u1 = 2 (y1 + y2), u2 = 2 (y1 -y2) сводит систему (1.2) к виду (1.1). Далее мы покажем, что достаточно изучить случай, когда p4 = p1 = 0 (для системы, записанной в форме (1.2) это эквивалентно равенствам q1 = -q4, q2 = q3). Через y(x) = (y1(x), y2(x))t будем обозначать вектор-функции на отрезке [0, π], а через π r ⊕f , g) = 0 (f1(x)g1(x)+ f2(x)g2(x)) dx - скалярное произведение в пространстве H. Чтобы не усложнять запись, мы будем писать f ∈ Lp, имея в виду, что f ∈ Lp[0, π] × Lp[0, π], или P ∈ Lp, имея в виду, что все компоненты матрицы лежат в Lp. Норму по переменной x ∈ [0, π] в пространстве Lp или в Lp ×Lp будем обозначать ⊗·⊗p. Перейдем к определению оператора LP , который свяжем с дифференциальным выражением fP . Прежде всего определим максимальный оператор LP,M y := fP (y); D(LP,M ) = {y ∈ AC[0, π] : fP (y) ∈ H} и минимальный оператор LP,m, являющийся сужением оператора LP,M на область D(LP,m) = {y ∈ D(LP,M ) : y(0) = y(π) = 0}. 1 Здесь AC[0, π] = W 1[0, π] - пространство абсолютно непрерывных функций. Поскольку элементы матрицы P - суммируемые функции, оба слагаемых дифференциального выражения fP (y) кор- ректно определены как функции из L1. При этом в область определения оператора входят только те функции y, для которых сумма этих слагаемых принадлежит H. Через LP ∗,M и LP ∗,m будем обозначать максимальный и минимальный операторы, порожденные сопряженным дифференци- альным выражением p1 p3 fP ∗ (y) := By× + P∗y, где P∗ = p2 p4 . Утверждение 1.1 (Формула Лагранжа). Для любых функций f ∈ D(LP,M ), g ∈ D(LP ∗,M ) справедливо тождество ⊕LP,M f , g) = ⊕f , LP ∗,M g) + [f , g]π, где [f , g]π = -i f1(x)g1(x)|π + i f2(x)g2(x)|π . (1.3) 0 0 0 0 Доказательство. Равенство (1.3) получается интегрированием по частям. Из этой формулы, в частности, получаем ⊕LP,M f , g) = ⊕f , LP ∗,mg), f ∈ D(LP,M ), g ∈ D(LP ∗,m). (1.4) В дальнейшем важную роль играет следующее утверждение, которое легко следует из известно- го результата теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [9, Гл. III, §2]). Теорема I. Пусть A(x) - матрица размера n × n, элементы которой являются функциями пространства L1[0, π], а f ∈ rL1[0, π]ln - вектор-функция. Тогда при любом c ∈ [0, π] уравнение y× = A(x)y + f с условием y(c) = ξ ∈ Cn имеет единственное решение y(·) ∈ AC[0, π]. Напомним, что оператор F , действующий в гильбертовом (или банаховом) пространстве H, на- зывается фредгольмовым, если его область определения плотна в H, образ замкнут, а дефектные числа {α, β}, равные размерностям ядра и коядра, конечны. Из утверждения 1.1 и теоремы I сразу следует Утверждение 1.2. При любом λ ∈ C операторы LP,M - λI и LP ∗,m - λI фредгольмовы, явля- ются взаимно сопряженными, а их дефектные числа равны {2, 0} и {0, 2} соответственно. БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 131 Перейдем к описанию расширений L оператора LP,m, для которых LP,m ⊂L⊂ LP,M . Заметим, что любой такой оператор имеет область определения D(L) = {y ∈ D(LP,M ) : Uj (y) = 0, 1 ::: j ::: ν}, где Uj - линейные формы от векторов y(0) и y(π). Эти формы можно считать линейно незави- симыми, и тогда их число ν заключено между 0 и 2. Если мы хотим, чтобы оператор L имел непустое резольвентное множество, т. е. для некоторого λ ∈ C индексы оператора L- λI были нулевыми, то согласно утверждению 1.2 имеем ν = 1. Таким образом, оператор L = LP,U имеет область определения D(LP,U ) = {y ∈ D(LP,M ) : U (y) = 0} , где u11 u12 y1(0) u13 u14 y1(π) U (y) = Cy(0) + Dy(π) = причем строки матрицы u21 u22 y2(0) + u23 u24 y2(π) , (1.5) u11 u12 u13 u14 U := (C, D) = u21 u22 u23 u24 линейно независимы. Обозначим через Jαβ определитель, составленный из α-го и β-го столбца матрицы U. Определение 1.1. Краевое условие, определенное формой U, называется регулярным (по Бирк- гофу), если J14J23 /= 0. Оператор Дирака, порожденный регулярным краевым условием U (т. е. оператор LP,U с областью определения (1.5)), будем называть регулярным. Далее в работе мы будем рассматривать только регулярные краевые условия, так как для данной задачи регулярные операторы сохраняют классические асимптотики для собственных значений и собственных функций. Мы уже говорили выше, что без ограничения общности можно считать функции p1 и p4 нулевы- ми. Сформулируем соответствующее утверждение. Вначале напомним, что если два оператора A1 и A2 в гильбертовом пространстве с плотными областями определения подобны, т. е. существует та- кой ограниченный и ограниченно обратимый оператор T, что A2 = T-1A1T, а D(A2) = T-1D(A1), то из замкнутости одного оператора следует замкнутость другого. Подобные операторы имеют одинаковый спектр, в частности, если спектр оператора A1 состоит из собственных значений σ(A1) = {λn}, то и σ(A2) = {λn}, причем кратности этих собственных значений для A1 и A2 сов- падают. Если {en} - система собственных и присоединенных векторов оператора A1, то {T-1en} - система собственных и присоединенных векторов оператора A2. Отсюда следует, что эти системы обладают одинаковыми геометрическими свойствами (полнота, минимальность, базисность Рисса, базисность Рисса со скобками и т. д.). Утверждение 1.3. Пусть P (x) - произвольная матрица размера 2 × 2 с элементами pj ∈ L1[0, π], j = 1, 2, 3, 4, а матрица U задает регулярные краевые условия. Тогда оператор LP,U подобен оператору LP ,U + γI, где P (x) = p2 0 (x) , 3 p (x) 0 p2(x) = p2(x)ei(ϕ(x)-ψ(x)) p3 3 i(ψ(x)-ϕ(x)) , (x) = p (x)e x x π r r 1 r , (1.6) ϕ(x) = γx - 0 p1(t)dt, ψ(x) = 0 p4(t)dt - γx, γ = 2π 0 (p1(t)+ p4(t))dt, ⎛ π ⎞ i r U = (C , D ), C = C, D = exp ⎝ 2 0 (p1(t) - p4(t))dt⎠ D. Доказательство. Рассмотрим в пространстве H оператор умножения на матрицу W (x) W : y 1→ eiϕ(x) 0 0 eiψ(x) y1(x) . y2(x) 132 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Заметим, что этот оператор ограничен, поскольку функции ϕ и ψ абсолютно непрерывны, и огра- ниченно обратим. Тогда W-1fP (W f ) = W-1BW f × + (W-1PW + W-1BW×) f = i(ψ-ϕ) × = -i 0 f × + p1 p2e f + ϕ 0 f = f (f )+ γf . 0 i p3ei(ϕ-ψ) p4 0 -ψ× P Остается найти область определения оператора W-1LP,U W. Заметим, что если y ∈ AC[0, π], то и P W-1y ∈ AC[0, π]; если fP (y) ∈ H, то и f (W-1y) = W-1fP (y) ∈ H, так что для максимального оператора W-1D(LP,M ) = D(L P ,M ). Легко видеть, что ⎛ π ⎞ i r W (0) = I, а W (π) = exp ⎝ 2 0 (p4(t) - p1(t))dt⎠ I. P ,U P,U Если z ∈ D(L ), то z = W-1y, где y ∈ D(L ). Тогда краевые условия принимают вид Cy(0) + Dy(π) = 0 ⇐⇒ CW (0)z(0) + DW (π)z(π) = 0 ⇐⇒ ⎛ π ⎞ i r т. е. ⇐⇒ Cz(0) + exp ⎝ 2 0 (p1(t) - p4(t))dt⎠ Dz(π) = 0, ⎛ π ⎞ i r U = (C , D ), где C = C, а D = exp ⎝ 2 0 (p1(t) - p4(t))dt⎠ D. Всюду далее в работе мы будем считать, что преобразования уже проведены (при этом спек- тральный параметр λ мы заменяем на λ + γ). Таким образом, мы будем рассматривать оператор, порожденный дифференциальным выражением (1.1), где матрица P (x) имеет вид 0 p2(x) P (x) = p3(x) 0 , p2(x), p3(x) ∈ L1[0, π], (1.7) и регулярными краевыми условиями (1.5). Определение 1.2. Оператор Дирака LP,U называется сильно регулярным, если он регулярен и к тому же (J12 + J34)2 + 4J14J23 /= 0. Мы будем сравнивать асимптотическое поведение собственных значений и собственных функ- ций оператора LP,U и оператора L0,U . Рассмотрим оператор L0,U , порожденный дифференциальным выражением f0(y) = By× и регулярным краевым условием U (y) = 0 вида (1.5). Утверждение 1.4. Спектр оператора L0,U состоит из собственных значений, которые i i можно записать двумя сериями -π ln z0 + 2n и -π ln z1 + 2n, n ∈ Z, где z0 и z1 - корни квадратного уравнения J23z2 - [J12 + J34]z - J14 = 0, (1.8) а значения ветви логарифма фиксируются в полосе Im z ∈ (-π, π]. В дальнейшем мы будем нумеровать эти собственные значения одним индексом n ∈ Z, объеди- няя две серии в одну: λ0 = (κ0 + n, для четных n, n κ1 + n для нечетных n, i где κ0 = -π i ln z0 κ1 = -π ln z1 - 1, (1.9) причем -1 < Re κ0 ::: Re κ1 +1 ::: 1. В случае Re κ0 = Re κ1 +1 для определенности будем считать, что Im κ0 ::: Im κ1. БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 133 Доказательство этого утверждения, так же как и другие сведения об операторе L0,U , можно найти в работе П. Джакова и Б. Митягина [32]. Мы, однако, приведем их здесь для удобства читателя. Доказательство. Решениями уравнения f0(y) = λy с начальными условиями (1, 0)t и (0, 1)t являются функции e0(x, λ) = (eiλx, 0)t и e0(x, λ) = (0, e-iλx)t соответственно, а общее решение 1 2 имеет вид y = ω0e0 + ω0e0. Подставляя это выражение в краевые условия, получаем систему 1 1 2 2 ([u11 + u13eiπλ]ω0 + [u12 + u14e-iπλ]ω0 = 0, 1 2 (1.10) [u21 + u23eiπλ]ω0 + [u22 + u24e-iπλ]ω0 = 0. 1 2 Обозначим матрицу этой системы через M0(λ). Число λ ∈ C является собственным значением оператора L0,U тогда и только тогда, когда определитель Δ0(λ) := det M0(λ) обращается в ноль. Непосредственными вычислениями получаем Δ0(λ) = [J12 + J34] - J23eiπλ + J14e-iπλ. (1.11) Остается сделать в этом уравнении подстановку eiπλ = z. n Утверждение 1.5. Нормированные собственные функции y0 , n ∈ Z, сильно регулярного опе- ратора L0,U имеют вид y0 0 iλ0 x, 0)t + ω0 -iλ0 x)t, n Z, (1.12) n = ω1,j (e n 0, e ( n 2,j ∈ i,j где j = 0 при четном n и j = 1 при нечетном n. Числа ω0 , где i = 1, 2, а j = 0, 1, определяются матрицей U. Доказательство. Собственные функции, введенные в доказательстве предыдущего утверждения, имеют вид ω0 e0(x, λ0 )+ ω0 e0(x, λ0 ). При этом числа ω0 и ω0 суть решения системы (1.10), в 1,n 1 n 2,n 2 n 1,n 2,n которой λ = λ0 . Поскольку матрица этой системы 2-периодична по параметру λ, а λ0 - λ0 = 2, n n+2 n 1,n то числа ω0 ω и 0 2,n 1,j зависят лишь от четности индекса n. Обозначим их ω0 и ω 0 2,j , где j = 0 при четном n и j = 1 при нечетном n. Остается нормировать собственные функции. Так как e0 0 iλ0 x t 0 0 -iλ0 x t 1(x, λn) = (e n , 0) и e2(x, λn) = (0,e n ) , то π π 1 1ω0 0 0 0 0 0 12 H 1 0 2 r n iλ0 x 2 0 2 r 0 -iλnx 2 1,j e1(x, λn)+ ω2,j e2(x, λn) = |ω1,j | |e 0 | dx + |ω2,j | |e 0 π r 0 | dx = π r 0 = |ω 0 2 1,j | 0 2,j |eiκj x|2 dx + |ω0 |2 0 |e-iκj x|2 dx. Последнее выражение зависит только от четности n, а значит, после нормировки получим (1.12) i,j с некоторыми новыми ω0 , i = 1, 2, которые по-прежнему зависят только от четности n. Замечание 1.1. Если оператор L0,U сильно регулярен, то дискриминант квадратного уравне- ния (1.8) отличен от нуля и корни z0, z1 различны. Корневые подпространства регулярного, но не сильно регулярного оператора L0,U , отвечающие каждому собственному значению, двумерны. При этом возможны два случая - либо в каждом подпространстве есть базис из двух собствен- ных функций оператора L0,U , либо каждое подпространство содержит ровно один (с точностью до множителя) собственный вектор. Обозначим через АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ e11(x, λ) e12(x, λ) , e (x, λ) = e11(x, λ) , e (x, λ) = e12(x, λ) (2.1) E(x, λ) = e21(x, λ) e22(x, λ) 1 e21 (x, λ) 2 e22 (x, λ) матрицу фундаментальной системы решений уравнения fP (y) = λy с начальными условиями E(0, λ) = I. Для исследования регулярного оператора LP,U мы воспользуемся результатами об асимптотическом поведении фундаментальной системы решений (2.1) в комплексной λ-плоскости 134 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ внутри полос Πα = {λ ∈ C | |Im λ| < α}, полученными авторами в [20]. В этой работе рассматри- вался оператор LQ,U , записанный в форме (1.2), а оценки остаточных членов в асимптотических формулах были получены для потенциала Q из пространств Lp, p ∈ [1, ∞]. Здесь нам потребу- ются только результаты для случая p = 1, причем мы переформулируем их для системы Дирака, записанной в форме (1.1) с матрицей (1.7). Положим e11(x, λ) = eiλx + ρ11(x, λ), e21(x, λ) = ρ21(x, λ), e12(x, λ) = ρ12(x, λ), e22(x, λ) = e-iλx + ρ22(x, λ). (2.2) Заметим сразу, что ρj,k (0, λ) = 0, j, k ∈ {1, 2}. Теорема II. Пусть P (x) имеет вид (1.7), а α > 0 - произвольное фиксированное число. Тогда ρj,k (x, λ) → 0, j, k ∈ {1, 2}, при Πα Э λ →∞ (2.3) равномерно по x ∈ [0, π]. Более того, найдется такое число β = β(P, α) > 0, что для всех λ ∈ Πα,β := {λ ∈ Πα : |Re λ| > β} ρ1k (x, λ) = η1k (x, λ)eiλx, ρ2k (x, λ) = η2k (x, λ)e-iλx, k = 1, 2, (2.4) причем почти всюду на [0, π] выполнены оценки 1 1 x sup λ∈Πα,β 1(η11(x, λ))× 1 ::: M|p2(x)|, sup λ∈Πα,β 1(η12(x, λ))× 1 ::: M|p2(x)|, 1 1 x sup λ∈Πα,β 1(η21(x, λ))× 1 ::: M|p3(x)|, sup λ∈Πα,β 1(η22(x, λ))× 1 ::: M|p3(x)| (2.5) для некоторого M = M (P, α). Асимптотическое поведение функций ej (x, λ) вне полос Πα в работе [20] не изучалось. Приме- няя метод, аналогичный методу, использованному в этой работе, несложно получить асимптоти- ческие представления для ej (x, λ), j = 1, 2, в секторах S1 = {λ ∈ C : ε < arg λ < π - ε} и S2 = {λ ∈ C : -π + ε < arg λ < -ε}, где ε ∈ (0, π/2) произвольно. Более того, можно получить квалифицированную оценку остаточных членов в этих представлениях в зависимости от индекса p пространства Lp[0, π] Э pj, j = 2, 3. Здесь, однако, нас интересует только случай p = 1, и потому мы воспользуемся результатом работы [36]. В ней изучался случай общей системы By× + P y в пространстве (L2[0, π])n. Мы сформулируем здесь теорему 2.2 этой работы для случая системы Дирака. Теорема III. Пусть матрица P (x) имеет вид (1.7). Существует матрица Y (x, λ) фунда- ментальной системы решений уравнения fP (y) = λy, элементы которой yjk (x, λ) являются целыми функциями параметра λ с ограничением на рост |yjk (x, λ)| ::: Mex|λ|, где M не зависит от x и λ. Кроме того, Y (x, λ) имеет асимптотическое представление eiλx(1 + o(1)) e-iλx o(1) (2.6) Y (x, λ) = eiλx o(1) e-iλx(1 + o(1)) при λ →∞ в секторах S1 и S2 равномерно по x ∈ [0, π]. Нам необходимо выяснить асимптотическое поведение функций e1(x, λ) и e2(x, λ) при λ → ∞ во всей комплексной плоскости. Для этого мы воспользуемся теоремами II и III, а также фактом из теории целых функций, сформулированным ниже. Этот факт хорошо известен специалистам, но для полноты изложения мы приведем его с доказательством, опираясь на следующее утверждение (см. [35]). 1/n Теорема IV. Пусть D ∈ C - ограниченная область, а функция f (z) голоморфна в D и непре- рывна в D. Пусть далее ζ ∈ D, Uρ = {z ∈ C : |z - ζ| ::: ρ}, причем на окружности |z - ζ| = ρ имеется дуга, не принадлежащая D, длина которой l 2πρ/n для некоторого натурального числа n. Пусть |f (z)| ::: M0 для всех z ∈ ∂D∩Uρ и |f (z)| ::: M для всех остальных точек z ∈ ∂D. Тогда |f (ζ)| ::: M0 M 1-1/n. БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 135 Лемма 2.1. Пусть f - целая функция, а S = {z ∈ C : arg z ∈ (0, π/2)}. Обозначим M0(r) = sup{|f (z)| : arg z = 0, |z| r}, M1(r) = sup{|f (z)| : arg z ∈ [0, π/6], |z| r}, M = sup{|f (z)| : z ∈ S}. Тогда M1(r) ::: M0(r/4)1/4M 3/4. Доказательство. Возьмем точку ζ = reiα, где α ∈ [0, π/6]. Случай α = 0 тривиален, поскольку M0(r) ::: M1(r), так что далее считаем α > 0. Рассмотрим окружность радиуса ρ = r√2 sin α с центром в точке ζ. Легко видеть, что эта окружность лежит в правой полуплоскости, пересекает вещественную ось в точках x± = r(cos α ± sin α), причем отрезок [x-, x+] виден из точки ζ под прямым углом. Применим теорему IV к функции f (z) и области D = {z : |z - ζ| < ρ}∩ S. Тогда |f (ζ)| ::: max z∈[x-,x+] |f (z)| 1/4 M 3/4. Учитывая, что α ::: π/6, получаем, что x- > r/4, откуда следует утверждение леммы. Теорема 2.1. Функции eij (x, λ) аналитичны по λ во всей комплексной плоскости и eiλx(1 + o(1)) + e-iλx o(1) eiλx o(1) + e-iλx o(1) (2.7) E(x, λ) = eiλx o(1) + e-iλx o(1) eiλx o(1) + e-iλx(1 + o(1)) при C Э λ →∞ равномерно по x ∈ [0, π]. Доказательство. Из теоремы III следует, что функции ejk (x, λ) являются целыми функциями с ограничением на рост |ejk (x, λ)| ::: Mex|λ|. Матрица E(x, λ), определенная в (2.1), имеет вид E(x, λ) = Y -1(0, λ)Y (x, λ). Тогда из (2.6) следует (2.7) при Sj Э λ → ∞ равномерно по x ∈ [0, π]. В то же время представ- ление (2.3) влечет (2.7) на лучах arg λ = 0 и arg λ = π. Для завершения доказательства теоремы нам достаточно показать, что представление (2.7) справедливо также в секторах S3 = {λ ∈ C : arg λ ∈ [0, π/6]}, S4 = {arg λ ∈ [5π/6, π]}, S5 = {arg λ ∈ [-π, -5π/6]}, и S6 = {arg λ ∈ [-π/6, 0]}. Рассмотрим сектор S3 (остальные три случая разбираются аналогично). Пусть ρjk (x, λ), j, k = 1, 2, - функции, введенные в (2.3). Зафиксируем произвольную пару индексов j, k и точку x ∈ [0, π] и обозначим f (z) = ρjk (x, z)eixz. Тогда f (z) является целой функцией, причем |f (z)| ::: M в секторе S3, а на положительном луче вещественной оси f (z) = o(1) при z →∞ равномерно по x ∈ [0, π]. Согласно лемме 2.1, f (z) = o(1) в секторе S3 при |z|→∞ равномерно по x ∈ [0, π]. Теорема II и теорема 2.1 позволяют получить асимптотические формулы для характеристиче- ского определителя оператора LP,U с потенциалом вида (1.7) и регулярными краевыми условиями. Определение 2.1. Пусть потенциал P ∈ L1, краевые условия заданы матрицей U, а функции e1(x, λ) и e2(x, λ) определены в (2.1). Характеристическим определителем Δ(λ) оператора LP,U называется детерминант матрицы u11 + u13e11(π, λ)+ u14e21(π, λ) u12 + u13e12(π, λ)+ u14e22(π, λ) . (2.8) M (λ) = u21 + u23e11(π, λ)+ u24e21(π, λ) u22 + u23e12(π, λ)+ u24e22(π, λ) Утверждение 2.1. Пусть потенциал P имеет вид (1.7), а краевые условия U регулярны. Пусть Δ(λ) - характеристический определитель оператора LP,U , а Δ0(λ) - характеристиче- ский определитель оператора L0,U . Тогда при λ → ∞ в произвольной полосе Πα справедливо асимптотическое представление Δ(λ) = Δ0(λ)+ o(1). Кроме того, найдется такая полоса Πα0 , что при λ → ∞ вне этой полосы справедливо асимптотическое представление Δ(λ) = Δ0(λ)(1 + o(1)). 136 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Доказательство. Определитель матрицы M (λ) имеет вид Δ(λ) = J12 + J13e12(π, λ)+ J14e22(π, λ)+ J32e11(π, λ)+ J42e21(π, λ)+ + J34(e11(π, λ)e22(π, λ) - e12(π, λ)e21(π, λ)) (2.9) (напомним, что через Jαβ мы обозначаем определитель, составленный из α-го и β-го столбца матрицы U ). Заметим, что выражение e11(x, λ)e22(x, λ) - e12(x, λ)e21(x, λ) является определителем матрицы фундаментальной системы решений в точке x ∈ [0, π]. Поскольку след матрицы B-1(λI - P (x)) равен нулю, то, согласно теореме Лиувилля (см., например, [9, Гл. III, §1]), это выражение не зависит от x, а при x = 0 оно равно единице по определению функций e1(x, λ) и e2(x, λ). Подставляя асимптотические формулы (2.7) в соотношение (2.9), получим Δ(λ) = J12 + J34 + J14e-iπλ + J32eiπλ + o(1) (|eiπλ| + |e-iπλ|\\ = Δ0(λ)+ o(1) (|eiπλ| + |e-iπλ|\\ . Остаточный член в этом равенстве есть o(1) при Πα Э λ →∞ для любого α > 0, и первое утвер- ждение теоремы доказано. Докажем второе утверждение. Разберем случай Im λ > 0. Подберем α0 > 0 так, что Тогда при Im λ > α0 |J12| + |J34| + |J32|e-πα0 ::: |J14| eπα0 . 2 а значит, |Δ0(λ)| |J14e-iπλ|- |J12 + J34 + J32eiπλ| 1 2 |J14e-iπλ|, (2.10) |Δ0(λ)|-1 (|eiπλ| + |e-iπλ|\\ ::: 2|J14|-1 (1+ 1e-2πα0 1) ::: 4|J14|-1. Итак, при Im λ > α0 1 1 Δ(λ) = Δ0(λ)(1 + o(1)). Случай Im λ < 0 разбирается аналогично. Теперь мы покажем, что собственные значения оператора LP,U асимптотически сближаются с собственными значениями невозмущенного оператора. n Теорема 2.2. Пусть потенциал P имеет вид (1.7) и LP,U - регулярный оператор Дирака. Обозначим через {λ0 } собственные значения оператора L0,U и через λn - собственные значе- ния оператора LP,U с учетом алгебраической кратности. Тогда при подходящей нумерации последовательности {λn}n∈Z (и такая нумерация возможна) n λn = λ0 + o(1) при |n|→ ∞. В частности, {λn}n∈Z ⊂ Πα0 для некоторого α0 > 0. Доказательство. Обозначим f (λ) := Δ(λ) - Δ0(λ). В силу утверждения 2.1, найдется α0 такое, что |f (λ)| |Δ0(λ)| → 0 при λ → ∞, λ ∈/ Πα0 . Выберем число α > α0 так, чтобы на прямых |Im λ| = α было выполнено неравенство |f (λ)| < |Δ0(λ)|. Далее зафиксируем произвольное число μ ∈ (0, 2), для которого на прямой Re λ = μ нет нулей функции Δ0(λ), и обозначим m = min{|Δ0(λ)| : Re λ = μ}. Вновь обращаясь к утверждению 2.1, видим, что |f (λ)|→ 0 при λ →∞ внутри полосы Πα. Тогда найдется такое натуральное N1, что при всех λ ∈ Πα, |Re λ| μ + 2N1, выполнено |f (λ)| < m. Заметим, что функция Δ0(λ) периодична с периодом 2, а значит, на вертикальных отрезках Re λ = μ ± 2n, n > N1, внутри полосы Πα выполнено min |Δ0(λ)| = m > |f (λ)|. Применим теорему Руше к прямоугольнику, ограниченному прямыми Im λ = ±α, Re λ = μ ± 2n, где n > N1 и получим, что функции Δ(λ) и Δ0(λ) имеют одинаковое (с учетом кратности) число нулей в любом таком прямоугольнике. БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 137 Перейдем к изучению нулей функции Δ(λ) при λ →∞ внутри полосы Πα. Зафиксируем число r так, чтобы круги Ur (λ0 ) = {λ : |λ - λ0 | ::: r}, n ∈ Z, не пересекались и лежали в полосе Πα. Обозначим n n n mn = min{|Δ0(λ)| : |λ - λ0 | = r}. n Поскольку функция Δ0(λ) периодична, то mn M для некоторого M > 0. Тогда существует такое натуральное N2, что при |Re λ| > μ + 2N2 на окружностях |λ - λ0 | = r выполнено |f (λ)| < |Δ0(λ)|. По теореме Руше количество нулей функций n Δ(λ) и Δ0(λ) в каждом круге Ur (λ0 ), |n| 2N2 + 2, совпадает. Теперь мы занумеруем нули функции Δ(λ) в каждом таком круге так, чтобы их номера n совпадали с номерами нулей функции Δ0(λ) в этом же круге. Из рассуждений, приведенных выше, следует, что количество нулей функций Δ(λ) и Δ0(λ), не попавших в объединение этих кругов, конечно и одинаково. Проведем нумерацию оставшихся нулей функции Δ(λ) в произвольном порядке. Нули функции Δ(λ) - собственные значения оператора LP,U - мы обозначим {λn}n∈Z. Остается заметить, что число r мы можем уменьшать и выбирать сколь угодно малым. Для любого такого r найдется номер N (r), что при всех |n| > N (r) выполнено |λn - λ0 | < r. Иными словами, n λn = λ0 + o(1). Теперь докажем теорему об асимптотике собственных функций сильно регулярного оператора. В случае регулярного, но не сильно регулярного оператора собственные значения асимптотически двукратны. В этом случае мы изучим асимптотическое поведение соответствующих двумерных спектральных проекторов (см. теорему 3.2 ниже). n Теорема 2.3. Пусть потенциал P (x) имеет вид (1.7), а оператор LP,U сильно регулярен. Обозначим через {yn(x)} нормированные собственные функции этого оператора, отвечаю- щие собственным значениям {λn}, а через {y0 (x)} - нормированные собственные функции оператора L0,U , отвечающие собственным значениям {λ0 }. Тогда n n yn(x) = y0 (x)+ rn(x), где ⊗rn⊗C → 0. (2.11) Более того, справедливо представление y1,n(x) = eiλnxτ1,n(x), y2,n(x) = e-iλnxτ2,n(x), (2.12) причем |τj,n(0)| ::: C, j = 1, 2, а производные функций τj,n(x) подчинены оценке |τ × j,n (x)| ::: C(|p2(x)| + |p3(x)|) (2.13) почти всюду на [0, π] Э x, где постоянная C не зависит ни от n, ни от x. Доказательство. Поскольку оператор L0,U сильно регулярен, то все его собственные значения просты. Обозначим δ = min |λ0 - λ0 |/2. Тогда в силу теоремы 2.2 существует номер N такой, что n m n±=m n для всех |n| > N в δ-окрестности точки λ0 лежит ровно одно собственное значение λn операто- ра LP,U . n Из определения собственных значений следует, что Δ0(λ0 ) = 0, где Δ0(λ) = det M0(λ), M 0 0 0 0 M0(λ) = 11(λ) M12(λ) = u11 u12 + u13 u14 e11(π, λ) e12(π, λ) . M 0 0 0 0 21(λ) M22(λ) u21 u22 u23 u24 e21(π, λ) e22(π, λ) Обозначим ω0 = (M 0 (λ0 ), -M 0 (λ0 ))t. Тогда функция n 12 n 11 n y0 0 0 0 0 0 0 n(x) = ω1,ne1(x, λn)+ ω2,ne2(x, λn) является собственной (ненормированной) функцией для оператора L0,U . Для |n| > N аналогично определим вектор ωn = (M12(λn), -M11(λn))t, так что функция yn(x) = ω1,ne1(x, λn)+ ω2,ne2(x, λn) является собственной для оператора LP,U . Из (2.3) следует, что ⊗e1(x, λn) - e0(x, λn)⊗C + ⊗e2(x, λn) - e0(x, λn)⊗C → 0 при n → ∞, 1 2 а из теоремы 2.2 и явного вида функций e0(x, λ) и e0(x, λ) - 1 2 ⊗e0(x, λn) - e0(x, λ0 )⊗C + ⊗e0(x, λn) - e0(x, λ0 )⊗C → 0. 1 1 n 2 2 n 138 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ n Тогда ⊗ωn - ω0 ⊗ -→ 0, а значит, yn(x) = ω0 e1(x, λn)+ ω0 e2(x, λn)+ (ω1,n - ω0 )e1(x, λn)+ (w2,n - ω0 )e2(x, λn) = 1,n 2,n = ω0 1,n e0(x, λn)+ ω0 2,n e0(x, λn)+ rn(x), где ⊗rn(x)⊗C → 0. 1,n 1 2,n 2 yn y0 . Заметим, что 1⊗ ⊗ 1 - ⊗ n⊗H ::: C⊗rn⊗C = o(1). Далее, Остается нормировать функции y0 и n 1 yn H y0 1 y0 функции n зависят только от четности номера n, а значит, последовательность норм {⊗ n⊗}n∈N (и в пространстве C, и в пространстве H) отделена от нуля и от бесконечности. Тогда тем же yn свойством обладает и последовательность {⊗ ⊗}N , откуда 1 yn y0 (x) 1 ⊗ n⊗H ⊗ - n⊗C + ⊗ n⊗C 1⊗ n⊗H - ⊗ ⊗ 1 1 (x) n 1 y0 ::: yn y0 y0 1 y0 yn H1 = o(1), 1 yn H - y0 ⊗H 1 ⊗ ⊗ ⊗ n⊗H 1 ⊗ ⊗ ⊗ n 1C yn H y0 и представление (2.11) доказано. Для доказательства представления (2.12) воспользуемся соотно- шениями (2.2) и (2.3). Получим (y1,n (x) = eiλnx (ω 1,n + ω1,n η11 (x, λn )+ ω 2,n η12 (x, λn )) , n| > N. y2,n (x) = e-iλnx (ω 2,n + ω1,n η21 (x, λn )+ ω 2,n η22 (x, λn )) , | Введем обозначения τ1,n (x) = y1,n (x)e- iλnx и τ2,n (x) = y2,n (x)e iλnx. τj,n Тогда (0) = ω j,n = ω 0 j,n 1,n + o(1) при |n|→ ∞, j = 1, 2. Поскольку числа ω0 и ω 0 2,n зависят только τ1,n τ от четности номера n, то последовательности { оценить производные: (0) }|n|>N и { 2,n (0)}|n|>N ограничены. Остается j,n(x) = ω1,nηj1(x, λn)+ ω2,nηj2(x, λn), τ × × × а значит, согласно (2.4), τ × τ × | 1,n(x)| ::: M|p2(x)|(|ω1,n| + |ω2,n|), | 2,n(x)| ::: M|p3(x)|(|ω1,n| + |ω2,n|). yn Отсюда сразу следует оценка (2.13) для ненормированных функций . Так как нормы {⊗ yn⊗H}|n|>N отделены от нуля, то эта оценка сохранится и после нормировки. ФУНКЦИЯ ГРИНА Мы покажем, что резольвента оператора LP,U компактна, и изучим асимптотическое поведение производящей функции G(t, x, λ) этого компактного оператора (функции Грина) при λ → ∞. Утверждение 3.1. Пусть потенциал P имеет вид (1.7). Резольвента R(λ) = (LP,U - λI)-1 регулярного оператора LP,U определена при всех λ ∈ C \\ {λn}n∈Z, где λn - собственные значе- ния оператора LP,U , и является интегральным оператором в H π r R(λ)f = 0 G(t, x, λ)f (t)dt. (3.1) Функция G(t, x, λ) непрерывна на квадрате (t, x) ∈ [0, π]2, за исключением диагонали x = t. Доказательство. Матрица E(x, λ), определенная в (2.1), удовлетворяет уравнению BE×(x, λ)+ P (x)E(x, λ) = λE(x, λ), причем E(0, λ) = I. Применим метод вариации постоянных к уравнению fP (y) = λy + f . Тогда решение этого уравнения примет вид π r y(x, λ) = ω1e1(x, λ)+ ω2e2(x, λ) - x E(x, λ)E-1(t, λ)B-1f (t) dt, (3.2) где ω1 и ω2 - произвольные числа. Легко видеть, что π r y(0, λ) = ω - 0 E-1(t, λ)B-1f (t) dt, y(π, λ) = E(π, λ)ω, где ω = (ω1, ω2)t. БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 139 Для определения вектора ω воспользуемся краевыми условиями Cy(0) + Dy(π) = 0, введенными в (1.5). Тогда π r ω = M-1(λ)CE-1(t, λ)B-1f (t) dt, 0 где M (λ) = C + DE(π, λ). Матрица M-1(λ) определена тогда и только тогда, когда Δ(λ) = det M (λ) /= 0, т. е. для всех λ ∈ C \\ {λn}n∈Z. Функция y(x, λ) теперь принимает вид π r где y(x, λ) = 0 G(t, x, λ)f (t) dt, G(t, x, λ) = (E(x, λ)M-1(λ)CE-1(t, λ)B-1 при t < x, E(x, λ)(M-1(λ)C - I)E-1(t, λ)B-1 при t > x, (3.3) что доказывает требуемое утверждение. Определение 3.1. Функция G(t, x, λ) называется функцией Грина оператора LP,U . Через G0(t, x, λ) будем обозначать функцию Грина невозмущенного оператора L0,U . Отметим, что из доказанного утверждения следует компактность в пространстве H оператора R(λ) при любом λ ∈/ {λn}n∈Z (отсюда, в частности, следует замкнутость оператора LP,U ). Наша ближайшая цель - получить оценки для функции G(t, x, λ). Эти оценки являются клю- чевыми для доказательства полноты системы собственных и присоединенных функций оператора LP,U . Для упрощения дальнейших выкладок обозначим матрицу E(x, λ)E-1(a, λ) через E (a, x, λ), где 0 ::: a, x ::: π, λ ∈ C, и найдем ее в явном виде. Мы уже отмечали в доказательстве утвержде- ния 2.1, что det E(x, λ) ≡ 1. Тогда откуда E-1(a, λ) = e22(a, λ) -e12(a, λ) , -e21(a, λ) e11(a, λ) где E (a, x, λ) = E11(a, x, λ) E12(a, x, λ) , E21(a, x, λ) E22(a, x, λ) Ej1(a, x, λ) = ej1(x, λ)e22(a, λ) - ej2(x, λ)e21(a, λ), (3.4) Ej2(a, x, λ) = ej2(x, λ)e11(a, λ) - ej1(x, λ)e12(a, λ), j = 1, 2. jk В случае P (x) ≡ 0 будем использовать обозначения E 0(a, x, λ) = (E 0 (a, x, λ)), j, k = 1, 2. Лемма 3.1. Матрица E (a, x, λ) удовлетворяет уравнению BE×(x)+ P (x)E (x) = λE (x), x ∈ [0, π] (3.5) и начальному условию E (a, a, λ) = I. Функции Eij (a, x, λ) аналитичны по λ во всей комплексной плоскости, и при λ →∞ верно представление eiλξ (1 + o(1)) + e-iλξ o(1) eiλξ o(1) + e-iλξ o(1) E (a, x, λ) = eiλξ o(1) + e-iλξ o(1) eiλξ o(1) + e-iλξ (1 + o(1)) , ξ = x - a, (3.6) при C Э λ →∞ равномерно по 0 ::: a, x ::: π. Доказательство. То, что матрица E (a, x, λ) удовлетворяет уравнению (3.5), сразу следует из (3.4). Равенство E (a, a, λ) = I очевидно. Асимптотическое представление (3.6) следует из (2.7). Для дальнейшего нам необходимы сведения об операторе (LP,U )∗. Утверждение 3.2. Сопряженным к регулярному оператору LP,U является оператор, кото- рый задается сопряженным дифференциальным выражением 0 p3(x) fP ∗ (y) = By× + P∗(x)y, где P∗(x) = p2(x) 0 , 140 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ и сопряженными краевыми условиями. Сопряженные краевые условия выписываются неодно- значно, в частности, матрицу краевых условий можно взять равной J23 J13 -J12 0 . U∗ = 0 -J34 J24 J23 Для любого регулярного (сильно регулярного) оператора LP,U его сопряженный оператор (LP,U )∗ = LP ∗,U ∗ также является регулярным (сильно регулярным). Собственные значения опе- ратора LP ∗,U ∗ совпадают (с учетом кратности) с числами λn, где λn, n ∈ Z, - собственные значения оператора LP,U . ∈ P ,U Для всякого λ ∈/ {λn}n Z определена резольвента R∗(λ) = (L ∗ ∗ - λI)-1, которая имеет вид R∗(λ)f = π r G∗(t, x, λ)f (t)dt. 0 jk Матрица G∗(t, x, λ) = (g∗ (t, x, λ)) связана с функцией G(t, x, λ) = (gjk (t, x, λ)), введенной в (3.1), соотношениями ∗ gjk (t, x, λ) = gkj (x, t, λ), j, k = 1, 2, x, t ∈ [0, π], λ ∈ C \\ {λn}n∈Z. (3.7) Доказательство. Вид сопряженного дифференциального выражения следует из леммы 1.1. Вид сопряженных краевых условий и их регулярность проверяются непосредственными вычислениями с использованием тождества (1.3) и определения 1.1. Соотношения (3.7) общеизвестны. Для сокращения записи далее будем обозначать Uδ (λn) = {z ∈ C : |z - λn| < δ}, Ωδ = C \\ I Uδ (λn), n∈Z Ωα,δ = Πα ∩ Ωδ, Ωα,δ,R = {z ∈ Ωα,δ : |Re z| > R}. Лемма 3.2. Для любого δ > 0 существует такое число M = M (P, U, δ), что при всех λ ∈ Ωδ характеристический определитель регулярного оператора LP,U удовлетворяет оценке |Δ(λ)| Meπ|Im λ|. Доказательство. Согласно теореме 2.2 и утверждению 2.1 найдется такое число α0 > 0, что все круги Uδ (λn) лежат в полосе Πα0 и при λ → ∞ вне Πα0 справедливо равенство Δ(λ)/Δ0(λ) = 1 + o(1). Увеличивая, если нужно, число α0, можно считать, что |Δ(λ)| |Δ0(λ)|/2 для всех λ ∈/ Πα0 . Тогда из неравенства (2.10) следует доказываемое неравенство при Im λ > α0. Случай Im λ <-α0 аналогичен. Для завершения доказательства остается показать, что для всех точек λ ∈ Ωα0,δ справедлива оценка |Δ(λ)| M при некотором M > 0. Согласно теореме 2.2 най- дется такое число R, что для всех собственных значений λn, |λn| > R, справедливы неравенства n |λn - λ0 | < δ/2. В силу периодичности функции Δ0(λ) существует такое m > 0, что |Δ0(λ)| m 0 δ/2 n 0 в Πα вне кругов U (λ0 ). Поскольку Δ(λ) = Δ0(λ) + o(1) при λ → ∞ в полосе λ ∈ Πα (см. утверждение 2.1), то, увеличивая, если необходимо, число R, можно считать, что при |Re λ| > R 0 0 выполнена оценка |Δ(λ)| m/2 в Πα0 вне кругов Uδ/2(λn). Так как при |Re λ| > R круг Uδ/2(λn) содержится в круге Uδ (λn), то оценка |Δ(λ)| m/2 выполнена при всех λ ∈ Ωα0,δ,R. Наконец, на компакте {λ : |Im λ| ::: α0, |Re λ| ::: R, |λ - λn| δ, n ∈ Z} функция Δ(λ) не обращается в ноль, а значит, отделена от нуля. Теорема 3.1. Пусть LP,U - произвольный оператор Дирака с потенциалом вида (1.7) и ре- гулярными краевыми условиями U. Для любого δ > 0 существует такое число M = M (P, U, δ), что в Ωδ функция G(t, x, λ) = (gjk (t, x, λ)) оператора LP,U удовлетворяет оценке |gjk (t, x, λ)| ::: M. Кроме того, для любых положительных чисел α, δ и ε найдется такое R > 0, что при всех λ ∈ Ωα,δ,R и всех t, x ∈ [0, π] выполнено jk |gjk (t, x, λ) - g0 (t, x, λ)| < ε, БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 141 jk где G0(t, x, λ) = (g0 (t, x, λ)) - функция Грина оператора L0,U . Доказательство. Матрицы E(x, λ), M (λ), C и E-1(t, λ) явно выписаны в (2.1), (2.8), (1.5) и (3.4) соответственно. Тогда из (3.3) непосредственными вычислениями получаем, что G(t, x, λ) = i J12 Δ(λ) - χt>x(t, x) E11(t, x, λ) -E12(t, x, λ) + E21(t, x, λ) -E22(t, x, λ) + i E11(π, x, λ) -E12(π, x, λ) J14 J24 e22(t, λ) e12(t, λ) , (3.8) Δ(λ) E21(π, x, λ) -E22(π, x, λ) J13 J23 -e21(t, λ) -e11(t, λ) где χt>x - характеристическая функция треугольника t > x, а Δ(λ) - определитель, введенный в определении 2.1. Пусть α0 > 0 таково, что полоса Πα0 содержит все круги Uδ (λn). Пусть вначале |Im λ| α0. Проведем оценку функции G(t, x, λ) на треугольнике 0 ::: t < x ::: π. В силу представлений (3.6) функции Ejk (t, x, λ) удовлетворяют оценкам |Ejk(t, x, λ)| ::: Me|Im λ|(x-t). Аналогично |Ejk (π, x, λ)| ::: Me|Im λ|(π-x), а |ejk (t, λ)| ::: Me|Im λ|t, где M не зависит от t, x и λ. Применяя лемму 3.2, видим, что вне полосы Πα0 , |gjk (t, x, λ)| ::: M (e|Im λ|(x-t-π) + e|Im λ|(t-x) \\ ::: 2M, kj поскольку оба числа x-t-π и t-x неположительны. Для оценки функции G(t, x, λ) на треугольни- ке 0 ::: x < t ::: π воспользуемся соотношением (3.7), согласно которому |gjk (t, x, λ)| = |g∗ (x, t, λ)|. Поскольку координаты точки x и t поменялись местами, а λ по-прежнему лежит вне полосы Πα0 , то мы можем применить рассуждения, приведенные выше, к функциям g∗ , и вне полосы Πα kj 0 оценка функции G получена. Согласно асимптотическим представлениям (2.3) и (3.6) функции ejk и Ejk ограничены в произвольной полосе Πα. Отсюда и из леммы 3.2 следует ограниченность функции G(t, x, λ) в Ωα0,δ . Докажем второе утверждение теоремы. Зафиксируем числа α и δ. Из теоремы II следует, что jk ejk (x, λ) = e0 (x, λ)+ o(1) при Πα Э λ →∞ равномерно по x, а из (3.6) следует, что и jk Ejk (a, x, λ) = E 0 (a, x, λ)+ o(1) при Πα Э λ →∞ равномерно по x и a. Согласно лемме 3.2 найдутся такие положительные числа R и M, что при всех λ ∈ Ωα,δ,R выполнены неравенства |Δ(λ)| M и |Δ0(λ)| M. Тогда из утверждения 2.1 следует 0 Δ-1(λ) = Δ-1(λ)+ o(1) при Ωα,δ,R Э λ → ∞. Подставляя эти асимптотические представления в равенство (3.8) (записанное для G(t, x, λ) и G0(t, x, λ)) и учитывая равномерную ограниченность функций Δ-1(λ), e0 (x, λ) и E 0 (t, x, λ) на jk jk множестве λ ∈ Ωα,δ,R, x, t ∈ [0, π], получаем необходимую оценку. Факты, которые мы сформулируем ниже, хорошо известны и основаны на канонической рабо- те [7] (см. также [18, гл. 1]). Определение 3.2. Система функций yj,1, yj,2, ..., yj,m называется цепочкой функций, при- соединенных к собственной функции yj оператора LP,U с собственным значением λ0, если все они лежат в области определения D(LP,U ) и удовлетворяют системе уравнений LP,U yj,q = λ0yj,q + yj,q-1, q = 1, ..., m (здесь и далее yj,0 = yj - собственные функции). Будем гово- рить, что собственная функция yj имеет кратность m0, если существует цепочка из присоеди- ненных к ней функций длины m0 - 1, но не существует такой цепочки длины m0. Пусть p - размерность собственного подпространства H0, отвечающего собственному значению λ0. Обозна- чим через y1 ∈ H0 собственную функцию, имеющую максимальную кратность, через y2 ∈ H0 - собственную функцию максимальной кратности, линейно независимую с y1 и т. д. Пусть mj - кратность собственной функции yj, а yj,k , k = 1, ..., mj - 1 - соответствующие присоединенные 142 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ функции. Система {yj,k }, где 1 ::: j ::: p, а 0 ::: k ::: mj - 1, называется канонической системой собственных и присоединенных функций оператора LP,U , отвечающей собственному значению λ0. Легко видеть, что любая каноническая система {yj,k } образуют базис в собственном подпро- странстве, отвечающем собственному значению λ0. Следуя работе [7], обозначим через yz опера- тор в пространстве H, действующий по правилу f 1→ ⊕f , z)y. Теорема V. Для любого собственного значения λ0 регулярного оператора LP,U размерность p собственного подпространства не превосходит 2. Кратность нуля функции Δ(λ) в точ- ке λ0 совпадает с суммой m1 + m2 (в случае p = 1 полагаем m2 = 0). При этом функция G(t, x, λ) имеет полюс порядка m1 в точке λ0. Пусть {yj,k } - произвольная каноническая си- стема собственных и присоединенных функций оператора LP,U , отвечающая собственному значению λ0. Тогда найдется такая каноническая система {zj,k } собственных и присоединен- ных функций сопряженного оператора (LP,U )∗ , отвечающая собственному значению λ0, что главная часть ряда Лорана резольвенты R(λ) = (LP,U - λI)-1 в точке λ0 будет иметь вид y1,0z1,0 (λ - λ0)m1 y1,0z1,1 + y1,1z1,0 + (λ - λ0)m1-1 + ··· + + y1,0z1,m1-1 + ··· + y1,m1-1z1,0 λ - λ0 y2,0z2,0 + (λ - λ0)m2 y2,0z2,1 + y2,1z2,0 + (λ - λ0)m2-1 + ··· + y2,0z2,m2-1 + ··· + y2,m2-1z2,0 λ - λ0 . (3.9) Определение 3.3. Для каждого собственного значения λ0 регулярного оператора LP,U выберем произвольную каноническую систему {yj,k } собственных и присоединенных функций с тем лишь условием, что собственные функции этой системы имеют единичную норму. В силу теоремы V количество векторов в системе {yj,k } совпадает с порядком нуля λ0 функции Δ(λ). Занумеруем векторы этой системы (в порядке y1, y1,1, ..., y1,m1-1, y2, y2,1, ..., y2,m2-1) индексами n ∈ Z в соответствии с нумерацией собственных значений. Системой собственных и присоединенных функций {yn}n∈Z оператора LP,U мы будем называть объединение всех канонических систем. Оператор Pλ0 = y 1,0 z1,m1-1 + ··· + y 1,m1-1 z1,0 + y 2,0 z2,m2-1 + ··· + y 2,m2-1 z2,0 называется спектральным проектором на корневое подпространство, отвечающее собственному значению λ0. Полученное в теореме 3.1 асимптотическое представление для функции Грина позволяет нам получить асимптотические формулы для спектральных проекторов в случае регулярных, но не сильно регулярных краевых условий. В этом случае все собственные значения оператора L0,U 2n = λ двукратны (см. утверждение 1.4), а именно λ0 0 2n+1 n , n ∈ Z. Поскольку λn = λ0 + o(1), то |λ2n - λ2n+1|→ 0 при n → ±∞. 2n Определение 3.4. Выберем число N0 так, что для всех n, |n| N0 выполнено |λ2n -λ0 | < 1/8 2n и |λ2n+1 - λ0 1 | < 1/8. Обозначим r 1 Pn := 2πi 2n |λ-λ0 |=1/4 R(λ)dλ, n = ±N0, ±(N0 + 1),..., где R(λ) = (LP,U - λI)- . (3.10) Из представления (3.9) следует, что Pn является спектральным проектором на корневое подпро- странство, отвечающее собственным значениям λ2n и λ2n+1, которое мы обозначим Hn. Определим также операторы 0 1 r 1 Pn := 2πi 2n |λ-λ0 |=1/4 R0(λ)dλ, n = ±N0, ±(N0 + 1),..., где R0(λ) = (L0,U - λI)- - спектральные проекторы на корневые подпространства оператора L0,U , отвечающие собственным 2n = λ 0 значениям λ0 2n+1. π Заметим, что оператор R(λ) : f 1→ Г G(t, x, λ)f (t)dt корректно определен при λ /= λn не только 0 как оператор в пространстве H, но и как оператор из L1[0, π] в C[0, π]. То же справедливо и для БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 143 n операторов Pn и P0. В следующей теореме мы оценим норму их разности именно как операторов из L1[0, π] в C[0, π]. Теорема 3.2. Для любого регулярного, но не сильно регулярного оператора LP,U 0 ⊗Pn - Pn⊗L1→C -→ 0 при |n|→ ∞. Доказательство. Легко видеть, что при |n| N0 0 1 0 ⊗Pn - Pn⊗L1→C ::: 4 max max sup |gjk (t, x, λ) - gjk (t, x, λ)|. 2n |λ-λ0 |=1/4 j,k∈{1, 2} t,x∈[0,π] Теперь утверждение теоремы следует из теоремы 3.1. МИНИМАЛЬНОСТЬ, ПОЛНОТА И БАЗИСНОСТЬ РИССА Нашей следующей задачей является доказательство полноты и минимальности системы соб- ственных и присоединенных функций регулярного оператора LP,U . Мы проведем это доказатель- ство классическим способом, причем ключевую роль будет играть оценка, полученная в теоре- ме 3.1. Напомним, что система {xn} векторов банахова пространства H называется полной, если ее линейная оболочка плотна в H. Система называется минимальной, если при удалении произ- вольного вектора xk из системы свойство полноты теряется. Теорема 4.1. Пусть потенциал P имеет вид (1.7), а краевые условия (1.5) регулярны. То- гда система {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций оператора LP,U (см. определе- ние 3.3) полна и минимальна в пространстве H. Доказательство. Вначале докажем полноту системы {yn}n∈Z. Пусть функция f ∈ H ортогональна всем векторам этой системы. Зафиксируем произвольный вектор g ∈ H и рассмотрим функцию Φ(λ) := ⊕R∗(λ)f , g), определенную в области C \\ {λn}n∈Z. Согласно (3.9) эта функция имеет устранимые особенности в точках λn, т. е. после доопределения в них является целой. В силу теоремы 3.1 для любого δ > 0 в области C \\ J n∈Z Uδ (λn) справедлива оценка |Φ(λ)| ::: M⊗f ⊗H⊗g⊗H, где M не зависит от λ. Заметим, что для случая сильно регулярных краевых условий inf |λ0 - λ0 | = d > 0 n m n±=m (см. утверждение 1.4). В регулярном, но не сильно регулярном случае inf |λ0 - λ0 | = d > 0. n m |n-m| 2 n n Выберем число δ равным d/4 - тогда круги Uδ (λ0 ) либо не пересекаются, либо разбиваются на пары, не пересекающиеся между собой. Этим же свойством, очевидно, обладают и круги Uδ (λn) для всех n таких, что |λn - λ0 | < d/4. В силу теоремы 2.2 последнее неравенство выполнено при | n| N для некоторого N. Таким образом, вне некоторого круга {|z| ::: R} множество точек λ, для которых неравенство |Φ(λ)| ::: M⊗f ⊗H⊗g⊗H еще не доказано, представляет собой счетное объеди- нение ограниченных непересекающихся областей. По принципу максимума это неравенство будет справедливо в каждой из данных областей, значит, и всюду в области {|z| > R}, а следовательно, и во всей комплексной плоскости. Из теоремы Лиувилля следует, что функция Φ(λ) является постоянной. Тогда функция Φ×(λ) = ⊕(R∗(λ))×f , g) = ⊕(R∗(λ))2f , g)≡ 0. Поскольку функция g выбиралась произвольной, то (R∗(λ))2f ≡ 0, откуда f = 0. Полнота системы {yn}n∈Z доказана. 144 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Для доказательства минимальности системы {yn}n∈Z достаточно доказать существование биор- тогональной системы. Мы построим ее на базе системы {zn}, полученной объединением всех ка- нонических систем {zj,k }, определенных в разложении (3.9) (т. е. системы собственных и присо- единенных функций оператора (LP,U )∗). Рассмотрим некоторое фиксированное собственное значе- ние λ оператора LP,U алгебраической кратности p и обозначим соответствующее корневое подпро- странство через Hλ. Корневое подпространство, отвечающее собственному значению λ оператора λ (LP,U )∗, обозначим H∗. Прежде всего заметим, что если LP,U y = λy, (LP,U )∗ z = μz и μ /= λ, то μ y ⊥ z, т. е. Hλ ⊥ H∗ при λ /= μ. Таким образом, для построения биортогональной системы доста- λ точно в каждом пространстве H∗ построить базис {wj,k }, биортогональный системе {yj,k }. Нам wj,k не потребуется явное представление векторов , так что мы ограничимся доказательством су- ществования такого базиса. Представим этот базис в виде линейных комбинаций системы {zj,k }, ⊕ определенной в (3.9). Записав условия биортогональности, получим систему линейных уравне- ний с матрицей Грама ( yj,k , zl,m)). Разрешимость системы равносильна невырожденности данной матрицы. Если же матрица вырождена, то найдется ненулевой вектор ), cj,k zj,k , ортогональный всем функциям yj,k , а значит, и вообще всей системе собственных и присоединенных функций оператора LP,U . Это противоречит полноте данной системы. Минимальность системы {yn}n∈Z доказана. Определение 4.1. Объединение всех систем {wj,k } будем называть биортогональной систе- мой и обозначать {wn}n∈Z. При этом нумерацию мы ведем так, что ⊕yn, wm) = δnm. 1 Мы переходим к доказательству базисности системы {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций оператора LP,U . Напомним (см. [5, гл. 6]), что система {yn}∞ в гильбертовом простран- стве H называется базисом Рисса, если существует ограниченный и ограниченно обратимый опе- 1 ратор A такой, что система {Ayn}∞ является ортонормированным базисом в H. Напомним еще, 1 что система {xn}∞ элементов гильбертова пространства H называется бесселевой, если существу- ет c > 0 такое, что для любого x ∈ H: ), |(x, xn)|2 n ::: c⊗x⊗2. Мы докажем, что для любого сильно регулярного оператора LP,U система {yn}n∈Z является базисом Рисса в H. Отметим, что этот факт не является простым. Так, например, он не следует из асимптотических формул (2.11). Краткое доказательство базисности Рисса для этого случая было приведено в недавней работе [39]. Мы проведем здесь подробное доказательство, основываясь на теореме Бари, причем основную роль будут играть представление (2.12) и лемма 4.1, приведенная ниже. Теорема VI (Н. К. Бари). Пусть система {yn} гильбертова пространства H полна и мини- мальна, равно как и биортогональная к ней система {zn}. Если обе эти системы обладают свойством бесселевости, то они являются базисами Рисса в H. Напомним, что пространством Харди H2(C+) называется пространство аналитических в верх- ней полуплоскости функций, для которых норма ⎛ ⎞1/2 r 2 ⊗F⊗H2 = sup ⎝ y>0 R |F (x + iy)| dx⎠ < ∞. Для доказательства следующей леммы нам потребуется теорема Карлесона (см., например, [4, теорема II.3.9]). Теорема VII (Л. Карлесон). Пусть σ - мера Карлесона в верхней полуплоскости, т. е. для любого квадрата Qa,h = {z : Re z ∈ (a, a + h), Im z ∈ (0, h)} мера σ(Qa,h) конечна и σ(Qa,h) ::: γh для некоторого γ > 0. Тогда ∀f ∈ H2(C+) : r 2 2 |f| dσ ::: C⊗f⊗H2 , где C = C(γ). Лемма 4.1. Пусть {λn}n∈Z - последовательность собственных значений оператора LP,U с потенциалом P (·) ∈ L1[0, π] и регулярными краевыми условиями U. Тогда для всех f ∈ L2[0, π] БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 145 справедлива оценка 1 π 12 1r 1 1 10 n∈Z 1 1 1 f (x)eiλnx dx1 1 1 ⊗L2 ::: C⊗f 2 , где C = C(P, U ). Доказательство. Напомним, что все собственные значения оператора LP,U лежат в полосе Πα для некоторого α = α(P, U ) > 0. Рассмотрим целую функцию π r F (z) = 0 f (x)e(iz+α+1)x dx. Из теоремы Пэли-Винера следует, что функция F принадлежит пространству Харди H2(C+) в верхней полуплоскости, причем ⊗F⊗H2 ::: C⊗f⊗L2 . Положим zn = λn + iα + i и заметим, что π r F (zn) = 0 f (x)eiλnx dx. Пусть теперь μ(Qa,h) - количество точек zn (с учетом кратности), лежащих внутри квадрата Qa,h = {z : Re z ∈ (a, a + h), Im z ∈ (0, h)}. Легко видеть, что μ(Qa,h) = 0 при h < 1. Поскольку λn = n + κn + o(1), где κn зависят только от четности номера n, то функция s(h) = sup μ(Qa,h) конечна для любого h и s(h) ∼ h при h → ∞. a∈R Тогда найдется число γ > 0 такое, что s(h) ::: γh при всех h > 0. Применив теорему VII с мерой σ = ), δzn , получим оценку n∈Z что и влечет утверждение леммы. ⊗{F (zn)}n∈Z⊗l2 ::: C(γ)⊗F⊗H2 , Напомним, что все собственные векторы системы {yn}n∈Z нормированы. Поскольку все соб- ственные значения сильно регулярного оператора LP,U просты, начиная с некоторого номера N, то при всех |n| > N ⊗yn⊗ = 1. Спектр оператора (LP,U )∗ совпадает с множеством {λn}n∈Z с совпаде- нием кратностей, а значит, при |n| > N все векторы wn биортогональной системы также являются собственными для оператора (LP,U )∗. Однако, в отличие от yn, они уже могут иметь неединичную норму. Лемма 4.2. Пусть LP,U - произвольный сильно регулярный оператор Дирака, а {wn}n∈Z - система, биортогональная к {yn}n∈Z (см. определение 4.1). Тогда последовательность {⊗wn⊗}n∈Z ограничена. wn Доказательство. Обозначим = wn lwnl и заметим, что 1 = ⊕yn , wn ) = ⊗wn ⊗⊕yn wn , ), а значит wn ⊕yn, wn) /= 0, n ∈ Z. Кроме того, неравенство ⊗wn⊗ < C равносильно неравенству ⊕yn, ) > 1/C. Пусть y0 - нормированные собственные функции оператора L0,U , а w0 - нормированные соб- n ственные функции оператора L0,U ∗ . n Используя (1.12), получим y0 iλ0 x -iλ0 x)t 0 ∗ iλ0 x ∗ -iλ0 x)t n = (ω1,j e n , ω2,j e n , wn = (ω1,j e n , ω2,j e n , где j = 0 при четном n и j = 1 при нечетном n. Тогда ⊕y0 , w0 ) = π(ω1,j ω∗ + ω2,j ω∗ ), n n 1,j 2,j т. е. скалярные произведения ⊕y0 , w0 ) зависят только от четности индекса n. Поскольку по опре- n n y0 0 0 0 делению ⊕ n, wn) /= 0, то |⊕yn, wn)| C > 0 при всех n ∈ Z. Все векторы yn и wn при достаточно больших |n| являются собственными. Из теоремы 2.3 имеем ⊕yn, ) = ⊕y0 , w0 ) + o(1), т. е. числа wn n n wn |⊕yn , )| отделены от нуля при достаточно больших (а значит и при всех) n. Нам потребуется еще одно несложное утверждение. Оно, однако, является ключевым для дока- зательства теоремы 4.2. 146 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ 1 Лемма 4.3. Пусть система {ϕn(x)}∞ является бесселевой в пространстве L2[a, b], а 1 {τn(x)}∞ - абсолютно непрерывные на [a, b] функции, причем n |τn(a)| ::: T, |τ × (x)| ::: τ (x) ∈ L1[a, b], n = 1, 2,..., (4.1) 1 где число T и функция τ не зависят от n. Тогда система {ϕn(x)τn(x)}∞ также является бесселевой в пространстве L2[a, b]. Доказательство. Поскольку ϕn(x)τn(x) = ϕn(x)τn(a)+ ϕn(x)(τn(x) - τn(a)), а из оценки |τn(a)| ::: T следует бесселевость системы {ϕn(x)τn(a)}, то далее, заменив τn(x) на τn(x) - τn(a), можно считать, что τn(a) = 0. Тогда N N 1 b x b y 1 r 1 |(f, ϕnτn)|2 = 1 r f (x)ϕn(x) r τ × (ξ) dξ dx r f (y)ϕn(y) 1 τ × (ζ) dζ dy1 = n=1 1 n n 1 1a 1 n=1 1 a a a 1 1 ⎛ ⎞ 1 1 N 1rb rb b b r r 1 = 1 1 n n ⎜ n ⎟ 1 1 n=1 1 a 1 τ × (ξ)τ× (ζ) ⎝ ξ b f (x)ϕ (x) dx ζ f (y)ϕn(y) dy⎠ dξ dζ1 ::: 1 1 r r ::: N τ (ξ)τ (ζ) 1(fχ[ξ,b], ϕn)1 1(ϕn,fχ[ζ,b])1 dξ dζ ::: 1 a a n=1 b b r r 1 1 1 b b r r 2 ::: c2 a τ (ξ)τ (ζ)⊗fχ[ξ,b]⊗ ⊗f χ[ζ,b]⊗ dξ dζ ::: c2 a a τ (ξ)τ (ζ) dξ dζ ⊗f⊗ . a Устремив N → ∞, получаем утверждение леммы. Теорема 4.2. Для любого сильно регулярного оператора LP,U с потенциалом P ∈ L1[0, π] вида (1.7) система {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций, введенная в определе- нии 3.3, образует базис Рисса в пространстве H. Доказательство. Воспользуемся теоремой VI. Полнота и минимальность системы {yn}n∈Z уже доказаны в теореме 4.1, так что остается проверить бесселевость систем {yn}n∈Z и {wn}n∈Z. Вначале мы докажем бесселевость системы {yn}n∈Z. Поскольку краевые условия сильно ре- гулярны, то все собственные значения λn оператора LP,U просты при |n| > N для некоторо- го N. Тогда система {yn}|n|>N состоит только из нормированных собственных функций оператора LP,U , и мы можем воспользоваться асимптотическим представлением (2.12) y1,n(x) = eiλnxτ1,n(x), y2,n(x) = e-iλnxτ2,n(x). Тогда из леммы 4.1 и леммы 4.3 следует бесселевость систем {y1,n}n ∈Z и {y2,n}n∈Z в пространстве L2[0, π], что и означает бесселевость системы {yn}n∈Z в H. Перейдем к биортогональной системе {wn}n∈Z. Поскольку функции wn при |n| > N являются собственны- ми функциями сопряженного оператора LP ∗,U ∗ , то к системе {wn/⊗wn⊗}|n|>N применимы те же рассуждения, что и к системе {yn}|n|>N . Для завершения доказательства достаточно вспомнить (лемма 4.2), что ⊗wn⊗ < C ∀n ∈ N для некоторой константы C. БАЗИСНОСТЬ РИССА ИЗ ПОДПРОСТРАНСТВ 1 Напомним (см. [5, гл. 6]), что система подпространств {Hn}∞ называется базисом в гильбертовом пространстве H, если любой вектор x ∈ H разлагается единственным образом в виде ),∞ 1 ряда x = n=1 xn, где xn ∈ Hn. Базис {Hn}∞ из подпространств является ортогональным, если 1 Hn ⊥ Hm при n /= m. Система {Hn}∞ называется базисом Рисса из подпространств, если суще- 1 ствует ограниченный и ограниченно обратимый оператор A такой, что система {A(Hn)}∞ является ортогональным базисом из подпространств в H. В случае регулярных, но не сильно регулярных краевых условий система {yn}n∈Z собственных и присоединенных функций оператора LP,U уже не обязана образовывать базис Рисса (см., например, [3, 33]). Можно, однако, показать, что в этом БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 147 случае всегда имеется базисность Рисса из подпространств, причем все подпространства двумер- ны. Идея доказательства этого факта содержится в статье [39]. Мы проведем здесь подробное доказательство, следуя классическим работам [6, 14]. Оно опирается на два замечательных фак- та - теорему фон Неймана и теорему Карлесона (см. [4, гл. VII, теорема 2.2 и лемма 5.4]). Мы начнем с доказательства следующего полезного утверждения. Лемма 5.1. Любой (не обязательно сильно) регулярный оператор Дирака LP,U с потенци- алом вида (1.7) представим в виде суммы LP,U = A + V, ограниченного в H оператора V и неограниченного замкнутого оператора A с плотной областью определения D(A) ⊂ H и компактной резольвентой. При этом спектр σ(A) расположен в некоторой полосе Πα и со- стоит из собственных значений {λn}n∈Z. Нумерацию этих собственных значений (с учетом их алгебраической кратности) можно провести так, чтобы выполнялись асимптотические равенства λn = n + κj + o(1) при |n|→ ∞, где j = 0, если n четно, и j = 1, если n нечетно, при- чем геометрическая и алгебраическая кратности каждого собственного значения совпадают, т. е. оператор A не имеет присоединенных функций. Система нормированных собственных функций оператора A образует базис Рисса в H. Доказательство. Рассмотрим оператор LP,U + V0, где V0 : (y1, y2) 1→ (κy1, -κy2). Если краевые условия, задаваемые матрицей U = (C, D), сильно регулярны, то положим κ = 0. В противном случае подберем κ следующим образом. Поскольку LP,U + V0 есть оператор Дирака вида (1.1) с потенциалом ( κ p2(x) \\ , то к нему применимо утверждение 1.3. Из (1.6) следует, что γ = 0, p3(x) -κ p2 = p2, = p , т. е. L + V = WL W-1. При этом краевые условия U задаются матрицей p3 3 P,U P,U 0 U = (C, eiπκD). По определению 1.2 краевые условия U сильно регулярны, если (J12 + e2iπκJ34)2 + 4e2iπκJ14J23 /= 0. Таким образом, достаточно выбрать κ так, чтобы точка μ = e2iπκ не являлась нулем функции μ2J 2 2 34 + 2μ(J12J34 + 2J14J23)+ J12, что возможно, поскольку эта функция не равна нулю тождественно (это следует из регулярности краевых условий U ). Итак, мы представили оператор LP,U в виде -1 LP,U = WLP,U W - V0, где краевые условия U сильно регулярны. Тогда лишь конечное число собственных значений опе- ратора LP,U могут иметь алгебраическую кратность, большую единицы. Пусть λ0 - одно из таких собственных значений, H0 - соответствующее корневое подпространство, {yj,k } - произвольная каноническая система собственных и присоединенных функций в H0, построенная в определе- нии 3.3, а P0 - спектральный проектор на H0 (см. определение 3.3). Определим оператор K0 на подпространстве H0 равенствами K0yj,0 = 0, K0yj,k = -yj,k-1 для всех k /= 0. Тогда оператор LP,U + K0P0 диагонален на подпространстве H0. Пусть оператор K равен сумме операторов K0P0 по всем корневым подпространствам, отвечающим кратным собственным значениям оператора LP,U (число слагаемых в этой сумме конечно, так что оператор K ограничен). Операторы LP,U + K и LP,U имеют одинаковый спектр и одинаковую систему собственных и присоединенных функций, причем все эти функции являются для оператора LP,U + K собственными. Остается положить -1 A := W (LP,U + K)W и V := -WKW-1 - V0. Следующее утверждение известно в теории пространств Харди. Мы, однако, затрудняемся дать точную ссылку и потому приведем его с полным доказательством. Напомним, что пространством Харди H∞ в верхней полуплоскости C+ = {z : Im z > 0} называется пространство голоморфных и ограниченных в C+ функций с нормой ⊗f⊗∞ = sup |f (z)|. z∈C+ 148 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Утверждение 5.1. Пусть последовательность {zn}n∈Z лежит в полосе 1 ::: Im z ::: 2h, причем z2n = 2n + κ + o(1) и z2n+1 = 2n + κ + o(1) при |n| → ∞. Тогда существуют такой номер N ∈ N и такое число μ, что для всякого конечного подмножества J ⊂ {n ∈ Z : |n| N} и всякого номера K max{|n| : n ∈ J} найдется рациональная функция fK ∈ H∞, ⊗fK⊗∞ ::: μ, такая, что при всех n, N ::: |n| ::: K, (1, если n ∈ J, K fK (z2n) = fK (z2n+1) = 0, если n ∈/ J, а если z2n = z2n+1, то f× (z2n) = 0. (5.1) Определение 5.1. (см. [4, гл. VII]) Последовательность точек {zj}j∈N из C+ называется ин- терполяционной, если sup ТТ |zk - zn| δ > 0. (5.2) n∈N k±=n |zk - zn| Теорема VIII (Л. Карлесон). Пусть {zj}j∈N - интерполяционная последовательность то- чек верхней полуплоскости. Тогда для любого K ∈ N существуют рациональные функции fj,K ∈ H∞, 1 ::: j ::: K, такие, что причем fj,K (zl) = δj l, 1 ::: j, l ::: K, K 9(3 - δ2)2 sup |fj,K (z)| ::: M, где M = z∈C+ j=1 4δ4 . Лемма 5.2. Пусть точки z1 и z2, z2 /= z1, лежат в полосе {z : 1 ::: Im z ::: 2h}, а числа w1 и w2 произвольны. Тогда существует такая рациональная функция ϕ ∈ H∞, что ϕ(z1) = w1, ϕ(z2) = w2, причем 1 w2 - w1 1 1 1 ⊗ϕ⊗∞ ::: 8h 1 1 + 2|w1| + 2|w2|. (5.3) 1 z2 - z1 1 Пусть точка z0 лежит в той же полосе, а w0 ∈ C произвольно. Тогда существует такая рациональная функция ϕ ∈ H∞, что ϕ(z0) = 1, ϕ×(z0) = w0, причем ⊗ϕ⊗∞ ::: 1+ 4h|w0|. (5.4) z z0 z-z0 Доказательство. В первом случае возьмем ϕ(z) = k z-z0 , где числа z0 ∈ C+ и k ∈ C находятся из условий f (z1) = w1, f (z2) = w2. Во втором случае положим ϕ(z) = 1 + k z-z0 , где число k - находится из условия ϕ×(z0) = w0. Легко видеть, что в первом случае ⊗ϕ⊗∞ = |k|, а во втором случае ⊗ϕ⊗∞ = |k| + 1. Оценки (5.3) и (5.4) получаются теперь прямыми вычислениями, которые мы здесь опускаем. Лемма 5.3. Если точки {zn}n∈N лежат в полосе {z : 1 ::: Im z ::: 2h} и inf |zn - zk| 1, то из условия sup n k Im z Im z 2 ::: m < ∞ n±=k следует (5.2) с δ = e-32mh. n∈N k±=n |zn - zk| Доказательство. Зафиксируем номер n и обозначим pk = |zk - zn|/|zk - zn|. Заметим, что 1 2 Тогда 1+ 4h ::: pk ::: 1, откуда - ln pk ::: 8h(1 - pk ). - ln ТТ |zk - zn| ::: 8h (1 - p2 ) = 32h Im zk Im zn ::: 32mh. Отсюда k±=n |zk - zn| k k±=n k±=n |zk - zn|2 sup ТТ pk e-32mh. n∈N k±=n БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 149 Доказательство утверждения 5.1. Найдем номер N0, такой, что |z2n - (2n + κ)| < 1/8 и |z2n+1 - (2n + κ)| < 1/8 при всех |n| > N0. Отсюда следует, что |z2n - z2k| 2|k - n|- 1, |n| > N0, |k| > N0, а значит n±=k, |n| N0 Im zn Im zk |zn - zk|2 ::: 4h2 n±=k, |n| N0 1 (2|n - k|- 1)2 ::: ∞ 8h2 1 = π2h2. - (2l 1)2 l=1 2 Та же оценка справедлива и для последовательности {z2n+1}|n|>N0 . Положим m = π h2. Из леммы 5.3 следует, что обе последовательности являются интерполяционными, причем число δ из оценки (5.2) можно взять равным e-32π2h3 . Положим M = 9(3e64π2h3 найдем номер N N0 такой, что - 1)2/4 (см. теорему VIII) и M|z2n - z2n+1| < 1/4 для всех |n| > N. Пусть J - произвольное конечное подмножество {n : |n| N}, а K max{|n| : n ∈ J} - K K произвольный номер. Обозначим {gj,K }|j|=N и {hj,K }|j|=N рациональные функции из теоремы VIII, K K построенные по последовательностям {z2j}|j|=N и {z2j+1}|j|=N соответственно, т. е. gj,K (z2l) = hj,K (z2l+1) = δjl. Далее для каждого j, N ::: |j| ::: K, построим, пользуясь леммой 5.2, функцию ϕj,K следующим образом. Если z2j /= z2j+1, то потребуем, чтобы ϕj,K (z2j ) = w1 = h 1 1 , ϕj,K (z2j+1) = w2 = . (z ) g (z ) j,K 2j j,K 2j+1 Заметим, что для любой функции f ∈ H∞ из интегральной формулы Коши следует оценка sup Im z 1 |f ×(z)| ::: ⊗f⊗∞. Поскольку |hj,K (z2j ) - 1| = |hj,K (z2j ) - hj,K (z2j+1)| ::: sup Im z 1 |h × j,K (z)||z2j - z2j+1| ::: M|z2j - z2j+1| ::: 1/4, то числа |1 -w1| и |1 -w2| не превосходят min{4/3M|z2j -z2j+1|, 1/3}. Тогда из (5.3) следует, что ⊗ϕj,K ⊗∞ ::: 24hM + 6. Если z2j = z2j+1, то потребуем j,K ϕj,K (z2j ) = 1, ϕ× j,K (z2j ) = -(gj,K hj,K )×(z2j ) = -g× j,K (z2j ) - h× (z2j ). Тогда из (5.4) следует, что ⊗ϕj,K ⊗∞ ::: 8hM + 1. Таким образом, для каждого j, N ::: |j| ::: K, определена рациональная функция fj,K (z) := gj,K (z)hj,K (z)ϕj,K (z) ∈ H∞, для которой причем × fj,K (z2l) = fj,K (z2l+1) = δj l, l /= j, N ::: |j|, l| ::: K, fj,K (z2l) = 0, если z2l = z2l+1. Искомую функцию fK (z) определим суммой fK (z) = ), fj,K (z). Тогда равенства (5.1) выполнены j∈J и ∀z ∈ C+ |fK (z)| ::: |fj,K (z)| ::: (24hM + 6) j∈J K |j|=N |gj,K (z)||hj,K (z)| ::: (24hM + 6)M 2 = μ. Приступим к доказательству базисности Рисса из подпространств. Вначале мы сформулируем две теоремы, которые будут использоваться в доказательстве: теорему Гельфанда (см. [5, Гл. VI, §5]) и теорему фон Неймана (см. [19, Гл. XI]). 150 А. М. САВЧУК, И. В. САДОВНИЧАЯ Теорема IX (И. М. Гельфанд). Система {Hn = Rn Pn} является базисом Рисса из подпро- странств в замыкании своей линейной оболочки тогда и только тогда, когда sup ⊗ Pn⊗ < ∞, (5.5) J n∈J где супремум берется по всем конечным подмножествам индексов. Теорема X (Дж. фон Нейман). Пусть T - произвольное сжатие в гильбертовом простран- стве, т. е. ⊗T⊗ ::: 1, а функция f голоморфна в круге |z| < r, r > 1, и ограничена в круге |z| ::: 1 константой μ. Тогда ⊗f (T )⊗ ::: μ. Пусть оператор LP,U регулярен, но не сильно регулярен. Пусть Hn = Rn Pn, |n| N0, - кор- невые подпространства этого оператора, введенные в определении 3.4. Определим дополнительно подпространство H0 = Rn SN0 , где SN0 := 1/(2πi) Г R(λ) dλ, а замкнутый кусочно-гладкий жорда- γ нов контур γ охватывает все собственные значения λn оператора LP,U с номерами n : |n| < 2N0 и только их. Теорема 5.1. Система {H0, Hn}|n| N0 образует базис Рисса из подпространств в простран- стве H. Доказательство. Применим теорему IX. Из теоремы 4.1 следует, что замыкание линейной обо- лочки системы {H0, Hn}|n| N0 совпадает со всем пространством H, так что остается доказать выполнение свойства (5.5). Пользуясь леммой 5.1, представим оператор LP,U в виде суммы LP,U = A + V. Поскольку система собственных функций оператора A образует базис Рисса в пространстве H, то найдется такое скалярное произведение ⊕·, ·)1, топологически эквивалентное исходному (т. е. c1⊗· ⊗1 ::: ⊗·⊗ ::: c2⊗· ⊗1 для некоторых c1 и c2), относительно которого эта система является ортонормированным базисом (см. [5, гл. VI, §2]). В силу оценки на нормы свойство базисности системы подпространств {Hn} не изменится при переходе к новому скалярному произведению. В новом скалярном произведении оператор A диагонален в ортонормированном ба- зисе из своих собственных векторов, т. е. нормален. Тогда числовой образ {⊕Af , f )1 : ⊗f ⊗1 = 1} оператора A равен замыканию выпуклой оболочки спектра σ(A), а значит, лежит в некоторой горизонтальной полосе. Следовательно, числовой образ оператора LP,U (относительно нового ска- лярного произведения) также лежит в некоторой полосе Πα. Поскольку сдвиг не меняет свойств базисности, то далее можно работать с оператором B = LP,U + i(α + 1), числовой образ и спектр которого лежат в полосе 1 ::: Im z ::: 2h, где h = α + 1. Точки {λn + i(α + 1)}n∈Z спектра оператора B удовлетворяют условиям утверждения 5.1. Пусть числа N и μ определены в формулировке этого утверждения (они зависят только от оператора LP,U и по построению N N0), а N-1 ν := ⊗SN0 ⊗1 + |n|=N0 ⊗Pn⊗1. Пусть J ⊂ {n ∈ Z : |n| N} - произвольное конечное подмножество, K - произвольный номер такой, что K > max{|n| : n ∈ J}, а fK - рациональная функция, построенная в утверждении. Из общей теории функционального исчисления операторов (см., например, [19, гл. IX, §151]) и представления (3.9) следует, что fK (B) = ), Pn. Пусть T := (B - i)(B + i)-1 - преобразование n∈J Кэли оператора B. Легко видеть, что ∀x ∈ D(B) : ⊗(B + i)x⊗2 - ⊗(B - i)x⊗2 = 4Im (Bx, x)1 > 0, 1 1 откуда ⊗(B - i)(B + i)-1x⊗1 ::: ⊗x⊗1. Так как подпространство D(B) = D(LP,U ) плотно в H, то оператор T продолжается на все проiz + i странство и ⊗T⊗1 ::: 1. Обозначим gK (z) = fK 1 - z . Тогда согласно теореме X ⊗gK (T )⊗1 ::: μ. Далее ∀x ∈ Hn, |n| > N, выполнено gK (T )x = fK (B)x при K n. Переходя к пределу при БАЗИСНОСТЬ РИССА СО СКОБКАМИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИРАКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ 151 K → ∞, получим, что ⊗ ), Pn⊗1 ::: μ⊗x⊗1 на подпространстве ∪|n| N Hn. Тогда для произвольного n∈J x ∈ H 1 1 1 1 1 n∈J 1 1 1 Pnx1 11 1 1 = 1 1 1 n∈J ( Pn x - ( N-1 |k|=N0 Pk + SN0 \\ \\1 1 1 x 1 11 ::: μ(1 + ν)⊗x⊗1. Если теперь J ⊂ {n ∈ Z : |n| N0}∪ {0} - конечное подмножество, то нормы ⊗ ), Pn⊗1 ограниn∈J чены числом μ + ν + μν, не зависящим от J.

Об авторах

А. М. Савчук

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Email: artem_savchuk@mail.ru
Россия, Москва

И. В. Садовничая

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Email: ivsad@yandex.ru
Россия, Москва

Список литературы